Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales Escuela de Ingenierı́a Forestal Matemáticas I I-2016 Prof. K. Chang Guı́a de Ejercicios # 1 Elementos de Matemática. Sistemas Numéricos 1.- En cada caso, indique si se usa la propiedad conmutativa, asociativa o distributiva. (a) 7 + 10 = 10 + 7 (e) (5x + 1)3 = 15x + 3 (b) 2(3 + 5) = (3 + 5)2 (f) (x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b (c) (x + 2y) + 3z = x + (2y + 3z) (g) 2x(3 + y) = (3 + y)2x (d) 2(a + b) = 2a + 2b (h) 7(a + b + c) = 7(a + b) + 7c 2.- Escriba de nuevo la expresión aplicando la propiedad que se indica. (a) Propiedad conmutativa de la adición: x + 3 = (b) Propiedad asociativa de la multiplicación: 7(3x) = (c) Propiedad distributiva: 4(a + b) = (d) Propiedad distributiva: 5x + 5y = 3.- Aplique las propiedades de los números para escribir las expresiones sin paréntesis. a) 3(x + y) e) − 52 (2x − 4y) i) (3 − 5a)(3 + 5b + 5) b) (a − b)8 f) (3a)(b + c − 2d) j) (2a − 1) + 4(a − 3) c) 4(2m) g) (3a + 2b)(4b − a) k) (3a + 2b) − 4(b + 3d) h) (3a + 2)(c − 2d − 1) l) (2 − 3a) + (b − (3b − 4a)) d) 4.- 4 3 (−6y) Efectúe las operaciones indicadas a) 42 + 23 b) (40 + 21)(72 − 38) (32 − 15) c) 72 ÷ 24 + 64 ÷ 16 3 4 d) + 10 15 e) 1 1 + 4 5 2 3 f) − 3 5 5 1 g) 1 + − 8 6 2 3 6− 1 i) 4 8 1 + 9 2 h) j) 1 3+ 4 3 2 k) l) 4 1− 5 m) 2 2 3 1 1 − 2 3 − 2 3 2 1 12 1 8 − 1 9 1 1 + 2 3 Guı́a de Ejercicios 1 n) 2 − 34 1 1 2 − 3 Matemáticas I, I-2016 ñ) 2 5 1 10 + + Obtenga el valor de: 4 1 1 1 (a) − 3 − −2 − 3 2 4 5 1 2 3 15 5.- 1 3− 2 (b) 3 2− 4−5 1 3 3 − ÷ (c) 2 2 4 2 3 5 1 +1+ + −2 3 − (g) −3 2 −6 6.- (b) (−3)2 (c) (−3)0 (d) 52 4 5 (f) 4− 3 1 3 + 7 4 2 5 (e) ÷ − 1 2 3 4 10 − −2÷ 2 3 5 3 5 +1 4 1 2 2 1 3− 5 + 3 4 7 11 3 1 1 20 2 5− 4 + 5 24 3+3÷ 3 1 5 107 3−2 (h) 9 −2 1 (i) 4 −3 2 (j) 3 109 3 (f) −2 3 −2 9 3 (k) 2 16 4−3 (g) −8 2 4 −2 1 5 (l) 2 2 7.- 2− 1 4 5 9 ÷ 1 5 12 3 (d) 1 6÷ 1 2 Evalúe cada expresión: (a) −32 (e) (m) (n) (ñ) (o) (p) (q) (r) √ 16 √ 4 16 r 1 16 √ 64 √ 3 −64 √ 5 −32 r 3 8 27 (s) r 3 −1 64 √ 5 −3 (t) √ 5 96 (u) √ √ 7 28 √ 48 (v) √ 3 (w) √ 4 √ 24 4 54 Escriba la cantidad indicada como un número racional con exponente 1. 3 (a) (32 )4 (e) (22 )5 (i) (−5)−3 (n) −16 2 (b) [(2)(3)]5 (f) [(3)(5)]4 (j) (−6)−2 (ñ) 2−3 7−1 1 (c) (d) 8.- 2 7 13 23 32 5 (g) 3 (h) (k) 36 2 3 3 11 24 52 7 1 (l) 27 3 2 − 2 3 1 (m) 8 (o) 2−4 − 24 (p) 2−3 + 3−2 2−4 + 3−1 (q) 6−1 + 2−3 50 + 4−2 Simplificar cada una de las siguientes expresiones eliminando cada uno de los exponentes negativos. Sistemas Numéricos 2 Guı́a de Ejercicios 1 (a) a9 a−5 Matemáticas I, I-2016 (f) (b) (3y 2 )(4y 5 ) (c) (12x2 y 4 ) 1 5 2x y (d) (6y)3 (e) x9 (2x)4 x3 a−3 b4 a−5 b5 (g) b4 1 2 3b (12b−8 ) (h) (2u2 v 3 )3 (3u3 v)−2 (i) (6y 3 )4 2y 5 (j) (2x3 )2 (3x4 ) (x3 )4 (n) (k) (x2 y 3 )4 (xy 4 )−3 x2 y (ñ) (xy 2 z 3 )4 (x3 y 2 z)3 c4 d3 cd2 d2 c3 3 (l) (2s3 t−1 )( 14 s6 )(16t4 ) (m) (rs)3 (2s)−2 (4r)4 9.- Halle el producto y simplificar el resultado. Cuando aparezcan variables o constantes, estas representan números positivos. √ √ √ √ √ √ 4 4 (c) (2 3 9)(4 3 −6) (a) 10 30 (e) 24x3 270x2 r √ √ √ √ √ 4 10 3 5 4 3 3 (f) b 24a2 b3 a 2 4 5 2 (b) 18 12 (d) −6a b 9a b 3 10.- Simplificar. 1 4 x (16x5 ) (a) 2 (b) (−3x−2 )(4x4 ) (c) (2x3 )(3x2 ) (x2 )3 (d) (2x2 )3 4x4 11.- −2 7 3 4 −5 1 5 1 (i) (3u v )(4u v ) 2 7 4 −3 a (−3a )(4a ) (e) (m) x y 6 3 (j) (x2 yz 3 )(−2xz 2 )(x3 y −2 ) 1 2 3 (f) (−4b ) b (−9b4 ) 7 6 x 2 5 (n) (−2xy ) 1 −5 2 4 −3 3 2 8y 3 x y (k) (8x y ) (6x ) 2 (g) (2x2 )3 5 4 2 2 2 5a b 3x y 4a b (3y 3 )(2y 2 )2 (ñ) (l) (h) 3 2 4 4 3 a b 2b xy −3 (y ) Descomponga cada número como producto de sus factores primos (a) 21 (e) 128 (i) 496 (m) 1960 (b) 63 (f) 186 (j) 728 (n) 1118 (c) 42 (g) 225 (k) 1236 (ñ) 3845 (d) 96 (h) 384 (l) 1456 (o) 2121 12.- Usando las propiedades, extraer de cada radical los factores posibles. r p r 4 32 27 (f) 3 500x5 y 6 z 7 3 8x y (a) (j) 4 n6 √ s √ (g) 44a3 b7 c9 81x5 (b) 8a3 b2 (k) 4 r y6 √ 3 16a3 5 3 r (c) 24a b (h) b2 c3 a4 √ (l) 4 b6 (d) 243x7 s r 10 4 5 5x √ 3 729a (i) 5 8 6 9 8 (m) (e) 64a b c y 16b5 Sistemas Numéricos (n) s 9b2 x2 y 4 (ñ) s 81a5 b2 x7 y 8 p 4a4 − 8a3 b (o) 3 Guı́a de Ejercicios 1 13.(a) (b) (c) (d) Matemáticas I, I-2016 Racionalizar el numerador: √ √ 3− 2 2 3 √ √ (e) 5 1+ 2 √ √ √ 4 3−3 7 −5 2 √ (f) √ √ 2 3+3 7 2 3 √ √ √ √ 2 5+7 3 2+ 5 √ (g) 2+ 7 2 √ √ 7−9 2t (h) 2 3s Racionalizar el denominador: √ 3 2 3 √ (e) √ (a) √ 5− 2 5 √ √ 2 −5 2 √ (f) √ (b) √ 12 − 2 2 3 (i) r 8t 3ab2 (m) (j) r 27y 2 64x6 (n) (k) (l) 3 4 √ 5 s 24a3 b6 2a2 b (ñ) 15z 7 8x6 y 3 (o) √ √ a+ b x+y √ √ x− y x−y √ √ x+h− x h √ √ x−h+ x h 14.- 5 (c) √ 4 9 9 √ (g) √ 2+ 5 3 (d) √ 5 8 (h) 4 √ 3− 2 √ 5−3 √ (i) 2− 5 √ √ 4 3−3 7 √ (j) √ 2 3+3 7 19 √ √ 5 2−4 3 √ 5+2 3 √ (l) 4− 3 (k) (m) (n) (ñ) (o) √ 3− 2 √ 1+ 2 r 3 5a 2b2 √ 3 ab2 √ 3 ab √ 2t 3s 3h (p) √ √ x−h+ x h (q) √ √ x+h− x (r) 3xh − 3h √ √ x−h+ x+h 1 (s) √ √ 3 x− 4y Efectuar la suma de radicales y expresar la solución en la forma más simple. r √ √ √ √ 4 2 27 − 4 12 (ñ) 4 75 − 3 − 2 48 √ √ 3 80 + 20 r √ √ √ √ 3 3 3 1 (o) 432 − 250 + 180 + 405 32 √ √ √ r 18 + 50 − 72 √ 1 √ √ √ √ − 8 (p) 32 − 2 75 + 12 − 147 r r r √ √ √ 1 1 3 32 + 50 − 72 (q) − + 3 2 4 √ √ √ 162 + 50 − 200 r r r 2 3 1 √ √ √ (r) 2 +4 −5 45 − 27 − 20 3 8 24 √ √ √ r √ 9 48 − 5 27 + 3 12 5 3 16 (s) √ + q − √ √ √ √ 10 1 2 7 450 − 4 320 + 3 80 − 5 800 10 √ √ √ √ r r 175 + 243 − 63 − 2 75 a b 4 −3 +√ (t) 2 √ √ √ √ b a ab 2 3 − 2 + 5 3 + 10 2 √ √ √ √ √ √ (u) 8x3 − 4x 98x 6 − 27 + 2 54 + 3 48 √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 + 81 − 27 + 5 3 (v) 4x3 + x 256 15.(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) Sistemas Numéricos 4 Guı́a de Ejercicios 1 (w) √ 48a + Matemáticas I, I-2016 √ √ √ √ 3 3 (y) a 250b − 3ab3 − 5 2a3 b + 3b 3a p p p (z) 2a 3 27x3 y + 3b 3 8x3 y − 6c 3 −x3 y √ 27a √ √ √ (x) 81a3 + 9a3 − 25a3 Introducir los factores dentro del signo radical. √ √ 3 (a) 2 2 (d) x abx (f) √ 3 2 (b) 3x 4x √ √ 5 (g) (e) −2ab a2 b (c) 3a2 b ab2 16.- 2a b r 3b2 4a2 2x 3y r 3y 2x 3 17.- Efectuar las operaciones y simplificar. √ √ √ 8a3 b (a) 2 8 (g) √ √ √ 2ab (b) ( 2 + 1)( 2 − 1) √ √ (c) (2 3 + 3)(3 3 + 1) √ 2ab √ √ (h) √ (d) (2 + 3)(2 − 3) 3 2ab √ √ √ (e) (2 + 8)(2 2 − 8) √ √ √ 3 3 32 − 2 8 ab2 √ (f) √ (i) 3 8 ab r x+y (h) (a + b) x−y r 3 xyz (i) xy 6 (j) √ 8− √ √ 32 + 3 72 √ 2 √ 2a2 b √ (k) √ 3 abc 6 3bc 1 (l) 18.- Demuestre que (x − a)2 = x2 − 2ax + a2 . 19.- Demuestre que (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 . 20.- Demuestre que x2 − a2 = (x − a)(x + a) 21.- Demuestre que x4 − a4 = (x − a)(x + a)(x2 + a2 ) 22.- Demuestre que x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 ). 23.- Demuestre que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. 24.- Hacer el desarrollo de cada uno de los siguientes binomios: 1 3a 2 2a 3 1 2 4a 3 a 3 (a) (x + 1)2 (e) (2 − 3x)2 (i) (2x − 4)3 (b) (x − 1)2 (f) (2x + 12 )2 √ (g) ( 2x − 2)2 √ (h) (2 x + 1)2 (j) (1 − 2x)3 (c) (2x + 1)2 (d) (3x + 4)2 (k) (x + 1)4 (l) (1 − x)5 25.- Para cada una de las expresiones cuadráticas dadas, use la igualdad x2 +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) para expresarla en forma de producto. • x2 − 2x − 3. • x2 − 4x + 3. • x2 + 3x + 2. • x2 − 2x − 3. • x2 − 9x + 18. • x2 − 7x + 10. • x2 + 5x + 6. • x2 − 9x + 20. Sistemas Numéricos 5 Guı́a de Ejercicios 1 Matemáticas I, I-2016 • x2 + 9x + 8. • x2 + 12x + 35. • x2 − 5x + 6. • x2 − 2x − 3. • x2 − 2x − 3. • x2 + 12x + 32. • x2 − 5x − 6. • x2 + 2x − 48. • x2 − 4x − 5. • x2 − 2x − 3. • x2 + 8x + 7. • x2 − 2x − 3. • x2 − 3x − 4. • x2 − 2x − 3. • x2 − 7x + 12. • x2 − 2x − 3. • x2 − 12x + 36. • x2 + 9x + 20. • x2 + 9x + 20. • x2 − 8x + 7. • x2 − 2x − 3. 26.- • x2 − x − 2. • x2 − 2x − 3. • x2 + 2x − 8. Simplificar. 1 x (a) 1 1+ x x− 1 1+ x (b) 1 x− x x+y 2 (c) x3x −y x (e) (f) x 2a a x+1 1 x (i) 2 1 − −1 2 x x (m) x+y 1 1 + x y 2 y (j) 3y + y+2 y−2 5 +4+y y−2 (n) 15 y+6+ y+2 x− 1− 1+ 2 2 − x + h − 3 x − 3 (g) h (h) a (k) 2 − (l) 2 1− 2 2− 2 x2 1 a+b 2 1 a−b+ 1− a b 1 a − b (d) − 1+ a−b b a x (a + b)2 − c2 a (a − b)2 − c2 (p) a2 + ab − ac (a + c)2 − b2 ab − b2 − bc −1 −1 −2 −1 x + y −1 y + x−2 (q) ÷ + 1; (aquı́ x2 + y 2 6= 0) x−1 − y −1 y −2 − x−2 27.- • x2 + x − 30. 1 1+ x y 5 3 + (ñ) a − 5 1 − a 6 2 − a−1 5−a (o) a3 + b3 a2 − ab + b2 a3 − b3 a2 + ab + b2 − Compruebe que cada una de las siguientes igualdades es correcta. (a) 4(x + 2) 4x2 − 16 = , si x 6= 2. 2 x − 2x x (b) y 2 − 5y + 6 3−y = , si y 6= 2. 2 4−y y+2 (c) (x2 + 4x)2 x2 (x + 4) = , si x 6= −4. x2 + 6x + 8 x+2 Sistemas Numéricos x2 y + xy 2 xy x−y (d) = , si x 6= −y. x+y x−y xy − y 2 1 = , si y 6= 0 y x 6= y. 4 4 2 x y − xy x(x + xy + y 2 ) 2 2 2 x + 3x 2x + 2x x − 4x + 3 1 (f) = , 2 2 2 4x − 4 x −9 x 2 si x ∈ / A con A = {−3, −1, 0, 1, 3}. (e) 6
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