1. No category

Universidad de Los Andes
Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales
Escuela de Ingenierı́a Forestal
Matemáticas I
I-2016
Prof. K. Chang
Guı́a de Ejercicios # 1
Elementos de Matemática. Sistemas Numéricos
1.-
En cada caso, indique si se usa la propiedad conmutativa, asociativa o distributiva.
(a) 7 + 10 = 10 + 7
(e) (5x + 1)3 = 15x + 3
(b) 2(3 + 5) = (3 + 5)2
(f) (x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b
(c) (x + 2y) + 3z = x + (2y + 3z)
(g) 2x(3 + y) = (3 + y)2x
(d) 2(a + b) = 2a + 2b
(h) 7(a + b + c) = 7(a + b) + 7c
2.-
Escriba de nuevo la expresión aplicando la propiedad que se indica.
(a) Propiedad conmutativa de la adición: x + 3 =
(b) Propiedad asociativa de la multiplicación: 7(3x) =
(c) Propiedad distributiva: 4(a + b) =
(d) Propiedad distributiva: 5x + 5y =
3.-
Aplique las propiedades de los números para escribir las expresiones sin paréntesis.
a) 3(x + y)
e) − 52 (2x − 4y)
i) (3 − 5a)(3 + 5b + 5)
b) (a − b)8
f) (3a)(b + c − 2d)
j) (2a − 1) + 4(a − 3)
c) 4(2m)
g) (3a + 2b)(4b − a)
k) (3a + 2b) − 4(b + 3d)
h) (3a + 2)(c − 2d − 1)
l) (2 − 3a) + (b − (3b − 4a))
d)
4.-
4
3 (−6y)
Efectúe las operaciones indicadas
a) 42 + 23
b)
(40 + 21)(72 − 38)
(32 − 15)
c) 72 ÷ 24 + 64 ÷ 16
3
4
d)
+
10 15
e)
1 1
+
4 5
2 3
f) −
3 5
5 1
g) 1 + −
8 6
2
3
6−
1
i)
4
8 1
+
9 2
h)
j)
1
3+
4
3
2
k)
l)
4
1−
5
m)
2
2
3
1 1
−
2 3
−
2
3
2
1
12
1
8
−
1
9
1 1
+
2 3
Guı́a de Ejercicios 1
n)
2 − 34
1
1
2 − 3
Matemáticas I, I-2016
ñ)
2
5
1
10
+
+
Obtenga el valor de:
4
1
1 1
(a) − 3 −
−2
−
3
2
4 5
1
2
3
15
5.-

1
3−
2
(b)
3
2−
4−5
1 3 3
− ÷
(c) 2 2 4
2
3
5
1
+1+
+ −2 3 −
(g) −3
2
−6
6.-
(b) (−3)2
(c)
(−3)0
(d)
52
4
5
(f)
4−
3 1 3
+
7
4
2
5
(e)
÷ −
1 2 3
4
10
−
−2÷
2 3 5
3
5
+1
4
1
2
2
1
3−
5 +
3
4
7 11
3
1
1
20 2
5−
4 +
5
24
3+3÷
3
1
5
107
3−2
(h)
9
−2
1
(i)
4
−3
2
(j)
3
109
3
(f) −2
3
−2
9
3
(k)
2
16
4−3
(g) −8
2
4 −2
1
5
(l)
2
2
7.-
2−
1 4 5

9 ÷ 1 
5
12
3
(d)
1
6÷
1
2
Evalúe cada expresión:
(a) −32
(e)

(m)
(n)
(ñ)
(o)
(p)
(q)
(r)
√
16
√
4
16
r
1
16
√
64
√
3
−64
√
5
−32
r
3 8
27
(s)
r
3
−1
64
√
5
−3
(t) √
5
96
(u)
√ √
7 28
√
48
(v) √
3
(w)
√
4
√
24 4 54
Escriba la cantidad indicada como un número racional con exponente 1.
3
(a) (32 )4
(e) (22 )5
(i) (−5)−3
(n) −16 2
(b) [(2)(3)]5
(f) [(3)(5)]4
(j) (−6)−2
(ñ) 2−3 7−1
1
(c)
(d)
8.-
2
7
13
23 32
5
(g)
3
(h)
(k) 36 2
3
3
11
24 52
7
1
(l) 27 3
2
− 2
3
1
(m)
8
(o) 2−4 − 24
(p)
2−3 + 3−2
2−4 + 3−1
(q)
6−1 + 2−3
50 + 4−2
Simplificar cada una de las siguientes expresiones eliminando cada uno de los exponentes negativos.
Sistemas Numéricos
2
Guı́a de Ejercicios 1
(a) a9 a−5
Matemáticas I, I-2016
(f)
(b) (3y 2 )(4y 5 )
(c)
(12x2 y 4 )
1 5
2x y
(d) (6y)3
(e)
x9 (2x)4
x3
a−3 b4
a−5 b5
(g) b4
1 2
3b
(12b−8 )
(h) (2u2 v 3 )3 (3u3 v)−2
(i)
(6y 3 )4
2y 5
(j)
(2x3 )2 (3x4 )
(x3 )4
(n)
(k)
(x2 y 3 )4 (xy 4 )−3
x2 y
(ñ)
(xy 2 z 3 )4
(x3 y 2 z)3
c4 d3
cd2
d2
c3
3
(l) (2s3 t−1 )( 14 s6 )(16t4 )
(m) (rs)3 (2s)−2 (4r)4
9.- Halle el producto y simplificar el resultado. Cuando aparezcan variables o constantes, estas representan números positivos.
√
√
√ √
√
√
4
4
(c) (2 3 9)(4 3 −6)
(a) 10 30
(e) 24x3 270x2
r
√
√
√
√ √
4 10 3 5 4
3
3
(f)
b
24a2 b3
a
2
4
5
2
(b) 18 12
(d) −6a b 9a b
3
10.- Simplificar.
1 4
x (16x5 )
(a)
2
(b) (−3x−2 )(4x4 )
(c)
(2x3 )(3x2 )
(x2 )3
(d)
(2x2 )3
4x4
11.-
−2
7 3
4 −5
1 5
1
(i)
(3u
v
)(4u
v
)
2
7
4
−3
a (−3a )(4a )
(e)
(m)
x y
6
3
(j) (x2 yz 3 )(−2xz 2 )(x3 y −2 )
1 2
3
(f) (−4b )
b (−9b4 )
7
6
x
2 5
(n) (−2xy )
1 −5 2
4 −3
3
2
8y 3
x y
(k) (8x y )
(6x )
2
(g)
(2x2 )3
5 4 2
2 2 5a b
3x y
4a b
(3y 3 )(2y 2 )2
(ñ)
(l)
(h)
3
2
4
4
3
a b
2b
xy −3
(y )
Descomponga cada número como producto de sus factores primos
(a) 21
(e) 128
(i) 496
(m) 1960
(b) 63
(f) 186
(j) 728
(n) 1118
(c) 42
(g) 225
(k) 1236
(ñ) 3845
(d) 96
(h) 384
(l) 1456
(o) 2121
12.- Usando las propiedades, extraer de cada radical los factores posibles.
r
p
r
4 32
27
(f) 3 500x5 y 6 z 7
3 8x y
(a)
(j)
4
n6
√
s
√
(g) 44a3 b7 c9
81x5
(b) 8a3 b2
(k) 4
r
y6
√
3
16a3
5
3
r
(c) 24a b
(h)
b2 c3
a4
√
(l)
4
b6
(d) 243x7
s
r
10
4
5 5x
√
3 729a
(i)
5
8
6
9
8
(m)
(e) 64a b c
y
16b5
Sistemas Numéricos
(n)
s
9b2
x2 y 4
(ñ)
s
81a5 b2
x7 y 8
p
4a4 − 8a3 b
(o)
3
Guı́a de Ejercicios 1
13.(a)
(b)
(c)
(d)
Matemáticas I, I-2016
Racionalizar el numerador:
√
√
3− 2
2 3
√
√
(e)
5
1+ 2
√
√
√
4 3−3 7
−5 2
√
(f) √
√
2 3+3 7
2 3
√
√
√
√
2 5+7 3
2+ 5
√
(g)
2+ 7
2
√
√
7−9
2t
(h)
2
3s
Racionalizar el denominador:
√
3
2 3
√
(e) √
(a) √
5− 2
5
√
√
2
−5 2
√
(f) √
(b) √
12 − 2
2 3
(i)
r
8t
3ab2
(m)
(j)
r
27y 2
64x6
(n)
(k)
(l)
3
4
√
5
s
24a3 b6
2a2 b
(ñ)
15z 7
8x6 y 3
(o)
√
√
a+ b
x+y
√
√
x− y
x−y
√
√
x+h− x
h
√
√
x−h+ x
h
14.-
5
(c) √
4
9
9
√
(g) √
2+ 5
3
(d) √
5
8
(h)
4
√
3− 2
√
5−3
√
(i)
2− 5
√
√
4 3−3 7
√
(j) √
2 3+3 7
19
√
√
5 2−4 3
√
5+2 3
√
(l)
4− 3
(k)
(m)
(n)
(ñ)
(o)
√
3− 2
√
1+ 2
r
3 5a
2b2
√
3
ab2
√
3
ab
√
2t
3s
3h
(p) √
√
x−h+ x
h
(q) √
√
x+h− x
(r)
3xh − 3h
√
√
x−h+ x+h
1
(s) √
√
3
x− 4y
Efectuar la suma de radicales y expresar la solución en la forma más simple.
r
√
√
√
√
4
2 27 − 4 12
(ñ) 4 75 − 3
− 2 48
√
√
3
80 + 20
r
√
√
√
√
3
3
3 1
(o) 432 − 250 +
180 + 405
32
√
√
√
r
18 + 50 − 72
√
1 √
√
√
√
− 8
(p) 32 −
2
75 + 12 − 147
r
r
r
√
√
√
1
1
3
32 + 50 − 72
(q)
−
+
3
2
4
√
√
√
162 + 50 − 200
r
r
r
2
3
1
√
√
√
(r) 2
+4
−5
45 − 27 − 20
3
8
24
√
√
√
r
√
9 48 − 5 27 + 3 12
5
3
16
(s) √ + q −
√
√
√
√
10
1
2
7 450 − 4 320 + 3 80 − 5 800
10
√
√
√
√
r
r
175 + 243 − 63 − 2 75
a
b
4
−3
+√
(t) 2
√
√
√
√
b
a
ab
2 3 − 2 + 5 3 + 10 2
√
√
√
√
√
√
(u) 8x3 − 4x 98x
6 − 27 + 2 54 + 3 48
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3 + 81 − 27 + 5 3
(v) 4x3 + x 256
15.(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Sistemas Numéricos
4
Guı́a de Ejercicios 1
(w)
√
48a +
Matemáticas I, I-2016
√
√
√
√
3
3
(y) a 250b − 3ab3 − 5 2a3 b + 3b 3a
p
p
p
(z) 2a 3 27x3 y + 3b 3 8x3 y − 6c 3 −x3 y
√
27a
√
√
√
(x) 81a3 + 9a3 − 25a3
Introducir los factores dentro del signo radical.
√
√
3
(a) 2 2
(d) x abx
(f)
√
3
2
(b) 3x 4x
√
√
5
(g)
(e) −2ab a2 b
(c) 3a2 b ab2
16.-
2a
b
r
3b2
4a2
2x
3y
r
3y
2x
3
17.- Efectuar las operaciones y simplificar.
√
√ √
8a3 b
(a) 2 8
(g) √
√
√
2ab
(b) ( 2 + 1)( 2 − 1)
√
√
(c) (2 3 + 3)(3 3 + 1)
√
2ab
√
√
(h) √
(d) (2 + 3)(2 − 3)
3
2ab
√
√
√
(e) (2 + 8)(2 2 − 8)
√
√
√
3
3 32 − 2 8
ab2
√
(f) √
(i)
3
8
ab
r
x+y
(h) (a + b)
x−y
r
3
xyz
(i)
xy
6
(j)
√
8−
√
√
32 + 3 72
√
2
√
2a2 b
√
(k) √
3
abc 6 3bc
1
(l)
18.-
Demuestre que (x − a)2 = x2 − 2ax + a2 .
19.-
Demuestre que (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 .
20.-
Demuestre que x2 − a2 = (x − a)(x + a)
21.-
Demuestre que x4 − a4 = (x − a)(x + a)(x2 + a2 )
22.-
Demuestre que x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 ).
23.-
Demuestre que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
24.-
Hacer el desarrollo de cada uno de los siguientes binomios:
1
3a 2 2a 3
1
2
4a 3 a 3
(a) (x + 1)2
(e) (2 − 3x)2
(i) (2x − 4)3
(b) (x − 1)2
(f) (2x + 12 )2
√
(g) ( 2x − 2)2
√
(h) (2 x + 1)2
(j) (1 − 2x)3
(c) (2x + 1)2
(d) (3x + 4)2
(k) (x + 1)4
(l) (1 − x)5
25.- Para cada una de las expresiones cuadráticas dadas, use la igualdad x2 +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
para expresarla en forma de producto.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 4x + 3.
• x2 + 3x + 2.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 9x + 18.
• x2 − 7x + 10.
• x2 + 5x + 6.
• x2 − 9x + 20.
Sistemas Numéricos
5
Guı́a de Ejercicios 1
Matemáticas I, I-2016
• x2 + 9x + 8.
• x2 + 12x + 35.
• x2 − 5x + 6.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 2x − 3.
• x2 + 12x + 32.
• x2 − 5x − 6.
• x2 + 2x − 48.
• x2 − 4x − 5.
• x2 − 2x − 3.
• x2 + 8x + 7.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 3x − 4.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 7x + 12.
• x2 − 2x − 3.
• x2 − 12x + 36.
• x2 + 9x + 20.
• x2 + 9x + 20.
• x2 − 8x + 7.
• x2 − 2x − 3.
26.-
• x2 − x − 2.
• x2 − 2x − 3.
• x2 + 2x − 8.
Simplificar.
1
x
(a)
1
1+
x
x−
1
1+
x
(b)
1
x−
x
x+y
2
(c) x3x
−y
x
(e)
(f)
x
2a
a
x+1
1
x
(i)
2
1
− −1
2
x
x
(m)
x+y
1 1
+
x y
2
y
(j) 3y +
y+2
y−2
5
+4+y
y−2
(n)
15
y+6+
y+2
x−
1−
1+
2
2
−
x
+
h
−
3
x
−
3
(g)
h
(h)
a
(k) 2 −
(l)
2
1−
2
2−
2
x2
1
a+b
2
1
a−b+
1−
a b
1
a
−
b
(d)
−
1+
a−b
b a
x
(a + b)2 − c2
a
(a − b)2 − c2
(p)
a2 + ab − ac
(a + c)2 − b2
ab − b2 − bc
−1
−1 −2
−1
x + y −1
y + x−2
(q)
÷
+ 1; (aquı́ x2 + y 2 6= 0)
x−1 − y −1
y −2 − x−2
27.-
• x2 + x − 30.
1
1+
x
y
5
3
+
(ñ) a − 5 1 − a
6
2
−
a−1 5−a
(o)
a3 + b3
a2 − ab + b2
a3 − b3
a2 + ab + b2
−
Compruebe que cada una de las siguientes igualdades es correcta.
(a)
4(x + 2)
4x2 − 16
=
, si x 6= 2.
2
x − 2x
x
(b)
y 2 − 5y + 6
3−y
=
, si y 6= 2.
2
4−y
y+2
(c)
(x2 + 4x)2
x2 (x + 4)
=
, si x 6= −4.
x2 + 6x + 8
x+2
Sistemas Numéricos
x2 y + xy 2
xy
x−y
(d)
=
, si x 6= −y.
x+y
x−y
xy − y 2
1
=
, si y 6= 0 y x 6= y.
4
4
2
x y − xy
x(x + xy + y 2 )
2
2
2
x + 3x
2x + 2x
x − 4x + 3
1
(f)
= ,
2
2
2
4x − 4
x −9
x
2
si x ∈
/ A con A = {−3, −1, 0, 1, 3}.
(e)
6