1. No category

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Sistema tridimensional, rectas
y planos en el espacio
Matemática
Programa Entrenamiento
Desafío
Sea el plano M: ax + by + cz + d = 0, con a, b, c y d constantes enteras distintas de cero y a > 0.
Si el plano M pasa por los puntos (1, 2, 2), (3, – 1, 1) y (– 2, 1, – 1), ¿cuál de los siguientes valores
podría tener c?
A)
B)
C)
D)
E)
– 11
–4
2
8
9
Mis observaciones
GUICEN031MT22-A16V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Elementos del espacio
z Eje de las
cotas
P(x, y, z)
Eje de la
ordenadas
•
x
y
Eje de las
abscisas
La medida de AB es
Sea un segmento AB en el espacio,
tal que A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2).
�(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
(
2
El punto medio de AB es:
x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
,
,
2
2
2
)
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Rectas en el espacio
→
Vector director (d ):
Dados dos puntos P1(a, b, c) y P2(d, e, f), el
vector director que va desde P1 hasta P2, está
determinado por:
(d – a, e – b, f – c)
Ecuación de la recta en el espacio:
Una recta en el espacio que pasa por
un punto P0(x0, y0, z0), con un vector
→
director d (dx, dy, dz) tiene:
Ecuación vectorial:
→
(λ ∈ Iℝ)
(x, y, z) = P0 + λ • d
Posiciones relativas de rectas
en el espacio:
SeanL1: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ • (dx, dy, dz)
L2: (x, y, z) = (x2, y2, z2) + μ • (bx, by, bz)
Rectas coincidentes:
Ambas rectas deben tener vectores directores
proporcionales y al menos un punto en
común. Es decir:
(bx, by, bz) = k • (dx, dy, dz)
(x1, y1, z1) = (x2, y2, z2) + μ(bx, by, bz)(μ ∈ IR)
Ecuaciones paramétricas:
x = x0 + λ • dx
y = y0 + λ • dy
z = z0 + λ • dz
Ecuación continua:
x – x0
dx
=
y – y0
dy
=
z – z0
dz
Rectas paralelas:
Ambas rectas deben tener vectores directores
proporcionales y ningún punto en común. Es
decir:
(bx, by, bz) = k • (dx, dy, dz)
(x1, y1, z1) ≠ (x2, y2, z2) + μ(bx, by, bz)(μ ∈ IR)
Rectas perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares si la suma
de los productos de sus números directores
correspondientes es cero. Es decir:
dx • bx + dy • by + dz • bz = 0
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Planos en el espacio
Ecuación general del plano:
P: Ax + By + Cz + D = 0
Si un punto (a, b, c) pertenece al plano,
entonces:
Ecuación vectorial del plano
dado tres puntos
La ecuación vectorial de un plano que
contiene los puntos P0(x0, y0, z0),
P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) está dado por:
A•a+B•b+C•c+D=0
→
→
(x, y, z) = P0 + λ • d + μ • b (λ, μ ∈ Iℝ),
→
Posiciones relativas de planos
en el espacio:
Sean P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
→
va desde P0 hacia P1 y b (bx, by, bz) es el
vector director que va desde P0 hacia P2.
Ecuación paramétrica del plano
Planos coincidentes:
x = x0 + λ • dx + μ • bx
A1 = k • A2
y = y0 + λ • dy + μ • by
B1 = k • B2
z = z0 + λ • dz + μ • bz
C1 = k • C2
D1 = k • D2
Planos paralelos:
A1 = k • A2
B1 = k • B2
C1 = k • C2
D1 ≠ k • D 2
Planos perpendiculares:
A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0
4
donde d (dx, dy, dz) es el vector director que
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Ejercicios PSU
1.
En un sistema de ejes tridimensional, el punto (3, 5, 8) corresponde a un lugar en el espacio de
A) B) C) D) E) 2.
En la figura se muestra un cubo de arista 3 con tres de sus vértices en los ejes coordenados y
uno en el origen. Si la cara lateral derecha está dividida en tres franjas horizontales congruentes,
entonces las coordenadas del punto P son
A)
B)
C)
D)
E)
cota 3, abscisa 5 y ordenada 8.
cota 3, ordenada 5 y abscisa 8.
ordenada 3, cota 5 y abscisa 8.
abscisa 3, ordenada 5 y cota 8.
abscisa 3, cota 5 y ordenada 8.
(0, – 3, – 2)
(3, – 2, 0)
(0, 3, – 1)
(0, – 2, 3)
(0, 3, – 2)
z
y
x
P
3.
Un punto P en el espacio cumple con que su cota es tres unidades mayor que su ordenada y la
abscisa es la mitad de su cota. El punto P podría ser
A)
B)
C)
D)
E)
(– 1, 1, – 2)
(– 2, 2, – 1)
(2, – 2, 1)
(– 1, 1, 2)
(1, – 1, 2)
5
Programa Entrenamiento - Matemática
4.
En la figura se muestra un cubo de arista 1. Si el vértice T está en el eje Y, el vértice R está en el
origen y el vértice S está en el eje X, ¿cuáles son las coordenadas del vértice P?
A)
B)
C)
D)
E)
z
(– 1, 1, 0)
(0, – 1, – 1)
(– 1, – 1, 0)
(0, – 1, 1)
(– 1, 0, 1)
P
S
R
T
y
x
5.
En la figura, A, B, C, D, E, F, G y H son los vértices de un paralelepípedo, de manera que los
vértices B, D y E están en los ejes coordenados y el vértice A está en el origen. Si P es el punto
medio de FH y las coordenadas del vértice G son (6, 10, 4), ¿cuáles son las coordenadas del
punto P?
A)
B)
C)
D)
E)
z
(3, 10, 4)
(6, 5, 4)
(3, 5, 4)
(6, 5, 2)
(3, 5, 2)
E
F
B
A
H
P
G
D
y
C
x
6.
Una de las aristas de un cubo tiene sus extremos ubicados en los puntos (4, 2, – 3) y (– 1, 5, 1),
en un sistema de ejes tridimensional. El área del cubo, en unidades cuadradas, es
A)200
B)
30�2
C)132
D)300
E)250�2
6
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
7.
En la figura, el triángulo PQR tiene vértices P(6, 0, 0), Q(0, 6, 0) y R(0, 0, 6). ¿Cuál es el área del
triángulo PQR, en unidades cuadradas?
z
A)18�3
R
B)18�2
C)
6�3
D)
6�2
E) Q
18
y
P
x
8. (
Sean los puntos P – a,
)
–a
, a y Q(– a, a, a). Si PQ es una de las aristas de un cubo, entonces
3
el área total de dicho cubo es
16
A) a2
9
B)
8 2
a
3
32
C) a2
3
D)
8a2
E)32a2
9.
En la figura, las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 5).
La altura del triángulo ABC que cae sobre el lado AB mide
z
A)2�6
C
B)5
C)3�3
D)
�29
E)
�31
B
y
A
x
7
Programa Entrenamiento - Matemática
10. En la figura, PBCN y PBAM son rectángulos tales que los puntos M, B y N están en los ejes
coordenados y P está en el origen. Si las coordenadas de los puntos A y C son (4, 3, 0) y (0, 3, 5),
respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
z
I)
AC = �41
II)
NB = �34
A)
B)
C)
D)
E)
C
N
PA ≅ BC
III)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
P
M
B
y
A
x
11.Sean A(1, – 2, u) y B(– 1, 2, – 3) dos puntos en el espacio, tal que u es un número real positivo.
¿Para qué valor de u el segmento AB mide 6?
A)1
B)3
C)4
D)7
E)9
12. Sean los cuatro puntos A(a, a, 0), B(2a, a, 0), C(a, 2a, 0) y D(a, a, a) en el espacio, tal que a es
un número real positivo. Si A, B, C y D son los únicos vértices de un cuerpo geométrico, entonces
el volumen de dicho cuerpo es
a3
a3
A) D)
6
2
a3
B) 4
E) a3
a3
C)
3
13. Sea el segmento AB en el espacio, tal que A(9, – 3, 6) y B(3, – 6, – 9). Si AB es la diagonal de un
cubo, entonces el área de dicho cubo, en unidades cuadradas, es
8
A)168
B)252
C)360
D)540
E)720
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
14. El cubo de la figura tiene vértices A, B, C, D, E, F, G y H. Si AE = 5 cm, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es FALSA?
H
A)
BG = 5�2 cm
EH ⊥ GH
B)
G
F
E
C)
BH = 5�3 cm
D)
AD // FG
E)
El triángulo BGH es isósceles.
D
C
B
A
15. En la figura, A, B y C son vértices del cubo, D está en AC y E está en BC . Si AC ⊥ DE y CE = 6 cm,
¿cuánto mide DE ?
C
A)2�3 cm
B)3�2 cm
C)6�2 cm
D
E
D)6�3 cm
E)
Faltan datos para determinarlo.
A
B
16. En la figura, P, Q, R y S son vértices del cubo cuya arista mide 4 cm. Si PS y QR se intersectan
en el punto A, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo PAQ?
A)
S
8 cm
B)
(4 + 4�2) cm
R
C)
(4 + 2�2 + 2�3) cm
A
D)
(4 + 4�3) cm
E)
Q
12 cm
P
17. En la figura se muestra un cubo de arista 10. Si A, B, P y Q son vértices del cubo y C es el punto
medio de PQ, entonces el área del triángulo ABC, en unidades cuadradas, es
P
A)100�3
C
Q
B)100�2
C)
50�3
D)
50�2
E)
25�3
A
B
9
Programa Entrenamiento - Matemática
18. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación (– 5, 8, 3) + t • (– 2, – 1, 4), con
t en los reales?
A)
B)
C)
D)
E)
(1, 22, 5)
(– 4, 15, 1)
(7, 4, 27)
(– 9, 12, 11)
(– 1, 10, – 5)
19.Si t varía en los reales, entonces la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa por
los puntos (1, 0, 2) y (– 2, – 1, 1) es
A)
B)
C)
D)
E)
(1, 0, 2) + t • (– 2, – 1, 1)
(– 2, – 1, 1) + t • (– 1, – 1, 3)
(1, 0, 2) + t • (– 3, – 1, – 1)
(– 2, – 1, 1) + t • (3, 1, – 1)
(– 2, – 1, 1) + t • (1, 0, 2)
20. Si la recta L en el espacio pasa por los puntos (– 4, 1, 3) y (1, – 5, 0), ¿cuál es la ecuación continua
de la recta L?
x+4
–y+1 –z+3
=
=
A)
5
6
3
–x+4 y–1
–z+3
B)
=
=
3
4
3
x–4
y–1
z–3
C)
=
=
5
6
3
–x–4
y–1
z+3
D)
=
=
3
4
3
–x–4
y+1
z+3
E)
=
=
5
6
3
21. Si la ecuación continua de una recta en el espacio es – x – 3 =
que se mueve en los reales, entonces su ecuación vectorial es
10
A)
B)
C)
D)
E)
(3, – 1, 0) + t • (1, 2, 3)
(3, – 1, 0) + t • (– 1, – 2, 3)
(3, 1, 0) + t • (– 1, 2, 3)
(– 3, – 1, 0) + t • (1, – 2, – 3)
(– 3, 1, 0) + t • (– 1, 2, – 3)
y–1
–z
=
y t es un número
2
3
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
22. Si el punto (2m, – 3, 1 – m) pertenece al plano P: 5x – 2y + 3z – 4 = 0, ¿cuál es el valor numérico
de m?
A)
1
–5
B)
7
–7
C)
9
D)
2
–9
E)
7
23.Sean P1(2, 1, 1), P2(− 1, 4, 4) y P3(3, 2, − 4) puntos en el espacio. ¿Cuál de las siguientes
ecuaciones representa al plano determinado por P1, P2 y P3?
A)2x + 3y + 2z – 9 = 0
B)2x + 2y + 3z – 9 = 0
C)3x + y + 2z – 9 = 0
D)3x + 2y + z – 9 = 0
E)
x + 3y + 4z – 9 = 0
24. Sean los puntos A(1, 1, 0), B(2, 1, 0), C(2, 1, 1) y D(2, 2, 1) en el espacio. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
AB ≅ CD
II) El segmento CD es paralelo al plano XY.
III) El segmento CB es perpendicular al plano XY.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
11
Programa Entrenamiento - Matemática
25.Si t y λ varían en los números reales, ¿cuál de las siguientes rectas es coincidente con la recta
de ecuación L: (x, y, z) = (0, 2, – 1) + t • (1, – 3 , 2)?
A)(x, y, z) = (– 1, – 5, – 3) + λ • (1, – 3 , 2)
B)(x, y, z) = (– 1, 5, 3) + λ • (1, – 3 , 2)
C)(x, y, z) = (– 1, – 5, 3) + λ • (1, – 3 , 2)
D)(x, y, z) = (– 1, 5, – 3) + λ • (1, – 3 , 2)
E) Todas ellas son coincidentes con L.
26. Sea el plano P: 2x + 6y – 4z + 8 = 0 en el espacio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
El plano M: x + 3y – 2z + 4 = 0 es coincidente con P.
El plano Q: x + 3y – 2z + 5 = 0 es paralelo con P.
El punto (3, 1, – 5) pertenece a P.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
27. Sea el triángulo de vértices P(a, 0, 0), Q(0, a, 0) y R(0, 0, b) en el espacio. Se puede determinar
la medida del ángulo RQP si:
∠ PRQ = 80°
(1)
∠ QPR = 50°
(2)
12
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
28. Sean los puntos P(1, m, – n) y Q(0, n, m) en el espacio. Se puede determinar la longitud del
segmento PQ si:
(1)
m+n=6
(2)
m2 + n2 = 22
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
29. En la figura, los vértices del cuadrilátero PQRS se encuentran en cuatro de las aristas del cubo
ABCDHEFG. Se puede afirmar que PQRS es un cuadrado si:
(1)
(2)
El cuadrilátero PQRS es paralelo con la cara ABCD.
El cuadrilátero ABQP es congruente con el cuadrilátero DCRS.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
G
H
E
P
A
F
S
R
Q
D
C
B
30. Sea el plano P de ecuación x – ay + bz + c = 0. Se puede determinar el valor numérico de
(a + b + c) si:
(1)
(2)
El punto (4, 0, – 1) pertenece a P.
El punto (3, – 1, 1) pertenece a P.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
13
Programa Entrenamiento - Matemática

Tabla de corrección
Item
14
Alternativa
Habilidad
1
Comprensión
2
Comprensión
3
Comprensión
4
Comprensión
5
Aplicación
6
Aplicación
7
Aplicación
8
Aplicación
9
Aplicación
10
ASE
11
Aplicación
12
ASE
13
ASE
14
Comprensión
15
ASE
16
ASE
17
ASE
18
ASE
19
Aplicación
20
Aplicación
21
ASE
22
ASE
23
Aplicación
24
ASE
25
Aplicación
26
Aplicación
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
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Mis apuntes
15
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