1. No category

CAPÍTULO 14
Repaso de probabilidad básica
14.1
LEYES DE PROBABILIDAD
La probabilidad tiene que ver con los resultados aleatorios de un experimento. La conjunción de todos los resultados es el espacio de muestreo, y un subconjunto de éste es
un evento. A modo de ilustración, el experimento de lanzar un dado (de 6 caras) produce el espacio de muestreo {1,2,3,4,5,6}. El subconjunto {l,3,5} define el evento de obtener valores impares.
Un experimento también puede ocuparse de un espacio de muestreo continuo.
Por ejemplo, el tiempo entre las fallas de un componente electrónico puede asumir
cualquier valor no negativo.
Si un evento E ocurre m veces en un experimento de n ensayos, entonces la probabilidad de realizar el evento E se define como
m
P{E} = lím
n:q n
La definición dice que cuando el experimento se repite un número infinito de veces
(n S q), la probabilidad de realizar un evento es m/n. Por ejemplo, cuantas más veces se
lanza una moneda equilibrada, más se acercará la estimación de P{cara} (o P{cruz}) al
valor teórico de 0.5.
Por definición,
0 … P{E} … 1
Un evento E es imposible si P{E} 5 0, y seguro si P{E} 5 1. Por ejemplo, en el experimento del dado de 6 caras, obtener un siete es imposible, pero obtener un número en el
rango de 1 a 6 es seguro.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.1A
*1. En una encuesta dirigida en las preparatorias del estado de Arkansas para estudiar la correlación entre las calificaciones de matemáticas de estudiantes del último año y la ins489
www.FreeLibros.com
490
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
cripción en carreras de ingeniería, 400 de 1000 estudiantes encuestados han estudiado
matemáticas. La inscripción en carreras de ingeniería muestra que, de los 1000 estudiantes de último año, 150 han llevado matemáticas y 29 no. Determine las probabilidades de
los siguientes eventos:
(a) Un estudiante que llevó matemáticas se inscribe (o no) en una carrera de ingeniería.
(b) Un estudiante que ni llevó matemáticas ni se inscribe en una carrera de ingeniería.
(c) Un estudiante que no está en una carrera de ingeniería.
*2. Considere una reunión aleatoria de n personas. Determine el número n mínimo de modo
que sea más probable que dos personas hayan nacido el mismo día. (Sugerencia: Asuma que
no hay años bisiestos y que todos los días del año tienen la misma probabilidad de ser el
cumpleaños de una persona.)
*3. Solucione el problema 2 suponiendo que dos o más personas comparten su cumpleaños.
14.1.1 Ley de la adición de probabilidad
La unión de dos eventos E y F es E 1 F o E ª F, y su intersección es EF o E º F. Los
eventos E y F son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro, P{EF} 5 0. Basada en estas definiciones, la ley de adición de probabilidad
puede formularse como
P{E + F} = e
P{E} + P{F},
P{E} + P{F} - P{EF},
E y F son mutuamente excluyentes
de lo contrario
Ejemplo 14.1-1
Considere el experimento de lanzar un dado. El espacio de muestreo del experimento es
{1,2,3,4,5,6}. Para un dado equilibrado, tenemos
P{1} = P{2} = P{3} = P{4} = P{5} = P{6} =
1
6
Defina
E = {1, 2, 3, o 4}
F = {3, 4, o 5}
El evento EF 5 {3 o 4} porque los resultados 3 y 4 son comunes entre E y F. Por lo tanto
P{E} = P{1} + P{2} + P{3} + P{4} =
P{F} = P{3} + P{4} + P{5} =
P{EF} = P{3} + P{4} =
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
=
2
3
1
2
1
3
P{E + F} = P{E} + P{F} - P{EF} =
2
3
+
1
2
-
1
3
=
5
6
Intuitivamente, el resultado tiene sentido porque P{E + F} = P{1, 2, 3, 4, 5} =
5
6.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.1B
1. Se lanza dos veces un dado de 6 caras. Si E y F representan los resultados de los dos lanzamientos, calcule las siguientes probabilidades:
(a) La suma de E y F es 11.
(b) La suma de E y F es par.
www.FreeLibros.com
14.1 Leyes de probabilidad
491
(c) La suma de E y F es impar y mayor que 3.
(d) E es par y menor que 6, y F es impar y mayor que 1.
(e) E es mayor que 2, y F es menor que 4.
(f) E es 4, y la suma de E y F es impar.
2. Se lanzan dos dados de forma independiente, y se registran los dos números que resulten.
Determine lo siguiente:
(a) La probabilidad de que los dos números sean pares.
(b) La probabilidad de que la suma de los dos números sea 10.
(c) La probabilidad de que los dos números difieran en por lo menos 3.
3. Puede lanzar una moneda siete veces. Ganará $100 si aparecen tres cruces antes de que
aparezca una cara. ¿Cuáles son las probabilidades de ganar?
*4. Ann, Jim, John y Nancy se han programado para competir en un torneo de frontenis. Es
dos veces más probable que Ann derrote a Jim, y Jim está al mismo nivel que John. El
pasado registro ganador de Nancy contra John es uno de tres. Determine lo siguiente:
(a) La probabilidad de que Jim gane el torneo.
(b) La probabilidad de que una mujer gane el torneo.
(c) La probabilidad de que ninguna mujer gane.
14.1.2 Ley de probabilidad condicional
Dados los dos eventos E y F con P{F} . 0, la probabilidad condicional de E dado F se
calcula como
P{E|F} =
P{EF}
, P{F} 7 0
P{F}
Si E es un subconjunto de F, entonces P{EF} 5 P{E}. Los dos eventos son independientes si, y sólo si,
P{E|F} = P{E}
En este caso, la ley de probabilidad condicional se reduce a
P{EF} = P{E} P{F}
Ejemplo 14.1-2
Usted participa en un juego en el que otra persona lanza un dado. No puede ver el dado, pero le
informan sobre los resultados. Su tarea es predecir el resultado de cada lanzamiento. Determine
la probabilidad de que el resultado sea 6, dado que le dicen que el resultado fue un número par.
Sea E 5 {6}, y defina F 5 {2,4 o 6} por lo tanto,
P{E|F} =
P{EF}
P{E}
1/6
=
= a
b =
P{F}
P{F}
1/2
Observe que P{EF} 5 P{E} porque E es un subconjunto de F.
www.FreeLibros.com
1
3
492
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.1C
1. En el ejemplo 14.1-2, suponga que le dicen que el resultado es menor que 6.
(a) Determine la probabilidad de obtener un número par.
(b) Determine la probabilidad de obtener un número non mayor que uno.
2. Las acciones de WalMark Stores, Inc. se cotizan en la Bolsa de Valores de Nueva York
bajo el símbolo WMS. Históricamente, el precio de WMS sube con el índice Dow 60% de
las veces, y baja 25% de las veces. Hay también 5% de probabilidades de que WMS suba
cuando el Dow baja, y 10% de que baje cuando el Dow sube.
(a) Determine la probabilidad de que WMS subirá independientemente del Dow.
(b) Encuentre la probabilidad de que WMS suba dado que el Dow suba.
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que WMS baje dado que el Dow baje?
*3. Los graduados de preparatoria con una calificación ACT de al menos 26 pueden buscar
ser admitidos en dos universidades, A y B. La probabilidad de ser aceptados en A es de
.4, y de .25 en B. La probabilidad de ser aceptado en ambas universidades es de sólo 15%.
(a) Determine la probabilidad de que el estudiante sea aceptado en B, dado que también fue aceptado en A.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado en A, dado que el estudiante fue aceptado en B?
4. Demuestre que si la probabilidad P{A|B} 5 P{A}, entonces A y B deben ser independientes.
5. Teorema de Bayes.1 Dados los dos eventos A y B, demuestre que
P{A|B} =
P{B|A}P{A}
, P{B} 7 0
P{B}
6. Un minorista recibe 75% de sus baterías de la fábrica A y 25% de la fábrica B. Se sabe
que el porcentaje de baterías defectuosas producidas por A y B es de 1 y 2%, respectivamente. Un cliente acaba de comprarle una batería al minorista.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la batería resulte defectuosa?
(b) Si la batería resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A? (Sugerencia: Aplique el teorema de Bayes en el problema 5.)
*7. Las estadísticas muestran que 70% de los hombres sufren de alguna forma de cáncer de
próstata. El examen del antígeno prostático específico (PSA, por sus siglas en inglés) resulta positivo 90% de las veces en los hombres afectados, y 10% en hombres sanos. ¿Cuál es la
probabilidad de que un hombre que haya resultado positivo no tenga cáncer de próstata?
14.2
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Los resultados de un experimento pueden ser naturalmente numéricos (por ejemplo
el lanzamiento de un dado), o estar representados por un código (como en el caso del
lanzamiento de una moneda con el resultado cara/cruz codificado como 0/1). La representación numérica de los resultados define lo que se conoce como variable aleatoria.
Una variable aleatoria, x, puede ser discreta (como en el lanzamiento de un
dado) o continua (como en el tiempo para que falle un equipo). Cada variable x aleato-
1
La sección 15.2.2 proporciona más detalles sobre el teorema de Bayes.
www.FreeLibros.com
14.2 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
493
ria continua o discreta puede ser cuantificada por una función de distribución de probabilidad (fdp), f(x) o p(x), que satisface las siguientes condiciones:
Variable aleatoria, x
Característica
Intervalo de aplicabilidad
Condiciones para la fdp
Discreta
Continua
x = a, a + 1, Á , b
a … x … b
b
b
p(x) Ú 0, a p(x) = 1
f(x) Ú 0,
x=a
La
f(x)dx = 1
Una importante medida de probabilidad es la función de distribución acumulada
(FDA), definida como
X
pEx … XF =
P(X) = a p(x),
L F(X)
x discreta
x=a
= 1aXf(x)dx,
x continua
Ejemplo 14.2-1
Considere el experimento de lanzar un dado representado por la variable aleatoria x 5
{1,2,3,4,5,6}. La fdp y la FDA asociadas son
1
, x = 1, 2, Á , 6
6
X
P(X) =
, X = 1, 2, Á , 6
6
p(x) =
La figura 14.1 grafica las dos funciones. La fdp p(x) es una función discreta uniforme porque
todos los valores de las variables aleatorias ocurren con iguales probabilidades.
La contraparte continua de la p(x) uniforme se ilustra mediante el siguiente experimento.
Una aguja de longitud l gira en el centro de un círculo de diámetro l. Después de marcar un
punto de referencia arbitrario en la circunferencia, se hace girar la aguja en el sentido de las ma-
FDA, P(x)
1
FDA y fdp para el lanzamiento
de un dado
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
FIGURA 14.1
fdp, p(x)
1
2
3
4
5
6
x
www.FreeLibros.com
494
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
1
FDA, F(x)
1
pl
FIGURA 14.2
FDA y fdp para una aguja que gira
fdp, f(x)
pl
0
x
necillas del reloj y se mide la distancia de la circunferencia, x, desde el punto marcado hasta el
punto donde se detuvo la aguja. Como cualquier punto de detención sobre la circunferencia
tiene la misma probabilidad de ocurrir, la distribución de x es uniforme en el intervalo 0 # x #
pl con la siguiente fdp:
f(x) =
1
, 0 … x … pl
pl
La FDA asociada, F(X) se calcula como
X
F(X) = P{x … X} =
L0
X
f(x)dx =
L0
X
1
dx =
, 0 … X … pl
pl
pl
La figura 14.2 muestra las gráficas de las dos funciones.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.2A
1. El número de unidades, x, requeridas de un artículo es discreto de 1 a 5. La probabilidad,
p(x), es directamente proporcional al número de unidades requeridas. La constante de
proporcionalidad es K.
(a) Determine la fdp y la FDA de x, y trace la gráfica de las funciones resultantes.
(b) Encuentre la probabilidad de que x sea un valor par.
2. Considere la siguiente función:
f(x) =
k
, 10 … x … 20
x2
*(a) Determine el valor de la constante k que hará que f(x) sea una fdp.
(b) Determine la FDA y encuentre la probabilidad de que x sea (i) mayor que 12 y que
(ii) tenga un valor entre 13 y 15.
*3. La demanda diaria de gasolina sin plomo está uniformemente distribuida entre 750 y
1250 galones. El tanque de 1100 galones se rellena diariamente a medianoche. ¿Cuál es
la probabilidad de que el tanque se vacíe antes de volverlo a rellenar?
www.FreeLibros.com
14.3 Expectativa de una variable aleatoria
14.3
495
EXPECTATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si h(x) es una función real de una variable aleatoria x, el valor esperado de h(x) se
calcula como
b
E E h(x) F =
L
a h(x)p(x),
x=a
b
1a h(x)f(x)dx,
x discreta
x continua
Ejemplo 14.3-1
Durante la primera semana de cada mes pagué todas mis facturas y contesté algunas cartas.
Suelo comprar 20 estampillas de primera clase cada mes para este propósito. En realidad, la cantidad de estampillas que uso varía al azar entre 10 y 24 con iguales probabilidades. Determine el
promedio de estampillas que sobran (es decir, el excedente promedio) por mes.
La fdp de la cantidad de estampillas utilizadas es
p(x) =
1
15
, x = 10, 11, Á , 24.
El número de estampillas sobrantes es
h(x) = e
20-x, x = 10, 11, . . . , 19
0,
de lo contrario
Por lo tanto,
E{h(x)} =
1
15
[(20 - 10) + (20 - 11) + (20 - 12) + Á + (20 - 19)] +
5
15
(0) = 3 23
5
El producto 15
(0) representa el resultado de quedarse sin estampillas lo que corresponde a
la probabilidad de utilizar al menos 20 estampillas; es decir,
1
P{x Ú 20} = p1202 + p1212 + p1222 + p1232 + p1242 = 5115
2 =
5
15
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.3A
1. En el ejemplo 14.3-1, calcule el faltante promedio de estampillas por mes. (Sugerencia:
Puede haber un faltante si necesita más de 20 estampillas.)
2. Los resultados del ejemplo 14.3-1 y del problema 1 muestran promedios positivos tanto
del exceso como de la falta de estampillas. ¿Son inconsistentes estos resultados?
Explique.
*3. El propietario de un puesto de periódicos recibe 50 ejemplares del periódico Al Ahram
cada mañana. La cantidad de ejemplares vendidos, x, varía al azar de acuerdo con la
siguiente distribución de probabilidad:
p(x) =
L
1
45 , x
1
30 , x
1
33 , x
= 35, 36, . . . , 49
= 50, 51, . . . , 59
= 60, 61, . . . , 70
(a) Determine la probabilidad de que el propietario venda todos los ejemplares.
(b) Determine el número esperado de ejemplares no vendidos por día.
(c) Un ejemplar cuesta 50 centavos y se vende a $1.00. Determine el ingreso neto esperado por día.
www.FreeLibros.com
496
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
14.3.1 Media y varianza (desviación estándar) de una variable aleatoria
El valor medio E{x} mide la tendencia central (o suma ponderada) de la variable aleatoria x. La varianza var{x} mide la dispersión o desviación de x alrededor de su valor
medio. Su raíz cuadrada se conoce como desviación estándar de x, Desv.Est.{x}. Una
desviación estándar grande implica una alta incertidumbre.
Las fórmulas para la media y la varianza de derivan a partir de la definición general de E{h(x)} en la sección 14.3 al sustituir h(x) 5 x para obtener E{x} y sustituir
h(x) 5 (x 2 E{x})2 para obtener var{x}; es decir,
b
E(x) = L
var{x} = L
a xp(x),
x=a
b
1a xf(x)dx,
x discreta
x continua
b
2
a (x - E{x}) p(x),
x=a
b
1a (x
- E{x})2 f(x)dx,
x discreta
x continua
Desv.Est.{x} = 3var{x}
Ejemplo 14.3-2
Calculamos la media y la varianza para cada uno de los experimentos del ejemplo 14-2-1.
Caso 1 (Lanzamiento de un dado) La fdp es p(x) 5 1/6, x 5 1, 2,…, 6. Por lo tanto,
E{x} = 1 A 16 B + 2 A 16 B + 3 A 16 B + 4 A 16 B + 5 A 16 B + 6 A 16 B = 3.5
var{x} =
A 16 B E 11 - 3.522 + 12 - 3.522 + 13 - 3.522 + 14 - 3.522
+ (5 - 3.5)2 + (6 - 3.5)2 F = 2.917
Desv.Est.(x) = 12.917 = 1.708
Caso 2 (Rotación de la aguja) Suponga que la longitud de la aguja es de una pulgada. Entonces,
f(x) =
1
,
3.14
0 … x … 3.14
La media y la varianza son
3.14
E(x) =
1
x13.14
2 dx = 1.57 pulg.
L0
3.14
var(x) =
L0
1x - 1.5722
1
A 3.14
B dx = .822 pulg.2
Desv.Est.(x) = 1.822 = .906 pulg.
www.FreeLibros.com
14.3 Expectativa de una variable aleatoria
497
Momento de Excel
La plantilla excelStatTables.xls calcula la media, la desviación estándar, las probabilidades, y los
percentiles para 16 fdp comunes, incluidas las distribuciones uniformes continuas. El uso de la
hoja de cálculo es autoexplicativo.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.3B
*1. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria definida en el problema 1, conjunto 14.2a.
2. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria del problema 2, conjunto 14.2a.
3. Demuestre que la media y la varianza de una variable aleatoria uniforme x, a # x # b, son
E{x} =
var{x} =
b + a
2
(b - a)2
12
4. Si f(x), a # x # b es una fdp, demuestre que
var{x} = E{x2} - 1E{x}22
5. Si f(x), a # x # b es una fdp, y y 5 cx 1 d, donde c y d son constantes, demuestre que
E{y} = cE{x} + d
var{y} = c2 var{x}
14.3.2 Variables aleatorias conjuntas
Considere las dos variables aleatorias continuas x1 y x2, donde a1 # x1 # b1 y a1 # x2 #
b2. Defina f(x1, x2) como la fdp conjunta de x1 y x2 y f1(x1) y f2(x2) como sus respectivas
fdp marginales. Entonces
f1x1, x22 Ú 0, a1 … x1 … b1, a2 … x2 … b2
b1
La1
b2
dx1
La2
f11x12 =
f21x22 =
dx2 f1x1, x22 = 1
b2
La2
f1x1, x22 dx2
b1
La1
f1x1, x22 dx1
f1x1, x22 = f11x12f21x22, si x1 y x2 son independientes
Las mismas fórmulas aplican a las fdp discretas, al reemplazar la integración con la suma.
www.FreeLibros.com
498
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
En el caso especial y 5 c1x1 1 c2x2, donde las variables aleatorias x1 y x2 están
conjuntamente distribuidas de acuerdo con la fdp f(x1, x2), podemos demostrar que
E{c1x1 + c2x2} = c1E{x1} + c2E{x2}
var {c1x1 + c2x2} = c21var {x1} + c22var {x2} + 2c1c2cov {x1, x2}
donde
cov {x1, x2} = E{1x1 - E{x1}21x2 - E{x2}2
= E1x1x2 - x1E{x2} - x2E{x1} + E{x1}E{x2}2
= E{x1x2} - E{x1}E{x2}
Si x1 y x2 son independiente, entonces E{x1x2} 5 E{x1}E{x2} y cov {x1, x2) 5 0. Lo contrario no es cierto, en el sentido de que dos variables dependientes puedan tener covarianza cero.
Ejemplo 14.3-3
Un lote incluye cuatro artículos defectuosos (D) y seis buenos (G). Se selecciona un artículo al
azar y se examina. Luego se selecciona un segundo artículo de entre los nueve artículos restantes y se examina. Sean x1 y x2 que representen los resultados de la primera y segunda selecciones.
(a)
Determine las fdp conjuntas y marginales de x1 y x2.
(b) Suponga que un artículo bueno reditúa un ingreso neto de $5 y uno defectuoso
representa una pérdida de $6. Determine la media y la varianza del ingreso después examinar los dos artículos.
Sea p(x1, x2) la fdp conjunta de x1 y x2, y definimos a p1(x1) y p2(x2) como las fdp marginales. Primero, determinamos p1(x1) como
p11G2 =
6
10
= .6, p11D2 =
4
10
= .4
Luego, sabemos que el segundo resultado x2 depende del primer resultado x1. Por consiguiente,
para determinar p2(x2), primero determinamos la fdp conjunta p(x1, x2) (aplicando la fórmula
P{AB} 5 P{A|B}P{B} en la sección 14.1.2), a partir de la cual podemos determinar la distribución
marginal p2(x2). Por lo tanto,
P{x2 = G|x1 = G} =
5
9
P{x2 = G|x1 = B} =
6
9
P{x2 = B|x1 = G} =
4
9
P{x2 = B|x1 = B} =
3
9
Luego,
p{x2 = G, x1 = G} =
5
9
*
6
10
=
5
15
p{x2 = G, x1 = B} =
6
9
*
4
10
=
4
15
p{x2 = B, x1 = G} =
4
9
*
6
10
=
4
15
p{x2 = B, x1 = B} =
3
9
*
4
10
=
2
15
www.FreeLibros.com
14.3 Expectativa de una variable aleatoria
499
El ingreso esperado se determina con la distribución conjunta reconociendo que G produce
$5 y B produce 2$6. Por lo tanto,
5
4
4
2
+ 15 - 62 15
+ 1- 6 + 52 15
+ 1- 6 - 62 15
= $1.20
Ingreso esperado = 15 + 52 15
El mismo resultado puede determinarse reconociendo que el ingreso esperado de ambas selecciones es la suma del ingreso esperado de cada selección individual (aun cuando las dos variables no son independientes). Estos cálculos requieren determinar las distribuciones marginales p1(x1) y p2(x2).
Una forma conveniente de determinar las distribuciones marginales es presentar la distribución conjunta, p(x1, x2), como una tabla y luego agregar las columnas y filas correspondientes
para determinar p(x1)y p(x2), respectivamente. Por lo tanto,
x2 = G
x2 = B
x1 = G
5
15
4
15
9
15
= .6
x1 = B
4
15
2
15
6
15
= .4
p2(x2)
9
15
= .6
6
15
p1(x1)
= .4
Ahora, las distribuciones marginales determinan el ingreso esperado como
Ingreso esperado 5 Ingreso esperado de la selección 1 1 Ingreso esperado de la selección 2
= (5 * .6 - 6 * .4) + (5 * .6 - 6 * .4) = $1.20
Para calcular la varianza del ingreso total observamos que
var{ingreso} 5 var{ingreso1} 1 var{ingreso2} 1 2cov{ingreso1, ingreso2}
Ya que p1(x1) 5 p2(x2), var{ingreso1} 5 var{ingreso2}. Para calcular la varianza, utilizamos
la siguiente fórmula (vea el problema 4, conjunto 14.3b)
var{x} = E{x2} - 1E{x}22
Por lo tanto,
var{ingreso1} = [52 * .6 + ( - 6)2 * .4] - .62 = 29.04
Luego calculamos la covarianza aplicando la fórmula
cov{x1, x2) = E{x1x2} - E{x1}E{x2}
El término E{xlx2} se calcula a partir de la fdp conjunta de x1 y x2 como
5
4
4
Convarianza = [(5 * 5)1 15
2 + (5 * -6)1 15
2 + ( -6 * 5)1 15
2
2
+ ( - 6 * -6)1 15
2] -.6 * .6 = -3.23
Por lo tanto,
Varianza = 29.04 + 29.04 + 2( -3.23) = 51.62
www.FreeLibros.com
500
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.3C
1. La fdp conjunta de x1 y x2 es
p(x1, x2) =
*(a)
*(b)
(c)
(d)
(e)
14.4
x2 = 3
x2 = 5
x2 = 7
x1 = 1
.2
0
.2
x1 = 2
0
.2
0
x1 = 3
.2
0
.2
Determine las fdp marginales p1(x1) y p2(x2)
¿x1 y x2 son independientes?
Calcule E{x1 1 x2}.
Calcule cov{x1,x2}.
Calcule var{5x1 2 6x2}.
CUATRO DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMUNES
En las secciones 14.2 y 14.3 analizamos la distribución uniforme (discreta y continua).
Esta sección presenta cuatro fdp adicionales que a menudo se presentan en estudios de
investigación de operaciones: binomial discreta y de Poisson, y exponencial continua y
normal.
14.4.1 Distribución binomial
Un fabricante produce un artículo en lotes de n artículos cada uno. La fracción de artículos defectuosos, p, en cada lote se estima a partir de datos históricos. Nos interesa
determinar la fdp de la cantidad de artículos defectuosos en un lote.
Hay C nx = x!(nn!- x)! combinaciones distintas de x artículos defectuosos en un lote
de tamaño n, y la probabilidad de realizar cada combinación es px(1 2 p)n-x. Por lo
tanto, de acuerdo con la ley de la adición (sección 14.1.1), la probabilidad de k artículos defectuosos en un lote de n artículos es
P{x = k} = C nk pk(1 - p)n - k, k = 0, 1, 2, Á , n
Ésta es la distribución binomial con parámetros n y p. Su media y varianza son
E{x} = np
var{x} = np(1 - p)
Ejemplo 14.4-1
Las labores diarias de John Doe requieren hacer 10 viajes redondos por automóvil entre dos ciudades. Una vez que realiza los 10 viajes, el señor Doe puede descansar el resto del día, una motivación suficientemente buena para exceder el límite de velocidad. La experiencia muestra que
hay 40% de probabilidad de ser multado por exceso de velocidad en cualquier viaje redondo.
www.FreeLibros.com
14.4 Cuatro distribuciones de probabilidad comunes
(a)
501
¿Cuál es la probabilidad de que el día termine sin una multa por exceso de velocidad?
(b) Si cada multa por exceso de velocidad es de $80, ¿cuál es la multa diaria promedio?
La probabilidad de ser multado en cualquier viaje es p 5 .4. Por lo tanto, la probabilidad de
no ser multado en cualquier día es
0
10
P{x = 0} = C 10
= .006
0 (.4) (.6)
Esto significa que la probabilidad de terminar el día sin ser multado es menor que 1%.
La multa promedio por día es
Multa promedio = $80 E{x} = $80 (np) = 80 * 10 * .4 = $320
Comentarios. P{x 5 0} puede calcularse con excelStatTables.xls. Ingrese 10 en F7, .4 en G7, y 0
en J7. La respuesta es P{x 5 0} 5 .006047, aparece en M7.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.4A
*1. Se lanza un dado 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el dado lanzado no muestre
un número par?
2. Suponga que se lanzan cinco monedas de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad
de que exactamente una de las monedas sea diferente de las demás?
*3. Un adivino de la suerte afirma que puede predecir si una persona amasará riqueza financiera a lo largo de su vida al examinar su escritura. Para verificar su afirmación, a 10 millonarios y a 10 profesores universitarios se les pidió que proporcionaran muestras de su
escritura, las cuales luego se emparejaron, un millonario y un profesor, y se le presentaron al adivino de la suerte. Decimos que la afirmación es cierta si el adivino hace al
menos ocho predicciones correctas. ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación sea un
“fiasco”.
4. En un casino hay un juego que consiste en seleccionar un número del 1 al 6 antes de que
el operador lance 3 dados al mismo tiempo. El casino paga tantos dólares cuantos números de los dados resulten iguales a su selección. Si no hay ninguna coincidencia, usted
sólo le paga $1 al casino. Determine su ganancia esperada a largo plazo.
5. Suponga que lanza dos dados al mismo tiempo. Si coinciden recibe 50 centavos. De lo
contrario, paga 10 centavos. Determine la ganancia esperada del juego.
6. Compruebe las fórmulas de la media y la varianza de la distribución binomial.
14.4.2 Distribución de Poisson
Los clientes llegan a un banco o a una tienda de abarrotes de una forma “totalmente
aleatoria”; es decir, las horas de llegada no pueden predecirse con anticipación. La fdp
que describe el número de llegadas durante un lapso de tiempo específico es la distribución de Poisson.
Sea x el número de eventos (por ejemplo, llegadas) que ocurren durante un lapso
de tiempo específico (a saber, un minuto, o una hora). Dado que l es una constante conocida, la función de densidad de probabilidad de Poisson se define como
P{x = k} =
lke -l
, k = 0, 1, 2, Á
k!
www.FreeLibros.com
502
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
La media y la varianza de la distribución de Poisson son
E{x} = l
var{x} = l
La fórmula de la media revela que l debe representar la tasa a que ocurren los eventos.
La distribución de Poisson destaca en el estudio de colas (vea el capítulo 18).
Ejemplo 14.4-2
A un taller de reparación de motores pequeños llegan trabajos de reparación a razón de 10 por día.
(a)
¿Cuál es el número promedio de trabajos que se reciben a diario en el taller?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen trabajos durante cualquier hora, suponiendo que el taller está abierto 8 horas al día?
El número promedio de trabajos recibidos por día es igual a l 5 10 trabajos por día. Para
calcular la probabilidad de que lleguen trabajos por hora, tenemos que calcular la tasa de llegadas por hora; es decir, lhora = 10
8 = 1.25 trabajos de reparación por hora. Por lo tanto.
P{no hay llegadas por hora} =
=
(lhora)0 e-lhora
0!
1.250 e -1.25
= .2865
0!
Comentario. La probabilidad anterior se puede calcular con excelStatTables.xls. Ingrese 1.25
en F16 y 0 en J16. La respuesta .286505 aparece en M16.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.4B
*1. De acuerdo con la distribución de Poisson, los clientes llegan a una instalación de servicio
a razón de 4 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en
cualquier intervalo dado de 30 segundos?
2. La distribución de Poisson con el parámetro l se aproxima a la distribución binomial con
parámetros (n, p) cuando n S q, p S 0 y np S l. Demuestre este resultado para la situación en la que sabe que un lote fabricado contiene 1% de artículos defectuosos. Si se
toma una muestra de 10 artículos del lote, calcule la probabilidad de que en la muestra
haya cuando mucho un artículo defectuoso, primero por medio de la distribución binomial (exacta) y luego por medio de la distribución de Poisson (aproximada). Demuestre
que la aproximación no será aceptable si el valor de p se incrementa a, digamos, 0.5.
*3. A una recepción llegan clientes al azar a una razón promedio de 20 por hora.
(a) Determine la probabilidad de que la recepción esté ociosa.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas hagan cola en espera de ser
atendidas?
4. Compruebe las fórmulas de la media y la varianza de la distribución de Poisson.
www.FreeLibros.com
14.4 Cuatro distribuciones de probabilidad comunes
503
f (x)
l
f (x) l el x
FIGURA 14.3
Función de densidad de probabilidad de la
distribución exponencial
x
14.4.3 Distribución exponencial negativa
Si el número de llegadas a una instalación de servicio durante un lapso de tiempo específico sigue la distribución de Poisson (sección 14.4.2), entonces, automáticamente, la
distribución del tiempo entre llegadas (es decir, entre llegadas sucesivas) es la distribución exponencial negativa (o, simplemente exponencial). Específicamente, si l es la
tasa de ocurrencia de las llegadas de Poisson, entonces la distribución del tiempo entre
llegadas, x, es
f(x) = le -lx,x 7 0
La figura 14.3 muestra la gráfica de f(x).
La media y la varianza de la distribución exponencial son
1
l
1
var{x} =
l
E{x} =
La media E{x} es consistente con la definición de l. Si l es la tasa a la cual ocurren los
eventos, entonces l1 es el intervalo de tiempo promedio entre eventos sucesivos.
Ejemplo 14.4-3
Los automóviles llegan al azar a una gasolinera. El tiempo promedio entre llegadas es de 2 minutos. Determine la probabilidad de que el tiempo entre llegadas no exceda de 1 minuto.
La determinación de la probabilidad deseada es igual a la de calcular la FDA de x; es decir,
A
P{x … A} =
L0
le -lxdx
= - e -lx|A
o
= 1 - e -lA
La tasa de llegadas para el ejemplo es l =
babilidad deseada es
1
2
llegadas por minuto. Si sustituimos A 5 1, la pro1
P{x … 1} = 1 - e -( 2 )(1) = .3934
www.FreeLibros.com
504
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
Comentarios. Puede utilizar la plantilla excelStatTables.xls para calcular la probabilidad anterior. Ingrese .5 en F9, 1 en J9. La respuesta (5 .393468) aparece en O9.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.4C
*1. Los clientes que compran en Walmark Store son tanto urbanos como suburbanos. Los
clientes urbanos llegan a razón de 5 por minuto y los suburbanos llegan a razón de 7 por
minuto. Las llegadas son totalmente aleatorias. Determine la probabilidad de que el
tiempo entre llegadas de todos los clientes sea menor que 5 segundos.
2. Compruebe las fórmulas de la media y la varianza de la distribución exponencial.
14.4.4 Distribución normal
La distribución normal describe muchos fenómenos aleatorios de la vida diaria, como
las calificaciones de exámenes y el peso y la estatura de las personas. La fdp de la distribución normal es
f(x) =
1
e- 2 1
1
22ps
2
x-m 2
s 2
, - q 6 x 6 q
La media y la varianza son
E{x} = m
var{x} = s2
La notación N(m, s) se suele utilizar para representar una distribución normal con
media m y desviación estándar s.
La figura 14.4 muestra las gráficas de la fdp normal. La función siempre es simétrica alrededor de la media m.
Una propiedad importante de la variable aleatoria normal es que representa de
forma aproximada la distribución del promedio de una muestra tomada de cualquier
distribución. Este notable resultado se basa en el teorema siguiente:
Teorema del límite central. Sean x1, x2,… y xn variables aleatorias independientes
e idénticamente distribuidas, cada una con media m y desviación estándar s, y se definan
sn = x1 + x2 + Á + xn
FIGURA 14.4
f (x)
Función de densidad de probabilidad
de la variable aleatoria normal
f (x) m
www.FreeLibros.com
1 1
e 2
ps
2 2
x
xm
s
2
14.4 Cuatro distribuciones de probabilidad comunes
505
La distribución de sn es asintóticamente normal con media nµ y varianza ns2, independientemente de la distribución original de x1, x2,…, y xn.
Un caso especial del teorema del límite central tiene que ver con la distribución
de la media de una muestra de tamaño n (tomada de cualquier
distribución). El pro2
medio es asintóticamente normal con media m y varianza sn . Este resultado tiene importantes aplicaciones en el control de calidad estadístico.
La FDA de la variable aleatoria normal no puede determinarse en una forma cerrada. La tabla A.1 en el apéndice A da las probabilidades de N(0, 1), la distribución
normal estándar con media cero y desviación estándar 1. En general, una variable aleatoria normal x con media m y desviación estándar s puede convertirse en normal
estándar z mediante la transformación
z =
x - m
s
Más de 99% del área bajo cualquier función de densidad normal se encuentra encerrada en el intervalo m 2 3s # x # m 1 3s, también conocido como límites 6 sigma.
Ejemplo 14.4-4
El diámetro interno de un cilindro tiene la especificación 1 6 .03 cm. El resultado del proceso de
maquinado que produce el cilindro sigue una distribución normal con media de 1 cm y desviación
estándar de .1 cm. Determine el porcentaje de la producción que satisfará las especificaciones.
Definiendo x como el parámetro interno del cilindro, la probabilidad de que satisfaga las especificaciones es
P{1 - .03 … x … 1 + .03} = P{.97 … x … 1.03}
Esta probabilidad se calcula por medio de la normal estándar (tabla A.1 en el apéndice A). Dado
que m 5 1 y s 5 .1, tenemos
P{.97 … x … 1.03} = P{.97 .1-
1
… z …
1.03 - 1
.1
}
= P{-.3 … z … .3}
= P{z … .3} - P{z … - .3}
= P{z … .3} - P{z Ú .3}
= P{z … .3} - [1 - P{z … .3}]
= 2P{z … .3} - 1
= 2 * .6179 - 1
= .2358
Observe que P{z # 2 .3} 5 1 – P{z # .3} debido a la simetría de la fdp, como se muestra en la figura 14.5. La probabilidad acumulada P{z # .3}(5 .6179) se obtiene con la tabla normal estándar
(tabla A.1 en el apéndice A) como la entrada designada con la fila z 5 0.3 y la columna z 5 0.00.
Comentario. P{.97 # x # 1.03} puede calcularse directamente desde excelStatTablesxls. Ingrese
1 en F15, .1 en G15, .97 en J15 y 1.03 en K15. La respuesta (5 .235823) aparece en Q15.
www.FreeLibros.com
506
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
f (z)
FIGURA 14.5
Cálculo de P{2.3 # z # .3} en una distribución
normal estándar
.3 0 .3
z
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.4D
1. La facultad de ingeniería de la Universidad de Arkansas requiere una calificación ACT
mínima de 26. Las calificaciones de examen entre estudiantes del último año de preparatoria en un distrito escolar dado, por lo común se distribuyen con media de 22 y desviación estándar de 2.
(a) Determine el porcentaje de estudiantes de último año de la preparatoria que son
reclutas potenciales de carreras de ingeniería.
(b) Si la Universidad de Arkansas no acepta a cualquier estudiante con una calificación
ACT menor que 17, ¿qué porcentaje de estudiantes no será elegible para admisión
en la Universidad de Arkansas?
*2. Los pesos de personas que quieren hacer un paseo en helicóptero en un parque de diversiones tienen una media de 180 lb y una desviación estándar de 15 lb. El helicóptero
puede llevar a 5 personas, pero su capacidad de peso máxima es de 1000 lb. ¿Cuál es la
probabilidad de que el helicóptero no despegue con cinco personas a bordo?
(Sugerencia: Aplique el teorema del límite central.)
3. Por lo común, el diámetro interno de un cilindro está distribuido con una media de 1 cm
y una desviación estándar de .01 cm. En el interior de cada cilindro se ensambla una
barra sólida. El diámetro de la barra también suele distribuirse con una media de .99 cm
y una desviación estándar de .01 cm. Determine el porcentaje de pares de cilindro-barra
que no podrán ser ensamblados. (Sugerencia: La diferencia entre dos variables aleatorias
normales también es normal.)
14.5
DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS
Las secciones precedentes abordaron las fdp y las FDA de cinco distribuciones comunes: uniforme, binomial, de Poisson, exponencial y normal. ¿Cómo se reconocen estas
distribuciones en la práctica?
La base para identificar cualquier fdp son los datos sin procesar que reunimos
sobre la situación que estamos estudiando. Esta sección muestra cómo los datos muestreados pueden convertirse en una fdp.
Paso 1. Resuma los datos sin procesar en la forma de un histograma de frecuencia
apropiado para determinar la fdp empírica asociada.
Paso 2. Use la prueba de bondad de ajuste para evaluar si la fdp empírica resultante
se muestrea a partir de una fdp teórica conocida.
Histograma de frecuencias. Este histograma se construye con datos sin procesar
dividiendo el rango de éstos (valor mínimo a valor máximo) en clases que no se
traslapan. La frecuencia en cada clase es la cuenta de los valores de los datos sin
procesar que quedan comprendidos dentro de los límites designados de la clase.
www.FreeLibros.com
14.5 Distribuciones empíricas
507
Ejemplo 14.5-1
Los siguientes datos representan el tiempo de servicio (en minutos) en una instalación de servicio de una muestra de 60 clientes.
.7
1.5
2.7
.7
9.6
8.7
.4
2.4
.4
1.6
1.9
2.4
3.4
3.4
2.2
5.2
9.1
7.2
4.8
6.4
2.4
.6
1.3
1.5
2.0
3.7
.5
.9
10.6
7.9
1.0
4.8
1.7
3.9
3.0
11.7
5.5
2.5
9.3
3.3
.3
6.3
6.2
5.5
8.0
.2
2.9
3.8
1.2
.3
4.7
.2
2.9
6.9
4.4
8.7
5.9
4.9
4.8
5.3
Los valores mínimo y máximo de los datos son 2 y 11.7, respectivamente. Esto significa que
la muestra está cubierta por el rango (0, 12). Dividimos arbitrariamente el rango (0, 12) en 12 clases, cada una de 1 minuto de ancho. La selección apropiada del ancho de la clase es crucial para
revelar la forma de la distribución empírica. Aun cuando no haya reglas exactas para determinar
el ancho de clase óptimo, una regla práctica es utilizar de 10 a 20 clases. En la práctica puede ser
necesario probar diferentes anchos de clase antes de decidir sobre un histograma aceptable.
La siguiente tabla resume la información en forma de histograma de la muestra dada. La columna de frecuencias relativas fi, se calcula dividiendo las entradas de la columna de frecuencias
observadas oi en el total de observaciones (n 5 60). Por ejemplo, f1 = 11
60 = .1833. La columna
de frecuencias acumuladas Fi, se genera al sumar los valores de fi de manera recursiva. Por ejemplo, F1 5 f1 5 .1833 y F2 5 F1 1 f2 5 .1833 1 .1333 5 .3166.
i
Intervalo
de clase
Cuenta de
observaciones
Frecuencia
observada, oi
1
2
(0, 1)
(1, 2)
|||| |||| |
|||| |||
3
(2, 3)
||||
4
5
6
(3, 4)
(4, 5)
(5, 6)
||||
|||| ||
|||| |
||||
(6, 7)
(7, 8)
(8, 9)
(9, 10)
(10, 11)
(11, 12)
||||
||
|||
|||
|
|
7
8
9
10
11
12
Totales
Frecuencia
relativa, fi
Frecuencia relativa
acumulada, Fi
11
8
.1833
.1333
.1833
.3166
9
7
6
.1500
.1167
.1000
.4666
.5833
.6833
5
4
2
3
3
1
1
.0833
.0667
.0333
.0500
.0500
.0167
.0167
.7666
.8333
.8666
.9166
.9666
.9833
1.0000
60
1.0000
\
Los valores de fi y Fi proporcionan una versión “discretizada” de la fdp y la FDA en el tiempo de servicio. Podemos convertir la FDA resultante en una función continua si unimos los puntos resultantes con segmentos de línea. La figura 14.6 proporciona la fdp empírica y la FDA para
el ejemplo. La FDA, como la presenta el histograma, aparece definida en los puntos medios de
las clases.
www.FreeLibros.com
508
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
1.0
FDA
0.8
0.6
0.4
0.2
fdp
FIGURA 14.6
FDA lineal de una distribución
empírica
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12
t (minutos)
Ahora podemos estimar la media, qt , y la varianza, s2t , de la distribución empírica. Sea N el
número de clases en el histograma y se defina qti como el punto medio de la clase i, entonces
N
qt = a fiqti
i=1
N
s2t = a fi1tqi - qt 22
i=1
Aplicando estas fórmulas al ejemplo presente, obtenemos
qt = .1833 * .5 + .133 * 1.5 + Á + 11.5 * .0167 = 3.934 minutos
s2t = .1883 * 1.5 - 3.93422 + .1333 * 11.5 - 3.93422 + Á
+ .0167 * 111.5 - 3.93422 = 8.646 minutos2
Momento de Excel
Los histogramas se pueden construir de manera muy cómoda si utilizamos Excel. Seleccione
Data Analysis Q Histogram , luego ingrese los datos pertinentes en el cuadro de diálogo.
La herramienta Histogram en Excel no produce la media y la desviación estándar directamente como parte de los resultados.2 Puede utilizar la plantilla Excel excelMeanVar.xls para
calcular la media, la varianza, el máximo y el mínimo de la muestra. Incluso, Excel permite utilizar la herramienta Histogram.
2
Data Análisis en Excel proporciona una herramienta aparte llamada Descriptive Statistics, la cual puede
usarse para calcular la media y la varianza (¡y también los volúmenes de otras estadísticas que quizá nunca
utilice!).
www.FreeLibros.com
14.5 Distribuciones empíricas
509
Prueba de bondad de ajuste. Esta prueba evalúa si la muestra utilizada para
determinar la distribución empírica se tomó de una distribución teórica específica.
Puede realizarse una evaluación inicial de los datos comparando la FDA empírica con
la FDA de la distribución teórica propuesta. Si las dos FDA no se desvían “en exceso”,
entonces es probable que la muestra se tomó de la distribución teórica propuesta. Esta
“corazonada” inicial puede respaldarse aún más con la prueba de bondad de ajuste. El
siguiente ejemplo proporciona los detalles del procedimiento propuesto.
Ejemplo 14.5-2
Este ejemplo prueba los datos del ejemplo 14.5-1 en cuanto a la hipótesis de una distribución exponencial. La primera tarea es especificar la función que define la distribución teórica. Según el
1
ejemplo 14.5-1, qt = 3.934 minutos. Por consiguiente, l = 3.934
= .2542 servicios por minuto
según la distribución exponencial hipotética (vea la sección 14.4.3), y la fdp y la FDA asociadas
se dan como
f1t2 = .2542e -.2542t, t 7 0
T
F1T2 =
L0
f1t2 dt = 1 - e -.2542T, T 7 0
Podemos utilizar la FDA, F(T), para calcular la FDA teórica para T 5 .5, 1.5,…, y 11.5, y
luego compararla gráficamente con el valor empírico Fi, i 5 1,2,…, 12, calculado en el ejemplo
14.5-1 como se muestra en la figura 14.7. Un examen superficial de las dos gráficas sugiere que la
distribución exponencial puede proporcionar un ajuste razonable por los datos observados.
El siguiente paso es implementar la prueba de bondad de ajuste. Existen dos pruebas como
esa: (1) la prueba de Kolmogrov-Smirnov, y (2) la prueba ji cuadrada. Limitaremos la presentación a la prueba ji cuadrada.
FIGURA 14.7
Comparación de la FDA empírica y la FDA exponencial teórica
Distribución acumulada empírica
1.0
Distribución acumulada exponencial
0
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
t (minutos)
www.FreeLibros.com
8.5
9.5
10.5
11.5
510
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
La prueba ji cuadrada se basa en una medición de la desviación entre las frecuencias empíricas y teóricas. Específicamente, para la clase i, la frecuencia teórica ni correspondiente a la frecuencia observada oi se calcula como
Ii
ni = n
LIi - 1
f1t2dt
= n1F1Ii2 - F1Ii - 122
= 601e -.2542Ii - 1 - e -.2542Ii2
Luego, suponiendo N clases, se calcula una medida de la desviación entre las frecuencias empíricas y observadas como
N
x2 = a
i=1
1oi - ni22
ni
La medida x2 es asintóticamente una función de densidad de probabilidad ji cuadrada con N 2
k 2 1 grados de libertad, donde k es el número de parámetros estimados desde los datos sin procesar y utilizados para definir la distribución teórica.
La hipótesis nula de la prueba que expresa que la muestra observada se toma de la distribución teórica f(t) se acepta si
H: Aceptar f(t) si x2 6 x2N - k - 1, 1 - a
El valor crítico x2N - k - 1, 1 - a se obtiene a partir de tablas ji cuadrada (vea la tabla A.3, apéndice
A) correspondientes a N 2 k 2 1 grados de libertad y a un nivel de significancia a.
Los cálculos de la prueba se muestran en la siguiente tabla:
i
Clase
Frecuencia
observada, oi
ni
(0, 1)
(1, 2)
(2, 3)
(3, 4)
5
6
7
8
9
(4, 5)
(5, 6)
(6, 7)
(7, 8)
(8, 9)
6
5 11
4
2f 9
3
4.873
3.781
2.933
2.276
1.766
f 6.975
.588
(9, 10)
(10, 11)
(11, q)
3
1f 5
1
1.370
1.063
3.678
f 6.111
.202
Totales
F
n = 60
13.448
10.435
8.095
6.281
1oi - ni22
1
2
3
4
10
11
12
11
8
9
7
Frecuencia
teórica, ni
F 8.654
n = 60
.453
.570
.100
.083
.636
valor de c2 5 2.623
Como regla práctica, el conteo de frecuencia teórica debe ser al menos de 5. Este requerimiento se suele resolver combinando clases sucesivas hasta que se satisface la regla, como se
muestra en la tabla. El número resultante de clases llega a ser N 5 7. Como estamos estimando
un parámetro a partir de los datos observados (es decir, l), el grado de libertad de la ji cuadrada
www.FreeLibros.com
14.5 Distribuciones empíricas
511
es 7 2 1 2 1 5 5. Si consideramos un nivel de significancia a 5 .05, obtenemos el valor crítico
x25,.05 = 11.07 (utilice la tabla A.3 en el apéndice A, o, en excelStatTables.xls, ingrese 5 en F8 y .05
en L8, y obtenga la respuesta en R8). Ya que el valor de x2 (5 2.623) es menor que el valor crítico, aceptamos la hipótesis de que la muestra de toma de una fdp exponencial.
CONJUNTO DE PROBLEMAS 14.5A
1. Los datos siguientes representan el tiempo entre llegadas (en minutos) a una instalación
de servicio:
4.3
4.4
.1
2.5
3.4
6.1
2.6
.1
2.2
3.5
.5
3.3
3.4
.8
4.1
3.3
3.1
3.4
.9
10.3
2.9
3.1
4.5
3.3
.9
4.4
4.9
3.8
.4
1.1
4.9
4.3
5.2
7.9
6.4
7.1
.7
1.9
4.8
6.1
2.7
4.2
2.4
5.1
8.2
.9
1.2
6.9
5.8
3.4
15.9
2.8
.9
2.9
4.1
4.3
1.1
5.1
2.1
3.1
3.4
3.1
6.7
5.9
2.9
4.6
5.1
1.1
3.3
6.2
10.7
1.6
2.7
5.1
2.1
2.1
4.5
7.2
11.5
4.1
2.1
5.8
3.2
2.1
7.8
1.4
2.3
2.8
3.8
5.1
2.6
6.7
7.3
1.4
2.3
1.9
(a) Use Excel para desarrollar tres histogramas con los datos basados en anchos de
clase de .5, 1 y 1.5 minutos, respectivamente.
(b) Compare gráficamente la distribución acumulada de la FDA empírica y la de una
distribución exponencial correspondiente.
(c) Pruebe la hipótesis de que la muestra dada se toma de una distribución exponencial.
Aplique un nivel de confianza de 95%.
(d) ¿Cuál de los tres histogramas es el “mejor” para comprobar la hipótesis nula?
2. Los datos siguientes representan el periodo (en segundos) necesarios para transmitir
un mensaje.
25.8
47.9
17.8
48.2
5.8
77.4
5.6
89.3
89.5
38.7
67.3
94.8
34.7
35.8
70.9
66.1
36.4
39.2
58.6
71.3
35.2
61.3
56.4
65.3
88.9
23.9
93.5
78.7
12.8
21.1
36.4
59.3
22.1
30.1
76.4
23.8
36.4
51.9
28.6
35.9
58.7
93.4
48.1
72.5
17.3
36.8
76.7
63.6
82.7
29.2
Utilice Excel para construir un histograma apropiado. Compruebe la hipótesis de que
estos datos se toman de una distribución uniforme con un nivel de confianza de 95%,
dada la siguiente información adicional sobre la distribución uniforme teórica:
(a) El rango de la distribución es entre 0 y 100.
(b) El rango de la distribución se estima a partir de los datos muestreados.
(c) El límite máximo en el rango de la distribución es 100, pero el límite mínimo debe
estimarse a partir de los datos muestreados.
www.FreeLibros.com
512
Capítulo 14
Repaso de probabilidad básica
3. Para contar el volumen del tráfico en una intersección de congestionamiento se utiliza un
dispositivo automático. Se registra el tiempo de llegada y se transforma en un tiempo absoluto que inicia de cero. La siguiente tabla proporciona los tiempos de llegada (en minutos) de los primeros 60 automotores. Use Excel para construir un histograma apropiado.
Compruebe la hipótesis de que el tiempo entre llegadas es exponencial utilizando un
nivel de confianza de 95%.
Llegada
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tiempo de
Tiempo de
Tiempo de
Tiempo de
llegada (min) Llegada llegada (min) Llegada llegada (min) Llegada llegada (min)
5.2
6.7
9.1
12.5
18.9
22.6
27.4
29.9
35.4
35.7
44.4
47.1
47.5
49.7
67.1
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
67.6
69.3
78.6
86.6
91.3
97.2
97.9
111.5
116.7
117.3
118.2
124.1
1127.4
127.6
127.8
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
132.7
142.3
145.2
154.3
155.6
166.2
169.2
169.5
172.4
175.3
180.1
188.8
201.2
218.4
219.9
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
227.8
233.5
239.8
243.6
250.5
255.8
256.5
256.9
270.3
275.1
277.1
278.1
283.6
299.8
300.0
BIBLIOGRAFÍA
Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 2a. ed., vols. 1 y 2, Wiley,
Nueva York, 1967.
Paulos, J.A., Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences, Hill y Wang, Nueva
York, 1988.
Papoulis, A., Probability and Statistics, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1990.
Ross, S., Introduction to Probability Models, 5a. ed., Academic Press, Nueva York, 1993.
www.FreeLibros.com