1. Educación

Análisis Matemático curso 2014–2015
Grado en Biotecnología. Primer curso.
Relación de ejercicios 2. Cálculo diferencial e integral para funciones de una variable
(repaso y ampliación de las matemáticas del bachillerato).
1. Calcular el conjunto de números reales que satisfacen las siguientes desigualdades:
a) |x − 5|
f) x2 − 3x − 2 < 10 − 2x
|x + 1|
g) x3 (x − 2)(x + 3)2 < 0
b) |x − 3| < 8
c)
2x − 3
x+2
1
3
1
1
d) +
>0
x 1−x
e) x2 − 5x + 9
h) x2
x
i) x3
x
j) |x + 1| + |x − 1|
1
x
2. Calcula para qué valores de x ∈ R se verifica que x4 − 2x2 > x2 − 2.
3. Calcula para qué valores de x ∈ R se verifica que
x2 − 4x − 2
> 0.
x3 + 1
4. Calcula para qué valores de x ∈ R se verifica la desigualdad
5. Calcula para qué valores de x ∈ R se verifica que
6. Calcula para qué valores de x ∈ R se verifica que
1 − 2x 1
> .
x2 − 4
2
x+2
3−x
<
.
x + 4 2x − 3
x3 − 5
x2 − 2x − 3
1.
7. Calcula el conjunto de los mayorantes y de los minorantes de A en los siguientes casos:
i) A = R∗ , ii) A = R+ , iii) A = {x ∈ R : 1 < x < 2}, iv) A = {x ∈ R : 1 x 2}, v) A = {x ∈ Q : e < x}.
Calcula también supremo, ínfimo, máximo y mínimo, si existen.
8. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado en la forma a + ib:
3+i
a) (7 − 2i)(5 + 3i)
c)
2+i
b) (i − 1)3
d) (1 + i)−2
9. Calcula las siguientes cantidades:
c) (1 + i)20
√
√
d) | 2 + i( 2 + 1)|
a) |(1 + i)(2 − i)|
b)
4 − 3i
√
2−i 5
10. Expresa en forma polar los siguientes números complejos:
√
3
a) − 3 + i
c) √
3+i
√
√
b) − 3 − i
1+i 3
d)
(1 + i)2
1
11. Expresa los siguientes números en la forma a + ib:
√
a) (−1 + i 3)11
b)
1+i
1−i
c)
5
√
1+i 3
1−i
6
√
d) (− 3 + i)13
12. Resuelve las siguientes ecuaciones entre números complejos:
a) z = z2
c) |z| − z = 1 + 2i
b) z4 = i
d) |z| + z = 2 + i
13. Calcula las siguientes raíces:
√
4
16
√
6
1+i
√
3
−27
14. Calcula las soluciones de la ecuación z4 + 4z2 + 16 = 0 y exprésalas en la forma a + ib.
15. Simplificar las expresiones:
2
√
2
log2 (2x ), ln(e
√
x)
), eln(3x) , 10log10 (2) , aloga (
.
√
√
16. Probar que ln x + 1 + x 2 + ln
1 + x 2 − x = 0 ∀x ∈ R.
17. Resolver las ecuaciones:
a) cos(2x) + 3 sen x − 2 = 0
b) tan2 (x) = tan x
c) cos(4x) − 7 cos(2x) = 8.
18. Sea f : R∗ −→ R definida por f (x) = arctan(ln |x|) ∀x = 0. Calcular la imagen de f .
19. Prueba que la ecuación x + ex + arc tg x = 0 tiene una sola solución real. Da un intervalo de longitud uno
en el que se encuentre dicha solución.
20. Suponiendo que la temperatura varía de forma continua, prueba que hay puntos antípodas en el ecuador
terrestre que están a la misma temperatura.
21. Un corredor recorre 6 kilómetros en 30 minutos. Demuestra que en algún momento de su carrera recorre
1 kilómetro en exactamente 5 minutos.
22. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto genérico (u, v) de la parábola f (x) =
ax2 + bx + c.
23. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto genérico (u, v) de la elipse de ecuación
cartesiana
x2 y2
+
= 1.
a2 b2
24. Calcula los puntos (u, v) de la hipérbola de ecuación x2 − y2 = 1 en los que la tangente a dicha hipérbola
pasa por el punto (5, 7).
25. a) Prueba, usando el teorema de Bolzano, que la función f (x) = ex +x3 − 6x − 2 se anula en al menos
tres puntos del intervalo [−3, 3].
b) Prueba, usando el teorema de Rolle, que dicha función no puede anularse en más de tres puntos.
26. Estudia el número de soluciones reales de la ecuación 3x5 + 5x3 − 30x = α según los valores de α.
27. Prueba que para todo x > −1 se verifica que
x
x+1
log(1 + x).
¿Cuándo se da la igualdad en la desigualdad anterior?
2
28. Dado un punto P = (a, b) situado en el primer cuadrante del plano, determina el segmento con extremos
en los ejes coordenados y que pasa por P que tiene longitud mínima.
29. Determina el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados, inscrito en la elipse de ecuación
x2 y2
+
= 1 que tenga área máxima.
a2 b2
30. Calcula las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de un litro de capacidad cuyo costo de
producción sea mínimo. Se supone que no se desperdicia aluminio al cortar los lados de la lata, pero las
tapas de radio r se cortan de cuadrados de lado 2r por lo que se produce una pérdida de metal.
31. Con una lámina metálica rectangular de 12×18 centímetros se quiere construir una caja sin tapa cortando
cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Halla las dimensiones de la caja
de mayor volumen que puede construirse.
32. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a
500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta
y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a 9 euros cada metro y que el tendido
de cables sobre el agua cuesta a 15 euros cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico
posible entre la planta eléctrica y la fábrica?.
33. Calcula un punto (u, v) de la parábola y = 3 − x2 de forma que el triángulo determinado por la tangente
a la parábola en dicho punto y los ejes coordenados tenga área mínima.
34. Se desea confeccionar una tienda de campaña cónica de un volumen determinado. Calcula sus dimensiones para que la cantidad de lona necesaria sea mínima.
35. Calcula la distancia mínima del punto (6, 3) a la parábola de ecuación y = x2 .
36. Dados los puntos A = (0, 3) y B = (2, 2), calcula cuál es el camino más corto para ir de A a B pasando
por un punto del eje de abscisas.
37. Las palomas domésticas no suelen volar sobre extensiones grandes de agua a menos que se vean forzadas
a ello, posiblemente porque se requiera más energía para mantener la altitud sobre el agua fría. Supongamos que se suelta una paloma desde un barco situado a 3 km de un punto A de la costa, y dicho punto de
la costa está a 10 km del palomar. Si la paloma gasta dos veces más energía volando sobre el agua que
sobre la tierra firme y sigue un camino que hace mínima la energía gastada, determínese el punto dónde
la paloma abandona el agua.
38. Calcular, haciendo uso de un desarrollo de Taylor conveniente, un valor
√ aproximado del número real α
con un error menor de 10−3 en cada uno de los casos siguientes: α = e y α = sen(1/2).
39. Expresar el polinomio x4 − 5x3 − 3x2 + 7x + 6 en potencias de x − 2.
40. Encuentra el radio de convergencia de cada una de las series de potencias que siguen:
1
a)
xn
c)
(n + 1)ln(n+1) xn
2n (2n + 1)
n 0
b)
n 0
n 0
1
xn
ln(n + 2)
d)
n 0
41. Calcula la suma de las series de potencias
∞
42. Prueba que log(1 + x) =
n=1
n 1 nx
n
y
(−1)n+1 n
x ∀x ∈] − 1, 1[.
n
3
√
n− n
(x − 1)n
n2 + n + 1
n 1
1 n
x .
n
43. Calcula las siguientes integrales:
+∞
a)
1
dx
senh x
+∞
b)
0
dx
ex +1
c)
44. Sea f :
√ dx
x
0
√
x
R+
0
√
+∞ − x
e
−→ R definida por f (x) =
0
1
d)
π/2
ln x dx
0
e)
0
cos x
√
dx
1 − sen x
2
e−t dt ∀x ∈ R+
0 . Calcula la derivada de f .
45. Calcular las siguientes áreas:
a) Area limitada por las curvas y = x2 , y2 = 8x.
b) Area comprendida entre la parábola de ecuación y2 = 4x y la recta y = 2x − 4.
c) Area de la figura limitada por la curva y = x(x − 1)(x − 2) y el eje OX.
2
d) Area limitada por y = x e−x , el eje OX, la ordenada en el punto x = 0 y la ordenada en el máximo.
e) Area de la superficie obtenida por la revolución de la parábola y2 = 4x y la recta x = 5 alrededor
del eje OX.
f ) Area del recinto limitado por las gráficas de f (x) = cosh x y g(x) = senh x, en el primer cuadrante.
46. Calcula la longitud de la catenaria de ecuación y = 12 a ex/a + e−x/a con x ∈ [−a, a], donde a ∈ R+ es
un parámetro.
√
47. Al girar alrededor del eje OX, el segmento de curva y = x comprendido entre las abscisas 0 y a,
engendra un tronco de paraboloide de revolución cuya superficie equivale a la de una esfera de radio
13/12. Calcula el valor de a.
48. La curva y = sen2 (x) con x ∈ [0, π] gira en torno al eje OX determinando un sólido. Calcula su volumen.
49. Calcula el volumen del sólido generado al girar la región limitada por x = y2 e y = x2 alrededor del eje
OX y alrededor del eje OY .
50. Calcula el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las rectas y = 1, x = 1 y la curva
y = x3 + 2x + 1 alrededor del eje OX y alrededor del eje OY .
4