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CRISTALOGRAFÍA
Cuando se han formado las estructuras cristalinas y se tiene las celdas unitarias
con empaquetamientos definidos, es necesario hablar de planos de compactación
que pueden ser definidos por coordenadas cartesianas.
La identificación de los planos y las direcciones en las estructuras cristalinas y de
los átomos asociados con estos planos pueden ayudar a comprender cuál es la
influencia de las posiciones atómicas y las estructuras cristalinas en las
propiedades mecánicas del material.
Es necesario hablar entonces de posiciones de los átomos, direcciones y planos
cristalográficos en las estructuras cristalinas. (Se estudiarán las estructuras
cúbicas y las hexagonales)
ESTRUCTURA CÚBICA
Puntos
Las posiciones de los átomos en una red cristalina se describen con base en un
sistema de coordenadas cartesianas en el espacio x y z al que se le asigna un
origen, a partir del cual se determina la distancia a la que se encuentra el átomo,
tomando valores entre 0 y 1 (1 es el valor máximo de las aristas del cristal) por
tratarse de una celda unitaria.
Las posiciones se definen de acuerdo con la longitud de los parámetros de red a, b
y c de los correspondientes ejes x y z en el plano cartesiano y son denotados con
los valores numéricos separados entre sí por comas.
Para poder identificar un sistema cristalográfico se le asigna un juego de tres
números que reciben el nombre de Índices de Miller.
Los índices de Miller de un sistema de puntos, direcciones o planos se indican
genéricamente con las letras (h k l).
Los índices de Miller son números enteros que pueden ser negativos o positivos,
donde el signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho
número.
En la notación común, para el plano cartesiano, los valores negativos se denotan
con el valor numérico correspondiente y se precede con el sigo (-), pero los
valores positivos no llevan el signo (+).
Cuando los índices de Miller se trabajan en el sistema cristalográfico, es necesario
denotarlos con paréntesis y separados por comas entre sí, siguiendo el orden de
las coordenadas ya sea para (h k l ).o (x y z) que son equivalentes para las
coordenadas usadas en el sistema cúbico, pero cualquiera que sea el sistema de
coordenadas escogido debe conservar la “regla de la mano derecha”
Direcciones
Una dirección [h k l ] ó [x y z] es el vector que se extiende desde el origen al punto
x ,y ,z es decir tiene componente de magnitud h sobre el eje x , k en el eje y y l en
el eje z. Las componentes deben ser expresadas con los números enteros más
pequeños que guarden las relaciones de proporción en los índices de Miller,
encerrados entre corchetes cuadrados, ejemplo [100], [110] y [111].
Una dirección es un vector, línea o segmento que encierra el concepto de “son el
resultado de la unión de dos o más puntos”.
Los vectores se designan con el menor número, en este caso la unidad dado que
se trabaja con celdas unitarias, pero cuando éstos están dados por fracciones, es
necesario eliminar dichas fracciones quedando así valores diferentes a la unidad.
Por conveniencia, el origen de coordenadas se ubica en una esquina de la ceda
unitaria. Las componentes en el sentido negativo de los ejes coordenados se
designan con una rayita encima del valor correspondiente a la magnitud en esa
dirección.
Cristalográficamente se conoce como una familia de direcciones a aquella que
agrupa a todas las direcciones que poseen la misma longitud y el mismo número
de átomos; es decir, son físicamente indiferenciables. Una familia de direcciones
se representa con los índices de las direcciones, encerrándola entre corchetes
angulares < x y z >.
Planos
La designación de los índices para planos cristalográficos se realiza teniendo en
cuenta la ecuación matemática que describe el plano en un espacio tridimensional
en el que las intersecciones del plano con los ejes x y z determinan los valores
mediante el uso de los recíprocos h k l de estas intersecciones, expresadas en
números enteros.
Los índices de Miller para planos, se encierran entre paréntesis (h k l). Se puede
decir entonces que (h k l).es el plano que intercepta a los ejes x, y y z en los
puntos 1/h 0 0, 0 1/k 0 y 0 0 1/l.
Con el fin de poder determinar el intercepto del plano con los ejes coordenados, el
origen debe seleccionarse de tal manera que el plano no pase por él. Si un plano
dado es paralelo a uno de los ejes, es decir no intercepta al eje, su reciproco y por
tanto el respectivo índice de Miller serán cero.
El número y distribución de las direcciones y planos más compactos de una
estructura son diferentes para estructuras diferentes, siendo estos planos y
direcciones los que en primera instancia determinan que los fenómenos ocurran
con mayor o menor dificultad.
Por tanto, es de suma importancia distinguir las diferentes direcciones y planos, y
determinar para ellos la densidad lineal de átomos, definida como el número de
átomos por unidad de longitud en la dirección considerada, y la densidad planar de
átomos, entendida como el número de átomos que contiene el plano en la unidad
de área.
Es de anotar que para contabilizar un átomo como perteneciente a una dirección o
a un plano dado, se requiere que la dirección pase o que el plano corte al átomo
por su centro.
Para designar una familia de planos los índices de uno cualquiera de los planos
físicamente equivalentes se encierra entre llave {100}
ESTRUCTURA HEXAGONAL
En el sistema de coordenadas para las redes hexagonales, debido a la simetría
que presenta el sistema, se debe utilizar la relación dada por cuatro ejes (h k i l) en
lugar de tres (h k l) donde i es el resultado de la ecuación: h + k = - i.
De manera similar que en la estructura cúbica, para designar las familias, las
direcciones y planos, los índices se encierran entre corchetes y llaves
respectivamente.
Como en el sistema anterior, tener estas coordenadas será equivalente a tener:
(a1, a2, a3 y c) para una notación en cuatro ejes, o lo que es lo mismo (a1, a2 y
c) para notación en tres ejes.
La distancia entre las aristas de un sistema hexágono tiene como valor la unidad,
por estar trabajando con celdas unitarias, por lo que las diagonales tienen un valor
2 unidades (la suma del valor del origen a cada arista).
Los índices de Miller se hallan de la misma manera que para el sistema cúbico
pero teniendo en cuenta las notaciones respectivas para tres y cuatro ejes.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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