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Física General
-1-
Cap. 1
ANÁLISIS VECTORIAL
CONTENIDO:
-2-
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Demostramos los procesos matemáticos que sustentan
como herramienta a la física estudiando y analizando
las características y sus aplicaciones en el manejo de
los vectores para el desarrollo y generación de
recursos productivos, en beneficio de la sociedad
plurinacional de Bolivia
SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA
Descargue el software GEOGEBRA, un pequeño manual de uso y practique suma, resta,
productos con vectores en dos y tres dimensiones.
¿Qué es GEOGEBRA?: GeoGebra es un software matemático interactivo libre que está lleno de
funcionalidades tendientes a simplificar las construcciones geométricas. Está escrito en Java y por
tanto está disponible en múltiples plataformas.
Es un recurso educativo que se utiliza en como una herramienta didáctica en la enseñanza de las
Matemáticas. Los usuarios pueden hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas,
que pueden ser modificados posteriormente, de manera dinámica.
Con este programa, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra
tiene la capacidad de operar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar
derivadas e integrales de funciones y ofrece un amplio repertorio de comandos propios del Cálculo,
para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Posee cinco
características distintivas:
En relación a las ecuaciones y el sistema de coordenadas, se cuenta con una gran cantidad de
funcionalidades, como por ejemplo, la gráfica de ecuaciones (de una manera muy similar a un
graficador), trazado de tangentes, áreas inferiores, etc.
Física General
-3-
Vector.- El vector es una representación gráfica de
una magnitud física vectorial, posee cuatro
elementos:
L
A
Suma de vectores.Consiste en determinar en
forma gráfica y analítica un vector resultante que
produzca los mismos efectos de los vectores
componentes actuando juntos y simultáneamente.
a) Vectores paralelos y colineales.- Todos los
vectores tienen la misma dirección, solo se
diferencian en los sentidos, pueden ser positivos o
negativos.
O
1. Módulo.- Es el valor numérico del vector,
geométricamente es el tamaño del vector.

OA  V  V = Vector

OA  V  V  Módulo
2. Dirección.- Es la línea de acción del vector o las
líneas rectas paralelas a él ( L ).
La dirección queda definida por el ángulo (θ)
3. Sentido.- Es la característica del vector que nos
indica hacia donde se dirige.
Está determinado por la punta de la flecha (A)
4. Punto de aplicación.- Es el origen del vector (O)
Expresión de un vector como par ordenado.- En
el plano cartesiano los vectores tienen dos
componentes, donde el origen del vector se
encuentra en el origen de coordenadas.

A  2 u

C  4 u

B  3 u
La resultante es:
   
R  A  B  C  (2)  (3)  (4)  3 u
La resultante tiene módulo 3 unidades, dirección
horizontal y sentido hacia la derecha.
b) Método del paralelogramo.- Válido para dos
vectores concurrentes. Se dibujan los dos vectores
componentes haciendo coincidir sus orígenes, luego
se trazan paralelas para formar un paralelogramo, el
vector resultante estará en una de sus diagonales y
su punto de aplicación coincidirá con el origen de los
vectores.
Ejemplos:
N
M
O

Módulo de R :
Aplicando teorema de los cósenos al triángulo OMN:

A  (5 , 5)

B  (7 , 6)

C  (4 ,  7)
R 2  A2  B 2  2 A B cos (180º   )
Por identidad:
cos(180º  )   cos
-4-
Física General
R 2  A2  B 2  2 A B cos 
Entonces:
R
A2  B 2  2 A B cos 

Dirección de R :
Aplicando teorema de senos al triángulo OMN:
sen sen(180º  )

B
R
Reemplazando: sen(180º – ) = sen 
Ejem. 1.1.- Calcular el vector resultante (módulo y
dirección), de dos vectores de 80 N y 60 N que
forman un ángulo de 120º.
Datos:
Incógnitas:
A = 80 N
R = ?
B = 60 N
θ = ?
sen sen

B
R
sen  
B sen
R
Dónde:
R = Módulo del vector resultante
A y B = Módulos de los vectores sumandos


= Ángulo entre los vectores A y B
= Angulo del vector resultante con uno de sus
componentes
c) Método del triángulo.- Válido solo para dos
vectores concurrentes. Se trazan los vectores uno
a continuación del otro para luego formar un
triángulo, el vector resultante se encontrará en la
línea que forma el triángulo y su punto de aplicación
coincidirá el origen del primer vector.
Ejemplo:
120º
Solución:
Módulo de R:
R 
R
A2  B 2  2. A.B.cos 
(80 N )2  (60 N )2  2(80 N )(60 N )(cos120º )  72.11 N
Direcciòn de R:
sen 
B

sen (180º 120º )
R
sen 
sen 


B sen 60º
R
60 N sen 60º
72.11 N
 0.72
Sumar los siguientes vectores:
  arcsen 0.72  46.1º
d) Casos particulares.- Para el ángulo de dos
vectores.
Aplicando el método del triángulo:
Resultante máxima.- La resultante de dos vectores
es máxima cuando estos se encuentran en la misma
dirección y sentido ( θ = 0º )

Módulo de R :
R  A B
Física General
-5-
Resultante mínima.- La resultante de dos vectores
es mínima, cuando estos se encuentran en la misma
dirección; pero de sentidos contrarios
(θ=
180º )

R  A B
Módulo de R :
Resta de dos vectores.- Es un caso especial de la
suma de vectores, se toma en cuenta al vector
opuesto de uno de los sumandos y se procede de la
misma forma que la suma:
Ejem. 1.3.- Hallar el vector resultante: R = A – B
e) Vectores ortogonales.- Cuando dos vectores
forman 90º son perpendiculares u ortogonales.
En este caso usaremos el vector opuesto de B:

Módulo de R : Teorema de Pitágoras:
R

Dirección de R :
A2  B 2
tan 
cat .opuesto
cat .adyacente
tan  
B
A
Vectorialmente:
R  A B
Ejem. 1.4.- Hallar el vector resultante: R = B – A
Ejem. 1.2.- La resultante de dos vectores, varía al
hacer girar uno de ellos. El mínimo módulo de la
resultante es 2 y el máximo 14. Determine el módulo
de la resultante cuando los vectores forman ángulo
recto.
R mínima:
A–B=2
R máxima:
A + B = 14
En este caso, el vector opuesto de A
Resolviendo ambas ecuaciones, se tiene:
A=8
y
B=6
Cuando forman ángulo recto, la resultante se obtiene
aplicando el teorema de Pitágoras:
R  A 2  B 2  8 2  6 2  100
Vectorialmente:
R  B A
R  10
Para tomar en cuenta:
La sustracción de vectores no es conmutativa.
-6-
Física General
Ejem. 1.5.- Determinar una expresión vectorial, de

manera que el vector A esté en función de los
 

vectores B , C y/o D .
a)

B
b)

A

A

A
Trazamos el vector D para facilitar el ejercicio:

C

Trazando  A

 
B  C  A
se tiene:



B

A


D

C

D
Despejando: A  C  B
b)

C

B


C

D

A
Trazando los vectores opuestos D
permite plantear dos ecuaciones:
  
D
 B
  A
C  D  12 B

B
  

C  D  B  A
  

B  C  A  12 B

y  D , nos
s/m/m ambas ecuaciones
 

A  C  12 B

  
A  C  D  B
Despejando:

B
Método del polígono.- Es una continuación del
método del triángulo, válido para dos o más
vectores concurrentes y coplanares.
De donde se despeja:
c)

A

C
  
C  A B
De donde se despeja:
  
AC  B
Este método gráfico se utiliza tanto para la suma
como para la resta de vectores.
Se trazan los vectores uno a continuación de otro y
luego formar un polígono con una recta, el vector
resultante se encontrará en la línea que forma el
polígono y su punto de aplicación coincidirá con el
origen del primer vector.

Ejem. 1.6.- Hallar el vector A en función de los
 
vectores B , C
Ejem. 1.7.- Sumar los siguientes vectores:
a)

A

B

C

  
Diagonal mayor: 2 A . Se tiene: 2 A  B  C
Despejando:

 
A  12 ( B  C )
Aplicando el método del polígono:
Física General
-7Procedimiento:
-
Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares.
-
Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método
de vectores colineales.
-
Hallar el módulo del vector resultante aplicando el
teorema de Pitágoras.
Nota: El ángulo de la resultante deberá medirse con
un transportador de ángulos
Para tomar en cuenta: En el caso de que el origen
del primer vector coincida con el extremo del último
vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema
de vectores se encuentra en equilibrio.
R
-
V
x
2
  Vy
2
Hallar la dirección de la resultante con la función
tangente:
tan  
V
V
y
x
Componentes rectangulares de un vector.- Se
denominan así a las proyecciones rectangulares de
un vector sobre los ejes coordenados.
Ejem. 1.8- Hallar la resultante.
Y
X
O
Se puede expresar un vector en función de otros dos
ubicados sobre los ejes X e Y.
 

R  Rx  R y
A = 30 N
D = 60 N
Los módulos de éstas componentes se obtienen a
partir de las funciones trigonométricas:
cos 
sen


Ax
A
Ay
A


Ax
Ay
Componente horizontal
Ax  A cos 
A cos 


Datos:
A sen
B = 50 N
E = 40 N
C = 25 N
Solución:
1º) Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares:
2º) Determinar la resultante horizontal y vertical, por
la suma de vectores componentes colineales,
horizontales y verticales:
 Vx = Acos70º + Bcos150º + Ccos0º + Dcos(–30º) +
Componente vertical
Ay  Asen
Ecos270º
 V y = Asen70º + Bsen150º + Csen0º + Dsen(–30º) +
Esen270º
-8-
Física General
 Vx = 30xcos70º + 50xcos150º + 25xcos0º +
60xcos(–30º) + 40xcos270º
 V y = 30xsen70º + 50xsen150º + 25xsen0º +
60xsen(–30º) + 40xsen270º
Componente horizontal:
 Vx = 43.92 N
Componente horizontal:
 V y = –16.81 N
CUADRO RESUMEN

V
Vx  V cos
A = 30
70º
B = 50
150º
C = 25
0º
D = 60
–30º
E = 40
270º
Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos
vectores que tienen como módulo la unidad de
medida de medida y las direcciones coinciden con
los ejes cartesianos.
Los vectores cartesianos son:
V y  V sen
i
= Tiene dirección del eje X positivo
i
= Tiene dirección del eje X negativo
j
= Tiene dirección del eje Y positivo
 j = Tiene dirección del eje Y negativo
V
x
 43.92
V
y
 –16.81
3º) Graficando las sumatorias horizontal y vertical,
se tienen dos vectores perpendiculares:
Y
i  i  j   j 1
Representación de un vector en función de los
vectores unitarios:

V  Vx ; V y 

Vx

Vy
El módulo es igual a la unidad:


V  Vx i  V y j
X


R
Modulo:
V  Vx2  V y2
Dirección:
tg 
Vy
Vx
4º) Con Pitágoras se obtiene el módulo de R:
R
 Vx    V y 
2
2
Ejemplos:

43.92  16.81
2
R  47.03 N
La dirección de la resultante:
tg 
Vy
 Vx

 16.81N
 0.3827
43.92 N
  20.9º
2

A  4 ;  5


A  4 i 5 j

B   6 ; 2


B  6 i  2 j

C  4 ; 0


C 4i
Suma de vectores aplicando los vectores
unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar
o restar cada uno de los componentes unitarios de
cada vector:
Física General
Ejem. 1.9- Sumar:
-9-


A  4 i 5 j ; B  2 i 3 j
  
R  A  B  (4  2) i  (5  3) j

R 6i2 j
Módulo de la resultante:
R  24 2  7 2  25
Multiplicación de vectores.- Además de la suma y
la resta de vectores, existe la multiplicación entre
vectores.
a) Producto de un escalar por un vector.- Una
cantidad escalar es todo número real, positivo o
negativo, entero o fracción.
El producto de una cantidad escalar por un vector,

se escribe como kA , es un nuevo vector cuya

magnitud es k veces la magnitud de A , tiene la
misma dirección, mantiene su sentido si k es positiva
y tiene sentido opuesto si k es negativa.
Ejemplos:
k
Ejem. 1.10- Sean los vectores:
A= 2i+2j
= 2
k
= 0.5
k
= –2
B= 2i+j
Hallar el módulo de: A + B
b) Producto escalar de dos vectores.- Dos


Vector resultante:
vectores A y B que forman un ángulo  entre sí,
se pueden multiplicar escalarmente, se lo
representa con un punto:
R = A + B = (2 + 2) i + (2 + 1) j
Vector A multiplicado escalarmente con el vector B:
Solución:
 
A B
R=4i + 3j
Módulo de la resultante:
Da como resultado un escalar. Su valor se obtiene
multiplicando la magnitud de un vector por la
magnitud de la componente del segundo vector en la
dirección del primero.
R  4 2  32  5
Ejem. 1.11- Sean los vectores:
A = 15 i + 2 j
B= 9i+5j
Hallar el módulo de: A + B
Solución:
Vector resultante:
R = A + B = (15 + 9) i + (2 + 5) j
R = 24 i + 7 j
B cos
 
A. B  A B cos
El producto escalar de dos vectores es una
cantidad escalar.
- 10 -
Física General
Propiedades del producto escalar.- Tiene las
siguientes:
 
 
A. B  B . A
1.
Es conmutativa:
2.
Distributiva respecto a la adición:
  
A.( B  C ) 
3.
   
A. B  A.C
Asociativa de la ponderación:
 
k A. B
4.
Regla de la mano derecha: El índice debe ubicarse
sobre el primer vector (en esta caso A); el deo mayor
sobre el segundo vector (en este caso B), tomando
en cuenta el menor àngulo. El pulgar extendido
señala dirección y sentido del vector producto
vectorial (C)
 
k ( A. B)


 
Definición de módulo: A. A 
 
A. k B
2
A
Propiedades del producto vectorial.- Tiene las
siguientes:
c) Producto vectorial de vectores.- Dos vectores


A y B
que forman un ángulo  entre sí, se
pueden
multiplicar
vectorialmente,
se
lo
representa con un aspa:
1.
 
 
No es conmutativa: A B   B  A
2.
Distributiva respecto a la adición:
  
A ( B  C ) 
Vector A multiplicado vectorialmente con el vector B:
 
AB
3.
Asociativa con la ponderación:
 
 
k A B  k ( A B) 

Da como resultado otro vector C .
La dirección y el sentido se obtienen con la regla del
tornillo de la mano derecha.
=
   
A B  AC
4.


A k B
 
Absorbente consigo mismo: A A  0
Ejem. 1.12.- El vector resultante de dos vectores
mide 30 m y hace ángulos de 45º y 30º con cada uno
de ellos. Calcular el valor de los vectores
componentes.
Datos:
Incógnitas:
R = 30 m
A = ?
β = 45º
B = ?
γ = 30º
x


Para calcular el módulo del vector A  B se utiliza
la siguiente relación:
30º
C  A B sen
30º
El producto vectorial
cantidad vectorial.
de dos vectores es una
45º
105º 45º

La dirección de C es perpendicular al plano


formado por A y B , cuyo sentido es el que
avanza un tornillo derecho siguiendo el ángulo
de los vectores.
El ángulo interno opuesto a la resultante es 105º y su
suplemento es 75º, luego:
Física General
- 11 -
sen 105º
R
Módulo de B:
B 
Módulo de A:
A 

sen 45º
B
sen 105º
R
R sen 45º
sen 105º


sen 105º
R
R sen 30º
sen 105º



sen 30º
A
sen 45º
B
sen 
A
sen 
30 m sen 45º
sen 105º
 21.96 m
sen 30º
A
30 m sen 30º
sen 105º
La dirección de R por el teorema de los senos:
 15.53 m
Ejem. 1.13.- Un aeroplano vuela con rumbo suroeste
la distancia de 250 km. Después vuela 400 km rumbo
al norte. Encuentre la distancia del aeroplano desde
su punto de partida y la dirección del destino final
también desde el punto de partida.
Datos:
Incógnitas:
sen 45º
R


A sen 45º
R

250 km sen 45º
284.74 km

 38.4º
Ejem. 1.14.- Dos vectores, A de 20 unidades y B de
40 unidades hacen un ángulo de 120º. Determinar la
diferencia B – A de los dos vectores.
Datos:
Incógnitas:
A = 20 u
B = 40 u
φ = 120º
R = ?
θ = ?
60º
A = 250 km
B = 400 km
R = ?
α = ?
120º
–
- Primer vuelo S 45º O
- Segundo vuelo, al norte.
- El vector posición final forma un ángulo N  O.
- Para el módulo de la resultante, el teorema de los
cosenos:
Aplicando la fórmula de los vectores para cualquier
ángulo, teniendo en cuenta de que el signo de –A, no
interviene en la fórmula, puesto que solamente sirve
para conocer su sentido:
N
Su módulo:
R  A2  B 2  2  A  B  cos 
R  20 2  40 2  2  20  40  cos 60º
O
E
R
 52.92 u
45º 45º
Su dirección:
S

R2
A2  B 2  2 A B cos 45º
sen 
B

sen 120º
R
sen 

B sen 120º
R

40 u sen 120º
52.92 u
R 2  (250 km) 2  (400 km) 2  2 (250 km)(400 km) cos 45º

R
R
2
 81078.6 km
 40.9º Con –A
2

81078.6 km2
 0.62
También: 180º – 40.9º = 139.1º con +A
 284.74 km
- 12 -
Física General
Ejem. 1.15.- Una lancha va hacia el norte cruzando
un lago. Después de haber cubierto una distancia de
2.0 km, la lancha cambia su dirección; y habiendo
avanzado 3.0 km más está exactamente al noroeste
de su punto de partida. Encuentre la dirección de la
lancha cuando cambió su rumbo y la distancia total
desde el punto de partida.
Datos:
Incógnitas:
A = 2.0 km
R = ?
B = 3.0 km
α = ?
La distancia total, es la magnitud del vector
resultante (R), por el teorema de los cosenos:
R 2  A 2  B 2  2  A  B  cos 
R 2  (2.0) 2  (3.0) 2  2  (2.0)  (3.0)  cos 106.9º
R 2  16.5

R  16.5  4.1 km
Ejem. 1.16.- Según la figura.
N


Hallar A  B , si
 
A  B  4u
45º
O
E
60º
S
Para calcular la dirección de la lancha (α),
inicialmente calculamos el ángulo (β) aplicando el
teorema de los senos:
sen 
A

30º


Dibujar el vector  B a continuación de A , luego
trazar su resultante:
–
sen 45º
B
90º
sen  
A sen 45º
2.0 km sen 45º

 0.4714
B
3.0 km
  arcsen 0.4714
60º
30º
β = 28.1º
La suma de los tres ángulos interiores en un
triángulo, da 180º:
El vector resultante proviene de dos vectores
perpendiculares; para encontrar su módulo
aplicamos el teorema de Pitágoras.
45º + β + γ = 180º
Despejando el ángulo “γ” se tiene:

R

 
A B

2
2
A  B

R

 
A B

32 u 2

γ = 180º - 45º - β = 180º - 45º - 28.1º
γ = 106.9º
α es el suplemento de γ:
α = 180º - γ = 180 º - 106.9º
α = 73.1º
El cambio de dirección fue: Norte 73.1º Oeste
 4 2u
(4 u ) 2  (4 u ) 2
Física General
- 13 -
TRABAJO PRÀCTICO DE FÌSICA
TEMA: ANÀLISIS VECTORIAL
1. Hallar el vector resultante (ABCD: paralelogramo)
B
4. Exprese x en función de los vectores
(O: centro de la circunferencia)
A y B
C
x
O
A
a)
D
S
b)
N
c)
2S
B
A
d)
S
2. Hallar la resultante.
B
a)
A B
2
b)
2A  B
2
c)
BA
2
d)
2( A  B)
3
A
C
F
E
D
5. Determinar el módulo de la resultante:
a)
F
b)
2F
c)
3F
d)
 2F
a
1u
1u
3. Hallar
x
en términos de
A y B (G: baricentro)
b
Q
c
b
a
x
P
G
M
R
a)
2a  b
3
b)
a  2b
6
c)
ab
6
d)
ab
3
a)
5
b)
2 5
c)
3
d)
2 3
- 14 -
Física General
6. Calcular el módulo de la resultante:
A 2u
9. Determine el módulo de la resultante:
b
A
B
30º
30º
a)
7
b)
2 7
5
c)
d)
a
2 5
2 3
7. Determinar el vector resultante:
a) 1 u
1u
A
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
1u
10.Determine la dirección de la resultante:
Y
C
10 u
B
5u
37º
X
3u
b) – 2 i
a) 2 i
d) – 4 i
c) 4 j
a) 15º
b) 30º
c) 45º
8. Sabiendo que:
a 5u
b 6u
y
Determine el módulo de la diferencia entre vectores:
CLAVE DE RESPUESTAS
a
b
150º
83º
a) 3 u
1.
2.
3.
4.
5.
b) 5 u
c) 7 u
d) 11 u
a
c
c
c
b
6. b
7. c
8. b
9. c
10. c
d) 60º
Física General
- 15 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Calcular la resultante de los siguientes vectores
aplicando el método del paralelogramo y en
forma analítica: Escala: 1 cm : 50 m
7.
A = ( 150 m, 180º) y B = ( 300 m, 35º )
Resp: R = (196.9 m ; 60.9º)
2.
Calcular el vector suma aplicando el método del
triángulo y en forma analítica.
Escala: 1 cm : 20 kp
Resp: norte 73.1º oeste; R = 4.1 km
8.
A = (60 kp , 0º) y B = (90 kp, 35º)
Resp: 143.4 kp
3.
Determine el módulo de la resultante de dos
vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si
forman un ángulo de 53º.
4.
Un automóvil viaja 7.0 km hacia el norte. Cambia
entonces de dirección en su viaje y al final se
detiene cuando está a 17.0 km al suroeste de su
punto de partida. Encuentre el desplazamiento
del automóvil en la segunda parte del viaje.
Solución gráfica y analítica.
Resp: 22.5 km
9.
Resp: 20 unidades
Una lancha va hacia el norte cruzando un lago.
Después de haber cubierto una distancia de 2
km, la lancha cambia su dirección; y habiendo
avanzado 3 km más está exactamente al
noroeste de su punto de partida. Encuentre la
dirección de la lancha cuando cambió su rumbo y
el desplazamiento total desde el punto de partida.
Solución analítica.
Encuentre el ángulo entre dos vectores de 10 y
15 unidades de longitud sabiendo que su
resultante tiene 20 unidades de longitud.
Determinar el vector resultante del sistema de
vectores mostrado en la figura

(En función del vector A )
Resp:
R  3A
Resp: 75.5º

5.

Dos vectores A y B
tienen magnitudes
iguales (10 unidades) y están orientados como
muestra la figura. Encontrar la magnitud del
vector resultante (Solución gráfica y analítica)
Resp: 12.17 u
10.

Resp:
6.


Hallar el vector X en términos de A y B
sabiendo que P es punto medio.
 

A B
X 
2
Calcular la resultante y dirección analíticamente
del sistema de vectores: (ver figura)
Resp: 29.15 kp ; 25º
11.
Determinar la magnitud del vector resultante si
cada cuadrado tiene de lado 10 m.
Resp: 10 2 m
- 16 -
Física General
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
De acuerdo a la figura la componente del vector
A sobre el eje “Y” es igual:
a) 240 dyn
c) 120 dyn
9.
a) 6 u.
2.
d) 0º
b) 13 kp
c) 10 kp
d) 14 kp
b) 180º
c) 45º
d) 0º
El módulo de la suma de dos vectores A y B es
máximo, cuando los vectores:
a)
b)
c)
d)
6.
c) 45º
La suma de dos vectores A y B es mínima
cuando el ángulo entre ellos es de:
a) 90º
5.
b) 180º
Son perpendiculares entre sí
Tienen la misma dirección y sentido contrario
Tienen la misma dirección y el mismo sentido
Tienen diferente dirección y sentido contrario
La suma de dos vectores A y B que aparecen
en la figura es igual a:
A= 3u
B =4u
a) 3 u.
7.
c) 5 u.
d) 7 u.
Se tiene un vector de 4 unidades hacia el norte,
uno de 8 unidades hacia el sur y otro de 3
unidades hacia el oeste. El vector resultante
mide:
a) 9 u
8.
b) 4 u.
b) 8 u
c) 5 u
De acuerdo a la figura la componente del vector
A sobre el eje “X” es igual:
d) 5.2 u.
Dos vectores de módulos iguales a 4 kp y 8 kp,
¿cuál de los valores enteros puede ser
resultante de ellos?
a) 3 kp
4.
c) 3 u.
La suma de dos vectores A y B es máxima
cuando el ángulo entre ellos es:
a) 90º
3.
b) 4.8 u.
b) 200 dyn
d) 160 dyn
a) 6 u.
b) 4.8 u.
c) 3 u.
d) 5.2 u.
10. Calcular la resultante de dos fuerzas de 10 y 30
kgf si forman un ángulo de 60º.
a) 36.06 kgf
c) 40 kgf
b) 10 kgf
d) 50 kgf
11. Se tiene 2 fuerzas colineales en el mismo
sentido cuya resultante es 7 lbf, al girar uno de
ellos 90º su resultante es 5 lbf. Calcular el valor
de las fuerzas.
a) 8 y 7 lbf
c) 4 y 9 lbf
b) 3 y 2 lbf
d) 3 y 4 lbf
12. Los módulos de dos vectores perpendiculares
son 8 cm y 6 cm respetivamente. El vector
resultante de ambos es:
a) 3 cm
b) 13 cm
c) 10 cm
d) 14 cm
13. Si a un desplazamiento de 45 m al Norte se le
añade uno de 60 m al Sur; el vector resultante
es:
a) 15 m al N
c) 15 m al S
b) 105 m al S
d) 105 m al S
14. Si a un desplazamiento de 30 m al Este se le
añade uno de 15 m al Oeste; el vector resultante
es:
a) 45 m al N
c) 15 m al E
b) 15 m al O
d) 45 m al E
15. Hallar la resultante de los siguientes vectores,
sabiendo que: A = 6 N y B = 8 N
d) 15 u
La resultante y una de las fuerzas rectangulares
aplicadas a un mismo punto miden 200 y 120
dinas. Hallar la otra fuerza:
a) 15 N
b) 10 N
c) 14 N
d) 20 N
Física General
- 17 -
16. La resultante máxima de dos vectores es 14 u y
la mínima es 2 u. hallar la magnitud de la
resultante cuando dichos vectores sean
ortogonales.
a) 10 u
b) 12 u
c) 14 u
d) 13 u
17. Dados los vectores A = 50 u y B = 30 u,
determine el valor de su resultante, cuando los
vectores, formen entre sí, un ángulo de 60º.
a) 40 u
b) 80 u
c) 20 u
d) 70 u
18. Dos vectores de módulos A = 10, y B = 20
forman 60º entre sí. ¿Cuál es el módulo del
vector diferencia?
a) 26.4
b) 30.5
c) 17.3
d) 40.2
19. Dos vectores A y B cuyos módulos son 15 y 7
respectivamente, tienen un vector diferencia cuyo
módulo es 20. ¿Cuál es la medida del ángulo que
forman dichos vectores?
a) 127º
b) 53º
c) 37º
b) 6
c) 4
b) 2
c) 4
d) 5
23. La máxima resultante de dos vectores es 8 u y es
7 u cuando forman 60º. Calcule la mínima
resultante que podría obtenerse entre los
vectores.
a) 1 u
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
24. Calcular el módulo de la diferencia; de los
vectores mostrados, si se sabe que A = 16, y
B = 12.
d) 45º
20. Dos fuerzas de valores consecutivos interactúan
sobre un cuerpo formando un ángulo de 60º
entre sí, dando por resultante 61 . Calcule el
módulo de la menor de las fuerzas.
a) 2
a) 1
d) 5
a) 15
b) 21
c) 18
d) 20
25. Dado el sistema de vectores en la figura, calcular
la magnitud de la resultante:
21. Determinar la resultante del grupo de vectores
mostrado.
A = 6, B = 2, C = 2 3
A = 10, B = 16, C = 12.
a) 4
b) 10
c) 6
d) 8
26. Dados los vectores: A = 200 km, SE y B = 300
km, SE; entonces el vector resultante al sumar
ambos vectores es:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
22. Determinar el módulo de la resultante del
conjunto de vectores mostrado, si:
A = 4, B = 8, C = 5.
a) R = 100 km, SE
c) R = 500 km, SE
b) R = 200 km, SE
d) N. A.
27. Determine el modulo del siguiente sistema de
vectores:
- 18 -
Física General
31. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de
módulos 27 N y 45 N para que actúen sobre un
cuerpo como una sola fuerza de 63 N?
a) 30º
b) 45º
c) 37º
d) 60º
32. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de
módulos 3 N y 5 N para que su resultante sea de
7 N?
a) 30º
a) 60 N
b) 80 N
c) 50 N
d) 100 N
28. En la figura mostrada el módulo de los vectores
es A = 12 u; B = 5 u. Determine el módulo del
vector resultante.
b) 45º
c) 37º
d) 60º
33. ¿Qué ángulo deben formar dos vectores de
módulos 6 N y 10 N para que su resultante sea
de 14 N?
a) 30º
b) 45º
c) 37º
d) 60º
34. ¿Qué ángulo deben formar dos fuerzas de
módulos 15 N y 20 N para que su resultante sea
de 7 N?
a) 164º
a) 26 u
b) 14 u.
c) 16 u.
d) 13 u.
29. En la figura mostrada, determine el módulo del
vector resultante.
b) 135º
c) 127º
d) 143º
35. Se muestra tres vectores, donde A = 5,
B=3
y C = 8. Determine el módulo del vector
resultante.
a) 5 u
b) 10 u.
c) 12 u.
d) 0.
36. Determine el módulo de la resultante de dos
vectores cuyos módulos son 15 y 7 unidades, si
forman un ángulo de 53º
a) 32 u
a) 20 u
b) 70 u.
c) 80 u.
d) 100 u.
30. Determine el módulo de la resultante del
siguiente sistema de vectores:
b) 28 u.
c) 20 u.
d) 40 u.

A  6i  8 j
1 
Hallar el módulo del vector:  A
5
37. Conociendo el vector:
a) 5
b) 4
c) 6
d) 2

A  9i  12 j
2 
Hallar el módulo del vector:
A
5
38. Conociendo el vector:
a) 5
a) 12 N
b) 6 N
c) 18 N
d) 10 N
b) 4
c) 6
d) 12
Física General
- 19 -
Cap. 2
CINEMÁTICA I
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO UNIFORME
(M. R. U.)
CONTENIDO:
- 20 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos los procesos de movimiento estudiando y
analizando las características y propiedades de la
cinemática:
rapidez,
velocidad,
distancia,
desplazamiento y tiempo, que permitan asumir con
responsabilidad el buen uso de los instrumentos de
medida en la unidad educativa y la comunidad.
CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS
Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.
Física General
Mecánica.- Es una especialidad de la física que se
ocupa de estudiar el movimiento de los objetos.
- 21 Trayectoria circular: Una silla de un carrusel en
movimiento
La mecánica se divide en tres partes: cinemática,
dinámica y estática.
Cinemática y dinámica.- La cinemática se ocupa
de describir los movimientos y determinar cuáles son
sus características sin relacionarlo con las causas
que los producen.
Mientras que la dinámica estudia las relaciones que
existen entre las fuerzas y el movimiento de los
cuerpos.
Movimiento es el cambio de posición continuo
que experimentan los cuerpos con respecto a un
sistema o punto de referencia.
Distancia recorrida.- Magnitud escalar, es la
medida de la longitud de la trayectoria.
Desplazamiento.- Magnitud vectorial, se define
como el vector que une dos posiciones de un
movimiento.
Elementos del movimiento.A continuación
citaremos magnitudes relacionadas al estudio de la
cinemática.
Móvil.- Es el objeto o partícula que realiza el
movimiento.
Trayectoria.- Es la línea recta o curva que dicho
móvil describe durante su movimiento. Según la
trayectoria descrita por un móvil, los movimientos se
clasifican en:
El desplazamiento a lo largo del eje X, está dado por:
Desplazam. = posición final – posición inicial
x  x2  x1
a) Movimientos rectilíneos: Movimiento de un
ascensor cuando sube y baja, etc.
b) Movimientos curvilíneos.- Cuya trayectoria es
un arco de curva, se pueden indicar los
siguientes:
Donde x1 y x2 son las posiciones inicial y final
respectivamente. El símbolo ∆ (delta) significa
diferencia o cambio.
Elípticos: Movimiento de los planetas alrededor
del Sol, etc.
Distancia y Desplazamiento.- En el lenguaje
ordinario los términos distancia y desplazamiento
se utilizan como sinónimos, aunque en realidad
tienen un significado diferente.
Parabólicos: Movimiento de los proyectiles.

El vector desplazamiento no depende de la
trayectoria seguida por el móvil sino sólo de los
puntos donde se encuentre en los instantes
inicial y final.

Si un móvil regresa al punto de partida, su
desplazamiento será nulo aunque no lo sea el
espacio recorrido.

Si un móvil se desplaza en línea recta y sin
cambiar el sentido de su movimiento, el módulo
del vector desplazamiento coincide con la
distancia recorrida.

En caso contrario, la distancia siempre es mayor
que el desplazamiento.
Circulares: Movimiento de un carrusel, etc.
Los movimientos según su trayectoria estudiadas en
este libro, son:
Trayectoria rectilínea: Un automóvil viajando en
una carretera plana y recta.
Trayectoria parabólica: Una pelota lanzada en
una cancha.
- 22 -
Física General
Observa el gráfico de un circuito de Formula-1
Circuito F1.
BARHEIM (QATAR)
Resumiendo:
Distancia: Es magnitud o valor numérico
Desplazamiento: Es magnitud y dirección
Ejem. 2.2.- Un automóvil avanza 300 km al este y
retorna 100 km.
La distancia recorrida es de 400 km, mientras que el
desplazamiento es de 200 km dirigido hacia el este.
Para una vuelta, el final del recorrido coincide con
el inicio:
El desplazamiento es cero
La distancia recorrida es de 5412 m
Ejem. 2.1.- Trazar desplazamientos y distancias:
Distancia = desplazamiento
Distancia recorrida = 300 km + 100 km = 400 km
Desplazamiento = posición final – posición inicial
∆x = x2 – x1 = 300 km – 100 km = + 200 km
Magnitudes del movimiento.- Desde el punto de
vista cinemático, el movimiento se expresa en
función a la rapidez de cambio de posición, la
velocidad y la aceleración.
Rapidez.- Magnitud escalar que
distancia recorrida con el tiempo.
Ejemplo: Cuando el movimiento es rectilíneo en una
dirección y un solo sentido
relaciona
la
Rapidez media.- Es la relación entre la distancia
total que recorre un móvil y el tiempo que tarda en
recorrerla.
Distancia > desplazamiento
Ejemplo: En el caso del movimiento de proyectiles,
movimiento parabólico
Rapidez media 
Distancia = 2πR
v
Desplazamiento = 0
Sus unidades:
Ejemplo: Cuando el movimiento es circular, al
completar una vuelta
dis tan cia recorrida
tiempo empleado
x
t
 m   cm   ft   km 
 s   s   s   h 
Por ejemplo, si la rapidez de un coche es 80 km/h,
esto quiere decir que el coche recorre una distancia
de 80 km en cada hora.
Física General
- 23 -
Rapidez instantánea.- Es la rapidez en cualquier
instante del movimiento.
Velocidad.- Magnitud vectorial que relaciona el
desplazamiento con el tiempo.
Ejemplos:
1) Un avión vuela a una velocidad de 800 km/h en
una dirección que se muestra en la figura:
N
Velocidad media.- Es la relación entre el vector
desplazamiento y el tiempo empleado en efectuar
dicho cambio.
45º
45º
O
Velocidad media 
v

desplazamiento efectuado
tiempo empleado
v
x
t

x
t

S
Magnitud  800 km / h
( Mòdulo )  Rapidez


Velocidad 

 Direcciòn 
Orientaciò n 
 N 45º E

Sentido 
 
x  x0
t  t0
2) Un automóvil viaja por una carretera con una
velocidad de 20 m/s rumbo al norte:
x0 , t0 = Posición y tiempo iniciales
x,t
E
= Posición y tiempo finales
Rapidez: solo módulo
Tomando los valores iniciales:
x0 = 0 y t0 = 0
V  20 m / s al norte
La ecuación anterior se convierte en:
Velocidad: módulo, dirección y sentido
v
x
t
Velocidad instantánea.- Es la velocidad
en
cualquier instante del movimiento. Nos indica qué tan
rápido y en qué dirección, va un móvil en un
momento dado.
Rapidez y Velocidad.- Rapidez y velocidad son
magnitudes cinemáticas que suelen confundirse
frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida
desplazamiento efectuado por un móvil son
magnitudes diferentes.
-
dos
con
y el
dos
La rapidez es una magnitud escalar, relaciona la
distancia con el tiempo.
Ejem. 2.3.- Un hombre que viajaba con su coche,
recorre 150 m al Este y luego 70 m hacia el Oeste.
Calcular la rapidez y velocidad del vehículo si el viaje
toma 20 segundos.
Rapidez:
Distancia recorrida = 150 m + 70 m = 220 m
Tiempo = 20 segundos
Rapidez 
dis tan cia 220 m

 11 m / s
tiempo
20 s
Velocidad:
-
La velocidad es una magnitud vectorial,
relaciona el desplazamiento con el tiempo.
Desplazamiento =
-
La rapidez es el escalar de la velocidad
Desplazamiento = 150 m – 70 m = 80 m
Vector que del punto inicial al
punto final
- 24 -
Física General
Tiempo = 20 segundos
desplazamiento 80 m
Velocidad 

 4 m / s al Este
tiempo
20 s
La rapidez es el módulo de la velocidad, cuando el
movimiento se lo realiza en una dirección y en un
solo sentido.
Este ejemplo muestra la diferencia de rapidez y la
velocidad con claridad.
Gráficas del movimiento uniforme.- Existen dos
tipos de representaciones gráficas para el
movimiento uniforme:
Resumiendo:
a) Desplazamiento -vs- tiempo.- Es una recta:
Rapidez: Es magnitud o valor numérico
La pendiente de la recta, se conoce como la rapidez
media del móvil:
Velocidad: Es magnitud y dirección
Clasificación del movimiento según la rapidez.Tomando en cuenta la rapidez, el movimiento de un
objeto se clasifica en:
-
tan 
Movimiento rectilíneo uniforme (M: R. U.)
v
-
Movimiento rectilíneo
(M: R. U. V.)
uniformemente
variado
Movimiento Rectilíneo Uniforme (M. R. U.).- Este
tipo de movimiento se caracteriza por:
-
Su trayectoria es una línea recta
-
El móvil recorre distancias iguales en intervalos
de tiempos iguales
-
Se considera la velocidad constante (en módulo
y dirección)
-
La velocidad instantánea es igual a la velocidad
media
-
La aceleración del móvil es nula (a = 0)
v
x
t
Algunas situaciones son:


x
t
x
t
Física General
- 25 -
b) Velocidad -vs- tiempo.- Siendo la velocidad
constante, su gráfica es una recta paralela al eje de
los tiempos:
v
Ejem. 2.5.- Se ha estudiado el movimiento de un
cuerpo obteniéndose como resultado la gráfica que
se muestra.
a) ¿Cuáles son las ecuaciones que describen su
movimiento?
b) ¿A qué distancia del origen se encuentra cuando
pasan 4.5 s?
t
El área comprendida entre “v” y “t”, representa la
distancia recorrida por el móvil.
A  vt

x  vt
Solución:
v
Ecuaciones generales para el M. R. U.
v = cte.
v
x = x0 + v t
Valores de x0 y v para este caso:
t
t
Punto de corte con el eje vertical: x0 = 10 m
Para la velocidad se calcula la pendiente de la recta.
Para ello se toman dos puntos de lectura fácil (ver
gráfica) y se calcula la pendiente:
NOTA.- Para efectos de cálculo en éste texto
trabajaremos con movimientos rectilíneos donde la
velocidad puede mantenerse constante (tanto en
valor como en dirección), lo que significa que
también la rapidez es constante; en ese caso la
rapidez y la velocidad significan lo mismo y se usará
una sola ecuación para representar a ambas
magnitudes y cuando sea necesario nombrar a la
velocidad habrá que indicar su sentido mediante el
uso de los signos (+) y (–).
Pendiente:
v
x 20 m  10 m
m

 6.67
t
15 s  0 s
s
a) Ecuaciones particulares para este movimiento:
v = cte.
v = 6.7
b) Valor de x cuando:
x = x0 + v t
x = 10 + 6.7 t
t = 4.5 s
x = 10 + 6.7( 4.5) = 40.2 m
- 26 -
Física General
Ejem. 2.6.- El movimiento de un cuerpo obedece a la
ecuación siguiente:
x = – 12 + 5 t
Ejem. 2.7.- Con los siguientes datos de dos móviles:
a) Escribir las ecuaciones que describen el
movimiento de los móviles considerados.
b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?
a) Indica el tipo de movimiento del cuerpo y
haz un esquema de su trayectoria.
b) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas x = f(t)
y v = f(t)
c) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el
origen?
Solución:
Solución:
a) El cuerpo se mueve con M.R.U. ya que la ecuación
x = f(t) es del tipo s = s0 + v t.
a) Para el móvil A:
Siendo los valores de las constantes: x0 = –12 m .
Luego:
El signo menos indica que inicialmente se encuentra
situado a la izquierda del origen: v = 5 m/s.
Para el móvil B:
El signo positivo nos indica que se mueve hacia la
derecha.
Luego:
x0 = -10 m; v = -3 m/s
xA = - 10 – 3 t
x0 = 30 m; v = - 7 m/s
xB = 30 – 7 t
b) Cuando se encuentren, ambos estarán
situados a la misma distancia del origen. Es
decir:
xA = xB
Igualando por tanto ambas expresiones:
-10 – 3t = 30 – 7t
t = 10 s
b) Gráficas:
Se encuentran al cabo de 10 s. Para saber a qué
distancia del origen se encuentran, sustituimos el
valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las
ecuaciones:
xA = – 10 – 3(10) = –40 m
c) Cuando pase por el origen se cumplirá:
x = 0.
Luego : 0 = -12 + 5 t
t = 12/5 = 2.4 s
(40 m a la izquierda)
Física General
- 27 -
Ejem. 2.8.- Un auto recorre, desde Sucre 580 km
rumbo hacia La Paz, a la rapidez de 65 km/h. Llega
a su destino a las 6:30 a.m. ¿A qué hora partió de
Sucre? ¿Dónde estaba a media noche?
Datos:
v = 65 km/h
x = 580 km
t = ?
v
x
t

t
x
v

Ejem. 2.9.- Un motociclista maneja 125 km de una
ciudad a otra en 2.0 h, pero el viaje de regreso lo
hace en sólo 1.5 h. ¿Cuál es la rapidez promedio
para (a) cada mitad del viaje redondo y (b) el viaje
total?
Datos:
= 125 km
= 2.0 h
= 1.5 h
vm = ? (para cada viaje)
vm = ? (para el viaje redondo)
a) El viaje de ida, tendrá una rapidez de:
v1 
x
t

125 km
2.0 h
x
t

125 km
1.5 h
 83.3 km / h
b) En el viaje redondo de ida y vuelta:
v
x
t

v1  80
vm = ?
El movimiento está compuesto por dos tramos de
recorrido x1 y x2, debemos calcular las longitudes de
estos dos tramos y luego determinar la velocidad
media en todo el recorrido:
v1 
x1
1t
2

x1  v1 2t
;
x2  v2
t
2
Sumando ambas ecuaciones:
x  x1  x2
 v1 2t  v2
t
2
 (v1  v2 ) 2t
Reemplazando en la ecuación de la velocidad media:
x
v 
t
v1  v 2  t
t
 v  65
2  v1  v 2  80 km / h  50 km / h
2
2
km
h
 62.5 km / h
En el viaje de retorno, la rapidez es:
v2 
km
h
km
v2  50
h
t
2
t
t2 
2
t1 
580 km
 8.92 h  8 h 55 min
65 km / h
Como llega a su destino a horas 6.30 de la mañana
eso significa que partió a horas: 6 h 30 min. – 8 h 55
min; desde horas 24:00 hasta 6:30 transcurrieron 6 h
30 min; faltando 2 h 25 min, lo que significa que 24 h
– 2 h 25 mi = 21 h 35 min; significa entonces que el
auto partió de Sucre a horas 21:35 de la noche
anterior.
x
t1
t2
a)
b)
Datos:
250 km
3.5 h
Ejem. 2.11.- Dos móviles parten de un punto en
sentidos diferentes con rapideces de 50 km/h y 30
km/h. ¿Qué distancia los separará al cabo de 2
horas?
Datos:
v1 = 50 km/h
v2 = 30 km/h
t = 2h
x = ?
 71.4 km / h
Ejem. 2.10.- Un automóvil durante la primera mitad
del tiempo que estuvo en movimiento llevó la
velocidad de 80 km/h y durante la segunda mitad del
tiempo llevó la velocidad de 50 km/h. ¿Cuál es la
velocidad media de éste automóvil?
Se tiene una ecuación para cada móvil:
v1 
x1
t

x1  v1 t
- 28 -
Física General
v2 
x2
t

x2  v2 t
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones:
x1  x 2
 v1 t  v2 t

x  t (v1  v 2 )
Reemplazando valores:
Ejem. 2.13.- Dos corredores se aproximan uno al
otro sobre una pista recta; tienen rapideces
constantes de 4.5 m/s y 3.5 m/s, respectivamente,
cuando están separados por 100 m. ¿Cuánto les
tomará encontrarse y en qué punto?
Datos:
v1 = 4.5 m/s
v2 = 3.5 m/s
d = 100 m
x = ?
t = ?
x  2 h (50 km / h  30 km / h)  40 km
Ejem. 2.12.- Dos móviles pasan simultáneamente
por un punto en el mismo sentido, con velocidades
de 40 km/h y 25 km/h. ¿Después de que tiempo
estarán separados 300 m?
Datos:
Se tiene una ecuación para cada corredor:
v1 = 40 km/h = 11.11 m/s
v2 = 25 km/h = 6.94 m/s
x = 300 m
t = ?
v1 
x1
t

x1  v1 t
v2 
x2
t

x2  v2 t
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones:
Se tiene una ecuación para cada móvil:
v1 
x1
t

x1  v1 t
v2 
x2
t

x2  v2 t
 v1 t  v 2 t

t 
x  t (v1  v 2 )
Despejando el tiempo:
2
2

 71.94 s
v1  v 2 11.11m / s  6.94m / s
 t  1 min 12 s

d
 t (v1  v 2 )
d
v1  v 2

100 m
4.5 m / s  3.5 m / s
 12.5 s
La distancia medida a partir del primer corredor, se
obtiene reemplazando el tiempo en la ecuación (1):

t
 v1 t  v2 t
Luego:
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones:
x1  x 2
x1  x 2
x1  v1  t  45
m
 12.5 s  56.25 m
s
Física General
- 29 PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
1. Objetivo General:
-
Describir las características del movimiento rectilíneo uniforme.
2. Objetivos específicos:
-
Construir e interpretar la gráfica de la posición en función al tiempo.
Relacionar la pendiente de la gráfica distancia vs. tiempo, con la rapidez media.
Calcular la rapidez media para diferentes distancias de un tipo de movimiento.
3. Fundamento teórico:
Cuestionario:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿Qué es movimiento?
¿Cuántas clases de movimiento existen? Indique un ejemplo por cada uno.
¿Qué es trayectoria?
¿Qué es desplazamiento?
¿Qué es movimiento rectilíneo uniforme?
¿Qué representa el área bajo la curva velocidad vs. tiempo?
¿Qué es la velocidad media?
Resumen:
-
La cinemática se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce.
El movimiento rectilíneo uniforme se caracteriza por mantener la velocidad constante.
La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se define como:
Rapidez media 
-
dis tan cia
tiempo
v
x
t
La distancia recorrida por un móvil con una velocidad constante es una función lineal:
x  vt
4. Material:
-
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet o del CD (Teoría del error)
Cronómetro
5. Procedimiento:
- 30 -
1.
2.
3.
4.
Física General
Inicie el programa de M.R.U. creado o el disponible en el software.
Ponga a funcionar el experimento virtual, mida el tiempo tres veces para cada tramo. Halle el promedio.
Proceda para distancias de: 6.0, 8.0, 10.0, 12.0 y 14.0 m
Anote los resultados en la tabla I.
TABLA I
Ensayo
Tiempo para:
x=6
Tabulación de tiempos y distancias
Tiempo para:
Tiempo para:
x=8
x = 10
Tiempo para:
x = 12
Tiempo para:
x = 14
1
2
3
Tiempo
promedio
5. Traslade los datos a la tabla II
6. Calcule los valores de la rapidez en cada tramo. Halle el promedio de ellos y anote en la tabla III (medida
experimental)
7. Grafique los pares de datos distancia (x) vs. tiempo (t). de la tabla II.
8. Corrija la curva aplicando regresión lineal.
9. Obtenga la pendiente de la curva.
10.La pendiente representa a la rapidez del móvil. Anote su valor en la tabla III (medida teórica)
11.Compare resultados. Determine el error porcentual, considerando como VMP la pendiente.
TABLA II
Distancia: x (m)
Tabulación de datos experimentales
6
Tiempo:
t (s)
Rapidez:
v
8
10
12
14
x (m/s)
t
Velocidad experimental promedio: vexper.= ………………
TABLA III
Rapidez:
Tabulación de resultados
Resultados
Resultados
analíticos
experimentales
Er
E%
v (m/s)
6. Discusión y análisis de resultados:
(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.)
1. ¿Qué factores influyen para una toma mejor de tiempos?
2. ¿Cómo son las rapideces obtenidas en la tabla II? ¿Existe mucha dispersión?
3. Para la construcción de la gráfica y posterior corrección mediante regresión lineal de los pares de datos x vs. t
¿Cómo hizo el trabajo? (manualmente, con RL de la calculadora o Excel) ¿Cuál cree es más conveniente por
la facilidad?
4. La pendiente de la gráfica ¿qué representa?
5. ¿Estos dos valores finales difieren mucho?
6. ¿El error porcentual es aceptable o no?
7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
Física General
- 31 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un automóvil se mueve con rapidez constante a
72 km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 40 s?
Resp: 800 m
2. Calcula la rapidez media de un nadador que
recorre a nado libre una distancia de 100 m en
un tiempo de 50 s.
Resp: 2 m/s
3. Calcular cuánto tiempo necesitará un móvil, a 60
km/h, para recorrer 3500 m.
desde que penetró al túnel el primer vagón hasta
que salió el último?
Resp: 2.13 segundos
12. Un automóvil recorre una distancia de 150 km y
desarrolla en los primeros 120 km una rapidez
media de 80 km/h, en tanto que en los últimos
30 km tiene una rapidez media de 60 km/h.
a) ¿Cuál fue el tiempo total recorrido?
b) ¿Cuál fue la rapidez media del automóvil en el
recorrido total?
Resp: a) 2 h; b) 75 km/h
Resp: 3 min 30 s
4. Calcula el tiempo que tarda la luz para viajar del
Sol a la Tierra (d = 1.5x1011m) sabiendo que su
rapidez es constante = 3x108 m/s
Resp: 500 s
5. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad
constante
de
0.60
km/h,
calcule
el
desplazamiento que hace en 3.0 segundos.
Resp: 0.50 m
6. La velocidad de un avión es 980 km/h y la de otro
es 300 m/s. ¿Cuál es más veloz?
Resp: El segundo
7. ¿Cuántas horas tarda un vehículo en recorrer
1200 km a una velocidad constante de 18.0 m/s?
Resp: 18.5 h
13. Un coche se mueve a 100 km/h y en un
determinado momento le pasa otro a
120
km/h. ¿Después de cuánto tiempo el segundo
coche le habrá sacado 10 km de ventaja?
Resp: 30 minutos
14. Dos ciclistas viajan con rapidez constante por
una carretera. El primero (A) corre a 25.0 km/h,
el segundo (B) hace 32.0 km/h. Exactamente al
mediodía A está 17.5 km delante de B. ¿A qué
hora B rebasa a A, y qué distancia ha recorrido
cada uno desde el mediodía?
Resp: Hora de encuentro: 14:30; 62.5 y 80 km
15. Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al
ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora
50 s en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?
Resp: L = 300m
8. Un cuerpo se mueve con M.R.U. y se desplaza
100 metros en 20 segundos. Calcule la velocidad
del cuerpo.
Resp: 5.0 m/s
9. Un corredor de maratón completa la distancia de
41.82 km en 2 horas y 9.0 minutos. ¿Cuál es su
velocidad media en millas por hora y en metros
por segundo? ¿Cuánto tiempo necesitó en
promedio para recorrer una milla?
Resp: 12.1 millas/h, 5.40 m/s, 4 minutos y 57.5 segundos
16. Dos autos se mueven en el mismo sentido con
velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s.
¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al
otro? ver figura.
Resp: 10 s
10. Una estrella del atletismo corre los 100 m en
9.85 s. ¿Cuál es su velocidad media en
kilómetros por hora y en millas por hora?
Resp: 36.55 km/h ; 22.71 millas/h
11. Un tren de 65 m de largo se mueve a una
rapidez constante de 144 km/h y atraviesa un
túnel que mide 20 m. ¿Cuánto tiempo transcurrió
17. Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad
de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a
- 32 una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles
se mueven en la misma dirección y sentido, y
que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular
después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante
de “B”?
Resp: 10 s
Física General
Resp: A las 4 horas 54 minutos 43 segundos; 65.67 km,
59.32 km
23. Dos pueblos distan entre sí 180 km.
Simultáneamente salen de cada uno de ellos
dos ciclistas con rapidez de 20 km/h y 40 km/h.
¿En qué punto de la carretera se encontrarán y
cuánto tiempo transcurrió hasta el encuentro?
Resp: A 60 km de uno de los pueblos; 3 h
18. Dos estudiantes corren en una pista. Uno
mantiene una rapidez constante de 4 m/s. El
otro, que es más rápido, arranca 6 s después
que el primero y lo alcanza 20 s después ¿Cuál
fue la rapidez media del corredor más rápido, y
qué tan lejos llegó cada corredor en el momento
del rebase?
Resp: 5.2 m/s, 104 m
19. Dos estudiantes son corredores de fondo. Uno
puede mantener una rapidez de 5.20 m/s, y el
otro de 4.50 m/s. Ambos corren una distancia de
1.60 km, el corredor más rápido da una ventaja
al más lento; podrá arrancar sólo después de
que el más lento pase por cierto punto marcado
en la pista. ¿A qué distancia debe estar ese
punto de la línea de salida para que ambos
corredores alcancen la meta al mismo tiempo?
Resp: 215.4 m
20. Dos móviles están a una distancia, uno del otro,
de 150 km. Salen al encuentro, llevando
velocidades de 40 y 60 km/h, respectivamente.
¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse y qué
espacio habrán recorrido cada uno de ellos?
Resp: 1.5 horas; 60 y 90 km
21. Desde
un
mismo
punto
parten
dos
automovilistas
con
movimiento
rectilíneo
uniforme y en el mismo sentido. El primero se
mueve con una rapidez de 24 km/h y el segundo
sale media hora después con una rapidez de 72
km/h. ¿Qué distancia los separa después de
hora y media de haber iniciado el primero su
movimiento?
Resp:
36 km. El segundo automóvil se encuentra
adelante.
22. Dos ciudades distan 125 km. De la ciudad A sale
un vehículo, hacia B, a las 4:00 de la tarde, a
una velocidad de 72 km/h. Media hora después,
sale de B otro coche, en dirección a A, con una
velocidad de 144 km/h. Calcular la hora a la que
se encuentran ambos vehículos y la distancia
recorrida por cada uno de ellos.
24. Dos móviles marchan en sentido contrario,
dirigiéndose el uno al encuentro del otro, con
velocidades de 6 y 4 cm/s, respectivamente. Si
el encuentro tiene lugar a 1.52 m del punto de
partida del primero, calcular la distancia de
partida de los móviles, y el tiempo transcurrido
hasta encontrarse.
Resp: 2.53 m; 25.33 s
25. Dos autos salen de una ciudad al mismo tiempo,
uno (A) con una velocidad de
40 km/h y el
otro (B) a 20 m/s. ¿Cuántos kilómetros le habrá
sacado de ventaja el coche (B), trascurrido un
tiempo de 1 h 22 m 30 s.
Resp: 44 km
26. Un trabajador parte de su casa todos los días a
la misma hora y realiza un movimiento uniforme,
llegando a su destino a las 10:30 a.m. Si se
duplicara su velocidad llegaría a las 9.30. ¿A
qué hora parte de su casa?
Resp: 8:30 a.m.
27. Dos móviles parten desde un mismo punto
siguiendo
trayectorias
rectilíneas,
perpendiculares entre sí, con velocidades de 6
m/s y 8 m/s. ¿Después de qué tiempo ambos
móviles estarán separados 200 m?
Resp: 20 s
28. Dos trenes parten de dos ciudades A y B
distantes entre sí 600 km, con velocidades de
80.0 km/h y 100.0 km/h respectivamente, pero A
sale dos horas antes. ¿Qué tiempo después de
haber salido B y a que distancia de A se
encontrarán?
Resp: 2.44 h; 355 km
29. Dos autos se mueven en sentidos contrarios
con velocidades constantes. ¿Después de que
tiempo se encuentran si inicialmente estaban
separados 2000 m? (Velocidad de los autos 40
m/s y 60 m/s).
Resp: 20 s
Física General
- 33 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Para una velocidad constante, la rapidez es:
a) Continuamente cambiante
b) Igual a la magnitud del vector velocidad
c) Menor que la magnitud de la velocidad
d) Mayor que la magnitud de la velocidad
2.
Un movimiento es uniforme y rectilíneo, cuando
se cumple:
a) Velocidad constante y trayectoria recta
b) Velocidad variable y trayectoria recta
c) Velocidad constante y trayectoria curva
d) Velocidad variable y aceleración nula
3.
Si a  v  0 , se trata de un movimiento:
t
a) Circular
b) Uniformemente acelerado
c) Uniformemente variado
d) Rectilíneo uniforme
4.
Un ciclista que se mueve a razón de 6 m/s, en
un cuarto de hora recorre una distancia:
a) 5400 km
c) 90 km
b) 90 m
d) 5400 m
5.
Un auto que viaja en línea recta 200 km; luego
regresa 100 km empleando un tiempo de 5
horas en todo el recorrido, se movió con
velocidad media de:
a) 60 km/h
b) 20 km/h
c) 40 km/h
d) 30 km/h
6.
La rapidez media del auto del problema anterior
fue:
a) 60 km/h
c) 40 km/h
7.
Un micro parte de Sucre a las 7:30 de la
mañana y llega a Potosí a las 12:30. Si la
distancia es de 160 km, su velocidad media es:
a) 40 km/h
c) 32 km/h
8.
b) 20 km/h
d) 30 km/h
10. Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando:
a) Su rapidez es constante y además su
trayectoria es una recta
b) Su trayectoria es una recta y además su
rapidez varía de manera uniforme
c) Su rapidez es constante
d) Su trayectoria es una recta
11. Un auto recorre 50 km en 30 minutos. ¿Cuál es
su rapidez media?
a) 25 km/h
c) 80 km/h
b) 50 km/h
d) 100 km/h
12. Un móvil que va con M.R.U. inicia su
movimiento en x = 12 m y luego de 8 s está en x
= 28 m. Hallar su velocidad.
a) 2 m/s
b) 6 m/s
c) 8 m/s
d) 7 m/s
13. Para el movimiento de la partícula con M.R.U.
en la figura podemos decir que su velocidad
media es:
a) 4/5 m/s
c) 12/5 m/s
b) – 8/5 m/s
d) – 4 m/s
14. Para el movimiento de la partícula con M.R.U.
en la figura podemos decir que su velocidad
media es:
b) 60 km/h
d) 50 km/h
La pendiente en un gráfico posición en función
del tiempo representa: (M.R.U.)
a) Aceleración
c) Desplazamiento
b) Aumenta su velocidad 2 m cada segundo al
cuadrado
c) Aumenta su velocidad 2 m/s
d) Aumenta su distancia 2 m cada segundo
b) Velocidad
d) Posición
a) –5 m/s
c) +20/6 m/s
b) +5 m/s
d) –10/6 m/s
15. Marque la proposición correcta:
9.
Un movimiento es rectilíneo uniforme cuando:
a) Disminuye su velocidad 2 m/s cada segundo
a) En el M.R.U. el vector velocidad cambia
continuamente
- 34 -
Física General
b) En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una
línea recta
c) En el M.R.U. la aceleración siempre es cero
d) El espacio recorrido es una magnitud
vectorial
16. Los móviles “A” y “B” parten de las posiciones
mostradas simultáneamente con VA = 3 m/s y
VB = 4 m/s. ¿Qué podemos opinar?
a) 100 m b) 200 m
“A” llega primero a P
“B” llega primero a P
Ambos llegan simultáneamente
Falta precisar información para decidir que
responder
d) 400 m
21. Dos autos se mueven en sentidos opuestos con
velocidades constantes ¿Después de que
tiempo se encuentran si inicialmente estaban
separados 2000 m? (velocidades de los autos
40 m/s y 60 m/s)
V B = 60 m/s
V A = 40 m/s
a) 15 s
a)
b)
c)
d)
c) 300 m
b) 10 s
c) 20 s
d) 25 s
22. Dos autos se mueven en el mismo sentido con
velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s.
¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al
otro?
V B = 40 m/s
V A = 60 m/s
17. De un punto parten simultáneamente dos
movilidades en el mismo sentido con rapideces
de 3 m/s y 4 m/s. Al cabo de 15 s estarán
separados:
a) 10 m
b) 15 m
c) 20 m
d) 25 m
18. Una persona recorre 10 metros en línea recta y
luego retrocede hasta el punto de partida.
¿Cuánto vale el desplazamiento?
a) 10 m
b) 20 m
c) 30 m
d) 0 m
a) 15 s
b) 10 s
c) 20 s
d) 25 s
23. Se muestra la posición inicial de los móviles que
tienen velocidad constante. ¿Qué distancia
estarán se parados después de 3 horas?
19. ¿Cuántas horas dura el viaje mostrado en la
figura, haciendo un recorrido de 540 km y el
automóvil marcha a razón de 45 km/h?
a) 13 km
a) 10 h
b) 11 h
c) 12 h
d) 13 h
b) 26 km
c) 15 km
d) 39 km
24. Dos móviles A y B salen del mismo punto con
rapidez constante de 70 m/s y 50 m/s.
¿Después de cuántos segundos equidistan del
poste?
20. Un tren de 200 m de largo se mueve en línea
recta con rapidez constante. Si demora en pasar
frente al poste 8 s y en atravesar el túnel 24 s.
Determine el largo del túnel.
a) 10 s
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
Física General
- 35 -
Cap. 3
CINEMÁTICA II
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO
(M. R. U. V.)
CONTENIDO:
- 36 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos los procesos de movimiento acelerado
estudiando y analizando las características y efectos
de los cambios de velocidad, recurriendo al trabajo
práctico de
laboratorio y solución de problemas
numéricos, que permita a los estudiantes aplicar a
situaciones creativas en el contexto que les rodea.
CINEMÁTICA CON EDUCAPLUS
Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Movimiento en una dirección.
Física General
- 37 -
Aceleración.- Como ya se indicó en el tema anterior,
la aceleración relaciona los cambios de la
velocidad con el tiempo.
Aceleración debido al cambio en la dirección de
la velocidad:

v  10m / s
Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se
mueve con una gran velocidad, su aceleración
también es grande; que si se mueve con velocidad
pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si
su velocidad es cero, entonces su aceleración
también debe valer cero. ¡Esto es un error!

ac

ac
- Una aceleración grande significa que la velocidad
cambia rápidamente.
- Una aceleración pequeña significa
velocidad cambia lentamente.
que
la
- Una aceleración cero significa que la velocidad no
cambia.
Como la velocidad es una magnitud que contempla
la rapidez de un móvil y su dirección, los cambios
que se produzcan en la velocidad serán debidos a
variaciones en la rapidez y/o en la dirección.

v  10m / s

ac

v  10m / s
La rapidez permanece constante.
La
dirección
continuamente.
de
la
velocidad
varía
Aceleración media.- Es el cociente entre el vector
cambio de velocidad y el tiempo empleado en
efectuar dicho cambio.
¡El volante de un coche también es un
acelerador!- Es muy importante que conozcamos
cuándo está cambiando la velocidad. Como la
velocidad se compone de la rapidez y la dirección,
cualquier cambio en ellas supone un cambio en la
velocidad.
Observa que esto supone que cuando un coche toma
una curva, aunque su rapidez sea constante, está
cambiando la dirección de la velocidad. La
aceleración centrípeta nos informa sobre los
cambios en la velocidad de un móvil.
Resumiendo se tiene:
aceleración 
a
“La aceleración es una magnitud vectorial, se
define como la razón de cambio de la velocidad
respecto al tiempo”
“Se dice que un objeto se acelera cuando su
rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o
cuando cambia la dirección de movimiento”
Aceleración debido al cambio en la magnitud de
la velocidad:
La dirección permanece constante.
La rapidez (módulo de la velocidad) varía en
forma uniforme.
var iación de velocidad
var iación de tiempo
v v  v0

t t  t 0
a
v  v0
t
v0
= Velocidad inicial, (m/s)
v
= Velocidad final, (m/s)
= Tiempo empleado, (s)
= Aceleración, (m/s2)
t
a
- 38 -
Física General
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
(M.R.U.V.).- Se caracteriza porque:
a) Velocidad en función del tiempo: De la
definición de la aceleración:
v  v0
t
a 
a  cte.
v  v0  a t
b) Velocidad en función del desplazamiento:
Cuando la aceleración es constante, la velocidad
media es:
v
De la velocidad media: v 
-
Su trayectoria es una línea recta.
-
Los cambios de velocidad son iguales en
intervalos de tiempos iguales.
-
El móvil recorre distancias diferentes en tiempos
iguales.
-
El
cuerpo
se
mueve
uniformemente variable.
-
La aceleración del móvil es constante.
con
v  v0
2
velocidad
Ecuaciones del M.R.U.V.– Las ecuaciones del
movimiento rectilíneo, son de tipo vectorial
(velocidad, aceleración y desplazamiento son
magnitudes vectoriales).
Se tiene:
 v  v0
x
 2
De la aceleración:
-
Si la velocidad y la aceleración tienen sentidos
opuestos, el móvil desacelera, va frenando.
-
Si la velocidad y la aceleración tienen igual
sentido, el móvil acelera, aumenta su rapidez.

t

t
(1)
v  v0
a
(2)
De las ecuaciones (1) y (2), se tiene:
 v  v0
x
 2
  v  v0  v  v0
 t   2  a
 

Despejando:
Lo que significa que se debe tener en cuenta los
sentidos para establecer los signos al reemplazar sus
valores en cada variable.
x
t
2
2
 v  v0


2a

v2  v02  2 a x
c) Desplazamiento en función del tiempo: De la
velocidad media:
v
x
t
-
Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial es
cero.
Cuando la aceleración es constante, la velocidad
media es:
v  v0
v
2
-
Si el móvil va frenando y se detiene, la velocidad
final es cero.
Igualando ambas ecuaciones:
 v  v0
x
 2
v0 = Velocidad inicial
a = Aceleración
v = Velocidad final
x = Desplazamiento
Ordenando:
x v  v0

t
2
  v0  a t  v0
t  
2
 
x  v0 t  12 a t 2
2 v0 t  a t 2

t


2

Física General
- 39 -
También es importante considerar la ecuación:
 v  v0
x
 2

t

d) Velocidad media o promedio: Estas ecuaciones
son aplicadas en muchos ejercicios de M.R.U.V:
v
x
t
vo  v
2
v
Gráficas del movimiento uniformemente variado:
b) Desplazamiento -vs- tiempo.- La gráfica es una
parábola:
a) Velocidad -vs- tiempo.- Es una recta, cuya
pendiente se conoce como la aceleración media
del móvil:
- La aceleración es positiva si la parábola se abre
hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo.
- Cuanto más cerrada sea la parábola, mayor
aceleración
v
- La parábola siempre pasa
(desplazamiento inicial x0 = 0)
v2
v1
-
-
La inclinación de la recta depende de la
aceleración.
-
Para calcular v0 determinar el punto de corte de
la recta con el eje “v”.
Para calcular la aceleración del movimiento,
calcular la pendiente de la recta
-
v
t
x

a
v
t
t
O
c) Aceleración -vs-tiempo.- La gráfica es una recta
horizontal:
a
El área comprendida entre la pendiente las
verticales y el eje de los tiempos representa la
distancia recorrida por el móvil.
t
At  A1  A2  v 0 t  12 (v  v 0 ) t
 v  v0
At  v 0 t  12 
 t
d  v 0 t  12 a t 2
origen,
t2
t1
tan  
el
- Si es cóncava hacia arriba el movimiento es
acelerado.
t
-
por
 2
 t  v 0 t  12 a t 2

- 40 -
Física General
Ejem. 3.1.- Escribe las ecuaciones que describen el
movimiento del automóvil de la figura:
t =0
v = 20 m/s
0
Ejem. 3.3.- La gráfica siguiente se ha obtenido tras
estudiar el movimiento de un cuerpo.
a) ¿Qué tipo de movimiento tiene?
b) ¿Cuáles son sus ecuaciones?
c) ¿Qué sucede para t = 5 s?
100 m
a = 5 m/s2
Solución: Ecuaciones
movimiento:
v  v0  a t
generales
x 
para
el
x0  v0 t  12 a t 2
-
Se toma como origen de distancias el punto 0.
Sentido positivo hacia la derecha.
-
Determinación de x0: ¿A qué distancia del origen
está el automóvil cuando t = 0? x0 = 100 m
-
Determinación de v0: ¿Cuál es la velocidad del
punto cuando t = 0? v0 = 20 m/s
-
Determinación de la aceleración: a = –5 m/s2
(signo menos, ya que apunta hacia la izquierda).
-
Ecuaciones para este movimiento:
v  20  5 t
x  100  20 t  2.5a t 2
Solución:
a) La gráfica v = f(t) es una recta con pendiente
negativa. Esto nos indica que la velocidad disminuye
con el tiempo pero de forma lineal (la misma cantidad
en 1 s).
El movimiento es uniformemente “acelerado” (con
aceleración negativa, también se llama movimiento
uniformemente retardado).
Para calcular la aceleración (desaceleración)
calculamos la pendiente de la recta:
a
v v 2  v1 0  40 m / s


 8 m / s 2
t
t 2  t1
5s  0
Ejem. 3.2.- ¿Cuánto tarda en frenar el automóvil del
ejemplo anterior?
Solución:
Observa los valores tomados:
De la ecuación: ¿Qué valor toma t cuando v = 0?
b) Como no existen datos tabulados, podemos tomar
para x0 cualquier valor.
Si: v = 0 implica que:
0 = 20 – 5 t
t = 20/5 = 4 s
¿Cuál es su velocidad al cabo de 5.3 s?
¿Qué valor toma v cuando t = 5.3 s?
Si: t = 5.3 s
v = 20 – 5(5.3) = –6.5 m/s
El signo indica que se desplaza hacia la izquierda.
Después de frenar da la vuelta.
t1 = 0 ; v1 = 40 ; t2 = 5 ; v2 = 0
Tomaremos v0 = 40 m/s (leído en la gráfica);
a = –8 m/s2 (calculado)
Ecuaciones:
v  v0  a t

v  40  8 t
x  v0 t  12 a t 2

x  40 t  4 t 2
c) En la gráfica se puede leer que cuando:
t = 5 s, v = 0
Al cabo de 5 s se detiene.
Para t > 5 s; observa que la línea en la gráfica v–t
rebasa el eje horizontal empieza la velocidad a tomar
valores negativos ¿cómo se puede interpretar esto?
Física General
- 41 -
Ejem. 3.4.- Un cuerpo parte
del reposo y comienza a
moverse. Los datos tomados
se recogen en la tabla
adjunta. Indicar qué tipo de
movimiento tiene y determinar
las ecuaciones para el mismo.
Datos:
t (s)
0
1
2
3
4
5
Solución:
x (m)
10
13
22
37
58
85
Se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido
no varía linealmente con el tiempo. Esto indica que
su velocidad va aumentando.
Si se trata de un movimiento uniformemente
acelerado, su aceleración, será constante.
1h
km 1000 m
m
*
*
 12.5
h
1 km 3600 s
s
a = 1.50 m/s2
x = 200 m
a) v = ?
b) t = ?
Solución:
v 0  45
a) Haciendo uso de la ecuación, velocidad final en
función del desplazamiento:
v 2  v02  2 a x  (12.5 m / s) 2  2(1.50 m / s 2 )(200 m)
v 2  156.25 m2 / s 2  600 m2 / s 2  756.25 m2 / s 2
v 
 27.5 m / s
756.25 m2 / s 2
Si el movimiento es uniformemente acelerado deberá
cumplir con:
x  x0  v0 t  12 a t 2
Como en este caso v0 = 0, la ecuación quedará:
a
v  v0  a t
 t
v  v 0 27.5 m / s  12.5 m / s

a
1.50 m / s 2
t  10 s
x  x0  12 a t 2
Despejando “a” :
b) El tiempo con la ecuación de la velocidad en
función del tiempo:
2 ( x  x0 )
Ejem. 3.6.- Un automóvil que va a 85 km/h en un
camino recto se detiene en 10 s. ¿Qué tan lejos viajó
el auto durante ese tiempo?
t2
Usando la ecuación anterior y con los datos
correspondientes de t y x comprobamos si el valor
de a es constante:
a
2(13  10)
 6 m / s2
12
a
2(22  10)
 6 m / s2
22
Para obtener las ecuaciones determinamos el valor
de v0 y x0:
a
v0 = 0 (dado en el enunciado)
x0 = 10 m, valor de x cuando t = 0 (ver tabla)
Sus ecuaciones son:
v  v0  a t
x  x0  v0 t  12 a t
2
Datos:
vo = 85 km/h = 23.6 m/s
t = 10 s
Solución:

v  v0
t

0  23 m / s
10 s
v = 0
x = ?

 2.36 m / s 2
x  v0 t  12 a t 2  (23.6 m / s) (10 s)  12 (2.36 m / s 2 ) (10 s)2
x  236 m  118 m  118 m

v  6t

x  10  3 t 2
Ejem. 3.5.- Un tren que viaja sobre rieles rectos tiene
una velocidad inicial de 45 km/h. Se aplica una
aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el tren
recorre 200 m.
a) ¿Cuál es la velocidad del tren al final de este
desplazamiento?
b) ¿Cuánto tiempo toma al tren recorrer los 200 m?
Ejem. 3.7.- Un automóvil que viaja sobre un camino
recto a 90 km/h disminuye la velocidad a 40 km/h en
5 s. ¿Cuál es su aceleración promedio?
Datos:
1h
km 1000 m
m
v 0  90
*
*
 25
h
1 km 3600 s
s
v  40
1h
km 1000 m
m
*
*
 11
h
1 km 3600 s
s
t = 5s
Solución:
a = ?
- 42 -
Física General
v v  v0 11 m / s  25 m / s 13 m / s
a



 2.8 m / s 2
t
t
5s
5s
Ejem. 3.8.- Un bote de motor parte del reposo en un
lago y acelera en línea recta a razón de 3 m/s 2
durante 8 s. ¿Qué tan lejos viajó el bote durante ese
tiempo? ¿Qué velocidad alcanzó?
Datos:
vo = 0
a = 3 m/s2
t = 8s
x = ?
v = ?
Solución:
Ejem. 3.10.- Un automóvil parte del reposo y acelera
durante 6 s a 3.20 m/s2. Mantiene una velocidad
constante durante 48 s y desacelera uniformemente
hasta detenerse en un punto que está 58.0 m
adelante del lugar donde se aplicaron los frenos.
¿Cuál es la distancia recorrida por el autobús, cuánto
tiempo ha estado en movimiento y cuál es su
velocidad media?
Datos:
v0 = 0
t1 = 6 s
a1 = 3.20 m/s2
t2 = 48 s
x3 = 58.0 m
xt = ?
tt = ?
vm = ?
Cálculo de la distancia recorrida:
x  v0 t  12 a t 2  12 (3 m / s 2 ) (8 s)2  12 (3 m / s 2 ) (64 s 2 )  96m
Solución:
La velocidad del bote al final de los 8 s, es:
Primer tramo: M. R. U. V.
v  v0  a t  (3 m / s ) (8 s)  24 m / s
2
v1
Ejem. 3.9.- Un carro se mueve con aceleración
constante, y al pasar por un punto A tiene una
velocidad de 50 m/s. Si a 400 m más adelante su
velocidad es de 120 m/s. ¿Cuál fue su velocidad 50
m atrás de A?
Datos:
vA = 50 m/s
v = 120 m/s
x1 = 50 m
x2 = 400 m
v0 = ?
 v0  a1 t1
x1  v 0 t1 

x2  v1 t2  (19.2 m / s) (48 s)  921.6 m
Tercer tramo: M. R. U. V.
v22  v12  2a3 x3
 a3 
v 2  v 02  2ax 2

a
v2  v1 0  19.2 m / s

a3
 3.18 m / s 2
t 3  6.0 s
v 2  v 02
2x2
120 m / s   50 m / s 
2400 m 
2
v22  v12 0  19.2m / s 2

2 x3
258.0 m 
m
s2
v2  v1  a3t3  t 3 
Solución:

1
1
2
a1 t12  3.20 m / s 2 6 s   57.6 m
2
2
Segundo tramo: M. R. U.
a3  3.18
a
 (3.20 m / s 2 ) (6 s)  19.2 m / s

2
 14.87
m
s2

1
1
2
x3  v1 t3  a3 t 32  19.2 m / s 6.0 s   3.18 m / s 2 6.0 s 
2
2
x3  115.2 m  57.2 m  58 m
Finalmente las soluciones del problema son:
Luego:
xt  x1  x2  x3  57.6 m  921.6 m  58 m  1037.2 m
v 2A
v0 

v02
 2 a x1  v0

v 2A
 2 a x1
(50m / s) 2  2(14.87m / s 2 )(50m)
 31.8 m / s
tt
v
 t1  t2  t3

xt
tt

 6 s  48 s  6 s  60 s
1037.2 m
60 s
 17.29 m / s
Física General
- 43 PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
1. Objetivo General:
-
Describir las características del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
2. Objetivos específicos:
-
Verificar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Describir y calcular la aceleración de un cuerpo con movimiento acelerado.
Interpretar la gráfica velocidad vs. tiempo.
Relacionar la pendiente de la gráfica velocidad vs. tiempo, con la aceleración.
3. Fundamento teórico:
-
El movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza por cumplir con:
a
v
t
v  v0  at
v 2  v02  2ax
x  v0 t  12 at 2
v v
x 0
t
 2 
4. Material:
-
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet.
Construir una simulación de M. R. U. V. para un bloque en un plano inclinado sin rozamiento.
Cronómetro
5. Procedimiento:
1. Inicie el programa de M.R.U.V. creado o el disponible en el software.
2. Ponga a funcionar el experimento virtual y mida el tiempo tres veces para distancias de 6 m, 9 m, 12 m,
15 m y 18 m. Halle el promedio.
3. Anote los resultados en la tabla I.
4. Traslade los valores de la tabla I, a la tabla II
5. Halle la velocidad final de cada tramo (Considerando v0 = 0):
2x
v v
x 0
 v0
t  v 
2
t


- 44 -
Física General
6. Con la velocidad obtenga la aceleración de cada tramo y obtenga el valor promedio: a 
TABLA I
Ensayo
Tiempo para:
x=6m
Tabulación de tiempos y distancias
Tiempo para:
Tiempo para:
x=9m
x = 12 m
v
t
Tiempo para:
x = 15 m
 a
v  v0
t
Tiempo para:
x = 18 m
1
2
3
Tiempo
promedio
TABLA II
Distancia:
x (m
Tiempo:
t (s)
Velocidad:
v (m/s)
Aceleración:
a (m/s2)
Tabulación de datos experimentales
6
9
12
15
18
Aceleración experimental promedio aexper.= ………………
7. Grafique los pares de datos velocidad (v) vs. tiempo (t)
8. Corrija la gráfica aplicando regresión lineal.
9. Obtenga a pendiente de la gráfica.
10. Compare la pendiente con los valores de la aceleración de la tabla II.
11. Determine el error porcentual, considerando como valor más probable la pendiente y el valor medido el
promedio de las aceleraciones de la tabla II.
TABLA III
Tabulación de resultados
Resultados
Resultados
analíticos
experimentales
Er
Aceleración:
a (m/s2)
6. Discusión y análisis de resultados:
(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, gráficas, etc.)
Preguntas:
1. ¿Cuándo se dice que un cuerpo acelera?
2. ¿Cuándo se tiene un movimiento uniformemente acelerado?
3. Matemáticamente, ¿cómo está definida la aceleración uniforme?
7. Conclusiones:
(Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
E%
Física General
- 45 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Un cohete parte del reposo con aceleración
constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad
de 588 m/s. Calcular:
a) Aceleración.
b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?
Resp: a = 19.6 m/s²; x = 8820 m
2.
Un móvil que se desplaza con velocidad
constante aplica los frenos durante 25 s y
recorre 400 m hasta detenerse. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar
los frenos?
b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?
Resp: v0 = 32 m/s; a = –1.28 m/s²
3.
¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar
una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo
acelerando constantemente con una aceleración
de 20 km/h²?
Resp: t = 3 h
4.
Un móvil parte del reposo con una aceleración
de 20 m/s ² constante. Calcular:
a) ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s?
b) ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?
Resp: vf = 300 m/s; x = 2250 m
5.
Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una
velocidad de 90 km/h, si su aceleración es
constante, calcular:
a) ¿Cuánto vale la aceleración?
b) ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?
c) ¿Qué velocidad tendrá los 11 s?
Resp: a = 5 m/s²; x = 62.5 m; vf = 55 m/s
6.
Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en
recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para
alcanzar 40 km/h?
Resp: t = 27.8 s
7.
Un móvil se desplaza con M.U.V. partiendo del
reposo con una aceleración de 4 m/s², calcular:
a) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de
la partida?
c) Representar gráficamente la velocidad en
función del tiempo.
Resp: vf = 40 m/s; x = 2048 m
8.
Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con
una aceleración constante de 8 m/s2. Calcular:
a) La velocidad que tiene al cabo de 5 s
b) La distancia recorrida, desde el reposo, en los
primeros 5 s.
Resp: a) 40 m/s; 100 m
9.
La velocidad de un vehículo aumenta
uniformemente desde 15 km/h hasta 60 km/h en
20 s. Calcular:
a) La velocidad media en m/s
b) La aceleración
c) La distancia recorrida durante este tiempo.
Resp: a) 10.42 m/s; b) 0.625 m/s2 ; c) 208.34 m
10. Un automóvil que marcha a una velocidad de 45
km/h, aplica los frenos y al cabo de 5 s su
velocidad se ha reducido a 15 km/h. Calcular
a) La aceleración
b) La distancia recorrida durante los 5 s.
Resp: a) –1,67 m/s2; b) 41.62 m
11. Un tren viaja a 120 km/h y necesita detenerse
en 100 m. ¿Qué aceleración necesita
imprimírsele? ¿Cuánto tiempo tarda en
pararse? ¿Qué velocidad media?
Resp: –5.55 m/s2 ; 6 s ; 16.67 m/s
12. Un tren que marcha a la velocidad de 80 km/h,
frena durante 60 m, con lo que su velocidad
pasa a ser de 50 km/h. ¿Cuál es el valor de la
aceleración?
Resp: –2.51 m/s2
13. El conductor de un camión que va a 100 km/h
aplica los frenos, dando al camión una
desaceleración uniforme de 6.50 m/s 2 conforme
viaja 20.0 m
a) ¿Cuál es la velocidad del camión en km/h al
final de esa distancia?
b) ¿cuánto tiempo empleó?
Resp: 81.43 km/h, 0.8 s
14. Un automóvil parte del reposo con una
aceleración constante de 0.5 m/s², transcurridos
2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad
constante, determinar:
a) ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros
minutos?
b) ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas
de la partida?
Resp: x1 = 3.6 km; x = 212.4 km
15. Un auto se mueve con una rapidez de 20 m/s.
cuando el conductor aplica los frenos. El
movimiento pasa a ser uniformemente
- 46 -
Física General
retardado, haciendo que el auto se detenga
totalmente en 4 s.
a) Calcula la desaceleración que los frenos
imprimieron al auto.
b) ¿Qué distancia recorre desde el momento
que aplicaron los frenos hasta que se detuvo?
Resp: a) –5 m/s2; b) 40 m
16. Un automóvil viaja a 35.0 millas/ h se encuentra
a 110 pies de una barda cuando el conductor
aplica los frenos. Cuatro segundos después el
auto choca con la barda.
a) ¿Cuál es la desaceleración del automóvil
antes del impacto?
b) ¿Cuál era la rapidez del auto en el momento
del impacto?
2
Resp: a) -11.9 pies/s ; b) 3.7 pie/s
17. Un antílope con aceleración constante cubre la
distancia de 70.0 m entre dos puntos en 7.0 s. Su
rapidez al pasar el segundo punto es 15.0 m/s.
a) ¿Qué rapidez tenía en el primero?
b) ¿Qué aceleración tiene?
Resp: 5.0 m/s; 1.43 m/s2
18. El anuncio de un auto deportivo dice que puede
alcanzar una velocidad de 90.0 km/h en 6.85 s
¿Cuál es la aceleración media del auto, y
compare con la aceleración de la gravedad?
Resp: 3.65 m/s2
aproximadamente un tercio de la
aceleración de la gravedad
19. Una bicicleta que avanza a 10 m/s acelera a
razón de 4 m/s2
a) ¿Cuál será su rapidez al cabo de 5 s?
b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
Resp: a) 30 m/s; b) 100 m
20. Un carro, inicialmente en reposo, rueda cuesta
abajo en una colina a una aceleración uniforme
de 5.0 m/s2. ¿Cuánto tiempo le tomará viajar
150 m, la distancia hasta el fondo de la colina?
Resp: 7.75 s
21. Un tren que se desplaza a 240 km/h aplica los
frenos disminuyendo su velocidad a razón de
4.5 m/s2. ¿Cuál es la velocidad que lleva al cabo
de 56 m de recorrido?
Resp: 225.98 km/h
22. Un móvil parte del reposo y recorre una
distancia en dos etapas durante 16 segundos y
ha adquirido una velocidad de 60 m/s. La
primera parte dura 6 s y es movimiento
acelerado; la segunda parte es movimiento
uniforme. Calcular:
a) La aceleración de la primera parte
b) La distancia recorrida durante los 16 s
Resp: a) 10 m/s2 ; b) 780 m
23. Un auto al pasar por dos puntos separados 180
m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con
una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué
velocidad pasa por el segundo punto.
Resp: 25 m
24. Un móvil parte del reposo con una aceleración
constante. Si su velocidad aumenta a razón de
10 m/s cada 5 s. Calcular el espacio que habrá
recorrido en 1 minuto.
Resp: 3600 m
25. Un móvil parte del reposo con una aceleración
constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el
espacio que recorre en los 4 s siguientes.
Resp: 96 m
26. Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,
desacelerando constantemente. Si luego de 3 s
su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto
tiempo más debe transcurrir para lograr
detenerse?
Resp: 6 s
27. Un móvil parte con una velocidad inicial de 10
m/s. Durante 5 s, acelera 8 m/s²; mantiene la
velocidad 20 s y por último, frena hasta
detenerse al cabo de 10 s. Calcular la
aceleración del tercer tramo y la distancia total
recorrida.
Resp: –5 m/s2 , 1400 m
28. Una esfera inicia un movimiento con rapidez de
10 m/s la cual mantiene constante durante 8 s,
luego comienza a frenarse con aceleración
constante de 4 m/s2 hasta que se detiene.
Calcular:
a) La distancia total recorrida.
b) Eel tiempo durante el cual se movió.
Resp: a) 92.5 m; b) 10.5 s
29. Un móvil acelera 10 m/s² durante 10 s, después
mantiene la velocidad durante 15 s y
posteriormente frena con una aceleración de 20
m/s². Determinar la distancia recorrida en ese
tiempo, así como la velocidad media.
Resp: 2250 m; 75 m/s
30. Un móvil parte del reposo con una aceleración
constante de 10 m/s2, luego de transcurrir cierto
tiempo, el móvil empieza a desacelerar en
forma constante con 5 m/s2 hasta detenerse. Si
Física General
el tiempo total empleado es de 30 segundos.
¿Cuál es el espacio recorrido?
- 47 4 m/s en cada segundo, hasta detenerse.
Determinar el espacio que recorrió en el último
segundo de su movimiento.
Resp: 1500 m
Resp: 2 m
31. Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo
uniformemente variado y recorre en el 3er.
segundo 16 m menos que el recorrido en el
séptimo segundo; entonces su aceleración
será:
Resp: 4 m/s2
32. Un coche que va a 36 km/h acelera durante 5
segundos hasta llegar a una velocidad de 108
km/h. Mantiene esta velocidad durante 20
segundos y después frena hasta detenerse en
10 segundos. Calcula la distancia que habrá
recorrido en total.
Resp: 850 m
33. Un tren que viaja sobre rieles rectos tiene una
velocidad inicial de 45.0 km/h. Se aplica una
aceleración uniforme de 1.50 m/s2 conforme el
tren recorre 200 m.
a) ¿Cuál es la rapidez del tren al final de esta
distancia?
b) ¿Cuánto tiempo le tomó al tren recorrer los
200 m?
Resp: a) 99 km/h; b) 10 s
34. Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego
frena, de tal modo que se logra detener por
completo en 6 s. ¿Cuál es su aceleración?
Resp: a 10 m/ s2
37. Un cuerpo parte del reposo, tiene durante 4.00 s
una aceleración de 10.0 m/s2, sigue después
durante 8.00 s con el movimiento adquirido
(velocidad constante) y finalmente vuelve al
reposo por la acción de una aceleración
negativa de 8.00 m/s2. Determinar: El tiempo
total del movimiento, el desplazamiento total, la
velocidad media de todo el viaje. (Construye una
gráfica v vs t)
Resp: 17 s; 12.5 m/s
38. Un tren expreso pasa por cierta estación a 20
m/s. La siguiente estación está a 2.0 km de
distancia y el tren pasa por ella 1.0 minuto
después. ¿Cuál fue la velocidad con que el tren
pasó por la segunda estación? Suponga
constante su aceleración durante todo el trecho.
Resp: 46.67 m/s
39. Se llama tiempo de reacción al que transcurre
desde que un conductor observa un obstáculo
hasta que pisa el pedal del freno. Normalmente
es de algunas décimas de segundo. Suponga
que la velocidad que lleva es de 90 km/h, el
tiempo de reacción es de 0.4 s y que la
aceleración de frenada es de –3 m/s2. Calcula el
espacio necesario para que se detenga.
Resp: 114.2 m
35. Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia
su velocidad a razón de 8 m/s2, logrando
despegar luego de recorrer 1600 m. ¿Con qué
velocidad en m/s despega?
Resp: 160 m/s
40. Un vehículo viaja a 90 km/h cuando el
conductor ve un animal en la carretera 40 m
adelante. Si el tiempo de reacción del conductor
es de 0.48 s (frena 0.48 s después de ver el
animal), y la desaceleración máxima de los
frenos es de 7.6 m/s2 ¿el automóvil chocará con
el animal?
Resp: Si chocará
36. Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h,
aplica los frenos y produce un retardamiento de
41. El límite de velocidad en una zona escolar es
de 40 km/h. Un conductor que va a esa
velocidad ve a un niño en el camino 17 m
delante de su carro. Aplica los frenos y el carro
se desacelera uniformemente a 8.0 m/s 2. Si el
- 48 tiempo de reacción del conductor es de 0.7 s.
¿Se detendrá el carro antes de atropellar al
niño?
Resp: Se detiene sin atropellar, a 15.50 m < 17 m.
42. Dos móviles que parten del reposo se dirigen al
encuentro con movimiento uniformemente
acelerado desde dos puntos distantes entre sí
180 m y tardan 10 s en cruzarse. Los espacios
recorridos por estos móviles están en la
relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de
dichos móviles.
Resp: 2 m/s2, 1.6 m/s2
43. Un automóvil que parte del reposo a razón de 2
m/s2 se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus
que marcha con velocidad constante de 8 m/s.
¿Después de cuánto tiempo el auto sacará al
ómnibus una ventaja de 64 m? (Ver figura)
Resp: 14 s
Física General
46. Un automóvil está esperando en reposo que la
luz del semáforo cambie. En el instante que la
luz cambia a verde, el automóvil aumenta su
velocidad uniformemente con una aceleración
de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los
cuales se mueve con velocidad uniforme. En el
instante que el automóvil empezó a moverse
después del cambio de luz, un camión lo
sobrepasa en la misma dirección, con el
movimiento uniforme a razón de 10 m/s.
¿Cuánto tiempo y cuán lejos del semáforo el
automóvil y el camión volverán a estar juntos?
Resp: 180 m
47. Un cuerpo con movimiento rectilíneo acelera a
razón de 2 m/s2 de modo que al cabo de 3
segundos triplica el valor de su velocidad. ¿Qué
espacio recorre en ese tiempo?
Resp: 18 m
44. Un automóvil que está parado en un semáforo
acelera a 2.80 m/s2 al encenderse la luz verde,
un camión que se mueve a una velocidad
constante de 80.0 km/h rebasa al automóvil. El
automóvil mantiene una aceleración constante
¿Cuánto tiempo pasará desde que se prendió
la luz verde hasta que el automóvil rebase al
camión? ¿A qué distancia estarán los vehículos
del semáforo al rebasar?
Resp: 15.87 s ; 352.63 m
45. Una motocicleta que está parada en un
semáforo acelera a 4.20 m/s2 en el momento en
que la luz verde se enciende. En ese momento,
un automóvil que viaja a 72.0 km/h rebasa al
motociclista. Éste acelera durante un tiempo y
después conserva su velocidad. Rebasa al
automóvil 42.0 s después de haber arrancado.
¿A qué velocidad va el motociclista cuando
rebasa y a qué distancia está del semáforo en
ese momento?
Resp: 21.3 m/s , 840 m
48. Un móvil con M.R.U.V. pasa por un punto “A”
con una velocidad “v”, y después de 4 s pasa
por otro punto “B” con una velocidad “3v”, y 1 s
más tarde recorre 52 m. Hallar “v”
Resp: 16 m/s
49. Un automóvil partiendo del reposo recorre una
distancia “ x ” en un tiempo “ t/2 ” con una
aceleración de “ 2a ”, si la misma distancia la
recorre en un tiempo “ 3t ”. ¿Cuál es su
aceleración?
Resp: 1/18 a
50. Un móvil se mueve de A hacia B distante “L” en
línea recta; parte del reposo con aceleración
constante “a”; en el mismo instante, parte otro
móvil de B hacia A con una velocidad constante
“V”. ¿Cuál será el valor de V para que ambos
móviles se crucen a la mitad de la distancia
entre a y B?
Resp:
V 
1
aL
2
Física General
- 49 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Un movimiento es uniformemente
cuando se cumple:
variado,
a) Velocidad constante y trayectoria recta
b) Velocidad variable y trayectoria recta
c) Velocidad variable y aceleración nula
d) Velocidad variable y aceleración constante
a) 8 m/s2
La pendiente en un gráfico velocidad en función
del tiempo representa: (M.R.U.V.)
a) Aceleración
c) Desplazamiento
3.
b) Velocidad
d) Posición
¿Qué mide la aceleración?
a) La velocidad máxima que puede alcanzar un
móvil.
b) La distancia recorrida en cada instante de
tiempo.
c) La velocidad que alcanza un móvil.
d) La variación de velocidad en cada instante
de tiempo.
4.
¿Qué significa que la aceleración de un móvil
sea de 2 m/s2?
a) Que su velocidad es de 2 m/s
b) Que su velocidad cambia en 2 m/s en cada s
c) Que puede alcanzar una velocidad de 2 m/s
d) Que su velocidad inicial era de 2 m/s
5.
Un cuerpo parte del reposo con aceleración
constante y recorre 12 m en 4 segundos. La
velocidad obtenida es de:
a) 0 m/s
6.
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 50 m/s
b) 1
c) –0.75
d) 0.75
Un automóvil cambia su rapidez de manera
uniforme, desde 3 m/s hasta 7 m/s en un tiempo
de 8 segundos. Su aceleración, en m/s2, es:
a) 0.5
9.
d) 6 m/s
Un móvil cambia su rapidez de manera
uniforme, desde 12 m/s hasta 8 m/s mientras
recorre 40 m. La aceleración en m/s2, es:
a) –1
8.
c) 3 m/s
Un automóvil con aceleración constante de 2
m/s2 parte del reposo. Al cabo de 10 segundos,
su velocidad es:
a) 10 m/s
7.
b) 48 m/s
b) 1
c) 2
d) 4
Un avión parte de reposo y recorre 196 m en 7 s
para despegar. Halle su aceleración es:
c) 9 m/s2 d) 10 m/s2
10. Un avión aterriza con una velocidad de 432 km/h
y se detiene después de recorrer 1200 m, luego,
la aceleración retardadora producida por los
frenos es:
a) 4 m/s2
2.
b) 7 m/s2
b) 5 m/s2
c) 6 m/s2
d) 7 m/s2
11. Un auto que se mueve en línea recta con una
velocidad de 8 m/s frena reduciéndola a 2 m/s
después de 6 segundos. ¿Cuál es su
aceleración media?
a) Al frenar no existe aceleración
b) El auto acelera a razón de 1 m/s2
c) El auto acelera a razón de –1 m/s2
d) Su aceleración es de 6 m/s2
12. Un cuerpo que se mueve a una velocidad de 10
m/s es frenado hasta alcanzar el reposo en una
distancia de 20 m, ¿Cuál es su aceleración
negativa en m/s2?
a) 2.0
b) 2.5
c) 3.0
d) 3.5
13. Un auto se mueve con una velocidad de 15 m/s
cuando el conductor aplica los frenos desacelera
uniformemente deteniéndose en 3 s. Halle la
distancia recorrida en el frenado.
a) 20.5 m
b) 21.5 m
c) 22.5 m
d) 23.5 m
14. Un ciclista se mueve con una rapidez de 6 m/s
de pronto llega a una pendiente suave en donde
acelera a razón de 0.4 m/s2 terminando de
recorrer la pendiente en 10 s. Halle la longitud
de la pendiente
a) 60 m
b) 65 m
c) 70 m
d) 80 m
15. Para que un auto duplique su velocidad requiere
de 10 s y una distancia de 240 m. Halle la
aceleración del auto en m/s2
a) 1
b) 1.2
c) 1.4
d) 1.6
16. Desde el mismo lugar parten simultáneamente
un coche y un corredor, el corredor mantiene su
velocidad constante de 6 m/s y el coche parte
desde reposo y acelera en la misma dirección
con 4 m/s2 ¿qué distancia separa los móviles a
los 8 s de la partida?
a) 80 m
b) 90 m
c) 128 m
d) 176 m
17. Un automóvil que se desplaza con una
velocidad de 60 km/h aplica los frenos de
manera que desacelera uniformemente durante
- 50 -
Física General
12 s hasta detenerse, La distancia que recorre
en este tiempo es de:
PIENSA Y EXPLICA
1. ¿Qué estudian la cinemática y la dinámica?
a) 160 m
b) 100 m
c) 144 m
d) 60 m
2. ¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad?
18. Un automóvil pasa por dos puntos con velocidad
de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos
están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en
el recorrido?
a) 7 s
b) 9 s
c) 10 s
d) 12 s
19. Dos autos separados 100 m sobre el eje X
parten del reposo en el mismo instante y en la
misma dirección y sentido; el primero con
aceleración 5 m/s2 y el otro con aceleración 7
m/s2. ¿Al cabo de cuánto tiempo el más veloz
alcanza al más lento?
a) 10 s
b) 20 s
c) 30 s
b) 0.75
c) 0.85
d) 0.95
21. Dos móviles A y B están separados 36 m sobre
el eje “X”, el de atrás parte con aceleración 4
m/s2 y el adelante con 2 m/s2, ambos salen del
reposo simultáneamente con M.R.U.V. ¿Qué
tiempo tardó el móvil de atrás para alcanzar al
otro?
a) 1 s
b) 2 s
c) 6 s
d) 8 s
22. Un móvil que tiene M.R.U.V.
movimiento, desde el reposo, tal que
aumenta a razón de 10 m/s cada 5
¿Qué distancia recorre en el primer
su movimiento?
a) 1.6 km b) 2.6 km
c) 3.6 km
inicia su
su rapidez
segundos.
minuto de
d) 4.6 km
23. Un auto parte del reposo con M.R.U.V. y recorre
entre los puntos A y B de su trayectoria la
distancia de 1.0 km durante 10 s, si al pasar por
el punto B su rapidez es el triple de la que tuvo
en el punto A. Determine la distancia que
recorre entre el punto de partida y el punto A.
a) 80 m
b) 92 m
c) 100 m
d) 125 m
24. Un móvil que tiene M.R.U.V. se mueve en el eje
X, pasa por el punto A con velocidad 40 m/s,
pero 50 segundos después su velocidad es 60
m/s. Sabiendo que el móvil parte del reposo,
¿qué distancia recorre desde el punto de partida
hasta el punto A?
a) 1 km
b) 2 km
c) 3 km
4. Diga una característica que diferencie
velocidades media e instantánea.
las
5. En las indicaciones que tiene un bus hay un
aviso que dice "Este bus no supera la velocidad
de 90 km/h". Estrictamente hablando ¿qué
debería decir?
d) 8 s
20. Un móvil que tiene M.R.U.V. duplica su rapidez
luego de recorrer 18 m en 4 s. Determine el
módulo de la aceleración (en m/s2)
a) 0.65
3. Cuando dos automóviles van en una carretera y
la distancia de separación entre ellas se
mantiene constante. ¿Cuál automóvil va más
rápido: el que va adelante o el que va atrás, o
van a la misma velocidad?
d) 4 km
6. ¿Qué cantidad describe qué tan aprisa cambia la
rapidez de un movimiento o su dirección?
7. ¿Cuáles son los mandos del auto que permiten
cambiar la rapidez? Menciona otro mando que
permita cambiar la velocidad.
8. La aceleración es la razón de cambio de ¿qué
cosa?
9. ¿Cuál es la aceleración de un auto que se
desplaza en línea recta con una rapidez
constante de 100 km/h?
10. ¿Cuál es la aceleración de un auto que se mueve
en línea recta y cuya rapidez aumenta de cero a
100 km/h en 10 segundos?
11. ¿Cuál será la velocidad de un auto que partiendo
del reposo, acelera a 2 m/s2 durante 10 s?
12. La luz viaja en línea recta con una rapidez
constante de 300000 km/s. ¿Cuál es su
aceleración?
13. ¿En qué condiciones podemos definir la
aceleración como la razón de cambio de la
rapidez?
14. Un observador situado en la tierra constituye un
sistema de referencia en reposo. ¿Falso,
Verdadero?
15. Indicar un ejemplo de fenómeno físico que lleve
movimiento uniformemente acelerado y otro que
lleve movimiento uniformemente retardado
Física General
- 51 -
Cap. 4
CINEMÁTICA III
MOVIMIENTO VERTICAL
CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS
CONTENIDO:
- 52 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a
través del estudio de los movimientos verticales
afectados por la aceleración de la gravedad,
experimentando con prácticas de laboratorio para
determinar el valor de la aceleración de la gravedad (g)
en Sucre, que permita a los estudiantes aplicar a
situaciones creativas en el contexto que les rodea.
CAÍDA LIBRE
Ingresa a educaplus, física, movimientos y selecciona Caída libre.
Física General
- 53 -
Introducción.- Es un caso del movimiento rectilíneo
uniformemente variado.
Ejemplos de caída libre son: cuerpos lanzados hacia
arriba o hacia abajo o cuando se suelta libremente.
La única fuerza que actúa en este movimiento es el
peso del cuerpo, no se considera la resistencia que
ofrece el aire.
Consideraciones del movimiento en caída libre.Existe la creencia de que cuerpos diferentes en
peso caen con diferentes velocidades, se piensa que
el cuerpo más pesado debería llegar primero al piso
si son soltados al mismo tiempo.
Galileo demostró que dos cuerpos diferentes en
peso dejados caer simultáneamente desde la torre
inclinada de Pisa tocaban el suelo casi al mismo
tiempo.
Aceleración de la gravedad.- La aceleración de la
gravedad que se origina en la fuerza de atracción
gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos,
varía ligeramente de un lugar a otro.
Las
mediciones
experimentales
realizadas,
determino que esta aceleración depende de dos
factores:
-
De la altura: Es inversamente proporcional al
cuadrado de la altura del lugar.
-
De la latitud: Es función de la latitud del lugar.
En los Polos:
9.83 m/s2
En la línea del Ecuador:
9.78 m/s2
La aceleración de la gravedad varía conforme
varía la distancia del cuerpo al centro de la Tierra,
y como nuestro planeta no es esférico sino que
presenta
achatamiento
en
los
polos
y
ensanchamiento en la zona ecuatorial, la gravedad
será mayor en los polos (más cerca del centro de
la Tierra) y menor en el Ecuador (más lejos); esto
significa que el valor de “g” varía con la latitud y
altitud del lugar.
El valor que suele aceptarse internacionalmente
para la aceleración de la gravedad a la hora de
hacer cálculos es de 9.81 m/s2.
Para problemas prácticos tomar:
Agarre una pepa y una pluma de ave, déjalas caer
simultáneamente desde una altura, ¿estos tocan el
piso al mismo tiempo?; si no hay resistencia de
aire, esto es posible, pero como existe resistencia, la
pepa llega primero al piso y después la pluma.
g = 980 cm/s2
g = 9.8 m/s2
g = 32.2 ft/s2
La aceleración de la gravedad es una magnitud
vectorial cuya dirección tiene sentido hacia el centro
de la tierra.
Ecuaciones de la caída libre.- Para resolver
problemas de caída libre se utilizan las ecuaciones
del M. R. U. V.
Para establecer una ecuación correcta, debemos
tomar en cuenta lo siguiente:
Con resistencia
del aíre
-
La aceleración de la gravedad, es siempre
negativa, ya sea si el objeto se lanza hacia arriba
o hacia abajo.
-
Elegir un nivel o punto de referencia, que será
siempre el punto inicial de lanzamiento.
-
Los vectores velocidad serán positivos, si tienen
sentido hacia arriba; y negativos si tienen sentido
hacia abajo.
-
Los desplazamientos (alturas) serán positivos si
se encuentran por encima del nivel de referencia;
y negativos si estuvieran por debajo.
Sin resistencia
del aire
La velocidad que adquieren los cuerpos en caída
libre es independiente de la masa, del peso y del
tamaño.
- 54 -
Física General
Para un tiempo de 6 segundos:
v  v0  g t
v2  v02  2 g h
h  v0 t  12 g t 2
v2 = vo – g t = 40 m/s – 9.8 m/s2 *6 s = –18.8 m/s
El signo es negativo, lo que significa que el sentido
de la velocidad es hacia abajo y el objeto está
descendiendo y su magnitud es mayor a la
velocidad inicial de lanzamiento, significa está por
debajo de nuestro nivel de referencia.
b) Para determinar el punto de ubicación, tenemos:
Ejem. 4.1.- Desde la cornisa de un edificio de 100 m
de altura se lanza un objeto hacia arriba con una
velocidad de 40 m/s. Calcular: a) La velocidad que
adquiere después de 2 y 6 segundos, b) la posición
del objeto cuando han trascurrido 2, 6 y 10
segundos.
Datos:
H = 40 m
vo = 40 m/s
t1 = 2 s
t2 = 6 s
a) v = ?
b) h = ?
Solución:
a) El nivel de referencia será el punto de
lanzamiento:
Para 2 seg:
h 1 = vo t –
1
2
g t2
h1 = (40 m/s)(2 s) – ½ (9.8 m/ s2 )(2 s)2
= 60.4 m
El resultado nos da a conocer que el objeto se
encuentra por encima del nivel de referencia a 60.4
m para 2 segundos.
Para 6 seg:
h2 = vo t – 12 g t2 = (40 m/s)(6 s) – ½ (9.8 m/s2)(6 s)2
h2 = 240 m – 176.4 m = 63.6 m
De igual forma el signo nos indica que se encuentra
por encima del nivel de referencia a 63.6 m, pero de
acuerdo a la respuesta del inciso a) la velocidad está
dirigida hacia abajo.
Para 10 seg:
h3 = vo t– 12 g t2 = (40 m/s)(10 s) – ½ (9.8 m/s2)(10 s)2
h3 = 400 m – 490 m = –90 m
OTRA FORMA DE RESOLVER PROBLEMAS DE
CAÍDA LIBRE, ES CONSIDERANDO COMO:
v = vo + g t
v = vo – g t
v 2  v02  2 g h
v2  v02  2 g h
Para un tiempo de 2 seg:
v1 = vo – g t
v1 = 40 m/s – 9.8 m/s2 *2 s
h

v0 t  12 g t 2
Movimiento
descenso
en
h

v0 t  12 g t 2
Movimiento
ascenso
en
v1 = 40 m/s – 19.6 m/s
v1 = 20.4 m/s
El signo es positivo, lo que significa que el sentido
de la velocidad es hacia arriba y sigue subiendo el
objeto.
En éste libro se manejará indistintamente ambas
formas de solución.
Física General
- 55 -
Altura máxima y tiempo de ascenso.- En el
lanzamiento vertical hacia arriba, se tienen dos
valores que son importantes determinar: la altura
máxima alcanzada y el tiempo de ascenso,
juntamente con el tiempo de vuelo.
v = vo – g t
De la ecuación:
En el punto más alto de la trayectoria la velocidad
del objeto
es cero, ( v = 0 ), puesto que
instantáneamente se queda en reposo.
Ejem. 4.2.- ¿Cuánto tiempo tardará un objeto soltado
desde una torre para alcanzar la velocidad de 60
mill/h?
Datos:
v = 60 mill/h = 26.82 m/s
t = ?
Solución:
El objeto desciende, por tanto podemos considerar
como un movimiento con aumento de velocidad,
aceleración positiva:
De donde despejando el tiempo:
t
v = vo – g t
v  v 0  gt
v0
g
El tiempo que demora en descender es el mismo;
por tanto el tiempo que se mantiene en el aire, es el
doble del tiempo de ascenso:
tV  2
v0
g
La altura máxima alcanzada por el objeto, se
obtiene reemplazando el tiempo de ascenso en la
ecuación:
h  v0 t  12 g t 2
hmax
v  1 v 
 v 0  0   g  0 
g 2 g
Simplificando:
v 02 1  v 02 
v2 v2
 g 2  0  02
g 2  g 
g 2g
2
hmax 

v  v 0 26.82 m / s  0

g
9.8 m / s 2
v  2.7 s
Se denomina tiempo de ascenso, es el intervalo
que demora un objeto en alcanzar su máxima altura.
Tiempo de vuelo:
 t
2
0
v
2g
La velocidad del objeto al pasar por el punto de
lanzamiento, tiene el mismo valor inicial de
lanzamiento, pero con sentido contrario.
Ejem. 4.3.- ¿Con qué velocidad se debe lanzar
verticalmente hacia arriba un objeto para que alcance
una altura máxima de 12.0 m?
Datos:
h = 12.0 m
vo = ?
Solución:
v2
 v 02  2 g h

v0

2 (9.8 m / s 2 ) (12 m)
2gh

v 02
 2gh
 15.34 m / s
Ejem. 4.4.- Se lanza un objeto verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 60 m/s. Determinar la
velocidad que tendrá después de haber transcurrido
8 segundos.
Datos:
vo = 60 m/s
v = ?
t = 8s
Solución:
v  v 0  gt  60 m / s  9.8 m / s 2  8 s  18.4 m / s
El signo indica que el objeto esta de bajada.
Ejem. 4.5.- Desde un edificio de 50 m de altura, se
deja caer libremente una piedra. ¿Qué velocidad
poseerá al momento de tocar el suelo?
Datos:
vo = 0
v = ?
h = 50 m
Solución:
v 2  v 02  2 gh  2 gh  v   2 gh
v   2  9.8
m
m
  50 m   31.3
2
s
s
- 56 -
Física General
Ejem. 4.6.- Un cuerpo cae desde una altura de 30 m
en caída libre, ¿a qué velocidad llega al piso y cuánto
tarda en hacerlo?
Datos:
vo = 0
v = ?
h = 30 m
t = ?
Solución:
Ejem. 4.8.- De una torre se deja caer una piedra, el
tiempo que tarda en llegar al suelo es de 3 s.
Determinar: a) La altura de la torre b) la rapidez con
que llega al suelo.
Datos:
t = 3s
v0 = 0
a) h = ?
b) v = ?
La velocidad del objeto, se determina con la altura:
v 2  v 02  2 gh
v  24.25

v  2 gh  2  9.8
m
 30 m
s2
m
s
El tiempo empleado hasta el suelo es:
h  v0 t  12 g t 2

h 
1
2
g t2
a) Cálculo de la altura de la torre:

t

2h
g

2 (30 m)
9.8 m / s 2
 2.5 s
h  v0 t  12 g t 2

1
2
(9.8 m / s 2 ) (3 s) 2
h  44.1 m
Ejem. 4.7.- Se tira verticalmente hacia abajo una
piedra con una velocidad de 12.4 m/s desde una
altura de 65.0 m sobre el suelo.
a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 s?
b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?
Datos:
vo = 12.4 m/s
h = 65 m
t = 2s
a) h = ?
b) v = ?
b) La rapidez de llegada al suelo:
v  v0  g t  (9.8 m / s 2 ) (3 s)
v  29.4 m / s
h  v0 t  12 g t 2  (12.4 m / s)(2 s)  12 (9.8 m / s 2 )(2 s)2
Ejem. 4.9.- Una pelota que se suelta desde el
reposo a partir del reposo llega al suelo con una
rapidez de 60 m/s. Calcular:
a) El tiempo de caída.
b) La altura de la cuál cae.
Datos:
vo = 0
v = – 60 m/s (hacia abajo)
a) t = ?
b) h = ?
h  24.8 m  19.6 m  44.4 m
Solución:
b) La velocidad al momento de tocar el suelo, es:
a) Tomando el signo negativo de g:
Solución:
a) Para calcular la distancia recorrida en 2 s:


v 2  v02  2 g h  12.4 m / s   2 9.8 m / s 2 65 m 
2
v 2  153.76 m 2 / s 2  1274 m 2 / s 2  1427.76 m 2 / s 2
v  1427.76 m 2 / s 2  47.78 m / s
v  v0  g t  t 
v0  v 0  (60 m / s)

 6.12 s
g
9.8 m / s 2
b) Altura de la caída:
h  v0 t  12 g t 2   12 (9.8 m / s 2 )(6.12 s)2   183.5 m
Física General
- 57 PRÁCTICA DE LABORATORIO
CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
1. Objetivo General:
-
Describir las características del movimiento rectilíneo de caída libre.
2. Objetivos específicos:
-
Verificar las ecuaciones del movimiento vertical en caída libre.
Calcular la aceleración de la gravedad en el lugar de la realización del experimento.
Relacionar la pendiente de la gráfica velocidad vs. tiempo, con la aceleración.
Determinar el valor de la aceleración de la gravedad aplicando ecuaciones empíricas.
3. Fundamento teórico:
Variación de la Aceleración de la gravedad:
-
En el ecuador, la aceleración de la gravedad es de 9.77 m/s 2, mientras que en los polos es superior a 9.83
m/s2. El valor que suele aceptarse internacionalmente para la aceleración de la gravedad a la hora de hacer
cálculos es de 9.81 m/s2.
-
Antiguamente se creía que los cuerpos más densos caían con mayor aceleración, pero Galileo y, después,
Isaac Newton se encargaron de demostrar lo contrario. Un experimento realizado en una cámara de vacío
demuestra que todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración, independientemente de su
masa.
-
El movimiento rectilíneo en caída libre se caracteriza por las siguientes ecuaciones:
v  v0  gt
v 2  v02  2 gh
h  v0 t  12 gt 2
Ecuaciones empíricas para la determinación de “g”:
-
La aceleración de la gravedad en cualquier punto de la Tierra, se puede determinar considerando la latitud
del lugar:
g  9.7849(1  0.005284 sen 2  0.00000 sen 2 2 )
: Latitud del lugar geográfico donde se calcula (Sucre)
-
La aceleración de la gravedad en función de la latitud y altura:

g  9.80665 1  2.644 10 3 cos2   3 10 6 h

: Latitud del lugar geográfico donde se calcula (Sucre)
h: Altura en metros sobre el nivel del lugar (Sucre)
-
La aceleración de la gravedad en un punto de la Tierra respecto del nivel del mar, se puede determinar
considerando la altitud del lugar:
g  9.81
R2
R  h  2
R: Radio promedio de la Tierra
h: Altura en metros sobre el nivel del lugar (Sucre)
- 58 -
Física General
4. Material:
1 canica (bolita metálica)
1 cronómetro
1 flexómetro
5. Procedimiento:
1. Mide cinco alturas diferentes de caída libre de la canica, márcalas con
cinta maskin y anótalas en la tabla I.
2. Con la ayuda de tus compañeros calcula el tiempo que tarda en caer la
canica para cada una de las alturas y regístralo en el espacio
correspondiente, para cada ensayo realiza tres mediciones para
obtener un promedio del tiempo.
Anota en la tabla I.
TABLA I
Ensayo
Tiempo para:
h1 = …..m
Tabulación de tiempos y alturas
Tiempo para:
Tiempo para:
h2 = …..m
h3 = …..m
Tiempo para:
Tiempo para:
h4 = …..m
h5 = …..m
1
2
3
Tiempo
promedio
3. Traslade los valores de la tabla I, a la tabla II
4. Halle la velocidad final de cada tramo (Considerando v0 = 0)
v v
h 0
t
 2 
 v
2h
 v0
t
5. Con la velocidad obtenga la aceleración de cada tramo y obtenga el valor promedio:
g
TABLA II
Distancia:
h (m)
v
t
 g
v  v0
t
Tabulación de datos experimentales
Tiempo:
t (s)
Velocidad:
v (m/s)
Aceleración:
g (m/s2)
Aceleración experimental promedio: gexper.= ………………
Física General
- 59 -
6. Grafique los pares de datos velocidad (v) vs. tiempo (t)
7. Corrija la gráfica aplicando regresión lineal.
8. Obtenga la pendiente de la gráfica, es el valor teórico de la aceleración:
Ecuaciòn de una recta:
y ba x;
ecuación de la velocidad (otra recta):
v  v0  a t
9. Compare la pendiente con los valores de la aceleración experimental de la tabla II.
10.Determine el error porcentual, considerando como valor más probable, la pendiente y el valor medido el
promedio de las aceleraciones de la tabla II.
TABLA III
Tabulación de resultados
Resultados
Resultados
analíticos
experimentales
Er
E%
Aceleración:
g (m/s2)
Ecuaciones empìricas:
11. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la latitud de Sucre.
12. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la altura de Sucre.
13. Calcule la aceleración de la gravedad en función de la latitud y altura de Sucre.
14. Compare los resultados obtenidos.
6. Discusión y análisis de resultados:
(El estudiante deberá anotar todos los cálculos realizados, las ecuaciones, etc.)
Preguntas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Cuándo se dice que un cuerpo está en caída libre?
¿De qué factores depende la aceleración de la gravedad?
¿Qué efectos produce la resistencia del aire en la caída de los cuerpos?
¿Tiene que ver el área de los cuerpos en la caída libre? ¿Y la forma de los objetos?
¿Qué clase de movimiento es el de caída o ascenso de un objeto?
Averigüe el valor de la aceleración de la gravedad en Sucre, puede recabar la información en la facultad de
Tecnología.
7. Investiga cómo se puede medir el valor de la aceleración de la gravedad mediante un péndulo simple:
T  2
l
g

g
4 2 l
T2
7. Conclusiones:
(Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones)
- 60 -
Física General
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 40 m/s. Calcular:
a) La altura que alcanza a los 3 seg
b) La velocidad a los 2 seg
c)
La altura máxima
d) La velocidad al llegar al suelo
Resp: a) 75.9 m; b) 20.4 m/s; c) 81.63 m; d) - 40 m/s
2.
Un objeto es lanzado hacia abajo verticalmente
con una velocidad inicial de 40 m/s, sabiendo
que la altura es de 130 m. Determinar:
a) ¿Qué velocidad tiene a los 2 segundos de
caída?
b) ¿Qué altura recorrió en los 2 segundos?
c) ¿Con qué velocidad llega al piso?
Resp: a) 59.6 m/s; b) 99.6 m; c) 64.4 m/s
3.
Se lanza un cuerpo de 300 gramos hacia arriba
a partir del suelo alcanzando una altura de 3 m,
antes de comenzar a caer. Determinar:
a) La velocidad inicial del lanzamiento
b) La velocidad del cuerpo a 1 m del suelo
cuando está en descenso.
Resp: a) 7.67 m/s; b) - 6.26 m/s
4.
Desde la azotea de un edificio se deja caer una
pelota. El tiempo que tarda en llegar al suelo es
de 6.4 segundos. ¿Cuál es la altura del edificio?
Resp: 200.7 m
5.
Un muchacho lanza verticalmente un balón que
alcanza una altura de 16 m. Determina:
a) El tiempo que tarda en cogerlo
b) La rapidez final con la que agarra
c) La rapidez con que fue lanzado.
Resp: a) 3.61 s; b) 17.64 m/s; c) 17.64 m/s
6.
Un helicóptero desciende verticalmente con
rapidez constante, cuando se encuentra a 200
m del suelo se suelta una piedra. Si la piedra
emplea 6 s en llegar al suelo. ¿Cuál es la
velocidad de descenso del helicóptero?
Resp: 3.93 m/s
7.
Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con
una velocidad inicial de 12.4 m/s desde una
altura de 65.0 m sobre el suelo.
a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 segundos?
b) ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?
Resp: 44.4 m; 37.78 m/s
8.
Una pelota se tira hacia arriba con una velocidad
inicial de 15.0 m/s. ¿Hasta qué altura sube la
pelota, y cuanto tiempo permanece en el aire?
Resp: 11.5 m; 3.06 s
9.
Un cuerpo es lanzado hacia arriba, desde el
suelo, tardando 20 s en caer en éste. Calcular la
altura alcanzada y la velocidad media mientras
subía. ¿Con qué velocidad se lanzó?
Resp: 490 m; 49 m/s; 98 m/s
10. De un globo que está a 150 m sobre el nivel del
suelo se desprende un objeto; en ese momento
el globo está descendiendo con una velocidad
de 4 m/s. Calcular el tiempo que tarda en tocar
el suelo, así como su velocidad.
Resp: 5.14 s; 54.37 m/s
11. Un cuerpo es lanzado hacia abajo desde un
edificio con una cierta velocidad inicial. Se sabe
que al llegar al suelo, tiene una velocidad de 200
km/h y que se lanzó desde 120 m. Calcular la
velocidad con que se lanzó y el tiempo que tardó
en caer.
Resp: 27.1 m/s; 2.9 s
12. Una pelota de aluminio con una masa de 4.0 kg
y una pelota de hierro del mismo tamaño con
una masa de 11.6 kg se dejan caer
simultáneamente desde una altura de 49 m
a) Despreciando la resistencia del aire, ¿Cuánto
tardará la pelota de aluminio caer?
b) ¿Cuánto tiempo más tarde chocará con el
suelo la pelota de hierro más pesada?
Resp: a) 3.16 s; b) El mismo tiempo
13. Un bombardero en picada baja verticalmente a
720 km/h y deja caer una bomba, que tarda 10 s
en llegar al suelo. ¿Desde qué altura cae la
bomba? ¿Con qué velocidad chocará con el
suelo?
Resp: 2490 m; 298 m/s
14. Un globo se eleva desde la superficie terrestre a
una velocidad constante de 5 m/s; cuando se
encuentra a una altura de 360 m, se deja una
piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en
llegar a la superficie terrestre (g = 10 m/s 2)
Resp: 9 s
Física General
- 61 Resp: 122.5 m; 49 m/s; – 49 m/s; 10 s.
18. Al tirar verticalmente hacia arriba un objeto con
una velocidad de 7.65 m/s desde la parte
superior de un edificio alto, inclinado el lanzador
sobre el borde de modo que el objeto no choque
con el edificio en su viaje de regreso.
a) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando ha
viajado una distancia total de 25.0 m?
b) ¿Cuánto le toma viajar esa distancia?
Resp: a) 20.8 m/s; b) 2.9 s
15. En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y
una persona ubicada en el borde de ésta
escucha el sonido del impacto luego de 2.06
segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo?
(velocidad sonido = 340 m/s ; g = 10 m/s2).
19. El techo de un salón de clases está a 3.75 m del
piso. Un estudiante tira una manzana
verticalmente hacia arriba, liberándola a 50 cm
del piso. ¿Cuál es la máxima velocidad inicial que
se le puede dar a la manzana para que no toque
el techo?
Resp: 20 m
Resp: 7.98 m/s
20. Un objeto que cae pasa por una ventana que
tiene una altura de 1.35 m durante 0.210 s
¿Desde qué altura sobre la ventana se soltó el
objeto?
Resp: 1.5 m
16. Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la
ventana del décimo octavo piso ve pasar un
objeto hacia arriba y 4 s después lo ve de
regreso, hallar con qué velocidad fue lanzado el
objeto desde el piso (g = 32 pies/s2).
Resp: VA = 14 pies/seg
21. Una persona que está inclinada sobre el borde
de un edificio de 34 m de alto lanza una pelota
hacia arriba con una rapidez inicial de 6.0 m/s de
modo que la pelota no choque contra el edificio
en el viaje de regreso.
a) ¿Qué tan lejos sobre el suelo estará la pelota
al final de 1 segundo?
b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en ese
momento?
c) ¿Cuándo y con qué rapidez chocará la pelota
en el suelo?
Resp: 35.1 m; – 3.8 m/s ; 3.3 s; – 26.5 m/s
22. Una piedra se arroja hacia abajo con una
velocidad inicial de 8.0 m/s desde el techo de un
edificio de 30.0 m de altura. ¿Cuánto tiempo
transcurre desde que se tira hasta que llega al
suelo, y exactamente cuál es su velocidad antes
del impacto?
Resp: 1.8 s; 25.53 m/s
17. Desde el suelo se lanza hacia arriba un cuerpo
que tarda en detenerse en el punto más alto 5 s
¿Qué espacio habrá recorrido hasta ese punto?
¿Con qué velocidad se lanzó? Cuando
descienda, ¿con qué velocidad llegará al suelo?
¿Cuánto tiempo tardará en llegar?
23. Una pelota se arroja hacia arriba. Después de
1.25 segundos pasa por un punto que está a las
tres cuartas partes de la altura máxima que se
alcanza. Encuentre esa altura máxima y la
velocidad inicial de la pelota.
Resp: 31.25 m; 24.75 m/s
24. Si la aceleración de la gravedad en la Luna es
1/6 de la gravedad terrestre, ¿Cuánto tiempo
- 62 -
Física General
tardaría en caer un cuerpo en ella, si se dejase
caer desde 50 m?
sonido (340 m/s). ¿Cuál es la profundidad de la
cueva?
Resp: 7.8 s
Resp:
25. Una piedra se arroja verticalmente desde la
azotea de un edificio. Pasa una ventana que está
14.0 m más abajo con una velocidad de 22.0 m/s
y pega con el piso 2.80 s después de haber sido
arrojada. Calcule la velocidad inicial de la piedra
y la altura del edificio.
Resp: 14.48 m/s; 78.96 m
26. Un estudiante deja caer una piedra desde lo alto
de un edificio de 26.0 m de altura. Otro
estudiante tira simultáneamente una segunda
piedra hacia abajo desde la misma altura; la
piedra lanzada choca contra el suelo 0.30 s antes
de que la piedra se dejara caer. ¿Cuál fue la
velocidad inicial de la piedra lanzada?
Resp: 3.2 m/s
27. Una pelota se deja caer desde un acantilado.
Después que ha pasado por un punto 12.0 m
abajo del borde de las peñas, se arroja hacia
abajo una segunda pelota. La altura de la
barranca es de 50.0 m ¿Cuál debe ser la
velocidad inicial de la segunda pelota para que
ambas lleguen al suelo al mismo tiempo?
Resp: 22.69 m/s
28. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubo
vertical con el intervalo de 0.1 s, caen libremente.
Determinar la distancia entre la primera y
segunda gota pasando 2 segundos después que
sale la primera gota.
Resp: 1.91 m
29. Un objeto en caída libre recorre los últimos 5
metros en 0.2 segundos. Determinar la altura
desde la que cayó.
Resp: 34.43 m
30. Desde un puente lanzamos verticalmente y hacia
arriba una piedra con una velocidad inicial de 12
m/s y tarda 3 segundos en llegar al río. ¿A qué
altura máxima ha llegado la piedra? ¿Cuál es la
altura del puente? ¿Con qué velocidad ha
chocado con el agua?
Resp: 7.35 m; 8.1 m; - 17.4 m/s
31. Un método que puede utilizarse para determinar
la profundidad de un abismo consiste en dejar
caer una piedra y contar el tiempo que transcurre
hasta que se oye el choque con el fondo.
Suponemos que hemos oído el choque después
de 4 segundos y se conoce la velocidad del
70.8 m
32. Dejamos caer un objeto desde 125 m de altura y
después de 3 segundos lanzamos otro objeto.
¿Con qué velocidad tenemos que lanzar este
objeto para que lleguen ambos al mismo tiempo
al suelo? Calcula la velocidad de cada objeto
cuando llega al suelo.
Resp: – 50.92 m/s; – 49.50 m/s y – 71.02 m/s
33. Un ascensor de 3 m de altura sube con una
aceleración de 1 m/s2 Cuando se encuentra a
una cierta altura se desprende la lámpara del
techo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al
piso del ascensor.
Resp: 0.74 s
34. Desde qué altura dejamos caer una piedra si
para hacer la primera mitad del trayecto tarda 5
segundos más que para hacer la segunda.
Resp: 715 m
35. Lanzamos una piedra desde el suelo hacia arriba
con una velocidad de 30 m/s. Una persona que
está dentro del edificio ve la piedra entre 1 s y 1.1
s después de haberse lanzado. ¿A qué altura
está la ventana? ¿Qué dimensiones tiene la
ventana (verticalmente)? ¿A qué altura llegará la
piedra?
Resp: 25.10 m; 1.97 m; 45.92 m
36. Dos esferas pesadas se dejan caer desde
diferentes alturas y una se abandona caer 2.2 s
después de la otra. Las dos esferas llegan al
suelo al mismo tiempo, 4.0 s después de haber
soltado la primera.
a) Calcular la altura desde la cual se dejaron caer
las esferas.
b) Hallar la velocidad de cada esfera, en el
instante que llegan al piso.
Resp: a) 78.4 m, 15.9 m; b) 39.2 m/s, 17.6 m/s
37. Halle la velocidad con que fue lanzado un
proyectil hacia arriba si ésta se reduce a la
tercera parte cuando ha subido 40 m
(g = 10 m/s2).
Resp: 30 m/s
38. Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo
verticalmente hacia arriba con una velocidad de
30 m/s llegando al piso luego de 8 s. Hallar la
altura del edificio (g = 10 m/s2).
Resp: 80 m
Física General
- 63 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Se deja caer una piedra sin velocidad inicial. Al
cabo de 1 segundo, la distancia recorrida es:
a) 1 m
b) 4.8 m
c) 5.5 m
9.
Se deja caer un objeto de un globo, que tarda
en caer 10 segundos. ¿De qué altura se dejó
caer el objeto?
d) 4.9 m
a) 500 m b) 480 m
2.
Se lanza una piedra hacia abajo con velocidad
inicial de 1 m/s. Al cabo de 1 segundo, la
distancia recorrida es:
a) 1 m
3.
b) 4.9 m
c) 5.9 m
Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba;
alcanza su punto más alto y regresa ¿Cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta?
La aceleración de un objeto que cae libremente:
a) Aumenta a medida que cae
b) Disminuye a medida que cae
c) Aumenta y luego disminuye
d) Se mantiene constante
5.
6.
7.
10. Un cuerpo que se lanza verticalmente hacia
arriba demora 16 s en el aire. Entonces debe
tardar:
a) 32 s en el aire
c) 16 s bajando
a) 3.2 s
a) 12 m/s
c) 25 m/s
d) 2.2 s
b) 28 m/s
d) 30.5 m/s
13. En la figura, la pelota se lanza verticalmente
hacia arriba. ¿Qué tiempo tarda en llegar al
piso?
b) 5.5 s
a) 32 pies/seg
c) 9.8 m/seg
c) 4.0 s
d) 5.0 s
b) 64 pies/seg
d) 19.6 m/s
Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo
con una velocidad de 29.4 m/s. El tiempo
empleado en caer es de:
c) 3 s
14. Se lanza verticalmente hacia arriba a una
moneda con velocidad inicial de 5 m/s. Si no se
considera el roce del aire, ¿con qué velocidad
pasa la moneda de regreso por el mismo punto
de lanzamiento?
d) 6 s
¿Cuánto vale la aceleración en la posición más
alta de la trayectoria de un objeto que es
arrojado hacia arriba?
9.8 m/s2
d) N. A.
a) +10 m/s
c) –5 m/s
b) 9.8 m/s2
d) N. A.
b) +5 m/s
d) –10 m/s
15. Un cuerpo que emplea 7 segundos en caer
libremente, necesariamente cayó de una altura
de: (tomar g = 10 m/s2)
a) 490 m
¿Cuánto vale la velocidad en la posición más
alta de la trayectoria de un objeto que es
arrojado hacia arriba?
a) cero
c) depende de lo alto
c) 1.6 s
12. La velocidad de la piedra del problema anterior,
al llegar al piso es de:
a) 6.0 s
a) cero b)
c) no se puede saber
8.
b) 1.8 s
(g = 10 m/s2)
b) 3.41 s
b) 16 s subiendo
d) 8 s subiendo
11. Un estudiante lanza una piedra verticalmente
hacia abajo con una velocidad inicial de 12 m/s
desde el techo de un edificio de 32 m de altura.
La piedra alcanza el piso en un tiempo de:
(g = 10 m/s2)
¿Cuál es la velocidad que debe tener un móvil
en movimiento de ascenso si alcanza una altura
de 64 pies?
a) 4.41 s
d) 510 m
d) 6.9 m
a) La aceleración siempre está en el sentido del
movimiento
b) La aceleración siempre se opone a la
velocidad
c) La aceleración siempre está dirigida hacia
abajo
d) La aceleración siempre está dirigida hacia
arriba
4.
c) 490 m
b) 250 m
c) 70 m
d) 245 m
16. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 10 m/s. ¿Al cabo de qué
tiempo la pelota poseerá una rapidez de 40
m/s? (Tomar g = 10 m/s2)
a) 3 s
b) 4 s
c) 5 s
d) 6 s
- 64 -
Física General
17. La altura de la que cae un cuerpo libremente si
emplea 3 segundos: (asuma g = 10 m/s2)
a) 450 cm
b) 45 cm
c) 450 m
d) 45 m
18. Se suelta un objeto desde una altura de 250 m.
Determine a que altura del piso se encuentra
luego de 6 s de ser soltado (g = 10 m/s2)
a) 40 cm
b) 60 cm
c) 70 m
d) 80 m
19. Un proyectil es disparado verticalmente hacia
arriba. Determínese la rapidez de disparo, si
luego de ascender 25 m su velocidad es de 20
m/s. (g = 10 m/s2)
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 30 m/s
b) 200 m
c) 150 m
d) 145 m
21. Un globo se eleva verticalmente desde la
superficie terrestre a rapidez constante de 5
m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360
m se deja caer una piedra desde el globo. El
tiempo que tarda la piedra en llegar a la
superficie es:
a) 6 s
b) 9 s
c) 12 s
b) 45 m/s
c) 50 m/s
b) 15 m
c) 5 m
d) 20 m
24. Un cuerpo cae verticalmente desde el reposo.
Determine la altura que descendió cuando su
velocidad es de 8 m/s. (g = 10 m/s2)
a) 4.3 m
b) 6.7 m
c) 3.2 m
d) 2.8 m
25. ¿Desde qué altura se debe soltar una pepa para
que el último segundo de su caída libre recorra
25 m? (g = 10 m/s2)
a) 45 m
b) 20 m
c) 65 m
c) 35 s
d) 40 s
v = 100 m/s
27. Hallar la altura máxima alcanzada por el
proyectil. (g = 10 m/s2)
a) 125 m
b) 625 m
c) 75 m
d) 250 m
v = 50 m/s
28. Se deja caer una piedra. Hallar su velocidad
cuando ha transcurrido 6 s. (g = 10 m/s2)
a) 60 m/s
b) 40 m/s
c) 20 m/s
d) 12 m/s
v0 = 0
29. ¿Qué velocidad posee el cuerpo luego de 3 s de
haber sido lanzado con v = 60 m/s?
(g = 10 m/s2)
a) 20 m/s
b) 30 m/s
c) 40 m/s
d) 15 m/s
v = 60 m/s
30. Hallar el tiempo que demora en llegar a su
punto más alto. (g = 10 m/s2)
d) 60 m/s
23. Una partícula lanzada hacia arriba demora 2 s en
regresar al punto de lanzamiento. Determine la
altura máxima que alcanza el cuerpo.
(g = 10 m/s2)
a) 10 m
b) 20 s
d) 15 s
22. Desde una altura de 45 m se lanza hacia arriba
un objeto con rapidez de 40 m/s. Determine la
rapidez con la que llega al piso. (g = 10 m/s2)
a) 35 m/s
a) 15 s
d) 35 m/s
20. Una pequeña esfera es lanzada verticalmente
hacia arriba desde la azotea de un edificio para
impactar en la base del mismo, luego de 10 s,
con una rapidez de 70 m/s. determine la altura
del edificio. (g = 10 m/s2)
a) 100 m
26. Hallar el tiempo que permanece en el aire
(g = 10 m/s2)
d) 40 m
a) 28 s
b) 34 s
c) 49 s
d) 50 s
v = 490 m/s
31. Un cuerpo se suelta, luego de 5 s. ¿Què altura
habrá recorrido? (g = 10 m/s2)
a) 25 m
b) 75 m
c) 100 m
d) 125 m
32. Se deja caer un cuerpo y se observa que luego
de transcurrido 6 s se encuentra a 20 m del
piso. ¿De qué altura se soltó? (g = 10 m/s2)
a) 100 m
b) 150 m
c) 180 m
d) 200 m
Física General
- 65 -
Cap. 5
CINEMÁTICA IV
MOVIMIENTO PARABÓLICO
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
CONTENIDO:
- 66 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Fortalecemos los procesos del movimiento acelerado a
partir del lanzamiento de proyectiles, experimentado
con talleres de laboratorio y resolución de problemas,
para aplicar en la solución de problemáticas de nuestra
comunidad, para el desarrollo y generación de
unidades productivas mecanizadas, en beneficio de la
sociedad boliviana.
COHETES PROPULSADOS POR AGUA
Los cohetes propulsados por agua, en los modelos básicos están formados por una
botella de plástico de 1.5 o 2 litros, agua para rellenar y un tapón de corcho. En los
modelos avanzados se introduce un cono y paracaídas.
El funcionamiento es sencillo, se llena la botella con aproximadamente 1/3 de agua,
se pone un tapón bien ajustado y la situamos en posición vertical con algún tipo de
plataforma, seguidamente, mediante un inflador de bicicleta introducimos aire dentro
de la botella, cuando la presión es suficientemente grande el tapón se suelta
saliendo hacia abajo el agua y el cohete despega alcanzando alturas variables que
pueden llegar a unos 80 m.
Para más detalles de la construcción de estos cohetes ingresa a:
http://www.astroelda.com/index.htm
Física General
- 67 -
Introducción.- Cuando un objeto es lanzado con
cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la
acción solamente de la fuerza gravitatoria su
trayectoria se mantiene en el plano vertical y es
parabólica.
Se llaman proyectiles a los siguientes casos:
- Un objeto que se lanza desde un precipicio.
- Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba.
- Un objeto que es lanzado con un ángulo respecto
a la horizontal.
-
v0 = Velocidad inicial o velocidad de lanzamiento
v0x = Componente horizontal de la velocidad inicial
v0y = Componente vertical de la velocidad inicial
2) Velocidad del proyectil en cualquier instante:
Movimiento compuesto en dos dimensiones.- Las
características son:
- El movimiento de proyectiles se estudia en el plano
vertical, ejes (X e Y).
- El proyectil es lanzado con una velocidad inicial (v0)
formando un ángulo (  0 ) con la horizontal.
- En la dirección horizontal el movimiento del
proyectil es rectilíneo y uniforme, no existe
aceleración  ax  0  .
La componente horizontal de la velocidad se
mantiene constante.
vx  v0 x

vx  v0 cos 0
- En la dirección vertical actúa sobre el proyectil la
fuerza de gravedad, el movimiento es rectilíneo
uniformemente
variado,
con
aceleración
constante  a y   g  .
La componente vertical de la velocidad está
sometido a la aceleración “– g” dirigida hacia abajo:
Ecuaciones del movimiento parabólico.- Para un
lanzamiento de un proyectil con una velocidad inicial
(v0) y un ángulo de tiro (  0 ), las ecuaciones son:
-
Durante el ascenso la componente vertical de la
velocidad es positiva, en el descenso negativa.
1) Componentes de la velocidad inicial:
-
En el punto de máxima altura la componente
vertical se hace nula porque invierte su sentido.
co 0 
v0 x
v0
sen 0 
v0 y
v0


vy  v0 y  g t

vy  v0 sen0  g t
v0 x  v0 cos 0
v0 y  v0 sen0
La velocidad total y dirección del proyectil en
cualquier instante, viene dada por la resultante “v” y
función tangente:
v  vx2  v y2
tan  
vy
vx
- 68 -
Física General
3) Posición del proyectil en cualquier instante:
Son las coordenadas horizontal (x) y vertical (y) para
cualquier tiempo (t):
y
v02 sen 2 0 1 v02 sen 2 0

g
2
g
Reduciendo y reemplazando y por H:
H
v02 sen 2 0
2g
El alcance horizontal máximo “R” cuando y = 0;
calculamos inicialmente el tiempo de vuelo del
proyectil:
0
y  v0 sen0 t  12 g t 2

1
2
g t 2  v0 sen0 t  0
El desplazamiento horizontal:
vx 
x
t

x  vx t

El tiempo de vuelo que viene a ser el doble del
tiempo de ascenso:
x  v0 cos 0 t
y  v0 y t  12 g t 2
Reemplazando:
y  v0 sen0 t  12 g t 2

Combinando las ecuaciones anteriores eliminando (t)
se obtiene la ecuación de la trayectoria:
De :
x  v0 cos 0 t

2 v02 sen 0 cos 0
 2 v sen 0 
x  v0 cos 0 t  v0 cos 0  0
 
g
g


Reduciendo y reemplazando x por R:
x
t
v0 cos 0
R
v02 sen (20 )
g
El alcance es máximo cuando:
Reemplazando (t) en:
 x  1  x 
y  v0 sen 0 t  12 g t 2  v0 sen 0 
 2 g

 v0 cos 0 
 v0 cos 0 
y  x tan 0 
2
g x2
2 v02 cos 2 0
La altura máxima “H”, cuando la componente “vy”
de la velocidad se hace nula; calculamos inicialmente
el tiempo de ascenso del proyectil:
0
vy  v0 sen0  g t
2 v0 sen 0
g
t
Para el desplazamiento vertical:

v sen 0
t 0
g
Reemplazando este tiempo en la ecuación del
desplazamiento vertical, tenemos:
 v sen 0  1  v0 sen 0 
  g 

y  v0 sen 0  0
g
g

 2 

2
sen (20 )  1
El ángulo 2 0 = 90º
Entonces:
0  45º
Lanzamiento
horizontal
o
movimiento
semiparabólico.- El ángulo de lanzamiento es
  0o , lo que significa que en todas las ecuaciones
anteriores debemos tomar en cuenta:
sen0  sen 0º
 0
y cos 0  cos 0º
 1
Reemplazando estos valores en las anteriores
ecuaciones, y luego simplificando las mismas se
obtienen:
v0 y  v0 sen 0º  v0 y  0
vy   g t
y   12 g t 2
v0 x  v0 cos 0º  v0 x  v0
vx
 v0
x  v0 t
Física General
- 69 -
Ángulos de elevación y depresión.- Son los que
se forman por la línea visual y la línea horizontal.
a) Ángulo de elevación.- Formado por la línea
horizontal que pasa por el ojo del observador y la
línea dirigida al objeto situado por encima de la
horizontal (ángulo positivo)
Ejem. 5.2.- Se dispara un proyectil sobre un terreno
horizontal con una velocidad de 300 m/s y un ángulo
de 60º. Calcular el tiempo que demora en llegar al
suelo.
Datos:
v0 = 300 m/s
θ0 = 60º
tv = ?
Solución:
tv 
a) Ángulo de depresión.- Formado por la línea
horizontal que pasa por el ojo del observador y la
línea dirigida al objeto situado por debajo de la
horizontal (ángulo negativo)
2v0 sen 0 2  300 m / s  sen60º

g
9.8 m / s 2
 t v  53 s
Ejem. 5.3.- Se lanza una pelota con una velocidad de
40 m/s y un ángulo de tiro de 40º. Calcular la altura
máxima alcanzada y el tiempo que asciende.
Datos:
v0 = 40 m/s
tv = ?
θ = 40º
H= ?
Y
H
X
O
La altura máxima alcanzada es:
Ejem. 5.1.- Calcular el máximo alcance que se
obtiene con un proyectil que se dispara con una
velocidad de 60 m/s y ángulo de elevación de 45º,
describiendo un movimiento parabólico.
Datos:
v0 = 60 m/s
θ0 = 45º
R = ?
Y
H

H

v02 sen2 0
2g

(40m / s ) 2 * ( sen40º ) 2
1600m 2 / s 2 * (0.413)
19.6 m / s 2
2 * 9.8m / s 2
 33.7 m
Ejem. 5.4.- Se dispara un proyectil en un terreno
horizontal, de manera que su alcance horizontal es el
triple de su altura máxima. Calcular el ángulo de
lanzamiento.
Datos:
v0 = 40 m/s
θ = ?
R = 3H
Solución:
X
Y
O
Solución: El alcance máximo se obtiene cuando la
altura se vuelve nula:
R
R

vo 2 sen(20 )
g
 367.35 m

(60 m / s) 2 sen (2 * 45º )
9.8 m / s 2
O
R
X
- 70 -
Física General
Combinando las ecuaciones del alcance máximo y la
altura máxima, se obtiene el resultado:
R
vo 2 sen (2 0 )
g
H
vo 2 sen 2 0
2g
Condiciones del problema:
R = 3H
v02 sen (2 0 )
v 2 sen 2 0
 3 0
g
2g
2 sen(2 )  3 sen 2 ( )
Solución:
2 (2 sen  cos  )  3 sen 
2
4 cos 

tan 
 3 sen 

sen  4

cos  3
4
3

  53.13º

a) Tomando en cuenta el nivel de referencia la altura
“y” que es negativa:
y  v0 sen 0 t  12 g t 2
Reemplazando valores:
Ejem. 5.5.- Cuando se dispara un obús (cañón de
largo alcance) sobre un terreno horizontal, el alcance
máximo del proyectil es de 3.7 km. Sabiendo que la
velocidad inicial es de 200 m/s. Calcular el ángulo de
tiro.
Datos:
v0 = 200 m/s
x = 3.7 km = 3700 m
θ = ?
Solución:
Utilizando la ecuación del alcance máximo:
v 2 sen2 0 
R 0

g

sen2 0  
gR
sen2 0   2
v0
9.8 m / s  3700 m
2
200 m / s 2
 2 0  sen 1 0.9065   0 
 0.9065
65º
 32.5º
2
Ejem.
5.6.Un
proyectil
es
disparado
horizontalmente desde un cañón que se encuentra a
44 m de altura con una velocidad de 50 m/s.
Calcular:
a) El tiempo que el proyectil permanece en el aire.
b) El alcance horizontal.
c) La velocidad del proyectil al chocar contra el suelo.
Datos:
Incógnitas:
v0 = 50 m/s
a) t = ?
θ0 = 0º
b) x = ?
y = 44 m
c) v = ?
 44 m  50 m / s sen0º  t 


 44 m  4.9 m / s 2 t 2



t
44 m
1
9.8 m / s 2 t 2
2
4.9 m / s 2
 2.99 s  3 s
b) El alcance horizontal « x », se determina con el
tiempo ya calculado:
x  v 0 cos  0 t  50 m / s cos 0º 3 s   150 m
c) Primeramente se determinan las componentes
rectangulares de la velocidad:
v x  v0 cos  0  50 m / s cos 0º   50 m / s


v y  v 0 sen 0  g t  50 m / s sen0º   9.8 m / s 2 3 s 
v y  29.3 m / s
Luego la magnitud de la velocidad resultante es:
v  v x2  v y2 
v  57.95 m / s
50 m / s 2   29.3 m / s 2
Física General
- 71 -
Ejem. 5.7.- Un futbolista golpea el balón con un
ángulo de 50º respecto a la horizontal. Si el balón
alcanza el suelo a 20 m del lugar del golpe,
determinar:
a) La velocidad con que partió el balón.
b) La altura máxima alcanzada.
Datos:
θ0 = 50º
R = 20 m
a) v0 = ?
b) H = ?
Solución:
El tiempo que tarda la pelota en alcanzar su altura
máxima es:
a) Tendremos entonces, el alcance máximo:
Ejem. 5.9.- Un cañón costero está colocado a una
altura h = 30 m sobre el nivel del mar. Un proyectil
es disparado desde el cañón con un ángulo de
elevación θ0 = 45º y una velocidad inicial v0 = 1000
m/s. Despreciando la fricción del aire, encontrar el
alcance x del cañón sobre un blanco colocado sobre
el nivel del mar.
Datos:
Incógnitas:
v0 = 1000 m/s
x= ?
θ0 = 45º
h = 30 m

R
vo 2 sen (20 )
g
Rg
sen(2 )
v0 

v02

Rg
sen (20 )
20 m * 9.8 m / s 2
sen(2 * 50º )


14 m / s
b) La altura máxima:
t
v 0 sen 0 10 m / s  sen45º

 0.66 s  0.7 s
g
9.8 m / s 2
Comparando: 0.7 s > 0.4 s
El choque con la pared se produce durante el
ascenso de la pelota.
Y
H

v02
sen  0
2g
2

2
(14 m / s) (sen 50º )
2 * 9.8 m / s 2
2
 5m
45º
O
Ejem. 5.8.- Un niño lanza una pelota comunicándole
la velocidad de 10 m/s con un ángulo de 45 respecto
a la horizontal. La pelota choca en una pared situada
a 3 m del niño. ¿Cuándo se produce el choque,
mientras asciende o mientras desciende?
Datos:
v0 = 10 m/s
θ0 = 45º
x = 3m
t = ?
Y
X
h
x
B
v0x = v0 cos45º = 1000 cos 45º = 707.1 m/s
v0y = v0 sen45º = 1000 sen 45º = 707.1 m/s
En el eje X el movimiento es uniforme:
vx = v0x = cte.
x = vx t
(1)
En el eje Y el movimiento es uniformemente
acelerado, siendo la aceleración la de la gravedad
(vertical y hacia abajo).
45º
O
X
3m
t  0.39 s  0.4 s
1
2
g t2
(2)
Cuando el proyectil llega al blanco (B): y = –30 m
El tiempo es:
x  v 0 cos  0 t
y = v0y t –

t
3m
x

v 0 cos  0 10 m / s cos 45º 
Reemplazando en 1 y 2:
x = 707.1t
–30 = 707.1t – 12 9.8 t2
t = 144.35 s
x = 102068.85 m = 102.07 km
- 72 -
Física General
LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas, clic en física y click en movimientos
Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento parabólico
Altura máxima y Alcance máximo
Gráficas de lanzamiento horizontal
-
Lanzamiento con Ángulos complementarios
Lanzamiento oblicuo
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de un
proyectil.
Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 73 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300
m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una
bomba. Calcula el tiempo que tarda en llegar al
suelo y el desplazamiento horizontal de la
bomba.
8. La velocidad inicial de un proyectil es de 366 m/s.
¿Cuál debe ser el ángulo del cañón para que el
proyectil destroce un tanque situado a 5490 m de
distancia?
Resp: 12°
Resp: 7.82 s; 469.5 m
2. Una pelota de golf es lanzada con una velocidad
inicial de 30 m/s a un ángulo de 37º con la
horizontal.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la
pelota?
b) ¿Cuál es el alcance máximo alcanzado?
Resp: H = 16.6 m; R = 88.3 m
3. Una pistola de resorte puede proyectar una
canica con una rapidez inicial de 3.6 m/s. Con la
pistola colocada horizontalmente sobre una mesa
1.5 m arriba del piso, ¿Cuál es el alcance de una
canica disparada con ella?
Resp: 14.3 m/s; 59.2°
10. Se dispara un proyectil desde lo alto de una
colina de 300 m de altura, haciendo un ángulo de
30º por debajo de la horizontal. Determinar la
velocidad de disparo para que el proyectil
impacte sobre un blanco situado a una distancia
horizontal de 119 m, medida a partir de la base
de la colina.
Resp: 19.66 m/s
Resp: x = 1.99 m
4. Una pelota rueda fuera del borde de una mesa
horizontal de 4.23 ft de altura. Golpea al suelo en
un punto 5.11 ft horizontalmente lejos del borde
de la mesa.
a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo la pelota en el
aire?
b) ¿Cuál era su velocidad en el instante en que
dejó la mesa?
Resp: a) 0.51 s; b) 11.15 m/s
5. Una bomba se deja caer desde un avión que
vuela horizontalmente a una velocidad de 483
km/h. El avión se encuentra a 3048 m sobre el
suelo. ¿A qué distancia del blanco debe ser
lanzada la bomba?
11. Un cañón dispara una bala desde lo alto de un
acantilado de 200 m de altura con una velocidad
de 46 m/s formando un ángulo de 30º por encima
de la horizontal. Calcula el alcance, el tiempo de
vuelo, y las componentes de la velocidad de la
bala al nivel del mar. Halla también la altura
máxima.
Resp: x = 365.3 m; t = 9.2 s; vx = 39.84 m/s; vy = – 67.16
m/s; 227 m
12. Un cañón está situado sobre la cima de una
colina de 500 m de altura y dispara un proyectil
con una velocidad de 60 m/s, haciendo un ángulo
de 30º por debajo de la horizontal. Calcular el
alcance medido desde la base de la colina.
Resp: 389.71 m
Resp: 3346.3 m
6. Una pelota se lanza a 60° sobre la horizontal con
una velocidad de 173.21 m/s. ¿A qué altura
llegará? ¿Cuál es el alcance horizontal? ¿Dónde
estará el objeto al cabo de 6 s?
Resp: H = 1148.02 m;
y = 723.63 m
9. Una pelota lanzada por un muchacho es cogida a
los 2 s por otro situado a 14.6 m de distancia y
4.9 m sobre el suelo. ¿Cuál es la velocidad
inicial de la pelota? ¿Cuál es el ángulo con que
fue lanzada?
R = 2651.25 m;
x = 519.63 m;
13. Desde un edificio de 25 m de altura se lanza en
forma horizontal una piedra con una velocidad
inicial de 54 km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzar el
suelo? ¿A qué distancia de la base del edificio lo
hace? ¿Con que ángulo respecto a la horizontal
llega al suelo?
Resp: 2.26 s; 33.9 m; - 55.9º
7. Un proyectil es disparado con un ángulo de 45° y
alcanza el punto más alto de su trayectoria al
cabo de 27 s. Calcular la velocidad inicial.
Calcular la máxima altura alcanzada. Calcular la
máxima distancia horizontal alcanzada.
Resp: v0 = 374.20 m/s; H = 3572.10 m; R = 14288.33 m
14. Desde la terraza de un edificio de 20 m de altura
se arroja horizontalmente una piedra con una
velocidad inicial v0, que impacta en la calle a una
distancia de 6 m del pie del edificio. ¿Cuánto
tiempo está la piedra en el aire? ¿Con que
velocidad inicial fue lanzada?
Resp: 2.0 s; 3 m/s.
- 74 -
Física General
15. Un proyectil es lanzado desde un obús con una
velocidad de 128 pies/s y un ángulo de
inclinación de 30º, respecto de la horizontal.
Determinar el tiempo empleado en alcanzar una
altura de 48 pies.
Resp:
1 s y 2.97 s
16. Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24 m/s,
que forma un ángulo de 53° por encima de la
horizontal. Calcular la distancia horizontal a que
se encuentra del punto de partida 3 seg, después
del disparo. La distancia vertical por encima del
punto de partida en el mismo instante. Las
componentes horizontal y vertical de su velocidad
en dicho momento.
Resp:
43.3 m;
13.40 m;
22. Un avión que vuela horizontalmente a razón de
90 m/s, deja caer una bomba desde una altura
de 1000 m ¿Con qué velocidad aproximada
llega la bomba a tierra? (g = 10 m/s2).
Resp: VR = 167 m/s
14.44 m/s; – 10.2 m/s.
17. Desde un avión que vuela a 720 km/h
horizontalmente a 200 metros de altura hay que
lanzar una caja a un coche que va a por la
autopista a 108 km/h. ¿A qué distancia del coche
tiene que soltar el avión este objeto? ¿A qué
distancia lo habría de soltar si el coche circulase
en sentido opuesto?
Resp: 1086.3 m; 1469.7 m
18. Se lanza un balón con una velocidad de 16 m/s y
haciendo un ángulo de 60º con el suelo. A 20
metros hay un árbol de 4 metros de altura.
¿Pasará el balón por encima de este árbol? Si
pasa, ¿en qué posición chocará el balón con el
suelo? Si por el contrario, no pasa, ¿A qué altura
chocará con el árbol?
23. Una pelota lanzada horizontalmente choca con
una pared que se encuentra a 5 m de distancia
del sitio desde la cual se lanzó. La altura del
punto en que la pelota choca con la pared es un
metro más bajo que la altura desde el cual fue
lanzada. Determinar con qué velocidad inicial
fue lanzada la pelota.
Resp: v 11.07 m/s
Resp: Pasa; 22.6 m
19. Desde el suelo se lanza un objeto con una
velocidad de 20 m/s y con un ángulo de 45º. A
22 metros hay un edificio de 8 metros de altura.
¿Llegará este objeto a la azotea o bien chocará
contra la pared vertical de este edificio? Si llega a
la azotea, ¿dónde caerá exactamente el objeto?
Si choca con la pared, ¿dónde tendrá lugar el
impacto?
Resp: Llega a la azotea, 29.8 m
20. Una pelota se lanza desde el tejado de una casa
con una velocidad de 10 m/s formando un ángulo
de 15° por debajo de la horizontal. Hallar las
componentes vertical y horizontal de la velocidad.
Resp: v0x = 9.66 m/s ; v0y = – 2.59 m/s
21. Una pelota sale rodando del borde de una mesa
de 1.25 m de altura; si cae al suelo en un punto
situado a 1.5 m del pie de la mesa. ¿Qué
velocidad tenía la pelota al salir de la mesa? (g
= 10 m/s2).
Resp: v 3m/ s
24. Determinar el ángulo de lanzamiento de una
partícula de tal modo que su alcance horizontal
sea el triple de su altura máxima.
Resp: 53
Física General
- 75 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
En el lanzamiento de proyectiles el máximo
alcance horizontal se logra con un ángulo de:
a) 30 m/s
8.
a) 0º
2.
b) 30º
c) 90º
d) 45º
Dos cuerpos de masas iguales se lanzan
horizontalmente desde una altura de 20 metros
con velocidades de 10 m/s y 20 m/s. Se puede
asegurar que:
a) El cuerpo de velocidad 20 m/s tiene el mayor
alcance.
b) Los dos cuerpos por tener masas iguales
obtienen el mismo alcance.
c) Los dos cuerpos por tener velocidades
diferentes obtienen el mismo alcance.
d) El cuerpo de velocidad 10 m/s tiene el mayor
alcance.
3.
d) 14.5 m
b) 10 m/s
c) 30 m/s
d) 20 m/s
b) 7 s
c) 6 s
d) 9 s
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de
20 m/s que hace un ángulo de 37º con la
horizontal. El alcance horizontal de la pelota es
de: (g = 10 m/s2)
a) 24.5 m
7.
c) 7.2 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de
50 m/s que hace un ángulo de 53º con la
horizontal. El tiempo que demora la pelota en el
aire es de: (g = 10 m/s2)
a) 8 s
6.
b) 24 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de
20 m/s que hace un ángulo de 37º con la
horizontal. La velocidad con que la pelota choca
contra el suelo es de:(g = 10 m/s2)
a) 15 m/s
5.
d) 10 m/s
En el movimiento de proyectiles podemos
afirmar que existe aceleración:
a) Inclinada
c) Horizontal
9.
c) 0 m/s
b) Vertical
d) Oblicua
En el lanzamiento de proyectiles, la velocidad
horizontal es:
a) Variable
c) Constante
b) Nula
d) A veces variable
10. La figura muestra la trayectoria de una pelota.
En el punto C, de altura máxima:
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de
20 m/s que hace un ángulo de 37º con la
horizontal. La altura máxima que alcanza la
pelota es de: (g = 10 m/s2)
a) 12 m
4.
b) 20 m/s
b) 19.5 m
c) 30.5 m d) 38.4 m
Se lanza una pelota con una velocidad inicial de
30 m/s que hace un ángulo de 30º con la
horizontal. Cuando la pelota alcanza la altura
máxima, la velocidad vertical de la pelota es de:
a) La velocidad es cero, pero la aceleración no
es cero
b) La velocidad, no es cero, pero la aceleración
es cero
c) La velocidad y la aceleración son
perpendiculares
d) La rapidez es menor que en D, pero la
aceleración es mayor en D
11. ¿Qué alcance horizontal tiene un proyectil que
se dispara con una velocidad de 50 m/s
formando 53º con la horizontal (g = 10 m/s2)
a) 120 m
b) 200 m
c) 240 m
d) 250 m
12. De lo alto de un edificio se dispara
horizontalmente un cuerpo, con una velocidad
de 10 m/s. Si el edificio tiene 150 m. ¿A qué
distancia del edificio se encontrará al cabo de 5
segundos?
a) 50 m
b) 100 m
c) 80 m
d) 150 m
13. Un avión que vuela horizontalmente a razón de
90 m/s deja caer un paquete desde una altura
de 720 m, ¿con qué velocidad llega el paquete a
- 76 -
Física General
tierra si se desprecia el efecto del rozamiento de
aire? (g = 10 m/s2)
a) 140 m/s
c) 230 m/s
b) 166.4 m/s
d) 150 m/s
21. Una pelota pequeña es pateada con un ángulo
de elevación de 37º y rapidez de 20 m/s. ¿Qué
rapidez tendrá la pelota al cabo de 1.2 s?
(g = 10 m/s2)
a) 16 m/s
El siguiente enunciado
ejercicios 14, 15 y 16.
corresponde
a
Un cañón dispara con una velocidad, formando un
ángulo con la horizontal. Responder:
14. Si V0 = 20 m/s, g = 10 m/s y  = 30°.
Entonces el tiempo de subida es:
a) 0.2 s
b) 1.0 s
c) 0.8 s
b) 7 3
c) 10 3
d) 0.9 s
d) 5
16. Con los datos anteriores, la altura máxima será:
a) 2.5 m
b) 5.0 m
c) 10 m
d) 20 m
17. Con qué ángulo de tiro debe ser disparado un
cuerpo para que su alcance horizontal sea igual
a su altura máxima?
a) 81.9º
b) 82.9º
c) 80.5º
d) 75.9º
18. Se dispara un proyectil de tal manera que su
alcance horizontal es igual al triple de su altura
máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección?
a) 60.2º
b) 58.3º
c) 53.1º
d) 55º
19. Se lanza una piedra en forma horizontal con
velocidad de 8 m/s de la parte más alta de una
torre de 180 m de altura. ¿A qué distancia de la
base de la torre caerá la piedra? (g = 10 m/s 2)
a) 50 m
b) 48 m
c) 60 m
d) 45 m
20. ¿De qué altura fue lanzada una pelota
horizontalmente con velocidad de 40 m/s?, si al
caer al piso recorre una distancia horizontal de
120 m. (g = 10 m/s2)
a) 64 m
b) 36 m
c) 25 m
d) 45 m
c) 15 m/s
d) 12 m/s
22. Desde un balcón se lanza una piedra en forma
horizontal con una rapidez de 15 m/s. Hallar su
desplazamiento horizontal hasta el instante en
que su rapidez ha aumentado en 10 m/s.
(g = 10 m/s2)
a) 15 m
15. Con los datos anteriores, el alcance horizontal
en metros es:
a) 20 3
b) 18 m/s
los
b) 20 m
c) 25 m
d) 30 m
23. En los ejes cartesianos, el componente x de un
vector está asociado generalmente con:
a) coseno
c) tangente
b) seno
e) ninguno de ellos
24. En el lanzamiento de proyectiles el máximo
alcance horizontal se logra con un ángulo de:
a) 0º
b) 30º
c) 90º
d) 45º
25. Una piedra se lanza horizontalmente desde un
barranco de 20 m de altura con una velocidad
inicial de 10 m/s. Una segunda piedra se deja
caer simultáneamente desde ese barranco.
¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la
correcta?
a) Ambas chocan con el suelo con la misma
velocidad
b) Las dos llegan al suelo con la misma rapidez
c) Las dos llegan al mismo tiempo al suelo
d) La piedra lanzada llega primero al suelo
26. En el lanzamiento horizontal, el tiempo de caída
del proyectil depende de.
a)
b)
c)
d)
Velocidad de lanzamiento
Altura de lanzamiento
Las dos anteriores
Ninguna de las anteriores
27. Una pelota de béisbol, al ser golpeada por un
bateador, viaja hacia los jardines. La aceleración
de la pelota durante el vuelo:
a) Es la misma durante todo el trayecto
b) Depende de si la pelota va hacia arriba o
hacia abajo
c) Es máxima en la cúspide de su trayectoria
d) Depende de cómo se la pegó
Física General
- 77 -
Cap. 6
CINEMÁTICA V
MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(M. C. U.)
CONTENIDO:
- 78 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Apreciamos procesos de movimiento originado por las
fuerzas, estudiando y analizando los conceptos,
características y propiedades de la cinemática circular,
resolviendo una variedad de trabajos prácticos y de
laboratorio, que identifiquen velocidad y rapidez,
frecuencia y período, aceleración angular y centrípeta
y permitan contribuir a la creatividad de nuestros
estudiantes.
Algunas cosas interesantes sobre aceleración
Aquí tenemos la centrifugadora gigante donde se meten los astronautas para comprobar los efectos de la
aceleración. En este caso en aceleración normal y se calcula con:
ac 
v2
R
.
Con un radio de más o menos 5 m y una velocidad de tan solo 10 m/s podemos conseguir una aceleración de
20 m/s2.
Regla de la mano derecha para el vector velocidad angular
Física General
- 79 -
Introducción.- El movimiento circular es aquel tipo
de movimiento donde un objeto considerado como
partícula describe una trayectoria curva llamada
circunferencia.
Cuando un cuerpo sólido rota sobre su eje, todas sus
partículas giran, se mueven en trayectorias
circulares alrededor del eje de rotación del cuerpo.

Desplazamiento angular (  ).- Magnitud vectorial,
es el ángulo central correspondiente al arco descrito
por la partícula, se mide en radianes.
s  r 
Revolución.- Es el movimiento que experimenta una
partícula, cuya trayectoria descrita es una
circunferencia. Ejem. La Luna tiene movimiento
circular respecto del centro de la Tierra.
Rotación: Un objeto
rota cuando gira
alrededor de un eje
que forma parte del
objeto.
Revolución:
Un
objeto
efectúa
revoluciones cuando
gira alrededor de un
eje que no forma parte
del objeto.
s
r
-
El módulo es el ángulo formado ( θ ) por un
cuerpo rígido o una partícula respecto de un
centro y el radio, mientras va girando.
-
La dirección es perpendicular al plano de
rotación, y se encuentra en el centro de la
circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano
derecha.
Elementos del movimiento circular.- se consideran
los siguientes:
Rotación.- Es el movimiento que experimentan los
cuerpos rígidos respecto a un eje fijo, todas sus
partículas experimentan el mismo giro en el mismo
tiempo. Ejm. La Tierra experimenta un movimiento de
rotación sobre su propio eje.
 
Regla de la mano derecha.- Es una convención muy
importante para la determinación de las direcciones y
sentidos de los vectores rotacionales como el caso
del,
producto
vectorial
de
dos
vectores,
desplazamiento
angular,
velocidad
angular,
aceleración angular, etc.
“si suponemos que tomamos el eje de rotación
del cuerpo con la mano derecha de modo que los
dedos apunten en el sentido de la rotación, el
pulgar colocado paralelo al eje indicará el sentido
del vector desplazamiento angular”.
VECTOR DESPLAZAMIENTO ANGULAR
Distancia lineal (s).- Magnitud escalar, es la
longitud recorrida por una partícula a lo largo del
arco de circunferencia.
s
r
O
r
Aplicar la regla a diversos ejemplos como los
punteros del reloj, las aspas de un ventilador, el giro
de un alumno sobre sus talones, la rotación de la
Tierra en torno a su eje y el Sol, etc.
Unidades del desplazamiento angular.- La unidad
principal es el radián (rad). Existen otras unidades
como ser ( º ) grados sexagesimales, revoluciones.
arco = ángulo x radio
s  r 
s = Longitud del arco, medido en m, cm, ft, etc.
r = longitud del radio, medido en m, cm, ft. etc.
θ = Angulo subtendido, medido en radianes.
Un radián, es la medida del ángulo central de una
circunferencia subtendida por un arco de longitud
igual al radio de dicha curva.
s = rθ
θ = s/r
= r/r = 1 rad
1 rad = 360º /2π = 57.3 º
1 revolución = 1 vuelta = 2π rad.
- 80 -
Física General
Rapidez lineal o tangencial ( v ).- Magnitud escalar,
se define como el arco recorrido en cada unidad de
tiempo.
La rapidez lineal es el escalar de la velocidad
lineal.
Rapidez angular
Unidades:

àngulo
tiempo


t
 rad 
 s 
Otras unidades de la rapidez angular:
s
rpm = revoluciones por minuto
rps = revoluciones por segundo
R
R
1 rpm 
Rapidez lineal

arco
tiempo
1revoluc. 2 rad 1min .  rad



1min .
1revoluc. 60 s
30 s
Velocidad angular (  ).- Es una magnitud
vectorial, señala la dirección y el sentido de giro de
un cuerpo o partícula:
s
v
t
Unidades:  m  ,  cm  ,  ft 
 s   s   s 
Velocidad lineal o tangencial ( v ).- Es una
magnitud vectorial, señala la dirección en que gira
un cuerpo o partícula:
-
El módulo se denomina rapidez lineal
tangencial.
(o
-
La dirección es siempre tangente a la trayectoria
circular, perpendicular al radio.
-
El sentido es según el movimiento.
-
El módulo se denomina rapidez angular.
-
La dirección es perpendicular al plano de
rotación, se encuentra en el centro de la
circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano
derecha.
VECTOR VELOCIDAD ANGULAR
Rapidez angular (  ).- Magnitud escalar, se define
como el ángulo descrito en cada unidad de tiempo.
La rapidez angular es el escalar de la velocidad
angular.
Relación entre magnitudes lineales y magnitudes
angulares.- Una partícula que se mueve en una
circunferencia, para un tiempo dado (t) se pueden
obtener los siguientes datos:
El desplazamiento angular es:
R
R

 t
(1)
El arco recorrido es:
s

vt
(2)
La relación entre arco y ángulo:
s
 R
(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3), se tiene:
vt  t R

v R
(4)
Física General
- 81 Período ( T ).- Es el tiempo que demora un cuerpo
con movimiento circular uniforme en dar una vuelta
completa. Se expresa en unidades de tiempo.
T
Clasificación del movimiento circular según la
rapidez angular.- Tomando en cuenta la rapidez
angular, el movimiento de una partícula se clasifica
en:
-
Movimiento circular uniforme (M. C. U.)
-
Movimiento circular
(M. C. U. V.)
uniformemente

Tiempo total
Nro. de vueltas
Por ejemplo el período de revolución de la Tierra
alrededor del Sol es 1 año. El período de rotación de
la Tierra sobre su propio eje es 24 horas.
Frecuencia ( f ).- Es el número de vueltas dado por
un cuerpo con movimiento circular uniforme en cada
unidad de tiempo, también se le puede definir como
la inversa del período.
variado
f

Movimiento Circular Uniforme (M. C. U.).- Un
ejemplo de este tipo de movimiento se observa en
figura siguiente:
Nro. de vueltas
Tiempo total
f 
1
T
Unidad de frecuencia en el S. I.
revolución
segundo
1
s
 r. p.s. 

s 1

Hertz
revolución
 r pm
min
Otras unidades:
Relación con el periodo y la frecuencia:
Caracterìsitas.- Un cuerpo describe un movimiento
circular uniforme cuando:
v
2 R
T
v  2 R f
-
Su trayectoria es una circunferencia.

2
T
  2 f
-
La rapidez (mòdulo de la velocidad) permanece
constante.
-
La velocidad (vector), siempre tangente a la
circunferencia.
-
El móvil barre ángulos iguales en tiempos iguales.
Movimiento circular uniforme es, rapidez lineal
constante, pero no velocidad lineal constante.
Rapidez lineal media:
Rapidez angular media:
v

Aceleración centrípeta ( ac ).- Llamada también
aceleración normal  an  , aceleración radial  aR  .
Relaciona los cambios de dirección de la velocidad
lineal en el movimiento circular con el tiempo.
s
t

R
R
t
Direcciones
- 82 -
Física General
La aceleración centrípeta o normal, se representa
mediante un vector orientado hacia el centro de
curvatura.
Ejem. 6.1.- Un espectador de pie en el centro de una
pista de carreras circular observa a un corredor que
inicia una carrera de práctica 256 m al este. El
corredor corre sobre la pista hasta la línea final, que
está localizada hacia el norte de la posición del
observador.
a) ¿Cuál es la distancia de la carrera?
b) ¿Cuál es la distancia de una vuelta completa
alrededor de la pista?
Datos:
r = 256 m
a) s = ?
b) Longitud de una vuelta = ?
El módulo de la aceleración centrípeta es:
ac 
v2
R
En función de la velocidad angular, reemplazando la
relación v   R en la anterior ecuación se obtiene
otra expresión:
Solución:
a) Desplazamiento angular: 90º = π/2 rad
ac   2 R
s = r θ = 256 m x π/2 rad = 402 m
b) Para una vuelta completa el ángulo es:
Aplicaciones del M. C. U.- En la industria se
aprovecha mucho los movimientos de rotación para
transmitir los mismos a engranajes, por medio de
correas, cadenas y fajas.
a) Si dos o más partículas
giran en base a un mismo
centro,
sus
velocidades
angulares serán iguales.
A
 B
b) Cuando dos ruedas están en contacto o
conectadas por una correa, entonces los valores de
sus velocidades tangenciales son iguales.
360º = 2π rad
s = rθ
= 256 m x s = 1610 m
Ejem. 6.2.- Una partícula gira con una frecuencia
correspondiente a 180 R.P.M. Calcular su velocidad
angular.
Solución:
revol . 2 rad 1min
  18
*
*
 18.85 rad / s
min. 1revol . 60 s
Ejem. 6.3.- En un disco de 45 rpm, el principio de la
pista está a 8 cm del centro y el final a 5 cm del
centro. ¿Cuál es la rapidez angular y la rapidez
tangencial de un punto en el disco a estas distancias
cuando gira a 45 rpm?
Datos:
ω = 45 rpm
r1 = 8 cm
r2 = 5 cm
ω1 = ?
v1 = ?
ω2 = ?
v2 = ?
La rapidez angular es la misma en todo el disco, por
tanto:
ω = ω1 = ω2

 45
revol . 2 rad 1min
*
*
min. 1revol . 60 s
 4.7 rad / s
Física General
- 83 -
Las rapideces tangenciales en posiciones diferentes
sobre el disco son diferentes:
v1   r1  (4.7 rad / s)(0.08m)  0.38m / s
  r2
v2
 (4.7 rad / s)(0.05m)  0.24m / s
Un punto sobre la parte exterior del disco tiene una
rapidez tangencial mayor que uno en la parte interna.
Ejem. 6.4.- Un disco de fonógrafo rota a una rapidez
constante de 33⅓ rpm ¿Cuál es la frecuencia del
disco y el período de rotación?
Datos:
ω = 33.3 rpm
f = ?
T = ?
Ejem. 6.6.- Calcular la velocidad tangencial de un
móvil que describe una circunferencia de 10 cm de
radio en 0.2 segundos.
Datos:
r = 10 cm
t = 0.2 s
θ = 1 vuelta = 2π rad
v = ?
Solución:
m


t
2 rad
0.2 s

 31.42 rad / s
v   R  (31.42 rad / s) (0.10 m)  3.14 m / s
Ejem. 6.10.- En el sistema mostrado. Calcular la
velocidad angular de la rueda “E”
Solución:
La velocidad angular:
  33.33
revol . 2 rad 1min
*
*
min. 1revol . 60 s
 3.49 rad / s
RB = 40 cm
RE = 40 cm
RC = 30 cm
ωA = 5 rad/s
RD = 15 cm
La frecuencia:
  2 f

f 

2

3.49 rad / s
 0.55 Hz
2
El periodo:
T
Las ruedas A y B tienen el mismo centro de giro, por
tanto tienen la misma velocidad angular:
ωA = ωB = 5 rad/s
Transformando las velocidades angulares a lineales:
1
1

 1.8 s
f 0.55 Hz
vB = rB ωB = (40 cm)(5 rad/s) = 200 cm/s
Las ruedas B y C , tienen la misma velocidad
tangencial:
Ejem. 6.5.- Calcular la velocidad tangencial de un
móvil que describe una circunferencia de 10 cm de
radio en 0.2 segundos.
Datos:
r = 10 cm
t = 0.2 s
θ = 1 vuelta = 2π rad
v = ?
Solución:
vB = vC = 200 cm/s
C
m

t

2 rad
0.2 s

200cm / s
30 cm
6.67 rad / s
Las ruedas C y D tienen la misma velocidad angular
por tener el mismo centro de rotación:
ωC = ωD = 6.67 rad/s
Cálculo de la velocidad angular media:

vC
rC

vD = rD ωD = (15 cm)(6.67 rad/s) = 100 cm/s
 31.42 rad / s
La velocidad tangencial:
v   R  (31.42 rad / s) (0.10 m)  3.14 m / s
E

vE
rE

100cm / s
40 cm
 2.5 rad / s
- 84 -
Física General
LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de paginas, clic en física y click en movimientos
Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento circular
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
M.C.U. ACELERACION NORMAL
-
PERÍODO Y FRECUENCIA
MOVIMIENTOS CIRCULARES
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de una
mariquita y Movimiento 2D.
Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 85 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un hombre trota sobre una pista circular que
tiene un radio de 0.25 km, una distancia de 1.0
km ¿Qué distancia angular ha cubierto en (a)
radianes, (b) grados?
Resp: (a) 4 rad, (b) 229.2º
2. Si consideramos que la órbita de la Tierra
alrededor del Sol es circular, ¿cuál será la
distancia orbital aproximada que la Tierra recorre
en 3 meses (Distancia Tierra – Sol = 1.5x108 km)
11. Se lanza una bola con rapidez uniforme en un
círculo horizontal con un radio de 1.25 m. Si la
bola tiene una aceleración centrípeta de 5.35
m/s2, ¿cuál es su rapidez orbital?
Rep: 2.59 m/s
12. En la figura siguiente. Si la rueda “A” gira a 40
rpm y siendo RA = 4RB, determinar la velocidad
angular de “B”
Resp: 160 rpm
8
Resp: 2.36x10 km
3. Una rueda de automóvil da 300 vueltas en un
minuto. Calcula la frecuencia y el período
Resp: Frecuencia = 5 Hz; Período = 0.2 s
4. Una rueda de carrusel tiene 5 m de diámetro,
realiza 5 vueltas en 2 minutos. Calcula: El
período, la frecuencia, la velocidad angular y la
velocidad lineal de su borde.
13. Se lanza una bola con rapidez uniforme en un
círculo horizontal con un radio de 1.25 m. Si la
bola tiene una aceleración centrípeta de 5.35
m/s2, ¿cuál es su rapidez orbital?
Rep: 2.59 m/s
Resp: 24 s; 0.042 Hz; 0.262 rad/s; 0.65 m/s
5. Un automóvil de carreras hace dos vueltas
alrededor de una pista circular en 2.5 min. ¿Cuál
es su rapidez angular promedio?
Resp: 0.084 rad/s
6. Un corredor que lleva un paso constante recorre
media vuelta de una pista circular que tiene una
diámetro de 500 m, en 2.5 min. ¿Cuál es a) su
rapidez angular y b) su rapidez tangencial?
Resp: 0.021 rad/s; 5.24 m/s
7. Una partícula describe un arco de 30 cm en 15
segundos. Calcular su velocidad angular, si el
radio es de 10 cm.
Resp: 0.2 rad/s
8. Una partícula gira con una frecuencia
correspondiente a 1500 RPM. Calcular la
velocidad angular en rad/s.
14. Una centrifugadora de laboratorio que sirve para
separar partículas de diferentes tamaños y
densidades suspendidas en un líquido, opera con
una rapidez rotacional de 12000 rpm.
a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración
centrípeta de una célula roja sanguínea a una
distancia radial de 8 cm del eje de rotación de la
centrifugadora?
b) ¿Cómo se compara esta aceleración con g?
Resp: a) ac = 1.25x105 m/s2 ; b) 13 000 g
15. Un punto móvil gira con un período de 2 s y a 1.2
m del centro, calcular:
a) La velocidad tangencial
b) La velocidad angular.
Resp: a) 3.77 m/s; b) 3.14 rad/s
16. La velocidad angular de un punto móvil es de 55
rad/s, ¿cuál es la velocidad tangencial si el radio
de giro es de 0.15 m?
Resp: 8.25 m/s
Resp: 157.1 rad/s
9. Un satélite en una órbita circular tiene un período
de 10 horas. ¿Cuál es la frecuencia en
revoluciones por día?
17. El radio de una rueda de bicicleta es de 32 cm. Si
la velocidad tangencial es de 40 km/h, ¿cuál es la
velocidad angular?
Resp: 34.7 rad/s
Resp: 2.4 Revol/día
10. Determine cuál tiene mayor rapidez angular: la
partícula A que viaja 160º en 2 segundos, o la
partícula B que recorre 3π rad en 7 segundos
Resp: A = 1.396 rad/s; B = 1.346 rad/s; (A tiene mayor
rapidez angular)
18. Si una hélice da 18000 R.P.M. ¿Cuáles son su
frecuencia y período?
Resp: 300 vueltas/s, 0.003 s
- 86 -
Física General
19. Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m.
Calcula:
a) El módulo de la velocidad angular en rad/s
b) El módulo de la velocidad lineal de su borde
c) Su frecuencia
Resp: a) 6π rad/s; b) 9.42 m/s; c) 3 Hz
20. Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a
una velocidad de 2500 rpm. Calcula:
a) El módulo de la velocidad angular en rad/s
b) El módulo de la velocidad lineal de su borde
c) Su frecuencia
Resp: a) 83.3π rad/s; b) 15.7 m/s; c) 41.66 Hz
21. Teniendo en cuenta que la Tierra gira alrededor
del Sol en 365.25 días y que el radio de giro
medio es de 1.5x1011 m, calcula (suponiendo que
se mueve en un movimiento circular uniforme):
a) El módulo de la velocidad angular en rad/día
b) El módulo de la velocidad a que viaja
alrededor del Sol
c) El ángulo que recorrerá en 30 días
d) El módulo de la aceleración centrípeta
provocada por el Sol
Resp: a) 0.0172 rad/dia; b) 29861 m/s; c) 0.516 rad =
29° 33'; d)5.9x10-3 m/s2
22. Un piloto de avión bien entrenado aguanta
aceleraciones de hasta 8 veces la de la
gravedad, durante tiempos breves, sin perder el
conocimiento.
Para un avión que vuela a 2300 km/h, ¿cuál será
el radio de giro mínimo que puede soportar?
Resp: = 5200 m
23. Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es
de 33 cm. Calcular la velocidad angular
Resp: 0.67 rad/s
24. Los puntos periféricos de un disco que gira
uniformemente, se mueven a 40 cm/s. Si los
puntos que se encuentran a 2 cm de la periférica
giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco?
Resp: 16 cm
25. La rueda “A” presenta una velocidad angular
constante de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de la
velocidad angular de la rueda “D”?
Resp: 12 rad/s
26. A las doce del día, las agujas de un reloj están
superpuestas. ¿Al cabo de cuántos minutos, el
minutero y el horario formarán un ángulo de 30°
por primera vez?
Resp: 5.45 minutos
26. Los puntos periféricos de un disco que gira
uniformemente, se mueven a 40 cm/s. Si los
puntos que se encuentran a 2 cm de la periferia
giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco?
Rpta. 16 cm
27. Una partícula describe una circunferencia de
radio igual a 30 cm y da 4 vueltas en 20
segundos; calcular:
a) El período
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
Resp: a) 5 s, b) 0.2 Hz, c) 1.26 rad/s
28. Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es
de 33 cm. Calcular la velocidad angular.
Resp: 0.67 rad/s
29. Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un
hueco a cierta distancia del centro por donde
pasa un móvil que luego al caer pasa por el
mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del
disco en (rad/s)? (considere: g = 10 m/s2).
Resp: 1.31 rad/s
Física General
- 87 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. Una rueda tiene una velocidad angular de 2π
rad/seg. Al término de 5 seg, ¿habrá girado en
radianes?
a) 5π
b) 10π
2. La velocidad angular
sobre su eje es:
a) 12/π rad/h
c) 48/π rad/h
c) 5/π
d) 20π
de la rotación terrestre
b) π/12 rad/h
d) 0.5 grados/min
a) 0.4 rad
b) 40 rad
b) longitud
d) longitud/tiempo
c) 4 rad
d) 0.25 rad
12. Un cuerpo gira en un movimiento rotacional
uniforme, en un círculo de 10 cm de radio con
una aceleración centrípeta de 810 cm/s 2. Su
velocidad angular es de:
a) 3.14 rad/s
c) 10 rad/s
3. La unidad radián es equivalente a:
a) grado/tiempo
c) longitud/longitud
11. Un arco de 60 cm de longitud sobre una
circunferencia de 30 cm de diámetro
corresponde un ángulo en radianes de:
b) 9 rad/s
d) 810 rad/s
13. La dirección del vector, velocidad angular es con
respecto a la del plano que contiene a la
trayectoria:
4. En el movimiento circular uniforme, se cumple:
a)
b)
c)
d)
a) Paralela
c) Oblicuo
La velocidad angular es constante
La rapidez es variable
La velocidad angular es variable
No hay aceleración
14. Una esfera unida a una cuerda de 3 m de
longitud, da 5/π revoluciones por segundo. ¿Cuál
es la velocidad de la esfera?
5. Una revolución completa expresada en radianes,
equivale:
a) 1 rad
b) 360 rad
c) π/2 rad
b) 10  rev
d) 20  rev
b) 13.5 rad c) 20 rad
b) 11309.7 rad/s
d) 17188.7 rad/s
9. En el movimiento circular uniforme siempre existe
aceleración porque:
a)
b)
c)
d)
El espacio recorrido es siempre el mismo
La velocidad cambia de dirección
La velocidad cambia de módulo
La velocidad no cambia de sentido
10. Las dimensiones de la velocidad angular se da
en:
a) rad
b) rad/s
c) rad/s 2
b) Hacia el este
d) Hacia arriba
16. En un movimiento circular uniforme se cumple
una de las siguientes características:
d) 15.7 rad
8. El volante de un motor gira a razón de 1 800
RPM .Su velocidad angular es:
a) 188.5 rad/s
c) 3.14 rad/s
b) 30 m/s
d) 60 m/s
15. Una muchacha corre en bicicleta hacia el norte
con rapidez constante. El vector “ω” velocidad
angular de las ruedas se dirige:
a) Hacia el norte
c) Hacia el oeste
7. Un desplazamiento angular de 900º equivale a:
a) 12.5 rad
a) 15 m/s
c) 31.4 m/s
d) 2π rad
6. Una rueda tiene una velocidad angular de 2π rad/
seg. Al término de 5 seg habrá dado:
a) 5 rev
c) 5/  rev
b) Perpendicular
d) No se puede precisar
d) r.p.s.
a)
b)
c)
d)
La aceleración es nula
La velocidad (vector) es constante
La aceleración es tangencial
La rapidez es constante
17. En el movimiento circular uniforme, período es:
a) El número de vueltas que realiza un cuerpo
en una unidad de tiempo
b) El tiempo que emplea un cuerpo en girar una
vuelta
c) El ángulo barrido en una unidad de tiempo
d) La distancia recorrida en una unidad de
tiempo
18. Una rueda gira 500 veces en un minuto, ¿cuál es
su velocidad angular en radianes por segundo?
a) 34.35 rad/s
c) 49.28 rad/s
b) 40.36 rad/s
d) 52.35 rad/s
- 88 -
Física General
19. Si un cuerpo da 180 vueltas en 1 minuto, su
frecuencia es:
a) ω/t
b) ω
c) ω r
d) ω² r
26. El siguiente: 120 r.p.m. es lo mismo que:
a) 30 vueltas/segundo
c) 6 vueltas/segundo
b) 3 vueltas/segundo
d) 8 vueltas/segundo
20. Un cuerpo realiza 120 vueltas en un minuto
describiendo una circunferencia de 1 m de radio.
El valor de su velocidad tangencial es:
a) 2 m/s
c) 12.56 m/s
b) 6.28 m/s
d) 3.14 m/s
a)
R
v
2
b) 0
c)
v
R
b) 2 vueltas/minuto
d) 0.5 r.p.s.
27. Un cuerpo que describe un M.C.U. recorre una
vuelta cada 60 s. Su velocidad angular será:
b) π/30 rad/s
d) 1/60 r.p.s.
a) 60 r.p.s.
c) 2π rad/s
21. Un cuerpo gira en un círculo de radio R con
velocidad constante v, su aceleración normal
está dado por:
2
a) 2 r.p.s.
c) 720 r.p.s.
d)
R
v
22. En la figura, los vectores A y B representan
respectivamente:
28. Un cuerpo con M.C.U. recorre 0.43 vueltas en
0.034 minutos. Entonces, va con una rapidez de:
a) 0.464 vueltas por minuto
c) 0.080 r.p.m.
b) 12.65 r.p.m.
d) N. A.
29. Una partícula que tiene M.C.U. gira con una
frecuencia de 1200 RPM. Si el radio de giro es
50 cm, calcular su aceleración centrípeta en m/s 2
a) 200π2
c) 600π2
b) 400π2
d) 800π2
30. Una partícula realiza un movimiento circular
𝜋
uniforme con rapidez angular 12 rad/s y radio
2.5 m. ¿En que tiempo la partícula realiza 7
vueltas completas?
a) La velocidad tangencial y la velocidad
angular
b) La velocidad angular y la aceleración
centrípeta
c) La velocidad tangencial y la aceleración
centrípeta
d) La aceleración centrípeta y la velocidad
tangencial
23. Un cuerpo viaja en una trayectoria circular a
rapidez tangencial constante; entonces podemos
afirmar:
a) La aceleración está dirigida hacia el centro de
la trayectoria circular
b) La aceleración del cuerpo es cero
c) La aceleración está dirigida fuera del centro de
la trayectoria circular
d) La velocidad del cuerpo es constante
24. Una esfera unida a una cuerda de 3 m de
longitud, da 5/π revoluciones por segundo.
¿Cuál es su aceleración?
a) 30 m/s2
c) 300 m/s2
b) 31.4 m/s2
d) 600 m/s2
25. Un cuerpo gira en un círculo de radio r con
velocidad angular constante ω y su aceleración
normal está dado por:
a) 168 s
b) 184 s
c) 204 s
d) 216 s
31. Un cuerpo con M.C.U. gira un ángulo de 720°
en 10 segundos. Hallar su velocidad angular
a) 0.2π rad/s
c) 0.1π rad/s
b) 0.4π rad/s
d) 2π rad/s
32. Una partícula gira con M.C.U. de tal modo que
da una vuelta en 22 s. Si al recorrer 40 cm de
arco, emplea 10 s, ¿cuál es el radio de giro del
movimiento? (𝜋 =
a) 10 cm
22
7
b) 12 cm
)
c) 14 cm
d) 16 cm
33. Hallar la velocidad angular del minutero de un
reloj en rad/s
a) π/60
b) π/360
c) π/180
d) π/1800
34. Un cuerpo gira con una velocidad angular
constante de 10π rad/s. Hallar el número de
vueltas que da en medio minuto.
a) 5
b) 150
c) 300
d) 50
35. Un cuerpo con M.C.U. da 3 vueltas en
minuto. Hallar su velocidad angular en rad/s
a) π
b) 10π
c) 6π
d) π/10
1
Física General
- 89 -
Cap. 7
CINEMÁTICA VI
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO
(M. C. U. V.)
CONTENIDO:
- 90 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Apreciamos procesos de traslación originado por las
fuerzas, estudiando y analizando los conceptos,
características y propiedades del movimiento circular
uniformemente acelerado, produciendo una variedad
de trabajos prácticos y de laboratorio que permitan
contribuir a la creatividad de nuestros estudiantes.
PARA JUGAR UN POCO APRENDIENDO FÌSICA
Física General
- 91 -
Aceleración tangencial ( a ).- Es una magnitud
vectorial, relaciona los cambios de la rapidez
tangencial con el tiempo.
Aceleración angular (  ).- Es una magnitud
vectorial, relaciona los cambios de la rapidez
angular con el tiempo.
-
-
El módulo indica el cambio de la rapidez
tangencial en cada unidad de tiempo.
Aceleración tan gencial 
Variación de la rapidez lineal
tiempo empleado
El módulo indica el cambio de la rapidez angular
en cada unidad de tiempo.
Variación de la rapidez angular
tiempo empleado
Aceleración angular 
R
R
R
R
a
a
Si t 0  0 :
m
 s 2 
v
t

v
t
a
v  v0
t

v  v0
t  t0
-
La dirección es siempre tangente a la trayectoria
circular y perpendicular al radio.
-
El sentido es según el movimiento si la rapidez
aumenta; contrario al movimiento si la rapidez se
reduce.

a

v son
y
mismo sentido.
del

t

  0
t

v son
y
de
sentidos contrarios.

  0
t  t0
La dirección es perpendicular al plano de
rotación, y se encuentra en el centro de la
circunferencia.
-
El sentido se obtiene con la regla de la mano
derecha, si la rapidez angular aumenta; es de
sentido contrario si la rapidez angular disminuye.
Si v < v0

a

 rad 
 s 2 
-
MOVIMIENTO
RETARDADO
Si v > v0

t

Si t 0  0 :
MOVIMIENTO
ACELERADO


MOVIMIENTO
ACELERADO
MOVIMIENTO
RETARDADO
Si ω > ω0
Si ω < ω0

 y
sentido.
son del mismo


 y  son de sentidos
contrarios.
- 92 -
Física General
Relación entre magnitudes lineales y magnitudes
angulares.- Una partícula que se mueve en una
circunferencia, para un tiempo dado (t):
Movimiento lineal
v R
Partiendo de:
De la aceleración tangencial:
v  at
De la aceleración angular:
  t
Reemplazando:
Ecuaciones del M. C. U. V.- Son análogas a las del
movimiento rectilíneo uniformemente variado:


 tR
at
a 
a  R
v
t

v  v0
t
v  v0  a t
Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.
C. U. V.).- Un ejemplo de este tipo de movimiento se
observa en figura siguiente::
 v02  2 a s
v2

s

v
Movimiento angular
s  v 0 t  12 a t 2

v0



t



0
  0
t
  0   t
2
  02  2  

  0 t  12  t 2

  
  0
 t
 2 
s
v v
  0
 t
 2 
v

s
t


v

v0  v
2


v2 = 10 m/s
v1 = 5 m/s
R

t
0  
2
v3 = 15 m/s
Caracterìsitas.- Un
movimiento circular
cuando:
cuerpo describe un
uniformemente variado
Ejem. 7.1.- La velocidad angular de un motor que
gira a 1800 rpm en 2 segundos desciende
uniformemente hasta 1200 rpm ¿Cuál es la
aceleración angular?
Datos:
-
Su trayectoria es una circunferencia.
 0  1800
-
La rapidez (módulo de la velocidad) varía
uniformemente.
  1200
-
La aceleración angular del móvil permanece
constante.
t = 2s
α = ?
-
La velocidad (vector), siempre tangente a la
circunferencia.
Solución:

revol 2  rad 1 min
*
*
 188.5 rad / s
min 1 revol 60 s
revol 2  rad 1min
*
*
 125.7 rad / s
min 1 revol 60 s
   0 125.7 rad / s  188.5 rad / s


t
t
2s
  31.4
rad
s2
Física General
- 93 -
Ejem. 7.2.- A los 5 segundos de ponerse en
funcionamiento un disco LP adquiere una velocidad
de 33 rpm. Calcular la velocidad angular, la velocidad
lineal y la aceleración lineal de un punto de su
periferia a los 5 segundos de iniciado el movimiento.
(Diámetro del disco 30 cm)
Datos:
t = 5s
ω = 33 rpm
t1 = 3 s
D = 30 cm = 0.30 m
Velocidad angular = ?
Velocidad lineal = ?
Aceleración lineal = ?
Velocidad angular:
Solución:
  33
revol 2  rad 1 min
*
*
 3.46 rad / s
min 1 revol 60 s
v   R  (3.46 rad / s) (0.15 m)  0.52 m / s
Aceleración angular:
  0
t

3.46 rad / s  0
 0.69 rad / s 2
5s
Aceleración lineal:
a   R  (0.69 rad / s 2 ) (0.15 m)  0.10 m / s 2
Ejem. 7.3.- Un carrusel que acelera uniformemente
a partir del reposo alcanza su rapidez de operación
de 2.5 rpm, en cuatro revoluciones. ¿Cuál es la
magnitud de la aceleración angular?
Datos:
0  0
  2.5
  
 7.65 rad / s  0 
   0
t  
 24.8 s  94.86 rad
2


 2 

 94.86 rad *
1revol
2  rad
 15.1revoluciones
Ejem. 7.5.- Un motor de un coche gira, al ralentí, a
1000 rpm. Calcula el periodo, la frecuencia y la
velocidad angular del cigüeñal. ¿Cuál será su
aceleración si triplica esta velocidad angular en 8
segundos? ¿Cuantas vueltas habrá girado en este
espacio de tiempo?
Datos:
ω = 1000 rpm
t = 8s
Condición: ωf = 3(1000 rpm) = 3000 rpm
T = ?
f = ?
ω = ?
α = ?
θ = ?
Solución:
Velocidad lineal:

rapidez angular de 7.65 rad/s. Cuando la máquina se
apaga, se necesita 24.8 s para que el volante llegue
al reposo. ¿Cuántas revoluciones da ese volante
durante ese tiempo?
Datos:
D = 1.50 m
ωo = 7.65 rad/s
ω = 0
t = 24.8 s
θ = ?
Solución:
revol 2 rad 1 min
*
*
 0.26 rad / s
min 1 revol 60 s
T
60 s
Tiempo

Nro. de vueltas 1000 revol
f 
1
1

T 0.06 s
  1000


T  0.06 s
f  16.67 Hz
revol 2  rad 1 min
*
*
 104.7 rad / s
min 1 revol 60 s
  4 revol  4 (2  rad )  25.13 rad
 ?
Condición:  f  3(104.7 rad / s)  314.2 rad / s
Solución:
 2   02  2
 
0.26 rad / s   0
 

2
225.13 rad 
2
2
0
2

f 
t

314.2 rad / s  104.7 rad / s
 26.2 rad / s 2
8s
   t   t 2  104.7 rad / s 8 s  
  1.35 10
3
rad
s
Ejem. 7.4.- En una fábrica, una máquina tiene un
volante cuyo diámetro mide 1.50 m, y opera con una
1
2

 1676 rad *
1 revol
2  rad


1
2
26.2 rad / s 2 8 s 
2
 266.7 vueltas
- 94 -
Física General
LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus.org en el buscador de páginas, clic en física y click en movimientos
Seleccione cada una de las simulaciones referentes al movimiento circular
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
-
PERÍODO Y FRECUENCIA
Ingresa a Phet en el buscador de páginas, clic en física luego movimientos. Selecciona Movimiento de una
mariquita y Movimiento 2D.
Descargue o trabaje en línea, una simulación muy interesante para el estudiante.
Física General
- 95 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Cuando se enciende la rueda de un alfarero,
acelera uniformemente a un ritmo de 2.6 rad/s 2
durante 5 segundos, para alcanzar su rapidez
máxima de operación. ¿Cuál es esa rapidez en
rpm?
Resp: 124.2 rpm
2. Una partícula que viaja con movimiento circular
uniforme con una rapidez de 0.480 m/s en una
trayectoria con un radio de 1.75 m, experimenta
una aceleración tangencial de 0.766 m/s 2. Si la
partícula permanece en la misma trayectoria
circular, ¿Cuál es su aceleración total después
de 3.0 s?
Resp: 4.48 m/s2
3. ¿Cuánto tardará en pararse un disco que gira a
50 revoluciones por minuto si comienza a frenar
con una aceleración constante de 2 rad/s2?
Resp: 2.61 s
4. Una rueda que inicialmente está parada
comienza a girar y da 8 vueltas hasta que llega a
girar con velocidad angular constante al cabo de
8 segundos. ¿Cuál es el valor de dicha
velocidad?
Resp: 12.56 rad/s
9. Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 s una
velocidad tangencial de 15 m/s, si su radio es de
30 cm, ¿cuál será la aceleración angular?
Resp: 12.5 rad/s²
10. Una polea posee una velocidad angular de 20
rad/s, si esta animada por un M.C.U.V. y se
detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular?
es 4 m. Calcular la aceleración tangencial y la
aceleración angular de la esferita.
Resp: 8 m/s2 y 2 rad/s2
14. Calcular la aceleración angular que tiene un
disco, sabiendo que éste es capaz de triplicar la
velocidad que tiene luego de dar 600 vueltas en
20 s.
Resp: 1.5 rev/s2
15. Un ciclista corre por un velódromo de modo que
al cabo de 5 s su velocidad lineal es 15 m/s. Se
observa también que durante dicho tiempo el
ciclista logró girar un ángulo central de 2 rad,
siendo el radio de la pista igual a 25 m. Calcular
la velocidad lineal que tenía al iniciar su
movimiento.
Resp: 5 m/s
16. La velocidad angular de un motor que gira a 1800
R.P.M., en 2 s desciende uniformemente hasta
1200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular?
Resp: 10π rad/s2
17. Un disco parte del reposo con M.C.U.V. y durante
los dos primeros segundos da 8 vueltas.
¿Cuántas vueltas da durante el primer segundo
de su movimiento?
Resp: 2
18. La velocidad de una rueda, que gira con
movimiento uniformemente retardado, disminuyó
al ser frenada durante 1 minuto, desde 300
R.P.M. hasta 180 R.P.M. Hallar la aceleración
angular de la rueda.
Resp: – 0.21 rad/s2
Resp: – 5 rad/s²
11. Si la aceleración angular de un volante es de 0.3
rad/s², ¿cuál es la velocidad angular alcanzada a
los 3 s?
Resp: 0.9 rad/s
12. Una partícula inicia su M.C.U.V. con una
velocidad tangencial de 6 m/s. Si su aceleración
tangencial es 4 m/s2, y su radio de giro es 9 m.
Determinar su velocidad tangencial y angular
luego de 12 segundos.
Resp: 54 m/s y 6 rad/s
13. Una esferita se desplaza con M.C.U.V. de tal
modo que luego de recorrer 8 m incrementa su
velocidad de 4 m/s a 12 m/s. Si su radio de giro
19. La velocidad angular de la volante de un auto
aumenta a razón constante de 2400 R.P.M. a
4800 R.P.M. en 30 s; ¿La aceleración angular del
auto en radianes por segundo al cuadrado será?
Resp: 2.66
20. Un ventilador gira con velocidad correspondiente
a una frecuencia de 900 R.P.M. Al desconectarlo,
su movimiento pasa a ser uniformemente
retardado, hasta que se detiene por completo
después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo
transcurre desde el momento en que se
desconecta el ventilador hasta que se detiene por
completo?
Resp: 10 s
21. Un ventilador alcanza su velocidad máxima de
trabajo de 900 R.P.M. en 40 s. Si al "encenderlo"
- 96 inicia su movimiento con aceleración constante,
calcular cuántas revoluciones completa en el
primer minuto de su movimiento.
Resp: 300 rev
22. La velocidad angular de un motor que gira a 1800
R.P.M., en 2 s desciende uniformemente hasta
1200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? y
¿Cuántas vueltas dio el motor en dicho tiempo?
Resp: a = -31.4 rad/s2 ; n = 50 vueltas
23. Un tocadiscos gira a 33 R.P.M. Al cortar la
corriente la fricción hace que el tocadiscos se
frene
con
desaceleración
constante,
observándose que luego de 3 s gira a 32,5
R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda el
tocadiscos para detenerse?
Rpta. 198
24. Un cuerpo que parte del reposo posee una
aceleración angular constante y tarda 2 minutos
en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria
circular un desplazamiento angular de 24
revoluciones. Si cuando pasa por el segundo
punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de
revoluciones entre el primer punto y el punto de
partida.
Rpta. 3 vueltas
25. Las paletas de un ventilador que parte del reposo
durante 5 segundos giran experimentando
cambios de rapidez a razón constante
alcanzando así una frecuencia de 2400 R.P.M.
¿Cuántas vueltas realizó durante el tercer
segundo de su rotación?
Resp: = 20
26. Un motor de un coche gira, a 1000 rpm.
a) Calcula el periodo, la frecuencia y la velocidad
angular del cigüeñal.
b) ¿Cuál será su aceleración si triplica esta
velocidad angular en 8 segundos?
c) ¿Cuantas vueltas habrá girado en este espacio
de tiempo?
Resp: a) 104.7 rad/s, 0.06 s y 16.6 Hz, b) 26.17 rad/s2,
c) 266 vueltas
27. En una fábrica, una máquina tiene un volante
cuyo diámetro mide 1.50 m, y que opera con una
rapidez angular de 7.65 rad/s. Cuando la
máquina se apaga, se necesita 24.8 s para que
el volante llegue al reposo. ¿Cuántas
revoluciones da ese volante durante ese tiempo?
Resp: 15.1 revol.
Física General
28. Las hojas de un ventilador se mueven con una
rapidez de 250 rpm. Cuando el ventilador se
ajusta en la rapidez elevada, la velocidad de
rotación se incrementa uniformemente a 350 rpm
en 5.75 s.
a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración
angular de las hojas?
b) ¿Cuántas revoluciones completan las hojas
mientras el ventilador acelera?
Resp: a) 1.82 rad/s2; b) 28.8 revoluciones
29. Un ventilador gira con una velocidad
correspondiente a una frecuencia de 900 RPM.
Al desconectarlo, su movimiento pasa a ser
uniformemente retardado hasta que se detiene
por completo después de dar 75 vueltas.
¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en
que se desconecta el ventilador hasta que se
detiene por completo?
Resp: 10 seg.
30. Una partícula, inicialmente en reposo, acelera en
una trayectoria circular a una aceleración de 2.5
rad/s2 durante 7.0 s. El círculo tiene un radio de
15 cm. Cuáles son:
a) La magnitud de la aceleración tangencial
durante ese tiempo.
b) La rapidez tangencial al final de ese tiempo.
Resp: a = 0.375 m/s2 , v = 2.625 m/s
31. Calcular la aceleración angular de una rueda de
0.25 m de radio, al lograr a los 20 s, una
velocidad de 40 km/h.
Resp: 2.22 rad/s²
32. Un móvil que sale del reposo sigue una
trayectoria circular de 3 m de radio con una
aceleración angular constante = π rad/s2
a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta
completa? ¿Cuál es la longitud del arco recorrido
durante la mitad de este tiempo?
b) ¿Cuál es la velocidad angular del móvil en el
instante t = 0.5 s? ¿Y la aceleración normal en el
mismo instante?
c) ¿Cuánto vale la aceleración tangencial del
móvil en el instante t = 0.5 s?
Resp: a) 2 s; 3π/2 m; b) π/2 rad/s; 3 π2/4 m/s2;
c) 3 π m/s2
Física General
- 97 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
Un disco gira con una aceleración constante de
6 rad/s2, calcular el número de vueltas que da
en 10 segundos partiendo del reposo.
el número de vueltas que efectuará en el
siguiente segundo de su movimiento.
a) 3
a) 37.7 rev.
c) 47.7 rev.
2.
Las unidades de la aceleración angular son:
a) m/s2
3.
b) rad/s2
b) 40
b) 5
d) 15
estado de
aceleración
durante los
aceleración
b) 2 rad/s2
d) 1 rad/s2
b) 4 m/s
d) 8 m/s2
Una partícula con M.C.U.V. describe una
circunferencia de 20 cm de radio y posee una
aceleración angular de 0.5 rad/s2. Determine el
valor de su aceleración tangencial.
2
a) 50 cm/s
c) 30 cm/s2
2
b) 10 cm/s
d) 20 cm/s2
Un cuerpo con M.C.U.V. triplica el valor de su
velocidad tangencial durante un lapso de 10 s.
Si el valor de su aceleración tangencial es 6
m/s2, determine su rapidez inicial.
a) 10 m/s
c) 30 m/s
9.
c) 10
2
a) 2 m/s
c) 6 m/s2
8.
d) 15
Una partícula efectúa un M.C.U.V. Si aumenta
su velocidad desde 20 m/s hasta 80 m/s en 10 s;
determine el valor de su aceleración tangencial.
2
7.
c) 30
Un cuerpo que se encuentra en
reposo comienza a girar con
uniforme dando 3600 revoluciones
primeros dos minutos. Calcular la
angular.
a)  rad/s2
c) 0.3  rad/s2
6.
d) rad/s
Una rueda que va girando, acelera a razón de 2
rad/s2 y completa un ángulo de 75 rad en 5 s.
¿Cuál es su velocidad inicial en rad/s?
a) 0
5.
c) Hz/s2
Un volante empieza a girar desde el reposo. Si
al cabo de 10 s tiene una velocidad de 180 rpm.
¿Cuántas vueltas habrá girado?
a) 50
4.
b) 4.77 rev.
d) 74.7 rev.
b) 20 m/s
d) 40 m/s
Un disco partiendo del reposo, rota con
aceleración angular constante. Si durante los 2
primeros segundos efectúa 4 vueltas, determine
b) 4
c) 5
d) 6
10. Indicar cuántas proposiciones son verdaderas:
( ) En el M.C.U, la velocidad angular no
siempre es perpendicular al plano de
rotación.
( ) El módulo de la velocidad angular es
directamente proporcional a la frecuencia
en un M.C.U.
( ) En el M.C.U. la velocidad tangencial es
constante sólo en valor, pero cambia de
dirección constantemente.
( ) En un M.C.U. no existe aceleración.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
11. Un disco que parte del reposo y rota con
aceleración
angular
constante,
consigue
efectuar 6 vueltas en los 2 primeros segundos.
Determine el valor de su aceleración angular.
a) 2π rad/s2
c) 6π rad/s2
b) 4π rad/s2
d) 8π rad/s2
12. Un móvil con M.C.U.V. triplica su velocidad
angular luego de efectuar 100 vueltas durante
10 s. ¿Qué aceleración angular posee?
a) π rad/s2
c) 4 π rad/s2
b) 2π rad/s2
d) 6π rad/s2
13. Un disco gira alrededor de su eje con una
frecuencia de 1200 RPM, a partir de cierto
instante desacelera uniformemente hasta que se
detiene, empleando para ello 10 s. ¿Cuántas
vueltas realizó?
a) 400
b) 300
c) 200
d) 100
14. Un ventilador que estaba girando a 180 RPM se
desconecta de la fuente de energía eléctrica. Si
se observa que el ventilador se detiene luego de
efectuar 36 vueltas, determine en qué tiempo se
detuvo el ventilador, luego de ser desconectado
a) 20 s
b) 24 s
c) 36 s
d) 48 s
15. Un ventilador gira a 600 RPM luego de
desconectarlo se detiene al cabo de 10 s. ¿Cuál
es el número de vueltas que dio hasta
detenerse?
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
- 98 -
Física General
16. Un disco parte del reposo con M.C.U.V., si da 8
vueltas en 4 s. Hallar su aceleración angular
a) 2π rad/s2
c) 4π rad/s2
b) 3π rad/s2
d) 5π rad/s2
17. Una rueda parte del reposo y al finalizar la
quinta vuelta su velocidad es 10π rad/s. ¿Cuál
es su aceleración?
a) 5π rad/s2
c) 2π rad/s2
b) 4π rad/s2
d) π rad/s2
18. Un disco en 3 s gira un ángulo de 180 rad,
siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo
de este tiempo. Hallar su aceleración angular
constante
a) 32 rad/s2
c) 16 rad/s2
b) 64 rad/s2
d) 8 rad/s2
24. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V. y en 9
segundos su rapidez angular es 36 rad/s ¿Cuál
será la rapidez angular a los 10 s en rad/s?
a) 40
a) 3.3
b) 2.2
c) 4.4
d) 4.1
20. Un cuerpo que se encuentra en reposo
comienza a girar con aceleración uniforme,
haciendo 3600 revoluciones durante los
primeros 2 minutos. Determine su aceleración
angular en rad/s2
a) π
b) 2π
c) 0.5π
b) 15 m/s
d) 5 m/s
a) 5 s
b) 30
c) 10
c) 4 s
d) 1 s
b) 2 m
c) 3 m
d) m
27. La frecuencia de una rueda cambia de 8000
RPM hasta 2000 RPM en 15 segundos. Si tiene
un M.C.U.V, determinar el tiempo total en que se
detiene.
a) 15 s
b) 20 s
c) 25 s
d) 10 s
28. Una llanta de 80 cm de diámetro pasa del
reposo a 300 rad/min en 5 s. Calcular 1 s
después de partir del reposo la aceleración de
un punto del borde de la llanta.
a) 0.3 m/s2
c) 0.5 m/s2
b) 0.4 m/s2
d) 0.6 m/s2
29. Un punto periférico, de una rueda de diámetro
8 m, en un instante dado tiene aceleración
tangencial de módulo 12 m/s2 y rapidez angular
2 rad/s. Calcular la aceleración total en m/s2en
ese instante.
b) 100
c) 20
d) 30
30. Una muchacha en bicicleta, yendo hacia el
norte, desacelera al acercarse a un crucero. El
vector “α” de aceleración angular de las ruedas
apunta hacia:
d) 15
23. Un cuerpo con M.C.U.V., partió con una
velocidad angular de 4π rad/s y una aceleración
angular de 3π rad/s2. Hallar su velocidad
angular al transcurrir los primeros 6 s.
a) 660 rpm
c) 220 rpm
b) 2 s
26. La aceleración angular de una rueda es 2 rad/s 2.
Al cabo de 0.5 s de iniciado el movimiento su
velocidad es 3 m/s. Si partió del reposo, hallar el
radio de la rueda
a) 40
22. Se tiene una partícula con M.C.U.V. cuya
aceleración angular es 80 rad/s 2. Para girar
1500 rad necesita 6 s. Determinar la rapidez
angular inicial en rad/s.
a) 20
d) 48
d) 3π
21. Un móvil describe una circunferencia de giro 10
cm de diámetro. Si partió del reposo e
incrementa su velocidad angular en 10 rad/s
cada segundo. ¿Qué velocidad tangencial tiene
a los 10 s de iniciado el movimiento?
a) 10 m/s
c) 100 m/s
c) 45
25. Una partícula realiza un M.C.U.V. a partir del
reposo con aceleración angular constante de 1
rad/s2. Si se sabe que el radio de la trayectoria
es de 2 m, hallar después de que tiempo los
módulos de la aceleración tangencial y
centrípeta son iguales
a) 1 m
19. Si una partícula gira a 33 RPM y al desacelerar
con M.C.U.V. se detiene en 8 s. Determinar el
número de vueltas que realizó
b) 42
b) 330 rpm
d) 110 rpm
a) El norte
c) El oeste
b) El este
d) Hacia abajo
Física General
- 99 -
Cap. 8
ESTÁTICA I
EQUILIBRIO
DE UNA PARTÍCULA
CONTENIDO:
- 100 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra
comunidad, a partir del estudio de las fuerzas cuya
resultante es nula, aplicando las leyes de Newton en
ejercicios y dispositivos construidos por los
estudiantes, que permitan fortalecer iniciativas
creativas entre nuestros estudiantes.
DINAMÓMETRO
La aplicación de la ley de Hooke a un resorte o muelle para su uso como dinamómetro supone
conocer previamente o determinar de forma experimental su constante elástica (K) o constante de
proporcionalidad entre la intensidad de la fuerza y la magnitud de la deformación.
Dinamómetro de resorte: Para medir fuerzas y pesos
Física General
- 101 -
Introducción.- Al estudiar objetos que se encuentran
en equilibrio, encontramos algunos que pueden ser
considerados como partículas y otros como sólidos
rígidos.
Éste capítulo estudia las condiciones de equilibrio
sobre una partícula (todas las fuerzas actuantes
sobre el objeto son concurrentes).
El siguiente capítulo estudia las condiciones de
equilibrio sobre un
sólido rígido (las fuerzas
actuantes sobre el objeto no son concurrentes en su
totalidad).
Partícula.- Desde el punto de vista físico es un punto
donde se ejercen las fuerzas externas, todas
concurrentes.
Cuerpo rígido.- Es considerado todo objeto sólido,
no flexible y que se considera su peso.
Cuando se trata de figuras geométricas y uniformes,
su centro de gravedad estará en su centro
geométrico.
b) Fuerza de reacción o Normal (N).- Cuando un
cuerpo está apoyado sobre una superficie recibe una
fuerza del plano de apoyo llamada normal.
La línea de acción de la fuerza normal es
perpendicular a la superficie de contacto y está
dirigida hacia el cuerpo.
La estática es una rama de la mecánica que se
ocupa de estudiar las condiciones que deben
cumplir las fuerzas que actúan sobre un objeto o
sistema, para que éste se encuentre en equilibrio.
Fuerza.- Cuando interactúan dos cuerpos entre sí,
surge entre ellos una magnitud que tiene dirección,
sentido y punto de aplicación, llamada fuerza.
Una definición operacional de fuerza se basa en los
efectos que se observan:
c) Tensión (T).- Es una fuerza que aparece cuando
los objetos están sujetos a cuerdas.
Una fuerza puede poner en movimiento a un
objeto que estaba en reposo.
También puede aumentar o disminuir la rapidez
del movimiento del objeto.
Puede cambiar la dirección de su movimiento.
Puede producir deformaciones.
Es una fuerza de tracción, puesto que se opone a
los efectos de estiramiento. Es decir que siempre van
a jalar a los objetos y no los empujan.
-
Las fuerzas son magnitudes vectoriales; se
relaciona a las fuerzas con los efectos de: sostener,
estirar, comprimir, jalar, empujar, atraer, repeler.
Ejemplos de algunas fuerzas.- El peso, la normal,
la tensión y la fuerza de rozamiento. Conozcamos
básicamente cada una de ellas.
a) Peso (w).- El peso es la fuerza de atracción
gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los cuerpos
que se encuentran sobre ella.
El valor del peso depende de la masa (m) y la
aceleración de la gravedad (g).
El peso es un vector dirigido hacia el piso.
El punto donde se considera concentrado el peso de
un cuerpo se denomina centro de gravedad.
d) Compresión.- Una fuerza contraria a la tensión es
la compresión, se encuentra en objetos sólidos
como una barra, cuando fuerzas externas tratan de
aplastar al cuerpo rígido.
e) El rozamiento (fr).- Es una fuerza que se
encuentra en la superficie de contacto de dos
cuerpos y que se opone al movimiento relativo de
uno con respecto al otro. Esta fuerza se origina en
las asperezas y deformaciones de las superficies de
contacto.
- 102 -
Física General
Fuerza neta.- La fuerza neta es el vector suma o
resultante ( ΣF ), de todas las fuerzas que actúan
sobre un objeto o sistema.
a) Fueras equilibradas.- La fuerza neta es cero
cuando fuerzas iguales en magnitud actúan en
sentidos opuestos; lo que significa que su resultante
es cero.
1
2
“La dinámica estudia las condiciones cuando la
fuerza neta es diferente de cero”
Equilibrio.- Un objeto se encuentra en equilibrio
trasnacional cuando la fuerza total o resultante
(fuerza neta) que actúa sobre èl es nula.
Existen dos clases de equilibrio: Equilibrio estático y
Equilibrio cinético.
EQUILIBRIO ESTÁTICO

v 0
1
El objeto no se mueve (en reposo).
2
Fuerza neta cero
(Fuerzas equilibradas)
Fneta  F1  F2

v
Fneta  0
“La estática estudia las condiciones de equilibrio;
cuando la fuerza neta es nula”.
b) Fueras no equilibradas.- Una fuerza neta
diferente de cero, se refiere a una fuerza no
equilibrada; y una fuerza no equilibrada produce
aceleración.
1
2
EQUILIBRIO CINÉTICO (M. R. U.)

a 0

v  cte.

v
El objeto se mueve en línea recta con velocidad
constante.
Primera ley de Newton (Ley de inercia).- Como
consecuencia del principio de inercia:
“Todo cuerpo conserva su estado de reposo o
de M.R.U. mientras no exista una fuerza externa
sobre él que le obligue a salir de ese estado”
La inercia.- Es la tendencia natural de los cuerpos
a mantener su estado de reposo o movimiento
uniforme. La inercia es una propiedad de la materia
relacionada con la masa:
1
2
Fuerza neta diferente de cero
(Fuerzas no equilibradas)
Fneta  F1  F2  0
"a mayor masa mayor inercia"
Un ejemplo de inercia es cuando vamos en el auto
con M.R.U. y frenamos bruscamente; nuestro cuerpo
tiende a irse hacia adelante. Por el contrario, cuando
el vehículo parte nos vamos hacia atrás.
Física General
- 103 -
Masa.- Es una magnitud física escalar, que sirve
para medir la inercia que poseen los cuerpos.
La masa es una medida cuantitativa de la inercia.
1ra. Condición de equilibrio.- Su enunciado es:
Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio
de traslación si la fuerza resultante de todas las
fuerzas externas que actúan sobre èl es nula.
Por ejemplo, si empujamos una mesa estamos
ejerciendo una fuerza sobre ella; si miramos nuestras
manos, podremos ver qué están deformadas por la
fuerza y sentimos la presión que se produce. Eso
quiere decir que la mesa también ejerció una fuerza
sobre nuestras manos.
Teorema de Lamy.- El físico francés Bernard Lami
(1640-1715) enunció el siguiente teorema aplicable a
tres fuerzas coplanares en equilibrio:
“Si un cuerpo se encontrase en equilibrio bajo la
acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes,
la magnitud de cada una de las fuerzas es
directamente proporcional al seno del ángulo que
se le opone”.
4
1
3
3
1
2
Sumando vectorialmente las cuatro fuerzas:
1
2
2
4
3


R  F  0
 Fx  0
 Fy  0
Tercera ley de Newton (Ley de acción y
reacción).- Si un cuerpo A ejerce una acción sobre
un cuerpo B, el cuerpo B reacciona y ejerce una
fuerza igual y opuesta sobre A.
“A toda fuerza de acción le corresponde una
fuerza de reacción de igual módulo pero de
sentido contrario”.
La condición para aplicar el teorema es que sus
líneas de acción deben ser concurrentes.
F
F1
F2

 3
sen  sen  sen 
Centro de gravedad (C.G.).- Es aquel punto ubicado
dentro o fuera del cuerpo, donde se encuentra
concentrado su peso.
En figuras geométricas regulares, el C.G. está
ubicado en el centro geométrico de la figura.
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.).- Muy útil en la
resolución de problemas de Estática y Dinámica,
sobre todo en el caso de existir más de un cuerpo.
Un diagrama de cuerpo libre muestra a un objeto
aislado con todas las fuerzas (en forma de vectores)
que actúan sobre él (el peso, la normal, el
rozamiento, la tensión, etc).
No aparecen los pares de reacción, ya que los
mismos están aplicados siempre en el otro cuerpo.
- 104 Ejem. 8.1.- Dibujar el D.C.L. para las siguientes
figuras:
Física General
e) Viga liviana:
a) Cuerpo apoyado sobre una mesa:
b) Cuerpo suspendido:
Ejem. 8.2.- En el objeto mostrado en la figura,
calcular el valor de la fuerza “F”, para que el sistema
permanezca en equilibrio. w = 50 kp.
40º

F
y
T
40º
F
x
c) Cuerpo apoyado y suspendido:
w
1er. Método: Aplicando la ecuación de la 1ra.
condición de equilibrio:
a) Componentes de la tensión:
sen 40º 
cos 40º 
d) Cuerpo apoyado en una pared:
Tx
T
Ty
T
 Tx  T sen 40º
 T y  T cos 40º
Y
T
Ty
40º
F
Tx
w
X
Física General
- 105 -
b) Aplicando las ecuaciones de la 1ra. condición de
equilibrio:
F
x
F
 Tx  F  0
Tsen40º F  0
y
 Ty  w  0
T cos 40º w  0 (2)
(1)
T
F
w


sen 90º sen 140º sen 130º
Despejando T:
T
De la ec. (2):
T
w
50 kp

cos 40º cos 40º
 T  65.27 kp
Despejando F:
F
Reemplazando en ec. (1):
F  Tsen40º  65.27 kp  sen40º  F  41.95 kp
2do. Método: Las tres fuerzas
vectorialmente forman un triángulo,
relaciones trigonométricas:
w  sen140º 50kp  sen140º

 41.95kp
sen130º
sen130º
Ejem. 8.3.- En el sistema de la barra en equilibrio,
hallar la fuerza de compresión en la articulación; se
desprecia el peso de la barra.
sumadas
aplicando
40º
60º
40º
T
w  sen90º 50kp  1

 65.27 kp
sen130º
sen130º
w
La reacción en el apoyo es una fuerza que actúa a lo
largo de la barra cuando su peso(de la barra) es
despreciable.
F
cos 40º 
w
w
50 kp
 T

T
cos 40º cos 40º
T  65.27 kp
tan 40º 
F
w
 F  w tan 40º  (50 kp) (tan 40º )
Componentes rectangulares de R y T:
Rx  R sen 60º
Ry  R cos 60º
Tx  T sen 40º
Ty  T cos 40º
F  41.95 kp
3er. Método: Aplicando el Teorema de Lamy: Para
este método se deben ubicar primeramente los
ángulos formados entre tres fuerzas:
40º
60º
T
130º
F
140º
90º
Aplicando la primera condición de equilibrio:
w
 Fx  0

R x  Tx  0
- 106 -
Física General
R sen60º T sen40º  0  R 
 Fy  0

T sen40º
sen60º
(1)
Ejem. 8.5.- Calcular la tensión de las cuerdas A y B.
Si w = 200 kp
R y  Ty  w  0
60º
40º
A
R cos 60º T cos 40º w  0  R 
B
w  T cos 40º
(2)
cos 60º
w = 200kp
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
Y
T sen40º w  T cos 40º

sen60º
cos 60º
A
B
T sen40º cos 60º  w sen60ºT cos 40º sen60º
T
40º
60º
T sen40º cos 60º  cos 40º sen60º   w sen60º
X
w sen60º
sen40º cos 60º  cos 40º sen60º
w = 200 kp
T
40 kp  sen60º
sen40º cos 60º  cos 40º sen60º
 T  35.2 kp
Componentes rectangulares de A y B:
Reemplazando el valor de T en la ecuación (1):
T sen40º 35.2 kp  sen40º
R

sen60º
sen60º

R  26.1 kp
Ax  A cos 60º
Ay  A sen 60º
Bx  B cos 40º
By  B sen 40º
Aplicando la primera condición de equilibrio:
Ejem. 8.4.- Aplicando el teorema de Lamy, resuelva
el anterior problema:
T
R
100º
F
x
F
0
y
0
Bx  Ax  0
By  Ay  w  0
B cos 40º  A cos 60º  0
B sen 40º  A sen 60º  w  0
w  A sen 60º
B
(2)
sen 40º
B
A cos 60º
cos 40º
(1)
140º 120º
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
w
T
R
w


sen120º sen140º sen100º
w  sen140º 40 kp  sen140º
 R

 26.1 kp
sen100º
sen100º
 T
w  sen120º 40 kp  sen120º

 35.2 kp
sen100º
sen100º
A cos 60º w  A sen60º

cos 40º
sen40º
A cos 60º sen40º  w cos 40º  A sen60º cos 40º
Acos 60º sen40º sen60º cos 0º   w cos 40º
A
w cos 40º
cos 60º sen40º  sen60º cos 40º
A
200 kp  cos 40º
cos 60º sen40º  sen60º cos 40º

A  155.6 kp
Física General
- 107 -
Reemplazando el valor de A en la ecuación (2):
B
A cos 60º 155.6 kp  cos 60º

cos 40º
cos 40º

B  101.5 kp
Ejem. 8.7.- En la figura siguiente la barra es de peso
despreciable. Calcular el valor de la tensión y la
reacción en el pasador A.
Ejem. 8.6.- Calcular las tensiones en las cuerdas A y
B, de la figura siguiente:
Y
R
T
40º
40º
T
X
Y
w
w
R
TB
TBy
TA
60º
TBx
Componentes rectangulares de R:
X
sen 40º 
w = 200 N
cos 40º 
Componentes rectangulares de A y B:
TBx  TB cos 60º
TBy  TB sen 60º
Aplicando la primera condición de equilibrio:
F
x
0
F
y
Rx
R
Ry
R

Rx  R sen 40º

Ry  R cos 40º
0
F
x
0
Ry  w  0
Rx  T  0
R cos 40º  w  0
w
40 kp
R

cos 40º
cos 40º
R  52.2 kp
R sen 40º T  0
T  R sen 40º
T  (52.2 kp) ( sen 40º )
T  33.2 kp
TBx  TA  0
TB cos 60º TA  0
TA  TB cos 60º  (2309.4 N ) (cos 60º )
TA  1154.7 N
F
y
0
TBy  w  0
TB sen 60º  w  0
w

sen 60º
TB  2309.4 N
TB 
2000 N
sen 60º
Ejem. 8.8.- De acuerdo a la figura, un bloque de
peso “w” resbala por un plano inclinado sin fricción;
calcular la fuerza de reacción ejercida por el plano
sobre el bloque (Normal).
- 108 -
Física General
En un plano inclinado, los ejes coordenados se
colocan de manera que el eje de las X sea paralelo a
la superficie del plano, y el eje Y sea perpendicular a
la misma.
2º) Se aplica una fuerza externa ( F 1 ), aparece la
fuerza de rozamiento ( fs1 ) que impide el movimiento.
N
Y
N
X
fs1
F1
wx
wy
w
Hay rozamiento:
F1  f s1
w
3º) Se aumenta el valor de la fuerza externa ( F 2 ),
aumenta la fuerza de rozamiento ( f s2 ) que impide el
movimiento.
Componentes del peso:
sen  
cos  
wx
w
wy
w

wx  w sen 

wy  w cos 
N
fs2 > fs1
F2 > F1
A lo largo del eje Y, existe equilibrio, por tanto se
puede aplicar la 1ra. condición de equilibrio:
 Fy  0

N  wy  0
 N  w cos   0  N  w cos 
La fuerza normal N, en un plano inclinado es
igual al peso del objeto multiplicado por el
coseno del ángulo de inclinación del plano.
w
Hay rozamiento:
F2  f s 2
4º) La fuerza externa toma un valor máximo ( F ), el
movimiento del objeto es inminente, la fuerza de
rozamiento es máxima ( fs ).
N
Fuerza de rozamiento.- Es toda fuerza opuesta al
movimiento, se encuentra en la superficie de
contacto entre dos cuerpos, su valor depende del
grado de aspereza entre ellas.
a) Rozamiento estático ( fs ).- Fuerza que se opone
al movimiento cuando las superficies de contacto se
encuentran en reposo. Esta fuerza varía desde cero
hasta un valor máximo, cuando los cuerpos están a
punto de moverse (movimiento inminente)
1º) Un bloque sobre una mesa horizontal, no existe
rozamiento
N
F
fs = µ s N
w
Hay rozamiento:
F  fs
La fuerza de rozamiento estática máxima es:
f s  s N
μs = Coeficiente estático de rozamiento
N = Fuerza normal
fs = 0
El rozamiento estático varía entre:
w
No hay rozamiento
0  f s  s N
Física General
- 109 -
b) Rozamiento cinético ( fk ).- Al quedar el bloque
en movimiento, la fuerza de rozamiento se hace
menor que fs, a esta nueva fuerza se le denomina
fuerza de rozamiento cinética, fk..
El valor numérico de esta fuerza de fricción es
constante, no depende de la velocidad ni la
aceleración del objeto.
Ejem. 8.9.- En la figura mostrada:
 s  0.5
F
W = 200 N
a) ¿Cuánto es la fuerza de rozamiento si el cuerpo está en
equilibrio cuando F = 80 N?
b) ¿Cuál es el máximo valor de F que se puede aplicar sin
que el bloque resbale?
Solución:
En movimiento
a)
N
D.C.L.
F
fk = µ k N
N
F
fs
w
w
En movimiento
Mientras se conserva el equilibrio, la fuerza de rozamiento
“f” tomará el mismo valor que la fuerza opuesta “F”
f k  k N
fs  F 
μk = Coeficiente cinético de rozamiento
N = Fuerza normal
f s  80 N
b) El máximo valor de “F”, es cuando el movimiento sea
inminente:
Datos importantes del rozamiento.- Se consideran
los siguientes aspectos:
-
Las fuerzas de fricción pueden variar,
seleccionando adecuadamente las superficies que
se ponen en contacto.
-
Para un mismo cuerpo las fuerzas de fricción son
independientes del área de contacto.
-
La fuerza de fricción estática fs resulta mayor
que la cinética fk:
fk < f s
además
μk < μs
-
La fuerza de rozamiento siempre es opuesta al
movimiento.
-
Gracias al rozamiento podemos caminar,
impulsando uno de nuestros pies hacia atrás.
-
Gracias al rozamiento las ruedas pueden rodar.
-
Gracias al rozamiento podemos incrustar clavos
en las paredes.
-
Debido al rozamiento los cuerpos se desgastan,
motivo por el cual se utilizan los lubricantes.
-
Para vencer el rozamiento hay que realizar
trabajo, el cual se transforma en calor.
F
x
F
0
F  f s max
y
 F  s N
0
N  w  N  200 N
F  0.5  200 N
F  100 N
Ejem. 8.10.- Un trabajador aplica una fuerza a un
cajón que tiene un peso de 40 kp, mediante una
cuerda formando un ángulo de 30º respecto a la
horizontal, como se muestra en la figura ¿Qué tan
grande debe ser la fuerza que aplique para mover el
cajón?
Coeficiente de rozamiento estático = 0.65
Coeficiente de rozamiento cinético = 0.50
N
30º
fs
w
Datos:
w = 40 kp
μs = 0.65
μk = 0.50
α = 30º
F
Incógnitas:
F = ?
- 110 -
Física General
La fuerza necesaria para mover el cajón, debe ser
igual a la fuerza de rozamiento estática máxima
(movimiento inminente).
Reemplazando (2) en (1):
wsen  s w cos
s  tan 

Aplicando la condición de equilibrio al sistema:
Ejem. 8.11.- Un bloque de 450 kp es jalado hacia
arriba por un plano inclinado 35º con una velocidad
constante de 6 m/s con una fuerza de 3000 N,
paralela al plano. ¿Cuál es el coeficiente de
rozamiento cinético entre el bloque y el plano?
Datos:
w = 450 kp = 4410 N
v = 6 m/s
F = 3000 N
Coef. Rozam. = ?
 Fx  0
F cos 30º  f s  0
F cos 30º   s N  0
(1)
 Fy  0
N  F sen 30º  w  0
N  w  F sen 30º
(2)
Reemplazando ecuación (2) en (1):
F cos 30º  s w  F sen30º   0
F cos 30º  s w   s F sen30º  0

F
s w
0.6540 kp

cos 30º   s sen30º cos 30º 0.65  sen30º
 F  21.83 kp
Rozamiento en un plano inclinado.- Se coloca un
objeto sobre un plano inclinado. Se aumenta el
ángulo respecto a la horizontal, gradualmente hasta
que el movimiento del cuerpo sea inminente; en ese
momento se mide el ángulo que forma el plano con la
horizontal. La tangente de ese ángulo será igual al
coeficiente de rozamiento estático.
Componentes del peso:
wx  w sen 35º
Condiciones de equilibrio (Velocidad constante):
 Fx
 0
F  f k  wx
 0
F   k N  w sen 35º
 Fy
wx  w sen
wy  w cos 

(1)
 0
N  w cos 35º
N
 0
 0
N  wy
Componentes rectangulares del peso:
w y  w cos 35º
 0
w cos 35º
(2)
Reemplazando ec. (2) en (1):
Aplicando la primera condición de equilibrio:
F  k (w cos35º )  wsen 35º  0
 Fx  0
k (w cos35º )  F  wsen 35º
 Fy  0
wx  f s  0
N  wy  0
w sen    s N  0
w sen    s N

N  w cos   0
(1)
N  w cos 
( 2)

F  w sen35º 3000 N  4410 N  sen35º

w cos 35º
4410 N  cos 35º
 s  0.13
s 
Física General
- 111 LABORATORIO VIRTUAL
-
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LEY DE HOOKE
COEFICIENTES DE ROZAMIENTO
Ingresa a Phet, Movimiento y luego en Fuerzas y movimientos
CUERPOS EN EQUILIBRIO
DESCOMPOSICIÓN DE UN PESO
EN UN PLANO INCLINADO
- 112 -
Física General
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Tres bloques con pesos de 1 kp, 2 kp y 3 kp
están apilados sobre una mesa, el menor arriba y
el mayor está abajo. Haga un diagrama y analice
este sistema en términos de los pares de fuerzas
de la tercera ley de newton.
2. Tres fuerzas actúan sobre un cuerpo que se
mueve en una línea recta con una rapidez
constante. Si dos de las fuerzas son:
F1 = (4.5 N, –1.5 N) y F2 = (–3.5 N, –1 N),
¿Cuál es la tercera fuerza?
Resp: F3 = (- 1 N, 2.5 N)
7. Un cilindro pesa 3.15 kp. Calcular la tensión en el
cable y la reacción en la pared, si la superficie de
contacto es lisa. Ver figura.
Resp: T = 3.39 kp ; R = 1.26 kp
3. Hallar la lectura del dinamómetro.
Resp: 10 N
4. Construir los diagramas de cuerpo libre (D. C. L.)
de las figuras a), b) y c) mostradas:
8. En la figura mostrada, de terminar la tensión en
la cuerda y la reacción en la pared, sabiendo que
el peso de la barra es despreciable.
Resp: T = 626.1 kp; R = 376.8 kp
5. Calcule las tensiones T1 y T2 en las figuras
siguientes:
Resp :
a) T1 = 2.31 kp, T2 = 4.62 kp
b) T1 = 34.64 N,
T2 = 20 N
9. En el sistema en equilibrio mostrado en la figura,
hallar la fuerza de compresión y la tensión de la
barra, el peso de la barra es despreciable y lleva
un peso en un extremo, w = 40 kp
Resp: T = 69.3 kp; F = 80 kp
Figura (a)
Figura (b)
6. Hallar los módulos de las fuerzas A y B para
equilibrar al cuerpo mostrado en la figura:
10. En el sistema mostrado en la figura, hallar la
fuerza de compresión y la tensión de la barra, se
desprecia el peso de la barra. (w = 50 kp)
Resp: T = 50 kp; R = 50 kp
Resp: A = 79.9 N; B = 60.2 N
Física General
- 113 14. En la figura, encuentre el ángulo θ y el peso w.
Resp: 90º; 173.2 kp
11. En la figura; calcular el valor de F, de tal forma
que el sistema esté en equilibrio y la reacción en
“A” debido a la fuerza F es cero. La esfera pesa
100 kp.
Resp: 173 kp
15. ¿Cuál es el valor de la fuerza F en la figura,
necesaria para que el bloque de 600 N de peso
suba con velocidad constante? (Se desprecia el
rozamiento).
Resp: 452.13 N
12. Se tiene un bloque sobre un plano inclinado tal
como se muestra en la figura. Calcular la tensión
en la cuerda y la reacción del plano inclinado
(peso = 120 kp).
Resp: T = 77.1 kp; N = 91.9 kp
16. Determinar la tensión en el cable, peso del
bloque de 640 N.
Resp: T = 400.7 N; N = 313.1 N
13. En la figura; calcular el peso máximo que puede
soportar la estructura, si la tensión máxima que
puede soportar la cuerda superior es de 1000 kp
y la máxima compresión que puede resistir el
puntal es de 2000 kp, la cuerda vertical es lo
suficiente fuerte para soportar cualquier carga.
Resp: 1115.35 kp
17. La figura muestra un sencillo juego de poleas
para levantar un objeto pesado. ¿Cuál es la
tensión en la cuerda A, B, C y D si M pesa 200
kp y se mueve hacia arriba a rapidez constante
de 0.05 m/s?
Resp: A = 200 kp, B = C = D = 100 kp
- 114 -
Física General
18. Sobre un objeto situado sobre un plano horizontal
actúa una fuerza horizontal F = 150 N. Dicho
cuerpo pesa 200 N y los coeficientes de
rozamiento estático y cinético son 0.8 y 0.5,
respectivamente. ¿Cuál es el valor de la fuerza
de fricción, y de qué tipo es?
Resp: 150 N; Rozamiento estático
19. Para que una caja de madera de 120 kp,
apoyada sobre el suelo, comience a moverse se
necesita una fuerza de 500 N. Calcula el
coeficiente estático de rozamiento entre la caja y
el suelo.
Resp: 0.425
20. Un cajón de 50 kp de peso está en reposo sobre
una superficie plana. Si el coeficiente de fricción
estática entre el cajón y la superficie es de 0.79,
¿Qué fuerza horizontal se requiere para mover el
cajón?
Resp: 39.5 kp
21. Calcula el peso de una caja sabiendo que para
ponerla en movimiento por el suelo hay que
hacer una fuerza de 800 N y el coeficiente
estático de rozamiento es 0.8.
25. Un cajón de empaque se coloca sobre un plano
inclinado 20º. Si el coeficiente de fricción estática
entre el cajón y el plano es de 0.65, ¿se deslizará
hacia abajo del plano el cajón?
Resp: No desliza
26. Situamos un cuerpo sobre un plano inclinado 60º
respecto la horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático entre el cuerpo y el plano es
0.5. Razona si el cuerpo quedará en reposo o
comenzará a bajar.
Resp: wx = 0.866w es mayor que fsmax= 0.25w. El cuerpo
desciende.
27. Ponemos un bloque en un plano inclinado. El
coeficiente estático de fricción entre él y el plano
es 0.8. ¿Cuál es el ángulo máximo de inclinación
que puede tener el plano si no queremos que el
bloque baje?
Resp: 38.6º
Resp: 1000 N
22. Un ascensor de 300 kp de peso tiene una fricción
de 1000 N. Calcula la tensión del cable en los
siguientes casos:
a) El ascensor sube con velocidad constante de 5
m/s.
b) Baja con el doble de velocidad.
Resp: a) 402.04 kp; b) 197.96 kp
23. Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón
de 40 kp y el piso es de 0.65, ¿con qué fuerza
horizontal debe tirar un trabajador para mover el
cajón? Ver figura.
28. Un bloque de 4.0 kp de peso descansa sobre un
plano inclinado que hace un ángulo de 30º con la
horizontal. El coeficiente de fricción estática entre
el bloque y el plano es 0.64, y el coeficiente de
fricción cinética es 0.28. Ver figura:
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre y mostrar
todas las fuerzas que actúan sobre el bloque.
b) ¿Resbalará este bloque por el plano
inclinado bajo la acción de la gravedad?
c) ¿Cuál es la fuerza de fricción estática que
actúa sobre el bloque?
Resp: b) No resbala; c) 2 kp
Resp: 254.8 N
24. Un bloque de 290 N de peso es empujado hacia
arriba por un plano inclinado (θ = 25º) con una
velocidad constante de 4.0 m/s con una fuerza de
280 N, paralela al plano. ¿Cuál es el coeficiente
de fricción cinética entre el bloque y el plano?
Resp: 0.60
29. Los coeficientes de fricción estática y cinética
entre un piso y un cajón de 25 kp son 0.68 y
0.34,
respectivamente.
Si
se
aplican
horizontalmente fuerzas de (a) 150 N y (b) 175 N.
¿Cuál es la fuerza neta sobre el cajón en cada
caso?
Resp: a) La fuerza neta es cero si el bloque originalmente
está en reposo b) La fuerza neta es 92 N.
Física General
- 115 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. Algunas veces se hace referencia a la primera
ley de Newton del movimiento como la ley de la
inercia. Una medida de la inercia de un objeto se
obtiene por su:
a) Tamaño
c) Forma
a) g sen α
b) Mg sen α
c) Mg cos α
d) Cero, porque el plano no tiene fricción
b) Rapidez
d) Masa
2. Un cuerpo de 20 N pende de una cuerda. La
tensión de la cuerda es de:
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
3. El par de fuerzas de la tercera ley de Newton:
a)
Consiste en fuerzas que siempre son
opuestas, pero algunas veces no son iguales
b) Siempre se cancelan una a la otra cuando se
aplica la segunda ley a un cuerpo.
c) Siempre actúan sobre el mismo objeto
d) Son fuerzas idénticas tanto en magnitud
como en dirección, pero actúan sobre
diferentes objetos.
4. Cuál de las siguientes afirmaciones que
describen un cuerpo en equilibrio, no es cierta:
a) La suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo es cero.
b) El cuerpo se mueve a velocidad constante.
c) El cuerpo debe permanecer en reposo
d) El cuerpo se mueve a rapidez constante
5. Se dice que
equilibradas
a)
b)
c)
d)
dos
o
más
fuerzas
están
a) g sen α
b) Mg sen α
c) Mg cos α
d) Cero, porque el plano no tiene fricción.
10. Cuando un cuerpo se mueve y la resultante de
todas las fuerzas es cero, ( ∑ F = 0), queremos
decir:
a)
b)
c)
d)
Que el cuerpo está en equilibrio
Que tiene velocidad
Que no tiene velocidad
Que posee aceleración constante
11. Un objeto se arroja verticalmente hacia arriba. En
la cúspide de la trayectoria, el objeto está:
a)
b)
c)
d)
En equilibrio instantáneo
Instantáneamente en reposo y en equilibrio
En reposo instantáneo
Ni en reposo ni en equilibrio
12. La tensión en la cuerda A, es:
Cuando tienen el mismo valor
Cuando al sumarlas, su resultante es nula
Cuando al restarlas, su resultante es nula
Cuando se aplican en el mismo punto
6. ¿Por qué las fuerzas de acción y reacción no se
anulan?
a)
b)
c)
d)
9. Utilizando la figura del ejercicio anterior,
determinar la componente del peso a lo largo del
plano.
Tienen sentidos diferentes
Tienen direcciones diferentes
Tienen valores distintos
Están aplicadas en cuerpos diferentes
7. De un resorte que posee una constante de
elasticidad de 2gf /cm, se cuelga un peso de 50 gf
, el alargamiento es:
a) 10 cm
b) 25 cm
c) 50 cm
d) 100 cm
8. De acuerdo a la figura, un bloque de masa “M”
resbala por un plano inclinado sin fricción; la
fuerza de reacción ejercida por el plano sobre el
bloque (Normal)
a) w sen θ
c) w tan θ
b) w cos θ
d) w / sen θ
13. La tensión en la cuerda B, del ejercicio anterior
es:
a) w senθ
c) w tanθ
b) w cosθ
d) w / cosθ
14. Se tiene una caja que pesa 10 N sobre una
superficie horizontal, donde el coeficiente de
fricción vale 0.5. La fuerza horizontal necesaria
aplicada al cuerpo para que se mueva con
velocidad constante es:
a) 20 N
b) 25 N
c) 5 N
d) 0
- 116 -
Física General
15. El sistema de la figura se mueve con velocidad
constante. El coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano horizontal es:
a) 10 N
b) 15 N
c) 20 N
d) 25 N
21. Determinar la F que sostiene a la esfera, si el
peso de la misma es 40 N.
53º
F
a) 0.1
b) 0.2
c) 0.3
d) 0.4
16. La tensión de la cuerda del ejercicio anterior, es:
a) 10 N
a) 2 kp
b) 3 kp
c) 5 kp
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
d) 7 kp
17. En el esquema de la figura, si w = 3 N,
entonces la tensión en la cuerda T 1 es:
22. Determinar la tensión en A; si w = 30 N.
37º
B
A
w
a) 10 N
a) 2 N
b)
2 /3 N
c)
3 /2 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
d) 3 N
18. Determinar la tensión en la cuerda, si el peso de
la esfera es 10 N.
23. Determinar el módulo de la tensión en A; si:
= 100 N.
w
37º
A
B
37º
w
a) 20 N
b) 10 N
d) 10√2 N
c) 5 N
19. Determinar el módulo de la fuerza normal, si el
peso del bloque es 16 N. (Sin rozamiento)
a) 60 N
b) 70 N
c) 80 N
d) 90 N
24. Determinar el módulo de la fuerza normal de la
pared vertical, si el peso de la esfera es 8 N.
F
37º
a) 5 N
b) 10 N
c) 15 N
d) 20 N
45º
20. Determinar la tensión en la cuerda, si el peso de
la esfera es de 15 N.
a) 4 N
37º
F
b) 6 N
c) 8 N
d) 10 N
Física General
- 117 -
25. Una esfera de 600 N de peso se encuentra en
equilibrio sobre un plano liso y sostenido por una
cuerda inelástica. Determinar la fuerza de
reacción y la tensión en la cuerda.
a) 172 N y 360 N
c) 480 N y 360 N
b) 210 N y 180 N
d) 400 N y 200 N
26. Un bloque de 50 N de peso se desplaza, con
velocidad constante, por un plano inclinado de
37º de inclinación. Calcular la fuerza de reacción
entre el plano y el bloque mientras éste
desciende.
a) 30 N
b) 40 N
c) 50 N
de reacción del piso sobre el bloque P. No hay
rozamiento. (g = 10 m/s2)
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
30. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio.
Calcular la tensión en la cuerda (W A = 10 N y W B
= 20 N).
d) cero
27. En la siguiente figura se tiene un sistema en
equilibrio, calcular el valor de "θ" y la magnitud
de la fuerza de tensión (T) en la cuerda.
a) 4 N
b) 8 N
c) 10 N
d) 12 N
31. La figura muestra dos cuerpos W = 6.5 kg y P =
3.5 kg, en reposo. Determine el módulo de la
tensión en la cuerda (1). No hay rozamiento.
(g = 10 m/s2)
a) 30°; 15 N
c) 37°; 20 N
b) 60°; 10 N
d) 53°; 20 N
28. En el sistema que se muestra, los bloques A y
B de 180 N y 80 N respectivamente se
encuentran en equilibrio. Determinar cuánto es
la deformación del resorte de constante K = 40
N/cm. Las poleas tienen pesos despreciables.
a) 0.5 cm
b) 1.0 cm
c) 1.5 cm
a) 10 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 40 N
32. La figura muestra una esfera de 3 kg apoyada
en una pared vertical, en equilibrio. Si el módulo
de la tensión en la cuerda es 50 N, determine la
medida del ángulo que forma la cuerda con la
pared vertical. (g = 10 m/s2)
d) 2.0 cm
29. La figura muestra dos cuerpos W = 2 kg y P = 7
kg, en reposo. Si la polea tiene masa
despreciable, determine el módulo de la fuerza
a) 37º
b) 53º
c) 30º
d) 60º
- 118 -
Física General
33. La figura muestra una esfera de 6 kg en reposo.
Determine el módulo de la fuerza F. (g = 10
m/s2)
a) 40 N
b) 60 N
c) 80 N
d) 90 N
34. La figura muestra un bloque de 3 kg en
equilibro. Conociendo la fuerza externa F= 40 N,
determine la medida del ángulo θ que define la
posición de equilibrio. (g = 10 m/s2)
PIENSA Y EXPLICA
1. La ley de la inercia establece que no se requiere
fuerza alguna para mantener el movimiento. ¿Por
qué entonces es necesario pedalear para
mantener una bicicleta en movimiento?
2. Muchas personas que viajan en automóvil han
sufrido lesiones en el cuello en accidentes
cuando otro auto las golpea por detrás. ¿Cómo
interviene aquí la ley de inercia de Newton?
¿Cómo ayuda el cojín para descansar la cabeza
a prevenir este tipo de lesiones?
3. ¿Qué es lo que nos empuja cuando caminamos?
4. ¿Al nadar empujamos el agua hacia atrás; sea
ésta la acción? ¿Cuál es entonces la fuerza de
reacción?
5. La acción y la reacción siempre tienen la misma
magnitud y sentidos opuestos. ¿Por qué
entonces no se anulan?
a) 37º
b) 53º
c) 30º
d) 60º
35. La figura muestra un bloque de 6 kg en
equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza F,
sabiendo que θ = 45º. (g = 10 m/s2)
6. Si se tira de los extremos de una cuerda en
equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección
opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda es
cero?
7. Un caballo está enganchado a un carro. Como el
carro tira del caballo hacia atrás con la misma
fuerza que éste tira del carro, ¿por qué no
permanece
el
carro
en
equilibrio,
independientemente de lo que tire el caballo?
8. ¿De qué depende el coeficiente de rozamiento
entre dos superficies?
9. ¿Un litro de plomo fundido tiene el mismo
volumen que un litro de jugo de manzana?
¿Tienen la misma masa?
a) 60 N
b) 40 N
c) 50 N
d) 70 N
36. La figura muestra un bloque de 3 kg en
equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en
la cuerda horizontal. (g = 10 m/s2)
10. ¿Por qué dicen los físicos que la masa es más
fundamental que el peso?
11. ¿Cuál de las siguientes cantidades cambia
cuando comprimes una esponja: la masa, la
inercia, el volumen o el peso?
12. ¿Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando
sobre él actúa una fuerza?
13. Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni
descender. ¿Está en equilibrio?, ¿qué fuerzas
actúan sobre él?
a) 130 N
b) 40 N
c) 50 N
d) 30 N
14. ¿La fuerza resultante de dos fuerzas de
componentes (2, 0) y (-3, 1) actuando sobre un
objeto es (3, 0)? Falso o verdadero.
Física General
- 119 -
Cap. 9
ESTÁTICA II
EQUILIBRIO DE
UN SÓLIDO RÍGIDO
CONTENIDO:
- 120 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos la importancia del equilibrio en nuestra
comunidad, a partir del estudio de las fuerzas cuya
resultante y torque son nulas, aplicando las leyes de
Newton en ejercicios y dispositivos construidos por
los estudiantes y que permitan fortalecer iniciativas
creativas entre nuestros estudiantes.
PARA REPASAR TODOS LOS TIPOS DE FUERZA EN EDUCAPLUS
Física General
- 121 -
Introducción.- Cuando las fuerzas que actúan sobre
un sólido no son concurrentes, es necesario definir
una nueva magnitud física llamada torque o
momento de una fuerza, que se añade al conjunto
de ecuaciones y definiciones usadas en el capítulo
anterior.
Torque o momento de una fuerza.- Se denomina
así al efecto de rotación que produce una fuerza. Es
la capacidad que tiene una fuerza para producir
rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto o
eje de giro.
-
Dirección: El vector “momento” es perpendicular
al plano de rotación, formado por la línea de
acción de la fuerza y el punto de giro.
-
Sentido: Se determina aplicando la “regla de la
mano derecha”. El pulgar extendido indica el
sentido del vector momento de una fuerza.
-
Signo: El momento es positivo (+) si el giro es en
sentido contrario a las agujas del reloj, y es
negativo (–) si el giro es en sentido horario.
El momento de una fuerza es una magnitud
vectorial, tiene los siguientes elementos:
–
+
Momento positivo
Momento negativo
Brazo de palanca.- Es la distancia trazada desde el
punto de rotación en forma perpendicular (formando
90º) a la línea de acción de la fuerza.
O
d
Ejemplo:
L=3m
O
30º
d=?
sen 30º 
d
3m
90º
 d  (3 m)sen 30º
 d  1.5 m
-
Módulo: Es igual al producto de la fuerza (F) por
el “brazo de palanca” (d), que es la distancia
trazada desde el
punto de
giro (A)
perpendicularmente a la línea de acción de la
fuerza.
M Fd
Casos especiales.- Tomar en cuenta los siguientes
ejemplos:
a) Momento nulo.- Cuando la línea de acción de la
fuerza pasa por el centro de rotación (brazo de
palanca nulo), el momento producido por la fuerza es
cero.
Sus unidades son:
c.g.s.
S.I.
dyn x cm
Nxm
S. Técnico
Inglés técnico
kp x m
lbf x ft
L
F
M  F d  F (0)
M 0

- 122 -
Física General
b) La fuerza y el vector posición son
perpendiculares- El módulo del momento de una
fuerza es igual al producto de la fuerza por la
distancia (brazo de palanca).
Respuesta: En la primera figura, el tornillo no se
está introduciendo, el vector momento es
perpendicular al plano de la página y hacia el lector
(regla de la mano derecha). El módulo del momento
es:
M =+Fd
En
la
segunda
figura,
el
tornillo está
introduciéndose, el vector momento es perpendicular
al plano de la página y hacia adentro (sentido
contrario al anterior). El módulo del momento es:
M Fd
M = – F(2d)
c) La fuerza y el vector posición no son
perpendiculares- El módulo del momento de una
fuerza depende del ángulo que forma la fuerza y el
vector posición.
En la tercera figura, estamos en una situación más
favorable por la longitud mayor de la llave, el vector
momento es perpendicular al plano de la página y
hacia el lector.
El módulo del momento es:
M = + F d = F (2d sen30º)
Teorema de Varignon.- Establece lo siguiente:
M Fd
M   F L sen
“El momento de la fuerza resultante de dos o más
fuerzas concurrentes o paralelas, con respecto a
un punto cualquiera del cuerpo afectado, es igual
a la suma de los momentos de cada fuerza
respecto del mismo punto”
Momento resultante = Suma de momentos
(M R ) 0
Ejem. 9.1.- Suponga que tiene tres llaves que actúan
sobre tres tornillos en la forma indicada por las
figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la
llave. ¿En qué situaciones se introduce el tornillo?
¿En qué situaciones se saca el tornillo? ¿Cuáles
producen el mismo resultado o son equivalentes?

 (M i ) 0
Cupla o par de fuerzas.- Se denomina así a un
sistema de dos fuerzas paralelas, de igual módulo y
de sentidos contrarios.
La suma de las fuerzas es cero, sin embargo el
momento resultante no es nulo. Éste par de fuerzas
se aplica al abrir una botella de soda, una llave de
ruedas, al ajustar un tornillo, etc.
d
Física General
- 123 -
( M R )0

M

 (M )
2da. Condición de equilibrio.- Su enunciado es:
i 0
 F  
d
d 
  F  
2
2
M  Fd
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación
si el momento resultante de todas las fuerzas que
actúan sobre él, respecto de cualquier punto, es
nula.
M0  0
Ejem. 9.2.- Se tiene una barra de peso despreciable
en el cual se aplican varias fuerzas, como se muestra
en la figura. Determinar la fuerza resultante y su
posición.
Solución:
10 kp
20 kp
Un objeto se encontrará en equilibrio mecánico,
cuando se cumplan las dos condiciones de equilibrio.
Ejem. 9.3.- Hallar la resultante de las cuatro fuerzas
indicadas en el siguiente diagrama mostrado a
continuación.
150 kp
2m
1m
2m
400 kp
30º
100 kp
30º
250 kp
30º
5 kp
La resultante de todas las fuerzas es:
R = 5 kp – 10 kp – 20 kp = – 25 Kp
1.5 m
Para ubicar la posición de la resultante, se aplica la
sumatoria de momentos respecto a un eje ubicado
en el extremo izquierdo de la barra (O).
2.5 m
1m
Solución:
 Fx  150  sen30º 250  sen30º 100  sen30º
10 kp
20 kp
x
O
1m
 Fy  150  cos 30º250  cos 30º 100  cos 30º400
2m
5 kp
R = 25 kp
(M R ) 0

 Fx  0
 Fy  833 kp
Resultante es hacia abajo, su valor es 833 kp.
El punto de ubicación se determina con el teorema
de Varignon. Tomando eje de rotación el apoyo
izquierdo:
 (M i ) 0
M R O
(25 kp) ( x)   (10 kp) (1 m)  (5 kp) (3 m)  (20 kp) (5 m)
(25 kp) ( x)   10 kp.m  15 kp.m  100 kp.m
(25 kp) ( x)   95 kp.m
 x 
  Mi
 R x  400  1.5  250  cos 30º4  100  cos 30º5
(1)
95 kp.m
 3.8 m
25 kp
La resultante se encuentra a 3.8 m del extremo
izquierdo de la barra.
 833 x  600  866.02  433.01
x
 1899.03
 2.28 m
833
- 124 -
Física General
Ejem. 9.4.- Supongamos una barra de masa
despreciable, que está sujeta por su extremo O.
Componentes rectangulares de T:
Colocando un peso P a una distancia x del punto O.
Tx  T cos 43º
Ty  T sen 43º
El momento de esta fuerza es: P·x
Primera condicion de equilibrio:
Solución:
 Fx  0
R x  Tx  0
R x  T cos 43º
(1)
 Fy  0
T y  R y  w  wb  0
T sen 43º  R y  w  wb  0
Para que la barra esté en equilibrio la fuerza F
deberá ser tal que el momento total sea nulo:
– F·d + P·x = 0,
De modo que:
(2)
Segunda condición de equilibrio, con eje de
rotación en O:
F = P·x / d
Ejem. 9.5.- En la figura mostrada, determinar la
tensión en la cuerda y la reacción en el apoyo O,
sabiendo que el peso de la barra es de 30 kp.
Datos:
Incógnitas:
wb = 30 kp
T = ?
w = 120 kp
 MO  0
 M O  T y  4 m  w  4 m  wb  2 m  0
T  sen43º4 m  120 kp  4 m  30 kp  2 m  0
T 
Solución:
La reacción en la articulación O, tiene
componentes, una horizontal y otra vertical:
480 kp m  60 kp m
 197.8 kp
2.73 m
dos
Reemplazando T en las ec. (1) y (2):
Rx  T  cos 43º  197.8 kp  cos 43º  144.7 kp
T  sen43º  R y  w  wb  0
R y  T  sen43º  w  wb
R y  197.8 kp  sen43º 120 kp  30 kp  15 kp
Luego la reacción:
D. C. L.
T
R
43º
Rx
Ry
wb
w
Rx2  R y2  144.7 2  15 2  145.5 kp
Física General
- 125 -
Ejem. 9.6.- Calcular el valor de la fuerza para
equilibrar la carga R, si ésta pesa 400 kp.
N
5m
2m
x
O
wb
D. C. L.
F
Aplicando momentos en el borde, lugar que se
encontrará siempre en contacto con la superficie, y
también donde se ubicará la normal en el último
instante:
 MO  0
3m
2m
w = 400 kp
Ry
Segunda condición de equilibrio:
M
0
0
( F )(5 m)  ( w)(2 m)  0
F
w

x

N  0  w  x  wb  2 m  0
wb  2 m 100 kp  2 m

 2.5 m
w
80 kp
Ejem. 9.8.- En la figura se representa el esquema de
una grúa soportando un peso de 900 kp. El mástil AC
tiene una longitud de 3 m y la barra AB tiene 5 m de
longitud, con una articulación A, y es mantenida por
el cable CB. Suponiendo que el peso de AB es
despreciable, calcular la tensión T en el cable y la
fuerza de compresión F en AB.
( w)(2 m) (400 kp)(2 m)

 160 kp
5m
5m
Reacción en O:
F
y
0
F  Ry  w  0
Ry  w  F  400 kp  160 kp  240 kp
Ejem. 9.7.- Se tiene una barra homogénea de 100
kp de peso y 10 m de longitud, está colocada como
se muestra en la figura. ¿Qué distancia “x” podrá
avanzar la persona de 80 kp de peso, antes que la
barra se vuelque?
Datos:
Incógnitas:
wb = 100 kp
x=?
w = 80 kp
D. C. L.
T

5m
43º
F
w  900 kp
- 126 -
Física General
Solución: Cálculo de la longitud CB mediante el
teorema de los cosenos:
CB 
CB 
CB 
2

 AC    AB 
2

3 m
2
 12.06 m 2
CB 
2
2
2
  AC  cos 43º
 2 AC
  5 m   2  3 m  5 m  cos 43º
12.06 m 2
2
PREGUNTAS Y RESPUESTAS
1. Las magnitudes de las fuerzas que se señalan
en la figura son iguales. ¿Cuál de ellas realiza
mayor y cuál realiza menor torque? El eje de
giro, o de rotación, está representado por un
círculo.
 3.5 m
Aplicando el teorema de los senos:
R. La fuerza F2 realiza mayor torque, pues al ser
igual magnitud que F1 y F3 tiene brazo mayor.
que realiza menor torque es la fuerza F 3 pues
realiza torque ya que está aplicada en el eje
rotación.
sen  sen 43º

3m
3.5 m
sen 
(3 m)( sen 43º )
3.5 m
   35.8º
Cálculo de T:
M
A
de
La
no
de
2. La figura muestra dos personas, P y Q, que
realizan fuerzas sobre una puerta con las
bisagras en O. La puerta está en equilibrio. a)
¿Cuál de las personas realiza mayor torque?,
b) ¿cuál de las personas ejerce mayor fuerza?
0
 F  0    w 5 m  sen43º   T  5 m  sen35.8º   0
0   900 kp  3.41 m   T  2.92 m   0
 T
3069 kp  m
 1049 kp
2.92 m
Las componentes de la fuerza de compresión en el
punto A son:
 Fx  0
Fx  (T )( sen11.2 º )  0
Fx  (1049 kp )(cos 11.2 º )  1029.02 kp
R. a) Como la puerta está en equilibrio, no se mueve,
ambas personas realizan el mismo torque. b) La
persona que ejerce mayor fuerza es la Q pues
debe compensar con ello, la fuerza, el menor
brazo que posee.
3. La palanca es la aplicación de torque. Hay tres
tipos de palancas. De primer orden, segundo
orden y tercer orden. Los diagramas
siguientes representan esos tipos.
 Fy  0
F y  (T )( sen11.2 º )  w  0
F y  (1049 kp )( sen11.2 º )  900 kp
F y  1103.75 kp
Luego la fuerza de compresión es:
F
Fx2  Fy2  1029.02 2  1103.75 2
F  1509.02 kp
De un ejemplo concreto y real para cada tipo
de palanca.
R. De primer orden:
De segundo orden:
De tercer orden:
Tijeras
Carretilla
Pinzas
Física General
- 127 -
4. En cuál de los siguientes casos se realiza
torque:
a) Abrir un libro: Si se realiza torque
b) Cortar un alambre con un alicate: Si se realiza
torque
c) Destapar un corcho de una botella: Si se
realiza torque
d) Jugar ping pong: No realiza torque (el golpe
que la paleta da a la pelota)
e) Desclavar un clavo de una tabla: Si se realiza
torque
f) Lanzar una flecha con un arco: No realiza
torque (la fuerza que ejerce la cuerda sobre la
flecha
g) Salto con garrocha: Si se realiza torque
h) Caminar: Si se realiza torque
5. Un cartel publicitario está colgando de la
pared de una sociedad muy importante, como
se muestra en la figura. Si consideramos eje
de rotación, o de giro, el soporte de la viga en
la pared. a) ¿Cuáles son las fuerzas que
realizan
torque?,
b)
¿cuál
fuerza,
aparentemente, realiza mayor torque?
R. a) Las fuerzas involucradas son: la tensión en la
cuerda superior, la fuerza vertical en el punto de
apoyo en la pared, las dos tensiones en los cables
que sujetan el letrero, el peso de la barra. Se
dirigen hacia arriba: la vertical en el punto de
apoyo en la pared. Hacia arriba en forma
inclinada, la tensión en la cuerda superior. Hacia
abajo, las dos tensiones en las cuerdas o cables
que sostienen el letrero y el peso de la barra.
F
x
M
0
N  M1 g  M 2 g  0
F
x
M
0
N  F  M1 g  mg  0
F
x
0
0
L
L
M1 g  M 2 g  0
2
2
0
0
3L
L
L
M1 g
 mg  F  0
4
4
4
M
0
N  M1 g  M 3 g  mg  0
0
0
L
L
M 3 g  M1 g  0
3
2
b) Depende del eje de giro o rotación que se utilice.
Pero como es lógico el eje de rotación más
adecuado está en el punto de apoyo de la barra
en la pared, por lo tanto la fuerza que realiza
mayor torque es la tensión en la cuerda superior,
pues ese torque debe compensar los torques que
realizan las demás fuerzas.
6. Escriba las ecuaciones, correspondientes a
las condiciones de equilibrio, en cada una de
las siguientes situaciones. En todos los casos
la viga es uniforme y de masa m. El triángulo
representa el, o los, punto de apoyo(s). En
todas las situaciones el sistema está en
equilibrio.
F
x
0
N1  N 2  M1 g  M 3 g  mg  0
M
0
0
M 1 g L  mg
L
L
L
 M 3 g  N2  0
2
3
3
- 128 -
Física General
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-
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CONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UNA BARRA
CUERPOS LIGADOS EN EQUILIBRIO
CENTRO DE MASA
Física General
- 129 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En cada caso hallar el momento generado por
“F” respecto al centro de giro “O”
Resp: a) 30 N.m ; b) 35 N.m ; c) 40 N.m ; d) 18 N.m
a)
4. La barra mostrada en la figura está bajo la acción
de dos fuerzas y es soportada en “O”; Localizar
la posición del soporte para que exista equilibrio.
(Considerar despreciable el peso de la barra)
b)
Resp: 9.2 m
c)
d)
5. Calcular la reacción de la superficie en la figura,
la barra se encuentra en equilibrio y pesa
100
kp.
Resp: 60.18 kp
2. Calcular la suma de momentos de la figura, con
respecto al punto O. Indicar en qué sentido va
girando.
Resp: –20 N.m, gira en sentido de las agujas del reloj
6. En la barra mostrada en la figura, determinar la
reacción en la articulación y la posición en que
debe estar la fuerza de 4 kp (hacia arriba) para
que dicha barra permanezca en equilibrio. La
barra pesa 2 kp.
Resp: Reacción = –2 kp;
3. La figura muestra un sistema en equilibrio. En el
extremo izquierdo de la tabla se encuentra un
peso de 30 kp, La tensión en la cuerda derecha
es de 20 kp. Calcular el peso de la tabla.
Resp: 73.33 kp
x = 5m
- 130 7. En la figura mostrada, determinar la tensión en la
cuerda, sabiendo que el peso de la barra es 120
kp.
Resp: 701.20 kp
Física General
11. Hallar las tensiones en las cuerdas A y B, si la
barra es homogénea y uniforme de 100 N de
peso y Q = 60 N.
Resp: A = 88 N; B = 72 N
Q
A
1m
8. La barra de la figura pesa 100 kp y por su
extremo superior está amarrada a una cuerda
vertical, por su parte inferior está articulada al
piso. ¿Cuánto vale la tensión del cable?
Resp: 50 kp
9. En el sistema en equilibrio de la figura, hallar la
fuerza de compresión y la tensión de la barra, el
peso de la barra es 20 kp y lleva un peso en un
extremo, w = 40 kp
B
4m
1m
12. Dos pesos, w1 = 1.60 kp y w2 = 2.00 kp están
suspendidas de los extremos de una varilla de
aluminio muy delgada (sin peso) cuya longitud es
de 1.20 m. La varilla está sostenida en el techo
por una cuerda. Indicar la posición de la varilla a
la que debe fijarse esta última cuerda para que la
varilla quede horizontal, y encontrar la tensión de
esta cuerda.
Resp: La cuerda se encuentra a 0.67 m de w1
13. Calcule la tensión de las líneas de soporte en la
figura (peso de la barra = 5 kp).
Resp: 27.5 kp
Resp: R = 66.74 kp; T = 56.23 kp
10. Hallar la tensión en el cable para que la barra
uniforme y homogénea de 75 N de peso se
encuentre en equilibrio.
Resp: T = 100 N
14. Un tablón uniforme de 6m de longitud y 30 kg de
masa, descansa horizontalmente sobre un
andamio. Si 1.5m del tablón sobresale por un
extremo del andamio. ¿Cuánto puede caminar un
pintor de brocha gorda de 70 kg por la parte
sobresaliente antes de que el tablón se vuelque?
Resp: 0.64 m
15. El antebrazo de la figura, está con respecto al
brazo a 90º y sostiene en la mano un cuerpo de
peso 70 N. Despreciando al peso del antebrazo:
¿Cuál es el torque producido por el peso de 70 N
alrededor de la articulación del codo (punto O)?
¿Cuál es el torque alrededor de O producido por
Física General
la fuerza Fm ejercida sobre el antebrazo por el
bíceps? ¿Cuál es la magnitud de Fm?
Resp: - 23.1 N.m; 23.1 N.m; Fm = 607.9 N
- 131 19. Una persona puede ejercer una fuerza máxima
de 400 N sobre el aparato que se muestra en la
figura. Si el aparato está a 28 cm del codo, y el
bíceps está unido a 5 cm del codo, ¿Cuál es la
magnitud de la fuerza ejercida por el bíceps?
Resp: 2240 N
16. Repetir el problema anterior suponiendo que el
antebrazo y la mano juntos pesan 35N y que su
centro de gravedad está a 15 cm de O.
20. Hallar la reacción en “A” si la barra es de peso
despreciable.
Resp: - 23.1 N.m; - 5.78 N.m; +28.88 N.m; Fm = 759.9 N
Resp: 3000 N
17. Un tablón uniforme de 5 m de longitud y 50 N de
peso, apernado en A es sostenido por una
cuerda en su extremo superior, como se muestra
en la figura Una carga de 100 N cuelga del
tablón en un punto a una distancia x de A. Si la
resistencia de ruptura de la cuerda es 50 N,
calcular el valor de x.
Considere α = 30º y β = 60º.
Resp: 1.29 m.
21. Peso de la barra = 1000 N ; K = 200 N /cm para
el equilibrio. Hallar la deformación del resorte.
Resp: 2.2 cm
18. La figura nos muestra un atleta preparado para
hacer un tiburón. Pesa 750 N y su centro de
gravedad está localizado por encima de un punto
P que hay en el suelo. Este punto está a 0.9 m
de la punta de sus pies y a 0.6m de sus hombros,
¿Cuáles son las fuerzas ejercidas por el suelo
sobre las manos y pies del atleta?
Resp: 450 N y 300 N
- 132 -
Física General
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. La suma de las fuerzas es:
d) Si rota con rapidez constante
8. Hallar el momento resultante respecto a “O”:
F1 = 10 N
O
4m
a) 1 kp
b) 3 kp
c) 4 kp
1m
d) 5 kp
2. La suma de los momentos respecto a 0 en la
figura anterior es:
a) 16 kp-m
c) 25 kp-m
2m
b) 24 kp-m
d) 28 kp-m
F2 = 8 N
a) 2 N.m
b) 4 N.m
c) 6 N.m
d) 8 N.m
9. Se tiene una barra con peso despreciable, como
se muestra en la figura. Determine la fuerza
resultante en (N) y su posición en (m):
3. Sean las dos fuerzas de la figura, la magnitud de
la resultante es:
20 N
10 N
O
1m
2m
2m
15 N
a) 0
b) 15 kp
c) 30 kp
d) 60 kp
4. La suma de momentos con respecto a uno de
sus extremos, es:
a) 0
b) –30 kp-m
c) 30 kp-m
d) 60 kp-m
5. Sean las tres fuerzas de la figura. ¿Cuál es la
magnitud de la resultante?
a) –15; 3
b) 25; 3.8
c) 25; 3
d) –15; 1.67
10. ¿Qué condición debe cumplirse para que un
cuerpo no efectúe ningún movimiento de
rotación?
a) El momento resultante de las fuerzas
aplicadas sea nulo
b) Que tenga aceleración angular
c) La resultante de las fuerzas sea nula
d) Que no efectúe movimiento de traslación
11. El momento de fuerza es:
a) 10 kp
b) 20 kp
c) 30 kp
d) 40 kp
6. ¿Cuál es el momento de esta resultante respecto
a O en la figura anterior?
a) 50 kp-m
c) 80 kp-m
b) 70 kp-m
d) 100 kp-m
a) Una magnitud escalar
b) Sólo depende de la fuerza
c) Sólo depende del brazo de palanca
d) Mide el efecto de giro que provoca una fuerza
sobre un cuerpo
12. La barra es de 4 kg, el bloque 2 kg. Determinar
el valor de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2)
7. Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si:
a) La suma de las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo es igual a cero
b) La fuerza resultante que actúa sobre el
cuerpo es diferente de cero
c) La suma algebraica de los torques
(momentos) de las fuerzas con respecto
a cualquier punto es igual a cero
C
A
a) 50 N
B
b) 60 N
c) 70 N
30º
d) 80 N
Física General
- 133 -
Cap. 10
DINÁMICA I
FUERZAS EN EL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
CONTENIDO:
- 134 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Explicamos y demostramos el movimiento y sus
causas a partir del estudio de las fuerzas aplicadas a
un objeto cuya resultante produce aceleración y
movimiento rectilíneo, utilizando las leyes de Newton
en problemas y prácticas de laboratorio, promoviendo
a la investigación en el campo científico.
LAS CUATRO FUERZAS MÁS IMPORTANTES
Existen cuatro fuerzas que no se pueden explicar en función de otras:
1. Fuerza Gravitatoria: Es la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, esta fuerza es
siempre de atracción y afecta a todos los cuerpos. Mantiene a los planetas orbitando
alrededor del Sol.
2. Fuerza Electromagnética: Afecta a los cuerpos cargados eléctricamente, es de
atracción y repulsión. (fenómenos magnéticos y eléctricos)
3. Fuerza Nuclear Fuerte: Es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos
atómicos, es de atracción solamente.
4. Fuerza Nuclear Débil: Es la responsable de las emisiones radioactivas beta del núcleo.
Física General
- 135 -
Introducción.- ¿Por qué un cuerpo tiene un
determinado movimiento? ¿Cómo podemos modificar
la velocidad de un cuerpo?, etc. Para ello es
necesario
introducir
nuevos
conceptos
como masa o fuerza.
Así como la cinemática está ligada al nombre
de Galileo, la dinámica lo está al de Isaac Newton,
quien, curiosamente, nació en el mismo año que
murió Galileo (1.642).
La dinámica es una parte de la mecánica que se
ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos
tomando en cuenta las causas que lo producen.
Combinando las dos relaciones anteriores, se tiene:
a 
Ahora es posible enunciar la 2da. Ley de Newton,
como:
“La aceleración que adquiere una partícula
sometida a una fuerza neta, es directamente
proporcional
a
la
fuerza
resultante
e
inversamente proporcional a la masa de dicha
partícula, y tiene la misma dirección y sentido de
la fuerza”
Sistema de referencia inercial.- Un sistema se
define como inercial si está
en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme.
Segunda Ley de Newton (Ley de la aceleración).Se vio en el capítulo de estática que una fuerza neta
diferente de cero, se refiere a una fuerza no
equilibrada produce aceleración.
a) Relación entre la fuerza y la aceleración:
Doblando la fuerza se obtiene doble aceleración.
Fneta
m
NETA
m
Fuerza resultante = masa x aceleración
La fuerza neta, es la resultante de varias fuerzas, la
2da. ley, se puede escribir:
Fuerzas a favor de “a” – Fuerzas en contra de “a” =
masa x aceleración
Fneta  m a
NETA
m
NETA
m
“A mayor fuerza, mayor aceleración”
b) Relación entre la masa y la aceleración:
Doblando la masa se obtiene mitad de aceleración.
F  ma
Masa (m).- Es una magnitud escalar, en un
comienzo Newton definió la masa como la cantidad
de materia de un cuerpo. Sin embargo, con el
tiempo, esto quedó mejor explicado como la medida
de la inercia de un cuerpo; es decir, la resistencia
del cuerpo a cambiar su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme.
Por ejemplo, imaginen dos personas “A” y “B”, la
primera con 100 kg de masa y la otra con 50 kg;
dichas personas se encuentran en un bus en
movimiento, si de pronto este móvil se detiene, ¿Cuál
de las personas se irá con mayor facilidad hacia
adelante?
NETA
Es notorio que la persona “A” (100 kg) se moverá con
mayor facilidad, porque tiene mayor masa (mayor
inercia).
m
La masa de un cuerpo es una medida de su
inercia.
m
m
NETA
“A mayor masa, menor aceleración”
El valor de la masa se obtiene a partir de la 2da. Ley
de newton:
mi 
F1 F2 F3


 cte.
a1 a 2 a 3
- 136 -
Física General
Unidades de masa.- El kilogramo (kg), es la unidad
de masa en el Sistema Internacional.
Sistema
c. g. s.
S. I.
Sistema
Técnico
gramo
kilogramo
(g)
( kg )
1 kg = 2.2 lbm
1 lbm = 453.6 g
unidad
técnica de
masa
( u. t. m. )
Inglés
Inglés
Técnico absoluto
slug
libra
masa
( lbm )
El peso tiene que ver con la intensidad de la fuerza
gravitacional que ejerce la Tierra (la Luna, Marte,
etc.) sobre un objeto.
Unidades de fuerza.- Al ser la fuerza una magnitud
derivada, sus unidades son una combinación de las
unidades fundamentales, cuyos nombres son:
S. I.
Sistema
Técnico
dina
( dyn )
Newton
(N)
kilopondio
( kp )
=
=
=
g cm/s
1N
1 lbf
1 gf
1 lbf
2
kg m/s
= 105 dyn
= 32.2 pdl
= 980 dyn
= 4.45 N
2
utm m/s
2
La masa tiene que ver con la cantidad de materia de
un objeto.
La masa de un objeto es un valor constante, en
cualquier parte del universo.
( slug )
1 slug = 14.59 kg
1 utm = 9.8 kg
Sistema
c. g. s.
Peso y masa.- El peso de un objeto está muy
relacionado con su masa, pero ambas magnitudes
son distintas.
Inglés
Inglés
Técnico absoluto
librafuerza
( lbf )
=
slugft/s
2
poundal
( pdl )
El peso de un objeto es un valor variable, que
depende de la aceleración de la gravedad del lugar.
¿Cuánto pesa 1 kilogramo?
Al dejar caer un cuerpo de 1 kg de masa en la
Tierra, éste desciende con una aceleración igual a
9.80 m/s2 (despreciando los efectos de rozamiento
con el aire).
m = 1 kg
=
lbm ft/s
w=m.g
2
1 kp = 2.2 lbf
1 kp = 9.8 N
1 kp = 1000 gf
Si se aplica la segunda ley de Newton, se obtiene:
Nota: El kilopondio ( kp ) se denomina también
kilogramo fuerza ( kgf ) , que tiene un submúltiplo
llamado gramo fuerza ( gf ) o pondio, que es el
peso de 1 gramo masa.
Peso (w).- Es una magnitud vectorial, se define
como la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce
un planeta sobre los cuerpos que se encuentran
sobre ella.
m

w  m  g  1 kg  9.8 2   9.8 N
 s 
Este es el peso, en el planeta Tierra, de 1 kg de
masa.
En el sistema técnico (muy usado en ingeniería) se
dice que en la Tierra un cuerpo cuya masa es de 1
kg, tiene un peso de 1 kgf (kilogramo-fuerza).
m = 1 kg
w  9.8 N
1 kp
 1 kp  1 kg f
9.8 N
En la Luna ese mismo cuerpo de 1 kg de masa sólo
pesa 1.60 N
Aceleración de la gravedad en la Luna:
w  mg
w = Peso
m = Masa
g = Aceleración de la gravedad
gL 
1
1
m
m
g T   9.8 2   1.63 2
6
6
s 
s
El peso en la Luna:
m

w  m  g  1 kg 1.63 2   1.63 N
s


Física General
Un cuerpo tiene, la misma masa en la Tierra y en la
Luna, pero el peso de dicho cuerpo es seis veces
menor en la Luna que en la Tierra.
- 137 El peso, también varía con la latitud del lugar
El peso varía con la altura, un cuerpo situado en la
superficie terrestre pesa más que cuando se
encuentra a una determinada altura.
A mayor altura, menor el peso de un cuerpo
Por ejemplo un anillo pesa más en Santa Cruz y
pesa menos en La Paz, es por esa razón las
compras y ventas de joyas se hacen por masa no por
peso.
Razonando lógicamente, introduciendo un peso al
interior de la Tierra, es decir, si la aproximáramos al
centro de nuestro planeta, deberíamos observar un
aumento de la atracción gravitacional.
En las profundidades de la Tierra el cuerpo debería
pesar más, esta suposición es errónea, el peso de
los cuerpos no aumenta, sino al contrario, disminuye.
Esto se explica, porque, en este caso, las partículas
de la Tierra que lo atraen se encuentran ahora, no
por un lado del cuerpo, sino por todos lados distintos.
Obsérvese la figura.
La línea del Ecuador esta más lejos del centro de la
Tierra, que el Polo del centro.
A mayor latitud, menor el peso de un cuerpo
Medición de pesos y masas.- Experimentalmente
¿en qué tipo de balanzas se determinan la masa y el
peso de un cuerpo sólido? y ¿qué conceptos físicos
están apoyados en cada caso?
Dos preguntas interesantes que se aclaran a
continuación.
Masas: Balanzas de
doble platillo, basado
en el equilibrio de un
cuerpo rígido.
En ella se ve cómo la pesa que se encuentra en las
profundidades de la Tierra es atraída hacia abajo por
las partículas que se encuentran debajo de ella, pero
al mismo tiempo es atraída también hacia arriba, por
las partículas que se encuentran encima.
A medida que el cuerpo se va introduciendo a mayor
profundidad en la Tierra, su peso va disminuyendo
rápidamente. Al llegar al centro de la Tierra, el
cuerpo pierde su peso por completo, es decir, se
hace ingrávido ya que las partículas que lo rodean lo
atraen en todas direcciones con igual fuerza.
De todo lo antedicho se deduce, que donde los
cuerpos pesan más, es en la misma superficie de la
Tierra, y que a medida que se alejan de ella, sea
hacia fuera o hacia dentro, su peso disminuye.
Fuente: http://es.geocities.com
MO  0
w L2  w1
L
2
0
w  w1
Pesos: Balanzas de un
solo platillo, basado en el
equilibrio
de
una
partícula.
 Fy  0
T mg  0
T mg
m g  m1 g
m  m1
T w
El peso se mide con dinamómetros.
La masa se mide con balanzas de brazos
- 138 -
Física General
DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO
Características
de masa
Características
de peso
- Es la cantidad de
materia que tiene un
cuerpo.
- Es una magnitud
escalar.
- Se mide con la
balanza.
- Su valor es constante,
independiente de la
altitud y latitud.
- Sus unidades de
medida son el gramo
(g) y el kilogramo (kg).
- Sobrelleva
aceleraciones
- Es la fuerza que
ocasiona la caída de
los cuerpos.
- Es una magnitud
vectorial.
- Se mide con el
dinamómetro.
- Su valor varía según
su posición, depende
de la altitud y latitud.
- Sus unidades de
medida son la dina y el
Newton.
- Produce
aceleraciones.
Estrategias
para
resolver
problemas
dinámica.- Cada ejercicio es un caso diferente:
-
de
Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada
objeto individual, en el que se muestren todas las
fuerzas que actúan sobre ese cuerpo.
-
Elegir un sistema de referencia adecuado, de tal
manera que uno de los ejes coincida con la
dirección de movimiento.
-
Descomponer las fuerzas según los ejes.
-
Dependiendo de qué es lo que se quiere
encontrar, la segunda ley de Newton se puede
aplicar al sistema como un todo (en cuyo caso las
fuerzas internas se cancelan) o aplicarse a parte
del sistema.
Ejem. 10.1.- Una persona jala un carrito cargado,
con una fuerza de 15 N. Si la masa total del carrito y
su contenido es de 60 kg, ¿Cuál es la aceleración del
carrito? (Ignore cualquier fuerza de fricción)
Datos:
F = 15N
m = 60 kg
a = ?
Solución:
a
Ejem. 11.2.- Una determinada persona posee una
masa de 70 kg. Calcular su peso en kp, lbf
Datos:
m = 70 kg.
g = 9.8 m/s2
w = ?
Solución:
w  686 N *
w  70 kp *
1 kp
 70 kp
9.8 N
2.2 lb f
1 kp
 154 lb f
Ejem. 11.3.- Un estudiante pesa 588 N ¿Cuál es su
masa?
Datos:
w = 588 N
m = ?
Solución:
wmg

m
588 N
w

 60 kg
g 9.8 m / s 2
Ejem. 11.4.- Un bloque pesa 300 lbf. Calcular su
masa en todos los sistemas de unidades.
Datos:
w = 300 lbff
m = ?
Solución:
w
wmg

m
g
Sist. Inglés Técnico:
m
300 lb f
w

 9.32 slug
g 32.2 ft / s 2
Sist. Inglés absoluto:
m  9.32 slug *
32.2 lb f
1 slug
 300 lbm
Sist. Internacional:
m  300 lbm *
1 kg
 136.4 kg
2.2 lbm
F
m
Sist. Técnico:
m  136.4 kg *
F  ma

a 
15 N
F

m
60 kg
 0.25 m / s 2
1 utm
 13.92 utm
9.8 kg
Física General
- 139 -
Ejem. 11.5.- Una persona pesa 70 kp, calcular su
masa en kg
Datos:
w = 70 kp
m = ?
Solución:
wmg

m
70 kp
w

 7.14 utm
g 9.8 m / s 2
Al sistema internacional:
m  7.14 utm *
9.8 kg
 70 kg
1 utm
Ejem. 11.7.- a) Si el coeficiente de fricción estática
entre el cajón de 40 kg de la figura y el piso es de
0.65. ¿Con qué fuerza horizontal debe tirar un
trabajador para mover el cajón? b) Si el trabajador
mantiene esa fuerza una vez que el cajón empieza a
moverse y el coeficiente de fricción cinética entre las
superficies es 0.50. ¿Cuál es la magnitud de la
aceleración del cajón?
Datos:
a) μs = 0.65
m = 40 kg
b) μk = 0.50
F = ?
a = ?
Solución:
N
Como se ve en el resultado, se obtiene el mismo
valor numérico; en general se puede afirmar que:
fs
F
m
Un objeto pesa 100 kp, tiene una masa de 100 kg
Ejem. 11.6.- Calcular la distancia que recorrerá un
objeto que pesa 10 kp, cuando sobre él actúa una
fuerza constante de 50 N durante 20 segundos.
Datos:
w = 10 kp
F = 50 N
t = 20 s
x = ?
Solución:
w
a) El cajón no se moverá hasta que se le aplique
una fuerza F que iguale a la fuerza de rozamiento
estática máxima fs = μs N
El peso es 10 kp, entonces su masa es: m =10 kg
F
 Fy  0
F  fs  0
N mg  0
F  s N  0
N mg
Combinando las dos ecuaciones:
a
m
 Fx  0
m
F   s m g  (0.65)( 40 kg )(9.8 m / s 2 )  254.8 N
El cajón se mueve si la fuerza aplicada excede
ligeramente a ésta fuerza calculada.
La aceleración, con la 2da. Ley de Newton y luego la
distancia recorrida:
F  ma

a
F 50 N

 5m / s2
m 10 kg
x  v0 t  12 a t 2  12 (5 m / s 2 )( 20 s) 2  1000 m
b) El cajón se encuentra en movimiento y el
trabajador mantiene esa fuerza constante de 254.8
N. La fuerza de fricción cinética actúa sobre el cajón.
La aceleración del cajón es:
 Fx  m a

F  k N  m a
a
F  k m g

m
a  1.47
m
s2
F  fk  ma

F  k m g  m a
254.8 N  0.5  40 kg  9.8
40 kg
m
s2
- 140 -
Física General
Ejem. 11.8.- Un jugador de béisbol con una masa de
79 kg que desliza hacia una base, es retenido por
una fuerza de fricción de 470 N ¿Cuál es el
coeficiente de fricción cinética entre el jugador y el
terreno?
Datos:
m = 79 kg.
fk = 470 N
μk = ?
Solución:
b) Para determinar la tensión se debe dibujar el D.
C. L. De uno de las masas y aplicar la 2da. ley de
Newton.
Cuando el jugador corre existe una fuerza opuesta la
cual es la fuerza de fricción cinética:
T  m 2 a  (3.5 kg )( 2 m / s 2 )  7 N
f k  k N
k 

f k  k N
fk
f
470 N
 k 
 0.61
N m g 79 kg * 9.8 m / s 2
k 

fk

mg
470 N
79 kg  9.8
 k  0.61
m
s2
Ejem. 11.9.- Dos masas m1 = 2.5 kg y m2 = 3.5 kg,
descansan sobre una superficie sin rozamiento y
están unidas mediante una cuerda. Se aplica una
fuerza horizontal de 12 N a m1 como lo muestra la
figura.
a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de las
masas (el sistema)?
b) ¿Cuál es la magnitud de la tensión ( T ) de la
cuerda
Datos:
m1 = 2.5 kg
m2 = 3.5 kg
F = 12 N
a) a = ?
b) T = ?
a
F  ma
Ejem. 11.10.- Un automóvil que viaja a 72 km/h a lo
largo de un camino recto y plano, se detiene
uniformemente en una distancia de 40 m. Si el
automóvil pesa 890 kp ¿Cuál es la fuerza de sus
frenos?
Datos:
1h
km 1000 m
m
v o  72
*
*
 20
h
1 km 3600 s
s
v0
x  40 m
w  890 kp *
9.8 N
 8722 N
1 kp
F=?
Solución:
Cálculo de la masa:
w  mg

m
Solución:
T
T
m2
T
m2
m
F
m1
w
g
8722 N
 890 kg
9.8 m / s 2
Cálculo de la aceleración:
v 2  v02  2 a x
a) Aplicando la 2da. ley de Newton a todo el sistema,
se determina la aceleración; las tensiones T se
anulan porque llegarían a ser fuerzas internas
a
F  ma
F  T  T  (m1  m2 ) a
a
122 N
F

 2.0 m / s 2
m1  m2 2.5 kg  3.5 kg

a
v 2  v02
2d
02  (20 m / s) 2
  5 m / s2
2 (40 m)
El signo menos indica que la aceleración es opuesta
a la velocidad v0 como se esperaba de una fuerza
de frenado que desacelera al carro.
Seguidamente se determina la fuerza:
F
 m a  (890 kg )( 5 m / s 2 )   4450 N
Física General
- 141 -
Ejem. 11.11.- La máquina de Atwood consiste en dos
masas suspendidas de una polea fija como se ilustra
en la figura.
Bloque 1:
Si m1 = 0.55 kg y m2 = 0.80 kg. ¿Cuál es la
aceleración del sistema? (Considere que la polea no
tiene fricción y que las masas de la cuerda y la polea
son despreciables)
Datos:
m1 = 0.55 kg
m2 = 0.80 kg
a = ?
Solución:
T
 w1  m1 a  m1 g  m1 a  m1 ( g  a )
T
 0.55 kg (9.8 m / s 2  1.81 m / s 2 )  6.38 N
m2
m1
w1
F
 ma

T  w1
 m1 a
Ejem. 11.12.- Sobre una mesa horizontal se coloca
un bloque de madera (A) de 2 kg de masa, unido
mediante una cuerda inextensible que pasa por una
polea a otro bloque (B) de 0.5 kg que cuelga.
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético
entre la madera y la mesa es de 0.2, calcular:
a) La aceleración con que se desplaza el conjunto de
bloques
b) La tensión que soporta la cuerda.
Datos:
mA = 2 kg
mB = 0.5 kg
μk = 0.2
a) a = ?
b) T = ?
w2
Solución:
m2 , caerá y m1 ascenderá, con aceleraciones de la
misma magnitud.
Aplicando la segunda ley de Newton al sistema como
un todo, obtenemos:
fk
F  ma
wA
w2  T  T  w1  (m1  m 2 ) a
w2  w1  (m1  m 2 ) a
wB
m 2 g  m1 g  (m1  m 2 ) a
g (m 2  m1 )  (m1  m 2 ) a
g m2  m1 
a

m1  m2
9.8
m
0.8 kg  0.55 kg
s2
0.55 kg  0.8 kg
a) El sistema se mueve hacia la derecha, ambos
bloques tienen la misma aceleración; aplicando la
ecuación fundamental de la dinámica a todo el
sistema, se tiene:
Bloque A:
m
a  1.81 2
s
F
x
Aplicando la segunda ley de Newton a cualquier
cuerpo se puede calcular la tensión en la cuerda:
 ma
m2
m1
w1
w2
a
y
0
T  f k  mA a
N  wA  0
T   k N  mA a
N  wA  mA g
Reemplazando N:
a
F
T   k m A g  m A a (1)
- 142 -
Física General
Bloque B:
F
y
a) Movimiento del bloque a lo largo del plano,
hacia arriba:
 ma
wB  T  mB a
mB g  T  mB a
a
(2)
T
N
T
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):
a
fr
T  k mA g  mA a


mB g  T  mB a
m1 g
mB g  k mA g  mA a  mB a
g (mB  k mA )  a (mA  mB )
g m B   k m A 
a

m A  mB
a  0.4
9.8
m
0.5 kg  0.2  2 kg
s2
2 kg  0.5 kg
m
s2
La ecuación del movimiento del bloque colgante de
masa m2 es:
 Fy  m a

m2 g  T  m2 a
(1)
La ecuación del movimiento del bloque de masa m1
es:
 Fx  m a
b) Para calcular la tensión de la cuerda, se
reemplaza el valor de “a” en (1) o (2):
m2 g
T  m1 g sen   f r  m1 a (2)

La reacción del plano:
 Fy  0

N  m1 g cos
N  m1 g cos   0
(3)
a
fr   N
La fuerza de rozamiento:
(4)
wB
Combinado las ec. (1), (2), (3) y (4) para despejar la
aceleración, se tiene:
mB g  T  mB a
a 
T  mB g  mB a  mB  g  a 
m
m

T  0.5 kg 9.8 2  0.4 2   4.7 N
s
s 

Estudio del plano inclinado.- Un bloque de masa
m1 se sitúa sobre un plano inclinado de ángulo θ.
g (m2  m1 sen   m1 cos  )
m1  m2
b) Movimiento del bloque a lo largo del plano,
hacia abajo:
a
T
N
El bloque está conectado a otro bloque de masa m2
que cuelga de su otro extremo mediante una cuerda
inextensible que pasa por una polea ideal (de
rozamiento y momento de inercia despreciables).
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el
bloque de masa m1 y el plano inclinado es μ.
Estudiar el movimiento del sistema.
T
fr
m g
1
a
m2 g
Física General
- 143 -
La fuerza de rozamiento cambia de sentido. Se
plantea nuevamente las ecuaciones (1), (2), (3) y (4),
dando a las fuerzas el signo positivo aquellas que
son a favor en del movimiento:
c) El bloque de masa m1 está en reposo sobre el
plano inclinado:
T
Entonces:
 m1 g sen 
m2 g  m1 g sen   f r
 0
(2)
m2 g  m1 g sen
En caso de que el resultado de la operación de la
aceleración sea negativo, significa que el movimiento
se realiza en sentido contrario.
N
m2 g
La fuerza de rozamiento es nula para el ángulo θ que
cumple que:
g (m1 sen   m1 cos   m2 )
m1  m2
a 
Si
T = m2 g
fr
Variando el ángulo de inclinación θ del plano
inclinado llega un momento en el que el bloque
empieza a deslizar, en ese momento la fuerza de
rozamiento alcanza su valor máximo:
fr
 N
  m1 g cos 
Ejem. 11.13.- Calcula la aceleración y las tensiones
del sistema de bloques, coeficiente de rozamiento
cinético 0.2.
Datos:
θ = 30º
μk = 0.2
a = ?
m2 g
m g
1
En la figura superior, la componente del peso es
menor que la tensión de la cuerda, la fuerza de
rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva a lo
largo del plano inclinado hacia arriba.
Si
m2 g
Entonces:
 m1 g sen 
m2 g  m1 g sen   f r
T
N
 0
(1)
Solución: Para empezar se averigua el sentido del
movimiento comparando los valores de las
componentes de los pesos en los planos.
T = m2 g
fr
m g
m2 g
1
En la figura superior, la componente del peso es
mayor que la tensión de la cuerda, la fuerza de
rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva hacia
abajo.
De la figura se observa que la masa 4 kg, tiene
mayor componente. El movimiento es de izquierda a
derecha.
- 144 -
Física General
D. C. L. masa de 2 kg
Cálculo de componentes en:
w2 x  m2 g sen 40º
w2 x  (4 kg )(9.8 m / s 2 )( sen 40º )  25.20 N
w2 y  m2 g cos 40º
w2 y  (4 kg )(9.8 m / s 2 )(cos 40º )  30.03 N
Ecuaciones del movimiento:
D. C. L. masa de 4 kg
F
y
0
N 2  w2 y  0
N 2  w2 y  30.03 N
 f k 2   k N 2  (0.2)(30.03 N )  6.01 N
F
x
Cálculo de componentes en:
 ma
w2 x  T  f k 2
 m2 a
(2)
w1x  m1 g sen 60º
w1x  (2 kg )(9.8 m / s 2 )( sen 60º )  16.97 N
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y
(2) y reemplazando los valores:
w1 y  m1 g cos 60º
T  w1x  f k1  m1 a

w2 x  T  f k 2  m2 a
w1 y  (2 kg )(9.8 m / s 2 )(cos 60º )  9.80 N
Ecuaciones del movimiento:
F
y
0
 w1x  f k1  w2 x  f k 2  m1 a  m2 a
a
N1  w1 y  0
N1  w1 y  9.80 N
25.20 N  6.01 N  16.97 N  1.96 N
2 kg  4 kg
m
a  0.04 2
s
a
 f k1   k N1  (0.2)(9.80 N )  1.96 N
F
x
 ma
T  w1x  f k1
 m1 a
(1)
w2 x  f k 2  w1x  f k1
m1  m2
Física General
- 145 LABORATORIO VIRTUAL
Ingresa a educaplus, Dinámica y revisa las siguientes aplicaciones:
MAQUINA DE ATWOOD
DINÁMICA EN UN PLANO INCLINADO
DINÁMICA DE UN MÓVIL CON MOTOR
DINÁMICA DE UN CUERPO EN PLANO INCLINADO
Ingresa A Phet y selecciona la siguiente aplicación.
RAMPA: FUERZAS Y MOVIMIENTO
- 146 -
Física General
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determine la fuerza neta requerida para dar a un
objeto de 4.50 kg una aceleración de 1.50 m/s 2
Resp: 6.75 N
10. Sobre un cuerpo de 300 gr actúan dos fuerzas
perpendiculares de 3 dyn y 4 dyn. Calcular la
aceleración de dicho cuerpo.
Resp: 0.017 cm/s2
2. Un trabajador empuja un cajón y experimenta
una fuerza neta de 100 N. Si el cajón se mueve
con una aceleración de 0.750 m/s2, ¿Cuál es su
peso?
11. En el siguiente sistema, se aplica una fuerza, de
30 N al primer bloque y 10 N al segundo bloque.
Calcular la tensión en la cuerda en Newton.
Desprecie el rozamiento (m1 = m2 = 10 kg).
Resp: 133.33 kp
Resp: 20
3. ¿Cuál es la masa en kilogramos y el peso en
newtons de una persona de 155 lbf?
Resp:
30 N
m1
w = 690 N; m = 70.45 kg
4. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre una objeto de
0.45 kg en caída libre?
Resp: 4.41 N
5. ¿Cuáles son la masa y peso de: a) Un trineo de
1400 lbf y b) de una máquina 421 kg?
Resp: a) 636.36 kg; 6236.36 N; b) 421 kg; 4125.8 N
12. Calcular el módulo de la fuerza F si el bloque se
desplaza hacia la derecha con velocidad
constante de 10 m/s sobre el plano rugoso
(µ = 0.4)
Resp: 17.84 N
10 N
6. Un objeto de 70 kp es elevado con una
aceleración de 3.5 m/s2. ¿Cuál es la tensión en la
cuerda de soporte?
Resp: 95 kp
7. Una fuerza de 400 N se aplica horizontalmente a
un bloque de 50 kg, si el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el piso es de 0.3.
Encontrar la aceleración del bloque
2 kg
F
13. Calcular la aceleración que adquiere el bloque de
2 kg mostrado en la figura (g = 10 m/s2).
Resp: 43.4 m/s2
10 N
100 N
Resp: 5.06 m/s2
8. Calcular la aceleración (en m/s2), si: m = 5 kg,
F1 = 20 N y F2 = 60 N, el plano es liso.
Resp: 8 m/s2
10 N
m2
2 kg
37º
µ = 0.2
14. Calcular la aceleración del cuerpo de 20 kg de
masa. (g = 10 m/s2).
F2
F1
m
Resp: 1.2 m/s2
200 N
9.
Hallar la tensión en la cuerda (en Newton) y la
aceleración del sistema (en m/s2), en la
siguiente figura. Desprecie el rozamiento.
(m1 = 4 kg ; m2 = 6 kg).
37º
20 kg
24 N
µ = 0.5
Resp: 12 y 2
20 N
m1
m2
15. Un automóvil de 1500 kg viaja a una rapidez de
90 km/h a lo largo de una carretera recta de
concreto. Al encarar una situación de emergencia
el conductor mete los frenos y patina para
detenerse. ¿Cuál será la distancia recorrida si el
Física General
coeficiente de rozamiento cinético entre las
ruedas y el concreto es 0.85?
Resp: 37.52 m
16. Un automóvil cuya masa es de 500 kg, puede
alcanzar una velocidad de 100 km/h en un tiempo
de 8 segundos. Calcular la fuerza que ejerce el
motor.
Resp: 1736 N
17. En la figura, la masa M se acelera hacia arriba a
2.40 m/s2 cuando la tensión en D es de 225 N.
¿Cuál es la masa de M?
Resp: 36.88 kg
- 147 20. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un campo
plano. Cuál es la fuerza retardadora constante
necesaria para detener el auto en una distancia
de 30 m.
Resp: 6000 N
21. Un elevador parte del reposo y sube con una
aceleración constante. Se mueve 2 m en los
primeros 0.6 seg. Un pasajero en el elevador
sostiene un paquete de 3 kg. Con una cuerda.
Cuál es la tensión de la cuerda durante la
aceleración.
Resp:
63 N
22. Un cuerpo de 80 kg se desplaza por una pista
horizontal aplicándole una fuerza constante de
100 N. Su fuerza de rozamiento es de 20 N.
Calcula la aceleración que adquiere.
Resp: 1 m/s2
18. Las masas de la figura son, mA = 5 kg y mB = 4
kg, el coeficiente de rozamiento cinético entre el
bloque y la mesa es 0.2. Calcular la aceleración
del conjunto y la tensión de la cuerda.
Resp: 3.27 m/s2; 26.1 N
23. Dos bloques con masas M1 = 4 kg y M2 = 8 kg,
unidos por una cuerda, se mueven por una
superficie horizontal. El rozamiento del primero
con el suelo es despreciable, y para el segundo
el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0.2.
Se aplica una fuerza horizontal F = 50 N al
primer cuerpo.
a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre
cada uno de los cuerpos.
b) Calcula la aceleración de los cuerpos.
c) Determina el valor de la tensión de la cuerda
que los une.
Resp: b) 2.86 m/s2 ; c) 38.56 N
19. Los tres bloques A, B y C de la figura, tienen
masas de 5 kg, 8 kg y 12 kg, respectivamente. Si
la superficie horizontal sobre la que descansa el
bloque B no tiene fricción, y se supone que el
sistema se inicia desde el reposo, ¿cuál es la
aceleración del sistema, las tensiones de las
cuerdas y el tiempo que transcurre antes que el
bloque C haya descendido 4.9 m?
24. Un cuerpo de 100 kg baja por un plano inclinado
45º con una aceleración de 6 m/s2.
a) Calcula la fuerza de rozamiento.
b) El tiempo que tarda en adquirir una velocidad
de 6 m/s si partía del reposo.
c) El espacio que ha recorrido en este tiempo.
Resp: a) 92.96 N;
b) 1 s;
c) 3 m
Resp: 2.74 m/s2; 62.7 N; 84.72 N; 1.89 s
25. Un cuerpo de 25 kg está sujeto a una aceleración
de 8 m/s2. La fuerza que actúa sobre él es la
resultante de dos fuerzas que tienen la misma
dirección. Una de ellas vale 3000 N. ¿Cuánto
vale la otra? ¿Actúan en el mismo sentido?
Resp: 2800 N, son de sentidos contrarios.
- 148 -
Física General
26. Un cuerpo tiene 0.3 y 0.2 de coeficientes de
rozamiento. Aplicamos sobre él una fuerza que
va aumentando paulatinamente hasta que
comienza a moverse y en este momento se
mantiene invariable. Calcula la aceleración del
movimiento de este objeto.
Resp: 0.98 m/s2
27.La masa m1 del sistema de la figura vale 40 kg, y
la masa m2 es variable. Los coeficientes de
rozamiento estático y cinético entre m1 y la mesa
son iguales y valen 0.2. Si el sistema está
inicialmente en reposo.
a) ¿Con qué aceleración se moverá el sistema si
m2 = 10 kg?
b) ¿Cuál es el valor máximo de m2 para el cual el
sistema permanecerá en reposo?
c) Si m2 = 6 kg, ¿Cuál será la fuerza de
rozamiento entre el cuerpo y la mesa? ¿Y la
tensión de la cuerda?
Resp: a) 0.4 m/s2 ; b) 8 kg; c) 58.8 N y 58.8 N
30. A un cuerpo de 50 kg se le aplica una fuerza
constante de 80 N que hace un ángulo de 30
grados con la horizontal (tal y como está
representado en el dibujo). Supone que no hay
fricción con el suelo.
a) Calcula la aceleración que tendrá.
b) ¿Qué fuerza hará el suelo sobre él?
c) Calcula la velocidad del objeto después de
haber recorrido una distancia de 6 m partiendo
del reposo
Resp: a) 1.38 m/s2; b) 540 N; c) 4.06 m/s
31. Un resorte de constante recuperadora k = 50 N/m
y longitud natural l 0 = 2 m está atada al techo de
un ascensor. Si colgamos del extremo libre del
resorte un cuerpo de masa m = 3 kg, ¿Cuál será
la longitud del resorte? Cuando:
a) El ascensor suba con una aceleración igual a
2 m/s2.
b) El ascensor suba con una velocidad constante
Resp: a) 2.708 m; b) 2.588 m
28. Un péndulo está colgado del techo de un coche,
ver figura. El coche arranca con una aceleración
constante de 120 cm/s2 durante 2 minutos.
a) Haz un diagrama de las fuerzas que actúan
sobre la masa del péndulo e indica la dirección y
el sentido de la resultante.
b) Calcula el ángulo que forma el hilo del péndulo
con la vertical.
c) Determina la distancia que ha recorrido el
coche durante los 2 minutos y su velocidad final.
32. El coeficiente cinético de rozamiento entre el
suelo y el bloque de la figura es 0.4. Calcula la
aceleración en cada uno de los casos siguientes
si el bloque tiene una masa de 100 kg.
Resp: a) 3.08 m/s2; b) 3.5 m/s2; c) 0.74 m/s2
700 N
a)
700 N
Resp: a) Horizontal derecha; b) 7º; c) 8640 m y 144 m/s
30º
b)
29. Calcula la aceleración y la fuerza de reacción del
plano sobre el objeto de 20 kg de la figura.
30º
c)
700 N
Resp: 4.9 m/s2; 169.74 N
20 kg
30º
33. Calcula la aceleración y las tensiones de los
siguientes sistemas. Suponga que las cuerdas
son inelásticas y que no hay ningún tipo de
rozamiento con las poleas.
Resp: a) 1.96 m/s2; 94.1 N; b) 2.49 m/s2; 368.7 N; 438.6 N
Física General
a)
- 149 normal que el suelo hace sobre el cuerpo?
Determina el valor del coeficiente de rozamiento
dinámico entre el cuerpo y el suelo.
Resp: 40 N; 331.82 N; 0.12
36. Calcula la aceleración del sistema suponiendo
que no hay fricción con el plano.
b)
Resp: 2.45 m/s2
34. Calcula la aceleración y las tensiones en los
cables de los dos sistemas de bloques a) y b),
suponiendo que no hay fricción.
Resp: a) 4.9 m/s2; 14.7 N; b) 3.92 m/s2; 58.8 N
a)
b)
37. Calcula la aceleración del sistema de la figura
sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre
los bloques y la superficie es de 0.2.
Resp: 0.455 m/s2
38. Calcula el peso P del bloque de la figura si baja
con una aceleración de 0.5 m/s2. El coeficiente
cinético de rozamiento entre el bloque de 2 kg y
el suelo es de 0.1.
Resp: 17.12 N
35. Un cuerpo de masa M = 40 kg está sobre el suelo
horizontal con el cual tiene una fricción.
Aplicamos al cuerpo una fuerza de módulo F =
100 N que forma un ángulo   37º con la
horizontal, y el cuerpo adquiere una aceleración
de 1 m/s2. Haz un esquema con todas las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo. ¿Hay entre estas
fuerzas algún par de acción - reacción? ¿Por
qué? ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total
que actúa sobre el cuerpo? ¿Y el de la fuerza
- 150 -
Física General
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
c) 1 dyn = 105 N
¿Qué relación guarda una fuerza neta aplicada
sobre un objeto y la aceleración que produce?
9.
a) Siempre serán iguales en módulo, dirección y
sentido
b) Siempre serán iguales en dirección y sentido
c) Siempre serán iguales en módulo y sentido
d) Ninguna anterior
2.
¿Tiene sentido en Física realizar la suma de los
vectores fuerza de rozamiento y velocidad?
a) Si, ya que todo vector puede sumarse con
otro
b) Sólo si ambos vectores tienen la misma
dirección
c) Sólo si ambos vectores tienen la misma
dirección y el mismo sentido
d) No, ya que tienen dimensiones distintas
3.
El coeficiente de rozamiento de un objeto con el
plano sobre el que se apoya depende de:
a) El peso del objeto y la inclinación del plano
b) La fuerza normal ejercida por el plano sobre
el objeto
c) Las características físicas de las superficies
del plano y objeto que estén en contacto
d) Del área de contacto
4.
Si frena un bus y yo estoy de pie, tiendo a ir
hacia adelante. Esto es por:
a) La inercia
b) El centro de gravedad
c) La fuerza al frenar es mayor que nuestro peso
d) El roce es muy débil para los pies
5.
La unidad de fuerza Newton es equivalente a:
a) kg m2/s
c) kg m/s2
6.
¿Dónde pesa más un cuerpo?
a)
b)
c)
d)
7.
En la superficie de la Tierra
A 10000 m de altura
En el centro de la Tierra
En la Tierra, a una profundidad de 2000 m
De las siguientes igualdades. Cuál es la
correcta:
a) dyn = g.cm/s²
c) N = kg.cm/s²
8.
b) kg m/s
d) kg cm/s2
b) kg = N.m/s²
d) lbf = lbm.ft/s²
¿Cuál es la igualdad correcta?:
a) 1 kg = 9.8 N
b) 1 kgf = 9.8 N
d) 1 kgf = 9.8 m/s²
La fuerza de rozamiento en un cuerpo en
movimiento es:
a) Perpendicular al movimiento
b) Paralela al movimiento y en sentido contrario
c) Paralela al movimiento y en el mismo sentido
d) Oblicua al movimiento
10. Cuál de las siguientes expresiones es la que
representa la segunda ley de Newton:
a) F = m.g
c) F = m.a
b) F = m/g
d) fk =  k.N
11. Una persona pesa 220 lbf , determine: su peso
en N y su masa en kg.
(1 kgf = 9.8 N y 1 kgf = 2.2 lbf)
a) 890 N y 100 kg
c) 980 N y 100 kg
b) 100 N y 980 kg
d) 900 N y 100 kg
12. El peso de un cuerpo se determina con la
siguiente ecuación:
a) m = w.g
c) w = m.g
b) w = m/g
d) F = m.a
13. Un bloque de 10 kg de masa, tiene una
aceleración de 5.5 m/s². ¿Qué fuerza resultará
al aplicar la segunda ley de Newton?
a) 55 kp
b) 0.55 kp
c) 550 N
d) 55 N
14. Cuál de las siguientes expresiones es
verdadera, para la fuerza de rozamiento
estática:
a) f k =
c) f s =
 s .N
s N
b) f = 0
d) F = m.a
15. La aceleración que adquiere un cuerpo de 35 kg
de masa por la acción de una fuerza de 10 kp
es: (1 kp = 9.8 N)
a) 0.286 m/s²
c) 28 m/s²
b) 0.36 m/s²
d) 2.8 m/s²
16. A dos cuerpos se aplican fuerzas iguales y se
observa que adquieren la misma aceleración.
Los cuerpos tienen en común su:
a) Peso específico
c) Densidad
b) Volumen
d) Masa
Física General
- 151 -
17. Una motocicleta cuya masa es de 450 kg
alcanza una velocidad de 90 km/h al cabo de 5
s de haber arrancado. ¿Cuál es el valor de la
fuerza que ejerce el motor de la motocicleta?
a) 2250 lbf
c) 2250 N
b) 2250 kp
d) 2250 kg
Las preguntas 25 a 27
se
refieren
a
la
siguiente información;
En la figura, la polea no
tiene masa y no hay
rozamiento.
25. La aceleración de las masas es:
18. ¿Qué diferencia existe entre peso y masa?
a) La masa es la cantidad de materia de un
objeto y el peso es una fuerza
b) Que el peso se utiliza para medir masa
c) La masa es lo grande que es un objeto y el
peso es una fuerza
d) No hay diferencia
b) Opuestos
d) N. A.
26. La tensión de la cuerda es:
a) 10.5 N
a) 10.5 m
20. Si la aceleración de un cuerpo se triplica,
entonces:
a)
b)
c)
d)
Su velocidad se triplica
Su abscisa se triplica
Su desplazamiento se triplica
La fuerza que actúa sobre él se triplica
c) 40 m/s
Una velocidad constante hacia arriba
Una velocidad constante hacia abajo
Una aceleración constante hacia arriba
Una aceleración constante hacia abajo
b) g cos θ
c) g tan θ
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
c) 20 m
d) 24.5 m
29. Una persona pesa 80 kp sobre la Tierra
(radio R). ¿A qué altura debe elevarse sobre la
superficie terrestre para que su peso sea de 20
kp?
b) R/2
c) R
d) 2R
30. Un objeto resbala sobre una superficie
horizontal, a causa de un empujón que se le
impartió con una velocidad inicial v0 en la
dirección positiva de las X. Si el coeficiente de
fricción cinética entre el objeto y la superficie es
μk, la aceleración del objeto es:
b) a = - μkmg
d) a = - μkg
31. La tensión T en la cuerda que está atada a la
masa m en la figura es T = mg/2. La
aceleración de la masa m es:
d) g
24. Un bloque de masa 2 kg es empujado sobre
una superficie horizontal de coeficiente de
rozamiento 0.2 por una fuerza horizontal de
10 N. La aceleración del bloque es:
a) 1 m/s2
b) 20.5 m
a) a = - μkm
c) a = -g/μk
23. Un pasajero en un tren nota que las cadenas de
las lámparas del techo hacen un ángulo θ con la
vertical. La aceleración del tren es:
a) g sen θ
d) 30.5 N
d) 60 m/s
22. Un hombre está parado sobre una balanza de
resorte en el piso de un ascensor. Cuando el
ascensor está en reposo, la balanza marca 80
kp. Cuando el ascensor se mueve, la balanza
marca 50 kp. El ascensor tiene:
a)
b)
c)
d)
c) 23.5 N
La suma de las masas
La razón de las masas
Al cuadrado de las masas
Al producto de las masas
a) R/4
b) 20 m/s
b) 20.5 N
28. La fuerza de atracción gravitacional entre dos
masa es proporcional a:
a)
b)
c)
d)
21. Se aplica una fuerza horizontal de 10 N a un
cuerpo de masa de 2 kg con una velocidad
inicial de 20 m/s, situado sobre un plano
horizontal sin rozamiento. La velocidad del
cuerpo después de 8 segundos será:
a) 10 m/s
b) 2.96 m/s2
d) 4.96 m/s2
27. Si las masas parten del reposo, al cabo de 5
segundos cada una de las masas recorre una
distancia de:
19. “Fuerza” y “peso” expresan conceptos:
a) Iguales
c) Todo lo anterior
a) 1.96m/s2
c) 3.96 m/s2
d) 4 m/s2
a)
b)
c)
d)
g/2
g/2
3g/2
g
dirigida hacia arriba
dirigida hacia abajo
dirigida hacia arriba
dirigida hacia abajo
- 152 -
Física General
32. Suponga que existe un planeta que tiene la
mitad de la masa de la Tierra y la mitad de su
radio. En la superficie de ese planeta, la
aceleración de la gravedad es:
41. ¿Cuál es la masa de un cuerpo que por efecto
de 10 N adquiere una velocidad de 5 m/s en 10
segundos desde el reposo?
a) 25 kg
a)
b)
c)
d)
El doble de la de la Tierra
Igual que en la Tierra
La mitad de la Tierra
Un cuarto de la de la Tierra
d) 24 kg
c) 20 kg
d) 30 kg
42. En la figura mostrada, determinar la aceleración
de cada bloque:
33. Si un cuerpo viaja con velocidad constante,
entonces:
a)
b)
c)
d)
Sobré el no actúa ninguna fuerza
Actúa una fuerza constante sobre él
La fuerza resultante que actúa es nula
Existe una fuerza variable que produce el
movimiento
34. Se llama fuerza normal a la fuerza que:
a) Se opone al peso del cuerpo
b) Es ejercida entre dos superficies en
movimiento relativo
c) Es ejercida por la superficie sobre un cuerpo
que está apoyado en ella
d) Corresponde a la reacción del peso
a) 0.5 m/s2
c) 0.125 m/s2
b) 0.25 m/s2
d) 1 m/s2
43. ¿Por qué las fuerzas de acción y reacción no se
anulan?
a)
b)
c)
d)
Tienen sentidos diferentes
Tienen direcciones diferentes
Tienen valores distintos
Están aplicadas en cuerpos diferentes
Las preguntas 44 a 47 se refieren al siguiente
esquema, un bloque A de masa 100 kg está unido a
un peso w como muestra la figura:
35. La fuerza ejercida por una cuerda, sobre un
cuerpo suspendido de ella, recibe él nombre de:
a) Rozamiento
c) Tensión
b) Normal
d) Elástica
36. La unidad S. I. de fuerza es:
a) dina
b) Joule
c) Newton
d) ergio
37. La masa como magnitud fundamental se mide
en el sistema cgs:
a) libra
b) kp
c) gramo
d) utm
38. Cuando se indica, F = m a, hablamos de:
a)
b)
c)
d)
La primera ley de Newton
La segunda ley de Newton
La tercera ley de Newton
La ley de la conservación de la fuerza
39. Calcular la masa de un alumno que pesa 980 N
a) 128 kg
b) 120 kg
c) 102 kg
d) 100 kg
40. Una fuerza de 10 poundal hace que una masa
de 10 lb durante 4 segundos avance 400 pies
¿Con qué velocidad empezó el movimiento de
la masa?
a) 98 pies/seg
c) 99 pies/seg
b) 100 pies/seg
d) 97 pies/seg
44. Si no hay rozamiento y el bloque sube con
velocidad constante, el peso w es:
a) 50 kp
b) 60 kp
c) 75 kp
d) 80 kp
45. Si existe un coeficiente de rozamiento de 0.3 y
el bloque sube con velocidad constante, el peso
w es:
a) 36 kp
b) 84 kp
c) 100 kp
d) 104 kp
46. Si no hay rozamiento y el bloque A baja con
velocidad constante, el peso w es:
a) 0 kp
b) 60 kp
c) 75 kp
d) 80 kp
47. Si existe un coeficiente de rozamiento de 0.3 y
el bloque A baja con velocidad constante, el
peso w es:
a) 0 kp
b) 36 kp
c) 60 kp
d) 84 kp
Física General
- 153 -
48. Una masa “2m” está enganchada a otra masa
“m” a través de una cuerda, como se muestra en
la figura. Una fuerza P actúa sobre la masa m y
acelera el sistema. La fuerza F en la cuerda que
actúa sobre la masa “2m” vale:
a) 2/3 P
b) 0
c) 3/2 P
a) 0.1 N
b) 0.15 N
c) 0.4 N
d) 0.6 N
54. La figura muestra un cuerpo de 70 kg de masa,
sobre una mesa horizontal, unido por una
cuerda a un segundo cuerpo de 50 kg de masa.
Sabiendo que la masa de la cuerda es
despreciable, como todas las fuerzas de
rozamiento, indique el valor de la aceleración del
cuerpo de 50 kg de masa. (g =10 m/s2)
d) 2 P
49. Un hombre que se está pesando dentro de un
ascensor observa que el peso que marca la
báscula es mayor que su peso real.
a) El ascensor se mueve
velocidad decreciente.
b) El ascensor se mueve
velocidad decreciente.
c) El ascensor se mueve
velocidad creciente.
d) El ascensor se mueve
velocidad constante.
hacia arriba con
hacia abajo con
hacia arriba con
hacia abajo con
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
51. Sobre un cuerpo de 5 kg de masa, inicialmente
en reposo, actúa una fuerza resultante
constante de 30 N ¿Cuál es la velocidad del
cuerpo después de 5 s?
a) 5 m/s
b) 6 m/s
c) 25 m/s
d) 30 m/s
b) 6 N
c) 3 N
d) 4 N
53. Dos carritos de 0.1 kg y 0.05 kg de masa,
unidos entre sí, son carritos estirados
horizontalmente por una fuerza de 0.6 N.
Despreciándose los rozamientos, la fuerza sobre
el carrito de mayor masa es:
b) 1100 N
c) 1080 N
d) 890 N
56. Un cuerpo de 4 kg de masa es abandonado en
un plano inclinado con una inclinación de 30°.
No habiendo rozamiento entre el cuerpo y el
plano y considerando g = 10 m/s 2
y la
resistencia del aire despreciable, determine la
aceleración a la que el cuerpo queda sometido.
a) 5 m/s2
b) 1 m/s2
c) 1.5 m/s2
d) 2.5 m/s2
57. Un bloque de 5 kg de masa es arrastrado a lo
largo de un plano inclinado sin rozamiento,
conforme indica la figura. Para que el bloque
adquiera una aceleración de 3 m/s 2 hacia arriba,
la intensidad de F debe ser:
52. Dos bloques, A y B, de 1 kg y 2 kg de masa,
respectivamente, están apoyados sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. Sobre ellos
actúa una fuerza horizontal de 6 N. La fuerza
que el bloque B ejerce sobre el bloque A es:
a) 0
b) 5 m/s2
d) 4.5 m/s2
55. Un ascensor cuyo peso es de 1200 N baja con
una aceleración constante de 1 m/s2.
Admitiendo g = 10 m/s2, se puede afirmar que la
tracción en la cuerda es de:
a) 980 N
50. Un bloque de 5 kg que se desliza sobre un plano
horizontal está sujeto a las fuerzas
F= 15
N, horizontal y hacia la derecha, y f = 5 N,
horizontal y hacia la izquierda. La aceleración
del cuerpo es:
a) 1 m/s2
a) 4.17 m/s2
c) 3.17 m/s2
F
m
Siendo:
senθ = 0.8
cosθ = 0.6
g = 9.8 m/s2
a)
b)
c)
d)
Igual al peso del bloque
Menor que el peso del bloque
Igual a la reacción del plano
Igual a 54.2 N
58. Un bloque de masa “m” es estirado por una
fuerza constante horizontal de 20 N sobre una
superficie plana horizontal, adquiriendo una
aceleración constante de 3 m/s2. Sabiendo que
existe una fuerza de rozamiento entre la
superficie y el bloque, que vale 8 N, calcule “m”.
- 154 -
Física General
a) 5 kg
b) 4 kg
c) 12 kg
d) 16 kg
64. Determinar la aceleración con que desciende el
bloque por el plano inclinado; g = 10 m/s2
59. Dos bloques idénticos, ambos con masa m,
están unidos por un hilo liviano y flexible. Adopte
g = 10 m/s2. La polea es liviana y el coeficiente
de
rozamiento
del
bloque
con
la
superficie 0.2. La aceleración es:
37º
a) 2 m/s2
a) 4 m/s2
b) 6 m/s2
c) 5 m/s2
d) 8 m/s2
60. Calcular la fuerza F si el bloque de 20 kg de una
masa posee una aceleración de 5 m/s 2, la
superficie es lisa.
80 N
a) 20 N
10 N
c) 180 N
d) 80 N
61. ¿Cuál es la aceleración del bloque de 5 kg de
masa? Si: F = 20 N; g = 10 m/s2
c) 4 m/s2
d) 6 m/s2
65. Si el bloque mostrado avanza con aceleración
a = 2 m/s2 (m = 10 kg). Hallar F2
F
b) 100 N
b) 3 m/s2
a) 5 N
b) 10 N
F2
m
c) 15 N
d) 30 N
66. Despreciando la fuerza de rozamiento, ¿cuál es
la aceleración del sistema? (g = 10 m/s2)
4m
F
m
a) 2 m/s2
b) 6 m/s2
c) 8 m/s2
d) 9 m/s2
a) 2 m/s2
62. Hallar la tensión de la cuerda que une los
bloques, si no existe rozamiento; m1 = 9 kg; m2
= 11 kg.
1
b) 34 N
F
c) 38 N
d) 40 N
37º
a) 10 N
B
c) 5 m/s2
b) 8 N
c) 2 N
d) 16 N
68. Un automóvil tiene una masa de 1800 kg y su
velocidad inicial es de 72 km/h. Cuando se frena
se produce una desaceleración constante que
hace que se detenga en 50 segundos. Indique la
fuerza aplicada al automóvil
A
b) 4 m/s2
d) 8 m/s2
m = 1 kg
2
63. Hallar la aceleración de cada bloque: mA = 6 kg;
mB = 4 kg; g = 10 m/s2
a) 2 m/s2
c) 6 m/s2
67. Calcular F, si el bloque sube a razón de “g” m/s 2
(g = 10 m/s2)
60 N
20 N
a) 32 N
b) 4 m/s2
d) 6 m/s2
a) –620 N
c) –600 N
b) –700 N
d) –720 N
Física General
- 155 -
Cap. 11
DINÁMICA II
FUERZAS EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
CONTENIDO:
- 156 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Explicamos y demostramos el movimiento y sus
causas a partir del estudio de las fuerzas aplicadas a
un objeto cuya resultante produce aceleración y
movimiento circular, utilizando las leyes de Newton en
problemas y prácticas de laboratorio, promoviendo a
la investigación en el campo científico.
LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado
por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, dio a entender los fenómenos
físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler.
En 1684 informó que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Redactó estos cálculos en el tratado De Motu y los desarrolló en el libro Philosophiae naturalis
principia mathematica.
La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados
mucho antes.
La gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los
planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Intuyó que a partir de su tercera ley de la dinámica
que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Se
percató que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven
exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”.
Física General
- 157 -
Aceleración centrípeta.- La aceleración centrípeta
es un vector orientado hacia el centro de curvatura.
r
Su valor es directamente proporcional al cuadrado de
la rapidez lineal, e inversamente proporcional al radio
de la curvatura.
Fuerza de reacción
Fuerza centrípeta
Trayectoria
En general habiendo más de una fuerza radial, se
obtiene la resultante de todas las fuerzas radiales
que actúan sobre un cuerpo de masa “m”. No debe
olvidarse que “Fc” es la resultante de todas las
fuerzas radiales:
v 2 R 

 2R
R
R
2
ac 
Fuerza centrípeta.- Llamada
Normal ( Fn ) o Radial.
FC = Fuerzas hacia el centro – fuerzas hacia afuera
también
Fuerza
Es la resultante de todas las fuerzas radiales que
actúan sobre un cuerpo que posee movimiento
circular.
Ejemplos de ésta fuerza centrípeta son: la atracción
gravitacional, la fuerza electrostática o por una
cuerda atada a un cuerpo obligado a girar, incluso en
situaciones de fuerza de fricción.
Para el caso de la partícula que esté sobre el disco
que gira, la fuerza centrípeta es la fuerza de
rozamiento.
Observando el diagrama de cuerpo libre, se plantea
la segunda ley de Newton.
Diagrama de cuerpo libre de un objeto que está
girando.
La Fc en este caso, es la fuerza de rozamiento.
F  m ac  m
v2
R
¿Fuerza centrífuga?- Cuando conducimos un coche
y tomamos una curva muy cerrada notamos que
somos empujados hacia la parte externa de la curva,
como si el coche tendiese a desplazarse hacia
afuera.
m = Masa del cuerpo que gira
v = Velocidad lineal
R = Radio de la circunferencia
Una segunda ecuación para el módulo de la fuerza
centrípeta se obtiene con la relación:
Fc  m
( R) 2
v2
m
R
R

Fc  m  2 R
Parece claro que se produce una fuerza, que recibe
el nombre de fuerza centrífuga. Sin embargo no
existe ninguna causa creadora de esta fuerza ya que
en realidad no es más que la inercia, que tiende a
hacer que el coche prosiga en línea recta sin tomar la
curva.
La fuerza centrífuga está muy presente en nuestras
vidas. Por ejemplo, cuando el compartimiento del
lavarropas gira a varios cientos de revoluciones por
- 158 -
Física General
minuto se seca la ropa en un proceso que llamamos
precisamente centrifugación.
1. Satélite en rotación alrededor de un planeta:
No existe la fuerza centrífuga, simplemente la inercia
hace que el agua tienda a seguir en línea recta y
escapa por las perforaciones del tambor giratorio.
De igual forma las centrifugadoras que funcionan en
los laboratorios separan sólidos de distinta densidad
girando con velocidades muy elevadas.
Cómo resolver problemas de
circular.- Seguir los siguientes pasos:
Ejemplo
D. C. L.
Ecuación
Fatracción  m a c
movimiento
1. Hacer el diagrama de cuerpo libre poniendo todas
las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Sobre el
diagrama también se coloca además la velocidad
tangencial y la aceleración centrípeta (indicar para
dónde apuntan).
2. Balde de agua que gira en un plano vertical.
(en la parte superior)
Ejemplo
D. C. L.
Ecuación
2. De acuerdo al diagrama, plantear la 2da. ley de
Newton para el movimiento circular.
3. Despejar lo que se pide y reemplazar valores y
calcular.
No olvidar:
La fuerza resultante de todas las fuerzas que
actúan sobre un objeto, que se mueve con
movimiento circular uniforme, se llama fuerza
centrípeta y apunta siempre hacia el centro de la
circunferencia.
Ejemplo:
vt
Fc  m ac
vt
R

ac
w

T
w  T  m ac
3. Piedra atada a una cuerda que gira en un
plano horizontal.
Ejemplo
Esquema visto
desde arriba
D. C. L.
Ecuación
Fc  m ac
T  m ac
Cuando se hace girar una piedra en un plano
horizontal, se siente que la piedra jala a la mano, y
está dirigido hacia afuera. Esa es la fuerza que uno
siente
La fuerza que el hilo ejerce sobre su mano apunta
hacia afuera. La fuerza que uno siente sobre la
mano.
¡No es la fuerza que va en el diagrama de cuerpo
libre!
La fuerza que va en el diagrama de cuerpo libre es la
que su mano ejerce sobre la piedra. Esa fuerza sí
apunta para adentro, esta es la fuerza que se llama
fuerza centrípeta.
Fuerza gravitacional.- Newton, llegó a la conclusión
de que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas
a realizar movimientos de rotación alrededor del Sol,
afirmó que el Sol atraía a los planetas, basó sus
estudios en los realizados por Kepler y Galileo. Esta
afirmación se recoge en la llamada ley de la
gravitación universal, cuyo enunciado es:
“Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una
fuerza que es directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa”
Física General
- 159 Para la tensión en la parte inferior:
 Fc
r
T2  m g
G  6.67 10 11
F
m
M
G
=
=
=
=
T2  m  2 R  m g
Mm
r2
F G
N m2
kg 2
T2  67.94 N
Ejem. 11.1.- Una persona hace girar una piedra de
2.3 kg unida a una cuerda de 0.5 m de longitud, en
un plano vertical, con un velocidad constante de 2π
rad/s. ¿Cuál será la tensión en la cuerda cuando la
piedra se encuentra en la parte superior de la
trayectoria? ¿Cuándo se encuentra en la parte
inferior?
Datos:
m = 2.3 kg
ω = 2π rad/s
r = 0.5 m
T1 = ? ( En la parte superior)
T2 = ? ( En la parte inferior)

v
Ejem. 11.2.- Sabiendo que la masa de la Luna es de
7.34x1022 kg y su radio medio de 1.73x10 6 m, calcula
el peso que posee un cuerpo en la Luna si en la
Tierra pesa 50 N.
Datos:
M = 7.34x1022 kg
w = 50 N
R = 1.73x106 m
N m2
G  6.67 10 11
kg 2
w' = ?
w = 50 N
R = 1.73x106 m
Solución:
Si el cuerpo pesa 50 N en la Tierra, su masa será:
mg
T1
m
T2
50 N
w

 5.1 kg
g 9.8 m / s 2
Peso en la Luna:

v
w1  F  G
mg
Solución:


m R  m g
T1

m ( 2 R  g )
T1

2.3 kg (2  rad / s ) 2 (0.5 m)  9.8 m / s 2
T1

22.86 N
r2
 6.67 10 11
7.34 10 22 kg  5.1 kg
1.73 10 m
6
2
Los objetos en la Luna pesan aproximadamente 1/6
de lo que pesan en la Tierra.
v2
Fc  m
R
T1  m g  m  2 R
T1
Mm
w1  8.34 N
En la parte superior, se tiene:
2

 m ( 2 R  g )

rad 2
m
T2  23 kg 4 2 2  0.5m  9.8 2 
s
s 

Fuerza (N)
Masa del segundo cuerpo (kg)
Masa del primer cuerpo (kg)
Constante gravitacional
m
v2
R
 m2 R
 m

Ejem. 11.3.- Se hace girar un objeto atado a una
cuerda en un plano vertical. Cuando se encuentra en
el punto “A” tiene una velocidad de 15 m/s, en “B”
tiene una velocidad de 20 m/s y en “C”, 25 m/s.
Calcular la tensión de la cuerda en A, B y C,
sabiendo que la masa del objeto es 5 kg y el radio de
giro es 3 m.
- 160 -
Física General
Datos:
vA = 15 m/s
vB = 20 m/s
vC = 25 m/s
m = 5 kg
r = 3m
Incógnitas:
TA = ?
TB = ?
TC = ?
D. C. L.
A
w
TA
TB
B
R
w
TC
TC  m
 v2

v2
 m g  m   g 
R
R

 625 m 2 / s 2

TC  5 kg 
 9.8m / s 2   1090.65 N
3
m


Ejem. 11.4.- Una esfera de masa 1.5 kg, se
encuentra sujeta a una cuerda de longitud igual a 2
m, se hace girar en un círculo horizontal a rapidez
constante, sabiendo que la cuerda forma un ángulo
de 30º con la vertical, calcular la rapidez de la esfera.
Datos:
m = 1.5 kg
l =2m
θ = 30º
v =?
D. C. L.
C
w
l

Fc
 m
TA  m g
TA
TA
TA
v2
R
 m
R
v2
R
 v2

 m  g 
 R



2
 15 m / s 

 5 kg 
 9.8 m / s 2 
 3 m

 326 N
En el punto B:

 m
La segunda ley de Newton en el eje X:
 Fx
Tx
 m ac
 m
T sen30º
v2
R
 m
 m
v2
l sen30º
v2
l sen30º
(1)
En el eje Y existe equilibrio:
v2
R
TB
v2
 m
R
TB
 5 kg
TB
 666.67 N
 Fy  0
Ty  m g  0
T cos 30º  m g
20 m / s 2
(2)
Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones:
3m
T sen30º
 m
v2
l sen30º
T cos 30º  m g
En el punto C:
v2
 FC  m
R
m
Tx
v2
 m mg
R
Fc
Ty
T
En el punto A:

v2
TC  m g  m
R
tag 30º

v2
g l sen30º
Física General
- 161 -
v
g l sen30º tg 30º
b) Curva con peralte: Consideremos ahora el caso
de que la curva tiene un peralte de ángulo θ.
v
9.8 m / s 2 msen30º tg 30º   2.38 ms
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las
mismas que en el caso de la curva sin peralte, pero
con distinta orientación salvo el peso.
2
Movimiento de un vehículo en una curva.- Ahora
vamos a describir la dinámica del movimiento circular
de un vehículo que describe una curva sin peralte.
Peralte: Es el ángulo formado por la plataforma de
una curva con la horizontal
a) Curva sin peralte: Un automóvil describe una
trayectoria circular de radio R con velocidad
constante v.
Las fuerzas que actúan sobre el móvil son:
v
N
an
fs
R
En el eje vertical no hay aceleración, se tiene una
situación de equilibrio:
mg
N cos   f s sen   m g
Existe equilibrio en sentido vertical la reacción del
plano es igual al peso:
No existe equilibrio en el sentido radial. Aplicando la
segunda ley de Newton:

v2
Fn  m
R
N
La rapidez máxima v que puede alcanzar:
s N  m
v2
R


fs  m
v2
R
s m g  m
v  s g R
Fn  m
v2
R

N sen   f s cos   m
N sen    s N cos   m
A medida que se incrementa la velocidad v, se
incrementa la fuerza de rozamiento fs hasta que
alcanza un valor máximo dado por el producto del
coeficiente de rozamiento estático por la reacción del
plano:
 Fn  m a n
(1)
En el eje horizontal, aplicamos la segunda ley de
Newton para el movimiento circular uniforme:
N  mg
Fn  m a n
N cos    s N sen   m g
v2
R
v2
R
v2
R
(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) para v:
 sen    s cos  

v  g R

cos



sen

s


El ángulo ideal del peralte para una curva de radio
(R), y una velocidad (v) es:
tan  
v2
gR
La fuerza de rozamiento se toma como coeficiente de
seguridad para que el automóvil pueda dar la curva
con suavidad y seguridad.
- 162 -
Física General
LABORATORIO VIRTUAL
-
Ingresa a Educaplus. En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de dinámica
Seleccione las siguientes actividades que se encuentra y compruebe los conocimientos teóricos adquiridos.
DINÁMICA DEL COLUMPIO
FUERZAS EN EL GIRO DE UN COCHE
FUERZAS EN EL GIRO DE LOS SATÉLITES
-
LANZAMIENTO DE MARTILLO
Ingresa a Phet. En la barra que aparece hacer clic en física. Luego click en la pestaña de dinámica
Seleccione la siguiente actividad, descargue o trabaje en lìnea.
FUERZA DE GRAVEDAD
Física General
- 163 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una masa de 0.30 kg está fija a una cuerda de
20.0 cm de longitud cuyo extremo adicional está
fijo a su vez al centro de una mesa horizontal en
la que no hay fricción. Si la tensión de la cuerda
es de 3.00 N. ¿Cuál es la velocidad angular de la
mesa y la cuerda?
Resp: 7.07 rad/s
2. Una masa de 20 kg describe una trayectoria
circular de radio 2 m, con una rapidez constante
de 15 m/s. Calcular la fuerza que la mantiene esa
trayectoria.
Resp: 2250 N
3. Un automóvil de masa 900 kg, va a describir una
curva sin inclinación cuyo radio es 30 m. si el
coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y
la calle vale 0.5. Calcular el valor de su velocidad
máxima para que pueda dar el giro sin volcarse.
Resp: 12 m/s
4. Una curva en una carretera está peraltada a un
ángulo de 15º. El radio de la curva es 100 m. ¿A
qué velocidad debe viajar un automóvil para que
la fuerza entre llantas y pavimento sea
exactamente perpendicular al pavimento?
Resp: 16.2 m/s
5. Una masa de 0.60 kg está girando en un plano
vertical en el extremo de una cuerda de 1.00 m de
longitud. ¿Cuál debe ser la velocidad de la masa
en la cúspide del círculo para que la tensión de la
cuerda sea entonces 2.50 N? Si la única fuerza
que actúa en el sistema es la gravedad, ¿cuál es
la tensión en la cuerda cuando hace un ángulo de
180º con la dirección anteriormente mencionada?
Resp: 3.74 m/s; 14.26 N
6. ¿Cuál es el ángulo ideal de aperaltamiento para
una curva de 250 m de radio, para que los
vehículos circulen a 80 km/h?
Resp: 11.4º
7. Una curva cuyo radio es de 300 m está
aperaltada en un ángulo de 15º. ¿Cuál es la
velocidad óptima para tomar esta curva?
Resp: 101 km/h
b) En el punto más alto de la trayectoria.
c) En el punto medio de la trayectoria.
Resp: a) 2162 N, b) 2102 N, c) 2132 N
9. Un cuerpo de 500 g atado a una cuerda de 0.5
metros de longitud da vueltas con velocidad
constante en un plano horizontal. El sistema
forma un péndulo cónico de ángulo constante de
60º con la vertical. Calcula:
a) La tensión de la cuerda.
b) La velocidad lineal del cuerpo.
c) El ángulo que forman el vector velocidad y el
vector aceleración.
Resp: a) 9.8 N ; b) 2.71 m/s ; c) 90º
10.- Una partícula atada a una cuerda de 50 cm de
longitud gira como un péndulo cónico. Calcular
La velocidad angular de rotación de la masa
puntual para que el ángulo que forma la cuerda
con la vertical sea de 60º
Resp: 6.26 rad/s
11. Un coche entra en una curva de radio 20 m a 10
m/s y pretende mantener la rapidez constante.
Calcula cuál debe ser el coeficiente de
rozamiento para que el coche no derrape y se
salga de la carretera.
Resp: 0.5
12. Una piedra de 0.2 kg, sujeta a una cuerda
describe un círculo de 75 cm de radio en un
plano vertical. La tensión de la cuerda en el
punto más alto es 9 N.
a) Calcula la fuerza centrípeta y la velocidad de
la piedra en el punto más alto.
b) Averigua si se romperá la cuerda sabiendo
que la velocidad en el punto más bajo es de 10
m/s y que la tensión máxima que puede soportar
es de 30 N.
Resp: a) 10.96 N; 6.4 m/s ; b) No se rompe: T = 28.63 N
13. Un pequeño bloque de 1 kg de masa está atado
a una cuerda de 0.6 m, y gira a 60 r.p.m.
describiendo
una
circunferencia
vertical.
Calcular la tensión de la cuerda cuando el
bloque se encuentra:
a) En el punto más alto de su trayectoria.
b) En el más bajo de su trayectoria.
Resp: a) 13.9 N; b) 33.5 N
8. Un cuerpo de 3 kg está atado al extremo de una
cuerda de 2 m de longitud y gira en un plano
vertical, haciendo 90 vueltas en medio minuto,
siempre con la misma velocidad. Calcula la
tensión que soporta la cuerda:
a) En el punto más bajo de la trayectoria.
- 164 -
Física General
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1.
¿Qué fuerza es responsable de que la Luna gire
alrededor de la Tierra?
a)
b)
c)
d)
7.
La gravitatoria entre la Luna y el Sol
No es necesaria ninguna fuerza
El peso de la Luna
La gravitatoria entre la Luna y la Tierra
a) Fuerza de rozamiento b) Fuerza centrípeta
c) Fuerza centrífuga
d) Fuerzas circular
8.
2.
¿Qué fuerza centrípeta actúa sobre un móvil de
800 kg al dar una curva de 50 m de radio con
una velocidad de 20 m/s?
a) 64000 N
c) 8 000 N
3.
4.
b) 5600 N
d) 6400 N
b) 15 m/s
c) 20 m/s
d) 25 m/s
Una masa viaja en una trayectoria circular a
rapidez tangencial constante. Por lo que:
Una masa m ejecuta un movimiento circular
uniforme. El vector velocidad angular se dirige
hacia arriba (hacia afuera del papel). La
dirección de la velocidad tangencial y
aceleración respectivamente se muestra en la
figura.
v

a
a
A
a) A
6.
a
v


v
B
C
b) B
c) C
D
d) D
Un niño de 25 kg sentado en un carrusel a 9 m
del eje de giro, se está moviendo con velocidad
tangencial de módulo 3 m/s. ¿Cuál es el módulo
de la fuerza radial actuante sobre el niño?
a) 50 N
b) 25 N
c) 30 N
d) 35 N
9.
b) 24 N
c) 10 N
d) 8 N
Un automóvil de 1000 kg de masa recorre, con
una rapidez de 20 m/s, un trecho circular de 80
m de radio, en una carretera plana horizontal. El
mínimo coeficiente de rozamiento entre los
neumáticos y la pista, para que las ruedas no
patinen, debe ser:
a) 1.0
b) 0.8
c) 0.5
d) 0.2
10. Un móvil recorre una circunferencia con el
módulo de su velocidad constante; ¿es cierto
que sobre el móvil?
a) La aceleración de la masa es cero
b) La aceleración se dirige hacia afuera del
centro de la trayectoria circular
c) La aceleración se dirige hacia el centro de
la trayectoria circular
d) La velocidad de la masa es constante
5.
Un cuerpo de 2 kg de masa en movimiento
circular uniforme y de 3 m de radio, lleva π
segundos para describir una vuelta completa en
la circunferencia. La fuerza centrípeta que actúa
en el cuerpo es:
a) 12 N
¿Qué velocidad mínima requiere, en la parte
superior de su trayectoria, una partícula que
efectúa un movimiento circular en un plano
vertical de radio igual a 40 m? (g = 10 m/s2)
a) 10 m/s
¿Qué nombre recibe la fuerza que es preciso
aplicar a un cuerpo para que siga una
trayectoria circular?
a) No actúan fuerzas
b) No existe aceleración
c) Actúa una fuerza que es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad
d) Existe
una
aceleración
directamente
proporcional al radio de la trayectoria
11. Sabiendo que la máxima aceleración que
aguanta el organismo humano en condiciones
normales es de “9g”, la máxima velocidad con la
que puede salir de un rizo de 1000 m de radio,
un
piloto
de
acrobacia
aérea,
será
aproximadamente en m/s: (Tomar g = 10 m/s 2)
a) 100
b) 212
c) 300
d) 400
Física General
Cap. 12
TRABAJO Y POTENCIA EN
PROCESOS TECNOLÓGICOS
CONTENIDO:
- 165 -
- 166 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECIFICO:
Valoramos las variables del movimiento ejercido por
las fuerzas mecánicas, estudiando, analizando y
discutiendo las características y propiedades del
trabajo mecánico y la potencia para el desarrollo y
generación de elementos en todos los campos
pertinentes de la producción, en beneficio de la salud,
la economía y la cultura de nuestro país.
TRABAJO Y POTENCIA MECÁNICA
Los cambios en el movimiento de los objetos están relacionados con la fuerzas y con el tiempo durante el
cual se ejercen. Pero también es importante considerar la fuerza con la distancia y es cuando se habla de
una cantidad denominada trabajo.
Este término tiene un significado en Física muy diferente a su significado cotidiano. Posteriormente se plantea
la relación energía-trabajo. También se define el concepto de potencia que relaciona el trabajo y el tiempo.
Finalmente se concluye con los aspectos más importantes de la energía mecánica en particular porque
representa la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema y que se mantiene
constante en todos los puntos de una trayectoria.
No siempre que se aplica una fuerza sobre un cuerpo, se realiza trabajo mecánico, pues para lograr un
cambio en la energía del objeto es necesario que el objeto se desplace en la dirección en que se aplica la
fuerza. Por ejemplo, si se empuja una pared y ésta no se desplaza, no se ha hecho trabajo mecánico y no se
modifica su energía por más que la persona que empuja se esfuerce.
El trabajo mecánico también aparece al estirar o comprimir un resorte, ya que para hacerlo es necesario
aplicar una fuerza opuesta a la que ejerce el cuerpo elástico y lograr la deformación de la liga o resorte. Por
ejemplo, una persona estira la cuerda de un arco para lanzar una flecha haciendo trabajo para deformarla. El
trabajo mecánico consiste en deformar la cuerda, y como consecuencia ésta aumenta la energía potencial del
receptor, que en este caso es la persona que desea lanzar la flecha. Cuando se utilizan ligas y resortes, su
deformación es la medida del trabajo mecánico que se ha realizado.
Física General
- 167 -
Concepto de trabajo.- Haciendo un resumen de
nuestros conocimientos de física, nos damos cuenta
que se requiere una fuerza para:
b) Si la fuerza es perpendicular al movimiento
(θ = 90º)
Ejem. La fuerza normal
-
Cambiar la velocidad de un objeto.
Para vencer el rozamiento.
Para comprimir o estirar un resorte.
Para moverse en contra de la gravedad.
movimiento
En todos los casos se debe realizar un trabajo.
El trabajo mecánico es la capacidad que tienen
las fuerzas para producir movimiento venciendo
una resistencia, sea otra fuerza o la inercia de un
cuerpo.
Trabajo realizado por una fuerza constante (W).El trabajo comprende fuerza y desplazamiento:
El trabajo (W) realizado por una fuerza constante
(F) al mover un objeto es igual al producto de las
magnitudes del desplazamiento (x) y la
componente
de
la
fuerza
paralela
al
desplazamiento.
cos 90º = 0
W  F x cos 90º  W  0
(Trabajo nulo)
c) Si la fuerza se encuentra en sentido contrario
al movimiento (θ = 180º)
Ejem. Fuerza de rozamiento
FY
movimiento
FX
cos180 º = –1
El trabajo es una magnitud escalar y resulta del
producto escalar de los vectores fuerza y
desplazamiento.
W  F x cos180º  W  F x
(Trabajo negativo)
W
 Fx
 F x cos
Casos particulares.- El trabajo es una magnitud
escalar, y su valor puede ser positivo, negativo o
nulo, dependiendo del ángulo formado entre la
fuerza y el desplazamiento efectuado.
Trabajo necesario para elevar un objeto.- Para
elevar un objeto hasta una altura (h), se debe aplicar
una fuerza dirigida hacia arriba cuyo valor mínimo
debe ser igual al peso (w) del objeto que se va a
trasladar.
a) Si la fuerza se encuentra en sentido del
movimiento (θ = 0º)
h
cos 0º = 1
W  F x cos 0º  W  F x
(Trabajo positivo)
movimiento
movimiento
- 168 -
Física General
El desplazamiento del objeto, se llama en este caso
altura (h); el ángulo entre F y h es de 0º, con lo cual
se tiene:
W
 F x cos
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A,
es cero:
WABA
 wh cos 0º
W  wh  m g h
El trabajo necesario para elevar un objeto, es igual al
producto del peso del objeto por la altura.
Trabajo neto.- Llamado también trabajo total, es la
suma algebraica de los trabajos realizados por cada
una de las fuerzas de manera independiente.
b) Trabajo realizado por una fuerza no
conservativa (fuerza disipativa).- La fuerza de
rozamiento es una fuerza no conservativa, cuando
la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la
fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el
trabajo es negativo porque la fuerza es de signo
contrario al desplazamiento.
movimiento
n
Wneto  WFR

 0
Wi
A
B
i 1
x
Fuerzas conservativas.- El trabajo realizado por
estas fuerzas no depende de la trayectoria seguida,
sino solamente de la posición inicial y posición final.
Ejemplos de estas fuerzas son las
gravitatorias, eléctricas y elásticas.
movimiento
A
fuerzas
B
Fuerzas no conservativas.- El trabajo realizado por
estas fuerzas depende de la trayectoria seguida.
x
WAB  f k x cos180º   f k x
Ejemplos de estas fuerzas son las fuerzas de
rozamiento.
WBA  f k x cos180º   f k x
a) Trabajo realizado por una fuerza conservativa.El peso es una fuerza conservativa, calculemos el
trabajo total.
B
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A,
es distinto de cero:
B
WABA
  2 fk x
Unidades de trabajo.- En el sistema internacional
se llama Joule (Julio) y se obtiene a partir de la
fuerza que está dada en Newtons (N), y el
desplazamiento en metros (m).
A
A
Trabajo realizado de A a B (Ascenso):
WAB  m g x cos180º  m g x
Trabajo realizado de B a A (Descenso):
WBA  m g x cos 0º  m g x
S.
c. g. s.
S. I.
ergio
( erg )
Julio
(J)
=
dyn*cm
=
N*m
Sistema
Técnico
Inglés
Inglés
Técnico absoluto
kilopondímetro libra-pie poundal( kpm )
( lbf. ft )
pie
( pdl.ft )
=
=
=
kp*m
lbf *ft
pdl*ft
Física General
- 169 -
El Joule es el trabajo realizado por una fuerza de
1 N al producir un desplazamiento de 1 m en la
dirección de la fuerza.
1 J = 107 erg.
1 J = 0.102 kpm
1 kpm = 9.8 J
1 lbf.ft = 32.2 pdl.ft
1 lbf.ft = 1.36 J
1 kpm = 9.8x107 erg
Potencia (P).- Una tarea determinada puede requerir
de una cierta cantidad de trabajo, pero que puede
realizarse en diferentes intervalos de tiempo o a
velocidades diferentes.
Por ejemplo, suponga que usted tiene que cortar un
prado, pero puede hacerlo en media hora, o puede
dedicarle una o dos horas.
No sólo es importante la cantidad de trabajo
realizado, sino también con qué rapidez se realiza.
La potencia es una magnitud de tipo escalar que
nos indica la rapidez con que una máquina o un
sistema de fuerzas realizan un trabajo.
La potencia media es el trabajo realizado dividido
entre el tiempo que toma hacerlo, o sea, el trabajo
por unidad de tiempo:
P
El Watt es una unidad muy pequeña, por eso, a
veces se utilizan otras unidades mayores:
kilowatt ( kW )
1 kW = 1000 Watt
Caballo fuerza ( HP)
1 HP = 746 Watt
1 HP = 550 lbf.ft/s
Caballo vapor ( CV )
1 CV = 735.5 Watt
1 CV = 75 kpm/s
El kilowatt-hora.- Es una unidad de trabajo y
energía, corresponde a la potencia que desarrolla
una máquina de 1 kW durante 1 hora:
1 kW-h = (1 kW)(1 h) = (1000 W)(3600 s)
1 kW-h = 3.6x106 J
Eficiencia o rendimiento (η).- La eficiencia
mecánica es en esencia una medida de lo que se
obtiene a partir de lo que se invierte, esto es, el
trabajo útil generado por la energía suministrada.
La eficiencia ( η ) está dada por:
W
t
Si la fuerza es constante:
P
W Fx

 Fv
t
t
P  Fv


Donde se considera que F está en la dirección del
desplazamiento. Aquí v es la velocidad media o la
velocidad constante.
Unidades de potencia.- A partir de la fórmula
principal, se obtienen las unidades.
S.
c. g. s.
S. I.
Sistema
Técnico
erg/s
( Watt)
kpm/s
Inglés
Inglés
Técnico absoluto
lbf.ft/s
Wsalida
*100%
Wentrada
Ejem. 12.1.- Sobre un móvil se aplica una fuerza de
5 N durante un tiempo en el cual el móvil se
desplaza 6 m. Calcula el trabajo efectuado por esa
fuerza, si el ángulo entre ambos vectores es de 60º.
Soluciòn:
pdl.ft/s
W = 5 N× 6 m× cos 60º = 30 J (0.5) = 15 J
W = J/s
1 Watt es la potencia que se desarrolla al realizar
un trabajo de 1 joule en cada segundo
1 Watt = 107 erg /s
1 lbf.ft /s = 32.2 pdl.ft /s

PU
. .
*100%
P.E
1 kpm/s = 9.8 Watt
1 lbf.ft /s = 1.36 Watt
Ejem. 12.2.- Una caja de libros que pesa 8.25 kp se
levanta del piso hasta una mesa de 0.85 m de altura.
¿Cuánto trabajo se hace al levantar la caja?
Datos:
w = 8.25 kp
W = ?
h = 0.85 m
- 170 -
Física General
Solución: Para elevar un objeto se debe aplicar una
fuerza hacia arriba que debe ser igual al peso del
mismo:
W = F x = w h = 8.25 kp * 0.85 m = 7.01 kpm
Ejem. 12.3.- Una grúa tira de un automóvil a
velocidad constante usando un cable de acero. Al
jalar el auto a una distancia de 1.4 km, la grúa
efectúa un trabajo de 1.12x106 J. ¿Cuál es la tensión
en el cable?
Datos:
x = 1.4 km = 1400 m
W = 1.12x106 J
T = ?
Ejem. 12.6.- Una persona arrastra un cuerpo sobre
una superficie horizontal, haciendo una fuerza
F
= 10 N, inclinada 30º respecto a la horizontal. La
fuerza de rozamiento entre el cuerpo y la superficie
vale 2.5 N y el cuerpo se desplaza 4 m. ¿Cuánto vale
el trabajo realizado?
Datos:
F = 10 N
α = 30º
fk = 2.5 N
x =4m
W=?
Solución: En este caso se pide calcular la fuerza
aplicada al automóvil, que es la tensión del cable.
W T x

T
W 1.12  106 J

 800 N
x
1400 m
Trabajo realizado por la persona:
Wp = F x cos 30º = (10 N)( 4 m ) (0.866) = 34.64 J
Ejem. 12.4.- Un albañil empuja a lo largo de 20 m,
sobre una superficie horizontal, una carretilla de 51
kg empleando una fuerza de 39.2 N. Calcular el
trabajo que realiza el albañil.
Datos:
x = 20 m
m = 51 kg
F = 39.2 N
W = ?
Trabajo realizado por el peso del cuerpo:
Solución: El peso de la carretilla no realiza trabajo
porque
es
una
fuerza
perpendicular
al
desplazamiento (90º); en cambio la fuerza aplicada
por el albañil forma 0º con el desplazamiento
Idem:
W = F.x.cos θ = (39.2 N)(20 m)(cos 0º) = 784 J
Ww = w x cos 90º = 0
Porque: ( cos 90º = 0 )
Trabajo realizado por la fuerza normal:
WN = N x cos 90º = 0
( cos 90º = 0 )
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:
Wf = fk x cos 180º = (2.5 N)( 4 m )(–1 ) = –10 J
Trabajo resultante de todas las fuerzas:
Ejem. 12.5.- Una persona estira una caja con una
fuerza constante de 90 N con un ángulo de 40º con la
horizontal, ¿cuánto trabajo realizará al estirar una
distancia horizontal de 7.50 m?
Datos:
F = 90 N
θ = 40º
x = 7.50 m
W = ?
Wtotal = Wp + Ww + WN + Wf
W = F x cos θ = (90 N)(7.50 m)(cos 40º)
Solución:
W = 517.08 J
W = wh = mgh
Wtotal =
34.64 J + 0 + 0 – 10
= 24.64 J
Ejem. 12.7.- Una grúa levanta una carga de 500 kg
hasta una distancia vertical de 20 m. Si la rapidez de
la carga es constante, ¿cuánto trabajo se hace al
levantarla?
Datos:
m = 500 kg
h = 20 m
W = ?
W = (500 kg)(9.8 m/s2)(20 m) = 98000 J
Física General
- 171 -
Ejem. 12.8.- Un motor tiene una salida de potencia
neta de 0.5 HP
a) ¿Cuánto trabajo en Joules puede hacer en 3
minutos?
b) ¿Cuánto tiempo le toma a cada motor hacer
56000 julios de trabajo?
Datos:
P = 0.5 HP x 746Watt = 373 Watt
1HP
t = 3 min = 180 s
W = 56000 J
a) W = ?
b) t = ?
Solución: El trabajo realizado es:
W  F x cos  500 kp1000 mcos 0º 
Solución:
a)
Ejem. 12.10.- Una locomotora de un tren de viajeros
ejerce una de fuerza de 500 kp sobre el tren,
mientras lo arrastra sobre una vía horizontal a la
velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto trabajo realiza la
locomotora en un recorrido de 1 km? ¿Cuál es la
potencia desarrollada por la locomotora?
Datos:
F = 500 kp
v = 40 km/h = 11.11 m/s
x = 1 km = 1000 m
P =?
W  5 10 5 kpm
P = W/t
W = P.t
La potencia desarrollada:
W = (373 Watt)(180 s) = 67140 J
b)
P = W/t
t = W/P
P  F v  500 kp11.11 m / s   5555
t = (56 000 J) / (373 Watt) = 150 s
P  5555
Ejem. 12.9.- Una máquina con una eficiencia del 40
% tiene un ingreso de potencia de 600 Watt. ¿Cuánto
trabajo puede hacer la máquina en 30 s?
Datos:
η = 40 % = 0.40
P. E. = 600 Watt
t = 30 s
Wque sale (trabajo generado) = ?
Solución: Dada la eficiencia y el ingreso de
potencia, es fácil encontrar la potencia (P.U.):
P.U . 

Wsalida
t
(1)
P.U .
 P : U :   P.E. (2)
P.E.
Reemplazando la ec. (1) en ec. (2):
Wsalida
   P.E.  Wsalida    P.E  t
t
Wsalida    P.E  t  0.40  600W  30 s  7200 J
kpm
s
kpm 1 CV

 741 CV
kpm
s
75
s
Ejem. 12.11.- Una cortadora de césped de
autopropulsión, libera una potencia de 3.5 HP
cuando se mueve a una velocidad constante de 1.5
pies/s.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza propulsora?
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de rozamiento?
¿Cuánto trabajo se realiza cada minuto?
Datos:
P = 3.5 HP
v = 1.5 ft/s
x = 1 km = 1000 m
a) F = ?
b) fk = ?
c) W = ?
Solución:
a) La potencia se transforma a unidades del sistema
inglés:
P  3.5 HP *
550lbf ft / s
1 HP
 1925lb f ft / s
Partiendo de la potencia:
P  Fv
 F
F  1283 lb f
P 1925 lb f ft / s

v
1.5 ft / s
- 172 -
Física General
b) El conjunto se encuentra en equilibrio; lo que
significa que la fuerza de rozamiento tiene igual
magnitud pero de sentido contrario a la fuerza
propulsora: fk = –1283.3 lbf
c) El trabajo es:
P
W
t
 W  P  t  1925
lb f ft
s
 60 s
P  115500 lb f ft
Ejem. 12.13.- Un bloque cuya masa es de 5 kg es
empujado por una fuerza horizontal de 50 N, como
se muestra en la figura. Hallar el trabajo total
realizado, sabiendo que el coeficiente de rozamiento
es 0.2 y la distancia recorrida es de 3.5 m
Datos:
F = 50 N
m = 5 kg
μk = 0.2
x = 3.5 m
Wtotal = ?
Ejem. 12.12.- Un ascensor de 1500 kg acelera hacia
arriba con un valor constante de 0.5 m/s2. ¿Cuánta
potencia se desarrolla durante el tiempo en que la
rapidez del elevador va de 0.25 m/s a 0.75 m/s?
Datos:
m = 1500 kg
a = 0.5 m/s2
v0 = 0.25 m/s
v = 0.75 m/s
P = ?
Solución:
Para determinar la potencia del elevador, se necesita
conocer la fuerza aplicada hacia arriba, que en éste
caso no es el peso, puesto que existe aceleración;
entonces se aplica la segunda ley de Newton:
Trabajo de F:
WF  F x cos 35º  50 N  3.5 m  cos 35º  143.35 J
Trabajo de N:
ΣF = m a
WN  N x cos 90º  N  x  (0)  0
F– w = ma
Trabajo de fk:
F– mg = ma
W fk  f k x cos 180º   k N  x (1)
F = m g + m a = m (g + a)
2
W fk   k m g cos 35º  x (1)
2
F = 1500 kg (9.8 m/s + 0.5 m/s )


F = 15450 N
W fk   0.2  5 kg  9.8 m / s 2 cos 35º  3.5 m  28.10 J
La velocidad media es:
Trabajo del peso w:
v

vo  v
2

0.25m / s  0.75m / s
2
 0.5 m / s
La potencia es:
P  F v  (15450N )(0.5 m / s)  7725W atts
Ww  w x cos(35º 90º )  m g x cos(125º )
Ww  5 kg  9.8 m / s 2  3.5 m cos125º  98.37 J
El trabajo total es: WTOTAL   Wi 16.888 J
Física General
- 173 LABORATORIO VIRTUAL
TRABAJO MECÁNICO
1. Objetivo general:
-
Aplicar los conceptos de trabajo y potencia.
2. Objetivos específicos:
-
Observar la variación del trabajo de rozamiento en función del desplazamiento de un objeto considerado como
partícula.
Observar la variación del trabajo de una fuerza externa aplicada a un objeto en función al desplazamiento.
Calcular la potencia que desarrolla la cuerda al mover la masa.
3. Fundamento teórico:
Trabajo: El trabajo es igual a la fuerza aplicada para mover un objeto multiplicada por la distancia a la que el objeto
se desplaza en la dirección de la fuerza.
Potencia: La potencia mide la rapidez con que se realiza ese trabajo. En términos matemáticos, la potencia es
igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efectúa dicho trabajo.
En cuanto a fórmulas, el trabajo y la potencia se pueden obtener de tres maneras:
W = F x cos θ
P = W/t
P=Fv
Veamos los diagramas de fuerza:
N
T
fk
M
T
m
Mg
Tensión T entre los bloques M y m:
mg  T  ma

T  f k  Ma
Velocidad media: v 

 mg  T  ma

T   k Mg  Ma

T
g m M (1   k )
mM
x
t
Trabajo de rozamiento: W fk  f k x cos 180º   f k x
Trabajo de la tensión: WT  T x cos 0º  T x
4. Material:
-
Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet.
Construir una simulación para el trabajo realizado por una fuerza externa.
Cronómetro
- 174 -
Física General
5. Procedimiento:
1. Haga doble click con el botón izquierdo encima del bloque M, del cuadro que despliega anote las
características del mismo: Masa, coeficientes de rozamiento estático y cinético.
2. Mida la masa del bloque (m) haciendo doble click izquierdo, y haga correr el programa, intente hasta que el
bloque (M) empiece a moverse por la superficie de la mesa.
3. Marque en la mesa las distancias que se indican en la gráfica del experimento y haga resbalar al bloque por
la mesa mediante la pesa.
4. Anote los datos en la tabla el tiempo que tarda la masa en recorrer las distancias indicadas y calcule la
tensión y la fuerza de rozamiento.
5. Se sugiere usar los siguientes valores: M = 7 kg m = 2.5 kg
x = 7 m; 9 m; 11 m; 13 m; 15 m
6. Completar la tabla
Tabla
x (m)
Tabulación de resultados
t
(s)
v
fk
(m/s)
(N)
T
(N)
W fk
WT
(J)
(J)
P
(W)
7
9
11
13
15
6. Discusión y análisis de resultados:
(El estudiante deberá anotar todos los realizados, ecuaciones, etc.)
1. ¿Qué tipo de magnitud es la potencia?
2. ¿Qué tipo de magnitud es el trabajo?
3. Si dos autos “a” y “b” recorren una distancia de 500 m, el primero en 38 s y el segundo en 45 s ¿Cuál
desarrolla mayor potencia?
4. Si la fuerza de rozamiento desaparece ¿Qué pasa con la potencia?
5. Si la aceleración fuese nula ¿cómo serían los valores de la velocidad media?
7. Conclusiones:
(Verificar las respuestas a los objetivos específicos planteados; anotar sus conclusiones
Física General
- 175 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo
de 5 kg hasta una altura de 2 m en 3 s. Expresar
el resultado en Joule y en erg.
Resp: 98 J = 9.8x108 erg
2. Hallar la potencia media empleada en elevar una
masa de 50 kg a una altura de 20 m en 1 min.
Expresar el resultado en watt.
Resp: 163.33 W
3. Hallar la potencia media empleada en elevar una
masa de 2500 kg a una altura de 100 m en 25 s.
Resp: 37240 J
11. Un depósito cilíndrico de 1 m de diámetro y 2 m
de altura está totalmente lleno de agua. Hallar el
trabajo necesario para bombear el agua hasta
una altura de 4 m con respecto a la parte
superior del depósito.
Resp: 76930 J
12. Hallar la potencia media necesaria para elevar un
bidón de 1500 kg a una altura de 15 m en un
minuto.
Resp: 3 675 W
Resp: 98 000 W
4. Hallar el peso que puede arrastrar un vehículo de
6 CV de potencia sobre un terreno horizontal a la
velocidad de 25 km/h sabiendo que el coeficiente
de roce entre el peso y el terreno es igual a 0.2.
Resp: 3179.5 N
5. Un motor con un rendimiento del 90% está
instalado en una grúa de rendimiento igual al
40%. Sabiendo que la potencia suministrada al
motor es de 5 kW, calcular la velocidad con la
que subirá la grúa una masa de 450 kg.
Resp: 0.408 m/s
6. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de
3 N cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m
paralela a la fuerza.
Resp: 36 J
7. Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo
de 4 kg a una altura de 1.5 m.
Resp: 58.8 J
8. Una losa de mármol de 2 m de longitud y 250 kg
de masa está apoyada sobre una superficie
horizontal. Calcular el trabajo que hay que
realizar para ponerla en posición vertical.
Resp: 2450 J
9. Hallar el trabajo útil realizado por una máquina
que eleva 1 metro cúbico de alquitrán hasta una
altura de 15 m en 23 s. La densidad del alquitrán
es de 1065 kg/m3.
Resp: 156 555 J
10. Una bomba descarga 380 litros de agua por
minuto sobre un depósito situado a una altura
sobre ella de 10 m. Calcular el trabajo útil
realizado por la bomba en 1 hora. Densidad del
agua, 1000 kg/m3.
13. Hallar la potencia media necesaria para elevar,
por medio de un sistema de poleas cuyo
rendimiento es del 75%, una masa de 300 kg a
una altura de 6 m en 30 s. Expresar el resultado
en caballos de vapor.
Resp: 1.06 CV
14. Una carreta, que transporta a un hombre de 80
kg, es arrastrada sobre un camino horizontal por
una mula que ejerce una fuerza de 245 N.
Suponiendo que la velocidad de la carreta es de
3 m/s, calcular:
a) La potencia realizada por el peso del hombre
b) La potencia realizada por la fuerza de arrastre
de la mula.
Resp: a) 0 W ; b) 735 W
15. Sabiendo que la potencia del motor de un
automóvil que marcha sobre una carretera
horizontal a una velocidad de 50 km/h es de 40
CV, calcular la fuerza de resistencia total ejercida
por el aire y el rozamiento.
Resp: 2118.1 N
16. Calcular el peso de un automóvil de 40 CV de
potencia que marcha por una carretera horizontal
a una velocidad de 50 km/h, sabiendo que el
coeficiente de roce entre el vehículo y la
carretera es igual a 0.15.
Resp: 14131 N
17. Una grúa levanta una carga de 500 kg hasta una
distancia vertical de 20.0 m. Si la rapidez de la
carga es constante, ¿Cuánto trabajo se hace al
levantarla?
Resp: 9.8x104 J
18. Para empujar una segadora sobre un prado
plano, una persona aplica una fuerza constante
de 250 N con un ángulo de 30º con la horizontal.
- 176 ¿Qué tan lejos empuja la persona la segadora al
hacer 1.44x103 J de trabajo?
Resp: 6.65 m
19. Un mecanismo consume 40 HP, para impulsar un
automóvil a lo largo de una pista nivelada a 15
m/seg. De que magnitud es la fuerza total de
frenado que actúa sobre el coche.
Resp: 1990 N
20. Un trineo de 120 kg es tirado por un caballo con
velocidad constante una distancia de 0.75 km
sobre una superficie nevada plana. El coeficiente
de fricción cinética entre los patines del trineo y la
nieve es 0.25.
a) Calcular el trabajo realizado por el caballo.
b) Calcular el trabajo hecho por la fricción.
Resp: a) 2.205x105 J; b) –2.205x105 J
21. Una cortadora de pasto de autopropulsión con
una liberación de potencia de 3.5 HP viaja a una
velocidad constante de 1.5 pies/s.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza propulsora?
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de
rozamiento?
c) ¿Cuánto trabajo se realiza cada 6.0 s?
Resp: a) 1281.7 lbf; b) - 1281.7 lbf; c) 11535.3 lbfxft
22. Un automóvil de 1300 kg es acelerado desde el
reposo hasta una rapidez de 30 m/seg en un
tiempo de 12 seg cuando sube por una pendiente
inclinada de 15°. Considerando que la
aceleración es uniforme. Cuál es la potencia
mínima necesaria para acelerar el coche de esa
forma.
Resp: 132 HP
23. Una vagoneta de 200 kg se encuentra sobre una
vía horizontal y recta. Calcula el trabajo realizado
en los siguientes casos:
a) Empujamos con una fuerza de 100 N sin que
la vagoneta se mueva.
b) La empujamos haciendo 200 N de fuerza en
la dirección de la vía y la vagoneta se mueve 10
metros.
c) Estiramos por el lado de la vía, formando un
ángulo de 30º con la dirección de la vía, haciendo
una fuerza de 200 N y la vagoneta recorre 20
metros.
Física General
Resp: a) 1.37x105 J; b) 4900 W
25. Una bomba hidráulica sube un metro cúbico de
agua a 12 m de altura.
a) ¿Cuál será el trabajo que habrá realizado?
b) ¿Cuál será la potencia de la bomba si sube
200 litros por minuto?
Resp: a) 1.18x105 J; b) 392 W
26. Una grúa levanta un objeto de 200 kg a una
altura de 30 metros en 12 s. Calcula:
a) El trabajo que realiza sobre el cuerpo.
b) La potencia efectiva desarrollada
c) El rendimiento del motor, sabiendo que éste
tiene una potencia de 10 CV.
Resp: a) 58800 J; b) 4.9 kW; c) 67%
27. Un camión de 60 toneladas lleva una velocidad
de 72 km/h cuando comienza a frenar. Si se para
10 segundos después, ¿cuál ha sido la potencia
media de la frenada?
Resp: 1.2x106 W
28. Un barco de vela se mueve gracias al viento que
hace sobre las velas una fuerza de580 N. La
fuerza forma un ángulo de 30º con la dirección
del movimiento. Calcula el trabajo realizado
cuando el buque ha recorrido 2 km.
Resp:
1.01x106 J
29. Un coche de 800 kg arranca del reposo y alcanza
una velocidad de 100 km/h en 8 s. Suponiendo
el rozamiento despreciable, determina el trabajo
y la potencia media desarrollada por el motor.
Resp: 3.09x105 J; 3.8x104 W
30. Un bloque de 3.0 kg resbala por un plano sin
fricción inclinado 20º con la horizontal. Si la
longitud de la superficie del plano es 1.5 m,
¿Cuánto trabajo es realizado y por qué fuerza?
Resp: 15.1 J realizada por el peso
31. Hallar el trabajo neto que se realiza para que el
bloque de 10 kg, se desplace de “A” hasta “C”.
Resp: 1400 J
Resp: a) 0 J; b) 2000 J; c) 3464 J
24. Queremos subir un ascensor de 700 kg hasta 20
metros de altura.
a) Calcula el trabajo necesario para hacerlo.
b) ¿Cuál será la potencia del motor si sabemos
que tarda 28 s en hacer el recorrido?
32. Hallar la potencia que desarrolla un motor para
que levante un bloque de 2 kg desde el reposo
con una aceleración de 2 m/s2 en 2 segundos.
Resp: 47.2 W
Física General
- 177 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. De las siguientes expresiones, cuál corresponde
a unidades de potencia:
a) Julios
c) kilopondímetro
2.
3.
a) Potencia
c) Fuerza
b) Newton
d) Watts
b) Joule
c) pie
d) Watt
Un Caballo de Fuerza (HP) a cuantos watts
equivale:
a) 1000 watts
c) 746 watts
b) 735 watts
d) 0.102 kg
4. Se aplica una fuerza constante de 20 N sobre un
cuerpo que se mueve 5 m; el ángulo entre la
dirección de la fuerza y el desplazamiento del
cuerpo es 90º. El trabajo realizado es:
a) 100 J
b) 25 N.m
c) 60 N.m
d) 0
5. Un soldado que pesa 60 kp en un entrenamiento
básico, trepa 10 m por una cuerda vertical a una
velocidad uniforme en un tiempo de 8 seg; su
potencia desarrollada será:
a) 70 kpm/s
c) 75 kpm/s
b) Trabajo
d) Carga
11. Si una piedra se amarra a una cuerda y se pone
a girar con movimiento circular uniforme en un
plano horizontal, entonces:
La unidad de la potencia es:
a) ergio
10. El kilovatio-hora es unidad de:
a) El trabajo realizado por la fuerza de tensión
es nulo
b) El trabajo realizado por el peso es nulo
c) Ninguna de las situaciones anteriores
d) Las dos primeras situaciones anteriores
12. ¿Qué unidad se utiliza en
Internacional para el Trabajo?
a) Newton
c) Voltio
el
Sistema
b) Caloría
d) Julio
13. Se aplica una fuerza constante de 20 N, sobre un
objeto que se mueve 5 m, el ángulo entre la
dirección de la fuerza y el desplazamiento es 0º;
el trabajo realizado por la fuerza es:
a) 100 J
b) 0
c) 80 J
d) 70 J
14. Una persona hace una fuerza horizontal de 100
N para jalar un cuerpo una distancia de 20 m
empleando 5 segundos ¿Cuál será la potencia?
b) 65 kpm/s
d) 80 kpm/s
6. Determinar la potencia que desarrolla el motor de
un camión que viaja a velocidad constante de 72
km/ h. La fuerza que realiza el motor es de 1000
N.
a) 138 Watt
c) 140 Watt
b) 400 Watt
d) 120 Watt
15. Del trabajo se puede decir que:
a) 25 kW
b) 20 kW
c) 15 kW
d) 10 kW
7. Un cuerpo realiza un trabajo de 2x10 6 ergios
para desplazar un objeto por una distancia de 50
cm. La fuerza utilizada fue:
a) 4 N
b) 0.4 dyn
c) 0.4 N
d) 40 N
8. Si sobre un cuerpo actúa más de una fuerza se
puede afirmar:
a) Sólo la fuerza resultante realiza trabajo
b) El trabajo neto es igual a la suma de los
trabajos realizados por las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo
c) El trabajo neto siempre es diferente de cero
d) Todas las fuerzas aplicadas realizan trabajo
9. Un motor desarrolla una potencia de 30 Watts
durante 15 seg. El trabajo realizado es:
a) 450 J
b) 500 J
c) 2 J
d) 45 J
A) Es un escalar
B) Toda fuerza produce trabajo
C) Un trabajo es positivo si la fuerza y el
movimiento son de igual sentido
a) ABC
b) AB
c) AC
d) BC
16. En una construcción se sube un balde de arena
de 20 kg a 4 m/s. Calcular la potencia del motor
que mueve la instalación en H.P.
a) 1.5 H.P.
c) 1.05 H.P.
b) 2 H.P.
d) 3 H.P.
17. Un cuerpo de masa M desliza sobre una
superficie horizontal una distancia d y con un
coeficiente de rozamiento μ. ¿Cuánto trabajo ha
realizado la el rozamiento?
a) –µMgd
c) cero
b) –Mgd
d) Mgd
- 178 -
Física General
18. ¿Qué magnitud física mide la rapidez con la que
se efectúa un trabajo?
a) 120 J
b) 200 J
c) 80 J
d) 100 J
27. Hallar el trabajo que realiza, F = 40 N
a) Amperio
c) Potencia
b) Intensidad
d) Watio
F
19. La ecuación de la potencia es:
a) P = W/t
c) P = W/m
37º
b) P = kg/t
d) P = W/t +2
x =2m
20. Calcular el valor de la fuerza sobre un cuerpo, si
se sabe que el trabajo neto es de 600 J en un
desplazamiento de 20 m.
a) 60 J
28.
a) 60 N
b) 40 N
c) 50 N
b) 50 W
c) 50 erg
b) 200 W
c) 300 W
F2
F1
d) 400 W
x =4m
a) 100 J
b) 200 J
c) 160 J
d) 250 J
29. Si el bloque de 4 kg es llevado con una
aceleración de 2 m/s2. ¿Cuál es el trabajo que
realizó “F”? (g = 10 m/s2)
23. El trabajo realizado sobre un objeto al
trasladarlo 5.1 m por aplicación de una fuerza de
1.4 N en la dirección del desplazamiento es:
a) 7.14 N
c) 7.14 J
d) 80 J
Hallar el trabajo que realiza, F1 = 40 N
d) 50 N
22. ¿Qué potencia realiza el peso de un cuerpo de
masa 2 kg, cuando es soltado de una altura de
20 m? (g = 10 m/s2).
a) 100 W
c) 64 J
d) 30 N
21. Calcular la potencia de una máquina que eleva
20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 30
m en 1 minuto. (Gravedad = 10 m/s²)
a) 50 J
b) 50 J
a
= 0.5
F
b) 7.14 kp
d) 7.14 W
x = 10 m
24. La potencia de un montacargas se define como:
a) La velocidad con que eleva los objetos. Su
unidad en el sistema internacional es el m/s
b) El trabajo desarrollado en la unidad de
tiempo, en el Sistema Internacional de
unidades es el vatio
c) Es la energía potencial que proporciona al
objeto que eleva. Su unidad en el Sistema
internacional es el Julio
d) N.A.
a) 200 J
b) 260 J
d) 300 J
30. ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso desde
(A) hasta (B)?
m = 1 kg
B
A
x = 10 m
25. Un vatio es igual a:
a) Segundo / julio
c) julio / segundo
c) 280 J
b) julio x segundo
d) Newton / metro
a) 10 J
b) –10 J
c) 20 J
d) 0 J
31. Hallar el trabajo realizado por “F”
26. Hallar el trabajo resultante sobre el cuerpo de 5
kg de masa.
50 N
F=5N
20 N
x=8m
4m
a) – 40 J
b) 60 J
c) – 80 J
d) 80 J
Física General
- 179 -
32. Hallar el trabajo realizado por “F”; m = 4 kg
c) –240 W
b) 240 W
d) –60 W
37. El bloque mostrado avanza a velocidad
constante V = 5 m/s, gracias a F = 30 N. ¿Cuál
es la potencia que desarrolla el rozamiento?
a = 5 m/s2
5N
a) 60 W
F
v
F
x = 10 m
a) 200 J
b) 50 J
c) 250 J
d) 0
33. Hallar el trabajo realizado por “F”; m = 6 kg
a = 4 m/s2
F
a) 100 W
b) –100 W
c) –150 W
d) 150 W
38. El bloque mostrado avanza a velocidad de 2 m/s
gracias a la fuerza F = 200 N. Hallar la potencia
de F.
v = 2 m/s
30 N
m
F
x=8m
a) 100 W
a) 40 J
b) –40 J
c) –48 J
d) 48 J
34. Si el bloque se desplaza a velocidad constante,
halle el trabajo realizado por “F”
F
b) –30 J
c) –200 J
a) 125 W
d) –180 J
35. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50
N durante 5 s. Hallar la potencia desarrollada
por F.
c) 30 W
b) 375 W
c) 1/5
d) 2/5
c) 500 W
d) 250 W
41. Un motor desarrolló una potencia útil de 4000
Watt, si su eficiencia es 1/5. ¿Cuál es la
potencia que absorbe?
a) 20 kW
b) 30 kW
a) 1000 W b) 2000 W
x=4m
b) 20 W
b) 3/5
c) 40 kW
d) 50 kW
42. Una máquina de eficiencia 1/3 absorbe una
potencia de 3000 Watt. ¿Cuánto es la potencia
que pierde?
F
a) 10 W
d) 400 W
40. Un motor absorbe una potencia de 500 Watt, si
su eficiencia es 3/4. ¿Qué potencia útil será la
que desarrolle?
30 N
x=6m
a) 180 J
c) 300 W
39. Una máquina absorbe una potencia eléctrica de
1000 Watt y desarrolla una potencia útil de 400
Watt. ¿Cuál es su eficiencia?
a) 1/2
v
b) 200 W
d) 40 W
36. El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa
avanzando 12 m en 4 s. Si el rozamiento fue de
20 N. Hallar la potencia desarrollada por dicho
rozamiento.
c) 3000 W d) 4000 W
43. Una máquina pierde la mitad de la potencia que
entrega, entonces su eficiencia es:
a) 1/2
b) 2/3
c) 1/4
d) 3/4
44. La grúa mostrada absorbe una potencia de 2000
Watt, y está levantando el bloque de 100 N a la
velocidad de 5 m/s. Entonces su eficiencia es:
t=4s
x = 12 m
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
- 180 -
Física General
45. Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F =
50 N durante 5 s. Hallar la potencia desarrollada
por “F”
F
PIENSA Y EXPLICA
1. ¿Qué es el trabajo mecánico?
2. ¿En qué unidades se mide el trabajo?
3. ¿Cuáles son sus equivalencias?
a) 40 W
b) 20 W
c) 30 W
d) 50 W
46. Si: F = 50 N y lleva al bloque una distancia de
10 m, hallar la potencia desarrollada por “F”.
Considere el tiempo de 2 s.
4. Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay
trabajo?
5. ¿Las máquinas simples, realizan trabajo?
6. ¿Qué es la potencia?
F
7. ¿Cuáles son sus unidades?
37º
8. ¿Cuáles son sus equivalencias?
9. ¿Qué es el kilowatt hora?
a) 100 W
b) 200 W
c) 300 W
d) 150 W
47. Un vendedor ambulante aplica una fuerza de
100 N para empujar un carrito, una distancia de
60 m. Hallar la potencia desarrollada al cabo de
1 minuto que duró el recorrido.
a) 40 W
b) 50 W
c) 100 W
d) 80 W
48. ¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 100
litros de agua por minuto a una altura de 6 m?
a) 58 W
b) 20 W
c) 30 W
d) 1980 W
50. Una persona de 60 kg sube 20 m por las
escaleras de un edificio en 4 minutos. ¿Qué
potencia en watts desarrollo? (g = 10 m/s2)
a) 42 W
b) 150 W
c) 30 W
d) 50 W
51. Un motor consume una potencia de 1.2 kW y es
capaz de elevar cargas de 96 N de peso a
10
m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor?
a) 90%
b) 50%
c) 30%
d) 80%
52. Una máquina absorbe 48 W de potencia y
realiza un trabajo de 160 J en 5 s. ¿Cuál es la
eficiencia de esta máquina?
a) 4/5
b) 2/3
c) 3/4
11.¿Qué requiere más trabajo: levantar una carga de
10 kg hasta una altura de 2 m o levantar otra
carga de 5 kg hasta una altura de 4 m?
12.¿Cuántos joules de trabajo realiza sobre un objeto
una fuerza de 10 N que lo empuja una distancia
de 10 m?
d) 98 W
49. Una grúa es capaz de levantar una masa de 100
kg a una altura de 15 m en 5 s. ¿Qué potencia
expresada en watts suministra la máquina? (g =
10 m/s2)
a) 2040 W b) 2080 W c) 3000 W
10. Se requiere trabajo para levantar unas pesas.
¿Cuánto más trabajo se requiere para levantarlas
a una altura tres veces mayor?
d) 8/9
13.¿Cuánta potencia se requiere para hacer un
trabajo de 100 J sobre un objeto en 0.5 s?
¿Cuánta potencia se requiere para hacer la
misma cantidad de trabajo en 1 s?
14.Si hemos de estirar una vagoneta por una vía,
¿en qué caso te parece que nos será más fácil
moverla: haciendo una fuerza en la dirección de la
vía o haciéndola con un ángulo de 30 grados con
ésta? ¿Por qué?
15.Imaginemos una chica que coge una maleta del
suelo y se pone en caminar. Encuentra un amigo
y se ponen a charlar un rato. Al cabo de unos
minutos deja la maleta en el suelo para no
cansarse. ¿En qué momentos crees que se ha
realizado trabajo?
16.Una persona que hace toda la fuerza que puede
sobre una pared, ¿está haciendo un trabajo?
Razónalo.
17.Un cuerpo sube por un plano inclinado con
rozamiento por la acción de una fuerza externa.
Razona si es positivo, negativo o nulo el trabajo
hecho por las fuerzas siguientes: a) El peso, b)
La normal, c) El rozamiento.
Física General
- 181 -
Cap. 13
LA ENERGÍA MECÁNICA EN
LOS PROCESOS TECNOLÒGICOS
CONTENIDO:
- 182 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Explicamos, observamos, demostramos y valoramos
los procesos de transformación de energía en
procesos tecnológicos, estudiando y analizando las
características del movimiento y propiedades de la
materia al ser sometida a fuerzas, para el desarrollo y
generación de redes productivas en la industria, en
beneficio de la sociedad plurinacional de Bolivia.
TRANSFORMACION DE LA ENERGÌA
Física General
- 183 -
Introducción.- El término energía es probablemente
una de las palabras propias de la física que más se
nombra en las sociedades industrializadas.
Como la energía se relaciona con el trabajo, es
también una magnitud escalar. Se mide en las
mismas unidades de trabajo, es decir en Joules.
La crisis de la energía, el costo de la energía, el
aprovechamiento de la energía, son expresiones
presentes habitualmente en los diferentes medios de
comunicación social.
Energía cinética ( Ek ).- Es la forma de energía que
tienen los cuerpos en movimiento.
“Ya no tengo energía”, “el enfermo está recuperando
sus energías”, “se ha consumido mucha energía
eléctrica”, etc. Frases como estas suelen escucharse
infinidad de veces.
m
En movimiento
La energía se puede describir como una magnitud
poseída por objetos y sistemas.
Ek 
El trabajo es algo que se realiza sobre los
objetos, mientras que la energía es algo que los
objetos tienen.
1
m v2
2
Ek = Energía cinética
m = Masa
v = Velocidad
Constantemente se producen transformaciones de
energía en la naturaleza:
A mayor velocidad, mayor energía cinética
La energía del Sol transforma en agua la nieve de las
montañas, sube la temperatura de los ambientes,
hace crecer las plantas que alimentan a varios
animales. Muchas de estas transformaciones ocurren
sin que el hombre intervenga.
Energía potencial ( EP ).- Es una forma de energía
que depende de la posición de un cuerpo con
respecto a un nivel de referencia. Existen dos tipos
de energía potencial.
Una definición de energía es la siguiente:
Energía es la capacidad para realizar trabajo
Ilustraremos el concepto de energía con los
siguientes ejemplos:
a) Energía potencial gravitatoria ( EPG ).- Es
aquella forma de energía que posee un cuerpo
debido a la altura a la cual se encuentra, con
respecto a un nivel de referencia horizontal.
m
h
¿Tiene energía el
agua?
El agua antes de caer
tiene
cierta
energía
debido
al
desnivel,
cuando ésta cae dicha
energía será asimilada
por una turbina la cual
generará un movimiento
de rotación que en
combinación con un
campo
magnético,
producirá
energía
eléctrica.
¿Tiene energía el Sol?
El Sol es una fuente
enorme de energía y la
mayor parte de la
energía que utilizamos
en nuestra vida diaria
proviene de él.
La desintegración de
átomos en el Sol libera
una inmensa cantidad
de energía. La energía
solar calienta la Tierra,
evapora
el
agua,
produce los vientos, etc
EP  m g h
EP  wh
EPG =
m =
h =
g =
w =
Energía potencial gravitatoria
Masa
Altura
Aceleración de la gravedad
Peso
A mayor altura, mayor energía potencial
- 184 -
Física General
b) Energía potencial elástica ( EPE ).- Es aquella
forma de energía que posee un cuerpo sujeto a un
resorte comprimido o estirado.
0
m
F
F
Posición de
equilibrio
k
x
x
k
Posición con
Resorte deformado
Movimiento sin fricción
La fuerza neta “F” realiza una cantidad de trabajo:
W =Fx
EPE 
1 2
kx
2
EPE = Energía potencial elástica
k = Constante de elasticidad del resorte (N/m)
x = Deformación del resorte
La fuerza causa que el objeto se acelere:
v 2  v02  2 a x

a 
v 2  vo2
2x
En donde “vo” puede ser cero o no.
A mayor deformación del resorte, mayor energía
potencial
Energía mecánica.- La energía mecánica es la
suma de la energía cinética y potencial:
EM = Ek + EP
Al escribir la fuerza en su forma de la segunda ley de
Newton (F = ma) y sustituyendo entonces para “a”
a partir de la ecuación, se tiene:
 v 2  v02 
x 
W  F x  (m a)( x)  m
 2x 


1 m v2
2
 12 m v02
En términos de la energía cinética, entonces:
Principio de conservación de la energía.Cualquier forma de energía se transforma en otra
porque:
“La energía no se crea ni se destruye, solo se
transforma de una clase a otra”
Este principio indica que cuando un cuerpo cede
energía a otro, la energía perdida por el primer
cuerpo es igual a la energía ganada por el segundo.
Por ejemplo la energía eléctrica recibida por un foco
es igual a la suma de las energías luminosas y
caloríficas emitidas por él; la energía química de la
gasolina entregada a un automóvil es igual a la
energía cinética (movimiento) más la energía
calorífica (calentamiento del motor)
W  Ek  Ek 0  Ek
Trabajo = Variación de energía cinética
Para un objeto de masa “m” que se levanta a una
altura “h”. Se hace un trabajo en contra de la fuerza
de gravedad, por lo que es necesario aplicar una
fuerza, al menos igual al peso del objeto, a fin de
levantarlo:
F = w = mg
El trabajo realizado al levantarlo es, igual al cambio
de energía potencial. Expresado en forma de
ecuación, tenemos:
La energía puede transformarse de una forma en
otras, pero siempre se mantiene constante.
Teorema del trabajo y la energía.- Ahora estamos
en condiciones para estudiar la relación del trabajo
con la energía.
Recordando que, el trabajo es el que se realiza
sobre los objetos, mientras que la energía es algo
que los objetos tienen.
h
m
0
Física General
- 185 -
W
 F h  ( w)(h  h0 )  (m g )(h  h0 )
W
 m g h  m g h0
Unidades de energía:
En el Sistema Internacional (S.I.) la energía se
mide en julios (J).
W  EP  EP 0  EP
En el Sistema cegesimal (c.g.s.) la energía se mide
en ergios (erg).
Trabajo = Variación de energía potencial
Otras unidades de energìa, son:
Generalizando el teorema del trabajo y la energía:
“La suma de los trabajos de las fuerzas externas
sobre un objeto, es igual a la variación de las
energías cinética y potencial”
WF  W fr
Caloría (cal): Cantidad de energía necesaria para
aumentar 1 ºC la temperatura de 1 g de agua:
1 cal = 4.18 J.
Kilovatio-hora (kWh): Es la energía desarrollada por
la potencia de 1000 vatios durante 1 hora.
 Ek  EPG  EPE
1 kWh = 3.6x106 J
WF  Wfr 
1
2
mv  12 mv  m g h  m g h0  12 k x  12 k x
2
2
0
2
2
0
Sistema conservativo de fuerzas.- Para un
sistema conservativo (sin rozamiento) y donde no
existe fuerza externa:
La energía mecánica inicial es igual a la energía
mecánica final.
Kilojulio
(kJ)
y
kilocaloría
(kcal):
Son
respectivamente, 1000 J y 1000 cal. Se usan con
frecuencia debido a los valores tan pequeños de J y
cal.
Ejem. 13.1.- Un móvil de masa 3 kg se desplaza a 4
m/s. Calcula su energía cinética.

Ek
1 m v2
2

1 (3 kg )(4 m / s)2
2
 24 J
Ejem. 13.2.- Una piedra de 2 kg se encuentra a 12
m del suelo. Calcula su energía potencial gravitatoria
con respecto a él.
h
0
 12 m v02  m g h  m g h0
Ejem. 13.3.- Un atleta que pesa 60 kp corre a una
rapidez de 8 m/s. Calcular su energía cinética.
Datos:
w = 60 kp
v = 8 m/s
Ek = ?
 12 m v02  m g h  m g h0
Determinación de la masa del atleta:
Aplicando el teorema del trabajo y la energía:
WF  W fr

00 
1 m v2
0
2
 m g h0

1 m v2
2
1 m v2
2
1 m v2
2
Ek 0  EP 0
EP  m g h  (2 kg )(9.8 m / s 2 )(12m)  235.2 J
 mgh
w  mg
 Ek  EP

w
60kp

 6.12utm
g
9.8 m / s 2
Transformando al SI:
Energía inicial = Energía final
m  6.12utm*
Si la única fuerza que actúa sobre un cuerpo es
su peso, su energía mecánica se mantiene
constante.
m 
Ek

1 m v2
2
9.8 kg
1utm

 60 kg
1 (60 kg )(8 m / s)2
2
 1920J
- 186 -
Física General
Ejem. 13.4.- De un resorte cuya constante de
elasticidad es 32 N/m, se suspende una masa de
0.50 kg (a) ¿Cuál es la deformación del resorte? (b)
¿Cuánto trabajo se realiza al estirar el resorte?
Datos:
k = 32 N/m
m = 0.50 kg
a) Δx = ?
b) W = ?
h  h0  12 g t 2  78.4 m  12 (9.8 m / s 2 )(2 s)2  58.8 m
EP  m g h  (2 kg )(9.8 m / s 2 )(58.8 m)  1152.48 J
Ek

1
2
mv 2 
1
2
(2 kg )(19.6 m / s)2  384.16 J
En el piso, la energía potencial es nula (h = 0), la
velocidad y energía cinética es:
v 2  v02  2 gh  v  2 gh
v  2  9.8m / s 2  78.4m  39.2 m / s
Ek
a) La masa que se suspende del resorte, produce la
fuerza deformadora:
F  w  m g  (0.50kg )(9.8 m / s 2 )  4.9 N
De acuerdo a la ley de Hooke:
F
 k x
x 

4.9 N
32 N / m
x 
F
k
 0.153m  15.3 cm
b) El trabajo realizado al estirar el resorte es la
energía almacenada en el mismo, se determina
mediante la ecuación:
EPE 
1 k (x)2
2

1 (32 N / m)(0.153m)2
2
1 m v2
2

Al inicio, la energía cinética nula (v = 0), su energía
potencial:
E P  mgh  2 kg  9.8 m / s 2  78.4 m
Ek  0
1 (2 kg )(39.2 m / s)2
2
 1536.64 J
Ejem. 13.6.- Un pintor que está sobre un andamio
deja caer una lata de pintura de 1.5 kg desde una
altura de 6 m a) ¿Cuál es la energía cinética de la
lata cuando está a una altura de 4 m? b) ¿Con qué
rapidez chocará la lata con el suelo?
Datos:
m = 1.5 kg
ho = 6 m
h = 4m
vo = 0
a) Ek = ?
b) v = ?
a) Primero se calcula la energía total de la lata, dado
que esta cantidad se conserva conforme la lata cae.
La energía inicial es:
 0  375J
Ejem. 13.5.- Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde
una altura de 78.4 m. Calcula su energía cinética y
su energía potencial gravitatoria al inicio, a los 2 s y
al momento que toca el suelo.
Solución:
E P  1526.64 J

ET 0  Ek 0  E P 0 
1
m v02  m g h0
2
ET 0  0  1.5 kg  9.8 m / s 2  6 m  88.2 J
La relación ET = EK + EP se mantiene conforme la
lata cae, se puede calcular la energía cinética
cuando el objeto se encuentra a 4 m del suelo:
ET  Ek  E P
 Ek  ET  E P  ET  m g h
Ek  88.2 J  1.5 kg  9.8 m / s 2  4 m  88.2 J  58.8 J
E k  29.4 J
Para: t = 2 s, la velocidad y altura sobre el suelo es:
v  v0  g t  (9.8 m / s 2 )(2 s)  19.6 m / s
b) Un instante antes de que la lata choque con el
suelo (h = 0 , EP = 0), toda la energía mecánica total
es cinética:
Física General
- 187 -
ET  E k  E P 
1
1
m v 2  m g h  ET  m v 2
2
2
ET 0  ET  Wrozam.
Despejando la velocidad:
v 
2 ET
m

2(88.2 J )
1.5 kg
cambio de energía mecánica, o la cantidad de
energía perdida:
 10.8 m / s
 Wrozam  ET 0  ET
Wrozam  86240 J  16000 J  70240 J
 Q  70240 J
Ejem. 13.7.- Un esquiador con una masa de 80 kg
parte del reposo y esquía hacia abajo por una
pendiente con una elevación de 110 m. la rapidez del
esquiador en la parte inferior de la pendiente es 20
m/s.
a) Demuestre que el sistema es no conservativo.
b)¿Cuánto trabajo realiza la fuerza no conservativa?
Datos:
m = 80 kg
ho = 110 m
v = 20 m/s
vo = 0
a) Demostrar que el proceso no es conservativo
b) W (Trabajo realizado por el rozamiento)
Solución:
a) En la parte superior, solo se halla la energía
potencial gravitatoria:
ET 0
 EP
ET 0
 (80 kg )(9.8 m / s 2 )(110 m)
ET 0
 86240 J
 m g h0
Esto significa más del 80 % de la energía inicial, se
convierte en calor por fricción.
Ejem. 13.8.- Un bloque de masa M está sostenido
sobre un plano sin fricción que hace un ángulo de 37º
con la horizontal. La masa se fija por medio de una
cuerda sin masa a otra masa de 4.50 kg, como lo
muestra la figura. Al principio, el sistema está en
reposo, la masa de 4.50 descansa sobre el piso. El
sistema se suelta y la masa de 4.50 kg se mueve
hacia arriba. Cuando está a 2 m sobre el piso, su
velocidad es de 0.85 m/s. ¿Cuál es el valor de la
masa M?
Datos:
 = 37º
m = 4.50 kg
h=2m
v = 0.85 m/s
M =?
Aplicando el teorema del trabajo y la energía a la
masa de 4.50 kg:
En la parte inferior de la
energía cinética:
ET  E k 
pendiente, solamente
1
1
2
m v 2  80 kg  20 m / s   16000 J
2
2
Puede observarse que este sistema no es
conservativo, puesto que las energías totales inicial y
final no son iguales.
b) La cantidad de trabajo realizado por la fuerza no
conservativa (fuerza de rozamiento) es igual al
WF  W fr  Ek  E P
T h0
T h
1
1
m v 2  m v02  m g h  m g h0
2
2
1
mv2  m g h
2
Reemplazando valores:
T  2
1
4.50 0.85 2  4.50 9.82
2
- 188 -
Física General
T  2  1.63  88.2  89.83  T 
89.83
2
T  44.9 N
mg  mg  m
Para el bloque M, éste desciende por el plano sin
rozamiento:
1
1
WF  W fk  Ek  E p  Mv 2  Mv02  Mgh  Mgh0
2
2
T h cos 180º 0 
T h 
M
 FN  m a N
1
M v 2  M g h sen37º
2

v2
R
N  mg  m

v2
R
v 2  2 gR
(2)
Reemplazando ec. 2 en ec. 1:
1
mgH  mg(2 R)  m(2 gR)
2

H  3R
Ejem. 13.11.- En el ejercicio anterior, ¿desde qué
altura deberá soltarse el objeto para que complete
por lo menos una vuelta?
1
M v 2  M g h sen37º
2
 2T h
 2  44.9  2

v  2 g h sen37º 0.852  9.8  2  sen37º
N 0
2
M  7.85 kg
Ejem. 13.10.- Un objeto es soltado en el punto A.
¿Cuánto debe valer H para que cuando el cuerpo
pase por el punto B, la reacción normal valga lo
mismo que el peso?
La altura mínima H desde donde debe ser soltada el
objeto para completar una vuelta se obtiene
calculando la “velocidad crítica” del objeto en el punto
B. Ésta velocidad se obtiene cuando la reacción del
rizo (N) sea cero.
Aplicando la 2da. ley de Newton en B:
B
H
La velocidad crítica:
 FN  m a N
D. C. L.
v2
R
 v 2  gR
Balance de energía en los puntos A y B:
N  mg
H
 mg  N  m
E A  EB
mg
1
 mgH  mg (2 R)  mv 2
2
Reemplazando v2:
1
 mgH  2mgR  m( gR)
2
Según el teorema de la conservación de la energía
se tiene:
E A  EB
1
 mgH  mg2 R   mv 2
2
(1)
En el punto B, aplicando la segunda ley de Newton:
 mgH 
5
5
mgR  H  R  2.5R
2
2
Física General
- 189 LABORATORIO VIRTUAL
Ingrese a educaplus, Energìa e investigue las siguientes aplicaciones:
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
CONSERVCIÒN DE LA ENERGÌA
Ingrese a Phet, Fìsica luego energìa y seleccione las siguientes activiaddes:
ENERGÍA EN EL SKATE PARK: BÁSICO
- 190 -
Física General
PROBLEMAS PROPUESTOS
Nota.- Muchos de los problemas en este capítulo pueden resolverse con las ecuaciones de la dinámica del
movimiento, con la segunda ley de Newton. Sin embargo, los resultados pueden obtenerse con mayor rapidez
usando la conservación de la energía, y este método debe utilizarse siempre que sea posible.
1.
Un cuerpo transfiere a otro 645.2 cal. ¿Cuántos
julios son?
Resp: 2697,1 J
2.
Una persona ingiere 1048.4 kcal en su dieta.
Expresa en unidades SI.
Resp: 4382312 J
3.
Calcula el trabajo que realizará una fuerza de
392 N que desplaza a un cuerpo unja distancia
de 7 m, si entre la fuerza y el desplazamiento
forman un ángulo de 52º.
Resp: 1689.4 J
4.
Calcula la energía cinética de un coche de 1294
kg que circula a una velocidad de 58 km/h.
Resp: 167940.4 J
5.
Un vehículo de 1104 kg que circula por una
carretera recta y horizontal varía su velocidad de
17 m/s a 7 m/s. ¿Cuál es el trabajo que realiza?
Resp: –132480 J
6.
¿Qué energía potencial posee una roca de 143
kg que se encuentra en un acantilado de 19 m
de altura sobre el suelo?
Resp: 26626.6 J
7.
Calcula la energía potencial elástica de un
muelle sabiendo que su constante elástica, k, es
de 336 N/m y que se ha comprimido 4 cm desde
su longitud natural.
Resp: 0.27 J
8.
Un cuerpo de 10 kg cae desde una altura de 20
m. Calcula:
a) La energía potencial cuando está a una altura
de 10 m.
b) La velocidad que tienen en ese mismo
instante.
c) El trabajo que efectúa cuando llega al suelo.
d) La velocidad con que llega al suelo.
Resp: a) 980 J, b) 14 m/s, c) 1960 J, d) 19.8 m/s
9.
Un cuerpo de 2 kg cae desde una altura de 4 m.
Calcular la pérdida que experimenta de energía
potencial.
Resp: 78.4 J
10. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 5
kg que se mueve a una velocidad de 3 m/s.
Resp: 22.5 J
11. Un cuerpo de 5 kg de peso cae libremente
desde una altura de 3 m. Calcular la energía
cinética del cuerpo en el momento de llegar al
suelo y demostrar que es igual a la energía
potencial del mismo antes de caer.
Resp: 147 J
12. Una pieza de artillería, con una longitud de
ánima de 3 m, dispara un proyectil de 20 kg de
masa con una velocidad de 600 m/s. Calcular la
fuerza media ejercida sobre el proyectil durante
su recorrido por el tubo.
Resp: 1 200 000 N
13. Se lanza un ladrillo hacia adelante deslizando
sobre el suelo con una velocidad de 25 m/s.
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre
el suelo y el ladrillo es igual a 0.25, hallar el
tiempo que tardará en detenerse y la distancia
recorrida.
Resp: d = 127.55 m ; t = 10.2 s
14. Hallar la energía potencial que adquiere una
masa de 3 kg al elevarlo a una altura de 6 m.
Resp: 176.4 J
15. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 12
kg animado de una velocidad de 1 m/s.
Resp: 6 J
16. Un cuerpo de 2 kg cae desde una altura de 10
m. Calcular la energía cinética del cuerpo al
llegar al suelo.
Resp: 196 J
17. Un cuerpo de 1kg de masa se eleva a una altura
de 5 m. Hallar el trabajo realizado y el aumento
de su energía potencial.
Resp: 49 J
18. Una fuerza constante actúa durante un minuto
sobre un cuerpo de 3 kg comunicándole una
velocidad de 2 m/s. Hallar la energía cinética
adquirida por el cuerpo y el valor de la fuerza.
Resp: K = 6 J ; F = 0.1 N
Física General
19. Hallar la fuerza media necesaria para detener,
en un espacio de 30 m, un automóvil de 1200 kg
animado de una velocidad de 90 km/h.
- 191 b) ¿Cuál sería la rapidez inicial para una
distancia de detención de 100 m?
Resp: a) 240 m; b) 58 km/h
Resp: - 12 500 N
20. Calcular la fuerza media ejercida por los gases
de la pólvora sobre un proyectil de 8 kg que
adquiere, al salir del tubo de 3 m de longitud,
una velocidad de 600 m/s.
Resp: 480 000 N
21. Hallar la resistencia media de una pared
sabiendo que un martillo de 2 kg, con una
velocidad horizontal de 6 m/s, introduce en ella
un clavo que penetra 30 mm.
Resp: 1200 N
22. Un camión de 60 toneladas lleva una velocidad
de 72 km/h cuando comienza a frenar. Si se
para 10 segundos después, ¿cuál ha sido la
potencia media de la frenada?
Resp: 1.2x106 W
23. Una fuerza neta constante de 75 N actúa sobre
un objeto inicialmente en reposo a través de una
distancia paralela de 0.60 m.
a) ¿Cuál es la energía cinética final del objeto?
b) Si el objeto tiene una masa de 0.20 kg, ¿Cuál
es su rapidez final?
Resp: a) 45 J; b) 21.2 m/s
24. Una vagoneta de 300 kg se mueve
prácticamente sin fricción sobre unos raíles
horizontales a 36 kmh. Calcula el trabajo
necesario para:
a) Duplicar su velocidad.
b) Mantener su velocidad constante.
c) Reducir su velocidad a la mitad.
Resp: a) 45000 J; b) 0; c) – 11250 J
25. A un cuerpo de 10 kg de masa inicialmente en
reposo se le aplica una fuerza vertical hacia
arriba de 150 N para elevarlo una altura de 3 m.
Hallar:
a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada.
b) El trabajo realizado por el peso.
c) La velocidad adquirida por el cuerpo.
Resp: a) 450 J; b) – 294 J; c) 5.6 m/s
26. Un automóvil que viaja a 45 km/h es detenido en
60 m. Suponga que las mismas condiciones
(misma fuerza de frenado, tiempo de reacción
del conductor, etc.) se mantienen para todos los
casos.
a) ¿Cuál sería la distancia de detención para
una rapidez inicial de 90 km/h?
27. Un bloque de 1.5 kg que se desplaza sobre una
superficie horizontal con una rapidez inicial de
3.0 m/s, resbala hasta detenerse por una línea
recta. Si el coeficiente de fricción cinética entre
el bloque y la superficie es de 0.42, ¿Cuánto
trabajo realiza la fricción? Calcule de dos formas
utilizando consideraciones de trabajo y energía.
Resp: – 6.75 J
28. Una piedra de 0.20 kg se lanza verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial de 7.5 m/s,
a partir de su punto de partida 1.2 m arriba del
suelo.
a) ¿Cuál es la energía potencial de la piedra a
su altura máxima relativa al suelo?
b) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial en
la piedra?
Resp: a) 7.98 J; b) 5.63 J
29. Una pelota de 0.50 kg lanzada verticalmente
hacia arriba tiene una energía cinética inicial de
80 J.
a) ¿Cuáles son su energía cinética y su energía
potencial cuando ha viajado ¾ de la distancia de
su altura máxima?
b) ¿Cuál es su velocidad en ese punto?
c) ¿Cuál es su energía potencial en su altura
máxima?
Resp: a) K= 20.04 J; U= 59.98 J; b) v= 8.95 m/s; c) 80 J
30. Una montaña rusa parte del reposo en un punto
45 m arriba de la parte inferior de una depresión.
Si se desprecia la fricción, ¿cuál será la rapidez
de la montaña rusa en la parte más alta de la
pendiente siguiente, que está 30 m arriba de la
depresión?
Resp: 17.2 m/s
31. Una pelota con una masa de 0.3 kg se deja
caer desde una altura de 1.20 m sobre la parte
alta de un resorte fijo vertical, cuya constante de
fuerza es 350 N/m.
a) ¿Cuál es la distancia máxima que la pelota
logra comprimir al resorte?
b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota cuando el
resorte ha sido comprimido 5.0 cm?
Resp: a) 15 cm; b) 4.65 m/s
32. a) ¿Cuántos Joules de energía eléctrica utiliza
una secadora de pelo de 1650 W en 10 min?
- 192 b) Si la secadora se opera un total de 4.5 h
diarias durante un mes, ¿cuánto cuesta la
energía eléctrica si la tasa es 9 c./kW-h?
Resp: a) 9.9x105 J; b) 20 $
33. Una piedra de 2 kg de masa atada al extremo de
una cuerda de 0.5 metros de longitud gira a 2
revoluciones por segundo.
a) ¿Cuál es su energía cinética?
b) ¿Cuánto vale la fuerza centrípeta que actúa
sobre ella?
c) ¿Qué trabajo realizará la fuerza centrípeta en
una vuelta?
Resp: a) 39.5 J; b) 158 N; c) 0 J
34. Una fuerza constante de 50 N mueve un objeto
4.0 m en 5.0 s
a) ¿Cuánta energía se gasta?
b) ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada?
Resp: 200 J; 40 Watts
35. a) Calcular la energía cinética de un automóvil
de 900 kg que lleva una velocidad de 40 m/s.
b) Cuántas veces se hace mayor la energía
cinética si se duplica la velocidad del automóvil.
Física General
39. Un proyectil de 30 g de masa alcanza un bloque
de madera con una velocidad de 200 m/s.
a) Calcula la resistencia que ofrece la madera a
la penetración si el proyectil ha penetrado en
ella 8 cm.
b) Halla qué velocidad tendría el proyectil
después de atravesar una lámina de la misma
madera de 2 cm de espesor.
Resp: a) 7500 N; b) 173 m/s
40. Una caja de 20 kg se encuentra en reposo en el
suelo. Se desplaza la caja 6 m mediante una
fuerza horizontal de 90 N. El coeficiente de
rozamiento cinético entre la caja y el suelo es
0.32. Calcula:
a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada.
b) El trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento.
c) El incremento de energía cinética de la caja.
d) La velocidad final de la caja.
Resp: a) 540 J; b) –376 J; c) 164 J; d) 4.0 m/s
41. Un resorte necesita 160 N para comprimirse 1
cm. Calcula la energía potencial elástica que
tiene cuando está comprimida 6 cm.
Resp: 28.8 J
Resp: a) 720 000 J; b) 4 veces.
36. Un bloque que pesa 8 kp es empujado mediante
una fuerza horizontal de 4 kp, sobre una
superficie lisa horizontal durante un trayecto de
6 m. El bloque parte del reposo.
a) ¿Cuánto trabajo se ha realizado?
b) Compruébese la respuesta calculando la
aceleración del bloque, su velocidad y su
energía cinética.
42. Encuentra la velocidad con que llega al suelo la
masa de 15 kg del esquema de la figura.
Resp: 12.12 m/s
Resp: a) 24 kpm; b) 4.9 m/s2; 7.67 m/s; 24 kpm.
37. Un coche de 1200 kg inicia la subida de una
pendiente del 8 % y 500 m de longitud con una
velocidad de 100 km/h. Al finalizar la pendiente,
la velocidad del coche es 70 km/h.
Considerando
que
el
rozamiento
es
despreciable, calcula el trabajo realizado por el
vehículo.
43. Encuentra la altura h del dibujo, sabiendo que la
velocidad de la masa de 6 kg en el momento de
llegar al suelo es de 12 m/s.
Resp: 12.24 m
Resp: 2.34x104 J
38. Un automóvil de 1200 kg que se mueve con una
velocidad constante de 90 kmh, acciona los
frenos al ver un obstáculo y frena en 80 m.
Determina:
a) La disminución de la energía cinética del
automóvil durante el frenado.
b) El trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento.
c) El valor del coeficiente de rozamiento entre el
automóvil y la carretera mientras frena.
Resp: a) –375000 J; b) –375000 J; c) 0.4
44. Un proyectil de 40 kg se mueve con una
velocidad de 200 m/s
a) ¿Cuál es su energía cinética?
Este proyectil choca con una pared y penetra 20
cm, de manera que se transforma toda su
energía cinética en trabajo de penetración.
Física General
b) ¿Puedes calcular la fuerza de resistencia de
la pared?
- 193 Resp: a) 67.43 N; 13.48 N;
b) 6.5 m/s; c) 596.3 J
Resp: a) 8x105 J; b) 4x106 N
45. Calcula con qué velocidad sale una bala de 15 g
de masa después de haber atravesado un
tablón de 7 cm de espesor que le opone una
resistencia de 1800 N. La velocidad inicial de la
bala era de 450 m/s.
Resp: 430.9 m/s
46. Un camión de 10 toneladas circula a 90 km/h.
Frena y se para después de recorrer 62.5
metros.
a) ¿Cuál es la energía cinética inicial del
camión?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse?
c) ¿Cuál es la aceleración de la frenada?
Resp: a) 3.125x106 J; b) 5 s; c) – 5 m/s2
47. Un cuerpo de 5 kg de masa se lanza por un
plano inclinado 30º con una velocidad de
15
m/s hacia arriba. Calcula qué distancia recorre
hasta detenerse.
a) En el supuesto que no haya fricciones.
b) En el supuesto que el coeficiente de
rozamiento entre el plano y el objeto sea 0.1
50. Sobre una superficie horizontal disponemos de
un resorte de constante elástica 3 N/m. Desde
un punto situado a 3 metros del muelle,
lanzamos un cuerpo de 1 kg de masa con una
velocidad de 4 m/s. Calcula la máxima
compresión del muelle si el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0.1.
Resp: 1.54 m
51. Se deja caer desde 3.4 metros de altura un
objeto de 100 gramos de masa sobre un muelle
vertical de un metro de longitud y 75 N/m de
constante de deformación, tal y como se ve en
la figura. Calcula la máxima compresión x del
muelle.
Resp:
29.8 cm
Resp: a) 22.96 m; b) 19.57 m
48. Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba de un
plano inclinado 30º con una velocidad de 9.8
m/s. Observamos que recorre una distancia de 6
metros antes de detenerse y volver a la posición
inicial. Calcula:
a) La fuerza de rozamiento que actúa sobre el
bloque.
b) La velocidad con el que llega al punto de
partida.
Resp: a) 15.52 N; b) 4.64 m/s
49. Sobre un masa M = 5 kg, que se encuentra en
reposo en la base del plano inclinado de la
figura, se aplica una fuerza horizontal F de
módulo 50 N, siempre horizontal. Al llegar al
extremo superior E, situado a una altura H = 10
m, la fuerza F deja de actuar. Ver figura. Si el
coeficiente de rozamiento durante el movimiento
entre la masa y el plano inclinado vale 0.2 y el
ángulo del plano con la horizontal es 30º,
calcula:
a) La fuerza normal y la fuerza de rozamiento
entre la masa y el plano inclinado.
b) La velocidad de la masa al llegar al extremo
superior E.
c) La energía cinética con la que la masa llegará
al suelo. ¿Qué tipo de trayectoria seguirá la
masa después de pasar por E?
52. Desde el punto A dejamos ir un objeto de masa
m (Ver figura) Calcula:
a) La velocidad de la masa en el punto C.
b) La fuerza que hace la vía sobre el objeto en
este punto.
Resp: a)
8 gR b) 7mg
- 194 -
Física General
EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIÓN
1. La energía mecánica comprende:
a)
c)
b)
d)
10. ¿Cuál de los siguientes objetos tiene la mayor
energía cinética?:
La energía nuclear de un cuerpo
La energía química
E = mc²
La energía potencial y la energía cinética
2. Una pelota de masa con 0.5 kg. Tiene una
velocidad de 12 m/s. Su energía cinética será:
a) 35 J
b) 38 J
c) 32 J
d) 36 J
3. En un espectáculo artístico, un trapecista se sube
a una silla que se encuentra a 10 metros; si la
masa del trapecista es de 100 kg. Su energía
potencial será:
a) 9750 J
b) 9800 J
c) 9600 J
d) 9500 J
4. Un cuerpo de 5 g de masa, está a 100 cm de
altura. Su energía potencial es:
a) 500 J
b) 490 000 J
c) 0.049 J
d) 20 J
5. El rozamiento convierte la energía cinética de un
cuerpo en:
a)
b)
c)
d)
Un objeto de masa 4m y velocidad v
Un objeto de masa 3m y velocidad 2v
Un objeto de masa 2m y velocidad 3v
Un objeto de masa m y velocidad 4v
11. Se aplica una fuerza F a un cuerpo inicialmente
en reposo, de 5 kg de masa. El cuerpo se mueve
ahora con una aceleración de 2 m/s 2. Si se
desplaza 3 m en la dirección de la aceleración, el
trabajo de F es:
a) 6 J
b) Energía química
d) Frenado
6. Un cuerpo de 5 kg se lanza verticalmente hacia
arriba con velocidad de 10 m/s.
a) 6 J
7. La energía cinética de un cuerpo de 8 kg que
posee una velocidad de 4 m/s es:
b) 32 J
c) 16 J
b) 15 J
c) 30 J
d) 90 J
b) 1 J
c) 2 J
d) 10 J
14. Una fuerza de 16 N actúa durante 5 segundos
sobre un cuerpo de masa de 4 kg, inicialmente
en reposo. El trabajo de la fuerza es:
b) 600 J
c) 900 J
d) 700 J
15. La energía cinética final del cuerpo anterior es:
a) 800 J
b) 600 J
c) 900 J
d) 700 J
16. Una fuerza de 16 N actúa durante 5 segundos
sobre un cuerpo de masa 4 kg y con velocidad
inicial de 10 m/s. El trabajo de la fuerza es:
a) 800 J
a) 64 J
d) 60 J
13. Bajo la acción de una fuerza de 20 N, un resorte
se comprime 0.1 m. La energía potencial elástica
del resorte es:
a) 800 J
a) La energía potencial en el punto más alto es
de 250 Julios
b) La altura alcanzada es de 3 m
c) La altura alcanzada es de 10 m.
d) La energía potencial en el punto más alto es
de 490 Julios.
c) 30 J
12. En el ejercicio anterior, si el cuerpo se desplaza
durante 3 segundos en la dirección de la
aceleración, el trabajo de F es:
a) 0.5 J
a) Energía potencial
c) Energía calorífica
b) 15 J
b) 1400 J
c) 1600 J
d) 2000 J
d) 128 J
17. La energía cinética final del cuerpo anterior es:
8. Un cuerpo de 9 kg a una altura de 6 m posee
energía potencial de:
a) 529.2 J
b) 54 J
c) 24.8 J
d) 87.2 J
9. Si se desea duplicar la altura de un cuerpo que
posee 20 J de energía potencial se debe realizar
un trabajo de:
a) 20 J
b) 40 J
c) 60 J
d) 80 J
a) 800 J
b) 1600 J
c) 1800 J
d) 2000 J
18. ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad de
energía?
a) W.s
b) N.m
c) kg.m/s
d) J
19. Una bala de 5 gramos avanza a 300 m/s, choca
contra una tabla, la atraviesa y sale de ella con
una rapidez de 100 m/s. La energía absorbida
por la tabla, medida en julios es:
a) 200
b) 100
c) 20
d) 10
Física General
- 195 Tomar como valor: (g = 10 m/s2)
20. El trabajo es una manifestación de:
a) De la velocidad
c) De la energía
b) De la temperatura
d) De la potencia
21. Un cuerpo adquiere energía potencial cuando se
realiza trabajo contra fuerzas:
a) Conservativas
c) De fricción
a) 2000 J
d) 1000 J
b) Disipativas
d) Todo lo anterior
Trabajo (Julios)
Energía cinética (Julios)
Calor (julios)
Energía potencial (Watts)
2m
a) 200 J
23. Una pelota 0.5 kg se lanza horizontalmente
desde la terraza de un edificio de 50 m de altura
con una velocidad de 10 m/s; su energía cinética
inicial es:
b) 245 J
c) 270 J
b) 240 J
c) 280 J
d) 300 J
30. Calcula la pérdida de energía mecánica al ir de
(A) a (B) para el bloque de 2 kg. (g = 10 m/s 2)
A
a) 25 J
c) 1600 J
29. Calcule la energía mecánica del bloque de 4 kg
respecto al suelo. (g = 10 m/s2)
22. Cuál de las siguientes unidades es incorrecta:
a)
b)
c)
d)
b) 400 J
v0 = 0
d) 250 J
v = 4 m/s
24. ¿Con qué nombre se conoce la siguiente
afirmación? "La cantidad total de energía del
universo se mantiene constante"
a) Principio de conservación de la energía
b) Principio de conservación de la energía
mecánica
c) Principio de degradación de la energía
d) Principio de no transferencia de la energía
25. ¿Qué trabajo realiza un camión de 200 kg,
cuando frena y pasa de la velocidad de 4 a 3
m/s?
a) 9000 kpm
c) 9000 erg.
b) 7000 J
d) 700 J
4m
B
a) 80 J
a)
b)
c)
d)
En energía mecánica
En energía potencial
En calor
N. A.
a) 600 J
a) 100 J
b) 200 J
c) 300 J
d) 400 J
28. Se suelta un cuerpo desde una altura de 100 m.
¿Cuál será su energía cinética cuando se
encuentre a 20 m del suelo? m = 2 kg
d) 64 J
b) 800 J
c) 1000 J
d) 1200 J
32. Un cuerpo de m = 20 kg se desplaza
linealmente con v = 4 m/s. ¿Cuál será su
energía cinética?
b) 100 J
c) 120 J
d) 160 J
33. Un coche de 400 kg parte desde el reposo con
una aceleración constante de 0.5 m/s 2.
Determinar la cantidad de energía cinética en kJ
del cochecito cuando han transcurrido 20 s.
a) 10
27. Se lanza un cuerpo desde el suelo con una
velocidad de 20 m/s. Si la masa del cuerpo es 2
kg. ¿Cuánto vale su energía potencial al cabo de
1 s? (g = 10 m/s2)
c) 96 J
31. Un niño con su bicicleta tienen una masa de 80
kg. Halle la cantidad de energía cinética si cubre
una distancia de 80 m en 16 s.
a) 80 J
26. Cuando un automóvil frena bruscamente hasta
que se para, ¿en qué se transforma la energía
cinética del automóvil?
b) 16 J
b) 20
c) 30
d) 40
34. Un objeto se desplaza con una velocidad de 72
km/h. ¿Cuál es su energía cinética, si m = 4 kg?
a) 200 J
b) 400 J
c) 600 J
d) 800 J
35. Un cuerpo de m = 0.5 kg se desplaza
horizontalmente con v = 4 m/s y luego de un
lapso de tiempo se mueve con v = 20 m/s.
¿Cuál será la variación de su energía cinética?
a) 80 J
b) 90 J
c) 85 J
d) 96 J
- 196 -
Física General
36. Una esfera de 1 kg se lanza verticalmente hacia
arriba con una energía cinética de 450 J.
Determine el tiempo que permanece en el aire.
(g = 10 m/s2)
a) 3 s
b) 5 s
c) 6 s
b) 0
c) 100 J
d) 50 J
38. Un niño de 40 kg se encuentra en un “columpio”,
si su velocidad en la parte más baja es de 36
km/h. Hallar la medida de su energía cinética,
máxima.
a) 1000 J
b) 2000 J
c) 3000 J
d) 4000 J
39. Calcular la energía mecánica del cuerpo en la
posición mostrada. (g = 10 m/s2)
m = 4 kg
v = 5 m/s
b) 210 J
c) 250 J
d) 300 J
40. Calcular la energía mecánica en el punto (A)
(g = 10 m/s2)
(A)
v
c) 250 J
b) 15.5 J
c) 12.5 J
d) 20 J
42. La constante de rigidez de un resorte es de
2000 N/m. ¿Qué cantidad de energía almacena
cuando el muelle es deformado en 10 cm?
a) 8 J
b) 10 J
7. Supón que un automóvil tiene una energía
cinética de 2000 J. ¿Cuál será su energía cinética
si se duplica su velocidad? ¿Si se triplica su
velocidad?
d) 300 J
41. Un resorte de k = 100 N/m se estira 50 cm por
acción de una fuerza externa. Determinar la
cantidad de energía potencial elástica.
a) 10 J
5. Si haces un trabajo de 100 J al elevar un cubo
lleno de agua, ¿Cuánta energía potencial
gravitacional adquiere respecto a su posición
inicial? ¿Cuánta energía potencial gravitacional
adquiriría si lo levantaras a una altura dos veces
mayor?
10.¿Podrías explicar qué ventaja tiene utilizar una
rampa para subir un objeto? (si es que tiene
alguna)
(B)
b) 209 J
4. ¿Cuáles son las dos formas principales de
energía mecánica?
9. ¿Cuál es la eficiencia de una máquina que
requiere 100 J de energía de entrada para realizar
35 J de trabajo útil?
m = 2 kg
a) 200 J
3. ¿Cuánta potencia se requiere para hacer un
trabajo de 100 J sobre un objeto en 0.5 s?
¿Cuánta potencia se requiere para hacer la
misma cantidad de trabajo en 1 s?
8. ¿Cuál será la energía cinética de una flecha
proveniente de un arco con una energía potencial
elástica de 50 J?
v = 3 m/s
10 m
2. ¿Qué requiere más trabajo: levantar una carga de
10 kg hasta una altura de 2 m o levantar otra
carga de 5 kg hasta una altura de 4 m?
6. Una roca se levanta hasta una altura tal que su
energía potencial respecto a la tierra es de 200 J
y se deja caer desde esta altura. ¿Cuál es su
energía cinética un instante antes de llegar al
suelo?
h =4m
a) 200 J
1. Se requiere trabajo para levantar unas pesas.
¿Cuánto más trabajo se requiere para levantarlas
a una altura tres veces mayor?
d) 8 s
37. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 20 m/s, su energía cinética
en el punto más alto es:
a) 200 J
PIENSA Y EXPLICA
c) 12 J
d) 14 J
11.¿Puede que dos objetos de la misma masa
tengan diferente energía cinética?
12.¿Es posible que dos cuerpos que tengan igual
velocidad tengan energía mecánica diferente?
Física General
- 197 -
Cap. 14
LAS ENERGÍAS ALTERNATIVAS
- 198 -
Física General
OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:
Valoramos la importancia de cultivar principios de
ahorro energético en nuestro Estado Plurinacional, a
partir del estudio de las diversas formas de generación
de energía alternativa a la tradicional, describiendo los
principios tecnológicos de aplicación con energía
solar, hidráulica, eólica, biomasa y geotérmica, que
permita contribuir al desarrollo tecnológico de nuestro
país.
Física General
- 199 -
La energía a través de la historia.- El ser humano,
desde sus primeros pasos en la Tierra y a través de
la historia, siempre ha buscado formas de utilizar la
energía para obtener una mejor calidad de vida.
Para ello ha hecho uso de diversas formas de
energía:
-
Fuego (energía química)
Velas y molinos (energía del viento o eólica)
Ruedas hidráulicas (energía del agua o hidráulica)
Carbón (energía química)
Petróleo (energía química)
Nuclear (energía nuclear), etc.
El ser humano siempre ha buscado formas de
obtener energía
Entre 1917 y 1973 disminuye el consumo de carbón
y aumenta notablemente el de petróleo.
Entre 1973 y 1985, fuerte crisis energética. El
petróleo comienza a agotarse y se comienzan a usar
otras energías: nuclear, hidroeléctrica, eólica, solar.
Importancia de la energía.- En la naturaleza se
observan continuos cambios y cualquiera de ellos
necesita la presencia de la energía: para cambiar un
objeto de posición, para mover un vehículo, para que
un ser vivo realice sus actividades vitales, para
aumentar la temperatura de un cuerpo, para
encender un celular, para enviar un mensaje por
móvil, etc.
b) Energía eléctrica.- La Energía eléctrica es
causada por el movimiento de las cargas eléctricas
en el interior de los materiales conductores. Esta
energía produce, fundamentalmente, tres efectos:
luminoso, térmico y magnético.
Por ejemplo, la transportada por la corriente eléctrica
en nuestras casas y que se manifiesta al encender
una bombilla.
La energía eléctrica se manifiesta como corriente
eléctrica, mediante movimiento de electrones en un
circuito.
La energía eléctrica es muy utilizada, ya que permite
su transformación en energía térmica, lumínica,
mecánica, etc.
La energía es la capacidad que tienen los
cuerpos para producir cambios en ellos mismos
o en otros cuerpos.
La energía no es la causa de los cambios. Las
causas de los cambios son las interacciones y,
su consecuencia, las transferencias de energía.
Tipos de energía:
a) Energía térmica.- La Energía térmica se debe al
movimiento de las partículas que constituyen la
materia. Un cuerpo a baja temperatura tendrá menos
energía térmica que otro que esté a mayor
temperatura.
Un cuerpo posee mayor cantidad de energía térmica
cuanto más rápido es el movimiento de sus
partículas.
La transferencia de energía térmica desde un cuerpo
a mayor temperatura hasta un cuerpo a menor
temperatura se denomina calor.
Se denomina energía térmica a la energía
manifestada bajo la forma de calor.
c) Energía radiante.- La Energía radiante es la que
poseen las ondas electromagnéticas como la luz
visible, las ondas de radio, los rayos ultravioleta
(UV), los rayos infrarrojo (IR), etc. La característica
principal de esta energía es que se puede propagar
en el vacío, sin necesidad de soporte material
alguno.
Por ejemplo, la energía que proporciona el Sol y que
nos llega a la Tierra en forma de luz y calor.
La energía radiante es energía electromagnética que
puede viajar en el vacío.
La energía radiante es un conjunto de ondas
electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz.
- 200 -
Física General
E es la energía, se mide en julios (J), m es la masa y
se mide en kilogramos (kg) y c es la velocidad de la
luz (300.000.000 m/s).
La fusión nuclear es un proceso en el que 2 átomos
pequeños se unen, dando lugar a un átomo más
grande y al desprendimiento de gran cantidad de
energía. Así obtienen energía las estrellas.
d) Energía química.- Es la energía que poseen las
sustancias químicas y puede ponerse de manifiesto
mediante una reacción química.
Las reacciones químicas
exotérmicas y endotérmicas.
se
clasifican
en
Una reacción exotérmica es aquélla que libera
energía.
Una reacción endotérmica es aquélla que absorbe
energía.
La combustión de sustancias como el butano es un
ejemplo de reacción exotérmica. La energía liberada
se emplea en calentar agua. Por el contrario, las
reacciones endotérmicas se emplean cuando se
desea enfriar algo.
e) Energía nuclear.- Es la energía que proviene de
las reacciones nucleares o de la desintegración de
los núcleos de algunos átomos.
Las reacciones nucleares que liberan energía son: la
de fisión nuclear y la de fusión nuclear.
En estas reacciones se produce energía por la
relación de equivalencia existente entre la masa y la
energía:
E = m.c2
La fisión nuclear es un proceso en el que un núcleo
de un átomo de uranio o plutonio se rompe en dos
núcleos más pequeños, libera neutrones (que
rompen otros núcleos) y grandes cantidades de
energía.
Degradación de la energía.- Unas formas de
energía pueden transformarse en otras. En estas
transformaciones la energía se degrada, pierde
calidad. En toda transformación, parte de la energía
se convierte en calor o energía térmica.
Cualquier tipo de energía puede transformarse
íntegramente en calor; pero, éste no puede
transformarse íntegramente en otro tipo de energía.
Se dice, entonces, que el calor es una forma
degradada de energía.
Se define, por tanto, el Rendimiento como la
relación (en % por ciento) entre la energía útil
obtenida y la energía aportada en una
transformación.
Física General
- 201 El costo económico y ambiental de instalar los
dispositivos para su proceso ha impedido una
proliferación notable de este tipo de energía.
En cualquier proceso en el que se produce una
transferencia de energía, nunca se produce al 100 %.
Parte de la energía aplicada se “pierde” debido al
rozamiento, a choques, a vibraciones, etc.
Es muy importante que el rendimiento sea alto, ya
que de esta forma la energía se emplea en el
proceso deseado y no se “pierde” en otras formas de
energía menos “útil”, tales como la energía calorífica.
Fuentes de energía.- Una fuente de energía es
cualquier material o recurso natural del cual se puede
obtener energía, bien para utilizarla directamente, o
bien para transformarla.
Las fuentes de energía se clasifican en dos grandes
grupos: renovables y no renovables; según sean
recursos "ilimitados" o "limitados".
Las fuentes de energía también se clasifican en
contaminantes (si generan residuos que contaminan,
como el carbón o el petróleo) y limpias (si no generan
residuos contaminantes, como la eólica o la solar).
Energías renovables.- Las Fuentes de energía
renovables son aquellas que, tras ser utilizadas, se
pueden regenerar de manera natural o artificial.
Algunas de estas fuentes renovables están
sometidas a ciclos que se mantienen de forma más o
menos constante en la naturaleza.
Existen varias fuentes de energía renovables, como
son:
-
Energía mareomotriz (Mareas)
Energía hidráulica (Embalses y presas)
Energía eólica (Viento)
Energía solar (Sol)
Energía de la biomasa (Vegetación)
a) Energía mareomotriz.- La Energía mareomotriz
es la producida por el movimiento de las masas de
agua, generado por las subidas y bajadas de las
mareas, así como por las olas que se originan en la
superficie del mar por la acción del viento.
Ventajas: Es una fuente de energía fácil de usar y de
gran disponibilidad.
Inconvenientes: Sólo pueden estar en zonas
marítimas, pueden verse afectadas por desastres
climatológicos, dependen de la amplitud de las
mareas y las instalaciones son grandes y costosas.
b) Energía hidráulica.- La Energía hidráulica es la
producida por el agua retenida en embalses a gran
altura (que posee energía potencial gravitatoria). Si
en un momento dado se deja caer hasta un nivel
inferior, esta energía se convierte en energía
cinética y, posteriormente, en energía eléctrica en
la central hidroeléctrica.
Ventajas: Es una fuente de energía limpia, sin
residuos y fácil de almacenar. Además, el agua
almacenada en embalses situados en lugares altos
permite regular el caudal del río.
Inconvenientes: La construcción de centrales
hidroeléctricas es costosa y se necesitan grandes
tendidos eléctricos. Además, los embalses producen
pérdidas de suelo productivo y fauna terrestre debido
a la inundación del terreno destinado a ellos.
- 202 c) Energía eólica.- La Energía eólica es la energía
cinética producida por el viento se transforma en
electricidad
en
unos
aparatos
llamados
aerogeneradores (molinos de viento especiales).
Ventajas: Es una fuente de energía inagotable y,
una vez hecha la instalación, gratuita. Además, no
contamina: al no existir combustión, no produce lluvia
ácida, no contribuye al aumento del efecto
invernadero, no destruye la capa de ozono y no
genera residuos.
Física General
consiste en convertir la luz solar en energía
eléctrica por medio de las céldas fotovoltaicas.
Las celdas solares se montan en serie sobre paneles
para conseguir un voltaje adecuado. Parte de la
radiación incidente se pierde por reflexión (rebota) y
otra parte por transmisión (atraviesa la célda). El
resto es capaz de hacer saltar electrones de una
capa a la otra creando una corriente proporcional a la
radiación incidente.
Inconvenientes: Es una fuente de energía
intermitente, ya que depende de la regularidad de los
vientos. Además, los aerogeneradores son grandes y
caros.
d) Energía solar.- La Energía solar es la que llega a
la Tierra en forma de radiación electromagnética (luz,
calor y rayos ultravioleta principalmente) procedente
del Sol, donde ha sido generada por un proceso de
fusión nuclear. El aprovechamiento de la energía
solar se puede realizar de dos formas:
Por conversión térmica (consiste en transformar la
energía solar en energía térmica almacenada en un
fluído) de alta temperatura (sistema fototérmico)
Ventajas: Es una energía no contaminante y
proporciona energía barata en países no
industrializados.
Inconvenientes: Es una fuente energética
intermitente, ya que depende del clima y del número
de horas de Sol al año. Además, su rendimiento
energético es bastante bajo.
e) Energía de la biomasa.- La Energía de la
biomasa es la que se obtiene de los compuestos
orgánicos mediante procesos naturales. Con el
término biomasa se alude a la energía solar,
convertida en materia orgánica por la vegetación,
que se puede recuperar por combustión directa o
transformando esa materia en otros combustibles,
como alcohol, metanol o aceite.
Por conversión fotovoltaica (consiste en la
transformación directa de la energía luminosa en
energía eléctrica) (sistema fotovoltaico).
La producción está basada en el fenómeno físico
denominado "efecto fotovoltaico", que básicamente
También se puede obtener biogás, de composición
parecida al gas natural, a partir de desechos
orgánicos.
Ventajas: Es una fuente de energía limpia y con
pocos residuos que, además son biodegradables.
También, se produce de forma continua como
consecuencia de la actividad humana.
Física General
Inconvenientes: Se necesitan grandes cantidades
de plantas y, por tanto extensiones mayores de
terreno. Se intenta "fabricar" el vegetal adecuado
mediante ingeniería genética. Su rendimiento es
menor que el de los combustibles fósiles y produce
gases, como el dióxido de carbono, que aumentan el
efecto invernadero.
- 203 El combustible fósil puede usarse quemándolo para
obtener energía térmica o movimiento y también
puede emplearse para obtener electricidad en
centrales termoeléctricas.
b) Energía nuclear.- La Energía nuclear es la
energía almacenada en el núcleo de los átomos, que
se desprende en la desintegración de dichos
núcleos.
Una central nuclear es una central eléctrica en la
que se emplea Uranio-235, que se fisiona en
núcleos de átomos más pequeños y libera una gran
cantidad de energía, la cual se emplea para calentar
agua que, convertida en vapor, acciona unas turbinas
unidas a un generador que produce la electricidad.
Ventajas: Pequeñas cantidades de combustible
producen mucha energía.
Energías no renovables.- Las Fuentes de energía
no renovables proceden de recursos que existen en
la naturaleza de forma limitada y que pueden llegar a
agotarse con el tiempo. Las más importantes son:
-
Inconvenientes: Se generan residuos radiactivos de
difícil eliminación.
Combustibles fósiles (Petróleo, carbón y gas
natural).
Energía nuclear (Fisión y fusión nuclear).
a) Combustibles fósiles.- Los Combustibles
fósiles (carbón, petróleo y gas natural) son
sustancias originadas por la acumulación, hace
millones de años, de grandes cantidades de restos
de seres vivos en el fondo de lagos y otras cuencas
sedimentarias.
Ventajas: Es una fuente de energía fácil de usar y de
gran disponibilidad.
Inconvenientes: Emisión de gases contaminantes
que aceleran el "efecto invernadero" y el probable
agotamiento de las reservas en un corto-medio
plazo.
Consumo de energía.- Es responsabilidad de todos
el no desperdiciar la energía, teniendo un consumo
mucho más responsable.
Toda la energía que consumimos requiere una
obtención y, para ello se contamina el medio
ambiente, generar residuos, que nos afectan a todos.
Uno de los problemas medioambientales más
preocupantes es el efecto invernadero.
El efecto invernadero es un fenómeno por el cual
determinados gases retienen parte de la energía que
el suelo emite por haber sido calentado por la
radiación solar. Este efecto se está viendo acelerado
por la emisión de CO2 por parte de numerosas
centrales energéticas en la combustión de carbón,
petróleo o gas natural.
El protocolo de Kioto (1997) es un acuerdo
internacional que tiene por objetivo reducir las
emisiones de varios gases que aumentan el efecto
invernadero y son responsables del calentamiento
global del planeta.
- 204 -
Física General
Física General
- 205 -
UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. Y OTROS SISTEMAS
Magnitud
Simb.
Sistema
c. g. s.
Longitud
L
Masa
S. Inglés
absoluto
S. I.
Sistema
Técnico
S. Inglés
Técnico
cm
m
m
ft
ft
M
g
kg
u.t.m.
slug
lbm
Tiempo
T
s
s
s
s
s
dyn
N
kp
lbf
pdl
Fuerza
F
= g cm/s2
= kg m/s2
= utm m/s2
=slug ft/s2
= lbm ft/s2
Área
A
cm2
m2
m2
ft2
ft2
Volumen
V
cm3
m3
m3
ft3
ft3
dyn
N
kp
lbf
pdl
Peso
w
= g cm/s2
= kg m/s2
= utm m/s2
= slug ft/s2
= lbm ft/s2
erg
J
kpm
lbf.ft
pdl.ft
= dyn.cm
= N. m
= kp.m
lbf.ft /s
pdl. ft /s
lbf.ft
pdl.ft
Trabajo
W
W
Potencia
Energía
P
erg/s
kpm /s
erg
= J/s
J
kpm
= dyn.cm
= Nm
= kp m
E
Densidad
ρ
g/cm3
kg/m3
u.t.m./m3
slug/ft3
lbm /ft3
Peso
específic
γ
dyn/cm3
N/m3
kp/m3
lbf /ft3
pdl /ft3
Algunos nombres de unidades usuales:
Longitud:
Masa:
Fuerza:
Trabajo:
Potencia:
ft = pie
m = metro
cm = centímetro
in = pulgada
km = kilómetro
Å = Ángstrom
u.t.m. = unidad
técnica
de masa
slug = slug
lbm = libra masa
kg = kilogramo
g = gramo
dyn = dina
N = Newton
kp = kilopondio
lbf = libra fuerza
pdl = poundal
kgf = kp
erg = ergio
J = Julio
kpm = kilopondímetro
lbf. ft = libra fuerza pie
pdl. ft = poundal pie
Btu = unidad térmica
británica
cal = caloría
W = vatio o watts
HP = Horse power
( caballo de
fuerza)
CV = Caballo vapor
kW = kilovatio o
kilowatt
- 206 -
Física General
ELEMENTOS BÁSICOS DE TRIGONOMETRÌA PARA LA FISICA
Funciones trigonométricas:
sen  
a
c
Funciones trigonométricas de ángulos notables
cos  
b
c
tg  
a
b
c2 = a2 + b2
TRIÁNGULOS RECTÀNGULOS NOTABLES:
Equilátero: Para definir funciones de 30º y 60º
0º
30º
45º
60º
90º
37º
53º
sen θ
0
1
2
2
2
3
2
1
3
5
4
5
cos θ
1
3
2
2
2
1
2
0
4
5
tag θ
0
3
3
1
3
∞
3
4
RELACIONES FUNDAMENTALES
sen2  cos2   1
1  tan2   sec2 
1  cot2   csc2 
sen 
1
sec
tan 
cos 
30º 30º
1
1
60º
60º
1
2
1
2
Rectángulo isósceles: Para definir funciones de 45º
1
csc
sen
cos
Funciones trigonométricas de la suma y
diferencia de dos ángulos, ángulo doble:
sen(   )  sen cos   sen  cos
cos(   )  cos cos   sen sen
sen 2  2 sen cos
cos 2  cos2   sen2 
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
45º
2
1
45º
1
Rectángulo 3, 4 y 5: Para definir funciones de 37º y
53º
Teorema de los cosenos:
a2
37 º
5
4
 b 2  c 2  2 b c cos 
b2  a2  c2  2 a c cos 
c2  a2  b2  2 a b cos 
53º
3
Teorema de los senos:
a
b
c


sen 
sen 
sen 
3
5
4
3
Física General
- 207 RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO
Cap. 1 Vectores
1.- d
7.- b
13.- c
19.- c
25.- c
31.- c
37.- d
2.- b
8.- c
14.- d
20.- b
26.- a
32.- c
38.- d
Cap. 8 Equilibrio de una partícula
3.- d
9.- c
15.- a
21.- a
27.- d
33.- d
39.- a
4.- d
10.- c
16.- d
22.- d
28.- b
34.- b
40.- a
5.- d
11.- c
17.- c
23.- c
29.- d
35.- d
41.- c
6.- c
12.- c
18.- c
24.- a
30.- a
36.- d
1.- d
7.- b
13.- d
19.- d
25.- c
31.- c
2.- b
8.- c
14.- c
20.- d
26.- b
32.- b
3.- d
9.- b
15.- d
21.- c
27.- d
33.- c
4.- d
10.- a
16.- a
22.- d
28.- a
34.- a
5.- d
11.- c
17.- c
23.- a
29.- c
35.- a
6.- d
12.- c
18.- d
24.- c
30.- c
36.- b
Cap. 9 Equilibrio de un Sólido Rígido
Cap. 2 M. R. U.
1.- b
7.- c
13.- d
19.- c
2.- a
8.- b
14.- b
20.- d
3.- d
9.- d
15.- c
21.- c
4.- d
10.- a
16.- c
22.- b
5.- b
11.- d
17.- b
23.- b
6.- a
12.- a
18.- d
24.- a
Cap. 3 M. R. U. V.
1.- d
7.- a
13.- c
19.- a
2.- a
8.- a
14.- d
20.- b
3.- d
9.- a
15.- d
21.- c
4.- b
10.- c
16.- a
22.- c
5.- d
11.- c
17.- b
23.- d
6.- b
12.- b
18.- c
24.- b
Cap. 4 Movimiento Vertical (Caída libre)
1.- d
7.- b
13.- d
19.- c
25.- a
31.- d
2.- c
8.- a
14.- c
20.- b
26.- b
32.- d
3.- c
9.- c
15.- d
21.- b
27.- a
4.- d
10.- d
16.- c
22.- c
28.- a
5.- b
11.- c
17.- d
23.- d
29.- b
6.- c
12.- b
18.- c
24.- c
30.- c
1.- d
7.- c
2.- a
8.- d
3.- a
9.- d
4.- d
10.- a
5.- b
11.- d
6.- a
12.- d
Cap. 10 Dinámica del Movimiento Rectilíneo
1.- b
7.- a
13.- d
19.- a
25.- a
31.- b
37.- c
43.- d
49.- c
56.- a
62.- c
68.- d
2.- d
8.- b
14.- c
20.- d
26.- c
32.- a
38.- b
44.- b
50.- b
57.- d
63.- d
3.- c
9.- b
15.- d
21.- d
27.- d
33.- c
39.- d
45.- b
51.- d
58.- b
64.- d
4.- a
10.- c
16.- d
22.- d
28.- d
34.- c
40.- a
46.- b
53.- c
59.- a
65.- d
5.- c
11.- c
17.- c
23.- c
29.- c
35.- c
41.- c
47.- b
54.- a
60.- c
66.- a
6.- a
12.- c
18.- a
24.- c
30.- d
36.- c
42.- d
48.- a
55.- c
61.- b
67.- d
Cap. 11 Dinámica del Movimiento Circular
1.- d
7.- b
2.- d
8.- b
3.- c
9.- c
4.- c
10.- c
5.- b
11.- c
6.- b
12.- b
5.- c
11.- d
17.- a
23.- c
29.- c
35.- d
41.- a
47.- c
6.- b
12.- d
18.- c
24.- b
30.- d
36.- d
42.- b
48.- d
5.- c
11.- c
17.- c
23.- a
29.- c
35.- d
41.- c
6.- a
12.- d
18.- c
24.- a
30.- d
36.- c
42.- b
Cap. 5 Movimiento Parabólico
Cap. 12 Trabajo y potencia
1.- d
7.- c
13.- d
19.- b
2.- a
8.- b
14.- b
20.- d
3.- c
9.- c
15.- a
21.- a
4.- d
10.- c
16.- b
22.- d
5.- a
11.- c
17.- d
6.- d
12.- a
18.- c
3.- c
9.- b
15.- c
21.- c
27.- b
33.- d
4.- a
10.- b
16.- d
22.- c
28.- b
34.- b
5.- d
11.- c
17.- b
23.- a
29.- d
35.- d
6.- a
12.- b
18.- d
24.- c
30.- a
Cap. 6 M. C. U.
1.- b
7.- d
13.- b
19.- b
25.- d
31.- b
2.- b
8.- a
14.- b
20.- c
26.- a
32.- c
Cap. 7 M. C. U. V.
1.- c
7.- b
13.- d
19.- b
25.- d
2.- b
8.- c
14.- b
20.- a
26.- c
3.- d
9.- c
15.- c
21.- d
27.- b
4.- c
10.- c
16.- a
22.- c
28.- b
5.- a
11.- c
17.- a
23.- a
29.- c
6.- c
12.- b
18.- a
24.- a
30.- b
1.- d
7.- c
13.- a
19.- a
25.- c
31.- a
37.- d
43.- b
49.- c
2.- d
8.- b
14.- b
20.- d
26.- a
32.- c
38.- d
44.- c
50.- d
3.- c
9.- a
15.- c
21.- b
27.- c
33.- c
39.- d
45.- a
51.- d
4.- d
10.- b
16.- c
22.- b
28.- c
34.- d
40.- b
46.- b
52.- b
Cap. 13 Energía Mecánica
1.- d
7.- a
13.- b
19.- a
25.- d
31.- c
37.- b
2.- d
8.- a
14.- a
20.- c
26.- c
32.- d
38.- b
3.- b
9.- a
15.- a
21.- a
27.- c
33.- b
39.- b
4.- c
10.- c
16.- c
22.- d
28.- c
34.- d
40.- b
- 208 -
Física General
BIBLIOGRAFÍA
Walter Pérez Terrel
Teoría y problemas selectos de Física y como
resolverlos
Raymond A Serway
Física. Tomo I. Editorial Normos S.A.
Jerry D. Wilson
Física Lander University. Segunda edición.
PHH. Prentice Hall
Paul Hewitt.
Física Conceptual,
Michel Valero
Física Fundamental 1. Editorial Norma
Halliday – Resnick
Física. Parte I.
Compañía Editorial Continental S. A. Mx.
Felix Aucalllanchi Velásquez.
Física. Editorial “San Marcos”. Lima - Perú
Jorge Mendoza Dueñas
Física. Teoría y Problemas.
Ediciones Félix Maguiño. Lima – Perú
Páginas de la WEB en Internet consultadas:
http://www.cmark-gip.es/jano/fisica/mecanica/mecanica3.htm
http://www.lafacu.com/
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http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Enlaces/FQ.htm
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http://www.geocities.com/petersonpipe/
http://www.ejerciciosresueltos.com/
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http://galilei.iespana.es/galilei/fis/problemas-fis.htm
http://www.cienciafacil.com/fisica.html
http://www.pabellondelaenergiaviva.com/formacion/index.html