1. Espiritual

Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Matem´
aticas y M´
usica. El c´
odigo
oculto de J. S. Bach
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Pablo Pedregal, UCLM
ESTALMAT, Castilla-La Mancha
Albacete, Octubre, 2014
Planteamiento
Proporciones e intervalos
El problema
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA
EXACTA (!!!).
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA
EXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA
EXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERA
EXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
La m´
usica de J. S. Bach era mucho m´as exigente.
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema (continuaci´on)
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Andreas Werckmeister desarroll´
o un nuevo m´etodo de
afinaci´on.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema (continuaci´on)
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Andreas Werckmeister desarroll´
o un nuevo m´etodo de
afinaci´on.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema (continuaci´on)
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Andreas Werckmeister desarroll´
o un nuevo m´etodo de
afinaci´on.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Entusiasmo de Bach.
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El problema (continuaci´on)
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Andreas Werckmeister desarroll´
o un nuevo m´etodo de
afinaci´on.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Entusiasmo de Bach.
Compone “El clave bien temperado” con preludios y
fugas en todas las tonalidades.
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El c´odigo oculto de J. S. Bach
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El c´odigo oculto de J. S. Bach
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Pregunta
¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´
on?
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El c´odigo oculto de J. S. Bach
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Pregunta
¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´
on?
Bradley Lehman: c´odigo oculto en la portada
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
El c´odigo oculto de J. S. Bach
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Pregunta
¿En qu´e consist´ıa este nuevo modo de afinaci´
on?
Bradley Lehman: c´odigo oculto en la portada
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a
440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava
(dividiendo entre 2), a 660, o proporci´
on 3/2?
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a
440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava
(dividiendo entre 2), a 660, o proporci´
on 3/2?
LA QUINTA: MI, proporci´
on 3/2.
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a
440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava
(dividiendo entre 2), a 660, o proporci´
on 3/2?
LA QUINTA: MI, proporci´
on 3/2.
MI
LA
LA
→
→
440
660
880
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a
440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava
(dividiendo entre 2), a 660, o proporci´
on 3/2?
LA QUINTA: MI, proporci´
on 3/2.
MI
LA
LA
→
→
440
660
880
LA CUARTA: MI-LA, proporci´
on 880/660 = 4/3.
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
M´
usica
Pablo Pedregal
LA: 440 vibraciones/segundo → 1
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
LA: 880 vibraciones/segundo → 2 (octava m´as arriba)
Soluciones
El “clave bien
temperado”
LA: 1760 vibraciones/segundo → 4 (octava m´as arriba)
PREGUNTA: ¿Qu´e pasa con el 3? ¿Qu´e nota corresponde a
440 × 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava
(dividiendo entre 2), a 660, o proporci´
on 3/2?
LA QUINTA: MI, proporci´
on 3/2.
LA LA RE MI MI LA LA
→ → → → →
440 440 587 660 660 880 880
LA CUARTA: MI-LA, proporci´
on 880/660 = 4/3.
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
tercera: 5n/4
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
s´eptima: 16n/9
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Cada intervalo tiene su proporci´on
PROBLEMA
Nota
base con frecuencia: n.
Serieoctava:
de quintas
2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
s´eptima: 16n/9
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Cada intervalo tiene su proporci´on
PROBLEMA
Nota
base con frecuencia: n.
Serieoctava:
de quintas
2n
quinta:
Re
La
Do3n/2 Sol
→
→
→
→
cuarta:n 4n/3(3/2)n
(3/2)2 n
(3/2)3 n
Mi 9n/8 Si
Fa#
Do#
segunda:
→
→
→
→
4
5
6
(3/2) 5n/4
(3/2) n
(3/2) n
(3/2)7 n
n
tercera:
Re#
La#
Fa
Do
Sol#
sexta:→8n/5
→
→
→
8
9
10
11
(3/2) n
(3/2) n
(3/2) n
(3/2) n
(3/2)12 n
s´eptima: 16n/9
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Cada intervalo tiene su proporci´on
Planteamiento
quinta:
Re
La
Do3n/2 Sol
→
→
→
→
cuarta:n 4n/3(3/2)n
(3/2)2 n
(3/2)3 n
Mi 9n/8 Si
Fa#
Do#
segunda:
→
→
→
→
4
5
6
(3/2) 5n/4
(3/2) n
(3/2) n
(3/2)7 n
n
tercera:
Re#
La#
Fa
Do
Sol#
132sexta:→8n/5
CHAPTER
AS→
INTERVALS
→11. RATIONAL
→NUMBERS
8
9
10
11
(3/2) n
(3/2) n
(3/2) n
(3/2) n
(3/2)12 n
s´eptima: 16n/9
C
G
D
B
A
E
E
A
D
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
PROBLEMA
Nota
base con frecuencia: n.
Serieoctava:
de quintas
2n
F
Breve conclusi´
on
G
B
12-octave clock with tempered fifths
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Coma pitag´orica
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Coma pitag´orica
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Deber´ıamos tener
3 12
= 27
2
pues 7 es el n´
umero de octavas recorridas.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Coma pitag´orica
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Deber´ıamos tener
3 12
= 27
2
pues 7 es el n´
umero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!:
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Coma pitag´orica
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Deber´ıamos tener
3 12
= 27
2
pues 7 es el n´
umero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Coma pitag´orica
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Deber´ıamos tener
3 12
= 27
2
pues 7 es el n´
umero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????
219 = 524288, 312 = 531441.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
F
Proporciones e intervalos
B
Coma pitag´orica
C Soluciones
G
D
A
E
E
A
Deber´ıamos tener
El “clave bien temperado”
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervals
add up to slightly more than one
wrapping around the clock and
= 312 ????
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 rotation,
ending
up
clockwise
of
the
12
o’clock
position
by precisely the comma of
219 = 524288,
312 below.
= 531441.
Pythagoras,
as shown
Thus the tuning of C would be problematic.
F
C
C
B
G
D
A
E
A
E
D
G
B
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
3D 12G B7
=2
2 with tempered fifths
12-octave clock
pues 7 es el n´
umero de octavas recorridas.
DESAJUSTE:
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
La soluci´on equitativa
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA
´ 21/12 (¡n´
PROPORCION
umero irracional!).
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA
´ 21/12 (¡n´
PROPORCION
umero irracional!).
La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ...
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA
´ 21/12 (¡n´
PROPORCION
umero irracional!).
La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA
´ 21/12 (¡n´
PROPORCION
umero irracional!).
La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la soluci´on electr´onica: la usan los teclados electr´
onicos.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on equitativa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Una octava con proporci´on 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNA
´ 21/12 (¡n´
PROPORCION
umero irracional!).
La coma pitag´orica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la soluci´on electr´onica: la usan los teclados electr´
onicos.
Nuestro o´ıdo est´a acostumbrado a esta soluci´
on. Permite
esencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no se
favorece ninguna.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on mesot´onica
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u
´ltima
quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan
pr´acticamente de manera exacta.
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on mesot´onica
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u
´ltima
quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan
pr´acticamente de manera exacta.
Proporciones e
intervalos
El temperamento usado antes del barroco por los afinadores
de clavicordios.
Breve conclusi´
on
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on mesot´onica
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u
´ltima
quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan
pr´acticamente de manera exacta.
Proporciones e
intervalos
El temperamento usado antes del barroco por los afinadores
de clavicordios.
Breve conclusi´
on
Para J. S. Bach no era una soluci´
on v´alida por la
complejidad de su m´
usica.
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
La soluci´on mesot´onica
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Se carga la coma pitag´orica esencialmente en la u
´ltima
quinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinan
pr´acticamente de manera exacta.
Proporciones e
intervalos
El temperamento usado antes del barroco por los afinadores
de clavicordios.
Breve conclusi´
on
Para J. S. Bach no era una soluci´
on v´alida por la
complejidad de su m´
usica.
No existe una soluci´on ideal: cualquier soluci´
on ser´a
defectuosa.
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Idea de B. Lehman
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Idea de B. Lehman
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave
bien temperado”
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Idea de B. Lehman
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave
bien temperado”
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Idea de B. Lehman
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave
bien temperado”
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
C´odigo oculto de Bach
Once volutas encima del t´ıtulo:
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Idea de B. Lehman
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
La afinaci´on est´a oculta en la portada original de “El clave
bien temperado”
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
C´odigo oculto de Bach
Once volutas encima del t´ıtulo: once son las quintas que hay
que determinar en la serie de quintas!!
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Descripci´on
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Descripci´on
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Descripci´on
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1
las volutas simples: quintas puras;
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1
las volutas simples: quintas puras;
2
las volutas con un lazo simple: quintas que pierden un
sexto de la coma pitag´
orica;
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
Descripci´on
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1
las volutas simples: quintas puras;
2
las volutas con un lazo simple: quintas que pierden un
sexto de la coma pitag´
orica;
3
las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo de
la coma pitag´orica.
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Todav´ıa una pregunta importante
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Todav´ıa una pregunta importante
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta?
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Todav´ıa una pregunta importante
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta?
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
Todav´ıa una pregunta importante
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
¿Qu´e nota corresponde a qu´e voluta?
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
No solo teor´ıa
Soluciones
El “clave bien temperado”
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
No solo teor´ıa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Buen resultado
Lehman ha grabado discos con ese temperamento.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
No solo teor´ıa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Buen resultado
Lehman ha grabado discos con ese temperamento.
Idea hermosa
Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´
o en un c´odigo
secreto una indicaci´on sobre la afinaci´
on del clavicordio.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
No solo teor´ıa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Buen resultado
Lehman ha grabado discos con ese temperamento.
Idea hermosa
Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´
o en un c´odigo
secreto una indicaci´on sobre la afinaci´
on del clavicordio.
No es un problema grave
Afortunadamente, la mayor´ıa de entre nosotros podemos
disfrutar de la m´
usica de Bach sin preocuparnos demasiado
por la afinaci´on.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on
Planteamiento
Proporciones e intervalos
Soluciones
El “clave bien temperado”
No solo teor´ıa
Breve conclusi´
on
Matem´
aticas y
M´
usica
Pablo Pedregal
Buen resultado
Lehman ha grabado discos con ese temperamento.
Idea hermosa
Bach, el compositor m´as matem´atico, nos dej´
o en un c´odigo
secreto una indicaci´on sobre la afinaci´
on del clavicordio.
No es un problema grave
Afortunadamente, la mayor´ıa de entre nosotros podemos
disfrutar de la m´
usica de Bach sin preocuparnos demasiado
por la afinaci´on.
´
´ NO SE
LAS MATEMATICAS
EXPLICAN POR QUE
PUEDE AFINAR EXACTAMENTE UN TECLADO.
Planteamiento
Proporciones e
intervalos
Soluciones
El “clave bien
temperado”
Breve conclusi´
on