1. Educación

Solución de la Ecuación de Black-Scholes para Calcular el Precio de
una Opción con Pago general, mediante Técnicas Elementales:
Sustituciones y Transformadas de Fourier
Carlos Palomino Jiménez1, Francisco S. Tajonar Sanabria2, Hugo A. Cruz Suárez3, Carlos Zamora
Lima4

Resumen—En 1973 Black y Scholes calcularon el precio
de una opción con su célebre modelo, en este trabajo se
calcula el precio de una opción con una función de pago
en general, resolviendo la ecuación de diferencial de
Black-Scholes utilizando técnicas elementales tales como:
sustituciones y transformadas de Fourier
II. EL MODELO DE BLACK - S CHOLES
Antes de enunciar la ecuación de Blach-Scholes cuya
solución nos da el precio de una opción vainilla,
introduciremos una notación simple.
I. INTRODUCCIÓN
SIN lugar a dudas uno se los derivados financieros más
importantes en los mercados de valores son las Opciones
[[2], [5], [6], [8], [16], [15]]. Las opciones han existido en
una forma u otra durante cientos de años, por ejemplo para
proveer protección en negocios, de ala protección agrícola.
Sin embargo, hace varias décadas eran instrumentos
financieros poco conocidos, puesto que los contratos de
opciones generalmente eran concertados en circunstancias
ad hoc, haciéndolos bastante costosos.
Las opciones se utilizan para dos cosas: especulación y
cobertura. En 1973 Black y Scholes (ver [1]) calcularon el
precio de una opción con su célebre modelo, en este trabajo
se calcula el precio de una opción con una función de pago
general (función de clase
y con soporte compacto),
resolviendo la ecuación diferencial de Black-Scholes
utilizando técnicas elementales tales como: sustituciones y
transformadas de Fourier.
Las opciones pueden dividirse en dos clases amplias:
opciones call y opciones put.
Un call es un valor que le da a su dueño el derecho de
comprar un número fijo de acciones de una empresa
específica en un precio. Un put es un contrato que le da a su
tenedor el derecho de vender un número fijo de acciones de
una empresa especificada en un precio especificado en un
momento dado permitido hasta una fecha especificada.
Puesto que el valor que puedan tener las opciones depende
de otro valor, que es la acción subyacente, a estos se les
conocen como derivados financieros.
La opción europea como ya se dijo es la opción más
popular, pero existen otras que también son utilizadas muy
frecuentemente. Por ejemplo: opción americana, opción
asiática, opción lookback, opción supershare, opción cash
or nothing, etc.
1
carlos_cpj@hotmail, [email protected], 3 [email protected],
[email protected] , 1,4 FCC – BUAP, 2,3 FCFM - BUAP.
4
Con se denotará el valor de una opción, ( ( , ) para un
call y ( , ) para un put), es una función del precio actual
del bien fundamental, , y el tiempo, : = ( , ). El
valor de la opción también depende de los siguientes
parámetros:
σ, la volatidad del bien fundamental;
Е, el precio de ejercicio;
Т, el tiempo de expiración;
R, la tasa de interés.
El modelo con el que Black-Scholes (modelo de BlackScholes, ver [1]) se basaron para calcular el valor de una
opción, se basa en las siguientes suposiciones con las cuales
trabajaremos el resto del trabajo.
1. El precio del bien sigue una caminata aleatoria
lognormal, i.e., el precio está dado por la solución de
esta ecuación diferencial estocástica
(1)
=
+
Existen otros modelos, y en muchos casos es posible
interpretar el análisis de Black-Scholes para derivar
una ecuación diferencial para el valor de una opción.
Formulas explícitas raras veces existen para tales
modelos. Sin embargo, esto no debería hacernos
desconfiar de su uso, puesto que soluciones
numéricas exactas (sin errores) son usualmente
completas y directas.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
La tasa de interés libre de riesgo y la volatidad del
bien son funciones conocidas del tiempo sobre la
vida de la opción.
No hay costos de transacción asociados con
coberturas a portafolios.
El bien fundamental no paga dividendos durante la
vida de la opción, (este supuesto puede ser desechado
si los dividendos son conocidos de antemano). Estos
pueden ser pagados en intervalos discretos o
continuos sobre la vida de la opción.
No existen posibilidades de arbitraje. La ausencia de
oportunidades de arbitraje significa que todos los
portafolios libres de riesgo deben ganar el mismo
regreso (return).
El comercio de bienes fundamentales puede hacerse
continuamente (esto es claramente una idealización y
se vuelve importante en los costos de transacción).
Se permite vender en corto y los bienes son divisibles
(se supone que podemos comprar y vender cualquier
número (no necesariamente un entero) de bienes
fundamentales y que podríamos vender bienes que no
tenemos).
Bajo las 7 suposiciones anteriores, Black-Scholes
obtuvieron se celebre ecuación (llamada la ecuación
diferencial parcial de Black-Scholes)
(2)
+
+
−
=0
La condición de frontera para nuestra ecuación diferencial
es
(4)
C (0; t) = 0.
Cuando el precio del bien se incrementa (al infinito) i.e.,
S   , el precio de la opción se parece más al valor del
bien subyacente, esto es
(5)
C (S; t)  S cuando S   .
Para una opción europea, sin la posibilidad de ejercer
antes de la fecha de expiración, (2)-(5) puede ser resuelto
exactamente, para obtener el precio de Black-Scholes de una
opción.
IV. SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE BLACK-SCHOLES
La Ecuación de Black-Scholes con condiciones iníciales y
de frontera para una opción europea ( , ), esta dada por
(6)
+
Una vez derivada la ecuación de Black-Scholes para el
valor de una opción, con una función de pago general, lo
siguiente a considerar son las condiciones iniciales y de
frontera, pues en muchos casos la ecuación diferencial no
tiene una solución única.
=
,
=
−
,
=
( , )
La ecuación (6) se transforma en
donde
+(
=
(7)
=
− 1)
−
,
. La condición inicial se transforma en
1
(
)
La ecuación (7) se parece a la ecuación de la difusión del
calor.
Ahora, hagamos la siguiente sustitución
(
( , 0) =
)
(
)
( , )
entonces la ecuación (7) se transforma en
Sea C (S, t) el valor de una opción europeo, con precio de
ejercicio E y fecha de expiraciónT.
En t = T, el valor de la ópcion es conocido con certeza,
el pago es:
(3)
C (S; T) = G(S).
Esta es la condición final para nuestra ecuación
diferencial parcial.
=0
C (0; t) = 0
lim → ( , ) = 0
( , )= ( )
⎨
⎪
⎩
( , 0) =
III. CONDICIONES FINALES Y DE FRONTERA
−
donde ( ) es una función de clase C y con soporte
compacto [ , ].
Para resolver el problema anterior, hagamos la siguiente
sustitución ([15])
que nos da el precio justo de una opción.
Note que la ecuación de Black-Scholes (2) no contiene el
parámetro de crecimiento µ. En otras palabras, el valor de
una opción es independiente de cuán rápido o lentamente un
bien crezca. El único parámetro de la ecuación diferencial
estocástica (1) para el precio del bien que afecta el precio de
la opción es la volatidad, . Una consecuencia de esto es que
dos personas podrían diferir en sus estimaciones para µ aún
estando de acuerdo en el valor de una opción.
+
⎧
⎪
=
,
−∞<
< ∞, > 0;
con
(8)
( , 0) =
( )=
(
)
(
)
,
[0, ], con
donde
Haciendo el cambio de variables
=
́
=
Antes de proseguir, resolvamos el siguiente problema. El
problema a resolver es la ecuación de la difusión del calor
i.e.,
( , )=
( , 0) =
( , ),
1
(
(
)
( , ),
( , 0) = (
)( ),
,
−
2
,
́
=
( ).
=
,
2( ́ )
( , )=
Aplicando la transformada de Fourier
(
)
(
)(
,
=
,
)
al
problema
anterior,
se
∫
√
tiene
( , ) = (− )
́
=
≥ 0,
)
+
tenemos que,
))( ) =
(exp(−
21
≥ 0,
=
√2 √
́
( ́)
√2 2
́
1
2
Γ
de donde se tiene que
=
( , ) = ( ) exp(−
),
( , 0) = ( ) = (
)( ).
Así, se tiene que
( , )=(
)( ) exp(−
√2
Así, la solución del problema de la ecuación de la difusión
está dada por
(
)
1
( , )=
( ).
,
2√
).
Aplicando la trasformada inversa de Fourier se obtiene
( , )=(
)( , ) =
[(
)( ) exp(−
=
)]( , )
Ahora tenemos el siguiente
4.1 TEOREMA (TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN
PRODUCTO).
1
( . )( ) =
( )( )( )( − )
√2
2√
√
( , )=
.
√
∫√
=
)( ) exp(−
(
√2
donde
)( )(
(
exp(−
)( ) =
(
))( − )
=
(
)
(
)
√
,
(
)
( , ),
∫√
́
́ √2 +
, =
1
( − ) y
( , )=
√2
=
( , )
√2
√2
.
=
=
,
( , ), se obtiene
1
=
́.
√
Finalmente, con ayuda de los cambios inversos
( ).
= log
))( ) =
)
)]( , )
Sin embargo,
(exp(−
́
√
Así
=
1
́
́ √2 +
( , )=
[(
)
( ).
donde
( ) es la condición inicial.
Evaluemos la integral anterior, para ello hagamos el
cambio de variable, ́ =
, así tenemos:
Demostración. Ver ([11], Prop. 2.2.1.)
Aplicando este teorema para encontrar ( , ), se tiene
( , )=
(
1
1
√2
precio de una opción europea para distintas funciones de
pago de clase
con soporte compacto. Ejemplos,
opción supershare, opción cash or nothing.
√
́ √2 +
∗
́
́
√
REFERENCIAS
=
(
)
√2
√
́ 2
∗
1
2
́
( − ) + log
́
√
(
=
)
√2
√
́
( − ) + log
́
∗
́
√
( )=
donde
( )
=
.
Por lo tanto, tenemos que
(
( , )=
(9)
)
√
√
́
∗
( − ) + log
́
́
√
donde
( )=
( )
=
( )
V. CONCLUSIÓN
Hemos encontrado una fórmula que nos provee el
[1] Black F. y Scholes M., The Pricing of Options and
Corporate Liabilities. Journal of Political Economy 81
(3): 637-654.
[2] Cox J. C. y Rubistein M., Option Markets. Prentice
Hall, New Yersey,1985.
[3] Fusai G., Abrahams D., Sgarra C., An exact analytical
solution for discrete barrieroptions. Finance and
Stochastics, 1-26, 2006.
[4] German H., Pricing and Hedging Double-Barrier
Options: A probabilistic Approach. Math. Finance 6:4,
365-378, 1996.
[5] Karatzas I., Lectures on the Mathematics of Finance,
1997.
[6] Karatzas I. y Yor M., Methods of Mathematical
Finance, 1995.
[7] Merton R., Theory of Rational Option Pricing, 1973.
[8] Musiela M., y Rutkowsky M., Martingale Methods in
Financial Modelling 2007.
[9] Nelken I., Handbook of Exotic Options, 1995
[10] Pelsser A. Pricing double barrier options using Laplace
transform. Finance Stochastics, 4:1, 95-104, 2000.
[11] Pinsky M. A., Introducción al anális de fourier y a las
ondoletas. Thompson 2001.
[12] Poulsen R., Barrier Option and Their Static Hedges:
Simple derivations and Extensions. 2006
[13] Shreve S., Stochastics calculus for .nance I (The
binomial asset pricing model), 2004.
[14] Shreve S., Stochastics calculus for .nance II (The
binomial asset pricing model), 2004.
[15] Wilmott P., Dewynne J. and Howison S., Option
Pricing: Mathematical Model and computation 1993
[16] Wilmott P., Dewynne J. and Howison S., The
Mathematics of .nancial derivates: A Student
Introduction 1995
[17] Zhang P., Exotic Opt0ions: A Guide to the Second
Generation Option 1996. (1942), 22-36.