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C URVAS Y SUPERFICIES . R ELACI ÓN 4
I SOMETR ÍAS LOCALES . G EOD ÉSICAS
Curso 2015-16
1. Probar que si f : S → S0 es una isometrı́a local entre superficies, entonces la diferencial
(d f ) p : Tp S → T f (p) S0 conserva los ángulos para cada p ∈ S. ¿Es cierto el recı́proco?
2. Se considera el helicoide S = {(x, y, z) ∈ R3 / x sen(z) = y cos(z)}. Para cada θ ∈ R, se
define fθ : S → S como:
fθ (x, y, z) = (x cos(θ) − y sen(θ), x sen(θ) + y cos(θ), z + θ).
Demostrar que fθ está bien definida y es una isometrı́a de S. ¿Es una congruencia?
3. Sea P = {(x, y, z) ∈ R3 / x = 0} y S = {(x, y, z) ∈ R3 / a2 x2 + b2 y2 = 1}. Estudiar para
qué valores a, b > 0 la aplicación f : P → S dada por:
cos(y) sen(y)
,
,z
f (0, y, z) =
a
b
es una isometrı́a local. Para tales valores, ¿es f una congruencia?
4. (Construcción de isometrı́as). Sean X : U → S y X 0 : U → S0 parametrizaciones de dos
superficies S y S0 . Llamemos V = X(U) y V 0 = X 0 (U). Demostrar que si E = E 0 , F = F 0 y
G = G0 en U, entonces la aplicación f = X 0 ◦ X −1 : V → V 0 es una isometrı́a.
5. Sea α : R → {z = 0} una curva plana embebida y p.p.a. Demostrar que el cilindro sobre α
definido en el ejercicio 5 de relación 2 es isométrico a un plano afı́n.
6. Consideremos un plano afı́n, una esfera, y el paraboloide de ecuación z = xy. ¿Se puede
encontrar una isometrı́a local entre dos de estas superficies?
7. ¿Existe una isometrı́a local entre un plano afı́n y el grafo de la función ϕ(x, y) = x3 + y3 ?
¿Y entre un plano afı́n y uno de los toros descritos en el ejercicio 3 de relación 2?
8. (El recı́proco del teorema egregium de Gauss no es cierto). Encontrar una aplicación diferenciable f : S → S0 con K 0 ◦ f = K y que no sea una isometrı́a local. ¿Se puede encontrar
un ejemplo de este tipo que sea además un difeomorfismo?
Relación 4. Isometrı́as locales. Geodésicas
2
9. Para cada número real a ≥ 1 se considera el elipsoide de revolución dado por:
Sa = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 + a z2 = 1}.
Describir Sa ∩ {z = 0} como la traza de una curva parametrizada de forma proporcional al
arco. ¿Es dicha curva una geodésica de Sa para algún a ≥ 1?
10. Se considera la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y2 − z2 = −1}. Parametrizar de forma
proporcional al arco la intersección S ∩ {z = a} y estudiar, en función del parámetro a, si
es o no una geodésica de S.
11. Se considera la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 / z = xy}. Probar que las intersecciones de S
con los planos {x = a} e {y = b}, convenientemente parametrizadas, son geodésicas de S.
12. Se considera el helicoide S y la familia de isometrı́as fθ : S → S del ejercicio 2. Dado
p = (1, 0, 0) ∈ S, se define α : R → S como α(θ) = fθ (p). ¿Es α una geodésica de S?.
13. Estudiar si los paralelos o los meridianos de una superficie de revolución son geodésicas.
14. Resolver razonadamente las siguientes cuestiones:
a) ¿Existe una parametrización X : U → S2 de forma que E = 1, F = 0 y G = 1 en U?
b) ¿Qué podemos afirmar sobre una superficie orientable S cuya aplicación de Gauss es
una isometrı́a?
c) Sea S una superficie compacta, conexa y homogénea (es decir, para cada p, q ∈ S
existe f : S → S isometrı́a con f (p) = q). Demostrar que S es una esfera.
d) Sea f : S → S0 un difeomorfismo entre superficies orientadas de forma que K 0 ◦ f = K
y H 0 ◦ f = H. ¿Es f una isometrı́a local?
e) Sea f : S → S0 una isometrı́a entre superficies orientadas de forma que H 0 ◦ f = H.
¿Es f una congruencia?
f ) ¿Es cierto que dos puntos de cualquier superficie conexa S siempre se pueden unir
por una geodésica de S?
g) ¿Es cierto que una homotecia φ de R3 transforma geodésicas de una superficie S en
geodésicas de la superficie Se = φ(S)?
h) Sea S una superficie orientable, conexa y cerrada con la propiedad de que todas sus
geodésicas son segmentos de rectas. Demostrar que S es un plano.