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Control Moderno - Ing. Electrónica
Ejercicio resuelto 4: Controlabilidad y observabilidad
Considere el siguiente sistema
ẋ1
ẋ2
ẋ3
ẋ4
= 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + u
= −2x1 − 3x2 − 2u
= −2x1 − 2x2 − 4x3 + 2u
= −2x1 − 2x2 − 2x3 − 5x4 − u
(1)
y = 7x1 + 6x2 + 4x3 + 2x4 .
(2)
siendo la variable de salida
El sistema dado por (1) es útil para estudiar como un sistema puede subdividir en subsistemas
controlable y no controlable, observable y no observable.
Por inspección fácilmente pueden encontrase las matrices A, B y C del sistema:




A=
2
3
2
1
−2 −3
0
0
−2 −2 −4
0
−2 −2 −2 −5



,





B=
1
−2
2
−1



,

C=
h
7 6 4 2
i
.
La función de transferencia H(s) desde la entrada u a la salida y está dada por
H(s) =
Y (s)
= C(sI − A)−1 B
U (s)
(3)
donde
(sI −A)−1 =
s3 + 12s2 + 47s + 6
3s2 + 21s + 36
2s2 + 14s + 24
s2 + 7s + 12
 −2s2 − 18s − 40
3
2
s + 7s + 8s − 16
−4s − 16
−2s − 8
1 
∆(s) 
 −2s2 − 12s − 10
−2s2 − 12s − 10 s3 + 6s2 + 7s + 2
−2s − 2
−2s2 − 6s − 4
−2s2 − 6s − 4
s3 + 5s2 + 8s + 4
−2s2 − 6s − 4





con
∆(s) = |sI − A| = s4 + 21s3 + 35s2 + 50s + 24.
Resolviendo, la (3) resulta
s3 + 9s2 + 26s + 24
,
s4 + 21s3 + 35s2 + 50s + 24
(s + 2)(s + 3)(s + 4)
1
=
(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)
(s + 1)
H(s) = C(sI − A)−1 B =
(4)
H(s) =
(5)
La cancelación entre polos y ceros de H(s), está poniendo en evidencia un problema de controlabilidad y/o observabilidad. Empleemos el test de Gilbert para evaluarlo. Con esta finalidad, buscamos
una matriz de transformación T , que nos permita obtener un modelo diagonal del sistema. Procediendo como hemos visto en prácticas anteriores, la transformación en este caso resulta




T =
4
3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1



,





T −1 = 
1
1 −1
0
0
−1
2 −1
0
0 −1
2 −1
0
0 −1
2





Luego, de aplicar la transformación tenemos las siguientes ecuaciones de estado
ż = Ad z + Bd u
(6)
y = cd z
donde




Ad = T AT −1 = 
−1
0
0
0
0 −2
0
0
0
0 −3
0
0
0
0 −4




,




Bd = T B = 
1
0
1
0



,

Cd = CT −1 =
h
1 1 0 0
i
.
Esto es equivalente a las siguientes ecuaciones diferenciales
ż1
ż2
ż3
ż4
= −z1 + u,
= −2z2 ,
= −3z3 + u,
= −4z4 ,
(7)
y ecuación de salida
y = z1 + z2 .
(8)
Estas ecuaciones representadas en diagrama de bloques corresponde a la Fig. 1.
u q - g ż1 - R
6
y
z1
q -g 6
−1
g
6
ż2
-
R
q
z2
−2
-g
6
ż3
-
R
q
z3
-
−3
g
6
ż4
-
R
q
z4
-
−4
Figura 1: Representación de las ecuaciones (7) y (8)
Puede observarse que sólo las variables z1 y z3 son afectadas por la acción de control; y que la
salida sólo es influenciada por los estados z1 y z2 . Por tanto,
- el estado z1 es controlable y observable,
- el estado z2 no es controlable pero si observable,
- el estado z1 es controlable pero no observable,
- el estado z4 no es ni controlable y ni observable.
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Finalmente, el sistema puede descomponerse en cuatro subsistemas:
- uno controlable y observable correspondiente al estado z1 ,
- uno no controlable pero observable correspondiente al estado z2 ,
- uno controlable pero no observable correspondiente al estado z3
- y uno ni controlable ni observable correspondiente al estado z4 .
Teniendo en cuenta, que la transformación T no afecta las propiedades de controlabilidad y observabilidad del sistema. Luego, puede concluirse que sólo el estado z1 es controlable y observable.
Como la transferencia es determinada sólo por el subsistema controlable y observable, es claro que
H(s) =
Y (s)
1
=
.
U (s)
s+1
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