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CÁLCULO INTEGRAL
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CÁLCULO INTEGRAL
Gustavo Guerrero Torres
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de prepensa: Gerardo Briones González
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión técnica:
Hugo Gustavo González Hernández
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Puebla
Cálculo integral
Derechos reservados:
© 2014, Gustavo Guerrero Torres
© 2014, Grupo Editorial Patria S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-901-2
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente
obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y
por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in México
Primera edición ebook: 2014
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PRÓLOGO
El cálculo diferencial es una herramienta esencial para todos los que cursan alguna ingeniería. El presente texto
tiene como objetivo que el estudiante conozca y aprenda los conceptos fundamentales del cálculo diferencial,
a través de problemas clave resueltos, en los cuales se explica con detalle, usando un lenguaje claro y lo más
sencillo posible, los pormenores del ejercicio en cuestión. Con este objetivo en mente, se parte de problemas
simples que paulatinamente incrementan su nivel de dificultad.
Asimismo, también se realiza un análisis gráfico, con el fin de que los ejercicios sean lo más objetivos que se
pueda y restarles, en la medida de lo posible, ese rigor matemático que en ocasiones vuelve complejo y tedioso
al cálculo diferencial.
Uno de los propósitos que tiene este libro no es que el alumno recuerde algunos conceptos indispensables
de álgebra estudiados con anterioridad en cursos correspondientes, por esta razón se hace un recordatorio de
estos en el momento en que se requieren.
El presente trabajo es el resultado de muchos años de experiencia, los cuales han motivado esta inquietud
de plasmar lo aprendido, con la finalidad de ayudar al estudiante en el aprendizaje y el empleo del cálculo
diferencial como una herramienta fundamental que deberá usar día a día durante sus estudios y el desempeño
de su carrera profesional.
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AGRADECIMIENTOS
Mi agradecimiento a Grupo Editorial Patria por brindarme la oportunidad de ver publicado una parte de todo
lo que escrito durante el camino que he recorrido a lo largo de mi práctica docente.
Gustavo Guerrero Torres
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Grupo Editorial Patria©
CONTENIDO
Unidad 1 Teorema fundamental del cálculo
1
1.1
Notación sumatoria
2
1.2
Suma de Riemann
3
1.3
Primer teorema fundamental del cálculo
5
1.4
Segundo teorema fundamental del cálculo
5
1.5
Teorema de existencia
5
1.6
Teorema del valor medio del cálculo integral
5
Problemas para resolver
Unidad 2 Métodos de integración Parte 1
7
9
2.1
Propiedades lineales de la integración
10
2.2
Integrales inmediatas
10
2.3
Integral por cambio de variable
18
2.5
Integral de funciones exponenciales
24
2.6
Integral de funciones que dan como
resultado un logaritmo natural
40
Integral de funciones trigonométricas
54
2.7
Problemas para resolver
102
vii
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Contenido
Unidad 3 Métodos de integración Parte 2
105
3.1
Integral por partes
106
3.2
Integral por fracciones parciales
126
3.3
Integral por sustitución trigonométrica
167
3.4
Integración por fórmula
187
Problemas para resolver
Unidad 4 Aplicaciones de la integral definida
206
211
4.1
Área bajo la curva
212
4.2
Longitud de curvas planas
232
4.3
Sólidos de revolución
241
4.4
Momentos y centros de masa
260
4.5
Centro de masa de una región plana
262
4.6
Espacio recorrido en el movimiento rectilíneo
270
4.7
Trabajo
272
Problemas para resolver
275
viii
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UNIDAD
1
Teorema
fundamental
del cálculo
Objetivos
Aprender el concepto del término sumatoria y sus propiedades.
Aplicar la suma de Riemann como un método para el cálculo de áreas.
Conocer el teorema fundamental del cálculo.
¿Qué sabes?
¿El concepto de sumatoria es la suma de un determinado número de términos o números?
¿La suma de Riemann es la suma de un número finito de rectángulos para calcular el área
de una figura?
¿La integral y la derivada son operaciones contrarias?
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UNIDAD
1
Teorema fundamental del cálculo
1.1 Notación sumatoria
La operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos términos, los
cuales pueden ser números naturales, números complejos o, en su caso, objetos matemáticos más complicados. Una sumatoria puede tener un número finito de términos o, por el contrario, un número infinito, en
cuyo caso se denomina serie infinita. La sumatoria se representa con la letra griega sigma: ∑ .
n
Por ejemplo, la representación para la suma ∑ 1 es la siguiente:
i =1 x i
n
∑ x1 = x1 + x1
i =1
i
1
2
+ 1 +… 1
x3
xn
Sin embargo, la notación sumatoria suele emplearse también para expresiones numéricas, por ejemplo:
5
∑ x1 = 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 137
60
i=1
i
❚❚ Propiedades de la notación sumatoria
Para dos sucesiones dadas por x1, x2, x3, x4, … y y1, y2, y3, y4,…, para todo número n entero positivo y para
cualquier número real c, se cumple lo siguiente:
a)
n
∑(x
i =1
b)
n
∑(x
i =1
c)
i
i
n
n
i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
+ y i ) = ∑ xi + ∑ y i
− y i )= ∑ x i −∑ y i
n
n
i =1
i =1
∑ cx = c ∑ x
i
Problema resuelto
Resolver la siguiente sumatoria:
4
∑ 2kk+ 1
k =1
Solución
Primero, se sustituye desde K = 1 hasta K = 4 y luego se realizan las operaciones:
4
∑ 2kk+ 1 = 2(11) + 1 + 2(22) + 1 + 2(33) + 1 + 2(44) + 1
k =1
4
∑ 2kk+ 1 = 506
315
k =1
Problema resuelto
Resolver la siguiente sumatoria:
5
2
∑ 2x4x+ 1
x =0
2
Solución
Al sustituir los valores para x se tiene:
5
2
∑ 2x4x+ 1 =
x =0
2
2
4(0)
2
2(0) + 1
2
+
4(1)
2
2(1) + 1
2
+
5
4(2)
2
2(2) + 1
2
∑ 2x4 x+ 1 =
x =0
2
2
+
4(3)
2
2(3) + 1
2
+
4(4)
2
2(4) + 1
2
+
4(5)
2
2(5) + 1
284 788
31 977
2
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Problema resuelto
Resolver la siguiente sumatoria:
6
∑ 2n3n+ 1
n=0
Solución
3(0)
6
3(1)
3(2)
3(3)
n =
∑ 2n3+
1
113 623
15 015
3(4)
3(5)
3(6)
∑ 2n3n+ 1 = 2(0) + 1 + 2(1) + 1 + 2(2) + 1 + 2(3) + 1 + 2(4) + 1 + 2(5) + 1 + 2(6) + 1
n=0
6
n=0
Problema resuelto
Expresar la siguiente suma en notación sumatoria y obtener el resultado de la suma.
3+4+5+6+7
Solución
La expresión quedaría como
7
∑x
x=3
i
= 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
Problema resuelto
Expresar la siguiente suma en notación sumatoria y obtener el resultado de la suma.
2 2 + 32 + 4 2 + 52
Solución
La expresión quedaría como
5
∑( j )
j =2
i
2
2
2
2
2
= (2) + (3) + (4) + (5) = 54
Problema resuelto
Expresar la siguiente suma en notación sumatoria y obtener el resultado de la suma.
1+ 2 + 3+ 4 + 5+ 6
3 4 5 6 7 8
Solución
La expresión quedaría como
6
∑ k +k 2 = 1+1 2 + 2 +2 2 + 3 +3 2 + 4 +4 2 + 5 +5 2 + 6 +6 2 = 1499
40
k =1
1.2 Suma de Riemann
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlas para obtener el área total. El problema de
este método de integración numérica es que al sumar las áreas se puede obtener un margen de error muy
amplio, dependiendo del ancho de la base del rectángulo.
3
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UNIDAD
1
Teorema fundamental del cálculo
Problema resuelto
Calcular mediante sumas de Riemann el área de la región bordeada por la gráfica de las funciones
y = 15 − x 2 , x = −3, x = 3y el eje x.
La representación gráfica de las funciones en cuestión se muestra en la figura 1.1.
y
16
14
y = 15 – x2
12
10
8
x = –3
x=3
6
4
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
Figura 1.1
Solución
Primero, se divide al intervalo [−3, 3] en una partición de una unidad (∆x = 1), con lo que se obtiene la serie
de rectángulos a los cuales se calculará su área, para eso se sustituye el punto medio de la base de cada
rectángulo en la función y = 15 − x 2 , luego se realiza una tabla y al final se elabora una gráfica (véase figura
1.2).
xi
yi = 15 – x2
±2.5
8.75
±1.5
12.75
±0.5
14.75
y
14.75 14.75
14
12.75
12.75
12
10
8.75
8.75
8
6
4
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
Figura 1.2
Así, el área aproximada total es la sumatoria del área de todos los rectángulos:
n
Área = ∑ ∆x i ⋅ y i
i =1
4
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Solución (continuación)
Por último, se sustituyen los valores de todos los rectángulos:
Área = 2[(1)(8.75) + (1)(12.75) + (1)(14.75)]
Área = 72.5 u 2
Alerta
Cabe mencionar que como
se trata de un área, sus
unidades corresponden a
unidades cuadradas (u2).
Es importante resaltar que conforme aumenta el número de rectángulos, el valor del área en el intervalo
considerado es cada vez más real.
1.3 Primer teorema fundamental del cálculo
Sea una función f (x ) integrable en el intervalo [a, b ], es posible definir F (x ) sobre el mismo intervalo como:
x
F ( x ) = ∫ f (t )dt
a
Siempre que f (x ) sea continua en c ∈ (a, b), entonces F (x ) es una función derivable en c y F '(c ) = f (c ).
De acuerdo con lo anterior, es posible establecer el primer teorema fundamental del cálculo como:
La derivada y la integral de una función son operaciones inversas.
Desde otro punto de vista, sean F (x ) y f (x ) dos funciones definidas sobre el mismo intervalo, entonces
F (x ) es la función primitiva de f (x ) si y solo si f (x ) es la derivada de F (x ), aunque también se suele emplear
el término antiderivada.
Mientras que la derivada de una función (cuando existe) es única, que no es el caso de la primitiva, pues
si F (x ) es una primitiva de f (x ), también lo es F ( x ) + k , donde k es cualquier constante real.
1.4 Segundo teorema fundamental del cálculo
Si f es continua en [a, b ], entonces F es la antiderivada de f en el mismo intervalo [a, b ], con lo cual se cumple
la siguiente integral:
b
∫ f (x )dx = F (b)− F (a)
a
1.5 Teorema de existencia
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivada y la integral son operaciones
contrarias. El teorema es fundamental porque el cálculo aproximado de áreas que databa de tiempos de Arquímedes constituía una rama de las matemáticas que seguía por separado al cálculo diferencial, el cual a la
postre desarrollarían Newton y Leibniz en el siglo xviii y que dio lugar a conceptos como el de la derivada.
En aquella época, las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que
en este punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del área bajo una función estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, lo que dio como resultado que la integración fuera
determinada como la operación inversa a la derivación.
1.6 Teorema del valor medio del cálculo integral
Sea una función real y = f ( x ), que es continua en el intervalo [a, b ], entonces es posible afirmar que existe al
menos un punto c perteneciente a dicho intervalo para el cual se cumple:
b
∫ f (x )dx = f (c )(b − a)
a
Donde al valor f (c) se le conoce como el valor medio de la función f (x ) en el intervalo [a, b ]. Cabe aclarar
que el punto c puede no ser único en dicho intervalo, debido a que el teorema asegura la existencia de
más puntos con la misma propiedad; además, este teorema no indica cómo determinar el valor de c y solo
garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Por otro lado, el término valor medio de la función
f (x ) no se refiere a una tasa de variación; hablando de integral su concepto es diferente al obtenerse este
mediante una integral definida. En este caso, se observa lo siguiente:
5
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UNIDAD
1
Teorema fundamental del cálculo
a) El rectángulo está inscrito; esto es, el área es menor que la de la región (véase figura 1.3).
y
y = f (x)
b
Área = ∫ mdx = m(b − a)
a
m
Figura 1.3
a
x
b
b) Rectángulo del valor medio; esto es, el área es igual que la de la región (véase figura 1.4).
y = f (x)
y
b
Área = ∫ f ( x )dx
f (c)
a
f (c)
x
Figura 1.4
a
c
b
c) El rectángulo está circunscrito; esto es, el área es mayor que la de la región (véase figura 1.5).
y
y = f (x)
b
Área = ∫ M dx = M (b − a)
M
a
x
a
Figura 1.5
b
El teorema proporciona una interpretación interesante para el caso en que f es una función positiva en el
b
intervalo [a, b ], con lo cual la integral
∫ f (x )dx representa el área bajo la gráfica de f en el intervalo de a a b;
a
por esta razón, el teorema asegura la existencia de un valor c de dicho intervalo al que está asociado f (c) y
que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b − a), además de que su área coincide
con la de la región.
y = f (x)
y
b
Área = ∫ f ( x )dx = f (c )(b − a)
a
f (c)
f (c)
x
Figura 1.6
a
c
b
El valor de f (c) obtenido con el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio de una
b
6
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función; es por esto que a f (c ) =
1
f ( x )dx se le conoce como el valor medio de f en el intervalo [a, b ].
b − a ∫a
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Problema resuelto
Calcular el valor promedio de f ( x ) = 2x 2 − 3x en el intervalo [ 2, 5].
Solución
La gráfica correspondiente a la función es la que se muestra a continuación.
y
f (x) = 2x2 – 3x
30
20
10
x
1
2
3
4
5
Figura 1.7
b
Mediante la integral f (c ) = f prom =
1
b−a
∫ f (x )dx , tenemos:
a
(
b
f prom =
)
5
2+1
1+1
1
(2x 2 − 3x )dx = 1 2 x − 3 x
∫
5−2 a
3 2 +1
1+ 1
(
= 1 2 x3 − 3 x2
3 3
2
)
5
2
2
2
2 
3
3

= 1  2 (5) − (2)  − 3 (5) − (2)  
 2

3 3 




= 1  2 (125 − 8) − 3 (25 − 4)  = 1  2 (117) − 3 (21) 
 3 3

3 3
2
2
Cuya gráfica, queda de la siguiente manera:
f prom = 31 = 15.5
2
y
30
15.5
20
Promedio
=15.5
10
1
2
3
4
x
5
Figura 1.8
❚❚ Problemas para resolver
Expresar las siguientes sumas en notación sumatoria y obtener el
resultado de la suma.
1.5
i =0
1.1 22 + 32 + 42 + 52
1.2
3
3
3
3
3
3
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6
1.3 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2 3 4 5 6 7 8
1.4
2+ 3+ 4+ 5+ 6
22
32
42
52
62
Obtener el valor de las siguientes sumatorias.
6
∑ i +2 2 =
1.6
4
∑
n=0
1.7
6
∑ 4 x5x−1 =
x =1
1.8
6
∑ n(2n1−1) =
n=1
1.9
5
4k
∑ 37 −
+ 2k
k =0
Problemas aplicados a la realidad
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n =
3n + 2
Problemas para resolver con tecnología
2
2
=
7
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UNIDAD
1.10
1
Problemas para resolver
4
∑ 8 −4 7i =
16
i =0
1.11
1.12
14
6
5n =
∑
n=1 4n + 2
12
5
∑ 2kk+−11 =
10
=0
k=
1.13
7
8
2
∑ x x+ 1 =
x =1
6
1.14 Calcular la suma de Riemann para f ( x ) = x − 5x + 10 en el intervalo −1≤ x ≤ 6 para una partición de una unidad. La gráfica es la siguiente.
2
4
2
1
2
3
4
5
6
Figura 1.9
Problemas para resolver con tecnología
Problemas aplicados a la realidad
problema Reto
Mediante el concepto de suma de Riemann,
considere la región delimitada por la relación
f ( x ) = x y el eje x en el intervalo [0, 1], calcu-
y
1
f (x)= x
0.8
∞
lar el límite lím ∑ f (ci ) ∆x i , donde es el extre-
0.6
mo izquierdo de cada subintervalo dado por
0.4
n→∞
1
i =1
2
x i = i 2 y ∆x i es la longitud de dicho subintern
0.2
valo.
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 1.10
Referencias
Ayres Jr., Frank, (1992) Cálculo diferencial e integral, 3a edición, México: McGraw-Hill.
Leithold, Louis, (1992) El cálculo, 7ª edición, México: Oxford University Press.
Purcell, Edwin J., (2001) Cálculo, México: Pearson Educación.
Direcciones electrónicas
■■
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/capitulo4PDF.pdf
■■
http://webspersoais.usc.es/export/sites/default/persoais/rodrigo.lopez/IFUVR5.pdf
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