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
LOS NÚMEROS
REALES
Historia
 Los primeros números en aparecer en la
historia fueron los números que van del
1,2,3,... etc. y por esta razón son
conocidos como los números naturales.
 El primer registro que se obtiene sobre
la utilización del cero fue en el año 36
a.C. por la civilización Maya.
 Los egipcios utilizaron por primera vez
las fracciones comunes alrededor del
año 1000 a. C
 Alrededor del 500 a. C. el grupo de
matemáticos griegos liderados por
Pitágoras se dio cuenta de la necesidad
de los números irracionales.
 Los números negativos fueron ideados
por matemáticos indios cerca del 600,
posiblemente reinventados en China
poco después.
C

Q
Z
N
Q`
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Reales
Es el conjunto formado por todos los números racionales e
irracionales
U
Números Complejos
Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son
números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la
propiedad.
i2=-1
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Racionales
Es el conjunto de los números de la forma donde p y q son
enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.
p
= { ,q Є
q
Λ q ≠ 0}
Números Irracionales
Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados
como el cociente de dos números enteros
Entre los mas conocidos esta el π
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
Es la colección de Objetos matemáticos representados por los
símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.
= {1, 2, 3, 4, ….}
Números Enteros
Los números enteros abarca los números negativos incluyendo eL
cero y los números positivos. Y se representa
= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}
LOS NÚMEROS REALES
COMO UN CAMPO
Números Reales
En Matemáticas, los números
reales son los que abarcan a los
números racionales y los números
irracionales.
El concepto de números reales surgió a
partir de la utilización de fracciones
comunes por parte de los egipcios, cerca
del año 1,000 a. C.
El conjunto de los números reales es
representado con la letra: R
Relación de igualdad
Existe una relación que presenta los números reales
que son conocidas como relaciones de igualdad y
estas son de utilidad para la demostración de
algunos teoremas, estas relaciones dicen:
Sean a, b, c ϵ
a) Si a = b, entonces b = a
b) Si a = b, y b = c, entonces a = c
c) si a + c denota al numero real que resulta de
sumar a y c, y ac denota al numero real que
resulta de multiplicar a y c, entonces a = b
implicará que
a + c = b + c y que ac = bc
Axiomas
Es una premisa que, por considerarse
evidente, se acepta sin demostración,
como punto de partida para demostrar
otras fórmulas.
Tradicionalmente, los axiomas se eligen de
entre las consideradas “verdades evidentes”
porque permiten deducir las demás
formulas.
Axiomas de Números Reales
En el campo de los números reales
son seis los principales axiomas que
se toman, y a través de su uso y
postulación, permiten el desarrollo
de los teoremas que estructuran una
parte de las matemáticas.
Axiomas de Números Reales
Axioma 1.
Si a, b ϵ R, entonces a + b, ab ϵ R
(Ley de cerradura para la suma y el producto)
Axioma 2
Si a, b ϵ R, entonces a+b = b+a y ab = ba
(Ley de conmutatividad)
Axiomas de Números Reales
Axioma 3
Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) =
(ab)c
(Ley de asociatividad)
Axioma 4
Si a, b, c ϵ
entonces a(b + c) = ab + ac
(Ley de distributividad)
Axiomas de Números Reales
Axioma 5
Existen 0, 1 ϵ R, con 0 ̸= 1, tales que: si a ϵR,
entonces a+0 = a y a·1 = a
(0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará
Neutro multiplicativo)
Axioma 6
Si a ϵ R, existe a1 ϵR tal que a + a1 = 0 y si a ϵR
con a ̸= 0, entonces existe a2 ϵR tal que a ·
a2 = 1
(Existencia de los inversos)
Teorema
Es una afirmación que puede ser
demostrada dentro de un sistema
formal. Un teorema generalmente
posee un numero de premisas que
deben ser enumeradas o aclaradas de
antemano. Luego existe una conclusión,
una afirmación matemática, la cual es
verdadera bajo las condiciones dadas.
Corolarios
Se llamará corolario a una
afirmación
lógica
que
sea
consecuencia inmediata de un
teorema, pudiendo ser demostrada
usando las propiedades del teorema
previamente demostrado.
Teorema I
i) Si a, b, c ϵ R y a + c = b + c, entonces a=b
ii) Si a, b, c ϵ R , c ≠ 0 y ac = bc, entonces a=b
Demostración:
i) Sea c1 ϵ R tal que c + c1 = 0
Entonces
a+c=b+c
⇒ (a + c) + c1 = (b + c) + c1
⇒ a + (c + c1) = b + (c + c1)
⇒
a+0=b+0
⇒
a=b
(Esto por el axioma 6)
(Propiedad de la igualdad)
(Por axioma 3)
(Por axioma 6)
(Por axioma 5)
ii) Si a, b, c ϵ , c≠0 ac = bc, entonces a=b si c≠0,
el axioma seis garantiza la existencia de un
número real c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto:
ac = bc
⇒ (ac)c2 = (bc)c2
(Propiedad de la
igualdad)
⇒ a(cc2) = (bc)c2)
(Por axioma 3)
⇒ a·1=b·1
(Por axioma 6)
⇒
a=b
(Por axioma 5)
Jerarquía de los operadores
Para desarrollar cualquier operación aritmética
es necesario utilizar la jerarquía de los
operadores aritmeticos.
Dentro de una misma expresión los operadores
se evalúan en el siguiente orden.
1. Exponenciación
2. Multiplicación, División (Con decimales)
3. División Entera.
4. Suma y resta
Jerarquía de los operadores
1. Cuando se encuentran operadores del mismo
nivel, estos se desarrollan de izquierda a
derecha.
2. Cuando se encuentran varios paréntesis, se
empiezan a desarrollar por el más interno.
Un paréntesis, sólo desaparece, cuando
queda un solo término en medio de ellos
EJEMPLO
Tomaremos como ejemplo la expresión
[2 * 5 + 3].
Algunos tendrían la duda de cual operación
resolver en primera instancia ¿La multiplicación
o la suma?; otros sumarían y luego multiplicaría
diciendo que la respuesta es 16
RESPUESTA CORRECTA
Para no cometer errores al momento de resolver
una operación matemática, tenga en cuenta la
jerarquía de los operadores.
En nuestro ejemplo: primero se debe realizar la
multiplicación y luego la suma, por lo tanto la
respuesta correcta será:
2*5+3
10 + 3
13 Resultado Correcto
EJEMPLO





40 / 5 + 8² * 3 ----------> 1° es la exponenciación
40 / 5 + 64 * 3 ---------> Primero se resuelve la
división (de izquierda a derecha)
8 + 64 * 3 --------------> Luego división (mismo nivel
jerárquico de multiplicación)
8 + 192-----------------> Por último se realiza la suma
200
EJERCICIO
Resolver. 51 / 2 + 3
Desarrollo:
51 / 2 + 3 ---> La división ( / ) indica que se
manejan decimales. 51 / 2= 25.5
25.5 + 3 -----> Luego se realiza la suma de los dos
valores 28.5
EJERCICIO
Resolver : 7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9
Desarrollo:
7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9
1
2
70 – 5 * 4 + 9
3
70 –20 + 9
4
50 + 9
5
59
EJERCICIO
Resolver : 9 + 7 * 8 – 36 / 5
Desarrollo:
9 + 7 * 8 – 36 / 5
1
9 + 56 – 36 / 5
2
9 + 56 – 7.2
3
65 – 7.2
4
57.8
Resolver:
9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5)
9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5)
9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (125 / 10 + 2.5)
9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (12.5 + 2.5)
9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + 15
9 + 2 * 12 / 4 + 15
9 + 24 / 4 + 15
9 + 6 + 15
15 + 15
30
Resolver:
360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500
360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500
180 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500
18 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500
6 – 5 * 8 + 38 + 500
6 – 40 + 38 + 500
-34 + 38 + 500
4 + 500
504