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INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I
David Romero Soto
Propiedades de las cargas eléctricas.
Una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza es la
electromágnetica, la cual se da entre partículas con carga.
Benjamín Franklin (1706-1790) determinó que existen dos
tipos de cargas eléctricas, llamándolas positiva y
negativa.Los protones tienen carga positiva y los electrones
negativa.
Si frotamos una varilla rígida de hule contra un trozo de piel
y a la varilla se le acerca una varilla de vidrio que ha sido
frotada con una seda ambas se atraen.Por otro lado, si se
acercan dos varillas de hule cargadas o dos varillas de vidrio
cargadas ambas se repelen. Queda claro que tanto las
varillas de hule y de vidrio cada una tiene un tipo de
carga,negativa y positiva respectivamente.
Concluimos que cargas del mismo signo se repelen y de signo
opuesto se atraen.
En electricidad, a partir de la observación experimental, es
evidente que en un sistema aislado la carga eléctrica siempre se
conserva. Es decir, cuando se frota un objeto contra otro no se crea
carga en este proceso. El estado de electrificación se debe a una
transferencia de carga de uno de los objetos hacia el otro.Uno
adquiere parte de la carga negativa en tanto el otro adquiere la
misma cantidad de carga positiva.
Cuando una varilla de vidrio es frotada con seda se transfieren
electrones del vidrio a la seda. Debido a la conservación de la carga
cada electrón añade carga negativa a la seda y una cantidad igual
de carga positiva queda en la varilla.
Cargas Inducidas
Los conductores eléctricos son aquellos materiales en los cuales
algunos de los electrones son libres, no están unidos a los átomos y
pueden moverse con libertad a través del material.Los aislantes
eléctricos son aquellos materiales en los cuales todos los electrones
están unidos a los átomos y no pueden moverse libremente a través
del material. Existen otra clase de materiales llamados
semiconductores cuyas propiedades eléctricas se ubican entre las de
los conductores y aislantes.
En la figura 1 vemos una esfera conductora neutra aislada de la tierra
con una cantidad igual de electrones y protones, ya que la carga neta
de la esfera es igual a cero.
En la figura 2 observamos que a la esfera se le acerca una varilla de
hule con carga negativa, los electrones cercanos a la varilla son
repelidos hacia el lado opuesto de la esfera;lo que origina que la
región de la esfera cercana a la varilla se quede con carga positiva al
disminuir el número de electrones.No es necesario que la varilla toque
a la esfera.
Carga de un objeto metálico mediante inducción
esfera
Varilla de
hule
Figura 2
Figura 1
Figura 3
Figura 4
Figura 5
En la figura 3 vemos que algunos electrones,debido a la repulsión originada por la
varilla de hule,son repelidos tan fuertemente que salen de la esfera a través del
conductor hacia tierra.
En la figura 4 el alambre conductor a tierra se retira y la esfera queda con un
exceso de carga positiva inducida.
En la figura 5 la varilla de hule se aleja de la esfera y la carga inducida se queda en la
esfera desconectada de tierra.Durante todo el proceso la carga negativa de la varilla
de hule no se pierde.
Para cargar un objeto por inducción no es necesario que tenga contacto con el objeto
que induce la carga, a diferencia de cuando un objeto se carga por frotamiento
(conducción) en donde si requiere el contacto entre ambos objetos.
Un proceso similar a la inducción en los conductores se presenta en los materiales
aislantes.
Preguntas :
1) Explicar la carga por inducción en los materiales aislantes.
2) Explicar y construir un generador elemental Van de Graff
LEY DE COULOMB
Charles Coulomb (1736-1806) midió las magnitudes de las fuerzas eléctricas entre
objetos con carga. A partir de los experimentos de Coulomb se establecen las
características de las fuerzas eléctricas entre dos partículas inmóviles con carga.Por lo
cual se usa el término carga puntual que define una carga eléctrica con tamaño
tendiendo a cero. Los electrones y protones representan muy bien la descripción de
carga puntual. Debido a observaciones experimentales hallamos la magnitud de la
fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales, llamada la Ley de Coulomb.
Fe  ke
q1 q 2
r2
Nm2
ke  8.9876x10
(constante de Coulomb)
C2
1
ke 
4o
9
2
10
F (permitividad del vacio)
12 C
o  8.8542x10

( )
2
Nm
36 m
9
(Ecu.1)
Se considera que la carga más pequeña e conocida en la naturaleza es la carga
de un electrón (-e) o de un protón (+e), con una magnitud de :
e  1,602x1019 C
Tabla 1.
Carga y masa de electrones,protones y neutrones.
Partícula
Carga(C)
Masa (Kg)
Electrón (e)
 1,6021765x1019
9,109 4x1031
Protón (p)
 1,6021765x1019
1,67262x1027
Neutrón (n)
0
1,67493x1027
Forma vectorial de la Ley de Coulomb.
La ley de Coulomb expresada en forma vectorial para una fuerza eléctrica
ejercida por una carga q1 sobre una segunda carga q 2 es F12
F12  ke
q1q 2 
r 12
2
r
(Ecu.2)
r 12 es un vector unitario dirigido de q
1
a q2
Figura 6.
F12
r
F21
q1
q2
q2
r 12
F12
q1
F21
Por la tercera Ley de Newton la fuerza ejercida por q 2 sobre q1 es igual en
magnitud pero en sentido opuesto a la fuerza ejercida por q1 sobre q 2 ; es decir
F21  F12 . Un producto negativo de q1 y q 2 indica que se trata de una
fuerza de atracción.Un producto positivo indica que se trata de una fuerza de
repulsión.
Cuando hay más de dos cargas presentes la fuerza vectorial sobre cualquier carga
es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las otras cargas
individuales.
Por ejemplo si están presentes cuatro cargas , la fuerza resultante ejercida por las
partículas 2,3 y 4 sobre la partícula 1 será :
F1  F21  F31  F41
(Ecu.3)
EL CAMPO ELECTRICO
El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) en
relación con las fuerzas eléctricas .Existe un campo eléctrico en la región del
espacio que rodea a un objeto con carga,llamado carga fuente; cuando otro
objeto con carga, la carga de prueba, entra en este campo eléctrico una
fuerza eléctrica actúa sobre él.
En la figura 7. Q es mucho mayor
que qo . El campo eléctrico
provocado por la carga fuente en la
carga de prueba se define como la
fuerza eléctrica sobre la carga de
prueba por carga unitaria. El vector E
del campo eléctrico en un punto del
espacio se define como la fuerza
eléctrica Fe que actúa sobre una
carga de prueba positiva qo
colocada en ese punto, dividida
entre la carga de prueba :
E
Fe
qo
(N/C)
Q
qo
+
P
Carga de prueba
qo positiva
Carga fuente
Q positiva
Figura 7.
(Ecu.4)
E
El campo eléctrico E es el campo producido por una carga o distribución de
carga separada de la carga de prueba .La existencia del campo eléctrico es una
propiedad de la carga fuente , la presencia de la carga de prueba no es necesaria
para que el campo eléctrico exista. La carga de prueba sólo existe como detector
del campo eléctrico.
En la figura 7 observamos que ante una carga de prueba positiva la dirección del
campo E es la misma dirección de la fuerza eléctrica que experimenta la carga de
prueba; por lo tanto existe un campo eléctrico en un punto si una carga de prueba
en dicho punto experimenta una fuerza eléctrica.
La ecuación 4 supone que la carga de prueba es muy pequeña comparada a la
carga fuente para no perturbar la distribución de carga responsable del campo
eléctrico.
Para determinar la dirección que tiene un campo eléctrico ,considerar una carga
puntual q como fuente.Esta carga produce un campo eléctrico en todos los puntos
del espacio que la rodea.En el punto P a una distancia r de la carga fuente se
coloca una carga de prueba positiva qo (fig.8).
Según la ley de Coulomb:
Fe  ke
qqo 
r
r2
Figura 8.
P
Fe
qo
r
r
+
r
r
E
q
+
q
En la fig. 8 r es un vector unitario con dirección de q hacia qo donde la
aleja de la carga fuente y en el punto P, que es la posición de la carga de
Fe
prueba, el campo eléctrico queda definido por E  qo
El campo eléctrico en el punto P independiente de la carga de prueba es
E  ke
q 
r
r2
Fe
se
(Ecu. 5)
Si la carga q es negativa la fuerza sobre la carga de prueba está dirigida hacia la
carga fuente y el campo eléctrico también tendrá la misma dirección.
El campo eléctrico total en un punto P debido a un grupo de cargas fuentes es igual
a la suma vectorial de los campos eléctricos de todas las cargas.
E  ke
i
qi 
ri
2
ri
(Ecu. 6)
Campo eléctrico de una distribución de carga continua.
Cuando existe un conjunto de cargas eléctricas donde la distancia entre ellas
es mucho menor que la distancia del conjunto al punto donde se desea
calcular el campo eléctrico; el sistema de cargas se modela como si fuera
continuo.Es decir el sistema de cargas es equivalente a una carga total que es
distribuida en forma continua a lo largo de una línea,superficie o volumen de
carga.
Para evaluar el campo eléctrico producido por una
distribución de carga continua divida la distribución
de cargas en pequeños elementos,cada uno con una
pequeña carga dq, después aplicar la ecuación 5 para
calcular el campo eléctrico debido a uno de estos
elementos en el punto P.
d E  ke
Figura. 9
dq 
r
r2
El campo eléctrico total en P debido a todos los elementos de la distribución de
carga es
E  ke 
dq 
r
2
r
(Ecu. 7).
Densidad de carga.
1) Si una carga Q tiene una distribución uniforme en un volumen V , la densidad de
carga volumétrica  v se define como
v 
Q
V
donde  v
está en Coulombs por metro cúbico
(
C
)
m3
(Ecu. 8)
2) Si una carga Q tiene una distribución uniforme sobre una superficie de Área S, la
densidad de carga superficial S se define :
s   
Q
S
(
C
)
m2
(Ecu. 9)
3) Si una carga Q tiene una distribución uniforme a lo largo de una línea de longitud L,
la densidad de carga lineal L se define :
L   
Q
L
(C / m )
(Ecu. 10)
4) Si la carga no tiene distribución uniforme en un volumen ,superficie o línea, las
cantidades de carga dq en un elemento pequeño de volumen,superficie o longitud son:
dq=  v dv
dq= S ds
dq= L dL
(Ecu. 11)
Líneas de campo eléctrico.
E
E
Figura. 10
Los patrones de los campos eléctricos se visualizan con
las líneas de campos eléctricos (establecidas por
Michael FARADAY). El vector E del campo eléctrico es
tangente a la línea del campo eléctrico en cada punto.
La dirección de la línea indicada por la flecha es igual al
vector del campo eléctrico. La dirección de la línea es la
fuerza sobre una carga de prueba positiva colocada en
el campo. El número de líneas por unidad de área que
pasan a través de una superficie perpendicular a dichas
líneas es proporcional a la magnitud del campo
eléctrico en dicha región.
Si las líneas en diferentes ubicaciones apuntan en distintas direcciones el campo no es
uniforme.
Las líneas de campo eléctrico no son objetos materiales. Son una representación
gráfica para tener unas descripción cualitativa del campo eléctrico.
El campo eléctrico es continuo ,existe en todos los puntos del espacio.
Líneas de campo eléctrico para una carga puntual.
Figura. 11
En la figura 11 se muestra el campo eléctrico
creado por una carga puntual.Las líneas están
dirigidas radialmente alejandose o acercandose en
todas las direcciones formando una distribución
esférica de líneas. Las líneas siguen una dirección
radial y se extienden hacia el infinito.Las líneas se
acercan entre sí conforme se aproximan a la
carga.,ello indica que la fuerza del campo se
incrementa conforme se acercan a la carga fuente.
Líneas de campo eléctrico para dos carga puntuales.
Figura. 12
Las líneas de campo deben empezar en
una carga positiva y terminar en una
negativa. El número de líneas que salen
de la carga positiva es igual al número
que termina en la carga negativa.
Dos líneas de campo no se pueden
cruzar.
Ley de GAUSS
Flujo Eléctrico
Figura. 13
Considerar un campo eléctrico E uniforme en
magnitud y dirección (Fig. 13) cuyas líneas
penetran en una superficie rectangular de área A,
donde el plano es perpendicular al campo
eléctrico. La densidad de líneas es proporcional a la
magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total
de líneas que penetran en la superficie es
proporcional al producto EA; este producto se
conoce como flujo eléctrico E .
(Ecu.12)
E =EA
(
N 2
m )
C
El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico
que penetran una superficie.
Si la superficie no es perpendicular al campo el flujo que pasa a través de él
debe ser menor que el resultante si se emplea la Ecu.12.
La normal a la superficie A forma un ángulo 
con el campo eléctrico uniforme. El número de
líneas que atraviesan el área A es igual al
número que atraviesa A’, el cual es un plano
perpendicular al campo, A'  A cos 
E  EA'  EA cos 
(Ecu. 13)
Figura.13
Cuando la superficie A es perpendicular al
campo el flujo eléctrico es máximo y cuando la
superficie es paralela al campo el flujo es cero.
En situaciones generales el campo eléctrico varía a lo
largo de toda la superficie . En la Figura.14 vemos una
superficie dividida en un gran número de elementos
pequeños cada una de área S . El vector S está
definido como S  Sa donde S es el módulo del
vector del elemento de superficie y an es el vector
unitario saliente perpendicular al elemento de
superficie.
n
Figura.14
El flujo eléctrico a través de cada elemento de superficie es : E  E.S
(Ecu. 14)
Si se supone que el área de cada elemento se acerca a cero,el número total de
elementos se acercaría a infinito y la suma se reemplaza por una integral. Por
lo tanto la definición general de flujo eléctrico es
E   E.dS
(Ecu. 15)
S
Es importante evaluar el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie
cerrada. En la superficie cerrada Figura 14. los vectores S apuntan en
direcciones diferentes para distintos elementos de superficies pero en cada
uno de ellos estos vectores son normales a la superficie y ,por convención
siempre apuntan hacia afuera. Cuando las líneas de campo cruzan la superficie
de adentro hacia afuera el ángulo 90o y el flujo será positivo. Cuando las
líneas cruzan de afuera hacia adentro el ángulo 180o  90o y el flujo será
negativo. Finalmente cuando las líneas de campo eléctrico rozan la superficie
cerrada el ángulo   90 o y el flujo eléctrico valdrá cero.
El flujo neto a través de la superficie es proporcional al numero neto de líneas
que salen de la superficie.
Ley de Gauss
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Considere una carga puntual positiva q
ubicada en el centro de una esfera de
radio r, sabemos que la magnitud del
campo eléctrico en todos los puntos de la
q
superficie de la esfera es E  ke 2 . Las
líneas de campo están dirigidas r
radialmente hacia afuera y por lo tanto
son perpendiculares a la superficie en
todos sus puntos
Figura. 15
El flujo neto a través de la superficie gaussiana es
E   E.dS   EdS  E  dS ke
S
S
S
q
1 q
q
2
2
(
4

r
)

(
)
(
4

r
)

r2
4o r 2
0
q
E 
o
(Ecu. 16)
Considerar varias superficies cerradas que rodean
una carga q ,figura 16,la superficie S1 es esférica,
pero S2 y S3 no lo son. El número de líneas a
través de S1 es el mismo número de líneas que
pasan a través de las superficies no esféricas S2
Y S3 . Por lo tanto, el flujo neto a través de
cualquier superficie cerrada que rodea a una carga
q
puntual q tiene un valor E  o y es
independiente de la forma de la superficie.
Figura. 17
LEY DE GAUSS
E
S1
S3
S2
q
Figura. 16
Considerar una carga puntual en el exterior de una
superficie cerrada de forma arbitraria,figura. 17, el
número de líneas de campo eléctrico que entran en
la superficie es igual al numero de líneas que salen.
Por lo tanto, el flujo eléctrico neto a través de una
superficie cerrada que no rodea a ninguna carga es
igual a cero.
qin
E   E.dS 
o
S
(Ecu. 17)
qin
representa la carga neta en el interior de
la superficie y el campo eléctrico E en
cualquier punto de la misma.
El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada depende sólo de la carga
en el interior de dicha superficie.
En la Ecu. 17 observamos que a pesar de que la carga qin es la carga neta en el interior
de la superficie gaussiana , E representa el campo eléctrico total que incluye
contribuciones provenientes tanto del interior como del exterior de la superficie.
En la práctica la Ley de Gauss se aplica para determinar el campo eléctrico debido a un
sistema de cargas o una distribución continua de las mismas con un alto grado de
simetría esférica, cilíndrica o plana.
La superficie gaussiana es una superficie imaginaria que se elige para satisfacer las
condiciones establecidas en cada problema. No tiene que coincidir con una superficie
física en una situación determinada.
Ejercicio Determinar el flujo eléctrico neto a través de
cualquiera de las superficies cerradas S1, S2, S3, S4.
Figura. 18
Aplicación de la Ley de Gauss a varías distribuciones de carga
La ley de Gauss es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de
carga está caracterizada por un alto grado de simetría.
Al seleccionar la superficie siempre debe aprovechar la simetría de la distribución de
carga . Por simetría el valor del campo eléctrico es constante sobre la superficie.
El campo eléctrico es igual a cero sobre la superficie.
Distribución de carga con simetría esférica.
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
Distribución de carga con simetría plana.
Conductores en equilibrio electrostático.
Un buen conductor eléctrico contiene cargas (electrones) que no se encuentran
unidas a ningún átomo y debido a eso tienen la libertad de moverse en el interior
del material. Cuando dentro del conductor no existe ningún movimiento neto de
carga, el conductor está en equilibrio electrostático.
Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:
1. En el interior del conductor el campo eléctrico es cero, si el conductor es sólido
o hueco.
+
+
+
+
+
+
+
Eexterno
+
- Ein +
+
+
+
Figura. 19
-
Al aplicar el campo externo Eext en todo el volumen del
conductor los electrones se aceleran hacia la izquierda,
figura.19, donde se acumula un plano con carga negativa lo
que origina un plano de carga positiva en la superficie
derecha. Estos planos de carga crean un campo eléctrico
interno E int dentro del conductor que se opone al campo
externo. Conforme se mueven los electrones la magnitud
del campo eléctrico externo e interno son iguales ,
resultando un campo eléctrico cero en el interior del
conductor.
El tiempo que necesita un buen conductor para alcanzar el
16
equilibrio es del orden de 10 s
2. La carga de un conductor aislado reside en su superficie.
Se dibuja una superficie gaussiana de forma
arbitraria que puede acercarse a la
superficie del conductor tanto como se
desea.
Superficie gaussiana
El campo eléctrico es cero en todos los
puntos de la superficie gaussiana y el flujo
neto que pasa a través de la superficie
gaussiana es cero.
No existe carga neta en el interior de la
superficie gaussiana y cualquier carga neta
en el conductor deberá residir en la
superficie.
Figura. 20
3. El campo eléctrico justo fuera de un conductor con carga es perpendicular a la
superficie del conductor y tiene una magnitud E  
S
0
+ +
E
S
+
+
+
+
+
+
+
+
Si el campo E tuviera alguna componente paralela a la
superficie del conductor los electrones libres estarían sujetos a
una fuerza y se moverían a lo largo de la superficie; por lo que el
conductor no estaría en equilibrio electrostático, por lo tanto el
campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie.
E   E.dS 
S
.
qin
o
E   Eds  ES 
S
E
S
0
Ecu. 18
qin sS

o
o
Ecu. 19
Ecu. 20
3. En un conductor de forma irregular , la densidad de carga superficial S es máxima
en aquellos puntos donde el radio de curvatura de la superficie es el menor.
POTENCIAL ELECTRICO
Para encontrar la diferencia de
potencial eléctrico entre dos puntos A
y B en un campo eléctrico , movemos
una carga de prueba qo de A hacia B
, conservándola siempre en equilibrio,
y medimos el trabajo
que
WAB
debe hacer el agente que mueve la
carga.
E
qo
B
Q
Diferencia de Potencial eléctrico :
WAB
VB  VA 
qo
A
Ecua. 21
WAB 0
VB VA
WAB 0
VB  V A
WAB  0
VA  VB
Unidades de potencial eléctrico en el Sistema Internacional (SI) : Volt 
Joule
Coulomb
Considerando el punto A en el infinito el VA a esa distancia infinita recibe
arbitrariamente el valor cero VA  0
Por lo tanto, definimos el potencial eléctrico en un punto en el infinito con VA  0
y eliminando subindices :
V
W
qo
(Ecu. 22)
W es el trabajo que debe hacer el agente exterior para mover la carga de prueba
del infinito al punto en cuestión.
qo
a) El potencial V en un punto cercano a una
carga q positiva aislada es positivo porque
debe hacerse un trabajo positivo mediante
un agente externo ( fuerza F )para llevar al
punto una carga de prueba (positiva) desde
el infinito.
Fe
F
W  F.d  Fd cos 0o  0
qo
d
q
b) El potencial cerca de una carga negativa
aislada es negativa porque un agente
externo debe ejercer una fuerza F para
sostener a la carga de prueba (positiva), es
decir debe hacer un trabajo negativo sobre
ella, cuando la carga positiva viene desde el
infinito.
W  F.d  Fd cos180o 0
Fe
-q
d
F
qo
En la Ecuación 21 tanto WAB como
VB  VA son independientes de la
trayectoria que se sigue al mover la
carga de prueba desde el punto A
hasta el punto B.
Las diferencias de potencial son
independientes de la trayectoria para
Q
dos puntos cualquiera en cualquier
campo electrostático como para el
caso especial mostrado en la figura.
E
B
A
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.
El lugar geométrico de los puntos de igual potencial
eléctrico se llama superficie equipotencial. No se
requiere trabajo para mover una carga de prueba
entre dos puntos cualesquiera en una de esas
superficies.
WAB
VB  VA 
qo
WAB debe ser nulo si VA  VB . Esto es válido,
debido a que la diferencia de potencial es
independiente de la trayectoria, aun cuando la
trayectoria que une A y B no se encuentre
totalmente en la superficie equipotencial.
Por simetría las superficies equipotenciales de una
carga esférica son una familia de esferas
concéntricas.
v1
v2
v3
v4
Las líneas gruesas indican
las trayectorias a lo largo
de las cuales se mueve
una carga de prueba.
Para un campo eléctrico uniforme las
superficies equipotenciales son una
familia de planos perpendiculares al
campo. En todos los casos las
superficies equipotenciales son
perpendiculares a las líneas de fuerza
y por consiguiente al E .
Si E no fuera perpendicular a la
superficie equipotencial, tendría una
componente en esa superficie.
Entonces tendría que hacer trabajo
para mover una carga de prueba en la
superficie.Por lo tanto si la superficie
es equipotencial no se hace trabajo en
ella, de modo que E debe ser
perpendicular a la superficie.
Superficies
equipotenciales.
POTENCIAL E INTENSIDAD DE CAMPO.
En un campo eléctrico uniforme E se mueve una carga
de prueba positiva , por efecto de algún agente externo y
sin aceleración, de A a B siguiendo la recta que los une.
Para mover la carga de A hacia B debemos contrarrestar
la Fe aplicando una fuerza externa F de la misma
magnitud pero dirigida hacia arriba.
dWAB  F.dl  Fdl
WAB   Fdl  qoE  dl  qoEd
VB  VA 
E
B
F
d
dl
qo
Fe  qoE
A

WAB qoEd

 Ed
qo
qo
VB  VA
d
(Volt/m)
El punto B tiene un potencial más elevado que A ya que un agente exterior tendría
que hacer trabajo positivo para mover una carga de prueba positiva de A hacia B.
E
Campo Eléctrico E no uniforme y carga de
prueba q moviéndose en una trayectoria que
no es recta.
El campo eléctrico ejerce una fuerza qE sobre
la carga de prueba q . Para evitar que la carga
de prueba acelere, debe aplicarse una fuerza F
que sea exactamente igual a -qE para todas las
posiciones del cuerpo de prueba.
El trabajo desarrollado por el agente externo a
lo largo de la trayectoria de A hacia B.
dwAB  F.dl
B
wAB  q  E.dl
A
B
wAB
VA  VB 
   E.dl
A
q
Si tomamos el punto A infinitamente alejado, el potencial VA tendrá el valor cero, el
potencial en cualquier punto B será :
B
V    E.dl

INGENIERIA ELECTROMAGNETICA II
David Romero Soto.
ECUACIONES DE MAXWELL
En los campos electromagnéticos (EM) estáticos , los campos
eléctricos y los campos magnéticos son independientes unos
de otros. Los campos EM dinámicos son interdependientes.
Los campos electrostáticos suelen ser productos de cargas
eléctricas estáticas mientras que los campos magnetostáticos
se deben al movimiento de cargas eléctricas con velocidad
uniforme (corriente directa) o de cargas magnéticas estáticas
(polos magnéticos).
Los campos u ondas con variación en el tiempo se deben por lo
general a cargas aceleradas o corrientes que varían con el
tiempo. Toda corriente pulsatoria produce radiación ( campos
que varían con el tiempo).
Espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo.
B( t ) creciente
L
E
I ( inducida)
dl
-
+
B(inducida : se oponeal campo que lo origina)
d
f em  dt
Ley de Faraday
V
   B.ds
S
Vf em 
 E.dl  d
Teorema de STOKES
Flujo magnético.
 B.ds
s
dt
 
B
.ds
t
 A.dl   (x A).ds
L
S
 (x E).ds   
Plt .
B
.ds
t
x E  
B
t
(Ecuacion de Maxwell )
FEM Cinética (Espira móvil en un campo estático)
Fm  q uxB
Em 
fuerza lateral
Fm
uxB
q
campo eléctrico cinético.
Ejemplo : Considerando una espira conductora.
Vfem   Em.dl   (ux B).dl
L
L
Fm  I LB
F  I Lx B
L
Vfem   (u x B).dl   uB dl   uBdl  uBL
L
L
0
 E .dl   (x E ).ds   (x(ux B)).ds
m
L
m
s
s
xEm  x(ux B)
Los limites de la integral se
seleccionan en la dirección
opuesta a la corriente inducida.
Y
Bin
+++
Eelec
L
R
F
I
u=cte
Eind
X
--Espira móvil en un campo estático
Espira móvil de un campo variable en el tiempo.
B
Vfem   E.dl   .ds
t
L
s
Fem estática
Otra forma
B
x E  
 x (u x B)
t

 (u x B).dl
L
Fem cinética
Integral de circulación
A
A
 A.dl   Adl cos    (A cos )dl

b
L
dl
L
L
Componente
a lo largo de dl
a
L
Integral de Superficie
dS
A
an

A
S
Superficie abierta
d  A.ds
   A.ds
s
   Ads cos 
s
ds  dsan
Gradiente de un escalar
•
El Gradiente de un campo escalar V es un vector que representa a la vez la
magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V.
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
dV  (
V
V
V
ax 
ay 
az) . (dx ax  dy ay  dz az)
x
y
z
G
dV  G.dl  G dl cos 
(
dV
) max  G cos 0  G
dl
dl
dV
 G cos 
dl
(G y dl en la misma direccion )
Coordenadas Cartesianas
V  G 
V
V
V
ax 
ay 
az
x
y
y
Coordenadas Cilíndricas
V 
V
1 V
V
a 
a 
az

 
z
Coordenadas esféricas
V 
V
1 V
1 V
ar 
a 
a
r
r 
rsen 
IDENTIDADES
 ( V  U )  V  U
 V  UV  VU
  
U2
U
(VU )  VU  UV
V n  nV n 1V
Divergencia de un vector y teorema de la divergencia
 A.ds
div A  .A  lim s
Δv 0
dv
Fuente : divergencia
positiva
Sumidero : divergencia
negativa
Divergencia nula
Coordenadas Cartesianas
. A 
Ax Ay Az


x
y
z
Coordenadas cilíndricas
.A 
1 (A) 1 Aφ Az


ρ 
ρ φ
z
Coordenadas esféricas
1 ( Ar)
1 (Aθ sen)
1 A
.A  2 r


r
rsenθ
θ
rsen 
r
2
Teorema de la
Divergencia.
 A.ds   (.A)dv
v
s
Rotacional de un vector y teorema de Stokes
El rotacional de un campo vectorial proporciona el valor máximo de la circulación del
campo por unidad de área(densidad de circulación) e indica la dirección a lo largo de la cual
ocurre este valor máximo.
El rotacional de un campo vectorial A en un punto puede considerarse como una medida
de la circulación o cuanto gira el campo alrededor del punto.
 A.dl 

rotacional A  x A   lim L

s0 s 
Coordenadas cartesianas
ax

x A 
x
Ax
ay

y
Ay
az

z
Az
ar
1

x A  2
r sen Arr
Teorema de STOKES
 A.dl   (xA).dS
L
s
max
Coordenadas esféricas
Coordenadas cilíndricas
a a az
1 


x A 
   z
A A Az
an
ra rsen a




A rsen A
Coordenadas Cartesianas.
Desplazamiento Diferencial.
dl  dxax  dyay  dzaz
Area normal Diferencial
dS  dydz ax
dS  dxdz ay
dS  dxdy az
Volumen Diferencial
dv=dxdydz
NOTA: El elemento diferencial de superficie (o área)
puede definirse en general como :
dS  dSan
dS es el área del elemento de superficie.
an
Es el vector unitario normal a dS
COORDENADAS CILINDRICAS
0     ; 0    2 ;    z  
x   cos 
y  sen
zz
  x 2  y2
tg  
y
y
   tg 1 ( )
x
x
A  Aa  A a  Azaz  (A, A, Az)
2
2
A  A  A Az
a . a  0
a . az  0
a x a  az
a x az  a
2
az . a  0
az x a  a
Area diferencial
normal
dS  ddza
dS  ddza
dS  ddaz
d

Desplazamiento
Diferencial
d
dl  da  da  dzaz

Volumen Diferencial
dv  dddz
Coordenadas Esféricas
z
rsen
z  r cos

r
z

y
x  rsen cos 
y  rsensen
x
Desplazamiento
diferencial
dl  drar  rda  rsenda
Area diferencial
normal
Volumen Diferencial
dS  r 2senddar
dS  rsendrda
dS  rdrda
dv  r 2sendrdd
0≤ 𝑟 < ∞
0≤ 𝜃 ≤ 𝜋
0≤ ∅ < 2𝜋
A  (Ar, A, A)  Ar ar  Aa   A a
2
2
2
x y
2
tg  
 r
2
tg  
2
x y z
2
2
  tg
z
y
x
   tg
y  rsen sen
1
A A A
2
2
r


a x ar  a
a x a  ar
ar x a  a
r  x y z
A
2
1
x
2
2
y
z
y
x
x  rsen cos 
z  r cos 
2
Ley de Ampere.
 B.dl  oI
(
L
L
H

b
B
).d l  I
o
 H.dl  I
L
 H.dl  Hdl cos   I
L
dl
 H.dl   (x A).ds   J.ds
L
L
a
( encerrada )
s
s
x A  J
(EM estáti cos)
identidad vectorial .
.(x A)  0
por lo tan to : .(x H)  .J  0
Principio de conservación de la carga.
Isalida(neto)
Isalida  
dQenc
dt
ds
v
Isal   J.ds  
Qenc.
s
dQenc
dt
Aplicando teorema de la Divergencia
 A.ds   (.A)dv
v
s
J.ds   (.J )dv


d   vdv
dQenc
   ( v )dv

  v
v t
dt
dt
 (.J )dv   (
v
v
v
)dv
t
v
v
.J  
t
Ecuación de continuidad de la corriente ,
establece que no puede haber
acumulación de carga en ningún punto.
Ecuaciones de Maxwell para campos estáticos
Forma diferencial (puntual)
.D  v
.B  0
Forma Integral
 D.ds    dv
Observaciones
Ley de gauss
v
s
v
 B.ds  0
Inexistencia del monopolo
magnético
s
x E  0
 E.dl  0
Conservatividad del campo
electrostático
L
x H  J
 H.dl   J.ds
L
s
Ley de Ampere
Ecuaciones de Maxwell para condiciones variables en el tiempo
Forma diferencial
(puntual)
Forma Integral
 D.ds    dv
.D  v
B
t
Ley de gauss
v
s
v
 B.ds  0
.B  0
x E  
Observaciones
Inexistencia del monopolo
magnético
s


  B.ds 
s

L E.dl   t
Ley de Faraday
Ley circuital de Ampere
x H  J 
D
t
 H.dl   (J  J ).ds
d
L
s
Otras Ecuaciones asociadas con las ecuaciones de Maxwell
a) Ecuación de Fuerza de Lorentz
Fe  QE
Fm  Qux B
F  Fe  Fm  QE  QuxB  Q(E  uxB)
b) Ecuación de Continuidad
v
.J  
t
Ecuación de Fuerza de Lorentz
CAMPOS ARMÓNICOS EN EL TIEMPO
FASOR : Consideremos que los campos armónicos varían en forma
periódica o senoidal con el tiempo.
Fasor Z es un número complejo.
Z  x  jy  z  z e
j
z
y
tg 
x
x y
2
  tg
1
2
y
x
z1  z2  (x1  x 2)  j( y1  y2)
z1  z2  (x1  x 2)  j( y1  y2)
z1z2  z1z2(1  2)
z1 z11 z1

 (1  2)
z 2 z 22 z 2
z  z( / 2)
*
z
 j
 x  jy  z    z e
Introduciendo el elemento TIEMPO.
  wt  
z  ze j  ze j( wt )  ze je jwt
z  zcos( wt  )  jsen ( wt  )
Considerando una corriente senoidal o cosenoidal
I( t )  I0 cos( wt  )




Re I0e j  Re I0e j( wt )  Re( I0 cos( wt  )  jI 0sen ( wt  ))





I( t )  Re I0e j  I0 cos( wt  )  Re I0e j( wt )  Re I0e je jwt
Is  I0e j  I0
Corriente de Fasor


I( t )  Re Ise jwt
Forma instantánea

Un FASOR puede ser un escalar o vector.
A(x, y, z, t )
En general
A(x, y, z, t )
As(x, y, z)
Es un campo armónico en el
tiempo y su FASOR será
As  As(x, y, z)
A  Re(As e )
jwt
Forma instantánea dependiente del tiempo y
real.
Forma de FASOR invariable en el tiempo y
compleja
Ejemplo 1.
A  Ao cos( wt  x)ay

j( wt x ) 
 jx
jwt

A  Re Ao e
ay  Re Ao e ay e


El fasor de A será :

A  Re As e
jwt

As  Ao e
 j x

ay
Ejemplo 2.

A  Re As e

jwt
 A  Re As e

t
t

jwt
  R  A e
s
e

jwt
t




 e jwt 
A
jwt
 Re As
 Re Asjwe

t
t 


A

t
A
jwt
 Re Asjwe
t


Ejemplo 3.

A  Re As e
jwt



jwt
T At  T Re Ase t  Re(T Ase t)  Re As T e t 

jwt

 As  (e jwt )
 T
T At  Re  jw


jwt


 As jwt 
  Re  jw e 




 As jwt 
T At  Re  jw e 
Ecuaciones de MAXWELL armónicas en el tiempo.
jwt
e
Suponiendo factor de tiempo
.Ds  vs
 D .ds   
s
s
.Bs  0
dv
vs
v
 B .ds  0
s
s
x Es   jw Bs
 E .dl   jw  B ds
s
s.
L
xHs  Js  jw Ds
s
 H .dl   (J  jw D ).ds
s
L
s
s
s
Potenciales variables en el tiempo.
Ley de Ampere
H.dl  Hdl cos   (H cos )dl

H
dl
 H.dl  I
(corriente neta )
encerrada
L
L
Stokes
 H.dl   (x H).ds   J.ds
L
S
S
 A.dl   (xA ).ds
L
s
I   J.ds
S
x H  J
Además
dV 
dQ
4R
 V
dQ
vdv

4R v 4R
Potencial eléctrico para
campos EM estáticos
Ley de Biot-Savart
dl
Idlsen 
dH 
R2
dH 
kIdlsen 
R2
dH 
Sistema Internacio nal : k 
aR
I
1
4
dH 
(Jdv) x R
4R 3
R
dl
Idl  kds  Jdv (fuente de corriente distribuid a)
(Kds) x R
4R 3

R
R
dH
I dlx ar I dlx R

4R 2
4R 3
dH 
aR 
Jdv
J
I
Id l
Elemento de
corriente
Kds
K
Amperio
metro 2
Amperio
metro
Potenciales Magnéticos Escalares y Vectoriales
Se define el Potencial Magnético Escalar :
H  Vm
Vm(amperes )
Si J  0
Se conoce
E  V
J  xH  x(Vm)  0
Para el campo magnetostático y variable en el tiempo
.B  0
Aplicando
identidad.
B  x A
A
(
Weber
)
m
.B  .(x A)  0
Sigue cumpliéndose para los
campos variables en el tiempo
x H  J
Potencial Magnético
Vectorial.
Identidad:
 x V  0
.(x A )  0
DEFINICIONES
oId l
A
4R
L
Corriente lineal.
o kds
A
4R
S
Corriente superficial
o Jdv
4R
v
A
Corriente volumetrica
(Punto de fuente)
P( x , y, z)
I
Id l
(r  r )  R
'
P ( x , y, z )
(Punto de campo)
O (origen)
H
o  4.10 7 ( )
m
CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO
   B.ds   (x A).ds   A.dl
Flujo
S
S
L
B  x A (especifica rotor de A )
 (x A).ds   A.dl
S
A
E  V 
t
B
x E  
t
(stokes )
L
(Faraday)
Identidad
x (V)  0  x (V)  0
Condiciones de LORENTZ para potenciales:
.A  
V
t
Especifica la
divergencia de A
Un campo vectorial queda determinado en forma única
cuando se especifican su rotacional y divergencia.
ECUACIONES DE ONDAS
 2V
v
 V   2  
t

2
Identidad : 2 A  (.A)  xx A
2 A
 A   2  J
t
2
PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS
(  0,   o,   o)
1. Vacío o espacio libre
(  0,   or,   or,  w)
2. Dieléctricos sin pérdidas
3. Dieléctricos disipativos o con pérdidas
(  0,   or,   or )
4. Buenos conductores
(  ,   o,   or,  w)
En una dimensión una ecuación escalar de onda toma la forma :
2
 2E
2  E
u
0
2
2
t
z
Si en partícular suponemos que hay una dependencia armónica (o senoidal)
en el tiempo,consideramos la siguiente solución :
1. E  Asen ( wt  z)
1.1 Es armónica en el tiempo porque suponemos la dependencia del tiempo e jwt
para la ecuación.
1.2 A es la amplitud de la onda y tiene las mismas unidades de E.
1.3 ( wt   z) Es la fase en radianes de la onda;depende del tiempo y la variable z.
1.4 La onda está viajando a una velocidad u en la dirección +z
2. E  Asen ( wt  z)
La onda viaja con una velocidad u en la
dirección de –z.
Propagación de Ondas en Dieléctricos Disipativos.
Un dieléctrico disipativo es un medio en el cual una onda EM
pierde potencia conforme se propaga a causa de una conducción
deficiente ; es parcialmente conductor (dieléctrico o conductor
imperfecto); con   0
Considerando un medio dieléctrico disipativo lineal,isotrópico y
homogéneo que esté libre de carga (v  0)
Campos armónicos según MAXWELL:
.Es  0
 Es   Es  0
.Hs  0
 2 Hs   2 Hs  0
2
2
xEs   jwHs
xHs  (  jw)Es
 2  jw(  jw)
Ecuaciones vectoriales
homogéneas de HELMHOLTZ o
ecuaciones vectoriales de
ondas.
 : constante de propagación
del medio(pulg/m)
    j
 (Np/m) : constante de atenuación del medio o
factor de atenuación del medio (1Np=8,7db).
 : constante de fase (rad/m)
 
 2 
w
 1  ( )  1
2 
w

  ro
  ro
 
 2 
w
 1  ( )  1
2 
w

o  8,854x10 12
F 10 9 F

m 36 m
o  4x10 7
w 2

u

u  f

w  2f
u : velocidad de la onda.
 : longitud de onda.
Impedancia Intrínsica del medio.
Cantidad compleja y su unidad es el ohm.
  n  e

jn


 2

1

(
)

w 
Ho 
tg 1 (
1
4
Eo


)  2n
w
0  2n 90
o
E y H están desfasados en

 tg 2n
w
0o n  45o
o
n en cualquier instante de tiempo
debido a la impedancia compleja intrinsica () del medio
En un medio disipativo :
tg  

w
(tangente de pérdida).
 :ángulo de pérdida del medio
Un medio es un buen dieléctrico si   0 ,es decir si  w y tg es muy
pequeño.
Un medio es un buen conductor si    ,es decir si  w y tg
es
muy grande.
Potencia y el vector POYNTING
Teorema de POYNTING :
 


   E 2 dv   H 2 dv 
2
V
V 2
  E 2 dv
(
E
x
H
).
d
s


S

t
V
Potencia total
neta que sale de
un volumen V
Rapidez de decrecimiento en la energía
almacenada en los campos eléctricos y
magnéticos
Vector POYNTING :
P  Ex H (
Potencia ohmica
disipada
W
)
m2
El vector POYNTING representa la densidad de potencia instantánea
asociada con el campo electromagnético en un punto dado.La integración
del vector POYNTING sobre cualquier superficie cerrada da la potencia neta
que sale de esa superficie.
X
aK  aExaH
E
P=ExH
 E dv
wE  
2
v
2
aH
H
Y
aE
aZ  aK
Z
 H dv
wm  
2
v
(Energía eléctrica)
2
(energía magnética)
El lado derecho del teorema de Poynting es la razón de reducción de las energías
eléctricas y magnéticas almacenadas menos la potencia ohmica disipada en forma
de calor en el volumen v. Estos deben ser iguales a la potencia (razón de energía)
que sale del volumen a través de su superficie, para ser consistente con la ley de la
conservación de la energía.
 


   E 2 dv   H 2 dv 
2
2
V
  E 2 dv
  (Ex H).ds    V

t
S
V
La potencia total que fluye hacia adentro de una superficie cerrada en un instante
cualquiera será igual a la suma de las razones de incremento de la energía eléctrica
y magnética almacenada y de la potencia ohmica disipada dentro del volumen
limitado por la superficie.
Promedio del vector POYNTING respecto al tiempo.
T

1
1
Pprom(z)   P (z, t)dt  Re Es x Hs*
T0
2

La potencia total en promedio referido al tiempo que
cruza una superficie determinada S
Pprom   Pprom.ds
S
(w )
Energía de los campos electromagnéticos.
La importancia en estudiar los campos electromagnéticos se debe a la capacidad que tienen de
transportar energía.Este hecho es el responsable de que la energía del sol llegue a la tierra en forma
de campos electromagnéticos, como es la luz, y permita la existencia de vida sobre la tierra.
Para transmitir información de un punto a otro necesitamos "escribirla" sobre algún soporte y
transportarla. El soporte óptimo es la energía y el medio de transporte más eficaz son los campos
electromagnéticos. El transporte de energía está asociado a la propagación de las ondas
electromagnéticos.
Potencia aplicada sobre portadores de carga.
Sabemos que existe intercambio energético entre la materia y los campos electromagnéticos y la
materia está compuesta de cargas. El intercambio está relacionado con el trabajo que realizarán los
campos sobre las cargas o al contrario,las cargas sobre los campos.
El trabajo sobre una carga puntual q que se desplaza un
dr
vendrá dado por :
dWq  F.dr  q(E  vxB).dr
La fuerza que realiza el trabajo sobre las cargas es la Fuerza de LORENTZ.
El trayecto recorrido lo ponemos en función de la velocidad de la carga
d r  vdt
dWq  F.dr  q(E  vxB).vdt  qE.vdt
El campo magnético no realiza trabajo sobre las cargas ( o la materia), o sea, que no
puede ser utilizado para aumentar la energía de las cargas.
El trabajo total dependerá del tiempo que los campos actúen sobre las cargas.
Potencia que actúa sobre una carga
Pq 
dWq
 q E.v
dt
Generalizando la expresión para el conjunto del material, consideraremos que el
número de cargas por unidad de volumen es N y que todas tienen la misma
velocidad v . Entonces definimos la potencia realizada por los campos sobre un
diferencial de volumen como
dP  NqE.vdV
El movimiento de las cargas será debida a los campos,luego creara una corriente de
conducción. La densidad de corriente de conducción es Jc  Nqv
Definimos la potencia realizada por los campos sobre las cargas por unidad de
volumen (densidad de potencia sobre las cargas) como :
dP
 Jc.E
dV
(w/m3)
Hemos considerado que los campos suministran energía a la materia , así
diremos que los campos disipan energía, la Ecua. Representa las pérdidas
ohmicas en el material. Cuando la energía pasa de la materia a los campos,
diremos que estamos generando campos electromagnéticos. La potencia
suministrada a los campos será :
P    Jg.EdV
V
El signo negativo indica que las corrientes y los campos van en sentido
contrario, con lo cual generamos campos electromagnéticos.