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U.D. 5
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3º ESO E.AC.
Ecuaciones
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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U.D. 5.9
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3º ESO E.AC.
Aplicaciones en la
Cinemática
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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Resolución de PROBLEMAS
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La cinemática (del griego κινεω, movimiento) es la rama de la física que
estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas
que lo originan (las fuerzas).
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
En este movimiento la velocidad permanece constante y no hay una
variación de la aceleración (a) en el transcurso del tiempo.
Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto
del tiempo, según la ecuación:
e = eo + v.t, que es una ecuación de primer grado.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
En este movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de
móvil varía linealmente y la posición varía cuadráticamente con tiempo.
Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:
v = vo + a.t, que es una ecuación de primer grado.
e = eo + vo.t + ½ a.t2, que es una ecuación de segundo grado.
La incógnita matemática, x, equivale en Cinemática al tiempo, t.
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Gráficas
MRUA
(Parábola)
MRU
(Recta)
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PROBLEMAS RESUELTOS
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EJEMPLO_1
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Un tren se dirige a velocidad constante de 72 km/h hacia una estación,
alejada 5 km, en la que no hace parada. Tomando la estación como
sistema de referencia, calcula: a) Posición del tren a los dos minutos. b)
Tiempo que tarda en pasar por la estación.
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Tipo de movimiento: MRU (se mueve a velocidad constante).
Datos iniciales: v = 72 km/h = 20 m/s; e0 = - 5 km = - 5000 m
Ecuación de movimiento: e = e0 + v0.t
a) A los dos minutos (t = 2 min = 120 s), la posición del tren es
e = −5000 + 20 ⋅ t = −5000 + 20 ⋅120 = −2600 m (faltan 2600 m para llegar)
b) Cuando pasa por la estación, la posición del tren es e = 0 m. Sustituimos
ese valor en la ecuación de movimiento.
e = −5000 + 20 ⋅ t → 0 = −5000 + 20 ⋅ t → t = 250 s tarda en pasar.
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EJEMPLO_2
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Dos ciclistas parten de dos pueblos separados 10 km. Circulan por
la misma carretera, pero en sentidos opuestos. El primero va a 36
km/h. El segundo circula a 27 km/h, y sale un minuto después que el
primer ciclista. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse ambos
ciclistas y en qué punto de la carretera se cruzan.
Datos: Móvil 1: e0 = 0, v = 36 km/h = 10 m/s , t 0 = 0 s.
Datos: Móvil 2: e0 = 10 km = 10000 m, v = - 27 km/h = -7,5 m/s, t 0 = 60 s.
Cuando se cruzan ambos ciclistas, se encuentran en el mismo punto, es
decir, en la misma posición:
e 1 = e 2  10.t = 10000 – 7,5.( t – 60 )  10.t = 10000 – 7,5.t + 450 
 10.t = 10450 – 7,5.t  17,5.t = 10450  t = 10450/17,5 = 597,14 s
e 1 = 10.t = 10.597,14 = 5971,4 m.
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v1= 36 km/h
t1 = t
v2=27 km/h
t2 = t – 60
10 km
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• EJEMPLO_3
• Un coche que circula a 108 km/h frena, deteniéndose en 5 s.
Calcula la distancia que recorre hasta que se para.
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Datos iniciales: vo = 108 km/h = 30 m/s, eo = 0 m, a = ?, to = 0 s.
Ecuación de la velocidad:
v = vo + a.t  0 = 30 + a. 5  a = – 30 / 5 = – 6
Ecuación de movimiento:
e = eo + vo.t + ½ a.t2
e = 0 + 30.5 + ½ (– 6) .52 = 150 – 3.25 = 150 – 75 = 75 m
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EJEMPLO_4
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Un coche que lleva una velocidad de 144 km/h, frena; y después de
recorrer 160m se para. Calcular:
a)La aceleración, supuesta constante.
b)Tiempo invertido por el móvil en el frenado.
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Datos iniciales: vo = 144 km/h = 40 m/s, eo = 0 m, a = ?, to = 0 s.
Ecuación de movimiento:
e = eo + vo.t + ½ a.t2  e = 40.t + ½ a.t2
Ecuación de la velocidad:
v = vo + a.t  v = 40 + a. t
Cuando se para ha recorrido 160 m:
160 = 40.t + ½ a.t2
0 = 40 + a. t
Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y t) que
resolveremos en la siguiente Unidad Didáctica.
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EJEMPLO_5
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Desde una azotea de 15 m de altura lanzamos hacia abajo una piedra
con una velocidad de 8 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire,
calcula: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Velocidad en el
momento de llegar al suelo.
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Datos iniciales: vo = – 8 m/s , eo = 15 m, a = – 10 m/s2 ?, to = 0 s.
Ecuación de la velocidad:
v = vo + a.t  v = – 8 – 10.t
Ecuación de movimiento:
e = eo + vo.t + ½ a.t2  e = 15 – 8.t – 10.t2
Al llegar al suelo se para, luego e = 0
0 = 15 – 8.t – 10.t2  10.t2 + 8.t – 15 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t = [ – 8 ± √(64 – 4.10.( - 15))] / 2.10 = [ – 8 ± 25,77] / 20 = 1,11 s.
La otra solución, al ser negativa, no tiene validez.
v = – 8 – 10.t = v = – 8 – 10.1,11 = – 8 – 11,1 = – 19,1 m/s
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