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Macroeconomía II
Laura D’Amato
UBA j FCE
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Agosto 2015
Laura D’Amato
Macroeconomía II
UBA j FCE
Clase 3:Expectativas racionales (basado en McCallum, 1989, Cap 8)
Laura D’Amato
Macroeconomía II
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Expectativas racionales (ER)
Los agentes económicos comenten sin duda errores al
proyectar los valores de algunas variables económicas
Que lo hagan de forma sistemática nos resulta contraintuitivo,
porque es costoso para ellos
Entonces suena razonable pensar que los agentes incurren en
errores, pero tienen la capacidad de corregir sus percepciones
¿Cómo formalizar esta idea?
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Expectativas racionales (ER)
Muth (1960, 1961) desarrolla la noción de expectativas
racionales en una aplicación a …nanzas
Recién en los 70’s Lucas la extiende a la economía y la aplica
a importantes problemas de macroeconomía
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Expectativas racionales (ER)
Las variables económicas se pueden pensar como procesos
estocásticos, no determinísticos (Recordar Lucas, 1972)
yt = a + byt
1
+ et
Los agentes pueden ser capaces de:
identi…car el componente sistemático de esos procesos
utilizar de manera e…ciente toda la información disponible para
proyectar los valores de esas variables
Identi…car errores de predicción y revisarlos
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Expectativas racionales (ER)
Existe un método óptimo de proyectar el valor de una variable
estocástica y es calcular su esperanza condicional en el
conjunto de información disponible al momento t en que se
realiza el pronóstico, lo que evita incurrir en errores
sistemáticos
pet,t+1 = Et ( pt+1 /Ωt )
(1)
donde E es el operador esperanza y Ωt es el conjunto de
información disponible en t, que incluye valores pasados de la
variable en cuestión de aquellas relevantes para explicar su
dinámica (p. ej. mt y sus rezagos en el modelo de Cagan)
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Expectativas racionales (ER)
Trasladar este concepto a la formación de expectativas implica
suponer que la expectativas subjetivas (pronóstico) que
formulan los agentes coinciden con la esperanza condicional
(objetiva) en t dada por la ecuación 1
Este supuesto es muy fuerte, ya que en general admitimos que
para un econometrista la distribución de probabilidad de π t es
desconocida.
Sin embargo es crucial, porque esa coincidencia también
garantiza consistencia en las expectativas, concepto asimilable
al de equilibrio en un mundo estático
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Expectativas racionales (ER)
¿De qué modo nos garantiza ER no cometer errores sistemáticos?
(i) La esperanza (no condicional) del error de pronóstico es 0
pet,t+1
= E [ p t +1
E( pt+1 ) E [ Et ( pt+1 /Ωt )] =
E ( p t +1 ) E ( p t +1 ) = 0
E p t +1
Et ( pt+1 /Ωt )] = (2)
Donde el penúltimo paso utiliza la "ley de esperanzas interadas"
que, intuitivamente, postula que la esperanza de una esperanza es
se corresponde con aquella que utiliza el conjunto de información
dada la menor información posible (en este caso la esperanza no
condicional)
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Expectativas racionales (ER)
(ii) Los agentes utilizan e…cientemente el conjunto de información
disponible:
Dada una variable xt 2 Ω queremos considerar E pt+1 pet+1 ) xt ,
la covariaza de error de pronóstico con las variables incluídas en Ω
E p t +1
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pet,t+1 ) xt
= E [( pt+1 Et ( pt+1 /Ωt )) xt ] = (3)
E( pt+1 xt ) E [ Et ( pt+1 /Ωt ) xt ]
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Expectativas racionales (ER)
Dado que xt 2 Ω
Et ( pt+1 /Ωt ) xt = Et ( pt+1 xt /Ωt )
por lo que usando nuevamente la ley de esperanzas iteradas tenemos
que
E ( p t +1 x t )
E [ Et ( pt+1 xt /Ωt )] = E( pt+1 xt )
E ( p t +1 x t ) = 0
Esto nos indica que los errores de pronóstico deberían estar incorrelacionados con las variables incluídas en el conjunto de información
de que disponen los agentes cuando forman su expectativa acerca
de pt+1 , o, lo que es lo mismo, que ellos utilizan e…cientemente el
conjunto de información del que disponen.
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Expectativas racionales (ER)
Vamos a usar ahora la noción de ER para resolver el modelo de
Cagan (1956)
De…niendo entonces a la expectativa in‡acionaria en t para t + 1
como
π et,t+1 = Et ( pt+1 /Ωt )
y recordado que la demanda de dinero de Cagan puede escribirse
como
mt pt = γ + απ et,t+1 + ut con α‹0 y γ›0
(4)
Donde el término ut se supone ahora puramente aleatorio, una realización de una distribución con media E (ut ) = 0, varianza σ2u
constante y serialmente incorrelacionado (un ruido blanco)
Notar que, de no ser así, se incumplirían las condiciones de expectativas racionales
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Expectativas racionales (ER)
ER implica que los agentes conocen el funcionamiento de la economía,
es decir, conocen (4 ) y la información disponible sobre pt y mt y sus
valores pasados, por lo que pueden inferir ut y sus valores pasados
también.
Para ser más consistentes con la noción de expectativas racionales,
vamos a simpli…car la notación y reemplazar a π et,t+1 por Et π t+1 ,
que además podemos escribir como Et pt+1 pt , porque pt es conocida para los agentes económicos. Entonces podemos reescribir la
ecuación de Cagan como
mt
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pt = γ + α ( Et pt+1
pt ) + ut
(5)
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Expectativas racionales (ER)
Como lo hicimos en el caso de expectativas adaptativas, vamos a
tratar de buscar una solución para pt , comenzando por reescribir la
ecuación anterior reagrupando los términos en pt
mt = γ + αEt pt+1 + (1
α) pt + ut
(6)
y despejar pt
αEt pt+1 ut
(7)
1 α
Pero en la medida que la ecuación anterior incorpora Et pt+1 , no es
una solución para pt.
pt =
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mt
γ
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Expectativas racionales (ER)
Una manera de resolver para pt es aplicar el operador esperanza a
la ecuación (7) y adelantarla un período
Et pt+1 =
Et (mt+1
γ
αEt+1 pt+2
1 α
ut )
(8)
que por la ley de esperanzas iteradas y teniendo en cuenta que
Et ut = 0 podemos escribir como
Et pt+1 =
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Et mt+1
αEt pt+2
γ
1
α
(9)
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Expectativas racionales (ER)
Y ahora podemos usarla para reemplazar Et pt+1 en la ecuación (7)
y obtener
pt =
mt
γ
α
Et mt+1 γ αEt pt+2
1 α
1
ut
α
que se puede reordenar para expresarla como
pt =
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mt
α
1 α Et mt+1
γ + 1ααγ +
1 α
α2
1 α Et pt+2
ut
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Expectativas racionales (ER)
Si repetimos este proceso para pt+2 y le aplicamos el operador esperanza para reemplazar en la ecuación anterior y así sucesivamente,
vamos a notar que los sucesivos reemplazos nos llevan a una expresión en los valores esperados de la oferta monetaria hacia adelante
Et mt+i .
A medida que i tiende a ∞ los términos en Et pet+i tienden a 0,
excepto que la trayectoria de pt+i se haga explosiva, ya que α α 1 ‹1.
De este modo, se obtiene una expresión para pt , el nivel de precios
en el período corriente, que depende del sendero esperado para la
oferta monetaria mt
pt =
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mt
γ (1
α)
ut +
α
α 1
Et mt+1 +
1 α
α 2
α 1
Et mt+2 + ....
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Expectativas racionales (ER)
La ecuación anterior sugiere que los agentes conocen el proceso que
describe la política monetaria. Tenemos entonces que incorporar
una ecuación que describa su comportamiento
Se puede por ejemplo postular un proceso autorregresivo de orden1,un AR(1) para la oferta monetaria, tal que
mt = µ0 + µ1 mt
1
+ et
(10)
donde el valor de la oferta monetria en t depende de su valor pasado
y tiene un componente aleatorio et que es un ruido blanco:
E (et ) = 0, var (et ) = σ2e y E ei e j = 0 8 i 6= j es igual a 0
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Expectativas racionales (ER)
Es posible entonces tener una expresión para los valores esperados en
t para la oferta monetaria. Para mt+1 se tiene Et mt+1 = µ0 + µ1 mt ,
ya que Et et+1 = 0. Para mt+2 sería
Et mt+2 = Et (µ0 + µ1 mt+1 + et+2 )
= µ 0 + µ 1 m t +1 = µ 0 + µ 1 ( µ 0 + µ 1 m t )
Este cálculo puede repetirse para encontrar una solución para pt
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Expectativas racionales (ER)
Cuando se especi…ca un comportamiento para la oferta monetaria
es posible resolver el model usando el método de coe…cientes indeterminados
Comenzamos por igualar las ecuaciones de demanda (6) y oferta
(10) monetarias
γ + αEt pt+1 + (1
α ) p t + u t = µ0 + µ1 m t
1
+ et
(11)
Notamos que la variable endógena, pt , depende de mt 1 , ut , et y
Et pt+1 , la que a su vez sabemos depende de los valores esperados
para mt . Dado su comportamiento autorregresivo, Et mt+1 no agrega
información adicional.
Entonces, como el modelo es lineal, podemos conjeturar una solución
de la forma
p t = φ0 + φ1 m t 1 + φ2 u t + φ3 e t
(12)
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Expectativas racionales (ER)
Si la conjetura es válida pt+1 = φ0 + φ1 mt + φ2 ut+1 + φ3 et+1 y
Et pt+1 = φ0 + φ1 mt = φ0 + φ1 (µ0 + µ1 mt
1
+ et )
(13)
Si ahora sustituimos (12) y (13) en (11) obtenemos
γ + α [ φ0 + φ1 ( µ0 + µ1 m t
+ et )]
+ (1 α ) ( φ0 + φ1 m t 1 + φ2 u t + φ3 e t ) + u t
= µ0 + µ1 m t 1 + e t
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1
(14)
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Expectativas racionales (ER)
Entonces, si la ecuación propuesta es válida, debería cumplirse para
cualquier valor de mt 1 , ut , et , y por lo tanto debería veri…carse que
las siguientes condiciones deberían cumplirse para φ1, φ2 φ3 y φ0
(14)
αφ1 µ1 + (1
α ) φ1 = µ1
(1 α ) φ2 + 1 = 0
αφ1 + (1 α) φ3 = 1
γ + αφ0 + αφ1 µ0 + (1 α) φ0 = µ0
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Expectativas racionales (ER)
si ahora despejamos φ1 , φ2 , φ3 y φ0 obtenemos
φ1 =
φ2 =
φ3 =
φ0 =
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µ1
1 α + αµ1
1
1 α
1
1 α + αµ1
µ0 (1 α )
1 α + αµ1
γ
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Expectativas racionales (ER)
y obtenemos la siguiente expresión para pt de acuerdo a (12)
pt =
µ0 (1 α )
µ1
γ+
mt
1 α + αµ1
1 α + αµ1 1
1
1
ut +
et
1 α
1 α + αµ1
1
(15)
que describe la evolución de nuestra variable endógena, pt en términos de los shocks exógenos sobre la demanda y la oferta monetaria
y la variable predeterminada (o dada para los agentes) mt 1
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Expectativas racionales (ER)
¿Cómo responde el nivel de precios a shocks sobre la demanda y la
oferta de dinero?
Notar en(15) que un shock positivo sobre la demanda de dinero (un
valor positivo de ut ), dado que α > 0, reduce el nivel de precios. La
intució es que por alguna razón no vinculada a los determinantes de
la demanda por saldos reales en la ecuación (5) los agentes están
dispuestos a tener más saldos líquidos, el dinero de algún modo se
encarece en relación a los bienes y esto dá sentido a la baja en pt
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Expectativas racionales (ER)
Un valor positivo de et , es decir, un shock positivo sobre la oferta
monetaria tiene un efecto positivo sobre el nivel de precios, lo que de
nuevo resulta intuitivo, porque para una dada demanda por saldos
reales, una mayor oferta monetaria implica saldos reales más elevados que los deseados por los agentes económicos, por lo que los
precios deberían aumentar para reestablecer el equilibrio monetario.
Notar también que dado que jµ1 j < 1, el cambio que induce el
shock monetario en los precios es menos que proporcional. Esto no
contradice la neutralidad del dinero, ya que no se trata de un shock
permanente, sino de un shock temporario. Notar que dado que esto
es así porque jµ1 j < 1 y por lo tanto el efecto del shocks en t sobre
la trayectoria de mt decae.
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