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FÍSICA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS
AUTORIDADES
Rectora UNSE
Lic. Natividad NASSIF
Decano Organizador Facultad de Ciencias Médicas
Dr. Humberto A. HERRERA
Secretario Académico Facultad de Ciencias Médicas
Dr. Pedro CARRANZA
Coordinador de Actividades de Ingreso Facultad de Ciencias Médicas
Dr. José GALIANO
MÓDULOS DE ESTUDIO PARA INGRESO A MEDICINA
Equipo de autores de material de estudio
Módulos de Curso de Nivelación
Biología: Dr. Diego MELONI
Física: Ing. Claudia ANRIQUEZ
Química: Dra. Evangelina GONZÁLEZ
Lic. Héctor TÉVEZ
Alfabetización Académica: Lic. Elsa DANNA
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FÍSICA MATEMÁTICA
Anríquez, Claudia Beatriz
Módulos de estudio para ingreso a medicina: biología. - 1a ed. Santiago del Estero: Universidad Nacional de Santiago del Estero UNSE, 2015.
E-Book.
ISBN 978-987-1676-60-6
1. Medicina. 2. Física. 3. Enseñanza Universitaria. I. Título
CDD 530.711
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FÍSICA MATEMÁTICA
MÓDULO 1: FÍSICA MATEMÁTICA
La física matemática es el campo científico que se ocupa de la interfaz entre la matemática y
la física y se la define como la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la
física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo
de conocimientos físicos imprescindibles para el abordaje de los estudios de la carrera de
medicina.
Propósito
Brindar a los aspirantes conocimientos básicos de Matemática y Física que permitan explicar
algunos fenómenos estudiados por la Ciencia Médica mediante la resolución de problemas.
Objetivos

Conocer y utilizar las herramientas de la matemática para organizar y explicar los
fenómenos físicos.

Interpretar los conceptos básicos de la física.

Conocer e interpretar el significado, las limitaciones y el alcance de las leyes que rigen
los fenómenos físicos.

Comprender y resolver situaciones problemáticas en el área de las Ciencias Médicas,
mediante el uso de herramientas y modelos matemáticos necesarios para su
interpretación.
Propuesta de Contenidos
Matemática. Notación científica. Potencia. Operaciones con potencia. Sistema cartesiano
ortogonal. Funciones: funciones de 1º y 2º grado; exponenciales; logarítmicas. Relaciones
trigonométricas.
Vectores. Nomenclatura: forma cartesiana, polar y con vectores unitarios. Operaciones con
vectores: Suma vectorial y producto de escalar por vector.
Magnitudes. Medición y sus componentes; magnitudes y unidades. Magnitudes escalares y
vectoriales. Sistema de unidades. SIMELA.
Cinemática. Trayectoria. Posición. Desplazamiento. Velocidad media e instantánea.
Aceleración. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Dinámica. Fuerza. Masa. Ley de la gravitación universal. Primera ley de Newton. Segunda ley
de Newton. Tercera ley de Newton. Fuerzas de contacto y a distancia; peso; fuerza normal;
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fuerza de rozamiento. Aplicaciones de las leyes Newton. Trabajo de una fuerza. Potencia.
Energía cinética y potencial. Principio de conservación de la energía. Cantidad de movimiento.
Momento de una fuerza respecto de un eje. Cuerpo rígido; centro de masa. 2º ley de Newton
para la rotación. Condiciones de equilibrio estático. Biomecánica.
Hidrostática e Hidrodinámica. Concepto de fluido. Densidad. Presión. Presión hidrostática.
Principio de Pascal. Presión atmosférica. Principio de Arquímedes. Líneas de flujo y Ecuación
de continuidad. Teorema de Bernoulli. Viscosidad. Flujo laminar y turbulento. Número de
Reynolds. Ley de Poiseuille. Ley de Stokes
Temperatura, Gases, Calor y Nociones de Termodinámica. Temperatura. Escalas de
temperatura. Expansión térmica. Gases ideales y reales. Ley de Boyle-Mariotte. Leyes de Gay
Lussac. Ecuación general de los gases. El calor. Calor específico y calor Latente. Primer
principio de la termodinámica. Energía interna. Transmisión del calor: conducción, convección
y radiación.
Electrostática y Electrodinámica. Carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico.
Potencial eléctrico. Diferencia de potencial. Corriente eléctrica. Resistencia eléctrica. Ley de
Ohm. Trabajo y potencia eléctrica. Resistencias en serie y en paralelo. Circuitos eléctricos.
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FÍSICA MATEMÁTICA
¡Bienvenidos al módulo de Física Matemática!
La Física es la ciencia que explica todo tipo de fenómeno natural y los organismos
vivientes forman parte de la Naturaleza, ellos son sistemas abiertos ya que incorporan, como
también liberan materia, energía e información.
En éste curso se intentaran explicar conceptos físicos que se seleccionaron para poder
afrontar el estudio de la Medicina. Así también se debe entender que el lenguaje de la Física
es la Matemática, por lo que no se puede separar; en muchos casos los conceptos físicos
están definidos operativamente, o sea siempre asociados a una expresión matemática, que
pone de manifiesto la relación entre las variables o magnitudes, intervinientes en el fenómeno.
La primera parte del curso se ven justamente las herramientas matemáticas para dar
lugar luego a los conceptos físicos propiamente dichos
Desde ya deseamos que en esta primera experiencia para todos, sepamos
acompañarnos para cimentar esta nueva carrera en Santiago del Estero que es una aventura
del pensamiento que se hizo realidad.
¡Muchos Éxitos!
Ing. Claudia Anriquez
Coordinador Módulo de Física Matemática
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FÍSICA MATEMÁTICA
ÍNDICE
HERRAMIENTAS MATEMATICAS ......................................................................................................... 9
DE CARTESIANAS A POLARES ......................................................................................... 15
DE POLARES A CARTESIANAS ......................................................................................... 15
MECÁNICA .............................................................................................................................. 33
CINEMÁTICA ........................................................................................................................... 33
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) ................................................................ 35
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ............................... 35
Movimiento en el Plano – Movimiento circular ................................................................. 36
DINÁMICA................................................................................................................................ 37
PRIMERA LEY DE NEWTON ............................................................................................... 42
SEGUNDA LEY DE NEWTON ............................................................................................. 43
TERCERA LEY DE NEWTON .............................................................................................. 44
Momentum de una fuerza o Torque ................................................................................. 46
EL CUERPO RÍGIDO ........................................................................................................... 48
EQUILIBRIO ESTÁTICO ...................................................................................................... 50
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES ....................................................... 52
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA ................................................................ 53
Mecánica de los fluidos .................................................................................................... 54
HIDROSTÁTICA ...................................................................................................................... 55
DENSIDAD DE LOS FLUIDOS ............................................................................................ 55
PRESIÓN .............................................................................................................................. 56
Empuje y peso aparente ................................................................................................... 58
PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA ......................... 59
HIDRODINAMICA...................................................................................................................................... 60
ECUACIÓN DE BERNOULLI ............................................................................................... 64
Barómetros y manómetros: instrumentos de medición de presiones.............................. 66
LA PRESION ATMOSFERICA: SU MEDIDA. EXPERIENCIA DE TORRICELLI ................ 68
Tensión superficial ............................................................................................................ 69
FLUIDOS REALES ............................................................................................................... 71
Viscosidad ......................................................................................................................... 71
Viscosidad de algunos líquidos ........................................................................................ 72
LEY DE POISEUILLE ........................................................................................................... 72
Uniones entre circuitos ..................................................................................................... 73
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, Y EL PERFIL PARABÓLICO DE VELOCIDADES .... 74
LEY DE STOKES .................................................................................................................. 74
Circulación sanguínea ...................................................................................................... 75
La sangre .......................................................................................................................... 75
LA PRESIÓN ........................................................................................................................ 76
Uniones entre tuberías...................................................................................................... 76
Medida de la presión arterial ............................................................................................ 77
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TEMPERATURA - CALOR - NOCIONES DE TERMODINÁMICA ........................................ 80
TEMPERATURA................................................................................................................... 80
EL CALOR Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA ...................................... 81
Dilatación Térmica ............................................................................................................ 82
EL CALOR ............................................................................................................................ 82
TRANSMISIÓN DEL CALOR ............................................................................................... 83
Descripción de los sistemas termodinámicos .................................................................. 84
Descripción termodinámica del universo .......................................................................... 84
Clasificación de los sistemas ............................................................................................ 85
Estado del sistema............................................................................................................ 86
TEMPERATURA- PRESION- VOLUMEN EN GASES ........................................................ 87
La naturaleza de los gases ............................................................................................... 87
LEY DE BOYLE Y MARIOTTE ............................................................................................. 88
LEY DE GAY LUSSAC ......................................................................................................... 88
ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES............................................................. 89
Ecuación de estado .......................................................................................................... 91
ELECTROSTATICA................................................................................................................. 93
Energía potencial electrostática ....................................................................................... 95
ELECTROCINETICA ............................................................................................................... 97
CORRIENTE ELÉCTRICA ................................................................................................... 97
CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM .......................................................................... 98
Símbolos eléctricos ......................................................................................................... 100
Circuitos en serie ............................................................................................................ 101
Circuito en paralelo ......................................................................................................... 101
Caída de tensión en un receptor .................................................................................... 102
La corriente en los circuitos serie y paralelo .................................................................. 102
Características de los circuitos serie y paralelo ............................................................. 102
Efectos fisiológicos de la corriente eléctrica .................................................................. 104
Terapia con estimulación de corriente ........................................................................... 105
Propagación .................................................................................................................... 111
Velocidad de propagación .............................................................................................. 112
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................... 143
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FÍSICA MATEMÁTICA
HERRAMIENTAS MATEMATICAS
La MEDICION; la medida, instrumentos de medición
El estudio de una ciencia implica realizar mediciones, el resultado de estas es la medida. Pero
este proceso no es solo de las ciencias, sino que nuestra vida se rige de medidas: cuánto
cuesta, cuánto mides, qué hora es, cuanto ganas, cuánto pesa, un análisis de sangre, un
análisis de orina, los valores de los triglicéridos etc. En suma todo lo medimos.
Es por eso que el proceso de Medición es muy importante.
La Medición puede ser Directa o puede ser Indirecta.
La Medición Directa es cuando a la medida se la obtiene de la sola lectura de un
instrumento de medición, ejemplo de esto es la medida del tiempo en un reloj, la medida de
la masa de papas en una balanza de verdulería, la medida de la temperatura en un
termómetro, etc. En estos casos el reloj, la balanza, el termómetro son los instrumentos de
medición
La Medición Indirecta: es la medida que resulta ya no de la lectura directa de un
instrumento de medición sino del resultado de una operación matemática. En la Física hay
muchas magnitudes físicas que se definen como el resultado de una operación matemática,
por ejemplo la superficie de un lote de forma rectangular es el resultado de multiplicar lado
por lado.
Hay dos componentes fundamentales en el proceso de la Medición: La magnitud y las
unidades (sistema de unidades)
Una magnitud es la propiedad del cuerpo susceptible de ser medido. Para medir una
magnitud se emplea una cantidad fija de la misma clase que se llama unidad.
Entonces debemos determinar la magnitud a medir y luego seleccionar la unidad de la
medida. La unidad no es una, sino un sistema de unidades.
Tenemos el Sistema Ingles y el Sistema Internacional del cual proviene el sistema que
usamos es nuestro país que es el SIMELA. Dentro de éste sistema es común hablar del
sistema MKS (metro, kilogramo, segundo). Otro sistema de unidades es el CGS (centímetros,
gramos, segundos).
El SIMELA es el Sistema Métrico Legal Argentino que es con el que trabajamos en
nuestro país. En el siguiente cuadro solo se mencionan algunas magnitudes con sus
respectivas unidades:
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
masa
Gramo
g
tiempo
Segundo
seg
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longitud
Metro
m
volumen
Metro cubico
m3
Velocidad
Metro/segundo
m/seg
Toda unidad va acompañada de un prefijo que denota el orden de magnitud de la
medida:
Por ejemplo kilómetros , kilogramos, la palabra kilo equivale a 103 .
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Lo bueno es que toda unidad en un sistema de unidades tiene su equivalencia en otro sistema;
es decir que si tenemos una medida en el sistema ingles por ejemplo 20 millas, esto equivale
a 32,187 km, puesto que 1 milla equivale a 1,609 km. Estas equivalencias se las puede
encontrar en cualquier libro de física, en los celulares que tienen conversores, en fin no es
ningún secreto para nadie, solo hay que saber dónde buscar.
Algunas conversiones son:
1ft = 0,3048 m
1plg = 0,0254 m
1mi = 1609 m
1lb = 0,453 kg
1 lb (fuerza) = 4,448 N
1 yarda = 3 ft
1plg = 8,33 x 10-2 ft
1ft = 12 plg
1mi = 5280 ft
Ejercicios
1- ¿Cuál es el área de un círculo de 3,5 cm de diámetro? Expresarlo en m 2
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2- El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 l/seg. ¿cuáles son las dimensiones de esta
velocidad de flujo? Expresarla en m 3/h
3- ¿Cuál es el volumen de una célula esférica de 2 x 10-3 cm de diámetro?
4- La densidad normal de la orina oscila entre 1,002 - 1,035 g/l. Expresar estos valores en
kg/m3.
Las Magnitudes suelen clasificarse de varias maneras, la que seleccionamos aquí es la
siguiente:
Magnitudes escalares: son aquellas cuya medida es un escalar, esto es un número
con su unidad. Ejemplo: la longitud, masa, superficie, volumen, densidad, entre otras.
Magnitudes vectoriales: son aquellas cuyas medidas son vectores, o sea que se debe
indicar de ellas la intensidad, la dirección, sentido y donde están aplicadas. Todo esto se
indica con una herramienta llamada: vector. (La nomenclatura vectorial se ve después)
Entonces las magnitudes físicas vectoriales son aquellas que se representan por un vector, el
cual a su vez da la información de la intensidad, dirección y sentido. ¿Por qué esto es así?
Porque esa información es necesaria, porque causarán un efecto! Por ejemplo, si nos dicen:
“viene un tornado de 150 Km/h”, lo primero que preguntaremos es de donde viene y a donde
impactará, porque es ahí donde causará un gran efecto! Algunas de estas magnitudes son: la
velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otras.
La medida y sus formas de expresar
a) Forma de escribir medidas que son números:
Notación científica
Los técnicos, médicos y físicos se encuentran frecuentemente con números muy grandes o
muy pequeños, estos números suelen ser expresados en notación científica. Recuerde que
para expresar un número en notación científica, este debe ser mayor o igual a 1 y menor que
10, multiplicado por una potencia entera de 10.
En medicina es difícil asimilar los valores que se manejan, por ejemplo cuando nos dicen
que el radio de un átomo de hidrógeno es igual a 0,000000005. Esto sucede pues tales
números distan mucho de los valores que nuestros sentidos están acostumbrados a percibir
y se encuentran fuera de nuestro cuadro de referencias. En el estudio de la física
encontraremos magnitudes expresadas por números muy grandes o muy pequeños. El
enunciado escrito u oral de tales números, por lo común es dificultoso y por eso se utiliza la
notación científica.
La notación científica es expresar cualquier número como el producto de ese número
comprendido entre 1 y 10 y una adecuada potencia de 10.
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Una regla práctica para obtener la potencia de 10 adecuada es la siguiente:
a) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal para colocarlo a la
izquierda; este número nos proporciona el exponente positivo de 10.
b) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal hacia la derecha; este
número nos proporciona el exponente negativo de 10.
Ejercicios
1) La relación 1/1.000.000 g equivale a:
a) 1 ng
b) 103 pg
c) 106 fg
d) 10 Å
e) nada de lo anterior es correcto
2) En un cultivo de orina se obtienen 1,3 x 106 bacterias por mm 3, esto significa que:
a) tiene 13 x 106 bacterias por mm 3 de orina
b) tiene 1300 bacterias por mm 3 de orina
c) tiene 1300000 bacterias por mm 3 de orina
d) tiene 0,0000013 bacterias por mm 3 de orina
e) tiene 0,00013 bacterias por mm 3 de orina
3) Resuelva aplicando notación científica:
(5 x 108) x (3,5 x 10-6) / (4 x 10-2) =
- Exprese en notación científica
a) 382
b) 21200
c) 62000000
d) 0,042
e) 0,75
f) 0,000069
g) 0,0087 x 103
h) 4500 x 105
i) 84,6 x 10-5
j) 0,12 x 10-4
2- Calcule usando notación científica:
560000
8900  0,000058
a) 0,0021 x 30000000
b)
0,000045
34000
c)
d) 7,54 x 108
e)
90 10 7
f) 5,7 x 10-4 + 240 x 10-
3,7 x 107
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g)
5  10 
3 3
780000  0,00496
0,0078  0,009
3
h) 59000 x 10 x 0,00009
i)
 0,005
0,00000095
b) Forma de escribir las medidas que son vectores:
El vector: es un segmento orientado
v
El módulo o intensidad está representado por la medida de todo el segmento: v
La dirección y sentido del vector vienen dados por la medida del ángulo que forma el vector
con la dirección + x.
* Coordenadas polares: la medida del vector viene dada por su módulo, y el ángulo
(respecto alguna referencia), 𝐴⃗ = (A , θ)
por ejemplo 100 km/h, dirección norte a sur, con esta información se está dando
implícitamente el ángulo . 𝐴⃗ = (100 km/h , 270°)
* Coordenadas cartesianas: se indican las las medidas de las componentes
Las proyecciones perpendiculares de A sobre cada eje se llaman, por definición,
componentes vectoriales de a en las direcciones x e y. En la figura estas componentes
vectoriales están indicadas por Ax y Ay. De la figura se encuentra fácilmente que los módulos
de las componentes vectoriales son:
Ax = A cos θ
Ay = A sen θ
Una vez que un vector ha quedado descompuesto, las componentes mismas pueden
usarse para especificar el vector. En lugar de dar un vector como (A , θ), esto es magnitud y
dirección con respecto al eje x positivo, puede darse el mismo como (Ax ; Ay), las componentes
rectangulares o cartesianas según los ejes x e y.
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* Coordenadas con vectores unitarios:
Los vectores unitarios tienen modulo uno y la dirección de los ejes cartesianos:
i, representa el vector unitario en la dirección del eje x
j, representa el vector unitario en la dirección del eje y
k representa el vector unitario en la dirección del eje z
asi por ejemplo un vector V = (4 , 6 , 3) en coordenadas cartesianas será V = ( 4 i + 6 j
+ 3 k)
Como convertir….
De cartesianas a polares
Si tiene un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quiere en coordenadas polares (r,θ),
necesitas resolver un triángulo del que conoce dos lados.
Ejemplo: ¿Cómo pasar (12,5) en coordenadas cartesianas a polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r  122  52  144 + 25  169  13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tg θ = 5 / 12
θ = arctg ( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r  x 2  y2
θ = arctg ( y / x )
De polares a cartesianas
Si tiene un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quiere en coordenadas cartesianas (x,y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
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FÍSICA MATEMÁTICA
Ejemplo: ¿el vector (13, 23°) en coordenadas polares expresarlo en cartesianas?
Usamos la función coseno para x:
cos ( 23° ) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
x = 13 × cos ( 23° ) = 13 × 0,921 = 11,98
Usamos la función seno para y:
sen ( 23° ) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
y = 13 × sen ( 23° ) = 13 × 0,391 = 5,08
Así que las expresiones para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos (θ)
y = r × sen (θ)
Operaciones con vectores
Una vez que se sabe cómo escribir vectores, se pueden realizar las siguientes operaciones:
Suma y resta vectorial
Productos escalar por vector
Producto escalar
Producto vectorial
Sumar vectores analíticamente
Es descomponer todos los vectores según un sistema de coordenadas cartesianas. Cada
componente de la resultante se obtendrá sumando algebraicamente las componentes de cada
vector según el eje considerado.
A partir de las componentes de la resultante se podrán encontrarse el módulo y dirección
del dicho vector.
Producto de un escalar por un vector
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FÍSICA MATEMÁTICA
De igual manera si multiplicamos un vector por un escalar, éste afectará al vector original en
módulo y dirección dependiendo de su signo y su valor absoluto. Si el signo del escalar es
negativo, el vector resultante deberá cambiar su sentido, caso contrario lo conservará.
Si el valor absoluto del escalar es mayor que uno el vector resultante tendrá un módulo
mayor que el vector dato. Si fuera menor que uno, el módulo disminuirá.
Relaciones y funciones entre magnitudes
Los científicos, para estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, comprueban
que en ellos, generalmente hay dos o más magnitudes relacionadas entre sí.
Esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia. Cuando esto
sucede, es decir cuando las magnitudes están relacionadas, puede establecerse un vínculo
funcional entre ellas.
Ejemplo de relación:
M = (Argentina, Brasil, Perú, España, Francia)
P = (Buenos Aires, Madrid, París, Brasilia, Lima)
Si entre los conjuntos M y P se establece la relación “capital de”, se obtiene:
P R M, que es una relación funcional.
El conjunto P es también llamado el dominio, y al conjunto M se lo llama el codominio.
Función
Las funciones son casos particulares de relaciones.
Definición:
Una función f de A en B (f: A B) es una relación que cumple:
1) El dominio de f es A
2) A cada elemento x A le corresponde un único elemento y B que se denota por
y = f (x)
A “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente.
Al igual que las relaciones, una función puede representarse mediante tablas, diagramas de
Venn, en el plano cartesiano, mediante una fórmula o coloquialmente.
Una función se puede representar a través de:
• una explicación con palabras comunes (lenguaje coloquial),
• una tabla acompañada de una explicación,
• una fórmula algebraica,
• un gráfico cartesiano.
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Función lineal
Definición: las funciones cuya gráfica es una recta o parte de una recta se llaman funciones
lineales.
La fórmula de cada función lineal es:
y=a+b.x
También existe una relación entre el número b de la fórmula, la inclinación o pendiente de la
recta, y la variación constante en las funciones lineales.
Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b”, el número “a” indica el punto donde la
recta de la gráfica corta al eje de ordenadas y. Suele llamárselo ordenada al origen.
Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b . x”, el número b (coeficiente de la variable
independiente) indica la variación constante, es decir el cociente o división entre la resta de
dos valores de la variable dependiente y, y la resta de sus correspondientes valores para la
variable independiente x.
Propiedad: además, si el número b es positivo, la recta de la gráfica es creciente,
ascendente, y si el número b es negativo, la recta de la gráfica es decreciente, descendente.
Suele llamárselo inclinación o pendiente.
Ejemplo 1
Las vías del tren
Seguramente usted habrá observado que las vías del ferrocarril dejan un pequeño
espacio libre en la unión de los rieles. Esto se debe a que, como el metal se dilata, se agranda,
con el calor, las vías necesitan ese espacio para no curvarse con temperaturas altas. ¿Cómo
se sabe cuánto espacio dejar? Se hicieron experiencias a diferentes temperaturas, y con rieles
que a 0º tienen 10 metros se obtuvo la siguiente tabla:
Analice la tabla.
Temperaturas (en ºC)
-12
-8
0
8
15
25
Alargamiento (en mm)
-1,4
-1
0
1
2
3
No olvide que a temperaturas muy bajas (bajo 0) los rieles se contraen, es decir que se
achican. ¿Cómo interpreta los números negativos en la variable alargamiento?
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FÍSICA MATEMÁTICA
Construya la gráfica de la función. Determine primero el dominio. Tenga en cuenta que
la tabla da valores aproximados. Observe por ejemplo que 15 es aproximadamente el doble
de 8, que 25 apenas pasa del triplo de 8:
Proponga una fórmula para esta función.
Ejercicio 2
La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del
corazón. Suponga que que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de
850 ml, y que para un hıgado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo
que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la
función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática
Función cuadrática
Definición: las funciones cuya fórmula es del tipo: y = un Nº + un Nº . x + un Nº . x 2,
simbólicamente: “y = a . x 2 + b . x + c”, con a, b, c números fijos para cada función, se llaman
funciones cuadráticas.
La grafica de esta función es una parábola de segundo grado.
Ejemplo1
Animales extraños en una isla: cuando en una isla se introducen animales no autóctonos, si
encuentran condiciones favorables su número aumenta rápidamente. Después de un tiempo
puede suceder que la escasez de alimentos, o la caza, empiecen a disminuir nuevamente el
número de animales. Lo primero sucedió con la introducción de castores en Tierra del Fuego.
Lo primero y lo segundo, con la introducción de ciervos en la Isla Victoria, en Bariloche.
En una isla se introdujeron ciervos. Con recuentos durante varios años se estableció
que el número de animales en función del tiempo transcurrido desde su introducción está dado
por la fórmula: n = - t2 + 21 t + 100
a : Indique de qué tipo de función se trata. Luego tabule algunos valores de la función, y
descríbala guiándose por la tabla.
b : Calcule cuántos ciervos se introdujeron, y cuántos hubo a los 5 años.
c : Determine a partir de qué momento la cantidad de animales comenzó a disminuir, y cuál
fue la máxima cantidad de ciervos que llegó a haber en la isla.
d : Señale el dominio de la función.
Ejemplo 2
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FÍSICA MATEMÁTICA
Un investigador en fisiología establece que la función r(s) = − s2 + 12 s – 20, es un
modelo matemático que describe el número de impulsos emitidos por una persona, después
que se ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde
que es estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema.
Ejercicios

Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a
210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2 %. Se encontró
que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es
de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192.
a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol
C.
b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se
encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían SIDA y que después de 7 años
33% lo tenían.
a) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el
porcentaje de pacientes con SIDA.
b) Pronostique el número de años para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA.

En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población
de alcohólicos en una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 2002 se elevó a
14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años
desde 1990, determine la expresión para la función p(t), considerando que t = 0 en 1990.

La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la
regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente
corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus
tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo
al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados.
Determine (a) La función lineal que describe el problema. (b) La cantidad de tejido
regenerado, cuando han transcurrido 30 d´ıas. (c) El tiempo aproximado para obtener una
evolución en el tejido de 100 milímetros.

La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su
efectividad en el tiempo según C(t) = − t2 + 6 t , donde C es la concentración del calmante en
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20
FÍSICA MATEMÁTICA
el suero medida en millıgramos por litro para que haga efecto durante t horas. ¿En qué
instante la concentración es de 8 millıgramos por litro? Grafique la función e interprete
resultados en el contexto del problema.

Los biólogos hallaron que la velocidad de la sangre en una arteria es una función de la
distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille, la
velocidad (en centımetros por segundos) de la sangre que está a r centımetros del eje central
de una arteria está dada por la función S(r) = C (R2 − r2), donde C es una constante y R el
radio de la arteria. Suponga que para cierta arteria, C = 1,76 × 105 y R = 1,2 × 10−2 centımetros.
(a) Calcule la velocidad de la sangre en el eje central de esta arteria. (b) Calcule la velocidad
de la sangre equidistante de la pared arterial y el eje central.
Expresiones algebraicas enteras. Polinomios:
Se llama polinomio de grado n en la variable x sobre el conjunto de los números reales a toda
expresión de la forma:
P (x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn
con an ≠ 0 y n un entero no negativo
siendo a0, a1, a2,..., an , números reales llamados coeficientes.
Notación:
*A los polinomios en la variable x se los simboliza con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P (x); Q (x); T (x)
*A los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen
sólo dos, binomios y a los de tres, trinomios.
*A a0 se lo llama término independiente y a an se lo llama coeficiente principal.
Razones trigonométricas
Se llaman “razones trigonométricas” a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de
un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Aplicación de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados
del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto


𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑏
𝑎
𝛾 = 90° − 𝛽
𝑐
𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑎
2
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏
1) Utilizando la calculadora científica, resuelva:
a) sen 45° =
b) cos 40° 32’ =
c) tg 120° 15’ 32” =
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FÍSICA MATEMÁTICA
2) Utilizando la calculadora científica, encuentre el ángulo sabiendo:
a) tg θ = 1,22
b) cos θ = 0,86
c) sen θ = 0,53
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
f (x) = log a x
siendo a > 0 y a ≠ 1
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = 𝒃
⇔
𝒂𝒃 = 𝒙
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0 , + ∞) .
2) Su recorrido es R: Im(f) = R.
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1 , 0) .
La función corta el eje x en el punto (1 , 0) y no corta el eje y.
5) Como loga a = 1, la función siempre pasa por el punto (a , 1).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1.
Son cóncavas si 0 < a < 1.
8) El eje y es una asíntota vertical.
Ejemplo de funciones logarítmicas: f(x) = log2 x
g(x) = log1/2 x
Puntos de corte:
f(1) = log2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0).
g(1) = log1/2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0).
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FÍSICA MATEMÁTICA
Tablas de valores:
Gráficas
Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas.
Generalizando:
Sea a > 0 y a ≠ 1 , e y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número x que
verifica ax = y . Es decir,
loga y = x ⇔ ax = y .
Ejemplo: Para cada una de las siguientes igualdades exponenciales escribir la correspondiente
igualdad logarítmica.
a) 27 = 128
27 = 128 ⇔ log2 128 = 7
b) 81/3 = 2
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FÍSICA MATEMÁTICA
81/3 = 2 ⇔ log8 2 =3
Ejemplo: Calcular
a) log2 16
log2 16 = y ⇔ 2y = 16 = 24 ⇔ y = 4
b) log2 32
log2 32 = y ⇔ 2y = 32 = 25 ⇔ y = 5
Ejemplo: Resolver 101-x = 30
101-x = 30 ⇔ 1 - x = log10 30 ≈ 1,47712
luego x ≈ - 0,47712
Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los
logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar log10 x = log x
omitiendo la base.
El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e ≅ 2,7182 y se denota
loge x = ln x .
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:
1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores
loga (x . y) = loga x + loga y
2.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
loga (xy) = y . loga x
Ejercicios
1) Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f (t) después de un
tiempo t
satisface la fórmula f (t) = 60 . 2-0,02 t .
a) ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso?
b) ¿Qué cantidad queda después de 500 años?
2) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a la fórmula r(t) = c e-7 t
donde
c es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad
inicial?.
3) Una población de bacterias crece de acuerdo a la fórmula B(t) = c e kt donde c
y
k son constantes y B(t) representa el número de bacterias en función del tiempo. En
el instante
t = 0 hay 106 bacterias. ¿En cuánto tiempo habrá 107 bacterias, si en 12 minutos
hay 2 . 106 bacterias?.
4)El yodo radioactivo tiene un periodo radioactivo de 20,9 horas. Si se inyecta en el
torrente sanguíneo, el yodo se acumula en la glándula tiroides. (a) Después de 24 horas un
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FÍSICA MATEMÁTICA
médico examina la glándula tiroides de un paciente para determinar si su funcionamiento es
normal. Si la glándula tiroides ha absorbido todo el yodo, ¿qué porcentaje de la cantidad
original debería detectarse? (b) Un paciente regresa a la clıínica 25 horas después de haber
recibido una inyección de yodo radiactivo. El médico examina la glándula tiroides del paciente
y detecta la presencia de 41,3 % del yodo original. ¿Cuánto yodo radiactivo permanece en el
resto del cuerpo?
Otras herramientas de cálculo que ayudan a poder describir fenómenos naturales
son: derivadas e integrales.
Derivadas e Integrales
Las derivadas y las integrales como herramientas fundamentales del cálculo, nos
permite modelar todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias físicas.
La derivada de una función, se puede interpretar geométricamente como
la pendiente de la curva de la función matemática f(x) trazada en función de x.
Pero su implicación para modelar la naturaleza tiene una mayor profundidad de lo
que pueda suponer esta simple aplicación geométrica. Despues de todo nos
podemos contemplar dibujando triángulos finitos para descubrir la pendiente, de
modo que ¿por qué es tan importante la derivada?. Su importancia radica en el
hecho de que muchas entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración,
la fuerza y así sucesivamente, se definen como la tasa instantánea de cambio de
alguna otra cantidad. La derivada nos puede dar un valor instantáneo preciso de la
tasa de cambio y nos conduce a modelar de forma precisa la cantidad deseada.
La integral de una función se puede interpretar geométricamente como el área
bajo la curva de una función matemática f(x) trazada como una función de x. Nos
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FÍSICA MATEMÁTICA
podemos contemplar dibujando una gran número de bloques, para aproximarnos
al área bajo una curva compleja, obteniendo una mejor respuesta dibujando un
mayor número de bloques. La integral nos proporciona una manera matemática
de dibujar un número infinito de bloques y conseguir una expresión analítica
precisa del área bajo la curva. Esto es muy importante en la Geometría y
profundamente importante en las ciencias físicas, donde las definiciones de
muchas entidades físicas se pueden convertir en la forma matemática de un área
bajo una curva. El área de un pequeño bloque bajo la curva, se puede considerar
que es el producto del ancho del bloque multiplicado por la altura ponderada del
bloque. Muchas propiedades de cuerpos continuos, depende de sumas
ponderadas, que para ser exactas deben ser infinitas sumas ponderadas, lo cual
constituye un problema hecho a medida para resolverse por la integral. Por
ejemplo, para encontrar el centro de masade un cuerpo continuo, se implica la
ponderación de cada elemento de masa multiplicado por su distancia a un eje de
rotación, un proceso para el cual si se quiere conseguir un valor preciso, se
requiere a la integral. Un gran número de problemas físicos implican para sus
soluciones a tales sumas infinitas, por lo que la integral es una herramienta
esencial para el científico físico.
Derivadas de Polinomios
Muchas de las funciones en los problemas físicos tienen la forma de polinomios.
Laderivada de un polinomio es la suma de las derivadas de sus términos, y para un
término general de un polinomio como
la derivada está dada por
Una aplicación común de esto son las derivadas del tiempo, que nos conduce a
lasecuaciones del movimiento con aceleración constante.
Cálculo: Máximo y Mínimo
La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los
logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de
x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero,
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FÍSICA MATEMÁTICA
corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son
máximo y mínimo.
Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por
las ecuaciones del movimiento:
Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.
La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como
la pendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada
en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un
máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La
segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el
proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente),
siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la
"joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.
En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las
funciones mas complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda
derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Área Bajo una Curva
La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el
concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y
el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura
finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.
Si hacemos mas pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas
grande y mejor la aproximación al valor del área.
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FÍSICA MATEMÁTICA
La Integral como Límite del Área
La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando
rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar
el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho
del rectángulo tiende a cero.
Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar
una integral, la idea de la integración es mucho mas general. Cualquier variable
física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales
(elementosdiferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por
el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta
poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varien
continuamente.
Ejemplos de Integral de Área
Los ejemplos de área de geometrías simples, pueden reforzar la idea de
la integral como el área bajo una curva. Para una función que es una constante a,
el área formada por la función es exactamente un rectángulo.
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30
FÍSICA MATEMÁTICA
Aquí la conclusión general es que la integral de una
constante es exactamente la constante multiplicada por
la variable de integración x.
En una función f(x) = ax, el área es un triángulo
La progresión nos lleva a la forma general de la
integral como un polinomio de x:
Bioestadística
La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables La Ciencia se
desarrolla observando hechos, formulando leyes que los explican y
realizando experimentos para validar o rechazar dichas leyes Los
modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio
(estocástico) La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las
ciencias donde la variabilidad y la incertidumbre forman parte de su
naturaleza
“La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de
las Ciencias de la Vida donde la variablidad no es la excepción sino la
regla” Carrasco de la Peña (1982)
La Bioestadística es la aplicación de la estadística en la biología. Como
los objetos de estudio de la Biología son muy variados, tales como la
medicina, las ciencias agropecuarias, entre otros, es que la Bioestadística
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FÍSICA MATEMÁTICA
ha debido ampliar su campo para de esta manera incluir cualquier modelo
cuantitativo, no solamente estadístico y que entonces pueda ser empleado
para
responder
a
las
necesidades
oportunas.
Definición
La Estadística es la Ciencia de la
• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos
referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para
su estudio metódico, con objeto de
• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,
• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar
decisiones u obtener conclusiones.
La principal ventaja del pensamiento estadístico interviniendo en la
biología es que no solo resuelve sino que también comprende una
compleja metodología para dar respuesta a las hipótesis, además de
agilizar la cuestión de organización del sistema de investigación, desde el
diseño general, el de muestreo, el control de la calidad de información y la
presentación de los resultados.
En tanto, en la actualidad, la aplicación de la Bioestadística resulta ser
fundamental y necesaria en ámbitos como la salud pública, entre los que
se incluye la epidemiología, salud ambiental, nutrición y servicios
sanitarios, poblaciones genéticas, medicina, ecología y bioensayos.
Población y muestra
Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos interesados
en obtener conclusiones (hacer inferencia). Normalmente es demasiado
grande para poder abarcarlo.
Muestra (‘sample’) es un subconjunto suyo al que tenemos acceso y
sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones) Debería
ser “representativo” Esta formado por miembros “seleccionados” de la
población (individuos, unidades experimentales).
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32
FÍSICA MATEMÁTICA
Ahora si vamos a la Física…
MECÁNICA
La Mecánica, la más antigua de las ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los
cuerpos.
Cuando describimos el movimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que se
llama Cinemática. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él
y con las propiedades de los cuerpos en movimiento, nos ocupamos de la Dinámica.
En general, el movimiento de un cuerpo real es complejo, sin embargo siempre es
posible, descomponer un movimiento complejo en otros más simples y por lo tanto más fáciles
de analizar.
Así, para simplificar nuestro estudio definiremos un nuevo concepto: el de punto material
o partícula. Diremos que un cuerpo podrá considerarse como una partícula cuando se
consideran sus movimientos de traslación y no los de rotación. En el caso que se consideren
las rotaciones se considera la mecánica de los cuerpos.
La Cinemática nos enseña a medir el movimiento, para ello se definen las magnitudes
o variables cinemáticas con las cuales se medirá el movimiento. Las magnitudes cinemáticas
son:
- Posición
- Desplazamiento
- Velocidad
- Aceleración
Todas estas magnitudes físicas son magnitudes vectoriales.
CINEMÁTICA
Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia a través del tiempo.
Este concepto, posición, tiene sentido únicamente cuando se utiliza asociado a un sistema de
referencia. En este curso, estudiaremos el movimiento de cuerpos respecto a un sistema de
referencia que se encuentran en reposo o moviéndose a velocidad constante.
La elección del sistema de referencia dependerá del tipo de movimiento que realice la
partícula, es decir si puede ser necesario utilizar sistemas con una, dos o tres coordenadas
para evaluar las sucesivas posiciones que ocupe conforme pasa el tiempo.
La posición es un vector que se mide siempre es asociado a un sistema de referencia,
donde se establece cual es el cero de posición.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Trayectoria: Es el dibujo que surge de las posiciones ocupadas por un cuerpo mientras
se mueve, es decir, la trayectoria es la huella dejada o el camino verdadero del movimiento
de cuerpo. La posición no es la trayectoria, la posición es una medida vectorial, la trayectoria
no es una medida, es un dibujo.
Si una partícula está en movimiento se puede determinar fácilmente el cambio en su
posición. El desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición.
Conforme se mueve desde una posición inicial x i a una posición final xf, su desplazamiento
está dado por xf - xi. Se usa la letra griega delta (Δ) para significa el cambio o diferencia en una
cantidad, en éste caso es de la posición. Por lo tanto, el desplazamiento, o cambio en la
posición de la partícula, se escribe como:
∆x = xf - xi
Donde, ∆x: desplazamiento; xf: posición final; xi: posición inicial
La velocidad media es un vector, cuya magnitud se define como:
𝑣(𝑡1;𝑡2) =
𝛥𝑥(𝑡1 , 𝑡2 ) (𝑥2 − 𝑥1 )
=
𝛥𝑡
(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑚
𝑠
La velocidad tiene como unidades ( ), esto es, dimensiones de longitud sobre tiempo
Es la velocidad que tiene una partícula en un instante específico, es la velocidad
instantánea
Para medirla se necesita registrar la variación de posición en una fracción pequeñísima
de tiempo. Sin embargo, se puede hallar por medio de su grafica Posición Vs Tiempo,
aplicando la recta tangente a un punto cualquiera de su trazo, es decir, empleando el principio
de las derivadas del cálculo diferencial.
vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
En la notación del cálculo este límite se conoce como la derivada de x respecto t, y se
describe dx / dt:
dx
dt
La magnitud de la aceleración media se define como:
vx = lim
∆x
∆t→0 ∆t
𝑎(𝑡1;𝑡2) =
=
𝛥𝑣(𝑡1 , 𝑡2 ) (𝑣2 − 𝑣1 )
=
𝛥𝑡
(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑚
por lo cual las unidades de aceleración son ( 2 ), dimensiones de longitud sobre tiempo
𝑠
al cuadrado.
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FÍSICA MATEMÁTICA
La aceleración instantánea se define para un instante de tiempo y no para un intervalo
de tiempo, su magnitud es:
∆v dv
=
∆t→0 ∆t
dt
a = lim
Una vez definidas las variables cinemáticas, se pueden clasificar los movimientos en una
dimensión en:
 Movimiento rectilíneo uniforme
 Movimiento rectilíneo uniformemente variado
(no son las únicas clases que existen)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):
Posición vs tiempo, velocidad vs tiempo y aceleración vs tiempo.
Las características del movimiento son:
* La trayectoria es recta o rectilínea
* La posición varía en función del tiempo como función lineal:
x(t) = x0 + v t
* Por lo que la velocidad en función del tiempo es constante (positiva o negativa)
* La aceleración en función del tiempo es cero
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Las características del movimiento son:
* La trayectoria es recta o rectilínea
* La posición varía en función del tiempo como una función cuadrática:
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FÍSICA MATEMÁTICA
x(t) = x0 + v0 t +
𝟏
𝟐
a t2
* Por lo que la velocidad en función del tiempo es una función lineal:
v (t) = v0 + a t
* Se puede obtener una tercera ecuación, combinando las anteriores:
vf2 = v02 + 2 a x
La aceleración en función del tiempo es una constante (positiva o negativa)
Las graficas características podrían ser las siguientes: posición en función del tiempo
una parábola con concavidad hacia arriba, que significa que la aceleración es constante y
positiva
La velocidad es una función lineal con pendiente positiva, por lo que la aceleración es
constante y positiva
x
v
a
t
t
t
Movimiento en el Plano – Movimiento circular
También tiene interés especial el caso del movimiento circular, cuya variable natural es el
ángulo.
Se define la velocidad angular y la aceleración angular como la variación instantánea del
ángulo y de la velocidad angular, respectivamente
ω=
dφ
dt
,
α=
dω
dt
Existe una relación simple entre la velocidad lineal v y la angular , dada por la relación:
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FÍSICA MATEMÁTICA
v=r 
siendo r el radio de giro, ya que la distancia lineal s viene dada por s = r .
Procediendo de modo análogo al del movimiento lineal uniforme (MRU) y al movimiento
lineal uniformemente variado (MRUV), se obtiene para el movimiento circular uniforme (MCU)
 (t) = 0 +  t
y para el movimiento circular uniformemente variado (MCUV):
1
 (t) = 0 + 0 t +  t2
2
 (t) = 0 +  t
f2 = 02 + 2  
DINÁMICA
La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que
originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de
Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos,
según la mecánica clásica.
Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas
ya fue enunciada por Galileo. Tal y como las vamos a ver aquí sólo son válidas para un
Sistema de Referencia Inercial.
Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por lo que es importante definir modulo,
dirección y sentido, y se relaciona con las magnitudes cinemáticas, de la siguiente manera,
según la Segunda Ley de Newton:
⃗⃗
 ⃗𝑭⃗ = 𝒎 . 𝒂
Las fuerzas externas aplicadas a una determinada masa le producen una aceleración
a, lo que significa que las fuerzas, provocan la aceleración y son directamente
proporcionales.
Una forma útil de analizar las fuerzas actuantes en una determinada partícula es
realizar el diagrama de cuerpo libre o de cuerpo aislado (se adoptan ejes cartesianos donde
se ubican solo vectores fuerzas), se debe entender que ningún cuerpo o partícula se realiza
fuerza a sí misma, por lo que otros cuerpos ejercen su influencia en ella, o sea que la
sumatoria de fuerzas, son de fuerzas externas
Del análisis dimensional resulta que la fuerza se mide, en el Sistema Internacional, en
unidades de (
𝐤𝐠.𝐦
),
𝐬𝟐
𝑴𝑳
].
𝑻𝟐
que se denomina Newton (N), es decir que sus dimensiones son [
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FÍSICA MATEMÁTICA
Tipos de fuerza - Fuerzas de contacto
Las fuerzas que son interacciones entre cuerpos, pueden ser de contacto o a distancia.
Entre las fuerzas de contacto se pueden mencionar: la Normal, la fuerza de roce, la
tensión, etc.
Entre las fuerzas a distancia se puede mencionar: la fuerza gravitatoria con que la
Tierra atrae a los cuerpos: el Peso, la Fuerza eléctrica, etc.
Fuerza normal (N). Se presenta siempre que un cuerpo se encuentra apoyado en una
superficie. Esta fuerza es perpendicular a la superficie de apoyo.
El Peso (P o W), provoca en los cuerpos una aceleración g, sobre una masa m
P = mg o W = mg, donde, al nivel del mar, g = 9,8m/s2, y se denomina aceleración de
la gravedad; g varía con el lugar.
Ejemplo:
P
P
Fuerza de tensión (FT).se presenta al aplicarle una fuerza al extremo de una cuerda o
cable. Esta tensión se transmite por toda la longitud del mismo.
Ejemplos:
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FÍSICA MATEMÁTICA
Fuerza de fricción (Fr): se presenta por el contacto de dos superficies que se deslizan
entre si y siempre se opone al movimiento de estas. La fricción se debe a la resistencia que
las superficies tienen por sus asperezas, y se expresa por la fórmula:
Fr = µ.N
Fr : fuerza de fricción
µ: coeficiente de fricción estático.
N: fuerza normal.
 La fricción es una fuerza con sentido contrario al movimiento de los cuerpos, y depende
de la fuerza que se ejerce perpendicularmente entre las superficies.
 El coeficiente de fricción µ (Mu minúscula) se obtiene experimentalmente, no depende
del área de la superficie de contacto y es característico del tipo de supercicie. Su valor
esta entre 0 y 1 (normalmente).
 Cuando µ tiende hacerse muy pequeño
(cero) la fricción disminuye mucho, aunque
NUNCA puede desaparecer, ya que siempre está presente en las superficies. Sin
embargo para cálculos ideales, se puede considerar que es libre de fricción, cuando esta
es insignificante.
 Algunos materiales son tan ásperos, que sus coeficientes µ pueden valer por encima de
1, aunque no son frecuentes.
Fuerza elástica (FE): se presenta en los muelles, resortes o aquellos cuerpos que
tienen la capacidad de deformarse ante la presencia de una fuerza externa y posteriormente
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FÍSICA MATEMÁTICA
recuperar su forma inicial. La Fuerza Elástica es una FUERZA RECUPERADORA que
permite devolverle la forma original a un resorte cuando este se ha estirado. El valor de ésta
fuerza se halla por el enunciado de la:
Ley de Hooke: la fuerza recuperadora en un resorte es directamente proporcional al
estiramiento del mismo y siempre apunta en sentido contrario a la fuerza que los estira. Su
fórmula es
Fe = - k.x
Fe = fuerza elástica.
x = elongación.
K = constante de elasticidad.
La constante de elasticidad es característica de cada resorte y depende del material del cual
está hecho. El signo (-) de la formula indica que la fuerza recuperadora apunta en sentido
contrario a la fuerza deformadora. La fuerza recuperadora es una manifestación de la
Energía Potencial Elástica de los resortes.
Fuerzas de campo
Las fuerzas de campo son cuatro: gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear
débil. Están son las fuerzas fundamentales de la naturaleza, presentes en absolutamente
TODA la materia del universo. Las dos primeras fuerzas (gravitacional y electromagnética)
son de un alcance INFINITO, es decir, su campo de acción cubre todo el cosmos. En cambio,
las dos últimas (nuclear fuerte y débil) son mucho más intensas que las otras, aunque son
de un campo de acción limitado al interior del átomo, exclusivamente.
Fuerza gravitacional: Ley de la gravitacional universal: dos cuerpos materiales
cualesquiera, se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza de
atracción se llama fuerza gravitacional, y se obtiene por la expresión.
F=G
m1 . m2
d2
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F: fuerza gravitacional.
G: constante de gravitacional.
m1 y m2: masas de los cuerpos
d: distancia entre los cuerpos
G = 6,67 x 10-11 N.m 2 / kg2
Peso: El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que la tierra ejerce sobre el mismo y
está dirigido siempre al centro de la tierra, o sea, es perpendicular a una superficie horizontal.
W = m.g
W: peso
m: masa
g: aceleración de la gravedad
Nota: la masa y el peso son conceptos que se confunden frecuentemente. Sin embargo se
diferencian en que: la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que posee un cuerpo y es
una magnitud escalar; en cambio, el peso de los cuerpos es una fuerza y depende de la
aceleración de la gravedad del sitio donde se encuentra el mismo.
Ejemplo: en la luna, la aceleración de la gravedad es un 1/6 de la de la tierra, por lo que
su peso es seis veces menor. De igual modo, si se estuviera en un planeta con mayor
aceleración de la gravedad, el peso en su superficie seria mayor.
Ejemplo: Si un hombre pesa 900 N sobre la tierra, ¿Cuánto pesa en Júpiter, donde la
aceleración debida a la gravedad es de 25,9 m/s 2?
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Solución:
Primero se calcula la masa del hombre en la tierra, esto es:
w = m . gt

m = w / gt = 900 N / 10 m/s2 = 90 kg
Como la masa es la misma, se tiene que el peso del hombre en Júpiter es:
w = m . gj = (90 kg) (25,9 m/s2) = 2,331 kg
w = 2,331 kg
Se observa que el peso en Júpiter es mayor que en la tierra, esto se debe a que la
gravedad de Júpiter es mayor a la gravedad de la tierra.
La Primera y la Segunda Ley de Newton te darán la justificación.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo libre
o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.
Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de
movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud
vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula:
𝑝⃗ = 𝑚 𝑣⃗
Momento lineal (kg m / s)
Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre se mueve con p
constante.
Consideremos el caso de dos partículas que, debido a su interacción mutua, describen
un movimiento en el que sus velocidades respectivas varían:
Dos partículas que interaccionan entre sí no se mueven con velocidad constante
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Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se
conserva:
′
𝑚1 𝑣⃗1 + 𝑚2 𝑣⃗2 = 𝑚1 𝑣⃗1 + 𝑚2 𝑣⃗2
′
Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se puede
hacer extensivo a un conjunto de N partículas. Operando en la ecuación anterior obtenemos
que:
− ∆𝑝⃗1 = ∆𝑝⃗2
Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se
conserva, pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante, lo que aumenta
el momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la
otra. El ejemplo típico que demuestra este hecho es el retroceso que experimenta un arma al
ser disparada.
Estamos ya en disposición de enunciar la segunda ley de Newton
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación
instantánea de su momento lineal respecto del tiempo.
Expresado matemáticamente:
𝐹⃗ =
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑡
Una fuerza representa entonces una interacción. Cuando una partícula no está sometida
a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal constante (Primera Ley).
Sustituyendo la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula
es constante, se llega a otra expresión para la Segunda Ley:
𝐹⃗ =
𝑑
𝑑𝑣⃗
(𝑚𝑣⃗) = 𝑚
= 𝑚𝑎⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐹⃗𝑁𝑒𝑡𝑎 = 𝛴𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
Ó sus ecuaciones escalares equivalentes:
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𝛴𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎𝑥
𝛴𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝛴𝐹𝑧 = 𝑚 𝑎𝑧
Comentaremos algunos aspectos interesantes de esta ecuación:
 La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante
de proporcionalidad es la masa del cuerpo.
 Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de
todas ellas.
 Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente.
 En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria
no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá una también una fuerza
normal; si el módulo de la velocidad varía, es porque hay una aceleración tangencial, luego
habrá una fuerza tangencial.
 La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector
velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a
la fuerza aplicada.
 Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema
con varios cuerpos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre
cada uno de ellos y aplicar la ecuación por separado.
TERCERA LEY DE NEWTON
Volvamos a la ecuación que relaciona las variaciones del momento lineal de dos partículas
que interaccionan entre sí. Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y tomamos el límite
cuando Δt tiende a cero:
−
∆𝑝⃗1 ∆𝑝⃗2
=
∆𝑡
∆𝑡
→
−
𝑑𝑝⃗1 𝑑𝑝⃗2
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Atendiendo a la definición de fuerza vista en la segunda ley:
− 𝐹⃗12 = 𝐹⃗21
Enunciamos ya la tercera ley:
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce sobre el primero
una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la primera.
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Esta ley es conocida como la Ley de Acción y Reacción.
Un error muy común es cancelar las fuerzas que constituyen un par acción-reacción al
estudiar un cuerpo, pero hay que tener en cuenta que dichas fuerzas se ejercen sobre cuerpos
distintos, luego sólo se cancelarán entre sí cuando consideremos el sistema formado por los
dos cuerpos en su conjunto.
Otro factor a tener en cuenta es que las fuerzas que constituyen un par acción-reacción
siempre responden al mismo tipo de interacción.
Resumimos las leyes de Newton en este cuadro:
LEYES DE NEWTON
𝑝⃗ = 𝑐𝑡𝑡𝑒
Primera ley (partícula libre)
Segunda ley
Tercera ley
𝛴𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
;
𝑑𝑝⃗
𝐹⃗ =
𝑑𝑡
𝐹⃗12 = − 𝐹⃗21
Ejercicios
Para resolver problemas de fuerzas es muy importante seguir un orden, que podemos resumir
en los siguientes pasos:
1. Hacer un diagrama por separado de los distintos cuerpos que intervienen en el problema
y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos.
2. Expresar la ley de Newton en forma vectorial para cada cuerpo.
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3. Elegir un sistema de ejes cartesianos para cada cuerpo. Si es posible, conviene hacer
coincidir uno de ellos con la dirección del vector aceleración y tomar como positivo el
sentido de dicho vector.
4. Proyectar las fuerzas según los ejes elegidos.
5. Aplicar la segunda ley de Newton para cada cuerpo en cada eje, teniendo en cuenta el
criterio de signos. Si hemos seguido la recomendación del paso 3, las fuerzas que vayan
en el sentido de la aceleración serán positivas y las opuestas negativas.
6. Resolver el sistema de ecuaciones.
7. Comprobar que el resultado tiene sentido: órdenes de magnitud, signos de las magnitudes,
etc.
Para simplificar cálculos, en todos los problemas se tomará g = 10 m/s2
Ejercicio 1.- Se tiene una masa puntual m = 4 kg en un plano inclinado un ángulo α = 30 o.
Entre la masa y el plano existe rozamiento de coeficientes estático µ s = 0,3 y dinámico µd =
0,12.
a. Razonar si la masa desliza por el plano. En caso afirmativo, calcular la aceleración con la
que baja.
Se aplica ahora una fuerza F perpendicular al plano. Figura (b)
b. Calcular el módulo de F para que la masa baje con velocidad constante.
Momentum de una fuerza o Torque
Efecto de torque (0): es el efecto de giro de un objeto alrededor de su eje de rotación, debido
a la acción de la fuerza externa. La intensidad del efecto de torque depende de la fuerza
aplicada al objeto y de la distancia que separa dicho punto a su origen de rotación, llamado
brazo de palanca. Ver figuras.
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Su fórmula es:
0 = F d
0 = torque
F = fuerza aplicada
d = brazo de palanca
El eje de rotación de un objeto es el punto en el cual todo el resto del mismo gira
uniformemente en torno a él.
La fuerza aplicada debe ser perpendicular al brazo de palanca para originar el efecto de
torque. Si no es así, se toma la componente de la fuerza que si es perpendicular:
0 = F d = F (sen θ) d
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El signo (+ ó -) del efecto de torque se determina arbitrariamente así:
 Si el cuerpo gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj (sentido horario), su signo
es negativo.
 Si el cuerpo gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj (sentido antihorario), su
signo es positivo.
El efecto torque es de especial importancia en las palancas, balanza y tornos.
Teorema de Varignon: cuando en un cuerpo actúan varias fuerzas, el torque resultante es la
suma de las torques de cada una de las fuerzas.
Unidades de Torque.
S.I: Como el torque es el producto de una fuerza por una distancia su unidad de medida
será:  = F . d = 1 Newton. 1metro = N.m
C.G.S: El torque estera dado por:  = F . d = 1 Dina. 1 centímetro = dyn.cm
Observación. El efecto torque tiene una sola dimensionalidad equivalente a la
del trabajo [ML2T-2].
EL CUERPO RÍGIDO
Un sólido rígido es un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas
permanecen constantes. Cuando las distancias entre las partículas que constituyen un sólido
varían, dicho sólido se denomina deformable. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente
del estudio del movimiento de un sólido rígido.
En general, el movimiento de un sólido rígido puede ser muy complejo; sin embargo, se
puede definir el centro de masas, que es el lugar en donde están aplicadas las fuerzas
exteriores, conociendo la posición de ese centro de masa se podrá saber sobre el movimiento
del cuerpo, esto es su velocidad y aceleración:
𝑎⃗𝐶𝑀 =
1
1
𝛴𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 =
𝛴 (𝑚𝑖 𝑔⃗)
𝑚
𝑚
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑚 = 𝛴 𝑚𝑖
Es decir, el centro de masas del sólido se mueve como un punto de masa igual a la
masa total del sistema.
Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a un sistema de partículas podemos
describir el movimiento de traslación del centro de masas de un sólido rígido.
Sin embargo, durante el movimiento de traslación de su centro de masas, el sólido
describe una serie de giros. La segunda ley de Newton es válida para describir movimientos
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de traslación, por lo que debemos encontrar otra ecuación que nos permita analizar la parte
rotacional del movimiento.
Es conveniente definir lo que se llama Inercia Rotacional o momento de inercia de un
cuerpo sólido.
El producto m r2 se denomina momento de inercia (I) de la partícula respecto al punto O y es
la magnitud “equivalente” en dinámica de rotación, a la masa en dinámica de traslación. Para
un conjunto de N partículas, el momento de inercia se escribe como
𝑁
𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2
𝑖=1
En general el momento de inercia depende únicamente de la geometría del sistema y
del eje de giro que se considere.
En la siguiente tabla se presentan algunos valores del momento de inercia para algunos
cuerpos de geometría sencilla.
Con lo cual, se puede escribir en forma análoga a la traslación, la Segunda Ley de
Newton para la rotación, de la siguiente manera:
 τ⃗⃗ = I . α
⃗⃗
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En donde 𝛼⃗ es la aceleración angular del cuerpo.
EQUILIBRIO ESTÁTICO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando su aceleración es nula.
Un cuerpo es libre si está en equilibrio y no se encuentra sometido a fuerza resultante.
Para que un cuerpo este en equilibrio es necesario que la resultante de todas las fuerzas
que actúan sobre él sea nula, es decir, que la suma de todos los tipos de fuerza neta (fuerzas
de aplicación y de torque) sea cero.
La sumatoria de las fuerzas ∑F que actúan sobre un cuerpo debe ser igual a cero:
𝛴𝐹⃗ = 0
Las ecuaciones en dos dimensiones para el equilibrio traslacional son, ∑F = 0, esto
es ∑Fx = 0 componente de F en x, y ∑Fy = 0 componente de F en y.
Equilibrio traslacional:
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝛴𝐹𝑦 = 0
Ecuación de equilibrio rotacional: la sumatoria de torques ∑0 debe ser igual acero.
Equilibrio rotacional:
𝛴0 = 0
Para que un cuerpo esté en equilibrio estático deben cumplirse simultáneamente dos
condiciones:
 Que el sólido no se traslade: la aceleración de su centro de masas debe ser cero.
 Que el sólido no rote: la aceleración angular del sólido debe ser también nula.
Estas dos condiciones se imponen respectivamente a la ecuación del movimiento de
traslación del centro de masas (segunda ley de Newton) y a la ecuación de la rotación:
No hay traslación
𝛴𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 = 0
No hay rotación
𝛴⃗⃗𝑒𝑥𝑡 = 0
La segunda condición se cumple con independencia del origen que se elija para calcular los
momentos de las fuerzas externas. Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se calculan
las fuerzas que actúan sobre el sistema en equilibrio.
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Estas condiciones son muy útiles para el estudio de las configuraciones estáticas,
frecuentes en biomecánica. En particular, la segunda es la forma general de la ley de la
palanca. Veamos ahora unas aplicaciones de estas condiciones a varios ejemplos.
Ejemplo
.- Un listón homogéneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg está clavado en la pared
por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. Sobre él
se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, según la figura.
Dato: ICM = (1/12) m L2
a. Determinar el valor de d para que el listón esté en equilibrio estático, así como el valor de
la normal en el punto O.
b. Si se duplica el módulo de F3 y d = 0,75 m, determinar la aceleración angular α del listón
en función del ángulo θ que barre, suponiendo que las fuerzas son siempre verticales.
Ejemplo 1:
La tensión máxima de la fibra lisa de los músculos aductores de los moluscos bivalvos es de
80 N / cm2, ver figura. Supongamos que la distancia de inserción de los músculos hasta la
articulación de las valvas es de 0,5 cm y que la longitud de las valvas es de 5 cm. ¿Qué fuerza
tendremos que hacer para abrir un molusco si el músculo correspondiente es un cilindro de 2
mm de radio?
Si la tensión máxima de los músculos aductores es de 80 N / cm2 y el músculo es un
cilindro de 2 mm de radio, la fuerza máxima que pueden realizar estos músculos es:
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 80
𝑁
𝜋 (0,2 𝑐𝑚)2 = 10,05 𝑁
𝑐𝑚2
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FÍSICA MATEMÁTICA
Esta fuerza realizará un momento máximo.
Por tanto, para abrir un molusco tal como el descrito en este ejercicio, habrá que ejercer
un momento:
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑑 = 10,05 𝑁 0,5 𝑐𝑚 = 5,03 𝑁𝑐𝑚
Como al abrir el molusco aplicamos una fuerza en los extremos de las valvas que están
a 5 cm de la articulación, si ejercemos una fuerza Fa, el momento de ésta es (Fa . da) y ha de
ser igual a 5,03 N cm. Por tanto,
𝐹𝑎 =
𝜏𝑚𝑎𝑥 5,03 𝑐𝑚
=
= 1,01 𝑁
𝑑𝑎
5 𝑐𝑚
Ejemplo 2:
El músculo deltoides sube el brazo hasta una posición horizontal, ver figura.
El músculo está fijado a 15 cm de la articulación y forma un ángulo de 18° con el húmero.
Suponiendo que el peso del brazo es de 40 N y que se puede aplicar todo él en el centro de
masas, situado a 35 cm de la articulación, calcular: la fuerza R que hace la articulación, el
ángulo que dicha fuerza forma con el húmero cuando el brazo está horizontal y la tensión T
que realiza el músculo.
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES
El trabajo de una fuerza constante que mueve un cuerpo en la dirección de la misma, es el
producto entre el modulo de la fuerza por el desplazamiento.
Por ejemplo, la estudiante al levantar la arena verticalmente debe vencer una
resistencia, el peso P de la arena, a lo largo de un camino: la altura d a la que se levanta el
depósito de arena. El trabajo W realizado por el peso es el producto de la fuerza P por el
desplazamiento d.
La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el Joule: [𝑱] equivale a Newton por
metro.
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FÍSICA MATEMÁTICA
En un caso general el trabajo de una fuerza constante vendrá dado por la expresión:
W = F x cos 
Siendo  el ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento x.
Potencia: se denomina potencia al cociente entre el trabajo efectuado y el tiempo
empleado para realizarlo, si el trabajo se realiza a un ritmo uniforme.
𝑃=
𝑊
∆𝑡
Por lo que sus unidades son unidades de trabajo sobre unidades de tiempo, el Watt (W).
En otras palabras, la potencia es el ritmo al que el trabajo se realiza.
Energía mecánica: se define como energía a aquella capacidad que posee un cuerpo
(una masa) para realizar trabajo. Esta capacidad (la energía) puede estar dada por la posición
de un cuerpo o por la velocidad del mismo; es por esto que podemos distinguir dos tipos de
energía, energía potencial y energía cinética, ambas energías tienen unidades de trabajo, el
Joule.
Se define la Energía cinética de un cuerpo de masa m y módulo de su velocidad v como:
𝐸𝑐 =
1
𝑚 𝑣2
2
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
La ecuación de conservación o balance de la energía mecánica es la base de la ley,
más general, de conservación de la energía. Esta última ley es de gran importancia conceptual
y práctica.
Se puede demostrar que el trabajo efectuado sobre un cuerpo entre dos posiciones 1 y
2 es igual al incremento de su energía cinética; es decir:
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FÍSICA MATEMÁTICA
W12 = Ec = Ec2 – Ec1
Este resultado se conoce como teorema del trabajo y la energía, donde W12 es el trabajo de
todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Cabe distinguir dos tipos de fuerzas: las conservativas y las no conservativas. La
diferencia entre ambas estriba en el hecho de que el trabajo realizado por las primeras entre
dos puntos cualesquiera 1 y 2 es independiente del camino seguido, mientras que para las
segundas depende del camino.
En el caso de fuerzas conservativas, es posible definir la energía potencial como:
W12 = - U = - (U2 – U1) = U1 – U2
es decir, la energía potencial en el punto 2 es igual a la de 1, menos el trabajo realizado
por la fuerza sobre el cuerpo para ir de uno a otro punto.
La Energía potencial gravitatoria (a baja altura): Si analizamos ahora, el sistema
constituido por la Tierra y un cuerpo determinado. Al subir un cuerpo de masa m, desde la
altura h1 a una altura h2, el trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad (que es conservativa)
es
W12 = U1 – U2 = m g (h1 – h2)
por lo cual, se tiene:
Ug = m g h
Que se define como energía potencial gravitatoria
Mecánica de los fluidos
Dentro de este capítulo veremos algunos conceptos como
Hidrostática: estudio de los fluidos en equilibrio. Aquí veremos el principio de
Arquimides, Principio de Pascal y Teorema general de la hidrostática.
Hidrodinámica: estudio de los fluidos en movimiento. Donde se verá el Teorema de
Bernoulli y Fluidos reales.
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FÍSICA MATEMÁTICA
HIDROSTÁTICA
Un fluido es tanto un líquido como un gas. Consideraremos fluidos ideales para la primera
parte, que se caracterizan por ser incompresibles, y no tener fuerzas internas de rozamiento,
en contraposición con los fluidos reales que son levemente compresibles y que poseen
fuerzas de rozamiento (debido a la viscosidad).
En los fenómenos relacionados con la vida, los fluidos con los que se trata son sobre
todo el agua, el aire y la sangre. Realmente estos fluidos no son los únicos que intervienen en
la vida, pero sus propiedades y su comportamiento describen prácticamente todos los
entornos y toda la fenomenología.
DENSIDAD DE LOS FLUIDOS
La densidad de una sustancia se define como el cociente de su masa entre el volumen que
ocupa. La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m 3, también se utiliza la unidad
g/cm3.
𝜌=
𝑚
𝑉
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FÍSICA MATEMÁTICA
A continuación se presentan los valores de densidad de algunas sustancias:
PRESIÓN
El concepto de presión es muy útil, pero no debemos pensar que solo es limitado a los fluidos.
La presión es una magnitud escalar y es el modulo de la fuerza ejercida perpendicular
a una superficie dada.
Presión:
𝑝=
𝐹
𝐴
Se mide en unidades de fuerza por unidad de superficie, esto es, en el sistema
internacional N/m2, denominada Pascal. Frecuentemente se utiliza como unidad de medida la
presión atmosférica estándar o atmósfera, que vale 1,013 x 105 N/m2. Esta presión equivale
también a 760 mm de Hg o 760 torr, que es una unidad útil para medir diferencias de presión
en ciertos entornos, como se verá más adelante. La presión de un fluido en reposo se puede
evaluar a partir de relaciones mecánicas sencillas.
Por ejemplo, supongamos que queremos determinar la presión de un fluido en el fondo
de un lago de profundidad h en equilibrio hidrostático. Sea pa la presión ejercida por la
atmósfera en la superficie del lago. Sobre un elemento de fluido cualquiera actúan las fuerzas
ejercidas por el resto del fluido. Las fuerzas laterales han de anularse unas con otras, de otro
modo el elemento de fluido se movería. Por tanto, la única fuerza ejercida por el resto del
fluido, que es equilibrada por la fuerza del suelo, es el peso de la columna de fluido, más la
fuerza correspondiente a la presión atmosférica, que puede expresarse en términos de
presión, esta es otra forma de medir la presión en un punto en el seno de un fluido
p = pa + ρgh
[1]
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FÍSICA MATEMÁTICA
Se puede observar la dependencia de la presión con h, o profundidad a la que se
encuentra el punto en cuestión.
El término ρgh se denomina presión manométrica, ya que corresponde a la presión
obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la diferencia entre la presión total y una
presión de referencia, que con frecuencia resulta ser la presión atmosférica. Según esta
relación, la presión del agua aumenta a medida que se baja hacia el fondo, y por la misma
razón, a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra la presión del aire disminuye.
Dado que la presión del aire es unas mil veces inferior a la del agua, el aumento de la
presión al descender un metro en agua es mil veces superior a la disminución de la presión
del aire al ascender un metro.
Una consecuencia inmediata de la ecuación [1] es el principio de Arquímedes.
En efecto, supongamos un objeto sumergido en un fluido tal como se ve en la Figura A.
Antes de introducir el objeto, el fluido está en equilibrio, por tanto el resto del fluido ejerce
una fuerza, sobre la porción de fluido que ocupa el espacio que ocupará el cuerpo, que iguala
el peso de la porción de fluido. Esta fuerza también actúa sobre el objeto sumergido, ejercida
por el fluido y se conoce como empuje. Así se enuncia, pues, el principio de Arquímedes: «El
empuje, es una fuerza que el fluido ejerce sobre un objeto sumergido en ese fluido y es igual
al peso del fluido desalojado».
El principio de Arquímedes constata que el empuje que actúa sobre un cuerpo
sumergido en el seno de un fluido es igual al peso del fluido desalojado.
Esto se expresa E = Peso fluido desalojado = m g (del fluido desalojado) = ρ(fl) g V(sumergido)
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FÍSICA MATEMÁTICA
Donde ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, y V es el volumen
del fluido desalojado por el cuerpo.
Quiere decir que de acuerdo con esta expresión matematica el empuje aumenta, si
aumenta la densidad del fluido y/o aumenta el volumen desplazado por el cuerpo al
sumergirse en el fluido. Este principio se aprovecha para hacer rehabilitación a personas
lisiadas, en agua salada puesto que la densidad es mayor, que en el agua dulce.
Según el análisis dinámico de la situación de un cuerpo que flota en equilibrio:
E = Pc
[2]
Según Arquímedes, E = ρ(fl) g V(sumerg), como a su vez, el peso del cuerpo es Pc = ρc g
Vc (no confundir con peso de fluido desalojado), y si el V(sumerg) = % Vc por lo que reeplazando
la expresión queda así:
ρ(fl) g V(sumerg) = ρc g Vc
ρ(fl) V(sumerg) = ρc Vc
ρ(fl) (%) Vc = ρc Vc
(%) ρ(fl) = ρc
de esta expresión se ve que para que flote un cuerpo, hay una relación de densidades
entre la del fluido y la del cuerpo que se sumerge, no está bien decir que un cuerpo flota
porque el empuje es mayor que su peso, ya que se parte de la condición dinámica [2] de que
son iguales.
Empuje y peso aparente
Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos
sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia
del empuje.
Si haces el experimento que se ilustra en la figura B, podrás constatar que en apariencia
el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del
dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 Newton (a) y al sumergirla en agua
(b) indica 8 Newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad,
está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 Newton, su peso
aparente 8 Newton y el empuje 2 Newton.
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FÍSICA MATEMÁTICA
PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA
El principio de Pascal expresa; que toda presión que se ejerce sobre un fluido encerrado en
un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del fluido y las paredes
que lo contienen.
En la figura se puede observar que los chorros son los mismos, por lo que se deduce
que se transmite la presión con la misma intensidad
La principal aplicación de este principio es la Prensa hidráulica, cuyo beneficio es que
aplicando pequeñas fuerzas se logra grandes fuerzas tan solo cambiando el área de
aplicación de las mismas.
Las presiones transmitidas por el seno del fluido son las mismas en los dos extremos
de las bocas de una manguera que tienen émbolos, como se muestra en la figura:
𝑝1 = 𝑝2
→
𝐹1 𝐹2
=
𝐴1 𝐴2
para que se mantenga la igualdad, si se aumenta A2 , debe aumentar F2, por lo que:
𝐹2 =
𝐴2
𝐹
𝐴1 1
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FÍSICA MATEMÁTICA
Ejercicios
1) Júpiter tiene un radio R = 7,14 x 104 km y la aceleración debida a la gravedad en su
superficie es gJ = 22,9 2 m/s2. Use estos datos para calcular la densidad promedio de
Júpiter.
2) ¿Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar? Suponga
que  = 1,03 x 103 kg/m3, como densidad del agua de mar y que la presión atmosférica en
la superficie del mar es de 1,01 x 105 Pa. Suponga además que a este nivel de precisión
la densidad no varía con la profundidad.
3) Las dimensiones de una piscina rectangular son 25 m de largo, 12 m de ancho y 2 m de
profundidad. Encontrar: a) La presión manométrica en el fondo de la piscina. b) La fuerza
total en el fondo debida al agua que contiene. c) La presión absoluta en el fondo de la
piscina en condiciones atmosféricas normales, al nivel del mar.
4) Calcular el empuje que ejerce (a) el agua y (b) el alcohol sobre un cuerpo enteramente
sumergido en estos líquidos cuyo volumen es de 350 cm 3. El peso específico del alcohol
es de 0,83 gf/cm3.
5) Un recipiente en U que contiene líquido (incompresible) está conectado al exterior
mediante dos pistones, uno pequeño de área A 1 = 1 cm2, y uno grande de área A2 = 100
cm2. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F =
100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m puede levantar el pistón
grande?
HIDRODINAMICA
A continuación vamos a estudiar propiedades de fluidos en movimiento y propiedades de
movimiento de objetos en fluidos. Consideramos un fluido ideal. Este modelo permite
comprender una abundante fenomenología.
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60
FÍSICA MATEMÁTICA
La ecuación de continuidad es el resultado de aplicar el principio de conservación de la
masa al flujo de un fluido. Supongamos un conducto por el cual circula un fluido de densidad
 constante como el de la Figura.
Nuestro objetivo es evaluar el cambio en la velocidad del fluido al pasar del punto 1 al
punto 2. Sea A1 el área de la sección transversal del conducto en la zona 1 y A2 el área
correspondiente en la zona 2. (En el caso en que el conducto se divida en varias
ramificaciones, A2 es la suma de las áreas de las secciones transversales de cada una de las
ramificaciones.) La ecuación de continuidad surge de aplicar el principio de que la masa de
fluido que entra por 1 debe salir por 2.
En efecto, en el punto 1, la masa de fluido que pasa a través del área A1 durante un
tiempo infinitesimal dt es
dm = ρ A1 v1 dt
Si el fluido es incompresible, el fluido que pasa por el punto 2 en el mismo tiempo es el
mismo, es decir,
dm = ρ A2 v2 dt
La igualdad de ambas ecuaciones nos lleva a la ecuación de continuidad
A1 v1 = A2 v2 [3]
El producto A.v corresponde al caudal Q de fluido que circula por el tubo, el cual se
define como el volumen de fluido que atraviesa una determinada sección del tubo, por unidad
de tiempo.
Por tanto, la ecuación [3] equivale a la constancia del caudal. Si el área de salida es
mayor que el área de entrada, la velocidad de salida será inferior a la velocidad de entrada.
Si la velocidad del fluido no es la misma en todos los puntos de la sección transversal
del conducto, como se da en el flujo de un fluido viscoso, las velocidades v1 y v2 que aparecen
en [3] corresponderán a la velocidad media sobre la sección correspondiente.
Hay muchos casos de la vida cotidiana regidos por la ecuación de continuidad.
Por ejemplo, la ecuación de continuidad explica la forma del chorro de agua que sale
por un grifo. Al salir del grifo el agua forma una especie de columna que se hace cada vez
más estrecha. Esta forma característica se debe a que el agua se acelera debido a la acción
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61
FÍSICA MATEMÁTICA
de la gravedad. La continuidad implica, por tanto, que la sección se haga cada vez inferior.
Así, a medida que el agua está más alejada del grifo, la velocidad es mayor y la sección es
menor hasta llegar incluso a una situación en que la sección es tan pequeña que los efectos
de la tensión superficial y la fuerza de resistencia del aire rompen la columna para formar
gotas.
Ejemplo 1
Las esponjas de mar son animales que viven en el fondo del mar y cuya alimentación está
basada en la continua filtración de agua. En su superficie la esponja tiene aberturas de
distintos tamaños por donde circula el agua. El agua entra por las aberturas pequeñas y sale
por las grandes. El caudal del agua que fluye por la esponja es muy grande, ya que una
esponja es capaz de propulsar a través suyo un volumen de agua igual a su propio volumen
cada cinco segundos.
Durante mucho tiempo los zoólogos especialistas en estos animales se habían
preguntado cómo las esponjas impulsaban el agua por sus conductos internos. Se formulaban
distintas hipótesis: la existencia de unos músculos, el impulso mediante flagelos, etc. Para
esta última hipótesis existían serias dudas sobre la capacidad de los flagelos de impulsar el
agua. Si suponemos que los flagelos pueden impulsar el agua con una velocidad máxima de
50 μm/s y sabiendo que el agua sale a 20 cm/s por los conductos grandes de salida de 1 cm2
de área y que el área de los conductos de entrada es de unos 6000 cm 2, probar si es plausible
la propulsión de agua mediante los flagelos.
El flujo del agua está gobernado por la ecuación de continuidad. Por consiguiente,
aplicamos la ecuación [3]:
v2 = A1 v1 / A1 = 20 cm/s . 1 cm2 / 6000 cm2 = 33,3 μm/s
con lo cual se muestra que es plausible suponer que el agua es impulsada por los
flagelos.
Aparte de este cálculo, parece probado que el mecanismo de impulsión del agua a
través de las esponjas es el de los flagelos. Sin embargo, en todos los animales no se ha
adoptado la misma solución por lo que hace referencia al transporte de fluidos. En los
animales superiores se utilizan grandes bombas, el corazón, mientras que los animales
pequeños utilizan para impulsar el agua en sus sistemas de filtración flagelos y cilios.
Ejemplo 2
Otro ejemplo de la utilización de la ecuación de continuidad pertenece al campo de la fisiología
vegetal y hace referencia a la conducción de la savia en los árboles. Teniendo en cuenta que
la acción capilar por sí sola no puede justificar el ascenso de la savia en los árboles. El
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FÍSICA MATEMÁTICA
mecanismo principal que propulsa la alimentación de los árboles es el esfuerzo de tracción o
presión negativa que se produce cuando se evapora el agua de las hojas de los árboles. Un
árbol evapora 1,5 x 10–8 m3/s de líquido por cada m 2 de área. Así un árbol de 2 m 2 de área
evapora 3 x 10–8 m3/s. El tronco está formado por conductos denominados xilema de 100 μm
de diámetro que ocupan un 7 % del tronco, y que por tanto, ocupan un área de 1,5 x10-4 m2.
Con estos datos, calcular la velocidad de ascenso de la savia.
El cálculo de la velocidad es simple si se usa la ecuación de continuidad.
En efecto: Q = v A
donde Q es el caudal total y A el área. Despejando v de la ecuación anterior resulta
v = Q / A = 1,5 x 10-8 m3/s / 1,5 x 10-4 m2 = 2 x 10-4 m/s
La determinación experimental de la velocidad de ascenso de la savia mediante
métodos no invasivos lleva a valores de unas cincuenta veces el valor anterior. Este resultado
se interpreta como que los xilemas no conducen todos ellos la savia, ya que la mayor parte
de ellos no son funcionales y están llenos de aire. En este caso la ecuación de continuidad
indica que sólo el 2 por 100 de los xilemas de un árbol conducen la savia.
Hasta aquí nos hemos referido a la ecuación de continuidad para recintos cerrados. Si,
en cambio, estudiamos el flujo abierto de un fluido, este principio se cumple también siempre
y cuando se cumplan ciertas condiciones.
Definimos línea de corriente como aquella línea que es tangente en todos sus puntos al
vector velocidad. Para representar el flujo de un fluido podemos dibujar tantas líneas de
corriente como nos convenga, pero dos líneas de corriente no pueden cruzarse, ya que esto
querría decir que una misma partícula de fluido puede moverse en dos direcciones diferentes,
lo cual es imposible.
En cada línea de corriente, la componente perpendicular de la velocidad es nula. En un
flujo en dos dimensiones, dos líneas de corriente configuran un tubo de corriente, en el cual
se aplica la ecuación de continuidad, aunque no haya fronteras físicas para el flujo. De esta
forma, las líneas de corriente permiten dividir conceptualmente el flujo en un conjunto de tubos
de corriente con paredes inmateriales. Los efectos viscosos y el calor pueden atravesarlos,
pero, en cambio, no puede haber ningún flujo de masa a su través.
A pesar del gran interés conceptual de las líneas de corriente, su aplicación más
importante se da cuando el flujo del fluido es estacionario, es decir, cuando no varía con el
tiempo, ya que entonces las líneas de corriente coinciden con las trayectorias de las partículas
de fluido. Es precisamente en el flujo estacionario cuando tratamos con la ecuación de
Bernoulli, ecuación importantísima y muy útil para la descripción del flujo de fluidos.
La ecuación de continuidad se puede visualizar en múltiples entornos de estudio en
meteorología. En las capas altas de la atmósfera (aproximadamente 5000 m) el aire se mueve
paralelo a las líneas de corriente que suelen coincidir con las líneas de presión constante.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Cuando éstas tienden a unirse, la velocidad del aire aumenta produciéndose una
convergencia. El aire entonces tiende a moverse hacia la superficie dando origen a un
anticiclón.
ECUACIÓN DE BERNOULLI
En el apartado anterior hemos aplicado el principio de conservación de la masa. En este
apartado aplicamos a la mecánica de fluidos el principio de conservación de la energía. El
ámbito de esta aplicación es el de los fluidos ideales, es decir, los fluidos sin viscosidad,
además de las hipótesis de incompresibilidad y de flujo estacionario ya mencionadas
anteriormente.
Consideremos un tubo de fluido como el de la Figura. En el apartado anterior hemos
visto que podemos escribir que el producto Ai vi es constante, donde el subíndice i indica la
zona del tubo que se considera.
Para transportar una determinada cantidad de fluido de volumen dV (sombreado en la
figura) desde la zona 1 hasta la zona 2 hay que realizar un trabajo dT definido por:
dT = (p1 – p2) dV
En ausencia de rozamiento, este trabajo debe transformarse en un aumento de energía
mecánica del fluido, es decir,
dEm = ½ (v2 2 – v12) ρ dv + g (h2 – h1) ρ dv
donde
dm = ρ Dv
[4]
en que ρ es la densidad del fluido. El principio de conservación de la energía dice que
dT = dEm
es decir,
(p1 – p2) dV = ½ (v22 – v12) ρ dV + g (h2 –h1) ρ dV
Si se reordenan los términos y se elimina dV queda
P1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2 2 + ρ g h2
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FÍSICA MATEMÁTICA
o lo que es lo mismo,
p + ½ ρ v2 + ρ g h = cte
[5]
donde el valor de la constante es el mismo para todos los puntos de un mismo tubo de
corriente. Según la ecuación anterior, o ecuación de Bernoulli, el flujo de un fluido ideal
mantiene constante la energía por unidad de volumen. Si se trata del flujo de un fluido viscoso,
la suma de los tres términos de la ecuación [5] deja de ser constante y pasa a ser una función
decreciente con la distancia. El trabajo por unidad de volumen que hay que suministrar a un
fluido viscoso para mantener constante la suma de estos tres términos se denomina pérdida
de carga, y es muy utilizada para caracterizar el flujo de fluidos reales por conductos.
A continuación tratamos algunas aplicaciones sencillas de la ecuación de Bernoulli.
Ejemplo 1. Teorema de Torricelli
En este primer caso aplicamos la ecuación de Bernoulli al estudio de la velocidad de
salida de un fluido ideal por un agujero situado a una cierta profundidad, tal como se muestra
en la Figura. Aplicamos la ecuación [5] entre los puntos 1 y 2 de la figura. En ambos puntos
la presión es la exterior; por tanto, p1 = p2. En el punto 1 la velocidad de descenso del fluido
es muy pequeña, ya que el recipiente es muy ancho si se compara con el tamaño del agujero
y el volumen del fluido que se escapa por el orificio es pequeño comparado con el volumen
total del fluido; por tanto, v 1 = 0. Además, las alturas las referimos respecto el nivel del fondo
del recipiente, con lo que h2 = 0. En estas condiciones, la ecuación [5] se escribe
ρ g h = ½ ρ v2
donde hemos tenido en cuenta que h1 = h y que v2 = v. Eliminando ρ y despejando v
queda:
v 2gh
expresión que es la conocida fórmula de Torricelli, que indica que la velocidad de salida
del agua por un orificio viene determinada por la misma expresión de la velocidad de caída
libre de un objeto desde una altura dada.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Ejemplo 2
En una arteria se ha formado una placa arterioesclerótica que reduce el área transversal a 1/5
del valor normal. ¿En qué porcentaje disminuye la presión en el punto donde ha habido este
accidente vascular? (presión media normal de la sangre, 100 mm de Hg; velocidad normal de
la sangre, 0,12 m/s; densidad de la sangre, 1056 kg/m3).
La ecuación de Bernoulli [5] da una relación entre la presión, la velocidad y la altura de
un fluido. Si suponemos que tenemos establecido un flujo sin cambio apreciable de nivel y
señalamos como 1 el punto donde la arteria es normal y como punto 2 la zona donde se ha
producido la deposición alteradora (véase la Figura), podemos escribir a partir de [5]
(p1 – p2) = ½ (v22 – v12) ρ
Por otra parte, dado que suponemos que no hay hemorragias, es decir, toda la sangre
que pasa por 1 debe pasar por 2, se cumple la ecuación de continuidad
v 1 A1 = v 2 A2
Figura de la arteria
Barómetros y manómetros: instrumentos de medición de presiones
Consideremos un recipiente como el de la Figura. Suponemos que el fluido está en reposo.
Si aplicamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 considerando que en 1 la presión
es la presión exterior y en 2 la presión es p2, resulta
p2 = p1 + ½ g (h1 – h2) = p1 + g h
[6]
Así, la presión en un fluido en reposo depende de h, la profundidad a la cual se mide.
Por argumentos similares resulta que p1 = p4 y p2 = p3, ya que los puntos 1 y 4 y los puntos 2
y 3 están al mismo nivel.
Para determinar la presión exterior se puede utilizar un dispositivo como el de la Figura
de abajo y la expresión [6]. El barómetro consiste en un recipiente lleno de un fluido y un tubo
invertido donde se ha hecho el vacío en su interior, es decir, p3= 0. El fluido asciende por el
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FÍSICA MATEMÁTICA
tubo hasta la altura h, donde la presión en el punto 2 multiplicada por el área de la sección
transversal del tubo se iguala con el peso de la columna de fluido. Así, la presión en el punto
2 vale
p2 = ρ g h
Como la presión en los puntos 1 y 2 es la misma y la presión en el punto 1 es la presión
exterior, la medida de la altura de la columna de fluido sirve para determinar la presión exterior.
Es importante el fluido que se utiliza, ya que debe elegirse de tal manera que a la temperatura
ambiente (o en cada caso a la temperatura de utilización del barómetro) su presión de vapor
sea pequeña de tal manera que la condición p3 = 0 se mantenga. Por otro lado, el ascenso
del fluido por el tubo debido al ascenso capilar ha de ser adecuado.
El fluido más utilizado es el mercurio por su elevada densidad (13600 kg/m3). Así se
define la atmósfera, como una unidad de medida de presión que corresponde a la altura de
una columna de mercurio de 760 mm. En estas condiciones se cumple, pues,
p2 = 1 atm = 13600 kg/m3 9,82 m/s2 0,760 m = 1,013 x 105 N/m2
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FÍSICA MATEMÁTICA
Barómetro
barómetro en U
manómetro
LA PRESION ATMOSFERICA: SU MEDIDA. EXPERIENCIA DE TORRICELLI
Torricelli llenó de mercurio un tubo de 1 m de largo, (cerrado por uno de los extremos) y lo
invirtió sobre un cubeta llena de mercurio. Sorprendentemente la columna de mercurio bajó
varios centímetros, permaneciendo estática a unos 76 cm (760 mm) de altura.
Torricelli razonó que la columna de mercurio no caía debido a que la presión atmosférica
ejercida sobre la superficie del mercurio (y transmitida a todo el líquido y en todas direcciones)
era capaz de equilibrar la presión ejercida por su peso.
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝐻𝑔 =
𝑃𝐻𝑔 𝑚𝐻𝑔 𝑔 𝑉𝐻𝑔 𝜌𝐻𝑔 𝑔 𝐴 ℎ 𝜌𝐻𝑔 𝑔
=
=
=
= 𝜌𝐻𝑔 𝑔 ℎ
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
Como se observa la presión es directamente proporcional a la altura de la columna de
mercurio (h), se adoptó como medida de la presión el mm de mercurio.
Así la presión considerada como "normal" se correspondía con una columna de altura
760 mm.
La presión atmosférica se puede medir también en atmósferas (atm):
1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr = 101325 Pa = 1,01325 bar
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FÍSICA MATEMÁTICA
Tensión superficial
La cohesión interna, la atracción entre las moléculas del fluido, es un atributo básico que
distingue los líquidos de los gases. Así, en condiciones de ingravidez, una gota de líquido al
minimizar su área superficial adquiere una forma esférica. Asimismo, en un lago en calma la
superficie del agua es plana y sin rizos, ya que ésta es la condición que minimiza el área
superficial.
Los insectos acuáticos pueden caminar por encima de la superficie del agua, ya que su
peso está compensado por la resistencia de la superficie a su deformación.
Las fuerzas de cohesión dan lugar a la tensión superficial, que corresponde a una fuerza
por unidad de longitud, o a una energía por unidad de área de la superficie del fluido. ¿De
dónde proviene esta energía? Para mostrarlo utilizaremos un modelo molecular del fluido. En
un fluido podemos distinguir dos regiones (véase Figura): la región interior y la región
superficial.
Mientras que una molécula de la región interior en promedio tiene el mismo número de
moléculas que la atraen hacia la derecha que hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo, y,
por tanto, la resultante de las fuerzas es cero, una molécula de la región superficial tiene una
fuerza resultante dirigida hacia el interior del fluido.
Esto hace que para desplazar una molécula a la superficie tenga que realizarse un
trabajo, es decir, hay que aportar una energía que, evaluada por unidad de área, es lo que
conocemos como tensión superficial.
Así, para aumentar la superficie de un fluido tenemos que realizar un trabajo que
equivale a la energía potencial de las moléculas de fluido que han de pasar de la región interior
a la región superficial. La tensión superficial es una propiedad de cada fluido, en la medida
que las moléculas de cada fluido tienen distintas fuerzas de interacción y, por supuesto, si se
disuelve una sustancia en un fluido, la disolución tiene una tensión superficial distinta de la
del fluido disolvente. Un ejemplo especialmente importante de este fenómeno es el cambio de
la tensión superficial del agua a causa de la adición de detergentes o de productos
polucionantes.
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FÍSICA MATEMÁTICA
La tensión superficial no tiene unidades propias y se mide en el sistema internacional
en N/m.
Un último aspecto especialmente interesante relacionado con la tensión superficial es la
capilaridad. El experimento clásico del efecto de capilaridad se produce cuando dentro de un
recipiente lleno de un líquido, por ejemplo agua, colocamos un tubo delgado, por ejemplo de
vidrio (Ver figura), y se observa que el fluido asciende por el tubo hasta una altura
determinada. Decimos entonces que el fluido asciende por capilaridad.
El efecto depende de la competición entre dos fuerzas, la fuerza de cohesión del líquido
y la fuerza entre el líquido y las paredes. Por un lado, la atracción del vidrio hacia las moléculas
de agua hace subir el agua por el tubo, pero por otro lado la resistencia a aumentar la
superficie del agua, consecuencia directa de la tensión superficial, tiende a frenar el ascenso.
𝛾 2 𝜋 𝑟 = 𝜋 𝑟2 ℎ 𝜌 𝑔
La altura h del tubo a la que llega el agua es aquella en la que la fuerza debida a la
tensión superficial iguala en magnitud al peso de la columna de agua, es decir, donde  es la
tensión superficial y r el radio del tubo. Así, cuanto mayor es la tensión superficial, el ascenso
capilar es más alto, y cuanto mayor es el radio del tubo, menor es el ascenso capilar.
Ejemplo
¿Qué diámetro deberían tener los capilares del xilema de los árboles para que la tensión
superficial sea una explicación satisfactoria del ascenso de la savia a la copa de una secoya
gigante de 100 m de altura ( tensión superficial del agua 73 x 10-3 N/m, ángulo de contacto ,φ
= 0°, densidad del agua 1000 kg/m3)
Supongamos que el xilema de los arboles está formado por capilares de forma cilíndrica
de radio r. La savia subirá hasta la altura h gracias a la tensión superficial. La componente
vertical de la tensión superficial Fv es
Fv = 2  r  cos φ
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FÍSICA MATEMÁTICA
En donde 2  r es la longitud de la circunferencia de radio r, donde la savia está en
contacto con el capilar. Por otro lado, el peso P de la savia viene dado por
P = ρ V g = ρ r 2 h g
Por lo tanto, teniendo en cuenta la situación en que hay equilibrio entre la tensión
superficial y la del peso, y despejando r resulta:
𝑟=
2 γ cos φ
2 𝑥 73 𝑥 10−3 (𝑁/𝑚) cos 0º
=
= 1,49 𝑥 10−7 𝑚
𝜌ℎ𝑔
1000 (𝑘𝑔/𝑚3 )100 𝑚 9,81 (𝑚/𝑠2 )
Las medidas experimentales de este diámetro dan un valor de 2,5 x 10–5 m, que es
mucho mayor que el anterior. Por tanto, la tensión superficial no explica por sí sola el ascenso
de la savia en los árboles.
FLUIDOS REALES
Viscosidad
La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de un fluido. A causa de la viscosidad,
es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.
En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una
lámina superior móvil.
La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella,
mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas
intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un
flujo de este tipo se denomina laminar.
Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado
instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en
la porción ABC’D’.
Sean dos capas de fluido de área S que distan dx y entre las cuales existe una diferencia
de velocidad dv.
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FÍSICA MATEMÁTICA
La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de
velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad .
𝐹
𝑑𝑣
=𝜂
𝐴
𝑑𝑥
(1)
En un fluido viscoso el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo,
sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas
decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida,
una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento
se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen
presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor
es uniforme a lo largo del tubo
Viscosidad de algunos líquidos
Líquido
 . 10-2 kg/(ms)
Aceite de ricino
120
Agua
0,105
Alcohol etílico
0,122
Glicerina
139,3
Mercurio
0,159
LEY DE POISEUILLE
La ley de Poiseuille, cuyo nombre se debe a un médico francés especialista en el flujo de la
sangre en los vasos sanguíneos, nos permite saber cómo es la velocidad de un fluido que se
mueve de forma laminar por un tubo, y relacionar el caudal que circula por un tubo con la
diferencia de presión que lo origina y con las características físicas del fluido y las
características geométricas del tubo.
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FÍSICA MATEMÁTICA
El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una
diferencia de presiones p1 − p2 es:
𝑄=
𝜋 𝑅4
𝛥𝑝
8𝜂𝑙
Esta ley relaciona la causa, la diferencia de presiones Δp, con el caudal. La constante
de proporcionalidad depende del fluido, a través de la viscosidad, y de las características del
conducto como son su radio y su longitud.
Es de notar la dependencia del caudal con la cuarta potencia del radio si se duplica el
radio del conducto, el caudal se multiplica por dieciséis.
Uniones entre circuitos
La presión y el caudal representan equivalen al potencial eléctrico y la intensidad de corriente
en los circuitos eléctricos. La ley de Poiseuille es similar a la de Ohm (I = V/R):
𝑄=
∆𝑝
𝑅𝑓
En donde Rf es la resistencia hidráulica al flujo, igual a: 𝑅𝑓 =
8𝜂𝑙
𝜋𝑅4
De la expresión anterior vemos que la resistencia hidrodinámica es tanto mayor cuanto
mayor es la viscosidad del fluido y cuanto más largo y más estrecho es el conducto. La
semejanza con la ley de Ohm es tan completa que cuando se unen dos o más conductos uno
a continuación del otro, es decir, en serie, su resistencia hidrodinámica global se comporta del
mismo modo que lo hace la resistencia eléctrica al conectar dos resistencias en serie y, por
tanto, resulta ser la suma de las resistencias hidrodinámicas individuales.
Unión en serie: Q1 = Q2 y ∆p = ∆p1 + ∆p2
La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos: R t = R1 + R2.
Si los tubos se unen en paralelo, la resistencia hidrodinámica global seguirá la misma
relación que sigue la resistencia eléctrica de los resistores conectados en paralelo.
Unión en paralelo: Q = Q1 + Q2 y ∆p1 = ∆p2
La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resistencias de los
circuitos:
1
1
1
=
+
𝑅𝑡 𝑅1 𝑅2
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FÍSICA MATEMÁTICA
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, Y EL PERFIL PARABÓLICO DE VELOCIDADES
Reynolds estudió las condiciones para las que se produce el cambio de un tipo de movimiento
a otro y encontró que la velocidad crítica, para la que el flujo pasa de laminar a turbulento,
depende de cuatro variables: el radio del tubo (r), así como la viscosidad (η), la densidad (ρ)
y la velocidad lineal media del líquido (v). Además, encontró que estos cuatro factores pueden
combinarse formando un grupo y que el cambio del tipo de flujo ocurre para un valor definido
del mismo. La citada agrupación de variables es:
𝑁𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑟
𝜂
Esta agrupación adimensional de variables recibe el nombre de NUMERO DE
REYNOLDS.
Sin embargo, el análisis de los fenómenos turbulentos a pesar de ser muy interesante,
desde el punto de vista biológico no se hace imprescindible. En efecto, la mayor parte de
situaciones de interés en biología se dan en condiciones donde el flujo es laminar. Incluso en
los conductos donde la sangre sale del corazón, el flujo prácticamente es laminar. Sólo en las
fosas nasales parece que se ha desarrollado un entorno donde se ha favorecido el flujo
turbulento para facilitar la mezcla completa del aire y, por tanto, mejorar el olfato y el
intercambio de calor.
Para números de Reynolds inferiores a 2100 se encuentra siempre flujo laminar, pero
éste puede persistir hasta números de Reynolds de varios millares para condiciones
especiales de entrada del tubo bien acampanada. En condiciones ordinarias de flujo, el flujo
es turbulento para números de Reynolds superiores a aproximadamente 4000.
Entre 2100 y 4000 existe una región de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto
laminar como turbulento, dependiendo de las condiciones de entrada del tubo y de la distancia
a dicha entrada.
NRe ˂ 2100 Flujo Laminar
2100 < NRe < 4000 Flujo de Transición
NRe > 4000 Flujo Turbulento
LEY DE STOKES
Cuando un objeto se mueve en el seno de un fluido, experimenta una fuerza de resistencia
(opuesta a su velocidad), denominada fuerza de arrastre. Que para el caso de objetos muy
pequeños domina esta fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para el
caso de una esfera:
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FÍSICA MATEMÁTICA
Fr = 6 π η v R
En donde R es el radio de la esfera.
Cuando una disolución precipita, la velocidad de sedimentación está determinada por la
ley de Stokes y vale:
𝑣=
2 𝑅 2 (𝜌𝑐 − 𝜌𝑓𝑙 ) 𝑔
9
Circulación sanguínea
La resistencia periférica total es el cociente entre la diferencia de presión a la salida y a la
entrada del corazón y el caudal sanguíneo.
Si un conducto de área A1 se bifurca en n conductos iguales, de área A2, la caída de
presión por unidad de longitud se mantiene constante si se verifica:
𝐴1 = √𝑛 𝐴2
La potencia del corazón es el trabajo realizado en un latido W dividido por el intervalo
de tiempo entre latidos: P = W / t = p ∆V/ ∆t = p Q
Esta expresión ha de ser evaluada separadamente para cada ventrículo.
La sangre
En ciertos casos la sangre fluye a un ritmo constante a través de un vaso liso, largo en
corrientes continuas, manteniéndose cada capa de sangre a una distancia constante de la
pared del vaso presentándose entonces como flujo laminar. Al tener flujo laminar, se presenta
también el efecto de que las capas más cercanas a las paredes de los vasos, tendrán
velocidades de flujo casi nulas debido al efecto de la viscosidad, mientras que las capas de
sangre más alejadas de las paredes alcanzarán una velocidad mayor que el resto de las
capas. Lo anterior origina un perfil parabólico de velocidades cuando se presenta un flujo
laminar.
Cuando la rapidez del flujo sanguíneo es muy intensa, cuando pasa una obstrucción de
un vaso, cuando hace un giro brusco, o cuando pasa por encima de una superficie más
rugosa, el flujo puede volverse turbulento, formando generalmente remolinos denominados
corrientes parásitas o de remolino. Cuando se producen corrientes de remolino, la sangre
circula contra una resistencia mucho mayor que la que existe cuando la corriente es lineal
porque los remolinos aumentan enormemente la fricción dentro del vaso.
Para determinar si un flujo sanguíneo es laminar o turbulento es posible utlizar el número
de Reynolds, que determina la tendencia a ser turbulento que tiene un flujo. En la aorta
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FÍSICA MATEMÁTICA
proximal y en la arteria pulmonar, el número de Reynolds puede elevarse hasta niveles altos,
como de varios miles, durante la fase rápida de vaciamiento de los ventrículos; esto provoca
intensa turbulencia en la parte proximal de las arterias aorta y pulmonar, donde hay muchas
condiciones adecuadas para la turbulencia:
1. Gran velocidad de la corriente.
2. Índole pulsátil de flujo.
3. Brusco cambio del diámetro del vaso.
Sin embargo, en los vasos pequeños el número de Reynolds casi nunca llega a ser
suficientemente elevado para provocar turbulencia.
LA PRESIÓN
La presión sanguínea representa la fuerza ejercida por la sangre contra cualquier área de la
pared vascular, se mide generalmente en torr (milímetros de mercurio) porque se ha utilizado
el manómetro diferencial. Sin embargo, el mercurio tiene tanta inercia que no puede elevarse
y bajar rápidamente. Por este motivo, el manómetro de mercurio, aunque excelente para
registrar presiones constantes, no puede responder a cambios de presión que ocurran con
rapidez mayor de aproximadamente un ciclo cada dos o tres segundos. Se utilizan entonces
artefactos más especializados cuando se va a medir la presión sanguínea, como son los
transductores electrónicos de presión utilizados generalmente para convertir la presión en
signos electrónicos y registrarla con un dispositivo de alta velocidad.
Uniones entre tuberías
La aorta al salir del corazón se empieza a dividir en una serie de ramas principales que a su
vez se ramifican en otras más pequeñas para lograr llegar a todas las partes del organismo
mediante una complicada red de múltiples derivaciones. Las arterias menores se dividen en
una fina red de capilares que son vasos aún más pequeños y tienen paredes muy delgadas.
Así la sangre entra en contacto con con los líquidos y tejdos del organismo. Después de
permitir a la sangre interactuar con las diversas células, los capilares se empiezan a unir para
formar venas pequeñas que a su vez se unen para formar venas mayores cada vez, hasta
que finalmente se reúnen en la vena cava superior e inferior que llega al corazón.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Este sistema de ramificaciones y uniones se puede interpretar como un sistema de tubos
en paralelo que es uno de los objetos de estudio de la hidráulica.
Medida de la presión arterial
La medida se realiza habitualmente mediante la utilización de una variante de manómetro,
denominado esfigmomanómetro. Existen esfigmanómetros de tres clases: de mercurio,
aneroides y electrónicos. Los más exactos son los de mercurio, ya que los otros modelos
necesitan de calibración frecuente. Están formados por:

a) Un manguito de compresión, constituido por una bolsa hinchable situada dentro de una
cubierta no distensible.

b) Una fuente de presión constituida, habitualmente, por una perilla de goma y una válvula
de presión que permite regular la presión ejercida sobre el brazo.

c) Un manómetro que mide la presión en milímetros de mercurio ejercida por el manguito
de compresión, en realidad las presiones medidas corresponden al aire contenido en el
manguito. Las dimensiones del manguito deben adaptarse al grosor del brazo de la
persona a la que ha de hacerse la medida.
Método auscultatorio. Es el más utilizado en la práctica. Se procede de la siguiente
manera: se sitúa el estetoscopio en la flexura del codo sobre la arteria braquial, no se aprecia
ningún sonido debido a que el flujo en su interior es un flujo laminar y no genera ruido; se infla
el manguito hasta que desaparece el pulso radial lo que supone que la arteria humeral queda
bloqueada por la presión ejercida en el brazo. A continuación se desinfla lentamente (2-3 mm
Hg/seg) y cuando la presión en la arteria durante la eyección sistólica iguala la del manguito
la sangre supera la zona de oclusión y pasa de forma turbulenta generando una secuencia de
ruidos que se denominan ruidos de Korotkoff. Se distinguen varias etapas:

Etapa 1: inicio de sonidos que son tenues y galopantes, y van aumentando de intensidad.
En este punto la presión medida corresponde a la presión arterial sistólica.
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FÍSICA MATEMÁTICA

Etapa 2: desaparición momentánea de sonidos o sonidos muy tenues, descritos como de
susurro o soplo más o menos rasposos.

Etapa 3: sonidos golpeantes, más potentes y agudos aunque sin lograr la intensidad de
los primeros latidos.

Etapa 4: los sonidos se suavizan brusca y repentinamente, siendo más sibilantes.

Etapa 5: los sonidos cesan totalmente, la presión sobre el brazo no comprime la arteria y
el flujo que corre en su interior es laminar y no turbulento. La presión en este punto
corresponde a la presión arterial diastólica.
Los valores normales en la población presentan una cierta variación. Para un adulto
joven y sano los valores de 120 mm Hg para la presión sistólica y 80 mm Hg para la diastólica
se consideran como normales. Factores constitucionales (sexo, raza, peso) y del estilo de vida
(dieta, hábitos como el consumo de tabaco o alcohol, etc.) influyen de forma muy importante
en la presión arterial.
Ejercicios
1)
¿Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circular de 0,2 m de radio apoyada
sobre una capa de sangre de 1 cm de grosor para que se mueva con una velocidad de 1
m/s?
2)
Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diámetro conectada a un grifo con
una presión de 2 atm. Calcula: (a) el caudal de agua que circula por ella, (b) la velocidad
media del agua, (c) la velocidad máxima, (d) la resistencia al flujo de la manguera
3)
Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de
radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del
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FÍSICA MATEMÁTICA
conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del
líquido?
4)
Un depósito cilíndrico de 0,5 m de radio y 1,2 m de altura está lleno de agua y posee un
orificio, en su parte inferior, conectado a un conducto de 0,2 m de longitud y 2 mm de
radio. Determina la velocidad de salida del agua en función del tiempo, medida desde que
se empieza a vaciar el depósito. (Desprecia la velocidad del agua en el interior del
depósito.)
5)
Un circuito está formado por dos conductos de 6 x 107 y 9 x 107 Ns/m5 de resistencia
unidos en serie. La presión total sobre el circuito es de 3 atm. ¿Qué caudal atraviesa el
circuito? ¿Cuál es la presión en el punto de unión de los dos conductos?
6)
La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porque en algunos tramos la sección
se ha reducido a la mitad. ¿En qué porcentaje de la longitud del vaso hay obstrucciones?
7)
Estima aproximadamente el número de Reynolds de: (a) un nadador capaz de hacer 100
m en 52 s, (b) un atleta que recorre 100 m en 10 s, (c) un submarino de 3 m de radio
viajando a 36 km/h, (d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h, (e) una partícula de
una micra de diámetro que se desplaza en el agua a 0,01 m/s.
8)
Una aorta posee una sección de 4 cm 2. ¿A qué velocidad comenzará a hacerse turbulento
el flujo sanguíneo? ¿Cuál será entonces el caudal?
9)
¿Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objeto esférico de 1,2 kg/l de densidad y
0,8 cm de diámetro?
10) Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimentación 4 veces superior a la
normal debido a que los glóbulos rojos se han unido parcialmente entre sí. Si suponemos
que en el caso normal éstos no están unidos en absoluto, ¿cuántos glóbulos rojos se
agregan en media formando nuevas partículas efectivas en la muestra considerada?
11) En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguínea cae 18 mm de Hg. Por ella
circula un caudal de 0,1 l/min. ¿Cuál es el radio de la arteriola?
12) Supongamos que la caída de presión por unidad de longitud es constante en el cuerpo
humano, debido a la forma de bifurcarse los vasos. Si el área total de los capilares es 500
veces mayor que la de la aorta, determina: (a) el número de capilares, (b) la sección de
cada uno de ellos, sabiendo que la de la aorta es de 3 cm 2, (c) la velocidad de la sangre
en los capilares, teniendo en cuenta que el caudal total es de 5 l/min.
13) Un corazón bombea 0,08 l de sangre, 60 veces por minuto, con una presión media de
110 mm de Hg. La aorta correspondiente posee un radio de 1,2 cm. Calcula: (a) el caudal
sanguíneo, (b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo, (c) la velocidad de la sangre
en la aorta, (d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio, (e) la longitud que debería
tener un conducto de 1 cm de diámetro para que su resistencia al flujo coincidiera con la
del sistema circulatorio.
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FÍSICA MATEMÁTICA
14) Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de
radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del
conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del
líquido?
TEMPERATURA - CALOR - NOCIONES DE TERMODINÁMICA
TEMPERATURA
Las medidas del calor y de la temperatura están relacionadas, que para su estudio
cuantitativo, se deben establecer escalas y unidades. La definición de una escala se consigue
asignando valores fijos de la temperatura a unos puntos de referencia. Las escalas más
usuales toman como puntos fijos el de fusión del hielo y el de ebullición del agua a presión
atmosférica; entre ellas destacan las escalas
Celsius (tf = 0 °C, teb = 100 °C) y la
Fahrenheit (tf = 32 °F, teb = 212 °F).
La escala más importante desde el punto de vista físico por su significación fundamental
es la escala absoluta o Kelvin, que operativamente coincide con la escala de temperaturas de
los gases ideales y cuyo valor se obtiene al sumar 273,15° a los valores de la escala Celsius.
El cero de dicha escala es el cero absoluto, que constituye el límite inferior de temperaturas.
Los termómetros se basan en la dependencia de ciertas propiedades con la temperatura
(longitud de una barra o de una columna de fluido, volumen de un gas a presión constante o
presión de un gas a volumen constante, resistencia de un metal o de un semiconductor, fuerza
electromotriz de un par termoeléctrico, características de la radiación electromagnética
emitida, etc.). A partir de los valores directamente observables de tales magnitudes se puede
asignar valores a la temperatura.
Ejemplo
Encontrar las relaciones entre las escalas Celsius, Kelvin y Fahrenheit de temperatura,
comparando los valores que toman en los puntos fijos recogidos en la siguiente tabla:
De la tabla se desprende inmediatamente que las escalas Celsius y Kelvin difieren
únicamente en el cambio de origen:
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FÍSICA MATEMÁTICA
T (K) = t (°C) + 273,15
Para determinar la relación entre la escala Celsius y la Fahrenheit tenemos en cuenta
que entre el punto de fusión del hielo tf y el de ebullición del agua teb hay 100 °C y 180 °F; por
tanto,
∆𝑡 (℃) 100 5
=
=
∆𝑡 (℉) 180 9
𝑡 (℃) =
5
[𝑡 (℉) − 32]
9
EL CALOR Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
La primera ley de la termodinámica identifica el calor como una forma de energía y postula la
conservación de ésta. Conceptualmente resultaron difíciles tanto esta identificación del calor,
que antes se confundía con un fluido indestructible especial (calórico), como la idea de la
conservación de la energía. La primera ley de la termodinámica establece
U = Q + W
donde U es la energía interna del sistema, U su diferencia entre el estado final y el
estado inicial, Q el calor suministrado al sistema y W el trabajo efectuado sobre el sistema.
Calor y trabajo son las dos maneras de variar la energía de un sistema cerrado. En efecto, si
en los sistemas mecánicos simples un trabajo produce la variación de la energía cinética o de
la energía potencial, en los sistemas compuestos por muchas partículas puede realizarse
trabajo (por ejemplo, comprimiendo lentamente el sistema) sin que varíe su energía potencial.
Asimismo, comunicar calor al sistema produce una variación en la temperatura de éste y,
posteriormente, se puede extraer cierta cantidad de trabajo del sistema al enfriarlo. Estas
formas de energía relacionadas con el estado interno del cuerpo, más que con su posición o
con su velocidad, constituyen la llamada energía interna. Así como U es una función del
estado del sistema (sólo depende de sus propiedades actuales), Q y W dependen del proceso
entre el estado inicial y el estado final, aunque su suma sólo depende del inicio y el fin del
proceso.
Hay muchos tipos de trabajo: mecánico, químico, eléctrico, magnético, superficial, etc.
Aquí consideraremos solamente el trabajo mecánico de compresión o expansión de un fluido,
que viene dado por
dW = – p dV
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FÍSICA MATEMÁTICA
con p la presión y dV la variación de volumen del sistema (negativa en la compresión,
ya que en este caso disminuye el volumen del sistema, y positiva en la expansión).
Dilatación Térmica
a) El coeficiente de dilatación lineal  expresa la variación relativa de la longitud con la
temperatura
𝛼=
1 ∆𝐿
𝐿𝑜 ∆𝑡
donde L denota la longitud y t la temperatura. La dilatación podrá escribirse en la forma
ΔL = Lf - Lo = α Lo Δt
EL CALOR
Vista la medida de la temperatura, queda la medida del calor. En muchos casos, el suministro
de calor a un sistema produce un aumento de su temperatura, y se puede relacionar éste con
la cantidad de calor proporcionada. Se define calor específico como el calor que debe
suministrarse a una cantidad determinada de sustancia (un gramo, un mol) para que su
temperatura aumente un grado. Esta magnitud física depende del material de que se trate. El
calor específico c, la masa del sistema m y la variación de temperatura T se relacionan con
el calor suministrado Q mediante la expresión
Q = m c T
(En el caso de los gases hay que especificar si el calentamiento se realiza a presión
constante o a volumen constante.) En otras ocasiones, el calor suministrado no produce un
aumento de temperatura, sino un cambio de fase (paso de sólido a líquido, de líquido a gas,
etc.). Dichos cambios se producen, en general, a una temperatura bien determinada
(temperatura de fusión, de ebullición, etc.). Se define calor latente como la cantidad de calor
que se ha de suministrar a un gramo (o un mol) de sustancia para que ésta cambie totalmente
de fase. El calor Q utilizado para ello depende de la cantidad de masa que cambia de fase m
y del calor latente L a través de la relación
Q=Lm
La unidad tradicional de calor es la caloría, que es el calor (cal) que debe suministrarse
a un gramo de agua a 15 °C para aumentar su temperatura un grado Celsius. Una caloría
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FÍSICA MATEMÁTICA
equivale a 4,19 julios, por lo cual en muchas ocasiones se utilizan los julios en lugar de la
caloría como unidad de energía térmica.
TRANSMISIÓN DEL CALOR
En biología presentan especial interés los problemas relacionados con la temperatura corporal
y el metabolismo. Las propiedades de transporte de calor de los materiales biológicos tienen
una gran importancia por sus repercusiones metabólicas. Asimismo, el transporte de calor
desde el Sol hasta la Tierra mediante la radiación electromagnética juega un papel de primer
orden en biología y meteorología.
Hay tres procesos de transporte de calor: a) conducción, b) convección, c) radiación. En
el primer caso, el calor se transporta a través de un medio material, sin movimiento del mismo.
La ley que relaciona la cantidad H de calor transportado por unidad de tiempo desde un cuerpo
a temperatura T1, a otro a temperatura T2, conectados mediante una barra de longitud L y área
transversal A, es
𝐻=
𝑄 𝐾 𝐴 (𝑇1 − 𝑇2 )
=
∆𝑡
𝐿
K es una constante que depende del material y se denomina conductividad térmica.
En el caso de la convección, el material que transporta el calor se mueve, bien de forma
natural como cuando el aire caliente asciende en la atmósfera debido a su menor densidad o
bien de forma forzada cuando se facilita mecánicamente el movimiento del fluido (ventilación).
En estas circunstancias, el calor cedido por unidad de tiempo por un cuerpo de temperatura
T1 a un ambiente de temperatura inferior T2 es
𝐻=
𝑄
= ℎ 𝐴 (𝑇1 − 𝑇2 )
∆𝑡
donde A es el área superficial del cuerpo en contacto con el fluido circundante y h una
constante que en el caso del cuerpo humano rodeado de aire vale h = 1,7 x 10–3 kcal / s m2
K.
El caso de la radiación es bastante diferente. En esta situación, el calor se transmite en
forma de radiación electromagnética y no se necesita ningún medio material intermedio. Este
es el proceso mediante el cual nos llega la energía del Sol a través del espacio exterior. La
ley básica que describe la cantidad de calor H cedida por un cuerpo de área A a temperatura
absoluta T por unidad de tiempo es la ley de Stefan-Boltzmann, según la cual
𝐻=
𝑄
= e σ 𝐴 𝑇4
∆𝑡
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FÍSICA MATEMÁTICA
Aquí σ es una costante universal que vale σ = 5,67 x 10–8 W / m2 K4 y e se denomina
coeficiente de emisividad, comprendido entre 0 y 1, que depende de las propiedades de la
superficie del cuerpo y del material. Los cuerpos para los cuales e = 1 se denominan cuerpos
negros. Este fenómeno de radiación es muy utilizado en medicina (termografía) y en la
industria como método de exploración y diagnóstico. La ley de Stefan-Boltzmann juega un
papel importante en la comprensión del balance térmico de los planetas y en particular en la
Tierra para explicar el balance radiativo de la atmósfera y la superficie terrestre.
Descripción de los sistemas termodinámicos
La Termodinámica clásica divide al Universo en el sistema y el ambiente, separados por una
frontera. Esta visión simplificada permite estudiar la transferencia de energía en el Universo.
En esta Unidad se realizan las principales definiciones y consideraciones que permiten la
descripción de los sistemas termodinámicos.
Descripción termodinámica del universo
La Teoría termodinámica divide al Universo en forma simple considerando como el sistema a
aquella parte del Universo que se encuentra en estudio. El sistema está rodeado por los
alrededores y el límite de separación entre ambos constituye la frontera. Toda comunicación
entre el sistema y los alrededores implica algún tipo de transferencia que se realiza a través
de la frontera. De esta manera, los alrededores no están constituidos por todo el Universo,
sino solamente por aquella parte del mismo que afecta a o se ve afectada por el sistema. La
definición del sistema y de los alrededores constituye el punto de partida para el análisis de
cualquier problema termodinámico. Por ejemplo, consideremos el caso de un recipiente
sumergido en un baño de agua. Si nuestro interés es estudiar la solución contenida en ese
recipiente, entonces esta solución constituye el sistema. Lo que suceda en esta solución podrá
afectar o será afectado por el baño de agua. Por ejemplo, si calentamos el baño, habrá una
transferencia de calor desde el baño hacia la solución a través del vidrio. Por lo tanto, el
recipiente de vidrio constituye la frontera entre el sistema y los alrededores. Si por el contrario
la solución experimenta un aumento de temperatura (por ejemplo, por disolución de un sólido),
entonces la transferencia de calor se producirá desde la solución hacia el baño de agua. La
fracción del Universo que se encuentra por fuera del baño (la mesada del laboratorio, el salón
de clase) no se ve afectado por el sistema, y tampoco afecta al mismo. Por lo tanto, los
alrededores están solamente constituido por el baño, y no por el resto del Universo tal cual lo
entendemos intuitivamente.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Clasificación de los sistemas
Los sistemas se clasifican de acuerdo con la permeabilidad de la frontera al pasaje de materia,
calor o trabajo. Un sistema abierto es aquel en el cual tanto la materia, el calor y el trabajo
pueden pasar libremente. En nuestro ejemplo, basta con que el recipiente esté destapado
para que sea un sistema abierto. Un sistema cerrado posee una frontera que impide el pasaje
de materia pero sí permite el pasaje de calor y trabajo. En nuestro ejemplo, si cerramos el
recipiente podemos impedir que se produzca un pasaje de materia, pero no impediremos que
se de un intercambio de calor y trabajo a través de la frontera. Un sistema adiabático impide
el pasaje de calor y materia, aunque sí permite el pasaje de trabajo. Un ejemplo de este
sistema es un termo, que tiene paredes de un material tal que impide el pasaje de calor a
través del mismo. Finalmente, un sistema aislado impide el pasaje de materia, calor y trabajo.
En la Tabla siguiente se ejemplifican algunos sistemas.
Cada sistema puede ser descrito en función de un pequeño número de variables de
estado o propiedades. Solamente pueden ser clasificados como propiedades aquellas
características del sistema que no dependen de la forma en que fue adquirida. En otras
palabras, una propiedad del sistema no depende de la historia del sistema sino de las
condiciones del mismo en el momento de la medida. Las propiedades pueden ser extensivas
o intensivas. Las propiedades intensivas son aquellas que son propias del sistema, es decir,
si un sistema se divide en dos partes, una propiedad intensiva mantiene el mismo valor en
cada parte que poseía en el total. Por otro lado, una propiedad extensiva es una propiedad
aditiva, de manera que cuando las partes de un todo se unen, se obtiene el valor total. Algunos
ejemplos de propiedades intensivas y extensivas se resumen en la Tabla siguiente.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Estado del sistema
Un sistema se encuentra en estado definido cuando todas sus propiedades poseen valores
específicos. Si a su vez estos valores no cambian con el tiempo, el sistema se dice que está
en equilibrio termodinámico, para el cual no existe un flujo de masa o energía. El equilibrio
termodinámico se establece una vez que el sistema alcanza otro tipo de equilibrios. Cuando
no hay ninguna fuerza sin equilibrar en el sistema y, por consiguiente, no se ejercen fuerzas
entre él y el ambiente que lo rodea, se dice que el sistema se encuentra en equilibrio
mecánico. Si no se cumplen estas condiciones, el sistema sólo o el sistema y su medio
ambiente experimentarán un cambio de estado, que no cesará hasta que se haya restablecido
el equilibrio mecánico. Si un sistema en equilibrio mecánico no tiende a experimentar un
cambio espontáneo en su estructura interna, tal como una reacción química, o la difusión de
materia de una parte del sistema a otro (aunque sea lenta), el sistema se encuentra en
equilibrio químico. Un sistema que no se encuentre en equilibrio químico experimenta un
cambio de estado que, en algunos casos, es extremadamente lento. El cambio cesa cuando
se ha alcanzado el equilibrio químico. Existe un equilibrio térmico cuando no hay cambio
espontáneo en las variables de un sistema en equilibrio mecánico y químico si se le separa
del exterior mediante una pared diatérmica. En el equilibrio térmico, todas las partes del
sistema se encuentran a la misma temperatura, y esta temperatura es igual a la del medio
ambiente. Si estas condiciones no se cumplen, tendrá lugar un cambio de estado hasta
alcanzar el equilibrio térmico. Para el caso en que las propiedades del sistema no cambien
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FÍSICA MATEMÁTICA
con el tiempo, pero igual existe un flujo de materia y/o energía, se dice que el sistema se
encuentra en estado estacionario.
Veamos algunos ejemplos:
1) Una solución de azúcar, a una concentración de 30 g/l a 25°C y 1 Bar de presión, se
encuentra en equilibrio termodinámico.
2) Una suspensión de bacterias en fase de rápido crecimiento a temperatura constante se
encuentra consumiendo oxígeno y desprendiendo CO 2 y H2O. Si las velocidades de
consumo de oxígeno y de producción de CO 2 y H2O son constantes, el sistema se
encuentra en estado estacionario, dado que existe un permanente flujo de materia desde
y hacia las células.
TEMPERATURA- PRESION- VOLUMEN EN GASES
La materia se presenta en tres estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Para
comprender las propiedades que presentan estos estados de agregación, basta considerar a
la materia como formada por partículas discretas que, de acuerdo con las fuerzas que se
producen cuando estas partículas interactúan, determinan el estado de agregación.
La naturaleza de los gases
Los gases constituyen la forma más simple de la materia, y muestran un comportamiento
típico que los caracteriza. Por ejemplo, tienden a llenar completamente el recipiente que los
contiene, lo que demuestra que las partículas en los gases se mueven libremente en el
espacio. Son fácilmente compresibles, lo que indica que existe mucho espacio libre entre las
partículas. Pero la característica más relevante es que ejercen presión, lo que sugiere que se
mueven aleatoriamente, chocando entre sí y contra las paredes del recipiente que los
contiene. De acuerdo con estas características, los gases pueden ser descriptos como una
colección de partículas moviéndose en forma libre y aleatoria, chocando permanentemente
entre ellas y contra las paredes del recipiente que las contiene. Las partículas gaseosas
encerradas en un volumen, moviéndose en forma aleatoria, y ejerciendo presión contra las
paredes del recipiente. Comportamiento de los gases A pesar de su naturaleza caótica, el
comportamiento de los gases no sólo puede estudiarse científicamente, sino que, de hecho,
fue la primera forma de la materia en ser estudiada. Estos estudios dieron lugar a las leyes de
Boyle (1661) y Charles (1787), que describen su comportamiento general. Los gases se
caracterizan por variar sus propiedades físicas con la presión, la temperatura y la cantidad.
Veremos en detalle cada uno de estos factores. La dependencia con la presión Robert Boyle
notó que cuanto mayor es la presión de un gas, menor es su volumen. Por lo tanto, pudo
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FÍSICA MATEMÁTICA
establecer que el volumen es inversamente proporcional a la presión aplicada, si la
temperatura y la cantidad permanecen constantes.
LEY DE BOYLE Y MARIOTTE
La masa de gas realiza la transformación 1–2, que corresponde a una Transformación
Isotérmica (Ley de Boyle y Mariotte), por lo que su expresión será:
T = cte

P1 V1 = P2 V 2
Un gas ideal realiza una Transformación isotérmica (a Temperatura constante) cuando
la presión de la misma está en una relación inversamente proporcional al volumen que ocupa.
LEY DE GAY LUSSAC
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FÍSICA MATEMÁTICA
ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES
Combinando la Ley de Boyle y Mariotte junto con la 1º Ley de Gay - Lussac, obtendremos la
ecuación de estado de los gases ideales que relaciona los tres parámetros P, V y T, de un
estado cualquiera. Para ello supondremos que una masa gas ideal realiza la transformación
1 - 2 en el diagrama P - V, pasando por un estado intermedio A:
Luego la masa de gas realiza la transformación A–2, que es una Transformación
Isobárica (1º Ley de Gay - Lussac), por lo que su expresión será:
(1)
(2)
Si comparamos las expresiones (1) y (2), veremos que VA es el parámetro de estado
común que permite relacionar ambas leyes, así que despejando V A en (1) y (2) e igualándolas,
tenemos:
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89
FÍSICA MATEMÁTICA
Recordando que PA = P2 y luego agrupando los parámetros de estado del mismo
subíndice, llegamos a la ecuación final que relaciona los tres parámetros P, V y T para dos
estados de equilibrio:
(3)
Esta expresión (3) es la Ecuación General de los Gases Ideales y relaciona las leyes de
los gases ideales para transformaciones isotérmicas (T = cte), transformaciones isobáricas (P
= cte) y transformaciones isocóricas (V = cte).
1º Transformación Isotérmica (T = cte) – Ley de Boyle y Mariotte
2º Transformación Isobárica (P = cte) – 1º Ley de Gay – Lussac
3º Transformación Isocórica (V = cte) – 2º Ley de Gay – Lussac
Pero también nos dice que para un estado de equilibrio cualquiera 3 la expresión (3)
sería una constante, es decir:
(4)
La expresión (4) podemos generalizarla para un estado de equilibrio cualquiera como:
(5)
Para determinar el valor de la constante de la expresión (5) consideraremos 1 mol de
gas ideal en un estado de equilibrio particular medido en un laboratorio en Condiciones
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90
FÍSICA MATEMÁTICA
Normales de Presión y Temperatura (CNPT). Las CNPT se definen a la presión P = 1
atmósfera y a la temperatura T = 273 K (0 ºC). Según con la Hipótesis de Avogadro 1 mol de
gas ideal contiene 6,023 x 1023 moléculas, que en CNPT ocupan un volumen de 22,4 litros,
en consecuencia:
(6)
El valor de R = 0,082 (l atm / K mol) se denomina Constante Universal de los Gases
Ideales. El hecho de que R sea la misma para todos los gases, resulta de la Hipótesis de
Avogadro que se puede enunciar diciendo que:
“Volúmenes iguales de gases diferentes a iguales presiones y temperaturas, contienen
igual número de moléculas, o sea el Número de Avogadro = 6,023 1023 moléculas”.
Por lo tanto la expresión (6) como está referida para un volumen V´ de un mol de gas
ideal, podemos escribirla como:
(7)
Pero si tenemos n moles de gas, que ocupan un volumen V, y siendo V = nV´,
obtendremos una expresión más general de la Ecuación General de los Gases Ideales:
(8)
Ecuación de estado
A partir de la Ecuación General de los Gases Ideales (8), podemos obtener una ecuación que
pueda medir el estado particular de un tipo de gas ideal, para un estado de equilibrio
cualquiera. Recordando que el número de moles de un gas es el cociente entre la masa del
gas y su peso molecular:
(9)
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91
FÍSICA MATEMÁTICA
Reemplazando la ecuación (9) en (8) tendremos:
(10)
Pero el cociente de la constante universal R y el peso molecular PM se denomina
Constante Particular del gas Rp:
(11)
que se corresponde a un sistema constituido por una masa de gas determinado, siendo
este valor de Rp tabulado para los distintos gases, por lo que reemplazando en (11)
obtenemos:
(12)
Esta última expresión constituye la Ecuación de Estado para gases ideales.
En la siguiente figura se ha representado un gas encerrado en un recipiente y las
variables termodinámicas que describen su estado.
Cuando un sistema se encuentra en equilibrio, las variables termodinámicas están
relacionadas mediante una ecuación denominada ecuación de estado.
Función de estado
Una función de estado es una propiedad de un sistema termodinámico que depende sólo
del estado del sistema, y no de la forma en que el sistema llegó a dicho estado. Por ejemplo,
la energía interna y la entropía son funciones de estado.
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92
FÍSICA MATEMÁTICA
El calor y el trabajo no son funciones de estado, ya que su valor depende del tipo
de transformación que experimenta un sistema desde su estado inicial a su estado final.
Las funciones de estado pueden verse como propiedades del sistema, mientras que las
funciones que no son de estado representan procesos en los que las funciones de estado
varían.
ELECTROSTATICA
La fuerza electromagnética es la interacción que se da entre cuerpos que poseen carga
eléctrica. Es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza. Cuando las cargas
están en reposo, la interacción entre ellas se denomina fuerza electrostática. Dependiendo
del signo de las cargas que interaccionan, la fuerza electrostática puede ser atractiva o
repulsiva. La interacción entre cargas en movimiento da lugar a los fenómenos magnéticos.
Históricamente los fenómenos eléctricos y magnéticos se descubrieron y estudiaron de
forma independiente, hasta que en 1861 James Clerk Maxwell unificó todos ellos en las cuatro
ecuaciones que llevan su nombre. Por simplicidad, en estas páginas trataremos por separado
los fenómenos eléctricos y magnéticos.
En el Sistema Internacional, la unidad de carga eléctrica es el Culombio (C). Un
Culombio es la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor
eléctrico en un segundo, cuando la corriente eléctrica es de un Ampere.
La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que poseen algunas
partículas subatómicas. Esta carga puede ser positiva o negativa. Todos los átomos están
formados por protones (de carga positiva) y electrones (de carga negativa). En general, los
átomos son neutros, es decir, tienen el mismo número de electrones que de protones. Cuando
un cuerpo está cargado, los átomos que lo constituyen tienen un defecto o un exceso de
electrones.
La carga eléctrica es discreta, y la unidad elemental de carga es la que porta un electrón.
En el Sistema Internacional, la carga del electrón es:
e = - 1,602 x 10 – 19 C
La carga del electrón es una constante física fundamental. El protón tiene la misma
cantidad de carga que un electrón pero con signo opuesto.
La carga eléctrica está cuantizada, por lo que, cuando un objeto (o partícula, a excepción
de los quarks) está cargado, su carga es un múltiplo entero de la carga del electrón.
El concepto de electrón (carga elemental indivisible) fue introducido en el siglo XIX para
explicar las propiedades químicas de los átomos. Desde entonces hasta principios del siglo
XX se propusieron distintos modelos atómicos. Tanto en el modelo de Rutherford como en el
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FÍSICA MATEMÁTICA
de Bohr, los electrones son partículas que giran en torno al núcleo, por lo que el átomo es un
sistema solar en miniatura.
Con el descubrimiento de la mecánica cuántica se desarrolló una ecuación (la ecuación
de Schrödinger, equivalente a la segunda ley de Newton en Mecánica Clásica) que permite
calcular la función de onda asociada a un electrón. Éste ya no es una partícula con una
posición bien definida, sino que lo que podemos determinar es la probabilidad de encontrar
un electrón cerca de una cierta posición r del espacio. Esta probabilidad es el cuadrado de la
función de onda.
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger están cuantizadas, dependiendo sus
soluciones de una serie de números cuánticos relacionados con su energía, con su momento
angular y con su spin.
En la siguiente figura está representado el orbital 1s de un electrón en el átomo de
hidrógeno, que es su estado de más baja energía, denominado estado fundamental:
A lo largo de estas páginas trataremos los fenómenos asociados a dos tipos de objetos
cargados: cargas puntuales y distribuciones continuas de carga.

Una carga puntual es una carga eléctrica localizada en un punto sin dimensiones. Este
concepto es una idealización, y resultará muy útil a la hora de estudiar los fenómenos
eléctricos.

Una distribución continua de carga es un objeto cargado cuyas dimensiones no son
despreciables. Los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de carga son más
complicados de analizar, aunque trataremos algunos sistemas sencillos.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Fuerza electrostática. Energía potencial
Sean las dos cargas puntuales q1 y q separadas una distancia r, que se encuentran en reposo
con respecto al origen O del sistema de referencia inercial. La fuerza que la carga q1 ejerce
sobre q se denomina fuerza electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:
𝐹⃗ =
𝐾=
𝐾 𝑞1 𝑞2
𝑟̂
𝑟2
1
𝑁𝑚2
= 9 𝑥 109
4 𝜋 𝜖𝑜
𝐶2
;
𝜖𝑜 = 8,854
𝐶2
𝑁𝑚2
donde K es una constante denominada constante electrostática que depende del medio
y ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.
El vector 𝑟̂ es un vector unitario que va desde la carga q1 a la carga q2 de modo que
cuando ambas cargas tienen distinto signo (figura (a)) la fuerza electrostática es de atracción,
mientras que si tienen el mismo signo la fuerza electrostática es de repulsión (figura (b)).
Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina carga fuente a la carga
que ejerce la fuerza (en este caso q1) y carga testigo o carga de prueba a la carga sobre la
que se calcula la fuerza (q2).
La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo que la carga q1
experimentará una fuerza de igual módulo y sentido contrario que la que experimenta q2.
Si la carga q1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales, la fuerza total sobre
ella sería la resultante de todas las fuerzas que ejercen sobre ella las N cargas.
Energía potencial electrostática
La ley de Coulomb es formalmente igual a la ley de Gravitación Universal de Newton, que
permite calcular la fuerza de atracción entre dos masas. Al igual que esta última, la fuerza
electrostática dada por la ley de Coulomb es una fuerza conservativa. Por tanto, el trabajo es
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FÍSICA MATEMÁTICA
independiente de la trayectoria y se puede calcular a partir de una función escalar
denominada energía potencia electrostática U.
Supongamos que bajo la acción de la fuerza electrostática la carga de prueba q2 se
desplaza desde un punto A a un punto B, entonces el trabajo W realizado por la fuerza
electrostática es:
WAB = - U = - (UB – UA) = UA – UB
Cuando se encuentra bajo la única acción de la fuerza electrostática la carga de prueba se
moverá siempre en el sentido en el que disminuye su energía potencial (UA > UB); de este
modo el trabajo de la fuerza es positivo, es decir, corresponde a una fuerza que va en el
mismo sentido del movimiento.
Por otra parte, si aplicamos la definición de trabajo a la fuerza electrostática expresando
ésta a partir de la Ley de Coulomb, se obtiene:
𝐴
𝐴
𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹⃗12 𝑑𝑟⃗ = ∫
𝐴
𝐴
𝑟𝐵
𝐾 𝑞1 𝑞2
𝐾 𝑞1 𝑞2
𝑟̂
𝑑
𝑟
𝑟̂
=
∫
𝑑𝑟
2
𝑟
𝑟2
𝑟𝐴
Integrando:
𝑊𝐴𝐵 =
𝐾 𝑞1 𝑞2 𝐾 𝑞1 𝑞2
−
= 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵
𝑟𝐴
𝑟𝐵
lo que, comparando con la expresión inicial para el trabajo, nos permite identificar la
variación de energía potencial.
De forma general se toma como origen para la energía potencial el infinito, de modo que
cuando la distancia entre las dos cargas es infinita, la energía potencial entre ambas es nula.
Por tanto, la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales q1 y q2 que están
separadas una distancia r es:
𝑈=
𝐾 𝑞1 𝑞2
𝑟
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FÍSICA MATEMÁTICA
Cuando una carga q se encuentra en presencia de N cargas puntuales, la energía
potencial total se calcula a partir de la sumatoria:
𝑁
𝑈=∑
𝑖=1
𝐾 𝑞 𝑞𝑖
𝑟𝑖
ELECTROCINETICA
CORRIENTE ELÉCTRICA
Cuando sobre un conductor se aplica un campo eléctrico, las cargas experimentan una fuerza
y por tanto están en movimiento. La corriente eléctrica es el flujo de estas cargas en
movimiento a través del conductor.
La intensidad de corriente eléctrica I se define como la cantidad de carga eléctrica Q
(medida en Culombios) que atraviesa una sección de un conductor en cada unidad de tiempo.
Es una magnitud escalar:
𝐼=
𝑄
∆𝑡
La unidad de corriente eléctrica en el Sistema Internacional es el Ampere (A).
La carga eléctrica que está en movimiento en el conductor bajo la acción del campo
eléctrico son los electrones libres. Estos electrones, experimentan una fuerza dada por la
ecuación:
𝐹⃗ = 𝑞 𝐸⃗⃗
El vector fuerza que actúa sobre los electrones tiene sentido contrario al del vector
campo eléctrico. Sin embargo, históricamente se creía que la corriente eléctrica estaba
producida por el movimiento de las cargas positivas, y por ello se adoptó como sentido de la
corriente eléctrica el contrario al que en realidad llevan los electrones. Esta convención sigue
manteniéndose en nuestros días.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Los electrones (portadores de carga), tienen en la red cristalina un movimiento aleatorio. Sin
embargo, debido al campo eléctrico externo, su movimiento no es completamente aleatorio
sino que se desplazan también en la dirección del campo eléctrico y sentido contrario. La
velocidad a la que lo hacen se denomina velocidad de desplazamiento vd. Esta velocidad de
desplazamiento es muy pequeña, del orden de 1 mm/s.
Se puede demostrar que, si por el hilo conductor circulan n cargas q por unidad de volumen,
la intensidad de corriente viene dada por:
𝐼 = 𝑞 𝑛 𝑣𝑑 𝐴
Los metales pueden conducir la corriente. Cuando se conecta una pila entre las 2 puntas
de un cable, la pila obliga a estos electrones a moverse. La pila provoca la aparición de la
corriente eléctrica.
EJEMPLOS
- Se tienen dos cargas puntuales: q 1 = 5 nC en el punto de coordenadas (a;a) y
q2 = - 5 nC en el punto de coordenadas (-a; -a) (en metros).
a. Hacer un esquema de las cargas y dibujar el vector campo eléctrico en los puntos de
coordenadas (-a;a) y (a;-a).
b. Sabiendo que en el punto (-a;a) una carga q0 = 4 nC experimenta una fuerza dada
por F = - 5 x 10-9 i - 5 x 10-9 j (N), determinar el valor de a.
c. Calcular el potencial creado por q 1 y q2 en los puntos (0;0) y (a;0), tomando como valor
de a el calculado en el apartado anterior.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM
Supongamos un filamento de un material conductor. Al aplicar entre sus extremos una
diferencia de potencial ∆V circula por él una corriente eléctrica de intensidad I (carga que
atraviesa el filamento por unidad de tiempo).
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FÍSICA MATEMÁTICA
Cuando dicho material es un metal, y en otros muchos casos, se observa que la
diferencia de potencial ∆V que se debe aplicar para que circule una intensidad I es
proporcional a dicha intensidad; es decir,
ΔV = RI
La constante de proporcionalidad R se denomina resistencia, y depende del material y
de la forma del conductor pero no de la intensidad. Esta ley es la famosa ley de Ohm, básica
en el análisis de circuitos. Se ha de tener presente que dicha ley no tiene una validez universal,
ya que no vale, por ejemplo, para semiconductores, ni para los canales de sodio o de potasio
en las membranas celulares. En estos últimos casos, la resistencia depende de la diferencia
de potencial.
La resistencia R, es la mayor o menor dificultad que opone un conductor al paso de la
corriente eléctrica.
La resistencia de un conductor depende de las características del material, es decir, de
su resistividad, así como de la longitud y la sección del conductor.
En un hilo metálico de área transversal A y longitud l, la resistencia viene dada por la
expresión
𝑅=
𝜌𝑙
𝐴
donde R es la resistencia y su unidad es el ohmio (Ω), ρ es la resistividad del material y
se mide en Ω/m, l la longitud del hilo conductor (m) y A la sección del hilo conductor (m 2).
La resistividad ρ es característica del material y de la temperatura. En el estudio de las
disoluciones electrolíticas es más usual la conductividad σ, que es la inversa de la resistividad,
y que depende de la viscosidad del disolvente, de la temperatura y del tipo de iones del
electrólito. Así, tendremos
𝑅=
𝑙
𝜎𝐴

𝜎=
1
𝜌
Se acostumbra a utilizar también, en lugar de la resistencia, su inversa, que recibe el
nombre de conductancia.
Ejemplo
Cuando se introducen en una disolución de KCl dos láminas de 5 cm 2 de área,
separadas 2,5 cm, y se establece entre ellas una diferencia de potencial de 50 V, circula una
corriente de 1,2 mA. Calcular la conductividad del electrolito.
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FÍSICA MATEMÁTICA
En el caso que consideramos, la ley de Ohm permite calcular R y con ello la
conductividad:
𝜎=
𝑙
𝑅𝐴
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 =
𝑉
𝐼
𝜎=
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝐼𝑙
𝑉𝐴
En nuestro caso reemplazando queda:
σ = 1, 2 x 10-3 1/Ωm
La medida de la conductividad, de gran interés experimental, se ve frecuentemente
complicada por efectos eléctricos o químicos en las placas.
Símbolos eléctricos
Cuando dibujamos planos eléctricos, para representar los diferentes elementos que
componen nuestro circuito no usamos un dibujo realista del él -esto sería lento y costoso-; en
su lugar empleamos una seria de símbolos que ayudan a que el plano se realice de forma
más rápida y además evita que los dibujos se malinterpreten independientemente de dónde
se lea el plano.
Usaremos los siguientes símbolos:
Generador
símbolo
general
Se usa cuando no se sabe qué tipo de
corriente alimenta el circuito.
Generador
corriente
alterna
Se usa cuando la corriente en el circuito es
alterna.
Generadores Generador
corriente
continua
Se usa cuando la corriente en el circuito es
continua sin especificar el tipo de fuente.
Pila
La alimentación es una pila.
Batería
La alimentación es una batería.
Bombilla/lámpara
Bombilla. Un número a su lado
indica el valor de la resistencia.
Motor
Motor eléctrico de corriente
continua.
Receptores
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FÍSICA MATEMÁTICA
Resistencia
Puede ser una resistencia o un
receptor cualquiera.
Resistencia (2)
Otra forma de representar la
resistencia.
Diodo LED
No es un elemento eléctrico sino
electrónico. Es similar a una
bombilla de color.
Interruptor
Permite cerrar o abrir el paso de la
corriente en el circuito.
Conmutador
Permite dirigir el paso de la
corriente entre dos ramas
diferentes de un circuito.
Pulsador NA
(Normalmente Abierto) permite
cerrar el circuito mientras se
mantiene pulsado.
Pulsador NC
(Normalmente Cerrado) permite
abrir el circuito mientras se
mantiene pulsado.
Elementos de
maniobra
Circuitos en serie
En un circuito en serie los receptores están instalados uno a continuación de otro en la línea
eléctrica, de tal forma que la corriente que atraviesa el primero de ellos será la misma que la
que atraviesa el último. Para instalar un nuevo elemento en serie en un circuito tendremos
que cortar el cable y cada uno de los terminales generados conectarlos al receptor.
Circuito en paralelo
En un circuito en paralelo cada receptor conectado a la fuente de alimentación lo está de
forma independiente al resto; cada uno tiene su propia línea, aunque haya parte de esa línea
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101
FÍSICA MATEMÁTICA
que sea común a todos. Para conectar un nuevo receptor en paralelo, añadiremos una nueva
línea conectada a los terminales de las líneas que ya hay en el circuito.
Caída de tensión en un receptor
Aparece un concepto nuevo ligado a la tensión. Cuando tenemos más de un receptor
conectado en serie en un circuito, si medimos los voltios en los extremos de cada uno de los
receptores podemos ver que la medida no es la misma si aquellos tienen resistencias
diferentes. La medida de los voltios en los extremos de cada receptor la llamamos caída de
tensión.
La corriente en los circuitos serie y paralelo
Una manera muy rápida de distinguir un circuito en serie, de otro en paralelo consiste en
imaginar la circulación de los electrones a través de uno de los receptores: si para regresen a
la pila atravesando el receptor, los electrones tienen que atravesar otro receptor, el circuito
está en serie; si los electrones llegan atravesando sólo el receptor seleccionado, el circuito
está en paralelo
Características de los circuitos serie y paralelo
Serie
Resistencia
Aumenta al incorporar receptores
Paralelo
Disminuye al incorporar
receptores
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FÍSICA MATEMÁTICA
Caída de
tensión
Cada receptor tiene la suya, que
aumenta con su resistencia.
La suma de todas las caídas es
igual a la tensión de la pila.
Intensidad
Cada receptor es atravesado
por una corriente independiente,
menor cuanto mayor
Es la misma en todos los receptores
resistencia.
e igual a la general en el circuito.
La intensidad total es la suma
Cuantos más receptores, menor
de las intensidades individuales.
será la corriente que circule.
Será, pues, mayor cuanto más
receptores tengamos en el
circuito.
Es la misma para cada uno de
los receptores, e igual a la de la
fuente.
Cálculos
Ejemplo 1:
En el circuito de la figura sabemos que la pila es de 4,5 V, y las lámparas tienen una
resistencia de R1= 60 Ω y R2= 30 Ω. Se pide:
1. Dibujar el esquema del circuito;
2. calcular la resistencia total o equivalente del circuito, la intensidad de corriente que
circulará por él cuando se cierre el interruptor y las caídas de tensión en cada una de las
bombillas.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Efectos fisiológicos de la corriente eléctrica
Para que la electricidad produzca algún efecto en el organismo, este debe entrar a formar
parte de un circuito eléctrico. Para que circule una corriente eléctrica tienen que existir cuando
menos dos conexiones entre el cuerpo y una fuente de tensión externa. La magnitud de la
corriente depende de la diferencia de potencial entre las conexiones y la resistencia eléctrica
del cuerpo. La mayor parte de los tejidos del cuerpo contienen un elevado porcentaje de agua;
en consecuencia resulta un aceptablemente buen conductor eléctrico. La parte del organismo
que se sitúe entre los dos puntos de contacto eléctrico constituye un conductor volumétrico
no homogéneo, en el cual la distribución del flujo de corriente viene determinada por la
conductividad local del tejido. Cuando la corriente es aplicada al tejido vivo, a través de un par
de electrodos, la distribución espacial de esta es virtualmente desconocida, a causa de las
diferentes resistividades de los tejidos y fluidos y de sus arreglos particulares. No existe un
método simple para realizar mediciones exactas de distribución de la densidad de corriente
en tejido anisotrópico. Los tejidos vivos poseen diferentes propiedades eléctricas en
direcciones diferentes; por lo que, una exacta especificación de la distribución local de
corriente, se necesita del conocimiento de la resistividad y gradiente de voltaje a lo largo de
los tres ejes. La medición práctica de estas cantidades es una tarea formidable, nada fácil, no
obstante puede hacerse una estimación basada en la resistividad de varios tejidos y fluidos.
Por otra parte muchas muestras biológicas, reportadas en la literatura, se han medido sin
tener en cuenta suficientemente, los errores debido a la polarización de los electrodos.
Debemos apuntar además que el tejido sin vida presenta una resistividad menor que el tejido
vivo.
La Tabla lista algunos valores representativos de resistividad.
Sustancia
Resistividad [ Ω/ cm ]
Plasma
63
Fluido de la espina cerebral
65
Pulmón
1275
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FÍSICA MATEMÁTICA
Riñón
370
Cerebro
580
Grasa
2500
Valores representativos de resistividad. El efecto de la densidad de corriente sobre los
tejidos y fluidos no ha sido suficientemente investigado. La mayoría de los fluidos del cuerpo
no son simples electrolitos, si no, suspensiones de células y grandes moléculas. La magnitud
en la cual estos fluidos y sus componentes son afectados por la corriente, aún deben ser
investigados en mayor detalle y profundidad. Las corrientes de estimulación se emplean
durante el diagnóstico para comprobar el comportamiento de los músculos y los nervios. La
estimulación de corriente se usa principalmente para tratar enfermedades de músculos
esqueléticos, desorden del flujo sanguíneo y dolores de causas diversas. Algunas formas
especiales de tratamiento incluyen los electroshock usados en psiquiatría y la combinación de
corrientes de estimulación con ultrasonido. En el sentido más amplio, la terapia con
estimulación de corriente debe incluir los circuitos marcapasos y desfibriladores. Han sido
áreas de investigación en los últimos años la estimulación con frecuencia medias en nervios,
músculos lisos y el desarrollo de nuevas posibilidades de aplicación, como por ejemplo el
tratamiento de espasmos.
Terapia con estimulación de corriente
Tratamiento con corriente directa (galvanización). La corriente directa fluyendo a través del
cuerpo efectúa un cambio en el ordenamiento iónico. Los efectos básicos así producidos son:
Electrólisis. El cuerpo es un conductor de segundo orden. La corriente es iónica. Así la
migración de iónes es el efecto básico de la así llamada galvanización.
Electroforésis. Moléculas orgánicas no-disociadas, células individuales, bacterias, etc.
tienen cargas de frontera positiva y van hacia al cátodo (catodoforésis).
Electroósmosis. En sistemas que contienen cargas superficiales en que, las moléculas
asociadas están localmente fijas, puede ocurrir un corrimiento de fluido a través de las
membranas. Al conectar y desconectar la corriente esta debe cambiar de valor suavemente a
fin de evitar efectos de estimulación motores o sensoriales. Su magnitud dependerá de la
sensibilidad individual y también del área de contacto de los electrodos (50-200 µA/cm2). El
tratamiento con corriente directa tiene efectos sobre las fibras motoras, manifestándose en un
crecimiento de la excitabilidad a los estímulos exógenos y endógenos. El efecto ocurre en la
región del cátodo. Así mismo hay efecto sobre las fibras nerviosas sensoriales, reduciendo su
excitabilidad, particularmente en el mejoramiento del dolor. Este efecto ocurre en la región del
ánodo. El efecto en las fibras nerviosas vaso motoras es el principal campo de aplicación de
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105
FÍSICA MATEMÁTICA
la galvanización, consistente en un aumento del flujo de sangre a causa de la vaso dilatación.
Este efecto se manifiesta en las regiones superficiales y profundas (piel y músculos). Otra
aplicación demostrada es el transporte de drogas a regiones profundas a través de la piel
intacta. No obstante este método no es de uso generalizado debido a que establecer la
apropiada dosificación es un problema, por los efectos lógicos de una combinación de droga
más estímulo eléctrico ambos insuficientemente estudiados.
Ejercicios
1. Encontrar la resistencia total del siguiente circuito:
El voltaje de la resistencia R1 es:
por lo tanto la resistencia R2 tiene un voltaje de 6 V, como podemos ver:
también debemos considerar que la corriente en un circuito en serie, como lo es
esté, por lo que la corriente en la resistencia R1 es la misma que la de R2 y por tanto:
Por último la resistencia total de las resistencias del circuito son:
2. Encontrar el voltaje de la fuente del diagrama siguiente:
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FÍSICA MATEMÁTICA
Solución: De manera inmediata podemos determinar que por tratarse de un circuito serie
la intensidad de la corriente es la misma en todos sus elementos. Por otro lado conocemos el
valor de las resistencias, no así el de la pila del cual no será considerada en este ejercicio, y
por tanto podemos obtener directamente el voltaje total del las componentes.
V1 = I R1 = 500 mA 1 = 500 mV
V2 = I R2 = 500 mA 1 = 500 mV
V3 = I R3 = 500 mA 1 = 500 mV
entonces el voltaje total de la fuente es igual a:
3. Demostrar que para un circuito en paralelo de dos resistencias la resistencia total es igual
a:
Solución. Sabemos que para un circuito en paralelo la resistencia total es igual a:
si solo tenemos dos resistencias tendremos:
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107
FÍSICA MATEMÁTICA
la expresión demostrada es una expresión clásica para encontrar la relación entre dos
resistencias en paralelo, al menos es una expresión nemotécnica fácil de recordar.
4. Se tienen los siguientes datos para el circuito mostrado
a) Encontrar el voltaje de la fuente
b) Encontrar la corriente administrada por la fuente
a) El voltaje en cada una de las resistencias es igual al voltaje total, es decir el de la
fuente. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje total calculando el voltaje en una de las
resistencias, en este caso, el que podemos calcular es el de la resistencia R1:
b) Para calcular la corriente de la fuente lo podemos hacer de dos formas:
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FÍSICA MATEMÁTICA
1er Método
Para el caso de las corrientes en las otras resistencias tendremos:
2º Método
Calculemos la resistencia total:
la corriente total es igual a:
Un potencial de acción, también llamado impulso eléctrico, es una onda de descarga
eléctrica que viaja a lo largo de la membrana celular modificando su distribución de carga
eléctrica. Los potenciales de acción se utilizan en el cuerpo para llevar información entre unos
tejidos y otros, lo que hace que sean una característica microscópica esencial para la vida de
los seres vivos. Pueden generarse por diversos tipos de células corporales, pero las más
activas en su uso son las células del sistema nervioso para enviar mensajes entre células
nerviosas (sinapsis) o desde células nerviosas a otros tejidos corporales, como el músculo o
las glándulas.
Muchas plantas también generan potenciales de acción que viajan a través
del floema para coordinar su actividad. La principal diferencia entre los potenciales de acción
de animales y plantas es que las plantas utilizan flujos de potasio y calcio mientras que los
animales utilizan potasio y sodio.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Los potenciales de acción son la vía fundamental de transmisión de códigosneurales.
Sus propiedades pueden frenar el tamaño de cuerpos en desarrollo y permitir el control y
coordinación centralizados de órganos y tejidos.
Modelo del circuito
A. Un circuito básico RC (resistencia/condensador) superpuesto sobre una membrana bicapa,
muestra la relación entre ambos. B. Se pueden utilizar circuitos más elaborados para
representar modelos de membranas con canales iónicos, como este ejemplo con canales de
sodio (azul) y potasio (verde).
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FÍSICA MATEMÁTICA
Las membranas celulares con canales iónicos pueden representarse con un modelo de
circuito RC para entender mejor la propagación de potenciales de acción en membranas
biológicas. En estos circuitos, la resistencia representa los canales iónicos de membrana,
mientras que el condensador representa el aislamiento de la membrana lipídica. Los
potenciómetros indican los canales iónicos regulados por voltaje, ya que su valor cambia con
el voltaje. Una resistencia de valor fijo representa los canales de potasio que mantienen el
potencial de reposo. Los gradientes de sodio y potasio se indican en el modelo como fuentes
de voltaje (pila).
Propagación
En los axones amielínicos, los potenciales de acción se propagan como una interacción pasiva
entre la despolarización que se desplaza por la membrana y los canales de sodio regulados
por voltaje.
Los potenciales de acción de membrana pueden representarse uniendo varios circuitos RC,
cada uno representando un trozo de membrana.
Cuando una parte de la membrana celular se despolariza lo suficiente como para que
se abran los canales de sodio dependientes de voltaje, los iones de sodio entran en la célula
por difusión facilitada. Una vez dentro, los iones positivos de sodio impulsan los iones
próximos a lo largo del axón por repulsión electrostática, y atraen los iones negativos desde
la membrana adyacente.
Como resultado, una corriente positiva se desplaza a lo largo del axón, sin que ningún
ion se esté desplazando muy rápido. Una vez que la membrana adyacente está
suficientemente despolarizada, sus canales de sodio dependientes de voltaje se abren,
realimentando el ciclo. El proceso se repite a lo largo del axón, generándose un nuevo
potencial de acción en cada segmento de la membrana.
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111
FÍSICA MATEMÁTICA
Velocidad de propagación
Los potenciales de acción se propagan más rápido en axones de mayor diámetro, si los demás
parámetros se mantienen. La principal razón para que ocurra es que la resistencia axial de la
luz del axón es menor cuanto mayor sea el diámetro, debido a la mayor relación
entre superficie total y superficie de membrana en un corte transversal. Como la superficie de
la membrana es el obstáculo principal para la propagación del potencial en axones
amielínicos, el incremento de esta tasa es una forma especialmente efectiva de incrementar
la velocidad de la transmisión.
Un ejemplo de un animal que utiliza el aumento de diámetro de axón como regulador de
la velocidad de propagación del potencial de membrana es el calamar gigante. El axón del
calamar gigante controla la contracción muscular asociada con la respuesta de
evasión de depredadores del animal. Este axón puede sobrepasar 1 mm de diámetro, y
posiblemente sea una adaptación para permitir una activación muy rápida del mecanismo de
escape. La velocidad de los impulsos nerviosos en estas fibras es una de las más rápidas de
la naturaleza, para los que poseen neuronas amielínicas.
ÓPTICA
Qué son las ondas
Conceptualmente: una onda es el movimiento de una perturbación, una señal, o de una
cantidad de energía, o de cualquier cosa que no sea materia. Un ejemplo de esto sería la
conocida ola en la tribuna de un espectáculo deportivo. Observemos el siguiente esquema:
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112
FÍSICA MATEMÁTICA
Cada
renglón
representa la misma fila de la tribuna vista a intervalos de tiempo regulares. Los mismos 23
espectadores sentados en una fila de la tribuna. Uno de ellos, un niño, está pintado de rojo para
usarlo como referencia
.
Estaban todos sentados, como se observa en el renglón de arriba. Pero pasa la ola, y unos
espectadores se paran y saludan... luego se paran los de al lado mientras los primeros se vuelven
a sentar... y así.
Se observa que el niño, que estaba sentado en el lugar 12 sigue siempre ahí... no cambia su
posición.
De modo que aquí tenemos algo que viaja de izquierda a derecha, una señal, una perturbación o
lo que sea... pero que no es materia (en este caso representada por la gente que no modifica su
posición).
Las olas en el agua también son ondas. Hay dos ondas muy conocidas en la física: la luz y el
sonido; en ellas también hay algo que viaja, pero que no es materia.
A partir de ahora debemos estar muy atentos, porque las ondas se describen típicamente con dos
gráficos muy parecidos, pero que muestran cosas absolutamente diferentes.
Perturbación en función de la posición
Volvamos al ejemplo de la ola, pero supongamos que en lugar de tener una fila de 23
espectadores, son millones y, además, diminutos. Lo más práctico para representar esa fila es
con una línea llena.
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113
FÍSICA MATEMÁTICA
Ahora la línea llena representa a los millones de espectadores de la fila (el rojo marca la posición
en que estaba el niño). En las ordenadas (y) se indica la perturbación, que en nuestro caso podría
ser cuánto ascienden las cabezas; y en abscisas (x) las posiciones de todos los espectadores. Este
gráfico es una instantánea de la fila. En el ejemplo que graficamos arriba, podría ser la foto
del cuarto renglón, sacada inmediatamente después de que la ola abandonó al niño.
Perturbación en función del tiempo
Este gráfico, en cambio, nos muestra toda la secuencia de la ola, pero referida para un solo
espectador, es decir para una sola partícula material.
Las ordenadas representan lo mismo que en el anterior... pero las abscisas nos indican el
transcurrir del tiempo. En nuestro ejemplo, podría tratarse del gráfico que muestra la
perturbación del espectador que está al lado del niño. Observamos: desde el comienzo de la ola
hasta un rato largo después, casi llegando a la mitad de la secuencia, el espectador permanece
sentado. Cuando la ola pasa el hombre se para. Al toque se sienta y así vuelve a quedar, sentado,
hasta que la ola
termina.
¿Ahora
se
entiende
porque los dos
gráficos
representan
cosas
totalmente
diferentes?
Bien, la única diferencia que vamos a encontrar en los ejercicios es el nombre de la variable en
las abscisas, x o t.
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS ONDAS

La velocidad con la que avanzan las ondas recibe el nombre de velocidad de
propagación.

La velocidad de propagación de las ondas depende del medio en que se propagan...
luego, si el medio es uniforme y no cambia, la velocidad de propagación de las ondas
será constante, lo cual representa la situación más común en la física.

Cuando las ondas viajan en un plano o en un volumen, y no en una línea (como en los
ejemplos dados), suelen viajar todas juntas. Ese avance conjunto genera una propiedad
muy llamativa denominado frente de onda. Si en el ejemplo de la tribuna tomamos
cuatro o cinco filas en lugar de una sola, entonces el fenómeno es más visual ya que
no es uno el que se levanta en cada momento sino que son cuatro o cinco,
simultáneamente, uno en cada fila ¡y en la misma columna!
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FÍSICA MATEMÁTICA

En suma, se puede decir que una onda es un
fenómeno de contagio; se reproduce si y sólo
si una partícula material que fue contagiada por
su vecina (para que le ocurra algo) es capaz de
contagiar a su vez a la vecina del otro lado para
que repita su acción un instante después, como
las fichas de dominó que se muestra en la
figura.

El impulso nervioso es una onda bastante compleja... pero se trata inequívocamente
del contagio de cierre y apertura de canales acomodados en la membrana de las células.
Ahí los espectadores son los canales.
Ondas transversales y longitudinales
Observamos que la velocidad de avance o de propagación de una onda define una dirección, y
el movimiento de las partículas materiales, otra. Entonces puede ocurrir que las partículas se
muevan en una dirección transversal a la de propagación... en ese caso decimos que estamos
frente a una onda transversal.
Ese es, justamente, el caso de nuestro primer ejemplo, la ola en la tribuna. Cada espectador se
para o se sienta y eso es un movimiento vertical, mientras que la ola se desplaza por la tribuna
en forma horizontal.
Cuando el movimiento de las partículas (sin cambiar de lugar) coincide con la velocidad de
propagación, estamos ahora en presencia de una onda longitudinal.
Las ondas longitudinales son sencillas de producir, ya que sólo hace falta empujar a la partícula
de al lado para producir en ella un pequeño desplazamiento, y que ésta haga lo mismo con la de
más allá y así sucesivamente. También si una se retira hacia atrás y deja el espacio vacío,
enseguida vendrá a ocuparlo la vecina... y así.
Pero una onda transversal... es un poco más difícil, ya que si una partícula se mueve de costado
y pretende arrastrar consigo a la vecina, debo tener con ella cierto ligamiento, cierta cohesión.
Si no, no puede desplazarla lateralmente, y no se produciría el fenómeno de la onda.
EJEMPLOS DE ONDAS TRANSVERSALES Y LONGITUDINALES
1).- Las ondas en las cuerdas son transversales. Basta con ver cómo se logra producirlas (siempre
perturbándolas en forma perpendicular a la cuerda, por donde viaja la onda).
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2).- Las ondas en el agua son transversales. Basta con poner a flotar un corchito (que lo único
que hace es poner de manifiesto el movimiento del agua) y se ve que cuando pasa una ola
(horizontalmente, como siempre, al ras del líquido) el corchito sube y baja, se desplaza
verticalmente... o sea, transversal a la propagación de la ola.
3).- La luz y todas las ondas electromagnéticas son transversales.
4).- El sonido es un fenómeno de ondas longitudinales.
Qué son las ondas periódicas
Las ondas más interesantes de la naturaleza son periódicas. Eso quiere decir que no es una única
perturbación la que viaja, sino que son muchas (muchísimas)
perturbaciones, una atrás de la otra, todas iguales y a igual
distancia entre sí. Eso es una onda periódica.
Dos gráficas diferentes para una onda periódica -como ejemploson las siguientes:
El gráfico de arriba nos muestra cómo están perturbadas todas las partículas afectadas en la
propagación de la onda
en un único instante.
Y el gráfico de abajo
perturba una única
mientras se
halla
la onda periódica.
nos muestra cómo se
partícula material
sometida al pasaje de
La forma que se ha
elegido para mostrar
el fenómeno de la
periodicidad en este
caso es arbitraria. A esta se la llama senoidal, porque tiene la forma de la función
trigonométrica seno. Pero bien podría tener otras formas: cuadrada, triangular, o cualquier
diseño. Mientras haya una forma básica que se repite periódicamente, estaremos en presencia
de una onda periódica.
Sin embargo, la función senoidal es muy importante en la física, dado que muchos fenómenos
de relevancia tienen naturaleza senoidal, en particular las ondas del sonido y de la luz.
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CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES DE UNA ONDA
Si consideramos el gráfico (y-x). La distancia entre dos "picos" de máxima perturbación, o lo
que es lo mismo entre dos partículas que están igualmente perturbadas, se llama longitud de
onda.
Se representa con la letra griega
minúscula lambda, λ, y se mide en
cualquier unidad de longitud,
por ejemplo, metros. A menos que
cambiemos de onda o de medio, la longitud de onda es constante.
Si consideramos el gráfico (y-t). El intervalo de tiempo que transcurre entre dos perturbaciones
máximas que sufre una partícula material cualquiera se llama período.
Se representa con la letra mayúscula T, y se mide en cualquier unidad de tiempo, por ejemplo,
segundos. A menos que cambiemos de onda, el período es constante.
Otra forma de caracterizar el período es formularnos la siguiente pregunta: ¿cuántas veces por
unidad de tiempo se alcanza el máximo? La respuesta a esta pregunta se llama frecuencia, f, y
es la inversa multiplicativa del período.
f=1/T
La magnitud de la
cambiando. Cuando
recibe el nombre
perturbación
va
alcanza un máximo,
de amplitud.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Si una perturbación máxima (que se mueve junto a toda la onda periódica a velocidad
constante, v) tarda un período de tiempo, T, en desplazarse un tramo
igual a una longitud de onda, λ, entonces, su velocidad (sólo por el
hecho de ser constante) será:
v=λ/T
Reemplazando el período por su igual (la inversa de la frecuencia)
se llega a la expresión fundamental -y más conocida- de las ondas:
v=λ f
La velocidad de propagación de una onda periódica es igual al
producto entre la longitud de onda y la frecuencia.
ONDAS LUMINOSAS
La luz es un fenómeno ondulatorio. Se propaga de un lado a otro
pero lo que viaja no es materia sino una perturbación del medio. Una
de las características fascinante de la luz es que puede propagarse en
el vacío. (Si así no fuera cómo haría para llegarnos la luz del sol, o
de las estrellas...). De modo que la perturbación oscilatoria del
medio es una perturbación de tipo inmaterial. Efectivamente, lo que
cambia en el medio mientras la luz se propaga son pequeños campos
eléctricos y magnéticos. Por eso a la onda luminosa se la llama onda
electromagnética y la perturbación inmaterial transporta la
energía almacenada en estos campos.
El fenómeno electromagnético es muy amplio, y la luz es apenas una
porción estrecha de ese fenómeno. Podemos graficar al fenómeno
de las ondas electromagnéticas ordenándolas según la frecuencia ondulatoria, o la longitud de
la onda.
Este gráfico muestra las ondas electromagnéticas ordenadas desde la de menor longitud de onda
(arriba) hasta la de mayor longitud de onda (abajo).
Si ordenásemos según la frecuencia obtendríamos el mismo gráfico, con las mayores frecuencias
arriba y las menores abajo. Eso es lógico ya que el producto entre longitud de onda y frecuencia
es constante para un mismo fenómeno, que es la velocidad de propagación.
v=λ f
Y en este caso se trata de la velocidad de la luz, c.
c
=λ f
Cuyo valor (aproximado) es:
c = 300.000.000 m/s
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FÍSICA MATEMÁTICA
Según todos los experimentos hechos hasta la fecha, la velocidad de la luz es un máximo
insuperable en nuestro universo. Nada viaja más rápido que la luz (o cualquier otra onda
electromagnética) en el vacío.
Índice de refracción, velocidad de la luz en diferentes medios
Se llama índice de refracción, n, al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la
velocidad en otro medio cualquiera por el que viaje la luz, v.
n=c/v
Se trata de una propiedad característica de cada medio. A continuación se muestra una tabla con
los medios más utilizados. Dado el índice de refracción de una sustancia puede conocerse el
valor de la velocidad de la luz en ella.
medio
n
Aire
1,0003
agua (a 20 °C)
1,3333
vidrio (varios tipos)
1,4 a 1,7
diamante
2,412
silicona
1,6
fibra óptica (varias)
<1,45
COLOR
Cada longitud de onda del espectro visible se corresponde con un color diferente. Así, por
ejemplo el color rojo se corresponde con la longitud de onda de 700 nm y la del amarillo 580 nm.
(nm es nanómetro, o sea, 10-9 m).
Tampoco es que se trate de una longitud de onda exacta y definida. Por ejemplo: percibimos
como color azul las longitudes de onda que van aproximadamente desde 450 hasta 495 nm (más
violáceas las de longitud menor, más verdosas las de longitud mayor).
En general cuando vemos algo azul nuestros ojos están recibiendo un conjunto de longitudes de
onda que mayoritariamente se hallan en el rango de los azules (450-495nm), en ese caso lo
llamamos color policromático. Si nos llegase una única longitud diríamos que ese azul
es monocromático.
V |
B
| G |Y | O |
R
color
long. onda (nm)
violeta
380–450
azul
450–495
verde
495–570
amarillo
570–590
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FÍSICA MATEMÁTICA
naranja
590–620
rojo
620–750
En esa tabla figuran los rangos de longitud de onda que se corresponden con nuestras
sensaciones de color.
Las longitudes de onda cercanas al espectro visible y de menor longitud de onda que 380nm se
denominan ultra-violetas (UV); y las longitudes de onda cercanas al espectro y mayores
que 750 nm, infra-rojas (IR).
Algunos animales tienen sensaciones visuales con radiaciones UV o IR, que a nosotros no nos
producen sensación visual.
La visión es una
cuestión
de
sensaciones. Lo que
percibimos como
luz solar en una luz
blanca que es una
suma
bastante
homogénea de casi
todos los colores del
espectro
visible.
Isaac Newton fue
uno de los primeros
en
estudiar
la
composición de la
luz
blanca
y
descomponerla en
los colores del arco iris al hacer pasar un fino haz de luz blanca solar por un prisma de vidrio de
caras oblicuas. Aunque es obvio hay que decirlo: para lo que habitualmente llamamos negro, el
correlato físico es la ausencia de luz.
PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ
Rayo de luz
La figura muestra el movimiento de las crestas de una onda electromagnética que se aleja de la
fuente. Existen dos maneras muy útiles de representar la propagación de una onda: los frentes
de onda y los rayos de luz. Los frentes de ondas son superficies de fase constante de la onda
luminosa y pueden asemejarse a las crestas en una onda de agua, los correspondientes a una
onda luminosa esférica se muestran en la figura como círculos concéntricos en dos dimensiones.
Asimismo un rayo de luz es una línea que señala la dirección de propagación de la onda. Si la
velocidad de propagación es la misma en todas las direcciones, los rayos de luz son
perpendiculares a los frentes de onda.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Esta concepción de rayos propagándose en forma rectilínea ayuda a comprender varios
fenómenos, y da lugar a un abordaje geométrico del comportamiento de la luz llamado óptica
geométrica.
Sombras y penumbras
Si tenemos una fuente luminosa suficientemente pequeña, podemos suponer a todos los rayos
de luz emergiendo de un único punto. Se denomina fuente luminosa puntual.
De la fuente parten infinita cantidad de rayos en todas direcciones; pero basta con "aislar",
representar, visualizar apenas unos pocos rayos (en este caso 2, los que pasan rasantes o
tangentes al cuerpo) para comprender la formación de la sombra.
A primera vista pareciera que la idea de fuente puntual es un poco forzada porque las fuentes de
luz reales (salvo las estrellas) siempre son extensas. De todos modos es una idea muy potente,
como veremos más adelante, ya que ¡cada punto de una fuente extensa se comporta como una
fuente puntual!
Veamos cómo se resuelve la cuestión de la sombra cuando tenemos una fuente luminosa
extensa.
Tanto en el cuerpo opaco como en la pantalla aparecen zonas de iluminación intermedia no
uniforme llamadas "de penumbra". Cuanto más extenso es el cuerpo luminoso (la fuente) más
extensas son las zonas de penumbras.
Cámara oscura.
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FÍSICA MATEMÁTICA
A un dispositivo como el mostrado en la figura, se lo llama cámara oscura, y es el fundamento
de varios aparatos ópticos, como la cámara fotográfica, el ojo, etcétera. La incidencia de los
rayos luminosos sobre la pantalla (el fondo de la caja), forman una imagen (en este caso
invertida) de la fuente extensa.
La idea del orificio en la cara frontal de la caja es dejar pasar sólo un rayo de cada una de las
partes del cuerpo extenso. No importa que el cuerpo produzca su propia luz (llama de la vela) o
la refleje (parte de abajo). Cada punto luminoso tendrá su imagen en la pantalla, donde se
reconstruirá el cuerpo completo
Cuanto más pequeño sea el orificio de la cámara más nítidos serán los bordes de la imagen y
menos brillante será. Cuanto más grande sea el orificio, más brillante será la imagen pero más
borrosos sus bordes
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN
Cuando la longitud de onda de la
dimensiones del sistema físico a
propaga, se cumplen las
geométrica.
luz es mucho menor que las
través del que esta luz se
siguientes leyes de la óptica
1.- Ley de la propagación
2.- Ley de la reflexión.
3.- Ley de la refracción.
rectilínea.
1.- Ley de la propagación
rectilínea
En un medio homogéneo los
línea recta.
rayos de luz se propagan en
2.- Ley de la reflexión.
Una onda que incide sobre la superficie de separación entre dos medios, se refleja
(parcialmente). El rayo incidente y la normal a la superficie, determinan el plano de incidencia
(el plano de la página en la figura). Si el rayo incidente forma un ángulo i con la normal, el rayo
reflejado también está contenido en el plano de incidencia, al otro lado de la normal, y formando
con esta el mismo ángulo: i = r. En otras palabras, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de
reflexión.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Cuando un haz de luz incide
aparte del haz se refleja y otra
lisa y pulida sea la superficie
haz.
sobre una superficie plana una
parte es absorbida. Cuanto más
más ordenadamente se refleja el
Las superficies en las que la
máxima se llaman espejos. Los
de la luz incidente y los espejos
85%.
fracción de luz que se refleja es
mejores espejos reflejan el 95%
comunes apenas entre el 80 y el
3.- Ley de la refracción.
El rayo refractado se transmite al segundo medio, como se muestra en la figura (para mayor
claridad se ha omitido el rayo reflejado). Dicho rayo refractado también está contenido en el
plano de incidencia y forma un ángulo θ2 con la normal.
La marcha de los rayos refractados está gobernada por la Ley de Snell:
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FÍSICA MATEMÁTICA
n1 sen θ1 = n2 sen θ2
Siendo n1 y n2 los índices de refracción de los medios por los que viaja la luz, θ1 y θ2 son los
ángulos que forman los rayos incidente y refractado con la recta normal a la superficie de
separación de los
medios. Si el segundo
medio es más denso
ópticamente, n1 < n2,
entonces el rayo
refractado se acerca a la
normal.
Si,
en
cambio el segundo
medio es menos
denso,
el
rayo
refractado se aleja
de la normal.
Reflexión total
Una consecuencia
inmediata de la Ley de
Snell es el fenómeno
de la reflexión total. Si
la luz está pasando
de un medio más denso
ópticamente a otro menos denso, el rayo refractado se aparta de la normal (o sea, el ángulo de
refracción es mayor que el ángulo de incidencia), existirá un valor de ángulo de incidencia tal
que el de refracción valga 90 grados, es decir, el rayo refractado sale rasante a la superficie.
Ese ángulo se llama ángulo límite, θlímite, (o ángulo crítico) porque más no se puede alejar el
refractado de la normal (reingresaría al primer medio). De hecho es lo que ocurre si el ángulo
de incidencia supera al ángulo límite... el rayo llega a la superficie de separación de medios y
reingresa como si de una reflexión se tratase... pero no lo es.
Esta reflexión obligada, a diferencia de las reflexiones en las superficies espejadas, refleja el
100% de la luz incidente, y por eso se la llama reflexión total, y algunos la conocen
como reflexión interna total.
El fenómeno de la reflexión total tiene variadas e importantes aplicaciones. El principal motivo
es que no se pierde nada de energía en cada rebote y se pueden programar decenas, cientos o
miles de rebotes sin disminución de energía lumínica.
Las fibras ópticas, por ejemplo, hacen uso del fenómeno de la reflexión total. Se trata de un
plástico polímero, o a veces un vidrio, o cualquier otro material transparente apropiado, flexible,
por el que viaja un haz de luz. Cuando el haz toca las paredes de la fibra incide con un ángulo
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124
FÍSICA MATEMÁTICA
superior al ángulo
regresa al interior
mucho cuán larga
veces rebote la luz
internas. En el
que se ilumina se
luz inyectada.
límite y, por lo tanto,
de la fibra. No importa
sea la fibra ni cuantas
en
sus
paredes
extremo opuesto al
podrá colectar toda la
Para
las
comunicaciones por
cable
a
larga
distancia la fibra
óptica
ha
desplazado al cable
eléctrico,
con
creces. Otros ejemplos
clásicos son los
prismáticos,
las
cámaras telecomandadas para exploraciones endoscópicas (uso medicinal), etc.
IMÁGENES FORMADAS POR REFLEXIÓN
Reflexión en espejos planos
Cuando se mira a través de un espejo, lo que se observa es una percepción subjetiva del mundo.
Como muestra la figura el cerebro proyecta los rayos divergentes que inciden en el interior del
ojo en un punto de convergencia. En otras palabras, los rayos provenientes del objeto que se
percibe divergen, y cuando se mira a una fuente puntual ubicado en el punto P frente al espejo,
lo que se percibe es como si la fuente estuviera en el punto P´ de intersección de los rayos
prolongados. Este punto se denomina imagen de la fuente. La ley de la reflexión demuestra que
la línea PP´ es perpendicular al plano del espejo y que P y P´ están a la misma distancia de éste
es decir a = b en la figura
Reflexión en espejos esféricos
Los espejos con superficies curvas también forman imágenes. La superficie curva más simple
de construir y analizar es la superficie esférica. Además los espejos esféricos se utilizan en
sistemas ópticos, como son los telescopios o los concentradores solares. A continuación
estudiaremos las imágenes que forman los espejos esféricos.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Una porción de esfera
de casquete esférico.
lo llamamos espejo
espejado por la cara
llama
esférico
recibe
el
nombre
Si además está espejado
esférico. Puede estar
externa, en ese caso se
convexo.
En la figura el centro de
la esfera, C, y el centro
del espejo definen
un eje central o eje
óptico. Los rayos se
reflejan cumpliendo las
leyes de la reflexión, o
sea, el ángulo de
incidencia, i, y el de reflexión, r, son iguales. La normal a la superficie (sea cual sea el punto de
incidencia) es un radio de la esfera.
.
Veamos qué ocurre cuando un haz de rayos paralelos al eje central inciden sobre la superficie
espejada de un espejo convexo como se muestra en la figura. Los rayos se reflejan abriéndose
hacia todos lados. Sus prolongaciones hacia adentro de la esfera pasan -todos- por un punto
llamado foco, F, que se halla a medio camino entre el espejo y el centro, C. O sea: ¡después de
reflejarse, la luz parece provenir del foco!
Por supuesto, también ocurre el camino a la inversa, cosa que se conoce con el nombre de
principio de la reversibilidad de los caminos ópticos. O sea, cualquier rayo de luz que incida
sobre un espejo esférico cuya dirección pase por el foco, se reflejará en una dirección paralela
al eje central.
Vamos a ver ahora qué ocurre en un espejo cóncavo, o sea un casquete esférico espejado por la
parte de adentro.
Cuando un haz de rayos paralelos, se reflejan en un espejo cóncavo, como se muestra en la
figura, los rayos primero se concentran en el foco, se cruzan entre sí, y después, se dispersan
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126
FÍSICA MATEMÁTICA
para todos lados.
foco se halla en el
entre el espejo y el
esfera
Aquí también el
punto
medio
centro de la
Y, por supuesto, debido a la reversibilidad de los caminos ópticos: todo rayo que incida sobre
el espejo pasando por el foco, rebotará en una dirección paralela al eje central.
En ambos casos (espejos cóncavos y convexos) se da que un rayo que viaje con la dirección del
eje central o eje óptico pasando por el centro de la esfera, C, se reflejará sobre sobre sí mismo
(ya que es normal a la superficie).
Hay una relación muy
cantidades
que
de imágenes en espejos
llamar f a la distancia
= R/2, siendo R el radio
distancia al espejo en
objeto, xo. El tamaño
distancia entre el espejo
imagen, xi. Y el tamaño
muestra en la figura.
sencilla
entre
las
describen la formación
esféricos. Vamos a
focal que como vimos f
de la esfera. La
que se coloca al
del objeto yo. La
y la posición de la
de la imagen yi, como se
De los infinitos rayos luminosos que salen de cada punto del objeto, vamos a valernos de algunos
pocos cuya marcha conocemos y nos sirve. Por ejemplo un rayo que incide justo en el centro
del espejo, y se refleja -desde luego- con un ángulo igual al de incidencia.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Se observa en la figura que los dos triángulos sombreados son semejantes. Porque ambos son
rectángulos, y tienen un ángulo igual: el de incidencia y reflexión. Por lo tanto sus lados
homólogos son proporcionales:
−𝒚𝒊
𝒙𝒊
=
𝒚𝟎
𝒙𝟎
Debido a que la imagen está invertida, se considera a yi con signo negativo. A estos cocientes
se los llama aumento, M.
𝑴=
−𝒚𝒊
𝒚𝟎
Ahora vamos a usar un rayo que pasa por el foco y -por ende- al rebotar en el espejo lo hace
saliendo en forma paralela al eje central.
Nuevamente, los dos triángulos coloreados: también son semejantes entre sí. Ambos son
rectángulos... y el ángulo de abajo a la derecha de cada triángulo está construido con el mismo
rayo y dos paralelas (el eje central y una paralela al eje central). Por lo tanto sus lados homólogos
van a ser proporcionales:
−𝒚𝒊
𝒇
=
𝒚𝟎
(𝒙𝟎 − 𝒇)
El
primer
podemos
la
fórmula
aumento)...
miembro
lo
reemplazar por
anterior (la del
𝒙𝒊
𝒇
=
𝒙𝟎
(𝒙𝟎 − 𝒇)
Operamos algebraicamente...
𝒙 𝒊 (𝒙 𝟎 − 𝒇 ) = 𝒇 𝒙 𝟎
𝒙𝒊 𝒙𝟎 − 𝒇 𝒙𝒊 = 𝒇 𝒙𝟎
𝒙𝒊 𝒙𝟎 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇 𝒙𝒊
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FÍSICA MATEMÁTICA
Ahora dividimos ambos miembros por xi xo f, y nos queda (reordenando)...
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
𝒙𝟎 𝒙𝒊
𝒇
La fórmula de los espejos esféricos también llamada fórmula de Gauss en honor a su
descubridor, Carl Friedrich Gauss (1777–1855), vincula la distancia focal, f con la posición en
la que se obtiene una imagen, xi, dada la posición en que se coloca el objeto, xo.
Convenio de Signos
Cuando una imagen se forma mediante rayos que pasan realmente por la posición donde ésta se
encuentra se denomina imagen real, como en los espejos cóncavos. Por lo tanto, una imagen
real puede proyectarse sobre una pantalla. Por el contrario una imagen virtual se forma trazando
la prolongación hacia atrás de las trayectorias de los rayos como ocurría en los espejos planos y
convexos, y no se pueden observar en una pantalla.
Para poder obtener las imágenes de los objetos situados frente a los espejos, superficies
refractoras y lentes adoptaremos el siguiente convenio de signos.
1.- La distancia objeto x0, será positiva si el objeto está situado en el mismo lado de la superficie
de donde provienen los rayos incidentes. En caso contrario la distancia al objeto será negativa.
2.- La distancia imagen xi, será positiva si la imagen está situada en el mismo lado de la
superficie en el que está la luz emergente de dicha superficie. En caso contrario la distancia a la
imagen será negativa. Si xi es negativa la imagen es virtual.
3.- Un radio R, será positivo si el centro de curvatura está en el mismo lado de la superficie que
la luz emergente. En caso contrario el radio es negativo. El signo de la distancia focal f, viene
determinado por el de los radios.
4.- El aumento M, será positivo para una imagen derecha y negativo para una imagen invertida.
Formación de imágenes en espejos esféricos
En dónde se forman las imágenes frente a un espejo esférico, eso depende del tipo de espejo y
de la posición del objeto.
En el caso de los espejos convexos es sencillo, porque pasa siempre lo mismo
independientemente de dónde se coloque el objeto, O. La imagen, I, resulta ser siempre menor,
derecha y virtual.
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129
FÍSICA MATEMÁTICA
Como se ve, la imagen resulta más pequeña, derecha y virtual. Para hallarla se traza la marcha
de aquellos rayos cuyo recorrido conocemos. El rayo a, que llega paralelo al eje central, se
reflejará
en
una
dirección
que
contiene al
foco, F.
El b,
que tiene
la
dirección
del
centro, C,
y
rebota
sobre
sí
mismo.
El c,
que llega
en
una dirección que pasa por el foco, se refleja paralelo al eje central. Y el d que incide el el centro
del espejo, V. Estos cuatro rayos divergen, se abren, y no se van a cruzar nunca... pero sus
prolongaciones (en celeste) detrás del espejo se juntan, formando la imagen virtual
Veamos qué ocurre con los espejos cóncavos. Aquí todo depende de dónde se coloque el objeto.
En la figura, la distancia objeto es mayor que el radio de curvatura, la imagen que resulta es más
pequeña, real e invertida. Para localizarla se usaron únicamente los tres rayos principales
(porque conocemos su marcha). El a, llega paralelo al eje central, se refleja pasando por el foco.
El b, llega pasando por el foco, se refleja paralelo al eje central. El c, llaga con la dirección del
centro (o sea, es radial), se refleja sobre sí mismo.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Estos tres rayos convergen, se juntan, formando así una imagen real, más pequeña e invertida,
si cambiamos la posición del objeto cambia también la característica de la imagen.
LENTES DELGADAS
Las lentes se dividen en dos grandes grupos: convergentes y divergentes. Las convergentes
funcionan como embudos de luz, juntan los rayos que las atraviesan. Las divergentes los
separan. Todos tienen dos superficies ópticas, y al menos una esférica.
Las fórmulas que describen el funcionamiento de las lentes para formar imágenes (o mejorar la
visión) están hechas para lentes delgadas, o sea, aquellas en las que el espesor del centro es
suficientemente pequeño en comparación con sus otras dimensiones.
En la figura se muestra una clasificación en función del par de superficies de las lentes. Todas
las lentes divergentes tienen su centro más delgado que los bordes. Y todas las lentes
convergentes tienen el centro más grueso que los bordes. A la derecha se muestra el símbolo
esquemático las lentes divergentes (arriba) y convergentes (abajo).
A las lentes convergentes
positivas y a las lentes
alusión a sus focos, como se
también se las llama
divergentes negativas (en
verá más adelante).
Las
lentes
de
comunes para corregir los
lente biconvexa más famosa
generalmente es simétrica
tipo menisco son las más
defectos de la visión. La
es
la
lupa,
que
Cuando a una lente llegan
ejemplo
aquellos
muy lejana) después de
rayos pasan por un punto
simboliza con la letra F. La distancia entre el centro de la lente
de distancia focal, y se simboliza con la letra f.
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rayos de luz paralelos (por
provenientes de una fuente
atravesar la lente todos los
llamado foco, que se
y el foco recibe el nombre
131
FÍSICA MATEMÁTICA
Por
supuesto,
camino
a
la
se conoce con el
principio
de
de los caminos
también ocurre el
inversa, cosa que
nombre
de
la reversibilidad
ópticos.
En
la
lente
algo parecido.
divergente
pasa
Cuando a una lente
divergente llegan rayos
de luz paralelos (por
ejemplo
aquellos
provenientes de una fuente
muy lejana) después de
atravesar la lente todos los
rayos divergen entre sí y
no se juntarán más. Pero sus
prolongaciones (del otro
lado de la lente parecen todas provenir de un punto llamado foco, F. La distancia entre el centro
de la lente y el foco recibe el nombre de distancia focal, f.
Las lentes delgadas son reversibles, o sea que si la lente se invierte produce el mismo efecto.
Pero necesita ser delgada.
Conociendo el índice de refracción del material con el que está construido una lente
(generalmente vidrio, n1 = 1,5), el índice del medio en el cual actúa la lente (generalmente
aire, n2 = 1) y los radios de curvatura de sus superficies, puede conocerse la distancia focal de
una lente con la ayuda de la fórmula del constructor de lentes.
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132
FÍSICA MATEMÁTICA
𝟏
𝒏𝟐
𝟏
𝟏
)
= ( − 𝟏) ( −
𝒇
𝒏𝟏
𝑹𝟏 𝑹𝟐
En la que los radios son medidos en base a una convención de signos (positivo de derecha a
izquierda). En el del esquema, por ejemplo, R2 es negativo.
Potencia de una lente
Se define como potencia de una lente, D, a la inversa de su distancia focal:
𝑫 =
𝟏
𝒇
Las unidades que le corresponden serán las de m-1 o la inversa de cualquier otra longitud (con
la que se miden las distancias focales), como cm-1... sin embargo, tratándose de lentes
usaremos dioptrías (o dioptras), que equivalen a m-1.
La potencia de la lente es el principal parámetro de las lentes para la visión. Las personas que
requieren poca corrección utilizan lentes que van desde 0,25 hasta 1,5 dioptrías. Las personas
que requieren una corrección mediana usan lentes con correcciones entre 1,75 y 4 dioptrías. Más
arriba de 4,25 ya se trata de correcciones altas o severas. (La presente es una escala tentativa).
Los hipermétropes usan lentes de potencia positiva (lupas), y los miopes, lentes de potencias
negativas (fondo de botella).
Formación de imágenes con lentes delgadas
Hay una relación muy sencilla entre las cantidades que describen la formación de imágenes con
las lentes. Vamos a llamar f a la distancia focal. La distancia entre el objeto y la lente, xo. El
tamaño del objeto yo. La distancia entre la lente y la posición de la imagen, xi, y el tamaño de la
imagen yi.
De los infinitos rayos luminosos que salen de cada punto del objeto, vamos a valernos de algunos
pocos cuya marcha conocemos y nos sirve. Por ejemplo:
1.- Un rayo que llega a la lente, paralelo a su eje principal sale pasando por el foco (en una lente
convergente) o abriéndose como si proviniera del foco (lente divergente).
2.- Un rayo que incide justo en el centro de la lente lo atraviesa sin desviarse, un rayo que llega
a la lente paralelo al eje principal, la atraviesa pasando por el foco.
3.- Un rayo que llega a la lente en una dirección que contiene al foco, sale de la lente, paralelo
al eje principal.
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133
FÍSICA MATEMÁTICA
Los
dos
triángulos
sombreados,
semejantes.
ambos son
rectángulos,
un ángulo
de
incidencia y
refracción
desvío. Por
sus lados homólogos serán proporcionales:
son
Porque
y tienen
igual: el
sin
lo tanto,
−𝒚𝒊
𝒙𝒊
=
𝒚𝟎
𝒙𝟎
Debido a que la imagen está invertida, se considera a yi con signo negativo. A estos cocientes
se los llama aumento, M.
𝑴=
−𝒚𝒊
𝒚𝟎
En la figura vamos a usar un rayo que llega a la lente, paralelo al eje principal, y refracta pasando
por el foco.
Nuevamente, los dos triángulos sombreados, también son semejantes entre sí. Ambos son
triángulos rectángulos, y el rayo que pasa por el foco determina dos ángulos iguales. Por lo tanto
sus lados homólogos van a ser proporcionales:
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134
FÍSICA MATEMÁTICA
−𝒚𝒊
(𝒙𝒊 − 𝒇)
=
𝒚𝟎
𝒇
El
primer
reemplazar por la
del aumento)...
miembro lo podemos
fórmula anterior (la
𝒙𝒊
(𝒙𝒊 − 𝒇)
=
𝒙𝟎
𝒇
Operamos algebraicamente...
𝒇 𝒙𝒊 = (𝒙𝒊 − 𝒇) 𝒙𝟎
𝒇 𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 𝒙𝟎 − 𝒇 𝒙𝟎
𝒇 𝒙𝒊 + 𝒇 𝒙𝟎 = 𝒙𝒊 𝒙𝟎
Ahora dividimos ambos miembros por xi xo f, y nos queda (reordenando)...
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
𝒙𝟎 𝒙𝒊
𝒇
Que es la misma fórmula que la de los espejos esféricos, también llamada fórmula de Descartes,
que vincula la distancia focal, f con la posición en la que se obtiene una imagen, xi, dada la
posición en que se coloca el objeto, xo.
Del mismo modo se debe tener en cuenta la misma convención de signos adoptada para los
espejos esféricos.
LENTES ADOSADAS
Las lentes delgadas pueden actuar en forma conjunta. Si la distancia entre ambas es pequeña se
comportan como si se tratara de una sola lente y cuya distancia focal es fácil de predecir si se
conoce la distancia focal de las lentes que se adosan..
Empecemos con una sola lente cuya distancia focal es f1. Vamos a hacer incidir sobre esta, tres
rayos que llegan en forma paralela. Si la lente es convergente, los rayos deben converger a un
punto que llamaremos A, y que debe estar en el mismo plano focal que F1 (o sea, a una
distancia f1 de la lente).
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135
FÍSICA MATEMÁTICA
Ahora coloquemos cerca de la primera lente a una distancia d, otra lente, ésta otra de distancia
focal f2. Los rayos ya no van a juntarse en A, pues la segunda lente los hace converger aún más
y de modo que ahora habrán de cortarse en A'. Si elegimos bien los rayos, podemos localizar
perfectamente la posición de A'.
A continuación
Descartes a la
este
caso
la
la
primera
para la segunda.
negativo porque
lente. De modo
aplicamos
de
segunda lente. En
imagen que produce
lente, A, es el objeto
Que será un objeto
se halla delante de la
que
𝒙 𝟎 = 𝒇𝟏 − 𝒅
Y la posición de la imagen, A', se halla en el plano focal del conjunto de las dos lentes, o sea F,
a una distancia f de la segunda lente. Entonces:
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
𝒇𝟏 − 𝒅 𝒇
𝒇𝟐
Si admitimos que la distancia entre las lentes, d, es despreciable en comparación con sus
distancias focales (o sea una lente delgada)...
−
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
𝒇𝟏 𝒇𝟐
𝒇
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136
FÍSICA MATEMÁTICA
Resumiendo: sean f1 y f2 las distancias focales de dos lentes delgadas, no importa si son
divergentes, convergentes o una y una. El conjunto de las dos lentes adosadas se comporta como
una única lente cuya distancia focal llamaremos f.
Cuando el oftalmólogo nos prueba los lentes para decidir cuál va a recetarnos se va aproximando
al valor del lente adosando dos, o tres.
Si en lugar de trabajar con las distancias focales trabajamos con las potencias de las lentes (que
son las inversas de las distancias focales) obtenemos que la potencia del conjunto de dos lentes
adosadas, es directamente la suma algebraica de las potencias de cada lente adosada. P = P1 + P2
EL OJO HUMANO
El ojo (y no sólo el humano) es un instrumento óptico. Básicamente todo el ojo es un sistema
de lentes. El cometido fundamental del ojo es recibir la luz de objetos del entorno y crear de
ellos una imagen nítida en la retina (una capa sensible a la luz ubicada en el fondo del ojo),
nítida sin importar dónde se hallen los objetos.
La lente principal de este sistema es la córnea. Como se ve en el esquema, la córnea es la
protuberancia transparente frontal del ojo. El párpado la mantiene limpia y humectada
permanentemente. Se trata de una lente de alta potencia, aproximadamente 50 dioptrías.
El cristalino en cambio es una lente de baja potencia, pero que tiene la principal propiedad de
variarla para lograr en enfoque justo. A eso se llama poder de acomodación. La máxima potencia
suele valer 4 dioptrías y la mínima casi cero.
El iris, la parte coloreada del ojo funciona como un diafragma automático que permite regular
la entrada de luz.
La
primera
y
hay que reconocer en
es que funcionando
debe
caer
De modo que la
imagen, xi, no será
siempre el mismo
humano ese valor
0,02 m).
principal restricción que
este instrumento óptico
correctamente la imagen
exactamente en la retina.
posición
de
la
una variable y tendrá
valor. Para el ojo
ronda los 2 cm, (xi =
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137
FÍSICA MATEMÁTICA
Punto remoto
Los ojos humanos cumplen con el requisito de ver objetos que se hallan muy lejos. A los efectos
prácticos se considera a un objeto situado en el infinito, de modo que xo = ∞.
La Ley de Descartes, que describe el ojo enfocado en el infinito (o sea, para enfocar un punto
remoto), y cuya distancia focal le llamaremos fr, dice:
𝟏
𝟏
𝟏
+
=
∞ 𝒙𝒊
𝒇𝒓
Como 1 dividido infinito tiende a 0..., tenemos:
𝒇𝒓 = 𝒙𝒊
𝑓𝑟 = 0,02 𝑚
Por lo tanto la potencia de un ojo enfocado en un punto remoto, Pr, vale:
𝑷𝒓 =
𝑃𝑟 =
𝟏
𝒇𝒓
1
0,02 𝑚
𝑃𝑟 = 50 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠
Punto próximo
Los ojos humanos son capaces de ajustar el enfoque para observar nítidamente objetos cercanos,
normalmente, unos 25 cm.
Cuando esto
distancia
enfocado al
próximo, fp,
la Ley de Descartes:
ocurre,
la
focal del ojo
punto
valdrá, según
𝒇𝒑 =
𝑓𝑝 =
𝒙𝒊 𝒙𝟎
𝒙𝟎 + 𝒙𝒊
0,25 𝑚 . 0,02 𝑚
= 0,01852 𝑚
0,25 𝑚 + 0,02 𝑚
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138
FÍSICA MATEMÁTICA
Por lo tanto la potencia de un ojo enfocado en un punto próximo, Pp, vale:
𝑃𝑝 =
1
1
=
= 54 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠
𝑓𝑝
0,01852 𝑚
Poder de acomodación
El poder de acomodación del ojo, A, es la diferencia de las potencias entre el ojo normal
enfocado en el punto próximo y la potencia del ojo normal enfocado en el punto remoto
𝑨 = 𝑷𝒑 − 𝑷𝒓
𝐴 = 54 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠 − 50 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠
𝐴 = 4 𝑑𝑖𝑜𝑝𝑡𝑟í𝑎𝑠
La imagen que se forma en la retina siempre es invertida y real. Cuando el ojo normal enfoca
objetos cercanos los lejanos que aparecen en la imagen son difusos, y viceversa: al enfocar
objetos remotos los cercanos aparecen desenfocados.
El poder de acomodación del ojo corre por cuenta del cristalino. El cambio de forma y de
curvatura está a cargo de los músculos ciliares. Cuando se hallan relajados el cristalino enfoca
al infinito. Por eso mirar al horizonte descansa la vista. Para mirar objetos cercanos los músculos
ciliares (que forman anillos, son técnicamente esfínteres) se contraen. Vulgarmente llamamos a
eso forzar la vista, y no está muy alejado de lo que ocurre en la realidad.
El punto próximo está mucho más cerca en los niños y se va alejando con la edad. El poder de
acomodación también se va perdiendo con la edad. El punto próximo se aleja cada vez más.
Llega un punto en que la falta de acomodación es manifiesta, a ese defecto se llama presbicia.
DEFECTOS DE LA VISIÓN
Los defectos más comunes de la visión son la miopía y la hipermetropía. Pero hay varios más,
algunos de carácter decididamente patológico. Repasemos algunos .
Hipermetropía
La hipermetropía afecta a un 10% de la población. Ocurre cuando un ojo no tiene la potencia
suficiente, generalmente porque la córnea no es suficientemente curva o porque el cristalino no
es suficientemente curvo, o porque el globo ocular es demasiado pequeño, o por algún otro
motivo concurrente con éstos. Las imágenes, entonces se forman más atrás de la retina.
El ojo trata de compensar su defecto forzando los músculos ciliares que le dan más curvatura al
cristalino. El ojo activo, entonces, no descansa nunca. La hipermetropía suele hacerse evidente
cuando el poder de acomodación disminuye con la edad.
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139
FÍSICA MATEMÁTICA
Por eso, para el ojo hipermétrope es crítico observar objetos cercanos. La potencia que agrega
el cristalino forzando todo su poder de enfoque no alcanza para corregir el defecto. La solución
más práctica es colocar una lente convergente que resuelve el problema.
Los
hipermétropes, habitualmente requieren "lentes para leer". Si la hipermetropía es muy severa y
el poder de acomodación muy bajo, entonces, se hacen necesarios lentes para "cerca" y lentes
para "lejos". O lentes bifocales (zona superior con baja potencia y zona inferior con alta
potencia). Las hipermetropías severas necesitan lentes de 5 dioptrías, y más.
Miopía
La miopía
afecta al 40%
de
la
población. Su
etiología
tiene
una
fuerte componente genética. Ocurre cuando el ojo tiene una potencia superior a la necesaria.
Puede ocurrir por exceso de curvatura en la córnea, o en el cristalino, o por poseer un globo
ocular excesivamente grande. Entonces las imágenes se forman antes de llegar a la retina.
Para el ojo miope, entonces es crítico observar objetos lejanos. Con los músculos ciliares
totalmente relajados (menor potencia del ojo) el miope no consigue enfocar los objetos en la
retina. Los objetos a distancias intermedias pueden acercarse: los miopes severos suelen
acercarse la
lectura
muy cerca de
los ojos.
La solución
más
práctica es
colocar
una
lente
divergente que resuelve el problema.
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140
FÍSICA MATEMÁTICA
Las miopías
necesitan
severas
lentes de -
10 dioptrías, y más.
Astigmatismo
Este defecto surge por imperfecciones en la superficie de la córnea. El síntoma más corriente en
el astigmatismo es la visión borrosa a cualquier distancia. Los astigmáticos ven las líneas
verticales, horizontales o diagonales distorsionadas. El test de astigmatismo se basa en esa
característica principal. Se corrige con lentes o con cirugía.
Presbicia
La falta de poder de acomodación del ojo se llama presbicia. Es común y progresiva con la edad.
Como el poder de acomodación es necesario para aumentar la potencia de la visión, para el
présbice es crítica la visión cercana. Los primeros síntomas se observan cuando la persona aleja
más su lectura, o debe recurrir a iluminaciones mayores. Se resuelve con lentes convergentes
para mirar de cerca.
PROBLEMAS
Problema 01 - ¿Cuál es la velocidad de propagación y la longitud de onda de la luz amarilla
del sodio (f = 5,09 x 1014 Hz): a) en el vacío, b) en el aire (n = 1,00029), c) en el agua (n =
1,333) y d) en el diamante (n = 2,417)?
Problema 02 -Un haz de luz monocromática amarilla incide desde el aire al agua con un
ángulo 35° respecto de la normal a la superficie de separación de ambos medios. Parte se
refleja y el resto se refracta. Determinar los ángulos de reflexión y de refracción.
Problema 03 - Para cierta luz monocromática que pasa de un líquido al aire el ángulo
límite es de 60°, ¿cuál es el índice de refracción del líquido?
Problema 04 - Un hombre sostiene verticalmente un espejo plano de 0,1 m de altura a una
distancia de 0,25 m delante de sus ojos y observa que la imagen de un edificio cabe justo
en la altura de dicho espejo. Si el edificio está a 200 m del espejo, ¿cuál es su altura?
Problema 05 - Un espejo esférico cóncavo tiene 30 cm de radio de curvatura. Si un objeto
se coloca a (a) 45 cm, (b) 20 cm y (c) 10 cm del espejo, ¿dónde se forman las imágenes, y
cuáles son sus características? Especificar si la imagen es real o virtual, derecha o invertida
y aumentada o reducida. Dar sus aumentos.
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FÍSICA MATEMÁTICA
Problema 06 - Un objeto se coloca delante de un espejo esférico y su imagen aparece a 40
cm de éste, más cerca del espejo. Se trata de una imagen real y 4 veces más pequeña que
el objeto. Determine el tipo de espejo y su distancia focal.
Problema 07 - Determinar las posiciones y características de las imágenes que se obtienen
cuando frente a una lente divergente de distancia focal de 1 m, se coloca un objeto real
sucesivamente a 0,5; 1; 1,5 y 3 m de su centro óptico.
Problema 08 - Una lupa tiene un aumento de 3x para un ojo normal que enfoca la imagen
en el punto próximo. ¿Cuál es su distancia focal?
Problema 09 - ¿Cuál es la distancia entre un objeto y la imagen formada por una lente
convergente de 65 cm de distancia focal, si la imagen es derecha y su tamaño es el triple
del tamaño del objeto?
Problema 10 - Dos lentes convergentes iguales de 32 cm de distancia focal están ubicadas
a 21,5 cm de distancia una de otra. Se coloca un objeto a 55 cm delante de una de ellas.
¿Dónde se formará la imagen final producida por el sistema?
Problema 11 - Un microscopio tiene un objetivo y un ocular cuyas distancias focales son 1
cm y 2 cm, respectivamente. Calcular la posición del objeto si la distancia entre las lentes
es de 18 cm, suponiendo que la imagen final se forma en infinito (ojo relajado).
Problema 12 - Una mujer tiene su punto lejano a 0,5 m de sus ojos.
a) ¿Qué distancia focal han de tener las lentes para que pueda ver con claridad los objetos
distantes?
b) Si su poder de acomodación es de 4 dioptrías, ¿dónde se halla su punto próximo sin
anteojos?
c) ¿Dónde está su punto próximo con anteojos?
Problema 13 - Una persona miope de mediana edad tiene su punto próximo a 0,1 m y un
poder de acomodación de 2 dioptrías. Hallar su punto remoto: a) Sin anteojos. b) Con
anteojos correctores para desplazar su punto próximo a 0,25 m.
Problema 14 - Un pintor puede ver claramente objetos ubicados a distancias entre 75 cm
y 200 cm de sus ojos. a) ¿Qué clase de anteojos necesita para ver, tanto los objetos distantes
como la tela que está colocada a 25 cm de sus ojos? b) ¿Qué parte de un paisaje que pinta
mientras utiliza sus anteojos puede resultar omitida en su pintura?
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FÍSICA MATEMÁTICA
BIBLIOGRAFÍA
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Cromer, A. Física para las ciencias de la vida. 2º Ed. Reverte. 2007
Cussó F., López C., Villar R. Física de los procesos biológicos. Ariel. 2004
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