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DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
APROXIMACIÓN LA CURVA NORMAL
• Juan José Hernández Ocaña
DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
• Variable discreta.- Es aquella que casi siempre asume
solamente un conjunto finito de valores y que también
toma por lo general sólo valores enteros no negativos.
Tales valores difieren unos de otros en cantidades finitas
no infinitesimales.
• De manera general podemos decir que pueden asociarse al
proceso de conteo de variables cualitativas.
• La distribución probabilística discreta más común es la
binomial
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
• Esta distribución debe cumplir con los siguientes requisitos
• Los ensayos deben de ser independientes
• La probabilidad de éxito, p , es la misma de una prueba a
otra
• En cada intento o ensayo son posibles solo dos resultados.
• Uno se llamará éxito y otro se llamara fracaso
• Las probabilidades deben de mantenerse constante para
cada ensayo, esto es, la probabilidad de éxito no cambia de
un intento o ensayo a otro.
ENSAYOS DE BERNOULLI
• Este modelo probabilístico se basa en que solo cuenta con
dos eventos simples en el espacio muestral, por ejemplo:
• Respuestas a Preguntas cerradas en una encuesta como:
si o no
• En los procesos de inspección que den como resultado
solo dos posibilidades: como defectuoso o no defectuoso
( rayado, roto, etc.)
• Aquellos experimentos que llegan sólo a uno de dos
posibles resultados se denominan ensayos de Bernoulli
DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA BINOMIAL
 Reglas de la distribución
 Los valores de una distribución deben ser números del intervalo 0 a
1
 La suma de todos los valores de una distribución de la probabilidad
debe equivaler a 1
 Éxito y fracaso denotan las dos categorías posibles de todos los
resultados
 p es la notación para éxito
 q es la notación para fracaso
 n es el número fijo de ensayos
 X es el número específico de éxitos en n ensayos
 P(x) es la probabilidad de lograr x éxitos en los n ensayos
• De manera general podemos denominar a uno de los dos
posibles resultados de un solo ensayo de Bernoulli como éxito y
al otro fracaso
• Se requiere convertir estos eventos cualitativos a valores
numéricos
• El valor de 1 se le asigna al evento éxito
• El valor de 0 se le asigna al evento fracaso
Si una variable w
P (w)
0 “ fracaso”
1- p = q
1 “ éxito”
p
TOTAL
1 = p +q
APROXIMACIÓN A LA CURVA
NORMAL
• Conforme el tamaño de n se incrementa, una distribución
binomial se aproxima cada vez más a una distribución
normal
• Se puede emplear una distribución continua para calcular
una distribución discreta si ajustamos los valores discretos
en forma de un intervalo
• por ejemplo si se calcula el valor de 54 , se puede calcular
empleando el intervalo de 53.5 a 54.5 y así sucesivamente en el caso
de una serie de datos
FACTOR DE CORRECCIÓN
• 1.- Para una probabilidad de que ocurra por lo menos x,
• se utiliza el área por encima de ( x - 0.5)
• 2.- Para la probabilidad de que ocurra más que x,
• se utiliza el área por encima de ( x + 0.5)
• 3.- Para la probabilidad de que ocurra x o menos,
• se utiliza el área por debajo de ( x + 0.5)
• 4.- Para la probabilidad de que ocurra menos que x ,
• se utiliza el área debajo de ( x – 0.5)
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA
• Las observaciones muestrales son una muestra aleatoria simple.
• Se satisfacen las condiciones para una distribución binomial
• si
• y
np ≥ 10
nq ≥ 10
• Si se cumple lo anterior se considera que el tamaño de la muestra es
grande y que los valores de p y de q no se desvían mucho de 0.5
• . Entonces la variable aleatoria binomial tiene una distribución de
probabilidad que puede aproximarse a una distribución normal
• Media
• µ = np
• Desviación estándar
• σ = √ npq
• En un estudio de una compañía de seguros se encontró
que ninguno de los bienes robados fue recuperado por los
dueños en 80% de los robos que se reportaron
• A .- Durante un período en el que ocurrieron 200 robos, ¿ cuál es la
probabilidad de que los bienes robados no se recuperen en 170 o
más casos?
• b.- Durante un período en el que ocurrieron 200 robos, ¿ cuál es la
probabilidad de que no se recuperen los bienes robados en 150 o
más casos?
• Una compañía en el área de medicamentos sabe que
aproximadamente el 5% de sus tabletas para el control
natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis
mínima, lo que las hace ineficaces
• calcula la probabilidad de que más de 30 tabletas en una muestra
de 1000 sean ineficaces.
• calcula la probabilidad de que menos de 40 en una muestra de 1000
sean ineficaces
• Un cierto tipo de tornillo se fabrica con probabilidad de
0.05 de ser defectuoso, calcula la probabilidad de que en
los siguientes 400 tornillos existan menos de 25
defectuosos
• ¿ Cuál es la probabilidad de que en los siguientes 500 tornillos se
encuentren mas de 40 defectuosos?
• Una fábrica de tapones para botellas de licor tiene 20% de
productos defectuosas. Los productores de licor están
preocupados por este hecho por lo que deciden
inspeccionar aleatoriamente un lote de 200 tapones y si
encuentran más de 25 tapones regresaran el lote recibido.
• ¿Cuál es la probabilidad de que se regrese el lote?
• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar mas de 20 tapones en una
muestra de 200?
• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar menos de 30 tapones en una
muestra de 200 ?
• ¿ cuál es la probabilidad de encontrar más de 50 tapones ?
• La administración de un empresa de reconocido prestigio
ha decidido ofrecer una agresiva política de servicio a
clientes. El número promedio de clientes que regresan una
mercancía es el 10%; si se elige una muestra de 70 clientes,
¿ cuál es la probabilidad de que más de 5 clientes regresen
la mercancía?
• X= 5 ajuste a 5.5
• Una empresa realiza un estudio de mercado para saber si
es viable la introducción de un nuevo tinte para el pelo en
el mercado. El estudio reporta que el 75% de las mujeres
opina que el tinte es bueno. De las siguientes 80 personas
entrevistadas,
• ¿ cuál es la probabilidad de que al menos 50 ( 50 o más) sean de la
misma opinión?
• ¿ cuál es la probabilidad de que más de 56 personas sean de la
misma opinión?
• X= 50 ajuste 49.5
• x= 56 ajuste 56.5
• Se ha observado que cuando un representante de ventas
contacta de manera personal a un cliente se tiene una
probabilidad de compra del 30%. Si un representante de
ventas conecta a 30 prospectos, determine la probabilidad
de que 10 o más realicen una compra
• x= 10 ajuste a 9.5
• Una tienda de deportes efectuó un estudio donde se
determino que el 70% de lo clientes que acuden por las
tardes realizan al menos una compra. E n un muestra de los
últimos 50 clientes que han ingresado en el turno
vespertino, ¿ cuál es la probabilidad de que al menos 40
personas realicen una compa o más cada uno’
• x= 40 ajuste a 39.5