Matemáticas discretas (apoyo de clase) Dr. Miguel Mata [email protected] FIME-UANL 8 de febrero de 2016 Índice general Introducción I 1. Lógica 1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operadores lógicos . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Negación . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Conjunción . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Disyunción . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Implicación . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Doble implicación . . . . . . . . . 1.3. Representaciones . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Tablas de verdad . . . . . . . . . 1.3.2. Precedencia . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Redes de decisión . . . . . . . . . 1.3.4. Diagrama de decisión binario . . 1.4. Tautologı́as . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Implicación tautológica . . . . . . 1.4.2. Equivalencias . . . . . . . . . . . 1.4.3. Leyes del álgebra de proposiciones 1.4.4. Más sobre la implicación . . . . . 1.5. Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Reglas de inferencia . . . . . . . . 1.6. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Negación . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Cuantificadores anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 8 8 9 9 10 10 10 11 11 12 2. Conjuntos 2.1. Relación de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemáticas discretas (M. Mata) 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Subconjuntos e igualdad . . . . . . . . . . . Conjunto universal y conjunto vacı́o . . . . . Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . 2.6.1. Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Intersección . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. Complemento . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Propiedades de los conjuntos . . . . . 2.6.6. Propiedades de las cardinalidades . . 2.7. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Conteo mediante diagramas de Venn 2.8. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Pares ordenados . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Conjunto producto . . . . . . . . . . 2.8.3. Conjunto producto en general . . . . 2.8.4. Conjuntos de verdad de proposiciones 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Relaciones y funciones 3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Representación gráfica de una relación . 3.1.2. Dominio y rango de una relación . . . . 3.1.3. Relación inversa . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relaciones de equivalencia y relaciones de orden 3.2.1. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . 3.2.3. Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Relaciones de equivalencia y particiones 3.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Gráfica de una función . . . . . . . . . . 3.3.2. Composición de funciones . . . . . . . . 3.3.3. Funciones inyectivas y sobreyectivas . . . 3.3.4. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Recursividad ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 18 19 19 19 20 20 . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 22 23 24 24 25 25 25 26 27 28 28 29 30 30 32 Matemáticas discretas (M. Mata) 3 4.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Sucesiones crecientes y decrecientes 4.1.2. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . 4.2. Cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Concatenación . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Subcadenas . . . . . . . . . . . . . 4.3. Funciones recursivas . . . . . . . . . . . . 4.4. Notación Sigma . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 33 33 34 35 35 36 37 . . . . . . . . . 39 39 39 39 40 41 41 43 43 44 6. Teorı́a de grafos 6.1. Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 46 5. Combinatoria 5.1. Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Principio fundamental del conteo 5.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Permutaciones con repetición . . 5.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Diagramas de árbol . . . . . . . . . . . . 5.5. Coeficientes binomiales . . . . . . . . . . 5.5.1. Triángulo de pascal . . . . . . . . 5.5.2. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción Respecto a estas notas Este material ha sido preparado como material de apoyo para la materia de ((Matemáticas discretas)) que se imparte a nivel licenciatura en la Facultad de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León. No es propiamente el material del curso, y su elaboración está aún en construcción por lo que el infortunado lector podrá encontrar que aún hay partes no desarrolladas, otras inacabadas e incluso otras aún ausentes. Aún con lo anterior, el material se encontrará en desarrollo continuo y esperamos sinceramente que, eventualmente, sea de utilidad. Competencias especı́ficas De acuerdo al programa analı́tico de la materia, las competencias de la materia son: ((Modelar problemas por métodos analı́ticos y/o computacionales, generando alternativas de solución basadas en lenguaje matemático y computacional de tal manera que permite identificar el fundamento matemático que sustenta a la computadora. ))Implementar soluciones tecnológicas a problemas de ingenierı́a en software y hardware de tal forma que esté basada en algoritmos matemáticos y computacionales)). Unidades temáticas Según la academia, este curso debe cubrir: Lógica, Combinatoria y Grafos. i Matemáticas discretas (M. Mata) ii Según los ejercicios del programa analı́tico, este curso debe cubrir: Tablas lógicas Inducción matemática Leyes, propiedades y operaciones con conjuntos Tipos de sucesiones Tipos cadenas y alfabetos Relaciones de recurrencia mediante gráficas y matriz de relaciones Representación de funciones Según un miembro de la academia, el material se deberı́a organizar de la siguiente manera: Lógica: representación digital, expresiones booleanas, tablas de verdad, inferencia, árboles de decisión, circuitos. Combinatoria: inducción, sucesiones, funciones, conjuntos. Grafos y árboles: recorridos, modelos, problemas y algoritmos fundamentales, optimización combinatoria. Otro miembro de la académia propuso un orden distinto pero similar. En este material hemos hecho una fusión de todo lo anterior ordenado en una secuencia lógica de acuerdo al contenido. Calificación De acuerdo a la academia, esta materia debe ser evaluada de la siguiente manera: Exámenes: 40 %. Actividades: 60 %. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) iii Incidencia en los planes de estudio Según los programas vigentes, la materia de ((Matemáticas discretas)) forma parte de los planes de estudio de las siguientes carreras: IAS (401): 2.o semestre. Materia obligatoria. IAS: 3.er semestre. Materia obligatoria. ITS: 3.er semestre. Materia obligatoria. IMTC (401): 5.o semestre. Materia optativa. Bibliografı́a R. Johnsonbaugh. Matemáticas discretas. 6.a edición. Editorial Pearson Educación. México, 2005. S. Lipschutz. Matemáticas finitas. McGraw-Hill. México, 1966. R. Grimaldi. Matemáticas discretas y combinatoria. 3.a edición. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. Estados Unidos, 1997. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Capı́tulo 1 Lógica La ((lógica)) es una ciencia formal que estudia el ((razonamiento)) correcto. Suele ser confundida con el ((sentido común)). Por ello, antes de comenzar, iniciemos con un pequeño examen de lógica. Responda a lo siguiente: 1. ¿Es verdadera la afirmación ((algunos de los alumnos de este salón tienen menos de 80 años))? 2. Si estudio, apruebo. No estudio. ¿Cuál es la conlusión? 3. La afirmación ((Madrid está en España o Londres está en Iglaterra)) ¿es verdadera o falsa? 4. ((Si dos rectas son paralelas no se intersectan e inversamente)), en este caso, ¿qué es ((inversamente))?, es decir, ¿cuál es la afirmación ((inversa))? 5. El siguiente, ¿es un razonamiento correcto? ((Si estudio aprendo más)), ((Estudio)) y ((No aprendo más)), por lo tanto ((Soy un genio)). 6. El padre dijo a su hijo, ((Si sacas buenas notas te compro una bicicleta)), el niño sacó malas notas, cuando el padre las vio el hijo le preguntó, ((Papá, ¿me vas a comprar una bicicleta?)). ¿Hizo el niño una pregunta lógica? Las respuestas correctas son: 1. Sı́. 2. Se puede conlcuir cualquier cosa. 3. Verdadera. 4. Si dos rectas no se intersectan son paralelas. 5. Sı́. 6. Sı́. Si contestó incorrectamente a más de una de las preguntas anteriores, no puede obviar este capı́tulo. 1 Matemáticas discretas (M. Mata) 1.1. 2 Proposiciones Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso. Ejemplo 1.1. Las siguientes son proposiciones simples: 1. Parı́s está en Inglaterra. 1 2. 2. 1 3. x2 1 ¡ 0. 4. Las violetas son azules. En cambio, expresiones como ((Hola, ¿qué hace?)), ((Cierra la puerta)) o ((¡Viva México!)) no son proposiciones. Denotaremos las proposiciones simples con letras minúsculas: p, q, r, . . . 1.2. Operadores lógicos Las proposiciones simples pueden combinarse para formar proposiciones más complejas mediante algunos operadores lógicos. Las proposiciones compuestas las denotaremos, en ocasiones, con letras mayúsculas. 1.2.1. Negación Dada una proposición p la negación de p es también una proposición. La denotaremos p y se lee ((no p)). Su valor de verdad será el contrario al de p. Ejemplo 1.2. Algunos ejemplos de negación: 1. p: Parı́s está en Inglaterra, p: Parı́s no está en Inglaterra. 2. q: 2 q: 2 3. r: x2 r: x2 4. s: Las rosas son rojas, s: Las rosas no son rojas. 2 4, 2 4. 1 ¡ 0, 1 ¤ 0. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 1.2.2. 3 Conjunción Dadas dos proposiciones p y q la conjunción de p con q es también una proposición, la denotaremos p ^ q y se lee ((p y q)). Su valor de verdad será verdadero sólo cuando ambas proposiciones p y q sean verdaderas. Ejemplo 1.3. Algunos ejemplos de conjunción: 1. p: Parı́s está en Inglaterra, q: Madrid está en España, p ^ q: Parı́s está en Inglaterra y Madrid está en España. 2. p: |x| ¡ π, q: x2 16 ¤ 0, p ^ q: |x| ¡ π y x2 16 ¤ 0. 3. p : Las rosas son rojas, q: Las violetas son azules, p ^ q: Las rosas son rojas y las violetas son azules. 1.2.3. Disyunción Dadas dos proposiciones p y q la disyunción de p con q es también una proposición, la denotaremos p _ q y se lee ((p o q)). Su valor de verdad será falso sólo cuando ambas proposiciones p y q sean falsas. Ejemplo 1.4. Algunos ejemplos de disyunción: 1. p: Parı́s está en Inglaterra, q: Madrid está en España, p _ q: Parı́s está en Inglaterra o Madrid está en España. 2. Sacas buenas calificaciones o no vas a la fiesta. 1.2.4. Implicación Dadas dos proposiciones p y q la implicación de p con q es también una proposición, la denotaremos p Ñ q y se lee ((p implica q)) o ((si p entonces q)) (entre otras expresiones). Su valor de verdad será falso sólo cuando p sea verdadera pero q sea falsa. Ejemplo 1.5. Algunos ejemplos de implicación: 1. p: Parı́s está en Francia, q: Madrid está en Inglaterra, p Ñ q: Si Parı́s está en Inglaterra, Madrid está en España. 2. Si x 2 entonces x2 ¡ 4. 3. Si apruebas matemáticas te compro una bicicleta. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 1.2.5. 4 Doble implicación Dadas dos proposiciones p y q la doble implicación de p y q es también una proposición, la denotaremos p Ø q y se lee ((p si y sólo si q)) o ((p siempre y cuando q)). Su valor de verdad será verdadero sólo cuando p y q tengan el mismo valor de verdad. 1.3. Representaciones Los valores de verdad de las proposiciones se representan simbólicamente de diversas maneras: Verdadero: Falso: V, T, F, F, J, 1. K, 0. En este curso, usaremos los valores binarios 1 y 0. 1.3.1. Tablas de verdad Las tablas de verdad de los operadores son como sigue: p q p^q p q p_q p q pÑq p p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 p 1 1 0 0 q pØq 1 1 0 0 1 0 0 1 Con estas tablas podemos calcular los valores de verdad de expresiones más complejas. Ejemplo 1.6. Calcular la tabla de verdad de pp _ q q ^ r. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 pp _ q q A 1 1 1 1 1 1 0 0 r B 0 1 0 1 0 1 0 1 A^B 0 1 0 1 0 1 0 0 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 5 Ejercicio 1.7. Calcular la tabla de verdad de p _ rp ^ pq _ rqs. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 pq _ rq A rp ^ As B r 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 p_B 1 1 1 1 0 0 0 0 Ejercicio 1.8. Calcular la tabla de verdad de p ^ rp q ^ rq _ pq ^ rqs. p 1 1 1 1 0 0 0 0 1.3.2. q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p q ^ rq A pq ^ rq B rA _ B s C 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 p^C 0 1 1 0 0 0 0 0 Precedencia Cuando se escriben sin paréntesis, los operadores se ejecutan con la siguiente precedencia: , ^, _, Ñ, Ø. De esta manera, la expresión p _ q ^ r _ s Ñ p _ s es equivalente a rp _ pq ^ p rqq _ ss Ñ rp _ p sqs. 1.3.3. Redes de decisión Existe una representación de redes de los operadores binarios , _ y ^. Suele ser útil en la comprensión de circuitos o redes eléctricas, y en diagramas de comunicación y conmutadores. Imaginemos que hay un emisor T0 y un receptor T1 . El flujo debe pasar por algunos puertos que pueden estar abiertos (valor de 1) o cerrados (valor de 0). T0 p T1 En este caso, el flujo será recibido en el receptor si p toma el valor de 1, y no será recibido si toma el valor de 0. La red toma la siguiente forma para el disyuntivo p _ q: ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 6 p T0 T1 q La red toma la siguiente forma para el conjuntivo p ^ q: p T0 q T1 Ejemplo 1.9. Dibujar la red de decisión para rp ^ p r _ sqs _ rq ^ ts: r p s T0 q T1 t Ejercicio 1.10. Dibujar la red de decisión para rrp ^pq _ rqs_rpq _ sq^ tss^ s: 1.3.4. Diagrama de decisión binario Árbol de decisión binario y diagrama (reducido) de decisión binario. Ejemplo 1.11. pp ^ q q _ pp ^ rq _ pq ^ rq p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 pp ^ qq A pp ^ rq B pq ^ rq C r 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 p p q q r 1 r 1 1 q r 0 A_B_C 1 1 1 0 1 0 0 0 1 r 0 0 q r 0 1 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) 0 Matemáticas discretas (M. Mata) 7 p p ^ q ^ r q _ pp ^ q q _ pq ^ r q p p ^ q ^ rq A pp ^ qq B pq ^ rq C Ejemplo 1.12. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 p p q q r 1 r 1 0 A_B_C 1 1 0 0 1 0 0 1 q r 0 1 r r 0 0 q 1 1 r 0 Ejercicio 1.13. p _ rp ^ pq _ rqs. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 pq _ rq A rp ^ As B r 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 p p q q r 1 r 1 p_B 1 1 1 1 0 0 0 0 1 r 1 0 r 0 0 0 1 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) 0 Matemáticas discretas (M. Mata) 1.4. 8 Tautologı́as Ejercicio 1.14. Calcular la tabla de verdad de la siguiente proposición: r p _ pq ^ rqs _ rp ^ p q _ rqs p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 pq ^ rq A r p _ As B p q _ rq C rp ^ C s D 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 B_D 1 1 1 1 1 1 1 1 Observamos que el valor de verdad de la expresión anterior es verdadero, sin importar los valores de verdad de p, q y r. Este tipo de expresiones, en las que su único valor posible es verdadero, son de particular interés en matemáticas y se les llama tautologı́as. 1.4.1. Implicación tautológica Cuando una proposición es una implicación y es una tautologı́a se llama implicación tautológica. Esta estructura es importante porque, si A Ñ B es una tautologı́a, entonces B es cierta si A lo es, sin importar los valores de verdad de las variables simples. Es decir, tenemos una estructura que es siempre válida para todas las variables. Cuando A implica tautológicamente a B se escribe A ñ B. Ejercicio 1.15. Verifique que: rp Ñ pq ^ rqs ^ r p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 pq ^ rq A rp Ñ As B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 ñ p B^ rC C 0 0 0 0 0 1 0 1 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Ñ 1 1 1 1 1 1 1 1 p Matemáticas discretas (M. Mata) 1.4.2. 9 Equivalencias Cuando una proposición es una doble implicación y es una tautologı́a se llama equivalencia. Esta estructura es importante porque, si A Ø B es una tautologı́a, entonces A tiene el mismo valor de verdad de B. Es decir, tenemos una estructura que es equivalente para todas las variables. Cuando A es equivalente a B se escribe A ô B. Ejercicio 1.16. Verifique que: pA Ñ B q ô pA ^ Bq Ejercicio 1.17. Verifique que: pA Ø B q ô rpA Ñ B q ^ pB 1.4.3. Ñ Aqs Leyes del álgebra de proposiciones Todas las siguientes son equivalencias tautológicas, por lo cual pueden enunciarse como leyes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p_p ô p p^p ô p p_q ô q_p p^q ô q^p p _ p q _ r q ô pp _ q q _ r p ^ p q ^ r q ô pp ^ q q ^ r p _ p q ^ r q ô pp _ q q ^ p p _ r q p ^ p q _ r q ô pp ^ q q _ p p ^ r q pp _ qq ô p ^ q pp ^ qq ô p _ q p pq ô p p_ p ô 1 p^ p ô 0 p_0 ô p p^1 ô p p_1 ô 1 p^0 ô 0 Leyes idempotentes Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan Doble negación Leyes de complementación Leyes de identidad Leyes de dominación Ejercicio 1.18. Demostrar, mediante las leyes de las proposiciones, las siguientes equivalencias: 1. pp _ q q ^ p 2. 3. ô p^q p _ pp ^ q q ô p pp _ qq _ p p ^ qq ô p ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 1.4.4. 10 Más sobre la implicación AÑB Implicación BÑA Inversa A Ñ B Conversa B Ñ A Contrapuesta Algunas leyes más que involucran la implicación: 10 11 12 13 1.5. pÑqô qÑ p pÑq ô p_q pp Ñ qq ô p ^ q p Ø q ô pp Ñ q q ^ pq Ñ pq Contrapuesta Euivalencia a la implicación Negación de la implicación Doble implicación Argumentos Definición 1.19. Un argumento es la deducción de una conclusión Q a partir de un conjunto de premisas P1 , P2 , . . . , Pn . Un argumento, denotado por P1 , P2 , . . . , Pn $ Q, es válido si la conclusión Q es verdadera cuando todas las premisas son verdaderas. Observación 1.20. El argumento P1 , P2 , . . . , Pn $ Q es válido si y sólo si la proposición pP1 ^ P2 ^ ^ Pn q Ñ Q es una tautologı́a. Ejemplo 1.21. Verificar si el siguiente es un argumento válido: ((Todos los hombres son mortales)), ((Homero es hombre)), por lo tanto, ((Homero es mortal)). Ejemplo 1.22. Verificar si la siguiente es una implicación tautológica: rpp _ qq ^ pr Ñ qq ^ ps ^ rq ^ pt Ñ 1.5.1. pqs ñ pt ^ rq Reglas de inferencia Existen modelos de argumentos ya establecidos. Son llamados reglas de inferencia: Modus ponendo ponens: A Ñ B, A $ B. Modus tollendo tollens: A Ñ B, B Modus tollendo ponens: A _ B, $ A. B $ A. Simplificación: A ^ B Conjunción: $ A. A, B $ A ^ B. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 11 Adición: A $ A _ B. Silogismo hipotético: A Ñ B, B Prueba por casos: Ñ C $ A Ñ C. A Ñ C, B Ñ C, A _ B $ C. Ejercicio 1.23. Demostrar, por medio de las reglas de inferencia, que los siguientes argumentos son válidos: 1. p _ q, r 2. 3. Ñ q, s ^ r, t Ñ p $ pt ^ rq p _ q, t ^ p, q Ñ s $ s Ñ m m Ñ n, q _ m, p Ñ n, p _ r, q $ r 1.6. Cuantificadores Cuantificador universal: Empleamos el sı́mbolo @, el cual se lee para todo: @x, ppxq. Cuantificador existencial: Empleamos el sı́mbolo D, el cual se lee existe: Dx, ppxq. Ejemplo 1.24. . 1. Todos los números racionales son números reales: @x P Q, x P R. 2. Existen números reales que no son racionales: Dx P R, x R Q. ? 3. ¿Es cierto que @n P N, n R Q? 1.6.1. Negación La negación de un cuantificador universal es uno exitencial con la propiedad negada. De la misma forma, la negación de un cuantificador exitencial es uno universal con la propiedad negada: r@x, ppxqs ô Dx, ppxq. rDx, ppxqs ô @x, ppxq. Ejemplo 1.25. . 1. No es verdad que todos los números naturales son pares: r@n P N, n es pars ô Dn P N, n no es par. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 12 2. ¿Es cierto que @n P N con 1 n 14 y n impar, n es primo? R= No es cierto, pues existe el 9 que no es primo. 3. ¿Cuál es la negación de la oración ((si todos estudian, entonces nadie reprueba))? R= Todos estudian y alguien reprueba. 4. ¿Es cierto que a todos las personas de 140 años les gustan los xoconostles? 1.6.2. Cuantificadores anidados Son de la forma: @x, @y, P px, yq. @x, Dy, P px, yq. Dx, @y, P px, yq. Dx, Dy, P px, yq. Ejemplo 1.26. . 1. Todos los números pares se pueden escribir de la forma 2m para algún número entero m: @n par, Dm P Z, n 2m. 2. Todos aman a alguien: @x, Dy, x ama a y. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Capı́tulo 2 Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. Ejemplo 2.1. Las siguientes son descripciones de conjuntos. 1. El conjunto A de objetos en mi mochila, en este momento. tárbol, ave, zapato, chancletau C t1, 3, 5, 7, 9u C tn P N | n es un número dı́gito imparu D tn P Z | n es un número dı́gitou D t0, 1, 2, . . . , 9u E t11, 12, 13, . . . u E tn P N | n ¡ 10u F tx P R | x2 3x 2 0u F t1, 2u 2. B 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.1. (forma explı́cita) (forma descriptiva) (forma explı́cita abreviada) Relación de pertenencia Sea A un conjunto y a un elemento de A, entonces se dice que ((a pertenece a A)) y se escribe a P A. Si b no pertenece a A escribimos b R A. 13 Matemáticas discretas (M. Mata) 2.2. 14 Subconjuntos e igualdad Definición 2.2. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es un subconjunto de B, y se escribe A B, si y sólo si todos los elemento de A pertenecen a B. También, si A B, se dice que B contiene a A y se escribe B A. Observación 2.3. Si A entonces: @x P A, x P B. B, entonces: x P A ñ x P B. También, si A B, ¿Cuál es la negación de A B? Se dice que A no es subconjunto de B, o que B no contiene a A, si existe a P A tal que a R B, y se escribe A { B. Ejemplo 2.4. Sean A tn P Z | n es paru y B tn P Z | n es múltiplo de cuatrou. Demuestre que B A. (Recuerde que n es múltiplo de k si existe m P Z tal que n km). Ejercicio 2.5. Sean A tn P N | 1 13, n es primou. ¿A B o B A? n 14, n es imparu y B tn P N | n ¤ Definición 2.6. Sean A y B dos conjuntos, se dice que A es igual a B, y se escribe A B, si y sólo si A B y B A. Definición 2.7. En caso de que A B pero A B, se dice que A es subconjunto propio de B y se escribe A B. Notación 2.8. Algunos autores escriben simplemente A B cuando A es subconjunto de B, pero deben escribir A B cuando A es subconjunto propio de B. 2.3. Conjunto universal y conjunto vacı́o No existe un conjunto que contenga a todos los objetos. En cualquier aplicación de la teorı́a de conjuntos, todos los posibles conjuntos a investigar se consideran subconjuntos de un conjunto dado. Llamamos a ese conjunto el conjunto universal. En nuestro estudio lo denotaremos por U . Ejemplo 2.9. . 1. En geometrı́a, U es el plano. 2. En estudios poblacionales, U es toda la gente del mundo. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 15 Por otra parte, en ocasiones deberemos estudiar conjuntos que no tienen ningún elemento. Dicho conjunto es llamado conjunto vacı́o y lo denotamos por ∅. Ejemplo 2.10. . 1. A tn P Z | n2 2. 16, n es imparu ∅. B tx P R | x2 1 0u ∅. 3. Sea C el conjunto de personas de más de 140 años. ¿C ∅? Ejercicio 2.11. Demuestre que, si A es un conjunto cualquiera, ∅ A. 2.4. Cardinalidad Dado A un conjunto, se define la cardinalidad de A, y se denota |A|, como la cantidad de elementos que pertenecen a A. Ejemplo 2.12. . 1. Dado A ta, e, i, o, uu, |A| 5. 2. Dado B el conjunto de las letras del alfabeto español, ¿cuánto vale |B|? 3. Dado C el conjunto de consonantes del alfabeto español, ¿cuánto vale |C|? Ejercicio 2.13. . 1. Si S ∅, ¿cuánto vale |S|? 2. ¿Cuál es la cardinalidad de N? 3. Si A B, ¿|A| ¤ |B|? 4. Si A B, ¿|A| |B|? 2.5. Conjunto potencia Ejercicio 2.14. Sea S ta, b, cu, escribir todos sus posibles subconjuntos. Definición 2.15. El conjunto de todos los posible subconjuntos de un conjunto A es llamado conjunto potencia de A, y se denota por P pAq. Ejercicio 2.16. Si A es un conjunto finito con n elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto P pAq? ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 2.6. 2.6.1. 16 Operaciones con conjuntos Unión Definición 2.17. La unión de dos conjuntos A y B, expresada por A Y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B: AYB 2.6.2. tx | x P A _ x P B u. Intersección Definición 2.18. La intersección de dos conjuntos A y B, expresada por A X B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B: AXB 2.6.3. tx | x P A ^ x P B u. Diferencia Definición 2.19. La diferencia entre dos conjuntos A y B, expresada por AzB, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B: AzB tx | x P A ^ x R B u. 2.6.4. Complemento Definición 2.20. El complemento de un conjunto A, expresado por Ac , es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A: tx | x P U ^ x R Au. Ejercicio 2.21. Sea U t0, 1, 2, 3, . . . , 13u. Calcular: 1. A tx P U | x es paru 2. B tx P U | x es múltiplo de 3u 3. C tx P U | x es primou 4. Ac Y C 5. B c X C 6. C zA 7. AzC Ac ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 17 8. B zpA Y C q Ejemplo 2.22. Demostrar (por las definiciones) que: 1. pA X B qc 2. Ac Y B c B zA B X Ac 2.6.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Propiedades de los conjuntos AYAA AXAA AYB BYA AXB BXA A Y pB Y C q pA Y B q Y C A X pB X C q pA X B q X C A Y pB X C q pA Y B q X pA Y C q A X pB Y C q pA X B q Y pA X C q pA Y B qc Ac X B c pA X B qc Ac Y B c pAcqc A A Y Ac U A X Ac ∅ AY∅A AXU A AYU U AX∅∅ Leyes idempotentes Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan Ley de involución Leyes de complementación Leyes de identidad Leyes de dominación Ejercicio 2.23. Demostrar, por medio de las propiedades, que: 1. pAzB qc 2. 3. 4. Ac Y B. A Y pA X B q A. pAzB q X B ∅. A X pB zC q pA X B qzpA X C q. 2.6.6. Propiedades de las cardinalidades 1. |∅| 0. 2. Si A B, entonces |A| ¤ |B|. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 3. |A Y B| |A| 18 |B| |A X B|. 4. |A Y B| ¥ máxt|A|, |B|u. 5. |A X B| ¤ mı́nt|A|, |B|u. Ejercicio 2.24. Demostrar por medio de las propiedades que: 1. Si A B, entonces |A| |B|. 2. Si A X B 3. 4. ∅, entonces |A Y B| |A| |A| |Ac | |U |. |AzB| |A| |A X B|. 2.7. |B|. Diagramas de Venn Propuestos por John Venn (1834-1923) para cálculos lógicos, en la actualidad se emplean para representar gráficamente los conjuntos y sus relaciones. U A B Figura: Representación de dos conjuntos mediante un diagrama de Venn. Ejemplo 2.25. Representar mediante el diagrama de Venn los siguientes conjuntos: A Y B, A X B. Ejercicio 2.26. Verificar mediante un diagrama de Venn: A B 2.7.1. ñ A X B A. Conteo mediante diagramas de Venn Ejemplo 2.27. En una empresa trabajan 20 personas de las cuales 13 son casadas y 11 son profesionistas; de las profesionistas 5 no son casadas. ¿Cuántas personas no son casadas ni profesionistas y cuántas son casadas y profesionistas? R = Dos y seis. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 19 Ejercicio 2.28. En una encuesta a 200 alumnos se encontró que 68 tienen excelente conducta, 138 son inteligentes, 160 son muy sociables, 120 son muy sociables e inteligentes, 20 tienen excelente conducta pero no son inteligentes, 13 tienen excelente conducta pero no son muy sociables, y 15 tienen excelente conducta, son muy sociables y no son inteligentes. Identificar en un diagrama de Venn. 2.8. 2.8.1. Producto cartesiano Pares ordenados Definición 2.29. Un par ordenado o pareja ordenada es una asociación de dos elementos a y b tales que el primer elemento es a y el segundo es b. El par ordenado se escribe pa, bq. Ejemplo 2.30. . 1. Observe que p2, 3q p3, 2q. 2. De hecho pa, bq pc, dq si y sólo si a c y b d. 3. Ambos elementos del par ordenado puede ser el mismo: pa, aq. 2.8.2. Conjunto producto Definición 2.31. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano de A y B, denotado por A B, consta de todos los pares ordenados pa, bq tales que a es elemento de A y b es elemento de B, esto es: AB tpa, bq | a P A ^ b P B u. Notación 2.32. Al producto cartesiano de un conjunto A con sı́ mismo, es decir A A, lo denotamos también por A2 . Ejercicio 2.33. . 1. Sean A ta, bu y B t1, 2, 3u, escribir explı́citamente el conjunto A B. 2. Si un conjunto A tiene n elementos y un conjunto B tiene m elementos, ¿cuántos elementos tiene A B? 3. Sean A t0, 1, 2, 3u y B pA B q X pB Aq. t2, 3, 4u, escribir explicitamente el conjunto ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 2.8.3. 20 Conjunto producto en general El concepto de producto cartesiano se puede generalizar: Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos, el producto cartesiano de ellos se define por A1 A2 An tpa1, a2, . . . , anq | a1 P A1, a2 P A2, . . . , an P Anu donde a cada elemento pa1 , a2 , . . . , an q se le llama n-upla ordenada. 2.8.4. Conjuntos de verdad de proposiciones Supongamos que una proposición P tiene tres variables p, q y r, cada una de ellas toma un valor de verdad en el conjunto B t1, 0u, por lo cual cada posible combinación de valores de verdad puede estar dada por una terna pb1 , b2 , b3 q P B 3 , donde b1 es el valor de verdad de p, b2 el valor de q y b3 el de r. Con lo anterior, todas las posibles combinaciones para evaluar P estarı́an dadas por B 3 tp1, 1, 1q, p1, 1, 0q, p1, 0, 1q, p1, 0, 0q, p0, 1, 1q, p0, 1, 0q, p0, 0, 1q, p0, 0, 0qu. Observación 2.34. Recordemos que, según la notación usada, el conjunto de valores de verdad también puede ser B tV, F u o B tJ, Ku. Definición 2.35. El conjunto de verdad de una proposición P que contiene n variables proposicionales, denotado por T pP q, está formado por aquellos elementos de B n para los cuales la proposición P es verdadera. Ejemplo 2.36. . 1. T pp _ q q tp1, 1q, p1, 0q, p0, 1qu. 2. T ppp Ñ q q ^ pq Ñ rqq tp1, 1, 1q, p0, 1, 1q, p0, 0, 1q, p0, 0, 0qu. Ejercicio 2.37. . 1. T pp Ø q q. 2. T p pq. 3. Es evidente que siempre T pP q B n pero, ¿puede T pP q B n ? 4. ¿Existe la posibilidad de que T pP q ∅? Teorema 2.38. Sean P y Q proposiciones. Entonces: ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 1. T pP 2. 3. 4. _ Qq T pP q Y T pQq. T pP ^ Qq T pP q X T pQq. T p P q T pP qc . P ñ Q si y sólo si T pP q T pQq. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) 21 Capı́tulo 3 Relaciones y funciones 3.1. Relaciones Definición 3.1. Sean A y B dos conjuntos, una relación R definida del conjunto A al conjunto B es un subconjunto de A B. Ejemplo 3.2. . 1. Sean A ta, b, cu, B 2. 3. t1, 2, 3u y R tpa, 2q, pa, 3q, pb, 3qu Sean A t1, 2, 3, 4u, B t3, 4, 5, 6, 7, 8u y R tpa, bq P A B | b 2au. Sean A t1, 2, 3u y R tpa, bq P A2 | a bu. Cuando una relación R está definida del conjunto A al conjunto A, es decir, cuando R A2 , se dice simplemente que R está definida sobre A. Notación 3.3. Algunos autores usan la siguiente notación. Si pa, 2q P R denotan a R 2 y se lee ((a está en relación con 2)) o ((a se relaciona con 2)). También, si pb, 1q R R denotan b R{ 1 y se lee ((b no está en relación con 1)) o ((b no se relaciona con 1)). Este es un abuso de notación, puesto que entonces R es, al mismo tiempo, un subconjunto de A B y un operador binario entre los elementos de A y B, pero, salvo por el rigor, no suele haber oposición en su uso, puesto que no hay peligro de ambigüedad. 3.1.1. Representación gráfica de una relación Una relación puede representarse graficamente en un sistema de coordenadas cartesiano o por medio de un grafo. 22 Matemáticas discretas (M. Mata) 23 Ejemplo 3.4. Dados A t1, 2, 3u, B ta, b, cu y la relación de A a B dada por R tp1, aq, p1, bq, p2, aq, p2, cq, p3, cqu. La representación gráfica de R, tanto en forma cartesiana como en forma de grafo, serı́a: c b a 1 2 3 1 a 2 b 3 c Ejemplo 3.5. Dados A t1, 2, 3, 4u y la relación definida sobre A definida por R tp1, 2q, p1, 4q, p3, 3q, p4, 1q, p4, 2qu. La representación de R en un grafo se puede hacer replicando el conjunto A, resultando un ((gráfico bipartito)) como el del caso anterior, pero también se puede usar el conjunto A una única vez. 4 3 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 Ejercicio 3.6. Dados A representación gráfica. 3.1.2. t1, 2, 3, 4, 5u y R tpa, bq P A2 | a ¤ bu. Hacer su Dominio y rango de una relación Definición 3.7. Dada una relación R de A a B, el dominio y el rango de R están definidos por: Dom R : ta P A | Db P B, pa, bq P Ru, Ran R : tb P B Ejemplo 3.8. Sean A t1, 2, 3, 4u, B b 2au. Encontrar Dom R y Ran R. | Da P A, pa, bq P Ru. t3, 4, 5, 6, 7, 8u y R tpa, bq P A B | Ejercicio 3.9. Si R es una relación de A a B, diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 24 1. Dom R A 4. Dom R A 7. Ran R B 2. Dom R B 5. Ran R B 8. Ran R B 3. Dom R A 6. Ran R A 9. Ran R Dom R Notación 3.10. Algunos autores dan otros nombres al rango de R, como contradominio, imagen o recorrido. Por la misma razón, al conjunto Ran R lo denotan de otra manera, por ejemplo Im R. 3.1.3. Relación inversa Definición 3.11. Sea R una relación de A a B, la inversa de R, representada por R1 , es una relación de B a A que se define como sigue: R1 tpb, aq | pa, bq P Ru. Ejemplo 3.12. . 1. R tp1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu. R1 tp2, 1q, p3, 1q, p3, 2qu. 2. Sea A el conjunto de alumnos del salón y R definida sobre A como sigue: R tpa, bq | a es más alto que bu, entonces R1 tpb, aq | b es más bajo que au. 3. Sea R tpp, q q pq 2q{3u. 3.2. P Q2 | q 3p 2u, entonces R1 tpq, pq P Q2 | p Relaciones de equivalencia y relaciones de orden Definición 3.13. Sea R una relación sobre A: 1. Se dice que R es reflexiva si y sólo si para todo a P A, pa, aq P R. 2. Se dice que R es transitiva si y sólo si se cumple que, si pa, bq P R y pb, cq P R, entonces pa, cq P R. 3. Se dice que R es simétrica si y sólo si se cumple que, si pa, bq P R, entonces pb, aq P R. 4. Se dice que R es antisimétrica si y sólo si se cumple que, si pa, bq a b, entonces pb, aq R R. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) PRy Matemáticas discretas (M. Mata) 25 Ejercicio 3.14. Para cada una de las relaciones siguientes, diga si es reflexiva, transitiva, simétrica o antisimétrica. 1. R tp1, 2q, p1, 3q, p2, 3qu. 2. R tpa, bq P Z | a ¥ bu. 3. Sea A el conjunto de alumnos del salón y R definida sobre A de tal forma que a R b si y sólo si a es amigo de b. 3.2.1. Relaciones de orden Definición 3.15. Sea R una relación sobre A, se dice que R es una relación de orden si y sólo si R es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Ejemplo 3.16. Precisamente en los conjuntos numéricos, las relaciones ((menor o igual)) (¤) y ((mayor o igual)) (¥) son relaciones de orden. Se llaman ası́ porque definen un orden (de menor a mayor o viceversa) entre los elementos del conjunto. 3.2.2. Relaciones de equivalencia Definición 3.17. Sea R una relación sobre A, se dice que R es una relación de equivalencia si y sólo si R es reflexiva, transitiva y simétrica. Ejemplo 3.18. Sea Pn pxq el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n. Sean ppxq y q pxq dos polinomios en Pn pxq y sea R la relación que se define mediante la regla ((ppxq R q pxq si y sólo si ppxq y q pxq tienen el mismo grado)). Entonces R es una relación de equivalencia. Ejemplo 3.19. Sea n P N, para cada a P Z se define el valor de a módulo n como el residuo que queda al dividir a entre n. Suponiendo que el residuo de dividir a entre n es r, se denota a mód n r. Se dice que p es congruente a q módulo n, y se denota p q pmód nq, si y sólo si p q mód n 0. La relación ((p R q si y sólo si p q pmód nq)) es una relación de equivalencia. 3.2.3. Particiones Definición 3.20. Una partición de un conjunto X es una división de los elementos de X de tal manera que cada elemento pertenece sólo una parte de la división. Formalmente, tX1 , X2 , X3 , . . . , Xn u es una partición de X si y sólo si X X1 Y X2 Y Y Xn y para cada par de conjuntos Xi y Xj (con i j) se cumple que Xi X Xj ∅. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 26 Nomenclaura 3.21. Dos conjuntos que cumplen que Xi disjuntos. Ejemplo 3.22. Sea X 3.2.4. X Xj ∅ se llaman t1, 2, 3, 4, 5, 6u, la siguiente es una partición: tt1, 2, 4u, t3, 5u, t6uu. Relaciones de equivalencia y particiones Definición 3.23. Sea R una relación de equivalencia sobre A. Para un elemento a P A se define la clase de equivalencia de a, y se denota ras, como el conjunto de todos los elementos de A que se están relacionados con a, es decir: ras tx | pa, xq P Ru. Ejemplo 3.24. Sea A t1, 2, 3, 4, 5, 6u y R tp1, 1q, p1, 2q, p1, 4q, p2, 2q, p2, 1q, p2, 4q, p3, 3q, p3, 5q, p4, 1q, p4, 2q, p4, 4q, p5, 3q, p5, 5q, p6, 6qu. ¿Es R una relación de equivalencia? Ejercicio 3.25. En el ejemplo anterior calcular r1s, r2s, r3s y r6s. Observación 3.26. Las clases de equivalencia ras son subconjuntos de A. Teorema 3.27. Sea R una relación de equivalencia sobre A. Entonces el conjunto S de las clases de equivalencia son una partición de A. Es decir: S tras | a P Au es una partición de A. Ejemplo 3.28. Graficar, como un grafo, la relación del ejemplo anterior. 1 2 3 4 6 5 Observación 3.29. El grafo obtenido de la relación de equivalencia R está dividido en los subconjuntos de la partición definida por R y cada uno de esos subgrafos es completo. Ejercicio 3.30. ¿Cuántas aristas se conectan a cada nodo en cada parte del grafo? ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 3.3. 27 Funciones Definición 3.31. Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es una relación f tal que a cada elemento de A se le asigna uno y sólo un elemento de B. Notación 3.32. Si f es una función de A en B, la denotamos: f :AÑB o también A ÝÑ B. f Para cada elemento a P A, el elemento de B asignado a a se denota f paq. Ejemplo 3.33. . 1. Sean A t1, 2, 3u y B 2. ta, b, cu. Sea f tp1, aq, p2, cq, p3, cqu. Sean A Z y B N. Sea f pz q z 2 1. Ejercicio 3.34. Diga si las siguientes son funciones: 1. Sean A ta, b, c, d, eu y B 2. 3. 4. 5. 6. A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pe, aqu. Sean A ta, b, c, d, eu y B A. Sea f tpa, eq, pb, eq, pc, eq, pd, eq, pe, equ. Sean A ta, b, c, d, eu y B A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pb, eq, pe, aqu. Sean A Z y B N. Sea f pz q z 3 3. Sean A Z y B N. Sea f pz q z 4 . Sean A Z y B t0, 1u. Sea f definida como: f pz q 0 si z es par y f pz q 1 si z es impar. Observación 3.35. Dado que las funciones son un caso particular de las relaciones, todo lo que hemos estudiado de las relaciones es válido para las funciones. Observación 3.36. Si f es una función, entonces Dom f riamente Ran f B (aunque forzosamente Ran f B). A, pero no necesa- Observación 3.37. Dos funciones f y g, son iguales si y sólo si f paq g paq para todo a P A. ¿Cuándo dos funciones son distintas? ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 3.3.1. 28 Gráfica de una función Dado que una función es una relación, la gráfica de una función es en realidad su representación en producto cartesiano. La definición formal se da a continuación. Definición 3.38. Sea f : A Ñ B una función, la gráfica de f , denotada por Γpf q, es el subconjunto de A B definido por: Γpf q tpa, f paqq | a P Au. Ejemplo 3.39. Graficar las siguientes funciones: 1. Sean A ta, b, c, d, eu y B 2. 3. A. Sea f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu. Sean A Z y B Z. Sea f pz q 2z 1. Sean A Z y B N. Sea f pz q z 2 1. e d c 5 10 4 9 3 8 2 7 1 3 2 1 b a 0 6 1 2 5 3 1 4 2 3 3 2 4 a b c d e 5 1 3 2 1 0 1 2 3 Gráficas de los ejemplos 1, 2 y 3, respectivamente. Observación 3.40. En la gráfica de una función cada recta vertical que pasa por un elemento del dominio intersecta con uno y sólo un punto de la gráfica. 3.3.2. Composición de funciones Sean f : A Ñ B y g : B Ñ C dos funciones. Dado que para cada a P A, f paq es un elemento de B, y puesto que B es el dominio de g, entonces tiene sentido calcular g pf paqq, el cual es un elemento de C, ya que C es el contradominio de g. Definición 3.41. Dadas f : A Ñ B y g : B Ñ C dos funciones, la función compuesta de f con g, denotada por g f es la función de A en C tal que g f paq g pf paqq. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 29 f A g B C Ejemplo 3.42. Sean A ta, b, cu, B t1, 2, 3u y C tx, y, z u. Sean f : A Ñ B y g : B Ñ C las siguientes: f tpa, 2q, pb, 3q, pc, 2qu y g tp1, xq, p2, z q, p3, xqu. ¿Son f y g funciones? ¿Quién es g f ? Ejemplo 3.43. Sean f : R Ñ R y g : R Ñ R definidas como sigue: f pxq g pxq x 3. ¿Son f y g funciones? ¿Quién es g f ? ¿Quién es f g? Observación 3.44. Se debe tener cuidado de no confundir g f con f el ejemplo 1 ni siquiera existe f g). 3.3.3. x2 y g. (En Funciones inyectivas y sobreyectivas Definición 3.45. Se dice que una función f : A Ñ B es inyectiva si y sólo si diferentes elementos del dominio tienen diferentes imágenes, esto es: a b ñ f paq f pbq o equivalentemente f paq f pbq ñ a b. Definición 3.46. Se dice que una función f : A Ñ B es sobreyectiva si y sólo si todo b P B es imagen de algún a P A, esto es: @b P B, Da P A, f paq b o equivalentemente Definición 3.47. Se dice que una función f : A inyectiva y sobreyectiva. Ran f B. Ñ B es biyectiva si y sólo si es Ejercicio 3.48. Decir si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas o ninguna: 1. Sea A ta, b, c, d, eu y f : A Ñ A, f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu. 2. f : Z Ñ Z, f pz q 2z 1 4. f : R Ñ R, f pxq xp donde p es un número natural impar. 3. f : R Ñ R0 , f p xq x2 Ejercicio 3.49. Demostrar las siguientes afirmaciones: 1. La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva. 2. La composición de dos funciones sobreyectivas es sobreyectiva. g es inyectiva, entonces g es inyectiva. Si f g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva. 3. Si f 4. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 3.3.4. 30 Función inversa Dada una función f , puesto que f es una relación, la relación inversa f 1 definida antes siempre existe, pero ¿es siempre f 1 una función? Ejemplo 3.50. Dados A B ta, b, c, d, eu y f tpa, bq, pb, cq, pc, dq, pd, cq, pe, aqu, entonces f 1 tpa, eq, pb, aq, pc, bq, pc, dq, pd, cqu no es una función. Ejemplo 3.51. Dados A B ta, b, c, d, eu y f tpa, bq, pb, dq, pc, eq, pd, aq, pe, cqu, entonces f 1 tpa, dq, pb, aq, pc, eq, pd, bq, pe, cqu sı́ es función. Observación 3.52. Para que f 1 sea una función, es necesario que f sea biyectiva. Ejercicio 3.53. Sea f : Q biyectiva?, ¿cuál su inversa? Ejercicio 3.54. Dada f Ñ Q dada por f pxq 4 c 3 b 2 a 1 2 2. ¿Es función?, ¿es f 1 5 d 1 3x tp1, bq, p2, dq, p3, eq, p4, aq, p5, cqu, graficar f y f 1. f e 3 4 5 a b c d e Observación 3.55. Dada f una función, la gráfica de la función inversa f 1 es la gráfica de f reflejada sobre un eje de 45 . 3.3.5. Función identidad Definición 3.56. Dado A un conjunto, la función IA : A Ñ A definida por IA paq a se llama función identidad en A. Es decir, IA asigna cada elemento a sı́ mismo. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 31 Observación 3.57. Dada f : A Ñ B cualquier función, entonces: IB f Observación 3.58. Si f : A función inversa, entonces: f 1 f f I f. A Ñ B es una función biyectiva y f 1 : B Ñ A su I A y f f 1 I B . Observación 3.59. Por último, observe que, si f es biyectiva, pf 1 q1 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) f. Capı́tulo 4 Recursividad 4.1. Sucesiones Definición 4.1. Una sucesión S es una función f : N Ñ A. Si f pnq sn solemos denotar S ps1 , s2 , s3 , . . . q, S psn q8 n1 , S psn qnPN o simplemente S psn q. Los elementos sn son llamados términos de la sucesión. Notación 4.2. La mayorı́a de los autores denotan las sucesiones por S tsn u. Nosotros las denotaremos con paréntesis como una n-upla y no con llaves como un conjunto, ya que el orden de los elementos es importante. Ejemplo 4.3. . # 1. f pnq n 2 n 1 2 si n es par, si n es impar. 2. f pnq p1qn 3. p2, 4, 6, 8, . . . q 4. n2 n 2 4.1.1. P n N Sucesiones crecientes y decrecientes Definición 4.4. Sea S psn q una sucesión, entonces: Se dice que S es creciente si y sólo si sk sk 1 para todo k P N. Se dice que S es decreciente si y sólo si sk ¡ sk 1 para todo k P N. Se dice que S es no creciente si y sólo si sk ¥ sk 1 para todo k P N. Se dice que S es no decreciente si y sólo si sk ¤ sk 1 para todo k P N. 32 Matemáticas discretas (M. Mata) 33 Nomenclaura 4.5. Una sucesión se dice monótona si es creciente, decreciente, no creciente o no decreciente. Ası́, por ejemplo, si una sucesión es creciente, también se dice que es monótona creciente. Ejemplo 4.6. Decir si las siguientes sucesiones son crecientes, decrecientes, no crecientes, no decrecientes o ninguna. 1. sn np , 1 2. pp ¥ 1q P n n N nn 1 S p2, 4, 6, 8, . . . q sn p1qn 3. sn 4. 5. 6. n n2 2 8 7. pn2 2n qn1 4.1.2. Subsucesiones Definición 4.7. Sea psn q una sucesión y pnk q una sucesión de elementos de N tales que n1 n2 n3 . Entonces, la sucesión psnk q es llamada una subsucesión de psn q. Ejemplo 4.8. Sea S psn q una sucesión, la sucesión ps2n qnPN es una subsucesión de S. ps2, s4, s6, . . . q Teorema 4.9. Toda sucesión de números reales tiene una subsucesión monótona. 4.2. Cadenas Definición 4.10. Una cadena sobre un conjunto A es una secuencia finita de elementos de A. Ejemplo 4.11. . 1. Sea A ta, b, c, du. Si se tiene que β1 la cadena babc. b, β2 a, β3 b, ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) β4 c, se tiene Matemáticas discretas (M. Mata) 2. Sea B t0, 1u. Si se tienen β1 tiene la cadena 10010. 34 1, β2 0, β3 0, β4 1, β5 0, se Observación 4.12. Al igual que con las sucesiones, en las cadenas el orden es importante, por ello podemos denotar una cadena como β pβn qm n1 para algún número m. Notación 4.13. Las repeticiones de un elemento se denotan con un superı́ndice. Por ejemplo baaaccbbbd puede escribirse como ba3 c2 b3 d. Definición 4.14. La cadena sin elementos se llama cadena nula y se denota por λ. Se define A como el conjunto de todas las posibles cadenas sobre A, incluyendo la cadena nula; y A como el conjunto de todas las cadenas no nulas sobre A. Ejercicio 4.15. Si A es un conjunto finito, ¿A es finito? Definición 4.16. La longitud de una cadena β, denotada por |β|, es el número de elementos en β. Ejercicio 4.17. Calcular la longitud de las siguientes cadenas: aabcad β 015 08 1 1. β 2. 3. λ 4.2.1. Concatenación Definición 4.18. Sean α y β dos cadenas, la concatenación de α con β es la cadena formada por α seguida de β, y se escribe αβ. Ejercicio 4.19. . 1. Sean α aab y β acad, escribir αβ y βα. 0110, escribir λγ y γλ. Sean ε x10 z 9 y 13 y δ y 8 x7 , escribir εδ y δε. 2. Sea γ 3. Ejercicio 4.20. Si α P A y β P B , ¿a qué conjunto pertenece αβ? ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 4.2.2. 35 Subcadenas Definición 4.21. Se dice que una cadena α es una subcadena de la cadena β si y sólo si existen dos cadenas γ y δ tales que β γαδ. Ejercicio 4.22. . 1. En los siguientes casos, decir si α es una subcadena β. a) α ab y β 2. 3. cabad. b) α 011 y β 001011. Dado β x10 z 9 y 13 , ¿cuáles de las siguientes son una subcadena de β? a) α1 x2 y 3 . b) α2 x10 z 10 . c) α3 zy. Dado β p2n2 nq100 n1 y α p231, 276q, ¿es α una subcadena de β? Ejercicio 4.23. Demostrar que toda cadena es subcadena de sı́ misma. 4.3. Funciones recursivas Ejercicio 4.24. En la biblioteca se cobran $ 5.00 por el préstamo de un libro que debe devolverse al dı́a siguiente. Si un estudiante desea llevarse el libro por más tiempo, pagará una cantidad de $ 1.50 por cada dı́a adicional. Sea cn el costo que el alumno debe pagar el dı́a n por haber pedido prestado un libro. ¿Cuánto se debe pagar por conservarlo un dı́a más? cn 1 cn 1.5 con c1 5. Observación 4.25. La anterior es una formula recursiva. En este caso es posible hallar una expresión alternativa que no dependa del valor anterior: cn 5 1.5pn 1q. Nomenclaura 4.26. Una función recursiva es una función f : N Ñ R tal que el valor de f pnq depende de un conjunto de valores anteriores, los cuales deben ser conocidos o pueden ser calculados. En términos simples, una función recursiva es aquella que se invoca a sı́ misma. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 36 Notación 4.27. Con frecuencia escribimos fn como equivalente de f pnq. Ejemplo 4.28. . 1 n fn1. Dado a ¡ 0, ga p0q 1 y ga pnq a ga pn 1q. F0 0, F1 1 y Fn Fn1 Fn2 . 1. f0 2. 3. 4.4. y fn Notación Sigma Una suma de términos se puede escribir en forma más compacta y más concisa mediante la notación sigma: n ¸ ai a1 a2 a3 an . i 1 Ejercicio 4.29. Expresar las siguientes sumas en su notación desarrollada: 1. 7 ¸ bi i 3 2. 4 ¸ cj 1 j 1 3. 5 ¸ a2k1 k 1 Ejercicio 4.30. Calcular el resultado de las siguientes sumas: 1. 5 ¸ 3i i 2 2. 4 ¸ pj 1q2 j 1 3. 5 ¸ p2k 1q k 1 4. 888 ¸ p1qi i 1 ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 5. n ¸ 37 1 i 1 Teorema 4.31. Sean pan q y pbn q dos sucesiones y c una constante, entonces las siguientes propiedades se cumplen: 1. n ¸ c ai c i 1 2. n ¸ n ¸ pai bi q i 1 3. n ¸ n ¸ ai i 1 ai i 1 4.5. ai i 1 m ¸ ai i 1 n ¸ bi i 1 n ¸ ai i m 1 Inducción matemática La inducción matemática es un método que permite demostrar que cierta propiedad se cumple para todos los elementos de un conjunto infinito numerable. La idea fundamental se basa en que, si una propiedad P es válida para un número k0 P N y que si siempre que dicha propiedad sea verdadera para un número k también lo para su sucesor k 1; entonces se puede asegurar que la propiedad P es válida para todos los números naturales mayores o iguales que k0 . La demostración por inducción matemática se basa, por tanto, en dos pasos: Paso inductivo (paso de la muerte): Suponiendo que la propiedad deseada es verdadera para un número k, demostrar que lo es para su sucesor k 1. Paso base: Demostrar que existe un número inicial k0 para el cual se cumple la propiedad deseada. Ejemplo 4.32. Considere la siguiente sucesión. Sea Sn Demuestre que, para todo n P N se cumple que: Sn 1 2 3 npn2 1q . Ejercicio 4.33. Demostrar por inducción las siguientes afirmaciones: 1. n ¸ i 1 i2 npn 1qp2n 6 1q ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) n. Matemáticas discretas (M. Mata) 38 2. n! ¥ 2n ¿cuál es la base? 3. 4. 5. @n P N se cumple que 5n 1 es divisible por 4. n ¸ rn 1 1 ri r1 i0 n ¸ p2k 1q n2 k 1 6. 7. @n P N se cumple que n3 n es divisible por 3. n ¸ npn 1qpn 2q k pk 1q 3 k 1 8. n ¸ i3 i 1 9. n ¸ i 1 i4 2 2 n pn4 1q npn 1qp2n 1qp3n2 30 3n 1q ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Capı́tulo 5 Combinatoria 5.1. Conteo Ejemplo 5.1. Un estudiante tiene 6 playeras, 4 pantalones y 2 pares de tenis. ¿De cuántas formas distintas puede combinar su ropa al vestir? 5.1.1. Principio fundamental del conteo Si un suceso puede ocurrir de n1 formas distintas, un segundo suceso puede ocurrir de n2 formas distintas, y ası́ sucesivemente hasta un k-ésimo evento que puede ocurrir de nk formas distintas, entonces el número de formas distintas en que los sucesos pueden ocurrir es n1 n2 nk . Ejercicio 5.2. Las placas de automovil contienen 3 letras seguidas de 4 números. ¿Cuántas placas diferentes pueden fabricarse? Ejercicio 5.3. Si se eligen en el salón un presidente, un secretario y un tesorero, ¿de cuántas formas diferentes puede hacerse esta selección? 5.2. Permutaciones Definición 5.4. Sea A un conjunto de n elementos. Una ((permutación de esos n elementos tomados de r a la vez)) (r ¤ n) es un arreglo de r elementos de A en un orden determinado. En otras palabras, una ((permutación de n en r)) es un posible ordenamiento de r de los elementos de A. Nomenclaura 5.5. Cuando se permutan todos los elementos A se dice simplemente permutación en vez de ((permutación de n en n)). 39 Matemáticas discretas (M. Mata) 40 Ejercicio 5.6. Sea A ta, b, c, du. 1. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones de los elementos de A? Enliste algunos ejemplos. 2. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 3 a la vez? Enliste algunos ejemplos. 3. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 2 a la vez? Escriba algunos ejemplos. 4. ¿Cuántas son todas las posibles permutaciones tomadas de 1 a la vez? Enliste algunos ejemplos. Notación 5.7. El número de permutaciones de n en r se representa por Prn . Otros autores también usan P pn, rq, n Pr o Pn,r . Definición 5.8. Se define el factorial de un número n P N0 , y se denota n!, como 1 si n 0 y como el producto de todos los números naturales menores o iguales a n para el resto de los casos. Es decir, n! Teorema 5.9. Prn # 1 si n 0, 1 2 . . . n si n P N. npn 1qpn 2q pn r 1q n! pn rq! Ejercicio 5.10. Calcular P47 . 5.2.1. Permutaciones con repetición En ocasiones deseamos encontrar el número de permutaciones de objetos, algunos de los cuales son iguales. Teorema 5.11. El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales, . . . , nk son iguales (n n1 n2 nk ) es n! n1 !n2 ! nk ! Ejemplo 5.12. ¿Cuántos cadenas distintas de longitud 7 pueden formarse con los elementos de la cadena cananea? ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 5.3. 41 Combinaciones Definición 5.13. Sea A un conjunto de n elementos. Una ((combinación de esos n elementos tomados de r a la vez)) es cualquier selección de r elementos de A sin importar el orden. En otras palabras, una ((combinación de n en r)) es cualquier subconjunto de r elementos del conjunto A. Ejercicio 5.14. Sea A ta, b, c, du. 1. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 3 a la vez. 2. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 2 a la vez. 3. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 1 a la vez. 4. Enliste todas las posibles combinaciones tomadas de 4 a la vez. Notación 5.15. El número de combinaciones de n en r se representa por Crn . Otros autores también usan C pn, rq, n Cr o Cn,r . n Teorema 5.16. Crn Pr!r r!pnn! rq! Ejemplo 5.17. . 1. ¿Cuántos comités de 3 personas pueden hacerse de un grupo de 8? 2. ¿Cuántas manos de poquer distintas pueden tomarse de la baraja inglesa? 5.4. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es un recurso gráfico que se puede emplear para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia finita de sucesos. Ejemplo 5.18. Un estudiante tiene 3 camisetas, 2 pantalones y 2 pares de tenis. ¿De cuáles formas puede combinar su ropa al vestir? Denotemos por el conjunto C tc1 , c2 , c3 u las tres camisetas, por P tp1 , p2 u los dos pantalones y por T tt1 , t2 u los dos pares de tenis. Las posibles formas de combinar la ropa se ilustran en el siguiente diagrama: ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 42 t1 p1 t2 c1 t1 p2 t2 t1 p1 t2 c2 t1 p2 t2 t1 p1 t2 c3 t1 p2 t2 Ejemplo 5.19. Mateo y Enrique van a jugar ajedrez. El primero en ganar dos juegos seguidos o que gane un total de tres juegos será el ganador del encuentro. El siguiente diagrama ilustra las posibles formas en que termine el encuentro: M M M M E M E E E M M M E M E E E E Ejercicio 5.20. Un hombre jugará a la ruleta. El hombre inicia con un peso y en cada juego gana o pierde un peso. El hombre teminará de jugar si se queda sin dinero, cuando termine el quinto juego, o cuando tenga una ganacia de tres pesos ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 43 (es decir, si acumula cuatro pesos). Realice un diagrama de árbol que represente todas las posibilidades. 4 4 3 2 3 2 2 1 0 1 2 4 3 2 1 2 0 2 1 0 5.5. 0 Coeficientes binomiales Definición 5.21. Se define el ((coeficiente binomial de n en r)) (con n y r números naturales o cero tales que r ¤ n) como n r Observación 5.22. n r Crn Ejemplo 5.23. Demostrar que 5.5.1. r!pnn! rq! n r n n r Triángulo de pascal El triángulo de Pascal es una disposición de números ordenados en forma triangular, de tal manera que cada número interior tiene un número superior derecho y un número superior izquierdo, tales que dicho número es igual a la suma de sus números superiores. ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) Matemáticas discretas (M. Mata) 44 1 1 1 1 1 1 6 7 3 4 5 1 2 1 1 1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 21 35 35 21 1 7 6 0 7 0 1 4 0 5 0 3 0 5 1 6 1 7 1 7 2 2 0 4 1 6 2 1 0 3 1 2 1 0 0 5 2 4 2 6 3 7 3 1 1 2 2 3 2 4 3 5 3 7 4 6 4 3 3 5 4 4 4 6 5 7 5 5 5 7 6 6 6 7 7 Los números del triángulo de Pascal están ı́ntimamente relacionados con los coeficientes binomiales, como se muestra en la figura, y con el teorema del binomio. Para establecer la relación entre el triángulo de Pascal y los coeficientes bino1. miales observe que el k-ésimo elemento de la n-ésima fila es nk 1 Ası́, la propiedad de que cada elemento del triángulo es igual a la suma de los elementos superiores a él se puede demostrar en el siguiente teorema. n r Teorema 5.24. 5.5.2. n1 . r n1 r1 Teorema del binomio El teorema del binomio, que puede demostrarse por inducción matemática, establece la expresión general para el desarrollo de pa bqn . Teorema 5.25. pa bq n n ¸ r 0 Ejemplo 5.26. Desarrollar pa pa bq6 a6 6a5 b n nr r a b. r bq6 . 15a4 b2 20a3 b3 15a2 b4 6ab5 b6 . Ejercicio 5.27. Desarrollar p2x 3y q5 . Ejemplo 5.28. Demostrar que Ejercicio 5.29. Demostrar que n 0 n 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n n 2n. p1qn n n ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) 0. Capı́tulo 6 Teorı́a de grafos Los grafos, también llamados gráficas, son herramientas muy útiles en la comprensión, construcción y resolución de modelos y métodos matemáticos para la solución de diversos problemas teóricos y prácticos de diversas áreas del conocimiento. 6.1. Grafos Definición 6.1. Un grafo G pV, E q es una pareja ordenada constituida por un conjunto V de vértices o nodos y un conjunto E de parejas de elementos de V . Observación 6.2. La mayorı́a de los autores se suele definir a V como un conjunto finito y no vacı́o. Por su parte, el conjunto E puede ser definido de parejas ordenadas o de parejas no ordenadas de elementos de V . Definición 6.3. Se dice que un grafo G pV, E q es: Un ((grafo dirigido)) si el conjunto E está formado por parejas ordenadas de elementos de V , es decir, E V V . En este caso, los elementos de E son llamados ((arcos)). Un ((grafo no dirigido)) si el conjunto E está formado por parejas no ordenadas de elementos de V , es decir, E ttu, v u | u, v P V u. En este caso, los elementos de E son llamados ((aristas)). Un ((grafo mixto)) si el conjunto E contiene tanto ((arcos)) como ((aristas)). 45 Matemáticas discretas (M. Mata) 6.2. Árboles ¡Material en construcción! (versión: 2016.02.08) 46
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