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Procesos de Lévy en Finanzas:
Precificación de Derivativos y Cálculo de
Valor en Riesgo
José Fajardo
IBMEC Business School
VII CONEEST, 12–17 de Setiembre de 2005. Lima - Perú.
José Fajardo – p.1/53
Motivación
Sea Xt una variable aleatoria Normal para todo t.
•
Louis Bachelier (1900): Pt = P0 · Xt
José Fajardo – p.2/53
Motivación
Sea Xt una variable aleatoria Normal para todo t.
•
•
Louis Bachelier (1900): Pt = P0 · Xt
Paul Samuelson (1964): Pt = P0 · eXt
José Fajardo – p.2/53
Motivación
Sea Xt una variable aleatoria Normal para todo t.
•
•
•
Louis Bachelier (1900): Pt = P0 · Xt
Paul Samuelson (1964): Pt = P0 · eXt
Hipótesis de Normalidad (HN):
t
Los rendimientos Rt = ln( PPt−1
) son Normales
José Fajardo – p.2/53
Motivación
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
José Fajardo – p.3/53
Motivación
•
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
Exceso de curtosis
José Fajardo – p.3/53
Motivación
•
•
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
Exceso de curtosis
Asimetria Negativa
José Fajardo – p.3/53
Motivación
•
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
Exceso de curtosis
•
Asimetria Negativa
•
Presencia de saltos
José Fajardo – p.3/53
Motivación
•
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
Exceso de curtosis
•
Asimetria Negativa
•
Presencia de saltos
•
Deficiencia en la Precificación de Derivativos
José Fajardo – p.3/53
Motivación
•
•
Hipótesis de Normalidad no verificada!
Exceso de curtosis
•
Asimetria Negativa
•
Presencia de saltos
•
•
Deficiencia en la Precificación de Derivativos
Necesidad de Mejorar las Medidas de Riesgo
José Fajardo – p.3/53
Motivación
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
Fig. 1 Histograma de los Rendimientos IGBVL y la distribución Normal que tiene la
misma media y varianza.
José Fajardo – p.4/53
Motivación
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
0.06
Quantiles of Input Sample
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−4
−3
−2
−1
0
1
Standard Normal Quantiles
2
3
4
Fig. 2 Cuantil-Cuantil IGBVL
José Fajardo – p.5/53
Motivación
QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal
0.15
0.1
Quantiles of Input Sample
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−4
−3
−2
−1
0
1
Standard Normal Quantiles
2
3
4
Fig. 3 Cuantil-Cuantil Minsur
José Fajardo – p.6/53
Procesos de Lévy
Decimos que un proceso X = {Xt }t≥0 es un Proceso
de Lévy, si:
José Fajardo – p.7/53
Procesos de Lévy
Decimos que un proceso X = {Xt }t≥0 es un Proceso
de Lévy, si:
• X
tiene caminos RCLL
José Fajardo – p.7/53
Procesos de Lévy
Decimos que un proceso X = {Xt }t≥0 es un Proceso
de Lévy, si:
• X
tiene caminos RCLL
• X 0 = 0,
y tiene incrementos independientes, dados
0 < t1 < t2 < ... < tn , las v.a.
Xt1 , Xt2 − Xt1 , · · · , Xtn − Xtn−1
son independientes.
José Fajardo – p.7/53
Procesos de Lévy
Decimos que un proceso X = {Xt }t≥0 es un Proceso
de Lévy, si:
• X
tiene caminos RCLL
• X 0 = 0,
y tiene incrementos independientes, dados
0 < t1 < t2 < ... < tn , las v.a.
Xt1 , Xt2 − Xt1 , · · · , Xtn − Xtn−1
son independientes.
•
La distribución de los incrementos Xt − Xs es
homogenea en el tiempo, i.e., depende solamente
de la diferencia t − s.
José Fajardo – p.7/53
Procesos de Lévy
Exemplos:
•
Proceso de Poisson: Nt − Ns ∼ Nt−s ∼ P(λ(t − s))
José Fajardo – p.8/53
Procesos de Lévy
Exemplos:
•
•
Proceso de Poisson: Nt − Ns ∼ Nt−s ∼ P(λ(t − s))
√
Movimiento Browniano: Bt − Bs ∼ N (0, t − s), t > s
José Fajardo – p.8/53
Procesos de Lévy
Exemplos:
•
•
Proceso de Poisson: Nt − Ns ∼ Nt−s ∼ P(λ(t − s))
√
Movimiento Browniano: Bt − Bs ∼ N (0, t − s), t > s
30
25
20
15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Fig. 4 Modelo de Samuelson
José Fajardo – p.8/53
Formula de Lévy-Khintchine
Un resultado clave para obtener la distribuición de los
Procesos de Lévy es la formula de Lévy-Khintchine
que nos da la función característica de Xt :
ϕ(z) = E(ezXt ) = etψ(z)
José Fajardo – p.9/53
Formula de Lévy-Khintchine
Un resultado clave para obtener la distribuición de los
Procesos de Lévy es la formula de Lévy-Khintchine
que nos da la función característica de Xt :
ϕ(z) = E(ezXt ) = etψ(z)
donde ψ es llamado exponente caracterı́stico, y es dado
por:
José Fajardo – p.9/53
Formula de Lévy-Khintchine
Un resultado clave para obtener la distribuición de los
Procesos de Lévy es la formula de Lévy-Khintchine
que nos da la función característica de Xt :
ϕ(z) = E(ezXt ) = etψ(z)
donde ψ es llamado exponente caracterı́stico, y es dado
por:
1 2 2
ψ(z) = bz + σ z +
2
Z
IR
(ezy − 1 − zy1{|y|<1} )Π(dy),
donde b y σ ≥ 0 son constantes reales,
R y Π2 es una
medida positiva en IR − {0} tal que (1 ∧ y )Π(dy) < ∞,
y es llamada medida de Lévy,
José Fajardo – p.9/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1977 → Barndorff-Nielsen - Desarrolla la
Distribuición Hiperbólica
José Fajardo – p.10/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1977 → Barndorff-Nielsen - Desarrolla la
Distribuición Hiperbólica
•
1978 → Barndorff-Nielsen - Expande los
conceptos y obtiene la Distribuición Hiperbólica
Generalizada;
José Fajardo – p.10/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1977 → Barndorff-Nielsen - Desarrolla la
Distribuición Hiperbólica
•
1978 → Barndorff-Nielsen - Expande los
conceptos y obtiene la Distribuición Hiperbólica
Generalizada;
•
1992 → Blæsild y Sørensen - Crean el primer
programa de estimación de los parametros de la
Hiperbólica multidimensional
José Fajardo – p.10/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1977 → Barndorff-Nielsen - Desarrolla la
Distribuición Hiperbólica
•
1978 → Barndorff-Nielsen - Expande los
conceptos y obtiene la Distribuición Hiperbólica
Generalizada;
•
1992 → Blæsild y Sørensen - Crean el primer
programa de estimación de los parametros de la
Hiperbólica multidimensional
•
1995 → Eberlein y Keller - Introducen la
distribuición Hiperbólica en finanzas
José Fajardo – p.10/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1997 → Keller - Precifica derivativos utilizando
distribuiciones hiperbólicas;
José Fajardo – p.11/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1997 → Keller - Precifica derivativos utilizando
distribuiciones hiperbólicas;
•
1999 → Prause - Estima los parametros de la
distribución Hiperbólica Generalizada en una y
dos dimensiones, precifica derivativos y calcula
VaR, usando datos alemanes y americanos
José Fajardo – p.11/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1997 → Keller - Precifica derivativos utilizando
distribuiciones hiperbólicas;
•
1999 → Prause - Estima los parametros de la
distribución Hiperbólica Generalizada en una y
dos dimensiones, precifica derivativos y calcula
VaR, usando datos alemanes y americanos
•
2001 → Fajardo et al. - Verifican por primera vez la
aderencia de la distribuição Hiperbólica a datos
brasileños.
José Fajardo – p.11/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
1997 → Keller - Precifica derivativos utilizando
distribuiciones hiperbólicas;
•
1999 → Prause - Estima los parametros de la
distribución Hiperbólica Generalizada en una y
dos dimensiones, precifica derivativos y calcula
VaR, usando datos alemanes y americanos
•
2001 → Fajardo et al. - Verifican por primera vez la
aderencia de la distribuição Hiperbólica a datos
brasileños.
•
2002 → Fajardo y Farias - Verifican la aderencia
de la distribución Hiperbólica Generalizada a
datos brasileños (WP 52 Banco Central do Brasil).
José Fajardo – p.11/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
DGH (x; α, β, δ, µ, λ) = a(λ, α, β, δ)(δ 2 +(x−µ)2 )
(λ− 1
2)
2
K(λ, α, δ, µ, β)
con,
p
K(λ, α, δ, µ, β) = Kλ− 1 (α δ 2 + (x − µ)2 )e(β(x−µ))
2
donde,
(α2
y
−
λ
2
β )2
a(λ, α, β, δ) = √
p
(λ− 12 ) λ
2πα
δ Kλ (δ α2 − β 2 )
1
Kλ (x) =
2
Z
∞
0
1
λ−1
y
exp − x y + y −1 dy, x > 0
2
es la func. modificada de Bessel de segundo tipo con índice λ.
José Fajardo – p.12/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
•
Los parametros de la función tienen el siguiente
domínio:
µ, λ ∈ R
−α < β < α
δ, α > 0.
José Fajardo – p.13/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Función Caracterísitca:
ϕ(u) = euµ
α2
− β2
α2 − (β + u)2
λ/2
p
Kλ (δ α2 − (β + u)2 )
p
Kλ (δ α2 − β 2 )
José Fajardo – p.14/53
Hechos Estilizados
•
Asimetria: β
José Fajardo – p.15/53
Hechos Estilizados
•
•
Asimetria: β
Colas semi-pesadas:
x → ±∞ =⇒ gh(x; λ, α, β, δ) ∼| x |λ−1 e((∓α+β)x)
José Fajardo – p.15/53
Hechos Estilizados
•
•
Asimetria: β
Colas semi-pesadas:
x → ±∞ =⇒ gh(x; λ, α, β, δ) ∼| x |λ−1 e((∓α+β)x)
Mientras que
Normal ∼ e
2
− x2
y Pareto-estable ∼ |x|−λ
José Fajardo – p.15/53
Hechos Estilizados
0.05
Normal
Pareto
GH
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Fig. 5 Colas quando x −→ ∞
José Fajardo – p.16/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Principales Subclases
•
Hiperbólica (λ = 1)
José Fajardo – p.17/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Principales Subclases
•
Hiperbólica (λ = 1)
•
Normal Inversa Gaussiana (λ = −0.5)
José Fajardo – p.17/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Principales Subclases
•
Hiperbólica (λ = 1)
•
Normal Inversa Gaussiana (λ = −0.5)
•
Hiperbóle (λ = 0)
José Fajardo – p.17/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Principales Subclases
•
Hiperbólica (λ = 1)
•
Normal Inversa Gaussiana (λ = −0.5)
•
•
Hiperbóle (λ = 0)
Hiperbolóide (λ = 0.5)
José Fajardo – p.17/53
Log-densidades de la Normal, Hyp y
NIG
Normal (0,1)
Hyperbolic (1,0,1,0)
Nig (1,0,1,0)
0
10
−1
10
−2
Log−Density
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Log−Returns
José Fajardo – p.18/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Distribuciones Limites
•
Normal: δ → ∞ y δ/α → σ 2
José Fajardo – p.19/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Distribuciones Limites
•
•
Normal: δ → ∞ y δ/α → σ 2
T de Student: α = β = µ = 0 y λ < 0
José Fajardo – p.19/53
Distribuciones Hiperbólicas
Generalizadas
Distribuciones Limites
•
•
•
Normal: δ → ∞ y δ/α → σ 2
T de Student: α = β = µ = 0 y λ < 0
Laplace, Varianza-gamma, Cauchy
José Fajardo – p.19/53
Base de Datos
•
Aciones de la Bovespa
José Fajardo – p.20/53
Base de Datos
•
•
Aciones de la Bovespa
Liquidez
José Fajardo – p.20/53
Base de Datos
•
Aciones de la Bovespa
•
Liquidez
•
Sectores
José Fajardo – p.20/53
Base de Datos
•
Aciones de la Bovespa
•
Liquidez
•
Sectores
•
Naturaleza Jurídica
José Fajardo – p.20/53
Base de Datos
•
Aciones de la Bovespa
•
Liquidez
•
Sectores
•
•
Naturaleza Jurídica
Origen: Economática
José Fajardo – p.20/53
Base de Datos
•
Aciones de la Bovespa
•
Liquidez
•
Sectores
•
Naturaleza Jurídica
•
Origen: Economática
•
t
Rendimientos: Rt = ln( PPt−1
)
José Fajardo – p.20/53
Ación
Código
Início
Final
Itau4
01/07/1994
13/12/2004
Banco do Brasil - PN
Bbas4
01/07/1994
13/12/2004
Bradesco - PN
Bbdc4
01/07/1994
13/12/2004
Cemig - PN
Cmig4
01/07/1994
13/12/2004
Cia Siderúrgica Nacional - ON
Csna3
01/07/1994
13/12/2004
Eletrobrás - PNB
Elet6
01/07/1994
13/12/2004
Embratel Participações - PN
Ebtp4
21/09/1998
13/12/2004
Ibovespa
Ibvsp
01/07/1994
13/12/2004
Petrobrás - PN
Petr4
01/07/1994
13/12/2004
Petrobrás Distribuidora - PN
Brdt4
04/07/1994
13/12/2004
Tele Celular Sul - PN
Tcsl4
21/09/1998
13/12/2004
Tele Nordeste Celular - PN
Tnep4
21/09/1998
13/12/2004
Telemar - PN
Tnlp4
22/09/1998
13/12/2004
Telesp - PN
Tlpp4
01/07/1994
13/12/2004
Vale do Rio Doce - PNA
Vale5
01/07/1994
13/12/2004
Banco Itaú - PN
José Fajardo – p.21/53
Estimación de los Parametros
Máxima log-Verosimilitud
•
Independencia de las rentabilidades
José Fajardo – p.22/53
Estimación de los Parametros
Máxima log-Verosimilitud
•
Independencia de las rentabilidades
•
Único estimador no biesado entre una familia
usada en la literatura. [Prause(1999)]
José Fajardo – p.22/53
Estimación de los Parametros
Máxima log-Verosimilitud
•
Independencia de las rentabilidades
•
Único estimador no biesado entre una familia
usada en la literatura. [Prause(1999)]
•
Grande esfuerzo computacional
José Fajardo – p.22/53
Estimación de los Parametros
Máxima log-Verosimilitud
•
Independencia de las rentabilidades
•
Único estimador no biesado entre una familia
usada en la literatura. [Prause(1999)]
•
Grande esfuerzo computacional
L=
n
X
log (GH(xi ; α, β, δ, µ, λ))
i=1
José Fajardo – p.22/53
Algoritmo de Estimación
•
Refined Bracketing Method
José Fajardo – p.23/53
Algoritmo de Estimación
•
Refined Bracketing Method
•
Downhill Simplex Method
José Fajardo – p.23/53
Algoritmo de Estimación
•
Refined Bracketing Method
•
Downhill Simplex Method
•
Newton Method
José Fajardo – p.23/53
Algoritmo de Estimación
•
Refined Bracketing Method
•
Downhill Simplex Method
•
•
Newton Method
Genetic Algorithms
José Fajardo – p.23/53
Parametros Estimados GH
Muestra
α
β
δ
µ
Bbas4
30.7740
3.5267
0.0295
-0.0051
Bbdc4
47.5455
-0.0006
0
0
Brdt4
56.4667
3.4417
0.0026
Cmig4
1.4142
0.7491
Csna3
46.1510
Ebtp4
λ
LLH
-0.0492
3512.73
1
3984.49
-0.0026
1.4012
3926.68
0.0515
-0.0004
-2.0600
3685.43
0.0094
0
0
0.6910
3987.52
3.4315
3.4316
0.0670
-0.0071
-2.1773
1415.64
Elet6
1.4142
0.0120
0.0524
0
-1.8987
3539.06
Ibvsp
1.7102
-1.6684
0.0357
0.0020
-1.8280
4186.31
Itau4
49.9390
1.7495
0
0
1
4084.89
Petr4
7.0668
0.4848
0.0416
0.0003
-1.6241
3767.41
Tcsl4
1.4142
0
0.0861
0.0011
-2.6210
1329.64
Tlpp4
6.8768
0.4905
0.0359
0
-1.3333
3766.28
Tnep4
2.2126
2.2127
0.0786
-0.0028
-2.2980
1323.66
Tnlp4
1.4142
0.0021
0.0590
0.0005
-2.1536
1508.22
Vale5
25.2540
2.6134
0.0265
-0.0015
-0.6274
3958.47
José Fajardo – p.24/53
Aderencia y Bondad de Ajuste
•
Análisis de Gráficos
José Fajardo – p.25/53
Aderencia y Bondad de Ajuste
•
•
Análisis de Gráficos
Teste Chi-cuadrado
José Fajardo – p.25/53
Aderencia y Bondad de Ajuste
•
•
•
Análisis de Gráficos
Teste Chi-cuadrado
Análisis de Distancias: AD, KS, KP
José Fajardo – p.25/53
Densidades de Vale do Rio Doce
400
Empírica
Normal
Hiperbólica
N.I.G.
G.H.
350
300
Densidade
250
200
150
100
50
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Retornos Logarítmicos
0.04
0.06
0.08
0.1
José Fajardo – p.26/53
Log-Densidades de Vale do Rio Doce
Empírica
Normal
Hiperbólica
N.I.G.
G.H.
2
Log−Densidade
10
1
10
0
10
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Retornos Logarítmicos
0.04
0.06
0.08
0.1
José Fajardo – p.27/53
Gráfico Cuantil-Cuantil de Vale do Rio
Doce
0.1
0.08
Empírica
Normal
Hiperbólica
N.I.G
G.H.
0.06
Quantis Estimados
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
−0.1
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Quantis Empíricos
0.04
0.06
0.08
0.1
José Fajardo – p.28/53
Testes Chi-cuadrado de la GH
Muestra
Estadística
P-Valor
Grados de Libertad
Bbas4
23.6516
0.0876783
15
Bbdc4
34.1268
0.000902191
14
Brdt4
66.2152
2.01218E-08
21
Cmig4
21.2875
0.165019
15
Csna3
141.597
0
19
Ebtp4
13.6279
0.341022
11
Elet6
21.383
0.268148
17
Ibvsp
13.5203
0.511037
13
Itau4
32.5035
0.0819379
22
Petr4
15.3088
0.718927
18
Tcsl4
18.9641
0.162971
13
Tlpp4
22.5389
0.0840841
14
Tnep4
13.3699
0.522905
13
Tnlp4
16.5175
0.225828
12
Vale5
16.1775
0.462554
15
José Fajardo – p.29/53
Distancias
KS = max |Femp (x) − Fest (x)|
x∈R
KP = max{Femp (x) − Fest (x)} + max{Fest (x) − Femp (x)}
x∈R
x∈R
|Femp (x) − Fest (x)|
AD = max p
x∈R
Fest (x)(1 − Fest (x))
José Fajardo – p.30/53
Distancias de Kolmogorov
Muestra
Normal
GH
Distancia
Distancia
P-Valor
Bbas4
0.058525
0.0236
0.2611
Bbdc4
0.068154
0.0279
0.1112
Brdt4
0.050496
0.0252
0.1914
Cmig4
0.055929
0.0270
0.1354
Csna3
0.074397
0.0501
0.0002
Ebtp4
0.069918
0.0234
0.7694
Elet6
0.059818
0.0103
0.9897
Ibvsp
0.066103
0.0093
0.9970
Itau4
0.068110
0.0347
0.0233
Petr4
0.064010
0.0126
0.9294
Tcsl4
0.045834
0.0253
0.6823
Tlpp4
0.078385
0.0233
0.2691
Tnep4
0.058434
0.0219
0.8342
Tnlp4
0.059726
0.0178
0.9616
Vale5
0.075137
0.0108
0.9813
José Fajardo – p.31/53
Distancias de Kuiper
Amostra
Normal
GH
Distância
Distância
P-Value
Bbas4
0.113272
0.0370
0.1187
Bbdc4
0.129933
0.0462
0.0109
Brdt4
0.096853
0.0414
0.0406
Cmig4
0.102196
0.0419
0.0356
Csna3
0.129854
0.1000
1 E-14
Ebtp4
0.125867
0.0393
0.6615
Elet6
0.118995
0.0188
0.9754
Ibvsp
0.130564
0.0172
0.9924
Itau4
0.116410
0.0470
0.0086
Petr4
0.122507
0.0226
0.8574
Tcsl4
0.083862
0.0424
0.5260
Tlpp4
0.154935
0.0349
0.1748
Tnep4
0.110101
0.0412
0.5768
Tnlp4
0.117741
0.0336
0.8761
Vale5
0.133215
0.0186
0.9782
José Fajardo – p.32/53
Distancias de Anderson & Darling
Amostra
Normal
GH
Bbas4
137028000
1.19094
Bbdc4
51579.5
0.12879
Brdt4
485.583
0.24283
Cmig4
10296
0.07197
Csna3
7.14072
0.15460
Ebtp4
118781
0.07620
Elet6
51495.5
0.08368
Ibvsp
72825.7
0.08310
Itau4
4.6648
0.07551
Petr4
67.0476
0.04054
Tcsl4
1849990
0.22114
Tlpp4
51523.5
0.05785
Tnep4
305.017
0.17429
Tnlp4
119529
0.17534
Vale5
51523.5
0.39979
José Fajardo – p.33/53
Precificación de Derivativos
•
Medida Neutra al Riesgo: Q
José Fajardo – p.34/53
Precificación de Derivativos
•
Medida Neutra al Riesgo: Q
•
Convolución de la Distribuición: ST = S0 eXT ,
XT −X0 = (XT −XT −1 )+(XT −1 −XT −2 )+· · ·+(X1 −X0 )
José Fajardo – p.34/53
Precificación de Derivativos
•
Medida Neutra al Riesgo: Q
•
Convolución de la Distribuición: ST = S0 eXT ,
XT −X0 = (XT −XT −1 )+(XT −1 −XT −2 )+· · ·+(X1 −X0 )
h
i
P recio = E Q e−rT f (ST )
Donde ST es el precio del activo subyacente, r tasa de
interés sin riesgo
José Fajardo – p.34/53
Precificación de Derivativos
•
Medida Neutra al Riesgo: Q
•
Convolución de la Distribuición: ST = S0 eXT ,
XT −X0 = (XT −XT −1 )+(XT −1 −XT −2 )+· · ·+(X1 −X0 )
h
i
P recio = E Q e−rT f (ST )
Donde ST es el precio del activo subyacente, r tasa de
interés sin riesgo
f (ST ) es el pago prometido por el derivativo en el
vencimiento T .
José Fajardo – p.34/53
Precificación de Derivativos
•
Medida Neutra al Riesgo: Q
•
Convolución de la Distribuición: ST = S0 eXT ,
XT −X0 = (XT −XT −1 )+(XT −1 −XT −2 )+· · ·+(X1 −X0 )
h
i
P recio = E Q e−rT f (ST )
Donde ST es el precio del activo subyacente, r tasa de
interés sin riesgo
f (ST ) es el pago prometido por el derivativo en el
vencimiento T .
HN: Formula de Black, Scholes y Merton (1973) para
una Opción de Compra Europea.
José Fajardo – p.34/53
Medida Neutra al Riesgo
•
Transformada de Esscher: dQt =
eϑXt
E(eϑXt ) dPt
José Fajardo – p.35/53
Medida Neutra al Riesgo
•
•
Transformada de Esscher: dQt =
eϑXt
E(eϑXt ) dPt
M (ϑ + 1, 1)
Parametro ϑ → r = ln
M (ϑ, 1)
con M (h, t) = E(ehXt )
José Fajardo – p.35/53
Medida Neutra al Riesgo
•
•
•
Transformada de Esscher: dQt =
eϑXt
E(eϑXt ) dPt
M (ϑ + 1, 1)
Parametro ϑ → r = ln
M (ϑ, 1)
con M (h, t) = E(ehXt )
Estimación: Downhill Simplex Method
José Fajardo – p.35/53
Medida Neutra al Riesgo
•
•
•
•
Transformada de Esscher: dQt =
eϑXt
E(eϑXt ) dPt
M (ϑ + 1, 1)
Parametro ϑ → r = ln
M (ϑ, 1)
con M (h, t) = E(ehXt )
Estimación: Downhill Simplex Method
Minimiza Entropia
José Fajardo – p.35/53
Convolución
•
FFT y IFFT
José Fajardo – p.36/53
Convolución
•
FFT y IFFT
•
Función Característica Real (β = µ = 0)
José Fajardo – p.36/53
Convolución
•
FFT y IFFT
•
Función Característica Real (β = µ = 0)
•
Transformación para la Densidad Deseada:
βx
e
→ GH ∗t (x; α, β, δ, µ, λ) = t
gh∗t (x − µt; λ, α, 0, δ, 0)
M0 (β)
José Fajardo – p.36/53
Convolución
•
FFT y IFFT
•
Función Característica Real (β = µ = 0)
•
Transformación para la Densidad Deseada:
•
Normal Inversa Gaussiana:
βx
e
→ GH ∗t (x; α, β, δ, µ, λ) = t
gh∗t (x − µt; λ, α, 0, δ, 0)
M0 (β)
→ N IG∗t (x; α, β, δ, µ) = N IG(x; α, β, tδ, tµ)
José Fajardo – p.36/53
Precificación de una Opción Europea
de Compra
f (ST ) = max{ST − K, 0}
José Fajardo – p.37/53
Precificación de una Opción Europea
de Compra
f (ST ) = max{ST − K, 0}
30
25
So=20
K=20
T=1m
Precio=?
Retorno Liq.
20
15
f(S(T))−Precio
10
5
0
−Precio
−5
5
10
15
20
25
30
S(T): Variable
35
40
45
50
José Fajardo – p.37/53
Fórmula de Black y Scholes
f = S0 Φ (d1 ) − Ke−rT Φ (d2 )
Φ : Distr. Normal(0,1) Acumulada.
José Fajardo – p.38/53
Fórmula de Black y Scholes
f = S0 Φ (d1 ) − Ke−rT Φ (d2 )
log(S0 /K) + (r + 12 σ 2 )T
√
d1 =
,
σ T
√
d2 = d1 − σ T
Φ : Distr. Normal(0,1) Acumulada.
José Fajardo – p.38/53
Precificación de una Opción Europea
de Compra
h
CGH = E Q e−rT max{ST − K, 0}
i
José Fajardo – p.39/53
Precificación de una Opción Europea
de Compra
h
CGH = E Q e−rT max{ST − K, 0}
CGH = S0
e−rt K
Z
∞
log SK
Z
i
GH ∗t,ϑ+1 (x; α, β, δ, µ, λ)dx−
0
∞
log SK
GH ∗t,ϑ (x; α, β, δ, µ, λ)dx
0
José Fajardo – p.39/53
Calls(GH) - Vale do Rio Doce (S0 =50)
12
10
6
4
20
2
15
0
40
10
Strike
Price
55
60
at
5
50
ur
ity
45
M
Call Price
8
0
José Fajardo – p.40/53
Calls(GH)x Black & Scholes - Vale do
Rio Doce (S0 =50)
0.12
0.1
0.08
BS − GH
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
20
15
60
55
10
Ma
tur
ity
50
5
45
0
40
Stri
rice
ke P
José Fajardo – p.41/53
Valor en Riesgo -V@R
Definición de VaR: P (X ≤ −V aRα (X)) = 1 − α
José Fajardo – p.42/53
Valor en Riesgo -V@R
Definición de VaR: P (X ≤ −V aRα (X)) = 1 − α
VaR Simulacion Historica − Tnlp4
45
40
35
VaR al 95% NC
= 0.035
Frecuencia
30
25
20
15
10
5
0
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Perdidas (−) / Lucros (+)
0.04
0.06
0.08
José Fajardo – p.42/53
Valor en Riesgo -V@R
VaR Simulación Historica − Minsur
700
600
500
VaR al 95% NC
Frecuencia
= 0.027576
400
300
200
100
0
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
Perdidas (−) / Lucros (+)
0.05
0.1
0.15
José Fajardo – p.43/53
Valor en Riesgo -V@R
Si X ∼ N ormal(0, σ)
X
V aRα (X)
P (X ≤ −V aRα (X)) = P ( ≤ −
)
σ
σ
V aRα (X)
= N (−
)
σ
José Fajardo – p.44/53
Valor en Riesgo -V@R
Si X ∼ N ormal(0, σ)
X
V aRα (X)
P (X ≤ −V aRα (X)) = P ( ≤ −
)
σ
σ
V aRα (X)
= N (−
)
σ
Entonces N (− V aRσα (X) ) = 1 − α.
José Fajardo – p.44/53
Valor en Riesgo -V@R
Si X ∼ N ormal(0, σ)
X
V aRα (X)
P (X ≤ −V aRα (X)) = P ( ≤ −
)
σ
σ
V aRα (X)
= N (−
)
σ
Entonces N (− V aRσα (X) ) = 1 − α.
De la tabla N (0, 1) cuando α = 0.99 tenemos:
José Fajardo – p.44/53
Valor en Riesgo -V@R
Si X ∼ N ormal(0, σ)
X
V aRα (X)
P (X ≤ −V aRα (X)) = P ( ≤ −
)
σ
σ
V aRα (X)
= N (−
)
σ
Entonces N (− V aRσα (X) ) = 1 − α.
De la tabla N (0, 1) cuando α = 0.99 tenemos:
(X)
N (− V aR0.99
) = 0.01
σ
José Fajardo – p.44/53
Valor en Riesgo -V@R
Si X ∼ N ormal(0, σ)
X
V aRα (X)
P (X ≤ −V aRα (X)) = P ( ≤ −
)
σ
σ
V aRα (X)
= N (−
)
σ
Entonces N (− V aRσα (X) ) = 1 − α.
De la tabla N (0, 1) cuando α = 0.99 tenemos:
(X)
N (− V aR0.99
) = 0.01 ⇒ V aR0.99 (X) = 2.33σ.
σ
José Fajardo – p.44/53
Valor en Riesgo -V@R
VaR Normal Vale 5
20
15
Probabilidad
VaR al 99% NC
= 0.047774
10
5
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Perda (−) / Lucro (+)
José Fajardo – p.45/53
Densidades de Vale do Rio Doce
400
Empírica
Normal
Hiperbólica
N.I.G.
G.H.
350
300
Densidade
250
200
150
100
50
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Retornos Logarítmicos
0.04
0.06
0.08
0.1
José Fajardo – p.46/53
V@R GH- Vale do Rio Doce
0.11
Empiric
Normal
NIG
HYP
GH
0.1
0.09
Value At Risk
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Probability
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
José Fajardo – p.47/53
V@R - Back Test
•
1590 testes fuera de la muestra
José Fajardo – p.48/53
V@R - Back Test
•
•
1590 testes fuera de la muestra
Normal, Hyp, Nig, GH
José Fajardo – p.48/53
V@R - Back Test
•
1590 testes fuera de la muestra
•
Normal, Hyp, Nig, GH
•
1% de probabilidad
José Fajardo – p.48/53
V@R - Back Test
•
1590 testes fuera de la muestra
•
Normal, Hyp, Nig, GH
•
1% de probabilidad
•
1 dia de mantenimiento de las posiciones
José Fajardo – p.48/53
V@R - Back Test
•
1590 testes fuera de la muestra
•
Normal, Hyp, Nig, GH
•
1% de probabilidad
•
•
1 dia de mantenimiento de las posiciones
Teste de Kupiec
José Fajardo – p.48/53
V@R - Back Test
Distribución
Excepciones
Probabilidad
P-Valor
Normal
21
0.013208
0.22
Hiperbólica
17
0.010692
0.78
N.I.G.
16
0.010063
0.98
G.H.
16
0.010063
0.98
José Fajardo – p.49/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
José Fajardo – p.50/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
•
Dificultad en la avaliación de carteras
José Fajardo – p.50/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
•
Dificultad en la avaliación de carteras
•
Convergencia del algoritmo
José Fajardo – p.50/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
•
Dificultad en la avaliación de carteras
•
Convergencia del algoritmo
•
Presición del cálculo numérico
José Fajardo – p.50/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
•
Dificultad en la avaliación de carteras
•
Convergencia del algoritmo
•
Presición del cálculo numérico
•
No se ajusta bien a todos los datos
José Fajardo – p.50/53
Limitaciones del Modelo
•
Grande esfuerzo computacional
•
Dificultad en la avaliación de carteras
•
Convergencia del algoritmo
•
Presición del cálculo numérico
•
•
No se ajusta bien a todos los datos
Parametros no representan variables de mercado
José Fajardo – p.50/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
Mejora en las medidas de riesgo
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
•
Mejora en las medidas de riesgo
•
Mejora en la precificación
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
•
Mejora en las medidas de riesgo
•
Mejora en la precificación
•
Nig x Hyp x GH
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
•
Mejora en las medidas de riesgo
•
Mejora en la precificación
•
Nig x Hyp x GH
•
Tasas de Interés y Tasas de Cambio
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
•
Mejora en las medidas de riesgo
•
Mejora en la precificación
•
Nig x Hyp x GH
•
Tasas de Interés y Tasas de Cambio
•
Precificación de swaps
José Fajardo – p.51/53
Conclusiones
•
Buena aderencia a datos de alta volatilidad
•
Mejora en las medidas de riesgo
•
Mejora en la precificación
•
Nig x Hyp x GH
•
Tasas de Interés y Tasas de Cambio
•
Precificación de swaps
•
V@R de carteiras
José Fajardo – p.51/53
Referencias
•
Bertoin J., (1996) Lévy Processes. Cambridge University Press, Cambridge. 2.
José Fajardo – p.52/53
Referencias
•
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Black, F. and M. Scholes (1973), "The Pricing of Options and Corporate Liabilities",
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Derivatives and Risk Measures”. Mathematical Finance - Bachelier Congress
2000, H. Geman, D. Madan, S. Pliska, T. Vorst (Eds.), Springer-Verlag.
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Derivatives and Risk Measures”. Mathematical Finance - Bachelier Congress
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Fajardo, J. and A. R. Farias (2002), "Generalized Hyperbolic Distributions and
Brazilian Data", Working Paper Series No.52, Banco Central do Brasil.
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Brazilian Data", Working Paper Series No.52, Banco Central do Brasil.
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