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Tarea 2: Problemas 6 y 7
Eduardo Ibarra Garcı́a Padilla
21 de septiembre de 2015
Prob. 6 Resultados sencillos de la relatividad especial
Usando la transformación de Lorentz entre un sistema de referencia M con coordenadas (x, y, z, ct)
y otro que se mueve a velocidad v > 0 con respecto al anterior, llamado M 0 , con coordenadas
(x0 , y 0 , z 0 , ct0 ), muestre que:
a) La velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas
Supongamos, por simplicidad que y = y 0 y z = z 0 . Es decir, los sistemas de referencia se mueven
entre sı́ únicamente en la dirección x
b. De esta manera, las transformaciones de Lorentz son,
x0 = γ(x − vt),
vx 0
t = γ t− 2 .
c
(1)
(2)
Con esto en mente, sea ux la velocidad de una partı́cula en la dirección x
b medida en el sistema M
0
0
y ux la medida en el sistema M .
dx0 = d(γ(x − vt)) = γ(dx − vdt),
vx vdx
0
dt = d γ t − 2
= γ dt − 2 ,
c
c
dx
−v
dx0
dx − vdt
ux − v
dt
→ 0 = u0x =
=
=
.
vdx
v
dx
dt
1 − cv2 ux
dt − c2
1 − c2 dt
Ası́,
u0x =
ux − v
,
1 − cv2 ux
(3)
y si la partı́cula es un fotón, entonces su velocidad ux = c. Sustituyendo en la ec. (3) se encuentra
que u0x = ux = c como se querı́a demostrar.
b) Las longitudes en M 0 son más cortas medidas desde M (contracción de Lorentz)
Consideremos un varilla de longitud Lo en reposo medida desde el sistema de referencia M .
Esto significa que en este sistema, la varilla no se mueve y los eventos que definen la medición
son (x1 , y, z, ct1 ) y (x2 , y, z, ct2 ). Ası́ Lo = x2 − x1 . Es importante notar que en este sistema no
es necesario que t1 = t2 , ya que como se la varilla se encuentra en reposo en este sistema, puedo
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medir x1 y x2 en cualquier momento y las mediciones no cambiarán. A Lo se le llama la longitud
propia de la varilla.
De esta forma, haciendo uso de (1) tenemos que:
L0 = x02 − x01 = γ(x2 − vt2 ) − γ(x1 − vt1 ) = γ(x2 − x1 ) − γv(t2 − t1 ).
Ahora bien, medir en el sistema M 0 requiere que t02 = t01 para que la medición tenga sentido.
Entonces haciendo uso de (2) tenemos que,
vx1 vx2 t02 − t01 = 0 = γ t2 − 2 − γ t1 − 2 ,
c
c
v
→ 0 = t2 − t1 − 2 (x2 − x1 ),
c
v
→ t2 − t1 = 2 Lo .
c
Ası́, sustituyendo se tiene que,
v2
1
v2
L = γLo − γ 2 Lo = γ 1 − 2 Lo = Lo .
c
c
γ
0
Por lo tanto,
L0 =
1
Lo ,
γ
(4)
y como γ > 1, entonces L0 < Lo .
Como un comentario importante: en el resultado que obtuve la longitud de la varilla es más
corta en M 0 que en M , si hubiera considerado que la varilla se encontraba en reposo respecto al
sistema M 0 , entonces la longitud de la varilla serı́a más corta en M . ¿Es esto una contradicción?
No. Lo importante es que ya que uno tiene el sistema donde la varilla se encuentra en reposo
(llamémoslo Mo ) y mide su longitud propia Lo , entonces en cualquier otro sistema que se mueva a
velocidad v respecto a Mo , la longitud será menor que Lo por el factor γ −1 .
c) Los intervalos de tiempo en M 0 son más largos medidos desde M (dilatación del
tiempo)
Consideremos una nave espacial que emite dos pulsos de luz, uno al tiempo t1 y al otro al
tiempo t2 . Estos pulsos los emite desde la proa de la nave (x1 = x2 = x), por lo tanto los eventos
son, en el sistema M (el cual consideramos viaja junto con la nave): (x, y, z, ct1 ) y (x, y, z, ct2 ). De
esta forma el intervalo temporal es ∆t = t2 − t1 = τ . A τ se le conoce como el tiempo propio.
Haciendo uso de (2),
vx2 vx1 ∆t0 = t02 − t01 = γ t2 − 2 − γ t1 − 2 = γ(t2 − t1 ),
c
c
por lo tanto,
∆t0 = γτ,
0
(5)
y como γ > 1, entonces ∆t > τ .
Una nota como en el inciso anterior: lo importante es ubicar el sistema de referencia So donde
se puede medir el tiempo propio. Es decir τ es el intervalo temporal entre dos eventos que ocurren
en el mismo punto espacial en el sistema So . Con esta medición, entonces en cualquier otro sistema
que se mueva a velocidad v respecto a So , el intervalo de tiempo será mayor que τ por el factor γ.
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Prob. 7 La relatividad de la simultaneidad
Considere un sistema inercial M donde ocurren dos eventos, uno en (x1 , y1 , z1 , ct1 ) y otro en
(x1 , y1 , z1 , ct2 ) con t2 > t1 , es decir, donde el evento 1 está en el pasado del evento 2.
a) Muestre que si (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 > 0, siempre es posible hallar un marco de
referencia M 0 donde t01 > t02 y otro M 00 donde t00 1 = t00 2. Explique por qué no hay
contradicción.
De (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 > 0 se obtiene que,
c<
x2 − x1
,
t2 − t1
donde se supuso SPG que x2 > x1 . Ahora bien, haciendo uso de las transformaciones de Lorentz
se tiene que,
γ
v
t02 − t01 = c(t2 − t1 ) − (x2 − x1 ) ,
c
c
t2 − t1
Si consideramos M 0 moviéndose a velocidad v tal que c > v > c2
respecto al sistema inercial
x2 − x1
t2 − t1
M y M 00 moviéndose a velocidad v = c2
< c respecto al sistema inercial M , entonces se
x 2 − x1
tiene que,
∃ M 0 donde t01 > t02 ,
∃ M 00 donde t001 = t002 .
No existe contradicción. El hecho de que (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 > 0 implica que los eventos no
están relacionados causalmente. La separación entre ellos es mayor que la que puede recorrer la
luz y por tanto no pueden estar relacionados entre sı́, son eventos independientes.
b) Muestre que si (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 < 0, entonces en todos los marcos de referencia
M 0 , siempre se cumple que t02 > t01 ¿Qué significado se le puede dar a este resultado?
De (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 < 0 se obtiene que,
c>
x2 − x1
,
t2 − t1
donde se supuso SPG que x2 > x1 . Ahora bien, haciendo uso de las transformaciones de Lorentz
se tiene que,
γ
v
t02 − t01 = c(t2 − t1 ) − (x2 − x1 ) ,
c
c
y por la relación anterior como c(t2 − t1 ) > (x2 − x1 ) y v/c ≤ 1, entonces se tiene que,
∀ M0
t02 > t01 .
Esto quiere decir que la causalidad se conserva para eventos donde (x2 − x1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 < 0,
siendo independiente del sistema de referencia.
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