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Universidad Diego Portales
Escuela de Ingeniería Vespertina
Asignatura: Algebra I
Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Javiera Paz
Ayudantía 3
Ejercicios:
1) En un aula hay un cierto número de alumnos que hemos de determinar. Se
sabe que cada uno de los alumnos presentes en el aula estudia, al menos,
una de las tres asignaturas siguientes: matemática, física, química. Pues
bien, en sucesivas veces se pide que levántenla mano los que estudien.
a) Matemática, y lo hacen 48.
b) Física, y lo hacen 45.
c) Química, y lo hacen 49.
d) Matemática y física, y lo hacen 28.
e) Matemática y química, y lo hacen 26.
f) Física y química y lo hacen 28.
g) Las tres asignaturas, y lo hacen 18.
Se pregunta:
i. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?
ii. ¿Cuántos estudian matemática y física, pero no
química?
2) Dados
U={p, e, r, g, a, m, i, n, o}
B={g, a, m, o}
i.
ii.
A={m, e, n, o, r}
C={p, a, r, o}
Encuentre: (A - B) ∩ C’ por extensión.
Encuentre una expresión conjuntista que
posea sólo los elementos p, a, r.
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Escuela de Ingeniería Vespertina
Asignatura: Algebra I
Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Javiera Paz
3) Usando algebra de conjuntos, simplifique:
i.
[( A’ - B) ∪ ( A’ ∩ B].
ii. [ A ∩ ( B’ - A )] ∪ [( B - A’) ∪ A]’.
4) En una empresa se estudia los intereses de un grupo de empleados respecto
de tres áreas en las cuales se pretende ofrecer capacitación, Gestión,
Informática y Contabilidad. Los resultados se resumen como sigue:
Todos los interesados en Contabilidad también se interesan por Informática.
El 94% manifestó interés al menos por una de estas tres áreas.
El 24% no se interesa por el área de informática.
El 34% se interesó por Gestión pero no por Contabilidad.
El 31% se interesa por Gestión e Informática.
El 39% tiene interés por Informática pero no por Contabilidad.
a) Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b) Determine:
i) ¿Qué porcentaje mostró interés sólo por Contabilidad?
ii) ¿Cuál es el área por la que se muestra mayor interés?
5) Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información:
- Todo encuestado que es propietario de automóvil también lo es de
casa.
- 54 encuestados son hombres.
- 30 de los encuestados que son hombres, no son propietarios de
automóvil.
- 30 de los encuestados que son propietarios de casa, no son hombres.
- 25 de los encuestados que son hombres, no son propietarios de casa.
- 15 encuestados que son propietarios de casa no lo son de automóvil.
a) Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b) i) ¿Cuántos hombres encuestados son solamente propietarios de
casa?
ii) ¿Cuántas mujeres no son propietarias de casa?
.
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Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Javiera Paz
Desarrollo.
1) Primero hacemos un diagrama de Venn.
física
[7]
10
10
18
matemática
[12]
química
8
[13]
Luego tenemos:
n(M + F + Q)= n(M) + n(F) + n(Q) – n(MF) – n(FQ) – n(QM) + n(MFQ)
n(M + F + Q) = 48 + 45 + 49 – 28 – 28 – 26 + 18.
n(M + F + Q) = 78.
Entonces tenemos en el aula a 78 estudiantes.
ii) Los estudiantes que estudian física y matemática pero no química es:
n(MF)= n(MF) – n(MFQ).
= 28 – 18
= 10
Por lo tanto el número de estudiantes que estudian física y matemática pero no
química es 10.
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2)
Tenemos
-
Asignatura: Algebra I
Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Javiera Paz
U={p, e, r, g, a, m, i, n, o}
B={g, a, m, o}
A={m, e, n, o, r}
C={p, a, r, o}
En primer lugar realizamos un diagrama de Venn.
U
A
i
m
r
o
a
B
C
i.
Encuentre: (A - B) ∩ C’ por extensión.
Tenemos: (A – B), que será todos los elementos de A que no contengan a B.
(A – B)= {n, e}.
Luego tenemos la intersección de esto último con C’, el complemento de C, es
todo lo que tenga el universo en este caso (A – B) que no contenga C.
Por lo tanto (A - B) ∩ C’= {n, e}
ii.
Encuentre una expresión conjuntista que
posea sólo los elementos p, a, r.
= n(C) – (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
/ ya que tenemos el conjunto C con sus elementos {p, a, r, o} y la diferencia de
la intersección entre A, B y C con el elemento {o}.
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Profesor: Marcel Saintard
Ayudante: Javiera Paz
3) Usando algebra de conjuntos simplificar:
i. [ A ∩ ( B’ - A )] ∪ [( B - A’) ∪ A]’.
= [(𝐴 ∩ (𝐵 ′ − 𝐴)] ∪ [(𝐵 ∪ 𝐴) − (𝐴′ ∪ 𝐴)]′
= [(𝐴 ∩ (𝐵′ − 𝐴)] ∪ [(𝐵 ∪ 𝐴) − 𝑈]′
= [( 𝐴 ∩ (𝐵′ − 𝐴)] ∪ ∅
= [(𝐴 ∩ 𝐵 ′ ) − 𝐴]