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ENCUENTRO # 33
TEMA: Exponenciales y Logaritmos
CONTENIDOS:
1. Ecuaciones Exponenciales.
(a) Leyes de los Exponentes
(b) Como resolver ecuaciones exponenciales
Ejercicio Reto
1. Si a y b las soluciones de x2 + 7x + 15 = 0 ¿Cuánto vale a2 + b2 + 12ab?
A)100
B)150
C)201
D)199
E)169
1. Introducción
Los Exponentes son una forma corta de representar multiplicaciones repetidas. Podemos encontrar fácilmente el valor de ab al multiplicar a muchas veces. Por ejemplo, con
cálculos numéricos,
22 × 23 × 24 = 4 × 8 × 16 = 512 = 29 .
Sin embargo, este enfoque nos conducirá rápidamente a grandes cantidades, que introduce complicaciones. Las reglas de los exponentes nos ofrecen una forma de atajo a
este proceso, y llegamos a la conclusión de que
22 × 23 × 24 = 22+3+4 = 29 .
Las ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente se llaman ecuaciones exponenciales y su solución se obtiene al aplicar el siguiente método:
• Si el argumento o resultado se puede expresar como potencia de la base, sólo se
igualan exponentes.
Para resolver Ecuaciones Exponenciales, necesitaremos considerar las Leyes de los exponentes ya que son la herramienta principal para su resolución.
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Las Leyes de los Exponentes son:
Nombre de Regla
Producto de Potencias de igual base
Regla
am × an = am+n
an × bn = (a × b)n
Cociente de Potencias de igual base
an /am = an−m
an /bn = (a/b)n
Exponentes Negativos
a−n = a1n
Potencia de Potencia
(an )m = an×m
√
a1/n = n a
√
m
an = an/m
m
m
Torre de Exponentes
an = a(n )
Elevar a Cero
a0 = 1
0a = 0 para a > 0
Elevar a Uno
a1 = a
1a = 1
Teorema 1. Si a es una constante y ax = ay → x = y; a 6= 0.
Demostración. ax = ay →
Por lo tanto, x = y.
ax
ay
= 1 → ax−y = 1 → x − y = 0
Teorema 2. Si a 6= 0 y ax = 0 → x = φ.
Como Resolver Ecuaciones Exponenciales
1. Transformar todas las bases de las potencias a una base común.
2. Aplicar las propiedades de las potencias para reducir la ecuación.
3. Usar el Teorema "Si a es una constante y ax = ay → x = y; a 6= 0".
4. Resolver la ecuación obtenida.
5. Conjunto solución.
Ejemplo 1.1. Encuentre el valor de x si 4x = 16
Solución. Puesto que, 4x = 16 → 4x = 42
Por el teorema 1, concluimos que, x = 2.
Ejemplo 1.2. Encuentre x si 6x − 1 = 0
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Solución. Puesto que, 6x − 1 = 0 → 6x = 1 → 6x = 60
Por el teorema 1, concluimos que, x = 0.
Ejemplo 1.3. Encuentre x si (8)(9x ) = 9x
Solución. Puesto que, (8)(9x ) = 9x → (8)(9x ) − 9x = 0 → (7)9x = 0 → 9x = 0
Por el teorema 1, concluimos que, x = φ.
2
Ejemplo 1.4. Determina el valor de x para el cual se cumple que: 2x = 42
Solución. Primero hay que transformar la bases de as potencias a una base común.
2
2x = (22 )2
Aplicar la propiedad de las potencia ([ar ]s = ar·s )
2
2x = 24
Aplicar la propiedad (ax = ay → x = y)
2
2x = 24 → x2 = 4
Resolver la ecuación obtenida
x2 = 4
√
x=± 4
x = ±2
Conjunto Solución: S = {x ∈ R : x = −2 ∧ x = 2}
Ejemplo 1.5. Halla los valores de x ∈ R
2x
Solución
2x
2 +3
· 4x = 64
2 +3
· 4x = 64
2
2x +3 · (22 )x = 26
2
2x +3 · (22 x = 26
2
2x +3+2x = 26
x2 + 3 + 2x = 6
x2 + 2x − 6 + 3 = 0
x2 + 2x − 3 = 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x1 = −3
x2 = 1
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S = {x ∈ R : x = −3 ∧ x = 1}
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Ejemplo 1.6. Determina los valores de la variable para los cuales se cumple la siguiente
igualdad:
x
5x−4 = 25x
x
Solución.
(5x−4 ) = 25x
x
(5x−4 ) = (52 )x
5x(x−4) = 52x
x(x − 4) = 2x
2
x − 4x − 2x = 0
x2 − 6x = 0
x(x − 6) = 0
x1 = 0
x2 = 6
S = {x ∈ R : x = 0 ∧ x = 6}
Ejemplo 1.7. Halla el conjunto solución de:
x2
49 · 7 x−4 = 1
Solución
x2
49 · 7 x−4
=1
x2
2
7 · 72x−4 = 70
x
72+ x−4 = 70
x2
= 0/ · (x − 4)
2 + x−4
2(x − 4) + x2 = 0
2x − 8 + x2 = 0
x2 + 2x − 8 = 0
(x − 2)(x + 4) = 0
x1 = 2
x2 = −4
S = {x ∈ R : x = 2 ∧ x = −4}
√
Ejemplo 1.8. Resuelve la ecuación: 4
Solución
√
2
2
(2√
) x −8 · 2x−1 = (22 )2
2
22√x −8 · 2x−1 = 24
2
22 x −8+x−1 = 24
√
2 x2 − 8 + x − 1 = 4
√
2 x2 − 8 = 4 − x + 1
√
(2 x2 − 8)2 = (5 − x)2
4(x2 − 8) = 25 − 10 + x2
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x2 −8
· 2x−1 = 42
4x2 − 32 = 25 − 10x + x2
4x2 − 32 − x2 + 10x − 25 = 0
3x2 + 10x − 57 = 0
(x − 3)(3x + 19) = 0
x1 = 3
x2 = − 19
3
Hay que comprobar cual es la solución
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Ejemplo 1.9. Resuelve:
3x+2 + 2 · 3x − 33 = 0
Solución. Para resolver la anterior ecuación, haremos uso de un cambio de variable
3x = a,
Luego, la ecuación se transforma en:
3x · 32 + 2 · 3x − 33 = 0
a · 9 + 2 · a − 33 = 0
a(9 + 2) − 33 = 0
11a = 33 → a =
33
=3
11
Ahora regresando a nuestra variable original, tendremos:
a = 3x
3 = 3x → x = 1
Ejercicios Propuestos
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 5x = 625
9. (0.125)x = 128
17. 2x
2 −2x
=8
2. 92x = 90
10. 23x+1 = 256
18. 25x + 5x+1 = 750
3. 64x = 8
11. 5x = 6253+x
19. 62x+5 − 36 = 0
4. (2.4)x = 5.76
12. 491−2x = 7x
5. 5x−1 = 25
13. 25x−2 = 51−x
6. 73x−3 = 343
14. 3x = 243x−2
20. 4x
2 +3x
=
1
16
21.
2x+3
7. 3
=3
8. 4x+1 = 16x−1
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−(x+3)
15. 2
x
= 32
2
16. 3x = 729
5
7·3x+1 −5x+2 = 3x+4 −5x+1
22. 2−2x + 2−x = 2
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Problemas Propuestos
1. Resuelve mediante un cambio de variable
a) 22x − 3 · 2x − 4 = 0
b) 3x + 3x−1 − 3x−2 = 11
c) 2x + 2−x =
65
8
2. Resuelve los siguientes sistemas:
a)
n
2x +2y =5
2x+y =8
b)
n
3x+y =2187
3x−y =27
3. Resuelve los siguientes sistemas:
•
3x+2y=−1
2x+y = 21
•
n
3x−1 −3−y = 92
2x+y=2
•
x
2 2 ·8y =2
2x−y =4
•
n
2·3x +3y−2 =5
3x ·3y =27
4. Encuentra el valor de x:
a) 2x−1 + 2x − 2x−1 = −4
√
3
b) 32x = 22
c) 3x−1 +
1
3
= 2 · 32x−1
5. Resuelve los siguientes sistemas:
•
n
x−y=1
2x −2y =2
•
n
5x ·252x =5y+2
32x ·32y =812
•
n
3x+1 −2y+1 =−3
2y −2·3x+2 =−4
6. Cuantos números enteros x satisfacen la ecuación (x2 − x − 1)x+2 = 1?
A) 3
B) 2
C) Ninguna de las opciones
D) 4
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