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El problema del pijama
Nicolás Alvarado
Antes de comenzar a escribir de qué trata el problema del pijama, será necesario tener en
cuenta algunos conceptos básicos sobre los números complejos. Recordemos que un número complejo z es de la forma z = a + bi, donde a, b ∈ R. El real a, escrito Re(z), se conoce como la parte
real de z y b, escrito Im(z), se conoce como la parte imaginaria de z. Paralelamente el complejo z
puede ser escrito de la forma z = reiθ. Esta es la denominada forma polar del complejo z, donde
r es el módulo de z y θ = arctan ab es su argumento. Diremos que un complejo es unitario si
este tiene módulo unitario, es decir r = 1.
Consideremos el plano complejo C y en cada número entero del eje real centremos una
vecindad vertical (o banda) de radio ε > 0 definida como sigue.
Definición 1. Sea ε > 0. Diremos que V es una vecindad vertical si es un conjunto de la forma
V = {z ∈ C : Re(z) ∈ (−ε, ε)} .
La figura que nos queda usando esta construcción se puede visualizar en la imagen siguiente.
Definición 2. Sea ε > 0. Definimos el conjunto del pijama como
P := {z ∈ C : Re(z)(mod 1) ∈ (−ε, ε)} .
Recordemos que si ω es un complejo unitario dado; i.e. |ω| = 1, entonces la acción por multiplicación de ω está dada por una rotación en ángulo el argumento de ω. ¿qué pasarı́a si a cada
una de estas bandas las rotamos en torno al origen con un ángulo de rotación dado? Lo natural
serı́a imaginar que nuestro conjunto de bandas quede inclinado por el ángulo de rotación, y
efectivamente ası́ queda. Pero... ¿qué ocurre si tomamos dos rotaciones?, ¿o tres?, ¿o cuatro?, ¿y
si unimos las bandas rotadas con las originales?
De ahora en adelante P denotará el conjunto pijama a radio ε fijo. Por simplicidad escribiremos por θ al complejo unitario con argumento θ. Definimos entonces Pθ = θ−1 P al conjunto
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del pijama rotado en ángulo θ.
Como nos cuestionamos antes, queremos estudiar que pasa si tomamos una cantidad finita
de rotaciones y las unimos con nuestro conjunto original. Es lógico que nos preguntemos si
alguna parte considerable del plano complejo puede ser cubierta. Más aún, podrı́amos ser más
ambiciosos y preguntarnos si existe una colección finita de rotaciones del pijama que cubran al
plano.
Problema 3. ¿Existe una cantidad finita de complejos unitarios tales que las rotaciones inducidas del pijama cubran al plano complejo? Dicho de otra forma, ¿existe Θ = {θ1 , θ2 , . . . , θn } ⊆ C
tal que
n
[
Pθi = C?
i=1
La respuesta, para nada evidente, a esta pregunta es ¡afirmativa! Perfectamente podrı́amos
pensar que hayan pedazos del plano que no sean cubiertos, ya que nuestros complejos unitarios
son finitos e intuitivamente el plano es muy grande.
ver que la respuesta no es nada trivial,
Para 4π
,
consideremos el conjunto de rotaciones dado por 0, 2π
3
3 . A este tipo de conjunto le llamaremos cubrimiento periódico. En este caso, la periodicidad es clara (la diferencia entre términos
consecutivos es 2π
3 ).
La gracia de los cubrimientos periódicos es que en algún momento estos harán que las bandas
del pijama comiencen a superponerse, y por ende para algún ε en particular, algunos pedazos
del plano no serán cubiertos.
En 2012 los matemáticos Malikiosis, Matolcsi y Ruzsa, afirmaron que para cualquier cubrimiento periódico, la unión de las rotaciones de un conjunto del pijama con ε < 1/3 no podı́a
cubrir a todo el plano. Fue por esto que tuvieron que idear una estrategia para lidiar con los
puntos que no podı́an cubrir. A estos puntos se les denomina obstrucciones racionales. ¿Qué se
puede hacer con ellas? Se debiese buscar una forma de evitarlas y, ¿por qué no? eliminarlas.
Gráficamente podemos ver un ejemplo de cubrimiento periódico con sus respectivas obstrucciones racionales en la figura siguiente.
Este problema fue resuelto en 2013 por Freddie Manners (A solution to pyjama problem)
al plantear (y luego demostrar por su puesto) el lema de racionalidad. Este lema consiste
Sn en
,justamente, evitar y tratar a las obstrucciones racionales. Muestra que el conjunto C \ i=1 Pθi
solo contiene obstrucciones racionales o puntos razonablemente cercanos a ellas, para una elección
de rotaciones que nos acomode. Y de está forma, con un conjunto de rotaciones en particular,
puede evitar estos puntos que no son cubiertos y ası́, muestra que existe un conjunto finito de
rotaciones que logra cubrir a todo el plano complejo.
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