1. No category

Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
Tema: FACTORIZACIÓN
Profesor: César Herrera.
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Semestre: I
Pagina 1
de 9
Área: MATEMATICAS.
FACTORIZACIÓN
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o
un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos
utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se
factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la
factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar un polinomio
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se
consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
•
Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
•
Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
•
Polinomios
1. Factor común
Caso I - Factor común
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente
y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
Factor común por agrupacion de términos
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga
menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro
factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las
que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las
características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Un ejemplo numerico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el primer caso (Factor común)
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al
doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los
términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz
cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que
acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
y
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo
del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la
solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio
de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
O en una forma mas general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorizacion para cualquier exponente, el resultado nos da
r+1 factores.
Ejemplo 1:
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y
representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo
que se resta para que el ejercicio original no cambie.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término
independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable,
buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo
ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número
impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente
manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, osea que tiene raíz cuadrada
exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término
independiente, osea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresion de esta forma; primero se coje el término al lado de x2, (en este caso el 4) y se
multiplica por toda la expresión, dejando el segundo término igual pero en parentesis y dejando todo esto en
una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicandolo con el 1
Luego separamos en dos fracciones el término
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
F. 1° Revisión
27 febrero/11
Pagina 1
de 9
Y después procedemos a eliminar las fracciones
CASO 8 CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: (a+b)3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 y (a-b)^33a^2b+3ab^2-b^3
ACTIVIDAD
1. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible: (seleccione 10 ejercicios)
a) 3b – 6x =
c) 20u2 – 55u =
e) 6x –12y + 18=
g) 14c – 21d – 30=
i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq =
m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=
ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 =
p) 25a – 30ab + 15ab2 =
r) 144y2 – 256 =
v) 25x6 – 4y4 =
x) xy – x + 3z – 6 =
z) 15 + 5x + 3b + xb =
b) 5x – 5 =
d) 16x – 12 =
f) 15x + 20y – 30=
h) 152x2yz – 114xyz2=
j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=
l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =
n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =
o) 4g2 + 2gh =
q) m2 – 64 =
s) 144 – 9x2=
w) ap + aq + bm + bn=
y) x2 + xy + xz + yz=
z’) ab + a – b – 1 =
2. Expresar como un producto: (seleccione 5 ejercicios)
a) x2 + 6x + 8=
c) x2 + 10x – 56=
e) y2 – 7y – 30=
g) x2 – 5x – 84=
i) x2 + 7x – 120=
b) x2 – 16x + 63=
d) x2 –13x – 48 =
f) x2 – 14x + 48=
h) x2 + 27x + 180=
j) x2 –30x + 216=
3. Expresar como un cuadrado de binomio:
b) 225 – 30b + b2 =
a) g2 + 2gh + h2 =
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE TRABAJO.
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Guía N.002 F. Elaboración: 27 febrero/11
c) x2 + 2xy + y2 =
e) a2 – 2a + 1 =
g) 9x2 –12xy + 4y2 =
F. 1° Revisión
27 febrero/11
d) p2 – 2pq + q2 =
f) m2 – 6m + 9=
h) 36n2 + 84pn + 49p2 =
4. Simplificar las siguientes expresiones, (seleccione 10 ejercicios)
a)
48a
=
72 ab
m)
4y2 − 4y +1
=
6x − 3
e)
4a + 4b
=
5a + 5b
p)
(a − b) 2 − c2
=
a 2 − (b − c) 2
i)
24x −18y
=
44x − 33y
25a 2 b
=
75ab 2
b)
n)
f)
x2 + 6x + 8
=
x2 + 7x +12
3x − 6 y
=
5x − 10 y
q)
j)
96m 3 n 2
=
32 m 4 n 3
c)
ñ)
g)
1 − 64c6
=
1 − 4c2
x2 −16
=
x2 + 8x +16
x2 + 4x −12
=
x2 + 8x +12
x 2 + xy
=
xy + y 2
r)
k)
d)
x 2 + 7 x + 10
=
x 2 − 25
9x2 + 30x + 25
=
6x +10
o)
h)
3( a + b )
=
5( a + b )
64 − u2
=
u −13u + 40
2
8x + 7 y
=
64 x 2 − 49 y 2
s)
x2 − x − 2
=
x 2 + 3x + 2
l)
x2 − 25
=
x2 + x − 20
Pagina 1
de 9