1. No category

6
PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
EN EL ESPACIO
El objetivo de esta unidad es conocer distintos elementos de la geometría en el espacio,
y las distintas relaciones que tienen entre ellos. Se estudia lo que es un sistema de referencia, cómo se aplican los vectores a problemas espaciales, como se caracterizan las
rectas y los planos, y se estudian las posiciones relativas entre ellos.
PUNTOS ALINEADOS
Con WIRIS podemos comprobar rápidamente si tres puntos están alineados. Por ejemplo, los puntos (5, –1, –4), (3, 3, 2) y (2, 5, 5). Utilizando el comando alineados?, el programa nos da la respuesta:
Una vez que pulsamos
, WIRIS nos dice que los tres puntos sí están alineados:
En caso de que los puntos no estuvieran alineados, el programa contestaría con un falso.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dado un segmento con extremos A y B, WIRIS es capaz de darnos las coordenadas de
su punto medio. Por ejemplo, para calcular el punto medio del segmento de extremos
(7, –1, 4) y (1, 5, –3):
Y el resultado es:
( )
Es decir, el punto medio buscado es el M = 4, 2,
1
.
2
Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
1
ECUACIONES DE RECTAS
Una recta queda determinada por un punto de la recta y un vector dirección, o por dos
puntos. De estas dos formas podemos definir una recta en WIRIS.
En el primer caso hemos introducido un punto y un vector dirección (entre corchetes,
recuerda); y en el segundo caso, dos puntos.
Fíjate que WIRIS nos devuelve la ecuación implícita (intersección de dos planos) de la
recta de la que le hemos dado algunos datos.
Representación gráfica de una recta
Con WIRIS puedes dibujar las rectas a partir de sus ecuaciones implícitas.
Para ello deberás utilizar el comando dibujar3d e introducir las ecuaciones de los dos
planos que forman la recta. Por ejemplo:
Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
2
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
WIRIS no te dice directamente cuál es la posición relativa de dos rectas dadas, pero podemos utilizar lo aprendido hasta ahora para deducirla.
Dadas dos rectas, WIRIS te puede decir cuáles son los vectores dirección de estas rectas.
Y viéndolos, puedes decir si las rectas son paralelas (o coincidentes) o si se cortan (o
cruzan).
Además, para diferenciar si dos rectas se cortan o se cruzan, puedes utilizar lo que
aprendimos en la unidad 3 sobre determinantes.
Otra posibilidad podría ser dibujar las dos rectas y ver cuál es la posición relativa de ambas, pero no es recomendable. En el dibujo se verían cuatro planos, las dos rectas que
nos interesan, más otras intersecciones que pudieran darse entre los cuatro planos. Estarás de acuerdo que en muchos casos la gráfica no nos ayudará nada. Prueba con algún
ejemplo para ver qué tal.
Posición relativa de rectas mediante rangos
Al igual que en el caso anterior, lo único que puedes hacer con WIRIS es comprobar los
rangos de las matrices de coeficientes y ampliadas, y según la teoría que has estudiado
en el libro de texto, decidir cuál es la posición relativa de las dos rectas.
ECUACIONES DE PLANOS
Hay cuatro modos de definir un plano en WIRIS: mediante tres puntos, mediante un
punto y su vector normal, mediante un punto y dos vectores del plano, o mediante su
ecuación implícita.
En este caso utilizaremos el comando plano y la forma de introducir los elementos es
análoga a la que utilizamos en el caso de las rectas: los puntos entre paréntesis y los vectores entre corchetes.
Al igual que hemos hecho al estudiar las ecuaciones de una recta, podrías representar
los planos en una gráfica.
Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
3
POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS
Dos planos
Para estudiar la posición relativa de dos planos, se utilizan los rangos de sus ecuaciones
implícitas. WIRIS te ayudará con los cálculos más tediosos.
Una forma muy útil (ahora sí) de estudiar la posición relativa de dos planos es realizando la gráfica. En este caso se verá claramente si dos planos son coincidentes, paralelos o
se cortan en una recta. Por ejemplo:
En este caso, los dos planos se cortan en una recta. En este otro, sin embargo, los planos son paralelos:
Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
4
A lo mejor el dibujo no te aclara a primera vista la posición de los planos, pero recuerda
que pinchando en las flechas rojas puedes rotar la imagen hasta que consigas una visión
perfecta de lo que quieres.
Recta y plano
En este caso solo podrás obtener los vectores normal del plano y dirección de la recta, y
multiplicarlos escalarmente para comprobar su posición relativa.
Un dibujo, como en el caso de posiciones de rectas, sería tremendamente confuso, porque veríamos tres planos y sus respectivas intersecciones.
Software matemático WIRIS. 6: Puntos, rectas y planos en el espacio
5