1. Healthcare

Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Primaria
PROPUESTA HIDALGO
o
5
grado
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria, Propuesta Hidalgo, (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación
Estatal del Programa EMAyCIT-Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación
Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo, y sobre todo del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo:
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
[email protected]
[email protected]
Este material se ha aplicado en escuelas primarias del Estado de Hidalgo.
Coordinadores de Zona del Programa EMAT
Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Primaria
PROPUESTA HIDALGO
5o. grado
Revisión: Ramón Guerrero Leyva
Diagramación: Lucero Cárdenas
Formación y diseño: Ana Garza
Iconografía: Mirelle Madrid
© EMAT Hidalgo 2012
© Ángeles Editores, S.A. de C.V.
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D. F., 14650
e-mail: [email protected]
www.angeleseditores.com
Segunda edición: agosto de 2013
ISBN: 978-607-9151-12-6
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México
Acosta Jiménez Fernando; Acosta Reséndiz Pedro; Acosta Romero Clayna Anyel; Aguilar Hernández Miguel; Aguilar Peralta Sandra; Alanís Camacho
Federico; Aldana Rodríguez Izeth; Alonso Domingo Alejandro; Alvarado Aguirre Milton Raúl; Alvarado Zúñiga Uziel; Andrade Hernández Eustolia;
Ángeles Alviter Aracely; Ángeles Cardón Juan; Ángeles Martínez Antonio; Ángeles Pérez Allan Filiberto; Ángeles Serrano Ignacio; Arenas Martínez
Leonel; Argüelles Mota Blanca Patricia; Arroyo Aguazul Vicente; Arroyo Cázares Karina; Avilés López Antonio Higinio; Bacilio Hernández Gamaliel;
Baena Sánchez Yesenia; Balderrama Mercado Rocío; Ballato Arenas Freddy; Barguera Ramírez Eleazar; Barquera Pedraza Lázaro; Barrera Cruz
José Refugio; Barrera Pérez Alejandra; Barrera Pérez Omar; Bautista Aniceto Zacarías; Bautista Cerecedo Alfonso; Bautista de la Cruz Rosaura;
Bautista Gutiérrez Yanin Selene; Bautista Juárez Rufino; Bautista Martínez Antonia; Bautista Ramos Elisama; Becerra Sánchez Luis Fernando; Belio
Hernández Mayra Berenice; Benítez López Raúl; Benítez Peralta Salvador; Benítez Vázquez Gilberto Alfredo; Bravo Huerta José Florentino; Buendía
Islas Alfredo; Bueno Martínez Norma; Camargo Plata Patricia Yunnuen; Candelaria Miranda Valentín; Cano Badillo Adair Carlos; Cano Mendoza
Antonio; Cantera Reséndiz Evelio; Cantera Trejo Elio; Carpio Ruiz Arturo Emmanuel; Carrasco Mendoza Tomas; Carrillo Rosales Marilú; Castelán
Alvarado Hermilo; Castillo Molina Jorge Alberto; Cerón Espinoza Felipe; Cervantes Martínez María Isabel; Chapa Espitia María del Carmen; Chávez
Rangel Bladimir; Chávez Vite Filiberto; Cifuentes Meléndez Cuauhtémoc; Contreras Gutiérrez Oliver; Corona Cano Juan; Cortés Hernández Aldo;
Cortez Pérez Leticia; Cruz García Homero Felipe; Cruz Hernández Higinio; Cruz Hernández Lidia; Cruz Lugo Lucia; Cruz Lugo Tiburcio; Cruz Martínez
Jaime; Cruz Mayorga Justo; Cruz Montúfar Miguel Ángel; Cruz Olguín Maribel; Cruz Olvera Emanuel; Cruz Ortiz Mario; Cuervo Ramírez Fermín;
Cuevas García María Oralia; Daniel Candelario Leobardo Noel; De la Cruz Bautista María Lilian; De la Cruz Bautista Martín; De la Cruz Reyes
Eduardo; De la Cruz Santander Sotero; Demillón Arroyo Esteban; Díaz González José Arturo; Doniz Martínez Ana Yuselmi; Endonio Villeda Grecia;
Escamilla López Rubén; Espíndola Trejo Josue Neptalit; Espinosa Hernández Manuel; Esteban Juárez Abel; Estrada Rosas Armando; Fernández
Cruz Dora Luz; Fernández Suárez Julio César; Flores Campa Salatiel; Flores Villegas Hugo; Fotti Lastire Francisco Earle; Franco Martínez Marcelino;
Galindo Franco Rafael; Galindo Márquez Marco Antonio; Gamero Mercado Leonardo; García Elizondo Alicia; García García Aurelio; García Gimate
Doreyda; García López Margarita; García Mendoza Irma; García Rivera Yanet; García Santiago Josefina; Gayosso Canales Marina Elena; Gerones
Rodríguez Gabriel; Gimate Vigueras Adrián; Godínez Pelcastre Alejandro; Gómez Méndez Aida Inocencia; González Callejas Miriam Saraí; González
Carpio Eric Alejandro; González Gómez Adalberto; González González J. Dolores Efrén; González Juárez Luz María; González Quijano Delia; Gress
Guerrero Martha Angélica; Guerrero Téllez Javier; Gutiérrez Martínez Gregoria; Guzmán Águila Miguel; Guzmán Ángeles Lerina; Guzmán Lechuga
Abdón; Hernández Andrade Imelda; Hernández Aquino Iván; Hernández Argueta María Zaira; Hernández Chavarría Justina Suleyma; Hernández
Contreras Epifanio; Hernández Cruz Roberto; Hernández de Jesús Arturo; Hernández de la Cruz Ricardo; Hernández Diego Jesús; Hernández
Grande Miriam Berenice; Hernández Guerra Bertín Obed; Hernández Hernández Emmanuel; Hernández Hernández Germán; Hernández Hernández
Pedro; Hernández Hernández Serapio; Hernández Macario Luis; Hernández Martínez Eliseo; Hernández Martínez Fredy; Hernández Martínez Junior
Alfonso; Hernández Molina Agustín; Hernández Morales Christian Argel; Hernández Olivares Laura Esther; Hernández Pasarón Yazmín; Hernández
Peña Mario Vizzuett; Hernández Pérez Piedad; Hernández Reyes Helber; Hernández Rodríguez Lorenzo; Hernández Sánchez Maricruz ; Hernández
Sánchez Roberto; Hernández Téllez Marco Antonio; Hernández Trejo Fernando; Hernández Zavala Fredy; Huizache Roque Abel Cayetano; Ibarra
Cabrera Eudocio; Islas Gutiérrez Ma. Luisa; Islas Mendoza Jorge Luis; Islas Pelcastre María Isabel; Jiménez Maya Enrique; Jiménez Zarco Rubén;
Juárez Cerón Erika; Juárez Chávez Magdiel; Juárez Cruz Emilia; Juárez García Miguel Ángel; Juárez Martínez Canciano; Juárez Omaña Juan;
Juárez Paredes Misael; Lara Domínguez Marisol; Lara García Alma Rosa; Lara Sebastián Nemesio; Lara Solís Salomón; Laureano Reyes Susana;
Lemus Cruz Yonathan; Lemus José Roberto; León Camargo J. Concepción ; León Hernández Jacinto; Leyva Ibáñez Norma Angélica; Llanos
Contreras Ma. de Jesús; López Barrera Víctor Hugo; López Hernández Norma Lisceth; López Hernández Reina; López Hernández Verónica; López
Rivera Eduardo; Lorenzo Rodríguez Efraín; Maldonado Chávez Julio Cesar; Marcos Botho Omar; Márquez Maqueda Agustín; Martínez Aguado
Jonathan; Martínez Bello Yamile; Martínez Estrella Benjamín; Martínez Hernández Flor Alejandra; Martínez Hernández María Luisa; Martínez
Hernández María Magdalena; Martínez Hernández Quintín; Martínez Muñoz Miguel; Martínez Ramos J. Saúl; Martínez Reséndiz Magdalena;
Matamoros Bautista David; Matamoros Martínez Janeth; Maye Marcos Crispín; Maye Roque Edén; Maye Silva Yenny; Medina Bustos Irene
Genoveva; Mejía Sanjuán Arael; Meléndez Herrera Norma Lilia; Melgoza Antonio Mayra Esther; Méndez Hernández José Fortunato; Mendoza
Moreno Iván; Mendoza Peña Isaías; Mendoza Peña Miriam; Meza Martínez Oscar Alberto; Mina Cristóbal Andrés; Molina Santos Carlos Natalio;
Monroy Canales Heriberto; Monroy Gómez Salvador; Monroy Martínez Maharai; Monroy Patricio Margarita; Montaño Pastrana Daniel; Montaño
Sagahón Priciliano; Monter Fuentes José Luis; Monterrubio Hernández Abdón; Montiel Ávila Armando; Montiel Bautista Tirzo Alex; Montiel Enriquez
Heriberto; Montiel Montes Narda Jazmín Josefina; Mora Pérez Vicente; Morales Barrón Arturo; Moreno Alcántara Gabriel Jesús; Moreno Rosas Mario;
Morillon Cortés Johnny; Naranjo Ramírez María Berenice; Nemesio Zamudio Magnolia; Nopal Ñonthé Gregorio; Nuñez Flores Carlos Manuel; Núñez
Vázquez Evangelina; Ñonthé Silis Bibiano; Olguín Juárez Hilda; Olguín Mejía Porfirio; Olvera Bailón Marisol; Olvera García Susana; Olvera Hernández
Alfredo; Orozco Paredes Guillermo; Ortiz Elizalde Berenice; Ortiz Juárez Primitivo; Osorno Martínez José Francisco; Ostoa Hernández Alfonso;
Peralta Rodríguez César; Percastegui Delgado David Alexander; Pérez Eslava Armando; Pérez Estrada Andrés Isaac; Pérez Gómez Teodoro; Pérez
Hernández Isabel Martiniano; Pérez Hernández Violeta; Pérez Juárez Floriberto; Pérez Luna Luis Alfonso; Pérez Martínez Rodolfo; Pérez Muñoz
Miriam; Pintado González Jesús; Pintado González Norberto; Piñón Maqueda Alfonso Geovanni; Pioquinto Tepetate Eustolia; Quintanar Trejo
Armando; Quintero Hernández Alma del Rocío; Ramírez Cabrera María Isabel; Ramírez Chino Ofelio; Ramírez Guillen Adela; Ramírez Pioquinto Juan
Uriel; Ramírez Ramírez José Gil; Ramírez Salazar Javier; Ramos Rodríguez Orlando; Redondo Lara Carlos; Retama Hernández Alejandra; Reyes
Bautista Joaquín; Reyes Gómez Keila; Reyes Hernández Alberto; Reyes Mendoza Francisco Jesús; Reyes Solís Salvador; Reyna Reyes Guadalupe;
Rezéndiz Sanjuan Mercedes; Ríos Téllez Guillermina; Rivera Candelaria José Manuel; Rivera Olguín Ma. Guadalupe; Rivera Romero Gloria;
Rodríguez Castillo Miguel; Rodríguez Resendíz Isabel Cristina; Rodríguez Sarabia Jorge Raúl; Rodríguez Varela Alejandro; Rojas Vite Dante Esau;
Romo Ramírez Silvia; Rosales Escamilla Yuridia; Rubio Tapia Gustavo; Salas Cruz J. Felix; Salazar Santos Sinué Miguel; Salinas Silis Silvia; Salvador
Pérez Ivonne; San Juan Hernández Andrés; Sánchez Bautista Fernando; Sánchez Muñoz José; Sánchez Ortíz Delfino; Sánchez Pérez Belem
Arianna; Sánchez Ramírez Humberto Daniel; Santana Cruz Juventino; Santana Flores Norma; Santiago Luna Neder; Santiago Teodoro Marcelo;
Santillan Melo Samuel; Santos González Evaristo Jesús; Santos Modesto Víctor; Serrano Chavez Ismael; Sierra Cortés Felipe de Jesús; Simón
Hernández Yolanda; Soto Neri Arturo Eracleo; Suárez Jaín Ernesto; Tapia Zapata Luis Enrique; Teodoro Bautista Higinio; Tolentino Hernández Olivia;
Tolentino Téllez Irvin; Tolentino Tolentino David; Torres Zamora Maricela; Torres Zamora Marlin; Trejo Pérez Yazmin; Vargas Martínez Rocío; Vázquez
Zerón Maribel; Velázquez Arriaga Ericka; Velázquez del Ángel Edison; Velázquez Hernández Manuel; Velázquez Naranjo Silvia; Vera Cardenaz Arelia;
Vera Serrano Aurelio; Vicencio Vite Adán; Villagrán Díaz Itzmaltzin; Villanueva Cerón Francisco; Villarreal Hernández Silvestre; Villeda Ramírez Elías;
Villegas Lugo Rosendo; Vite Alejandrez Tancredo; Vite Bautista Yolloxochitl; Vite Serrano Noé; Yerbafría Cruz Israel
Contenido
Introducción
Organización del libro
Programación para Quinto Grado de Primaria
SEPTIEMBRE
Problemas de descomposición de números
Problemas de fracciones: repartos, medidas y particiones
Problemas de conteo
Cálculo mental para resolver operaciones
Trazo de triángulos y cuadriláteros con recursos diversos
Composición y descomposición de figuras
OCTUBRE
Planos de casas o edificios
Cálculo de perímetros y áreas de figuras
Fórmula para calcular el perímetro de polígonos
Tablas de frecuencias
Elaboración de gráficas de columnas
NOVIEMBRE
Fracciones en la recta numérica
Fracciones decimales y números decimales
Problemas con múltiplos de números naturales
Elementos de la división
Cálculo mental con fracciones
Elementos de los cuerpos geométricos
Lectura de mapas de zonas urbanas o rurales
Mapas de rutas
5
7
9
13
16
18
20
22
26
27
28
30
32
33
34
36
39
40
43
44
47
48
DICIEMBRE
Conversiones con múltiplos y submúltiplos de
metro, litro y kilogramo
Factor constante de proporcionalidad
Comparación de razones
Información y su organización
ENERO
Reglas del sistema de numeración
Fracciones equivalentes
Comparación y orden de números decimales
50
53
54
55
57
59
61
3
Contenido
FEBRERO
Problemas con fracciones y números decimales
División y su residuo
Altura de triángulos
Fórmula del área del paralelogramo
Fórmula y cálculo del área del triángulo y el trapecio
Metro cuadrado y medidas agrarias
Porcentaje y proporcionalidad
Espacio muestral
MARZO Y ABRIL
Sistemas de numeración antiguos
Problemas de notación decimal
Problemas con divisores
Multiplicación de números naturales por
decimales y fraccionarios
Cálculo mental con números fraccionarios y decimales
Clasificación de prismas
Ubicación de objetos en cuadrículas
Volúmenes
Representación gráfica
MAYO
Razones
Números decimales en la recta numérica
Cociente decimal
Operaciones inversas
JUNIO
Teselados
Relaciones de tiempo
Variación proporcional
Promedios
BIBLIOGRAFÍA
4
64
70
72
73
74
76
78
82
84
86
89
91
96
100
102
104
106
108
110
112
114
117
118
120
121
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) contstituyen un
revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una
era de cambio y de modificaciones constantes que influyen
significativamente en nuestras vidas.
Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos
de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras,
un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por
cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo, las HC constituyen una importante ayuda
para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las
matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico,
un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta
fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva podemos preguntarnos, ¿qué aspectos caracterizan a
las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión
alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos
que las pueden caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser
integradas al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman
parte de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de
sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista
del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora la
orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que son
utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues desarrollan sus
actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y
energía.
5
Además de estas ventajas que proporcionan las Tecnologías de la
Información en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que
también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se
puede relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas,
contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral
de nuestros estudiantes.
Por lo anterior, la Subsecretaría de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el
ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del
Estado, de cada modalidad de Educación Primaria, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores de
sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización
docente para el intercambio de experiencias, metodologías y
conocimientos sobre dos herramientas tecnológicas: Hoja electrónica
de cálculo y Geometría dinámica, las cuales son propuestas originales
de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación
Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de
la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han
diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para quinto y sexto
grado de educación primaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida, utilizaremos este Libro de Sexto Grado, EMAT-Hidalgo,
para beneficio de nuestros alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
del Estado de Hidalgo
6
Organización del Libro
PRESENTACIÓN
El Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la
Educación Primaria, (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de dos
herramientas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una
con los ejes temáticos Sentido numérico y pensamiento algebraico,
Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Con lo anterior
se cubren las áreas específicas de aritmética, pre-álgebra, geometría,
resolución de problemas y modelación matemática. El libro cumple,
en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas, para las modalidades de Educación Primaria.
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso
de estas dos herramientas computacionales cuentan con un sustento
teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas
mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.
La propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula
de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando
las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la
planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios,
de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para
temas de geometría euclidiana, al igual que la hoja electrónica de cálculo,
para la enseñanza de pre-álgebra, la resolución de problemas aritméticoalgebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía
a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las
hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en el libro.
7
Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez
mayores niveles de conceptualización matemática, para ello su
programación se hace de la siguiente manera:
SEPTIEMBRE
Semana
1
Eje
BLOQUE UNO
Problemas de descomposición de números
Problemas de fracciones:
repartos, medidas y particiones
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo
13
GeoGebra
16
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los
alumnos a:
Explorar
Formular y validar hipótesis
Expresar y debatir ideas
Aprender con el análisis de sus propios errores.
Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades
didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han
realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por
otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información
al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los
conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo, y
en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso
y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de
superación sustentadas en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
8
Programación Quinto Grado
SEPTIEMBRE
Semana
Eje
BLOQUE UNO
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo
13
GeoGebra
16
Problemas de conteo
Hoja de cálculo
18
Cálculo mental para resolver operaciones
Hoja de cálculo
20
Problemas de descomposición de números
1
Problemas de fracciones:
repartos, medidas y particiones
2
3
Trazo de triángulos y cuadriláteros con
recursos diversos
GeoGebra
22
4
Composición y descomposición de figuras
GeoGebra
26
Herramienta
Pág
Planos de casas o edificios
GeoGebra
27
Cálculo de perímetros y áreas de figuras
GeoGebra
28
Fórmula para calcular el perímetro de polígonos
GeoGebra
30
OCTUBRE
Semana
Eje
1
2
BLOQUE UNO
3
Tablas de frecuencias
Hoja de cálculo
32
4
Elaboración de gráficas de columnas
Hoja de cálculo
33
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo y
GeoGebra
34
Fracciones decimales y números decimales
Hoja de cálculo
36
Problemas con múltiplos de números naturales
Hoja de cálculo
39
Elementos de la división
Hoja de cálculo
40
Cálculo mental con fracciones
Hoja de cálculo
43
Elementos de los cuerpos geométricos
GeoGebra
44
Lectura de mapas de zonas urbanas o rurales
GeoGebra
47
Mapas de rutas
GeoGebra
48
NOVIEMBRE
Semana
1
2
3
4
Eje
BLOQUE DOS
Fracciones en la recta numérica
9
Programación Quinto Grado
DICIEMBRE
Semana
Eje
BLOQUE DOS
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo
50
GeoGebra
53
Hoja de cálculo y
GeoGebra
54
Hoja de cálculo
55
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo
57
Hoja de cálculo y
GeoGebra
59
Hoja de cálculo
61
Herramienta
Pág
Problemas con fracciones y números decimales
Hoja de cálculo
64
División y su residuo
Hoja de cálculo
70
Altura de triángulos
GeoGebra
72
Fórmula del área del paralelogramo
GeoGebra
73
Fórmula y cálculo del área del
triángulo y el trapecio
GeoGebra
74
Hoja de cálculo y
GeoGebra
76
Porcentaje y proporcionalidad
Hoja de cálculo
78
Espacio muestral
Hoja de cálculo
82
1
Conversiones con múltiplos y
submúltiplos de metro, litro y kilogramo
2
Comparación de razones
3
Información y su organización
Factor constante de proporcionalidad
ENERO
Semana
Eje
BLOQUE TRES
1
Reglas del sistema de numeración
2
Fracciones equivalentes
3
Comparación y orden de números decimales
FEBRERO
Semana
1
2
3
4
10
Eje
BLOQUE TRES
Metro cuadrado y medidas agrarias
Programación Quinto Grado
MARZO Y ABRIL
Semana
Eje
1
2
3
4
5
6
BLOQUE CUATRO
Herramienta
Pág
Sistemas de numeración antiguos
Hoja de cálculo
84
Problemas de notación decimal
Hoja de cálculo
86
Problemas con divisores
Hoja de cálculo
89
Multiplicación de números naturales por
decimales y fraccionarios
Hoja de cálculo y
GeoGebra
91
Cálculo mental con números
fraccionarios y decimales
Hoja de cálculo y
GeoGebra
96
Clasificación de prismas
GeoGebra
100
Ubicación de objetos en cuadrículas
GeoGebra
102
Volúmenes
GeoGebra
104
Hoja de cálculo
106
Herramienta
Pág
Hoja de cálculo
108
GeoGebra
110
Representación gráfica
MAYO
Semana
Eje
BLOQUE CINCO
1
Razones
2
Números decimales en la recta numérica
3
Cociente decimal
Hoja de cálculo
112
4
Operaciones inversas
Hoja de cálculo
114
Herramienta
Pág
GeoGebra
117
JUNIO
Semana
Eje
BLOQUE CINCO
1
Teselados
2
Relaciones de tiempo
Hoja de cálculo y
GeoGebra
118
3
Variación proporcional
Hoja de Cálculo
120
4
Promedios
Hoja de Cálculo
121
11
Iconos
Al inicio de cada lección aparece un conjunto de elementos mostrando
el número de lección, el nombre del archivo a utilizar y el icono que
indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Éstos
son los siguientes.
Número de lección
LECCIÓN
Nombre del archivo
Contiene la herramienta
computacional a usar
en la lección. En algunas
lecciones se indica el uso
de ambas herramientas.
Hoja de cálculo
12
Geogebra
BLOQUE UNO
Problemas de descomposición de números
Los números naturales de dos o más cifras pueden descomponerse en una
suma de números menores, que se escriben en orden descendente. Esta
técnica facilita la realización mental de operaciones aritméticas y la estimación
de resultados. Algunas formas de descomponer un número son la notación
desarrollada y la separación por millares, centenas, decenas y unidades.
LECCIÓN
1
Probdesnum
Ejemplo: descomponer el número 253
Notación desarrollada: 200 + 50 + 3
Por centenas, decenas y unidades:
100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1
Otra forma: 200 + 20 + 20 + 10 + 3
Realiza la descomposición de los siguientes números de 3 maneras diferentes.
Número
342
1 523
Notación
desarrollada
Millares, centenas, decenas, unidades
Otra forma
300 + 40 + 2
100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1
200 + 100 + 20 + 20 + 2
1 000 + 500 +
20 + 3
1 000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 +
10 + 1 + 1 + 1
1 000 + 200 + 200 + 100 +
20 + 3
674
721
298
3 495
Actualmente, en México se utilizan billetes y monedas de las siguientes
denominaciones:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
13
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Ana compró varios artículos en el supermercado, ¿cuántos billetes
y monedas, de las denominaciones que se proporcionan en la tabla,
tendrá que dar para pagar cada uno de los artículos? Llena los
recuadros indicando el número de denominaciones necesarias y la
cantidad mínima para optimizar. Guíate con los ejemplos.
Artículo
TV
Cd música
Pantalón
Laptop
Celular
Blusa
DVD
Precio
$1 000 $500
$200
$100
$50
$20
$10
$5
$1
$2 356
2
1
1
1
1
1
Cantidad
$2 000
$200
$100
$50
$5
$1
$173
1
1
1
1
1
Cantidad
$100
$50
$20
$2
$1
$468
Cantidad
$3 550
Cantidad
$1 999
Cantidad
$387
Cantidad
$839
Cantidad
Si Ana llevaba en su cartera
¿le alcanzará para comprar el celular?
¿por qué?
¿cuánto le falta o le sobra?
Si Ana llevaba en su cartera
¿le alcanzará para comprar un pantalón?
¿cuánto le falta o le sobra?
14
$2
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
¿por qué?
El sistema de numeración decimal es de notación posicional, es decir, el
valor de cada cifra depende del lugar que ocupa dentro de la cantidad.
Clase
Millones
Orden
C
D
U
100 000 000 10 000 000 1 000 000
Número
Millares
4
4
Valor
Representa 40 000 000 4 000 000
posicional
Unidades
C
100 000
D
10 000
U
1 000
C
100
D
10
U
1
4
4
4
4
4
4
400 000
40 000
4 000
400
40
4
El número formado en la tabla anterior se lee: cuarenta y cuatro millones
cuatrocientos cuarenta y cuatro mil cuatrocientos cuarenta y cuatro.
Anota el valor posicional de las cifras que están subrayadas.
Ejemplo: 78 567
8 000
125 966 667
345 980
5 678 956
23 301 210
34 654
Escribe cómo se leen estas cantidades.
Ejemplo: 54 639
cincuenta y cuatro mil seiscientos treinta nueve
34 987
986 890
1 235 341
806 890 Sentido numérico y pensamiento algebraico
15
LECCIÓN
2
Problemas de fracciones:
repartos, medidas y particiones
Probfracremepa
En las siguientes figuras colorea la parte que dice el enunciado.
Auxíliate con la cuadrícula.
La tercera parte del cuadrado
La cuarta parte del triángulo
Un cuarto del rectángulo
La mitad del cuadrilátero
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Qué fracción de una semana son 3 días? b) ¿Cuántos minutos representa
1
de hora? 4
c) ¿Qué fracción de 1 litro representan 100 mililitros? d) ¿Cuántos meses son
16
BLOQUE UNO 
2
del año? 6
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
e)Una tira de listón de 10 cm fue dividida en 6 partes iguales. ¿Cuánto
mide cada parte?
f) La mitad de un caramelo mide 5 de cm. ¿Cuál es la medida del
2
caramelo completo?
g)Si al caramelo anterior lo cortaron en cuatro trozos iguales, ¿cuánto
mide cada trozo?
Mide cada uno de los lados de la figura y con el deslizador
"desdoblar" genera una sola tira. Esto corresponde al perímetro de
la figura.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
17
LECCIÓN
3
Problemas de conteo
Probconteo
Los problemas de conteo se usan para determinar la cantidad total de
combinaciones entre un grupo de objetos o atributos, que se puede obtener
sumando o multiplicando sus elementos. Entre las técnicas más utilizadas
para resolver este tipo de problemas están los diagramas de árbol y las
tablas.
Para construir una tabla, hay que ver cuántas filas y cuántas columnas
existen, y multiplicarlas para obtener el número de combinaciones posibles.
Para construir un diagrama de árbol, se multiplican las opciones existentes
entre sí, o se pueden contar y sumar todas las ramas finales del árbol.
Ejemplo: Marcela tiene varias opciones para vestirse e ir a la plaza con
sus amigas: 2 playeras, 2 pantalones y 2 pares de zapatos.
¿Cuántas combinaciones para vestirse tiene Marcela?
playera verde
zapatos negros
pantalón azul
zapatos grises
zapatos negros
zapatos grises
pantalón blanco
inicio
zapatos negros
pantalón azul
zapatos grises
playera rosa
zapatos negros
pantalón blanco
zapatos grises
Empezamos a combinar primero las dos playeras con los dos pantalones,
y al final los dos pares de zapatos. Una primera manera de saber cuántas
combinaciones existen es ver las últimas rama del árbol, que en este caso
son las de los zapatos, y al contarlas encontramos 8 combinaciones.
Una segunda manera de resolverlo, es multiplicar las opciones que
Marcela tiene para vestirse, en donde vemos que hay 2 playeras, 2
pantalones y 2 pares de zapatos, y se procede a multiplicar 2 × 2 × 2 = 8.
Si en lugar de un diagrama de árbol decidimos utilizar una tabla, ésta
quedará de la siguiente manera:
Pantalón azul
Playera verde
Playera rosa
18
BLOQUE UNO 
Pantalón blanco
Zapatos negros
Zapatos grises
Zapatos negros
Zapatos grises








Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Y las combinaciones tanto de la tabla como del diagrama de árbol son:
Playera rosa – pantalón azul – zapatos negros
Playera rosa – pantalón azul – zapatos grises
Playera rosa – pantalón blanco – zapatos negros
Playera rosa – pantalón blanco – zapatos grises
Playera verde – pantalón azul – zapatos negros
Playera verde – pantalón azul – zapatos grises
Playera verde – pantalón blanco – zapatos negros
Playera verde – pantalón blanco – zapatos grises
Gelatina
Nieve
Milanesa
Gelatina
Nieve
Pollo
Gelatina
Nieve
Mole
Gelatina
Nieve
Milanesa
Gelatina
Nieve
Pollo
Gelatina
Nieve
Elote
Mole
Calabaza
Zanahoria
Ejercicios.
1. En la fonda “La casita”, el menú incluye tres platillos diferentes: una sopa, un guisado y
un postre. La sopa puede ser de zanahoria, calabaza o elote; el guisado puede ser mole,
milanesa o pollo, y el postre puede ser gelatina o nieve. Organizados en parejas, completen
el siguiente diagrama de árbol. Después, contesten lo que se pide.
Mole
Gelatina
Nieve
Milanesa
Gelatina
Nieve
Pollo
Gelatina
Nieve
¿Cuántos menús diferentes hay en la fonda? Completen la operación con la que pueden obtener el total de menús
diferentes, sin utilizar el diagrama de árbol.
×
×
=
2. Para el baile de fin de cursos de la escuela, en el grupo de 5º se animaron
a participar Pablo, Edgar, José y Mauricio, así como Martha, Rocío,
Alma, Liz y Edith.
Martha
Rocío
Alma
Liz
Edith
Pablo
Edgar
José
Mauricio
¿Cuántas parejas de baile diferentes de un hombre con una mujer se
pueden formar? Completa la operación con la que se puede obtener el total de parejas
diferentes, sin utilizar la tabla.
×
=
Sentido numérico y pensamiento algebraico
19
LECCIÓN
4
Cálculo mental para resolver operaciones
Calculomental
El cálculo mental es un buen recurso para resolver operaciones rápidamente,
sin necesidad de realizar operaciones escritas o utilizar la calculadora.
Por ejemplo, para sumar cantidades que tengan el mismo número de
ceros al final, hay que comenzar sumando los números que están en la
misma posición, y después agregar el número de ceros que tenga cada
cantidad. Para sumar 2 000 + 4 000 se suman primero 2 + 4 = 6, y después
se agregan los 3 ceros que tienen ambas cantidades, formando el 6 000.
Para sumar cantidades que no tengan ceros, ayúdate de la suma con
decenas o centenas. Por ejemplo, para sumar 175 + 28, primero suma
70 + 20 = 90. Luego suma las unidades 5 + 8 = 13. Al final suma las
centenas, decenas y unidades: 100 + 90 + 13 = 203.
Cuando se multiplica una cantidad por múltiplos de diez (10, 100, 1 000,
etcétera) basta multiplicar las cifras que no tienen ceros y al final agregar
los ceros que tienen ambas cantidades. Por ejemplo: 5 600 × 20 se resuelve
multiplicando 56 × 2 = 112 y se agregan dos ceros de la primera cantidad
más un cero de la segunda cantidad, en total 3 ceros: 112 000.
Si se divide una cantidad que contenga ceros entre otra cantidad,
primero procedemos a dividir el dividendo sin ceros entre el divisor, y
después se agregan los ceros. Por ejemplo: 240 ÷ 6. Primero quitamos
el cero del dividendo y se divide entre el divisor, 24 ÷ 6 = 4, y se le
agrega el cero al cociente, es decir, el resultado es 40.
Si el dividendo y el divisor contienen ceros, podemos eliminar los del
dividendo con el divisor. Por ejemplo, al dividir 4 800 ÷ 80, podemos
eliminar un cero del dividendo con el cero del divisor, y queda la
división 480 ÷ 8, y se continúa conforme al procedimiento anterior,
quitando el cero del divisor para dividir 48 ÷ 8 = 6 y agregar el cero al
final, quedando el resultado 60.
Resuelve las siguientes operaciones mentalmente.
a) 8 000 + 3 000 = b) 12 400 ÷ 100= c) 239 + 12 = d) 8 650 + 350 = e) 15 000 + 1860 = f) 9 120 ÷ 3 = 20
BLOQUE UNO 
g) 13 080 + 120 = h) 24 200 ÷ 10 = i) 25 × 100 = j) 436 × 100= k) 32 × 1 000 = l) 8 345 × 10 000= Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resuelve los siguientes ejercicios mentalmente, y después realiza la
operación para comprobar el resultado.
1. Si se reparten 60 cerezas entre 3 niños, ¿cuántas cerezas le
corresponden a cada niño?
2. Si una caja tiene 5 lápices de colores, ¿cuántos lápices de colores
habrá en 6 cajas?
3. Si Juan tiene 99 canicas y las reparte equitativamente entre 11 de
sus amigos, ¿cuántas canicas recibe cada uno?
4. Si una caja contiene 12 gomas, ¿cuántas gomas habrá en 10 cajas?
5. Para una rifa, un grupo de 6 compañeros compramos 5 boletos
cada uno y perdimos 2 boletos. ¿Cuántos boletos tenemos ahora?
6. Gerardo tiene 18 caramelos y los reparte equitativamente entre
sus 3 compañeras. Si una de ellas tenía antes 6 caramelos,
¿cuántos tendrá ella ahora?
7. Si el papá de Miguel deja una herencia de $9 000 000 para repartir
entre sus 3 hijos, ¿cuánto dinero le tocará a cada uno?
8. Si el Gobierno del Estado de Hidalgo reparte equitativamente
4 000 000 de semillas entre 200 agricultores, ¿cuántas semillas
le tocan a cada agricultor?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
21
5
LECCIÓN
Trazo de triángulos y cuadriláteros
con recursos diversos
El triángulo es el polígono de menor número de lados y se define como
una figura plana que tiene 3 lados y 3 ángulos. De acuerdo a sus lados, un
triángulo puede ser equilátero, isósceles y escaleno.
Trazotricua
A
c
B
b
a
Triángulo
A
b
a
D
d
B
C
Equilátero
3 lados iguales
Isósceles
2 lados iguales
Escaleno
3 lados diferentes
Los cuadriláteros son polígonos que constan de 4 lados y 4 ángulos. Se
dividen en cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio y trapezoide.
c
Cuadrilátero
C
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio
Trapezoide
Ejercicio.
Javier necesita encargar por teléfono a un carpintero la elaboración
de varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas
y tamaños de las piezas son como se muestra a continuación. Anoten
debajo de cada pieza la información que Javier tendría que darle por
teléfono al carpintero, para que las haga como desea.
22
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
El compás, además de ser un instrumento que sirve para trazar
circunferencias, se utiliza para precisar longitudes en el trazo de los lados
rectos de una figura.
Pasos para contruir un triángulo con regla y compás.
Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera
de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.
Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de
las otras dos medidas y con centro en un
extremo del segmento, se traza un arco.
Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida
y con centro en el otro extremo del segmento,
se traza un arco que cruce al anterior.
Paso 4. Se unen los extremos del segmento
con el punto donde se cortan los arcos y se
obtiene el triángulo pedido.
Forma, espacio y medida
23
Traza el triángulo o cuadrilátero que se pide de acuerdo a las
medidas indicadas.
Triángulo escaleno, con lados de 6 cm y 6.5 cm y altura 2.5 cm.
Triángulo isósceles con lados de 3.5 cm y 4.5 cm.
Triángulo equilátero con lados de 6 cm.
24
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Traza los triángulos con las medidas que se proporcionan, a partir
de la recta trazada.
Rectángulo, cuyos lados miden 6 cm y 4.5 cm
Trapecio, cuyas bases miden 5.5 cm y 3.5 cm y su altura 2.5 cm.
Forma, espacio y medida
25
LECCIÓN
6
Composición y descomposición de figuras
Comdesfig
Los polígonos se pueden descomponer en varias figuras o a partir de
combinar varias figuras se puede construir otro. Cuando la figura se
descompone, el perímetro cambia, pero el área sigue siendo la misma,
porque es igual a la suma de las áreas con las que se formó.
Observa las diagonales trazadas, determina cuántos triángulos se
forman y completa la tabla. Guíate con el ejemplo.
Figura
26
BLOQUE UNO 
Nombre
Número de lados
Triángulos
formados
Tipo de triángulos
formados
Cuadrado
4
4
Isósceles
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Planos de casas o edificios
Los planos de casas o edificios son elaborados por arquitectos o ingenieros
civiles. Para hacerlos de manera que puedan ser interpretados fácilmente,
incluyen símbolos y elementos que describen con detalle la distribución
de la casa o edificio, así como los elementos que los componen, tales como
paredes, puertas, escaleras, ventanas, etcétera.
7
Planoscasa
Observa el plano de la casa e identifica sus elementos principales.
Con una regla,
obtén las
medidas (que
serán a escala)
y calcula el
área de cada
componente
de la casa.
BAÑO
HABITACIÓN
1
HABITACIÓN
2
DESPACHO
COCINA
SALA
Por ejemplo:
Cocina 4 × 3 = 12 cm2
Habitación 1
Baño
cm2 Habitación 2
cm2
Sala
cm2 Despacho
cm2
cm2
Elabora el plano de tu casa vista desde arriba, como el ejemplo anterior.
Forma, espacio y medida
27
LECCIÓN
8
Cálculo de perímetros y áreas de figuras
Calcperiarea
Recuerda que el perímetro de una figura es la medida de su contorno o
derredor, y para poder calcularlo necesitamos conocer y sumar la medida
de todos sus lados. El área es la cantidad de unidades cuadradas que cubren
a una superficie, y la forma de calcularla depende de la figura que se trate.
Considera las medidas necesarias para resolver cada problema.
1. Roberto quiere construir el marco de una pintura. ¿Qué medidas debe
conocer para cortar los pedazos de madera al tamaño que se necesita?
2. Jorge quiere pintar su recámara. En la tlapalería le dijeron que 1 litro
de pintura cubre 8 m2. ¿Qué tendrá que medir para saber cuántos
litros de pintura necesita?
3. ¿Qué debe conocer un albañil para saber cuántos ladrillos se
necesitarán para construir un muro?
4. Sarita quiere decorar las orillas de su libreta con listón. ¿Qué necesita
calcular, el área o el perímetro?
28
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
5. Si se quiere hacer una cortina para cubrir una ventana que mide 2
metros de largo por 4 metros de alto, ¿cuánta tela se necesita comprar?
6. Si el papá de Mario quiere ponerle un marco de madera a la mesa de
vidrio que tiene en el comedor y que mide 3 metros de largo por 2 de
ancho, ¿cuánta madera tiene que comprar?
7. Si la mamá de Karla quiere ponerle piso a su cocina y ésta mide 25
metros cuadrados, ¿cuántos mosaicos de 50 × 50 cm se necesitan?
8. ¿Cuánto pasto tendrá que plantar don Julio para cubrir un jardín que
mide 5 metros de ancho por 8 metros de largo?
Forma, espacio y medida
29
LECCIÓN
9
Fórmula para calcular el perímetro de polígonos
Forcalperiarea
El perímetro es la cantidad de unidades lineales que mide el contorno de
una figura, y se obtiene sumando todos sus lados.
Ejemplo:
El perímetro de un triángulo equilátero es:


 +  +  = 3 × , que se puede
expresar como P = 3

Traza una línea del color de la figura uniendo cada una con la
fórmula de su perímetro, como en el ejemplo.
Cuadrado
P = 10
P = 8
P = 7
Heptágono
regular
Pentágono
regular
P = 6
P = 9
Octágono
regular
Hexágeno
regular
P = 5
Eneágono
regular
P = 4
Decágono
regular
Observa las figuras anteriores y con base en la fórmula de su perímetro,
establece una fórmula general que sirva para calcular el perímetro de
cualquier polígono regular.
Fórmula general para calcular el perímetro de un polígono regular.
30
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resuelve los siguientes problemas.
1. En la colonia Estrella, varios vecinos van a cercar sus terrenos. Calcula
la cantidad de malla que se necesita para cercar cada uno de los
terrenos representados en las siguientes figuras.
18 m
30 m
16 m
22 m
18 m
26 m
Terreno rectangular
Terreno trapezoidal
Terreno hexagonal
2. Si se necesitaron 16 metros de moldura para decorar la orilla de un
techo cuadrangular, ¿cuánto mide cada lado del techo?
3. Para el marco de una ventana en forma de pentágono se utilizaron
60 cm de madera, ¿qué cantidad de moldura lleva en cada lado?
4. ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un triángulo
isósceles?
5. ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un triángulo
escaleno?
Forma, espacio y medida
31
LECCIÓN
10
Tablas de frecuencias
La frecuencia es el número de veces que un dato se repite. Una tabla de
frecuencias es una técnica que se utiliza para mostrar datos estadísticos
ordenados.
Tablasfrecue
Contesta las preguntas en base a la información de las tablas.
1. La siguiente tabla muestra la participación de la delegación deportiva
mexicana en los Juegos Olímpicos Beijing 2008.
Competencia
Futbol
Atletismo
Natación
Volibol
Tae Kwon
Do
Boxeo
Gimnasia
Beisbol
Modalidad
Equipo
Individual
Individual
Equipo
Individual
Individual
Individual
Equipo
Atletas
inscritos
25
15
18
12
12
8
7
20
¿En qué competencia participan menos deportistas? ¿Cuántos atletas hay en deportes de equipo? ¿Cuántos atletas hay en deportes individuales? ¿Cuántos deportistas participan en algún deporte que se juegue con
pelota? 2. En la escuela varios niños emprendieron acciones de cuidado del
ambiente y se dieron a la tarea de recolectar latas y botellas. Los datos
de lo que recolectaron en una semana fueron:
Día
Latas y botellas
recolectadas
lunes
martes
miércoles
jueves
viernes
7
36
60
57
93
¿Crees que el lunes se tiraron menos objetos, o los niños de la escuela
no estaban enterados de la recolección que hacían sus compañeros?
¿El grupo de niños recolectó más objetos el martes o el jueves? ¿Qué día recolectaron menos objetos? ¿A qué crees que se deba que el viernes hayan recolectado más
objetos? 32
BLOQUE UNO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Elaboración de gráficas de columnas
Una gráfica de columnas sirve para representar información que se
organiza en tablas que tienen datos múltiples de entrada, para poder
relacionar diferentes variables de un problema. También se le llama
diagrama de interrelaciones.
11
Elabgrafcol
Observa la siguiente tabla.
Persona
Nombre
1
Sexo
Edad (años)
Estatura (m)
Peso (Kg)
Ricardo
42
1.77
87.0
2
Lupita
45
1.58
60.4
3
Andrea
52
1.73
80.2
4
Diego
45
1.53
58.3
5
Alexis
53
1.80
84.4
6
Sonia
46
1.79
85.6
7
Eduardo
52
1.51
50.0
8
Mario
43
1.72
80.3
9
Tobías
51
1.60
54.3
10
Luisa
46
1.67
60.8
Completa la tabla en la que se resumen los datos en número de
personas por sexo, edad, estatura y peso.
Sexo
Edad
40-47
F
Estatura
48-55
1.50-1.65
1.66-1.80
Peso
50-70
71-90
6
5
M
4
Analiza la siguiente tabla y responde lo que se pide.
Toman café
Padecimientos de la piel
Total
Sí
No
Sí
4
3
7
No
1
2
3
Total
5
5
10
¿Cuántas personas no toman café? ¿Cuántas personas que no toman café han padecido de la piel? ¿Cuántas personas que toman café han padecido de la piel? ¿Cuántas personas no han tenido padecimientos de la piel y toman café? Manejo de la información
33
BLOQUE DOS
LECCIÓN
1
Fracciones en la recta numérica
Para poder localizar una fracción impropia (donde el numerador es
más grande que el denominador) en la recta numérica, es conveniente
primero convertirla a enteros más una fracción, y a este nuevo número se
le llama número mixto. Para hacer esto, dividimos el numerador entre el
denominador para ver cuántas enteros hay en el cociente.
Fracrecnum
10
Por ejemplo, para representar 8 en la recta numérica, primero dividimos
10 ÷ 8, y vemos que el cociente es 1 y sobran 2, por lo que el resultado
2
es 1 8 . Ahora dividimos en la recta numérica los enteros en 8 partes,
puesto que así lo indica la fracción, y podemos contar los diez octavos, o
simplemente ubicamos un entero más dos octavos.
10
2
En la recta se ha marcado con una flecha roja 8 , que equivale a 1 8 .
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Ubica en las rectas numéricas las fracciones que se indican, dividiendo
cada segmento tantas veces como indique el denominador.
7
2
23
7
15
4
19
6
33
5
29
3
34
BLOQUE DOS 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha.
0
1
0 2
3
1
4
5
2
6
7
8
3
9
4
10
0 0 1
1
2
2
3
Analiza el problema y contesta.
En una tienda se realizó una promoción denominada “Una semana para
el bebé”, de la siguiente manera: dos días en rebajas de pañales, un día
para ropa, otro para juguetes y tres para alimentos.
Marca en la recta, con diferente color, los días en que se rebajó cada
producto.
¿Cómo se representa? ¿Por qué se dividió la recta en siete segmentos iguales? ¿Qué fracción representa cada segmento?
3
de la semana se realizó una promoción. ¿De qué artículo fue?
Durante
7
Sentido numérico y pensamiento algebraico
35
LECCIÓN
2
Fracciones decimales y números decimales
Fracdecinumdeci
Las fracciones decimales se producen cuando hacemos divisiones
entre 10 de manera sucesiva (las que tienen como denominador 10, 100,
1 000, etcétera), donde se da una relación de 1 a 10 entre la unidad y los
décimos, entre los décimos y los centésimos, entre los centésimos y los
milésimos, en donde tenemos:
10
100
1
=
=
100
1000
10
1
, que se lee un décimo, y se
10
representa como 0.1, es decir, el 1 ocupa la primera posición a la derecha del punto
Si la unidad se divide en 10 partes iguales, cada parte es
decimal. En la fracción sólo hay un cero en el denominador y en el decimal sólo una
7
cifra. Por ejemplo,
es igual a 0.7 y se lee siete décimos.
10
1
, que se lee un centésimo, y
Si la unidad se divide en 100 partes iguales, cada parte es
100
se representa como 0.01, es decir, el 1 ocupa la segunda posición a la derecha del punto
decimal. En la fracción hay dos ceros en el denominador y en el decimal hay dos cifras. Por
3
47
ejemplo,
es igual a 0.03 y se lee tres centésimos.
es igual a 0.47 y se lee cuarenta y
100
100
siete centésimos.
1
, que se lee un milésimo,
1000
y se representa como 0.001, es decir, el 1 ocupa la tercera posición a la derecha del
Si la unidad se divide en 1 000 partes iguales, cada parte es
punto. En la fracción hay tres ceros en el denominador y en el decimal hay tres cifras.
7
83
Por ejemplo,
es igual a 0.007 y se lee siete milésimos.
es igual a 0.083 y se lee
1000
1000
436
ochenta y tres milésimos.
es igual a 0.436 y se lee cuatrocientos treinta y seis milésimos.
1000
Si analizamos el sistema decimal como hasta ahora lo conoces, queda así:
Decenas
de millar
Millares
Centenas
Decenas
Unidades
Décimos
Centésimos
Milésimos
El punto decimal va aquí
Unidades
Decenas
Punto decimal
.
17 591
Décimos
Centésimos
Milésimos
A la izquierda del punto decimal cada posición aumenta diez veces el valor de la cifra.
A la derecha del punto decimal cada posición disminuye diez veces el valor de la cifra.
36
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Ejemplos de representación de fracciones decimales y números decimales:
10 100
=
= 1 entero
10 100
3
= 3 décimos
10
20
= 20 centésimos
100
Identifica cuántos décimos y centésimos representa cada figura y anota la
fracción y el número decimal a su derecha.
Fracción
Fracción
Fracción
Decimal
Decimal
Decimal
Fracción
Fracción
Fracción
Decimal
Decimal
Decimal
Fracción
Fracción
Fracción
Decimal
Decimal
Decimal
¿Qué observas en las últimas dos figuras? Sentido numérico y pensamiento algebraico
37
Escribe las fracciones equivalentes de los siguientes números
agregando ceros en el numerador y en el denominador. Guíate
con el ejemplo.
Ejemplo:
1
=
10
=
=
5
=
10
=
2
200
20
=
=
10 100
1000
7
=
10
=
=
=
Completa la siguiente tabla. Guíate con los ejemplos.
Fracción
82
100
Decimal
Se lee
.82
Ochenta y dos centésimos
Ciento veinticinco milésimos
.08
605
1 000
.7
Cincuenta y cuatro centésimos
Une con una línea de color diferente los números de la izquierda con las
descomposiciones en números enteros y fracciones decimales de la derecha.
Ejemplo: 7.432 se descompone en 7 +
13.728
4
3
2
+
+
10 100 1000
3
0
7
26 +
+
+
10 100 1000
26.073
13 +
7
8
2
+
+
10 100 1000
13.782
26 +
0
3
7
+
+
10 100 1000
26.730
13 +
7
8
2
+
+
10 100 1000
Señala con una flecha en la regla los números que se indican.
1
38
BLOQUE DOS 
55
,
100
3.4,
4.75,
5
95
100
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
3
LECCIÓN
Problemas con múltiplos de números naturales
El múltiplo de un número es el producto o resultado de multiplicar ese
número por otro número natural.
Probmultiplos
Llena la tabla identificando y pintando con colores diferentes
los múltiplos del salto que hace cada participante. Completa los
enunciados.
El Grillo (G) salta tres metros, la Rana (R) dos metros, el Canguro (C)cinco
metros y el Atleta (A) siete metros. Cada columna representa un metro.
1
3
6
9
12
15
19
21
24
27
30
META
G
R
C
A
Los primeros diez múltiplos de la rana son Los primeros cinco múltiplos del canguro son Los primeros cuatro múltiplos del atleta son La rana y el atleta comparten múltiplos, ¿cuáles son? Relaciona con una línea los números de la izquierda con los
múltiplos de la derecha.
13
10, 20, 30, 40, 50
10
14, 21, 28, 35, 42
6
26, 39, 52, 65, 78
7
12, 18, 24, 30, 36
Analiza la siguiente serie, dibuja las figuras que faltan y contesta.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Fig. 7
¿Cuántos soles tiene la figura 10? ¿Cuántos soles tiene la figura 25? Sentido numérico y pensamiento algebraico
39
LECCIÓN
4
Elementos de la división
Elemdivision
Recuerda que los elementos de una división son:
× Cociente (c)
Divisor Dividendo (D)
(d)
Residuo (r) =
+
Para comprobar que la división es correcta, se establece la siguiente regla
o fórmula: Dividendo = cociente × divisor + residuo D = c × d + r
En donde el residuo debe ser menor que el divisor, esto es, r < d
Completa la siguiente tabla. Guíate con el ejemplo.
Dividendo (D)
Parte(s) a dividir
Divisor (d)
Parte(s) a repartir
Cociente (c)
Parte(s) repartidas
Residuo (r)
Parte(s) sin repartir
12
2
5
14
4
4
27
1
8
1
50
4
37
2
Operación
12
4 50
10
2
57
¿Cómo se obtienen las celdas del dividendo (D)? ¿Cómo se obtienen las del divisor (d)? 40
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Se tienen tres pasteles para repartir ocho rebanadas de cada uno.
Quedaron sin repartir cuatro rebanadas; si se repartieron 4 rebanadas
para cada invitado, ¿cuántos invitados asistieron?
2. Fabián y su hermana Claudia quieren aprovechar sus tardes libres
para inscribirse en algunos cursos, pero todavía no deciden a cuáles
asistir. En la tabla se observa el costo mensual de cada uno.
Curso
Cuota mensual
Vitrales
$1 670.00
Teatro
$1 599.00
Papiroflexia
$1 734.00
Tejido
$1 590.00
Artesanías
$1 615.00
a)Si Fabián toma el curso de vitrales y Claudia el de artesanías,
¿cuánto pagará cada uno de sus papás si se reparten el costo total
en partes iguales?
Operación
Resultado
b)Si tres tíos de Claudia se reparten equitativamente el costo de su
curso de papiroflexia, ¿cuánto aportará cada uno?
Operación
Resultado
c) Tres tíos de Fabián se repartieron equitativamente el costo de su
curso de teatro. ¿Cuánto aportó cada uno?
Operación
Resultado
Sentido numérico y pensamiento algebraico
41
3. Para empaquetar 1 582 gomas en cajas de más de 10 gomas y menos de
15, sin que sobre alguna. ¿Cuántas gomas debe contener cada caja?
Operación
Resultado
4. Si se quiere empacar 160 manzanas en bolsas con 25 manzanas,
¿cuántas bolsas se necesitan? ¿Sobrarán manzanas? ¿Cuántas?
Operación
Resultado
Bolsas empacadas
Manzanas sobrantes
5. Después de armar 12 cajas con 6 chocolates cada una, quedaron 3
chocolates sueltos. ¿Cuántos chocolates había en total?
Operación
Resultado
6. Si al hacer 7 equipos de 5 personas para el torneo de basquetbol del
grupo 5º A, quedaron 3 niños sin equipo, ¿cuántos alumnos hay en
el salón 5º A?
Operación
42
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resultado
Cálculo mental con fracciones
Para realizar el cálculo mental con fracciones, hay que utilizar diversos
trucos y recursos mentales. Por ejemplo, si quieres calcular un cuarto de
algo, hay que sacar la mitad de la mitad; para calcular un octavo, se saca
la mitad de la mitad de la mitad.
Recuerda que 12 significa dividir la cantidad entre 2.
1
3 significa la tercera parte, es decir, dividir la cantidad entre 3.
1
significa la cuarta parte, es decir, dividir la cantidad entre 4.
4
1
5 significa la quinta parte, es decir, dividir la cantidad entre 5.
LECCIÓN
5
Calmentalfrac
1
Por ejemplo, si se quiere calcular la cuarta parte ( 4 ) de 200, primero
multiplicamos 1 × 200 = 200, y el resultado se divide entre 4, es decir,
200 ÷ 4 = 50.
3
Si se quiere calcular 5 partes de 60, primero multiplicamos 3 × 60 =
180, y el resultado se divide entre 5, es decir, 180 ÷ 5 = 36.
Ejercicios.
1. Realiza mentalmente los siguientes cálculos y escribe el resultado en el recuadro.
1
4
de 1 200 =
2
3
de 240 =
4
9
de 900 =
6
10
de 1 500 =
2
6
de 600 =
7
8
de 320 =
2. Don Ramón destina $900 para pagar los servicios de su casa. Si ocupó
1
de esta cantidad para pagar la renta, 1 para pagar el recibo de luz,
3
4
y el resto para el teléfono, ¿qué cantidad gastó para pagar cada servicio?
Renta $
Luz $
Teléfono $
3. En una bolsa con 240 pelotas, la mitad son color guinda, la cuarta parte
son azules, la sexta parte son verdes y el resto son amarillas. ¿Cuántas
pelotas hay de cada color?
Operación
Guindas
Verdes
Azules
Amarillas
Sentido numérico y pensamiento algebraico
43
LECCIÓN
6
Elementos de los cuerpos geométricos
Elemcuerposgeo
Un cuerpo geométrico es una figura que tiene 3 dimensiones: largo,
ancho y alto. Pueden estar limitados por caras planas y se llaman
poliedros, o por caras curvas y reciben otros nombres.
Los cuepos geométricos pueden constar de los siguientes elementos:
base
vértice
cara
lateral
arista
base
La base es la forma que tiene la figura en la parte superior o inferior.
La arista es la línea donde se unen 2 caras (son los lados que tiene el
cuerpo geométrico). El vértice, es el punto donde se unen 3 aristas (son
las esquinas). Las caras laterales, son las formas que están en cada lado
del cuerpo geométrico.
Ejemplos de cuerpos geométricos son: el cubo, la pirámide, la esfera, el cono,
el prisma rectangular, el cilindro, el prisma pentagonal, el tetraedro, etcétera.
Los objetos que utilizamos diariamente como gomas, libros, sacapuntas,
lápices, pelotas, cajas, entre otros, tienen la forma de cuerpos geométricos.
Los cuerpos geométricos
pirámide
44
BLOQUE DOS 
cilindro
cubo
prisma
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
esfera
cono
Relaciona con flechas el enunciado de la izquierda con la palabra
del centro que lo completa y con la figura de la derecha.
Este cuerpo geométrico no tiene
vértices ni…
Este cuerpo geométrico tiene cuatro
caras y también tiene cuatro…
Este cuerpo geométrico tiene
ocho…
aristas
caras
vértices
En los siguientes cuerpos geométricos señala la parte que se indica.
Dos caras del cubo
Dos aristas del prisma hexagonal
El vértice del cono
En una hoja de cartulina, dibuja en un tamaño más grande los desarrollos
de cada poliedro; recórtalos y pégalos para formar los cuerpos.
Octaedro
Dodecaedro
Forma, espacio y medida
45
Hexaedro
Icosaedro
Tetraedro
46
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Lectura de mapas de zonas urbanas o rurales
Los mapas son modelos que sirven para representar zonas de una población
o terreno. Contienen símbolos, colores, nombres, líneas, que ayudan
a interpretar adecuadamente lo que se quiere representar. Elementos
indispensables en un mapa son los puntos cardinales y la escala utilizada.
LECCIÓN
7
Lecturamapas
Condesa
Alameda
Bellas
Artes
En algunos mapas se incluyen indicaciones que orientan a las personas sobre
el lugar donde se encuentran. Las indicaciones de los mapas se van renovando
al correr del tiempo, ya que generalmente las zonas urbanas y rurales cambian.
Catedral
5 de Mayo
Madero
Zócalo
16 de Septiembre
La familia González fue de vacaciones a la ciudad de México y se hospedaron
en un hotel que está cerca de la Alameda, sobre la calle de Independencia.
Luego visitaron los lugares más sobresalientes del centro de la ciudad.
Si comieron en un restaurante que se encuentra en la esquina de Madero y
Condesa, ¿cuántas calles al este recorrieron para llegar al Zócalo? Si se encuentran en el centro del Zócalo y quieren visitar la catedral,
¿hacia qué punto cardinal deben dirigirse? Posteriormente quieren conocer el Palacio de Bellas Artes y recorrer la
Alameda. ¿Por dónde se tienen que ir?
Forma, espacio y medida
47
LECCIÓN
8
Mapas de rutas
Mapasrutas
En las carreteras hay letreros y símbolos de varios tipos: indicativo,
preventivo, restrictivo y de recomendación. Estos letreros y símbolos nos
ofrecen información acerca de lugares, rutas, distancias, precauciones y
servicios en el trayecto.
Señala con color las respuestas correctas de acuerdo con la ruta
del mapa.
De Pachuca a... km
Zacualtipán
Atlapexco
94
Molango
116
Calnali
157
Huejutla
209
Atlapexco
222
Jaltocán
225
San Felipe Orizatlan 228
Real del Monte
Actopán
37
Ixmiquilpan
76
Real del Monte
12
Huasca
35
Tulancingo
46
Mineral del Chico
18
Tula
85
Un grupo de estudiantes de Huejutla se encuentra de visita en Real del
Monte y regresarán a su población por la ruta del norte, ¿qué poblaciones
pasarán? Selecciónalas con una .
Tulancingo
Huichapan
Pachuca
¿Qué población no está considerada en este trayecto?
Atlapexco
Tulancingo
Tula
¿Cuántos kilómetros separan a las poblaciones de Huejutla y Real del
Monte?
197
221
209
¿Qué otra ruta podría seguir el grupo para ir de Real del Monte a Huejutla?
Menciona las poblaciones por las que pasaría.
48
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Une con una flecha cada enunciado de la izquierda con el símbolo
de la derecha que le corresponda.
Curva cerrada
Cruce de ferrocarril
Prohibido estacionarse
Velocidad máxima permitida
Conserve su derecha
Doble circulación
Cruce de escolares
Prohibido rebasar
Entronque
Curva sinuosa
Pendiente peligrosa
Alto total
Forma, espacio y medida
49
LECCIÓN
9
Conversiones con múltiplos y submúltiplos de
metro, litro y kilogramo
Convmulsubmult
El Sistema Internacional de Unidades establece un patrón para medir
cualquier fenómeno, cuerpo o substancia. El metro y el kilogramo son
unidades básicas correspondientes a las magnitudes de longitud y masa,
mientras que el litro es una unidad derivada.
Los múltiplos se obtienen multiplicando la unidad por 10 (deca), por 100
(hecto) o por mil (kilo), es decir, se aumentan ceros a la unidad del factor
por el que se multiplique, por lo tanto, los múltiplos son una cantidad
mayor a la original.
Los submúltiplos se obtienen dividiendo la unidad entre 10 (deci), entre
cien (centi) o entre mil (mili), es decir, el punto decimal se recorre a la
izquierda tantas posiciones como ceros tenga el divisor, por lo tanto, los
submúltiplos son una cantidad menor a la original.
Observa la siguiente tabla y responde las preguntas.
Múltiplos
km
1000 m
kilómetro
hm
100 m
hectómetro
dam
10 m
decámetro
Si vamos de una unidad pequeña
(cm) a una mayor (dam) se divide la
cantidad, o bien se mueve el punto
decimal a la izquierda el número de
posiciones que corresponda.
metro
Si vamos de una unidad grande (hm)
a una menor (m), se agregan ceros a la
derecha del número, o bien, se mueve
el punto decimal a la derecha el número
de posiciones que corresponda.
Submúltiplos
decímetro
0.1 m
dm
centímetro
0.01 m
cm
milímetro
0.001 m mm
Ejemplos:
a) ¿Cuántos metros tienen 3 hectómetros?
Como vamos de una unidad grande (hectómetros) a una menor (metros), agregamos
dos ceros a la derecha del 3, porque para ir del metro al hectómetro se recorren 2
posiciones, por lo que el resultado es 300 metros.
b)¿Cuántos decámetros hay en 60 000 centímetros?
Como vamos de una unidad pequeña (centímetros) a una mayor (decámetros), se
recorre el punto decimal a la izquierda 3 posiciones, es decir, 60 000 centímetros son
60 decámetros.
Ahora contesta lo siguiente.
¿Cuántos metros tiene un decámetro?
¿Cuántos centímetros equivalen a un metro?
¿Cuántos milímetros caben en un metro?
¿Cuántos decámetros equivalen a un hectómetro?
50
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Un grupo de amigos se dio cuenta de que 10 unidades iguales equivalen a
una unidad del orden inmediato superior. Luego ordenaron las unidades
de mayor a menor, pero les faltaron algunas.
Completa la tabla, luego responde lo que se pregunta.
km
dam
m
cm
¿Cuántos dm equivalen a 10 cm?
¿A cuántos dam equivalen 20 km?
1
¿A cuántos mm es igual 10
de cm?
1
¿A cuántos cm es igual 10
de m?
¿A cuántos cm es igual 1 de metro?
100
Es importante mencionar que con los litros y gramos sucede lo mismo
que con los metros.
Completa las tablas, luego responde las preguntas.
kilolitro
h
hecto
deca
litro
deci
kg
kilo
centilitro
hecto
mili
d
decagramo
gramo
decigramo
centi
cg
mili
Si una botella es de 1.5  (litros), ¿cuántos m de agua le caben a la botella?
Un frasco contiene 225 m de paracetamol en jarabe. ¿Cuántos d contiene el frasco?
Un galón tiene 3.785  de leche. ¿Cuántos m de leche tiene el galón?
Una cubeta tiene 2.5 d de pintura. ¿Cuántos  de pintura tiene la cubeta?
Forma, espacio y medida
51
Observa los siguientes objetos y contesta las preguntas.
20 
1
100 m
10 m
¿Cuántos medidas de 1  llenan el garrafón de arriba? ¿Cuántas medidas de 10 m llenan el depósito de 1 ? ¿Cuántas medidas de 100 m llenan el depósito de 1 ? ¿Cuántas medidas de 10 m llenan la jeringa de 100 m? Responde las siguientes preguntas.
Si tenemos 750 g de chorizo, ¿cuántos kg de chorizo son? Si un medicamento tiene 450 cg de naproxeno, ¿cuántos g son? Si un chícharo pesa 15 g, ¿cuántos hg son? Si un terrón de azúcar pesa 650 mg, ¿cuántos g son? Resuelve los siguientes problemas.
1. Un queso de 1 kg se va a repartir en porciones de 100 g por persona.
¿Para cuántas personas alcanzará?
2. Para hacer un pastel de chocolate que alcance para 6 personas se
necesitan 200 g de azúcar. Si hay 1 de kg de azúcar, ¿cuánta azúcar
4
sobra?
52
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Factor constante de proporcionalidad
El factor constante de proporcionalidad es el cociente de la
comparación entre dos conjuntos de cantidades, y puede ser un número
entero, decimal o una fracción. Si al aumentar o disminuir una de las
cantidades la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción,
se conoce como proporcionalidad directa.
10
Factorconsprop
La constante de proporcionalidad es el número por el que se deben
multiplicar los valores de una columna para obtener los de la otra.
Kg de jitomate
Costo ($)
2
36
4
72
5
90
10
180
20
360
Ejemplo:
Constante de proporcionalidad =
2 × 18 = 36
4 × 18 = 72
5 × 18 = 90
10 × 18 = 180
20 × 18 = 360
18
Encuentra la constante de proporcionalidad en cada tabla y anótala en el recuadro.
Cajas de pegamento
Cantidad de pegamentos
Paquetes de vasos
Cantidad de vasos
3
18
2
30
5
30
5
125
7
42
8
200
10
60
12
300
15
90
30
750
Constante de proporcionalidad =
Constante de proporcionalidad =
Encuentra la constante de proporcionalidad en cada tabla y anótala en el recuadro.
$
$
$
Cantidad
Paletas
Refrescos
1
6.00
6.50
2
12.00
3
18.00
4
24.00
5
30.00
$
Papas
Chocolate
5.00
27.90
Manejo de la información
53
LECCIÓN
11
Comparación de razones
Comparazones
La comparación entre dos cantidades diferentes se llama razón, y es el
cociente que resulta de dividir una cantidad entre la otra.
Ejemplo: Si hay 16 niñas por cada 15 niños en un aula de clases,
entonces la razón se puede enunciar como 16 .
15
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Se pagan 20 pesos por un paquete de 5 plumas. ¿Cómo se puede
expresar la razón? Anota el número decimal de la razón. Después
escríbelas con denominador uno, ¿qué significa?
2. Se pagan 60 pesos por una caja con 10 sobres de gomitas de dulce.
¿Cómo se puede expresar la razón? Anota el número decimal de la
razón. Después, escríbelas con denominador uno, ¿qué significa?
3. Un paquete con 6 lápices cuesta $18 y otro paquete con 10 lápices vale
27 pesos. ¿Cuál de los dos paquetes conviene comprar? Expresa cada
uno como una razón y realiza la división para comprobar el resultado.
4. En el súper, el kilo de naranjas cuesta $15, mientras que en la frutería
ofrecen 4 kilos de naranjas por $55. ¿En dónde conviene comprar las
naranjas? Expresa cada precio como una razón y realiza la división
para comprobar el resultado.
54
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Información y su organización
Para organizar e interpretar información, las tablas son muy útiles. Si
los datos son variados y abundantes, entonces se pueden agrupar en
intervalos (espacio en el que quedan comprendidos los datos) en una
tabla de frecuencias. La información que se muestra y organiza en
tablas puede ser muy variada, como datos de personas, propiedades
físicas de objetos, etcétera.
12
Inforganiz
Analiza el ejemplo.
La maestra Pily quiere saber cuál es la estatura promedio de sus alumnas
de 5º grado. Realizó una encuesta y registró los datos en centímetros a
continuación.
145
160
153
148
158
153
148
150
152
160
158
149
153
158
152
149
151
155
158
153
Ordenó los datos de menor a mayor:
145
148
148
149
149
150
151
152
152
153
153
153
153
155
158
158
158
158
160
160
Luego los clasificó en la siguiente tabla de frecuencias.
Estatura (cm)
145 - 149
150 - 154
155 - 160
Frecuencia
5
8
7
Observa los datos del ejercicio y construye las tablas de distribución
de frecuencia de acuerdo a los intervalos.
En el turibús de León se registraron los datos del número de personas
por recorrido. Se ordenaron de menor a mayor y quedaron así:
10, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 26, 27, 28,
29, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 37, 41, 42, 44, 48, 53.
Tabla elaborada por el equipo A de quinto de primaria
Número de
personas
Intervalos
5 a 10
11 a 15
16 a 20
21 a 25
26 a 30
Más de 30
Tabla elaborada por el equipo B de quinto de primaria
Número de
personas
Intervalos
10 a 19
20 a 29
30 a 39
40 a 49
50 a 59
Manejo de la información
55
Analiza y resuelve el siguiente problema.
La edad promedio de los niños de 5º de primaria es 11 años, el peso
promedio de las niñas es 35.4 kg y el de los niños es 36.8 kg. El maestro
Jorge quiere saber cuántos de sus alumnos están por debajo o por arriba
del peso promedio, por lo que pesó a cada uno de sus alumnos y registró
los datos en la siguiente tabla.
Pon una  si el peso está por debajo del promedio, o una  si el
peso está por encima del promedio. Luego contesta las preguntas.
Niños
Nombre
Peso (kg)
Mario
José
Fernando
Martín
Antonio
Edgar
Pedro
Hugo
Milton
Raúl
Ricardo
Marcos
Julio
Jesús
Gerardo
34
36
39
50
45
38
36
39
43
48
39
35
40
42
38
Niñas
Comparación
con el promedio
Nombre
Peso (kg)
Fernanda
Yolanda
Bertha
Ingrid
Lupita
Liz
Karina
Edith
Alma
María
Rosy
Verónica
Pilar
Araceli
Karla
38
35
37
33
40
39
38
30
32
37
40
34
36
35
33
Comparación
con el promedio
¿Cuántos niños están por encima del promedio de peso?
¿Cuántas niñas están por encima del promedio de peso?
¿Cuántos niños están por debajo del promedio de peso?
¿Cuántas niñas están por debajo del promedio de peso?
¿Existen más niñas o niños por encima del promedio? ¿Qué propones para evitar el sobrepeso? ¿Qué propones para evitar tener poco peso y enfermedades como la anorexia y
bulimia? 56
BLOQUE DOS 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
BLOQUE TRES
LECCIÓN
Reglas del sistema de numeración
Cuando se lee un número de más de dos dígitos, la forma correcta es de
izquierda a derecha, nombrando sucesivamente las centenas, decenas y
unidades de cada clase, comenzando por el orden más alto. Al escribirlos
no se usan puntos ni comas, pero conviene dejar un pequeño espacio
entre clase y clase.
Ejemplo:
Escritura
Lectura
356
Trescientos cincuenta y seis
1 568
Mil quinientos sesenta y ocho
104 309
Ciento cuatro mil trescientos nueve
1
Reglasistemnum
Anota la escritura del número referido. Luego escríbelo en el lugar
que le corresponda en el crucrigrama.
Mil setecientos cuarenta y cinco
Dos mil quinientos cincuenta y tres
1
7
4
5
Diez mil ochocientos treinta y uno
8
Siete mil seiscientos ocho
Con las siguientes tarjetas escribe las combinaciones posibles de
números que se puedan formar; cada tarjeta se puede usar sólo
una vez en cada combinación. Sigue el ejemplo.
Ejemplo:
tres
seis mil trescientos
mil
ciento(s)
seis
Sentido numérico y pensamiento algebraico
57
Relaciona la columna de lectura de números (izquierda) con su escritura (derecha).
Trescientos cincuenta y cuatro mil
Dos mil setecientos veintitrés
Trescientos mil quinientos sesenta y ocho
Cuatro mil doscientos cuarenta y tres
Cinco mil trescientos cincuenta y dos
Quinientos seis mil cuatrocientos treinta
Seiscientos catorce
Un millón setecientos veintidós mil
614
354 000
1 722 000
5 352
506 430
2 723
300 568
4 243
El sistema de numeración romano utiliza 7 letras mayúsculas que tienen los siguientes valores.
Letra
I
V
X
L
C
D
M
Valor
1
5
10
50
100
500
1 000
Las reglas para escribir números romanos son las siguientes:
Sólo se pueden escribir 3 letras iguales consecutivas, y para representar los números anteriores
a los múltiplos de 5 se antepone una I, por ejemplo, el 4 se representa como IV, el 9 como IX.
El 40 se representa con 10 antes del cincuenta, esto es, XL.
El 49 se representa formando el cuarenta (XL) y el nueve (IX), esto es, XLIX.
El 90 se representa con 10 antes del cien, esto es, XC.
El 99 se representa formando el noventa (XC) y el nueve (IX), esto es, XCIX.
El 400 se representa con 100 antes del 500, esto es, CD.
El 499 se representa formando el cuatrocientos (CD), noventa (XC) y nueve (IX), esto es, CDXCIX.
El 900 se representa con 100 antes del mil, esto es, CM.
El 999 se representa formando el novecientos (CM), noventa (XC) y nueve (IX), esto es, CMXCIX.
Para los números a partir de 4 000, se pone una barra encima del número (que indica que el número
se multiplica por mil). Para el 4 000, sería 4 × 1 000, es decir, IV. 9 000 sería 9 × 1 000, es decir, IX.
Por lo anterior, se dice que el sistema de numeración romano es semiposicional.
Completa las siguientes tablas. Sigue los ejemplos
Número decimal
37
64
79
128
146
453
674
792
1396
1987
2011
58
BLOQUE TRES 
Número romano
LXIV
CXXVIII
DCCXCII
MCCCXCVI
Número romano Número decimal
XVIII
XXXIV
LXIX
CXCIX
CCLXXII
CCCLXXVI
CDLXXXIX
DCCXLVIII
MCDXLIX
MMMDCXXIX
VIIDCCCXCIV
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Las fracciones equivalentes son las expresadas con cifras distintas,
pero que representan el mismo número; se obtienen multiplicando o
dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número.
Ejemplos:
x2
3
4
x3
6 ,
8
=
3
4
x2
=
÷5
9 ,
12
30
40
x3
Fraccequi
÷10
6 ,
8
=
30
40
÷5
3
4
=
÷10
Fracciones
Encierra con un círculo las fracciones
equivalentes a las de la primera
columna.
2
LECCIÓN
Fracciones equivalentes
Son equivalentes
1
4
8 , 11 , 6 ,
32
40
24
2 , 9 , 15 , 7
8
36
60
26
2
12
6 ,
30
1 , 6 , 4 , 8 , 5 , 9
6
36
26
48
30
54
4
16
2 ,
8
3 , 5 ,
4
20
5
7
1 , 15 , 10 , 45 , 50 , 20 ,
5
21
14
60
70
30
6
20
3 ,
10
1 ,
4
2 , 12 ,
5
40
2 , 3 , 5
4
12
16
7
5
1 , 36 , 15 , 12
3
120 50
60
Convierte las fracciones en otras equivalentes con denominador
12 y ubícalas en la recta numérica.
2 =
4
3 =
3
1 =
6
0
3 =
2
1 =
3
1
7 =
4
2
3
Para saber si una fracción es mayor que, menor o igual que otra, se hacen los productos
cruzados, es decir, el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y
viceversa; luego se comparan los resultados.
Ejemplos:
2
3
3
4
3
4
=8
2
3 =9
3
4
8 < 9, entonces 2
3
Escribe el símbolo
a) 4
9
<
5 , 4×6=
6
2
3
=9
3
2 =8
4
3
9 > 8, entonces 3
3
4
>, <
2
3
4
o
=
>
2
3
6
9
= 18
2
6 = 18
3
9
18 = 18, entonces 2
3
=
6
9
entre los siguientes pares de fracciones.
9×5=
b) 8
3
3 , 8×2=
2
3×3=
Sentido numérico y pensamiento algebraico
59
Encierra en un círculo la fracción equivalente a la que se muestra.
La fracción equivalente a
3
4
es:
6
8
6
4
3
8
La fracción equivalente a
2
3
es:
6
4
2
4
4
6
La fracción equivalente a
3
2
es:
3
4
9
6
6
9
La fracción equivalente a
5
10
es:
1
10
1
2
1
5
Para que las fracciones sean equivalentes, escribe el numerador o
denominador faltante.
2
1
=
4
3
=
5
10
12
=
16
4
6
2
=
9
5
=
6
12
6
3
=
8
1
=
2
20
2
10
=
3
4
12
=
5
3
=
8
24
12
3
=
16
20
5
=
32
Lee con atención los ejercicios y contesta lo que se pregunta.
1. Miguel el mecánico necesita una llave de 1 para apretar unas tuercas.
8
En su caja tiene llaves de 1 , 3 , 2 y 3 . ¿Cuál de estas llaves es de la
2 4 16 16
misma medida que necesita?
2. Doña María compró 1 kg de azúcar, 1 de arroz y 3 de frijol. Su
2
4
4
hija Karen dice que las cantidades equivalentes a lo que ella compró
son 4 de azúcar, 3 de arroz y 3 de frijol. ¿Cuál de las cantidades
8
12
12
que dijo Karen es incorrecta?
AZÚCAR
60
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Comparación y orden de números decimales
Recuerda que las cifras o números decimales se escriben a la derecha de
los enteros, separados por un punto, y también pueden expresarse como
una fracción decimal, resultado de dividir el número entre 10 o alguno de
sus múltiplos.
Un número decimal se forma cuando se efectúa una división que no es
exacta, es decir, que el residuo es diferente de cero.
3
Compaordenum
A continuación se dan algunos ejemplos sencillos de números decimales.
El primer decimal se llama décimo, y resulta cuando se divide un número entre 10.
Por ejemplo: 7 ÷ 10 = 0.7; 3 ÷ 10 = 0.3
El segundo decimal se llama centésimo, y resulta cuando se divide un número
entre 100.
Por ejemplo: 8 ÷ 100 = 0.08; 23 ÷ 100 = 0.23
El tercer decimal se llama milésimo, y resulta cuando se divide un número entre 1 000.
Por ejemplo: 6 ÷ 1 000 = 0.006; 82 ÷ 1 000 = 0.082; 536 ÷ 1 000 = 0.536
Para ordenar los números decimales primero se comparan los décimos de cada
cantidad, y si son iguales se pasa a los centésimos, y si también son iguales se pasa a
los milésimos, y así sucesivamente. Recuerda que cuando sólo hay ceros a la derecha
del punto decimal éstos ya no tienen valor, y las cantidades serán iguales. Por ejemplo
1.5000 = 1.500 = 1.50 = 1.5
El sistema decimal, con múltiplos y submúltiplos, queda de la siguiente manera:
Los
múltiplos son
unidades grandes
Millonésimos
Cienmilésimos
Diezmilésimos
Milésimos
Centésimos
Décimos
Unidades
Decenas
Centenas
Submúltiplos
Unidades
de millar
Decenas
de millar
Centenas
de millar
Unidades
de millón
Decenas
de millón
Centenas
de millón
Múltiplos
Los
submúltiplos son
unidades pequeñas
Sentido numérico y pensamiento algebraico
61
Utiliza la información de la tabla y responde las preguntas. El
rectángulo más largo (verde) representa un décimo.
1
0.1
0.01
0.001
¿Qué representa el cuadro rosa (el más pequeño)?
¿Qué parte de un centésimo es un milésimo?
¿Qué parte de un décimo es un centésimo?
Lee con atención los ejercicios y contesta lo que se pide.
1. El entrenador de la selección de futbol de 5º quiere saber qué tan altos
son sus jugadores. Mide la estatura de cada uno y Javier mide 1.56 m,
Jorge 1.52 m, Edgar 1.60 m, Martín 1.5 m, Pedro 1.54 m, Francisco
1.55 m, Adrián 1.61 m, Cristian 1.56 m, Ricardo 1.580 m, Alexis
1.500 m y Josué 1.600 m.
¿Cuál jugador es el más bajo?
¿Cuál es su estatura?
¿Cuál de ellos es el más alto?
¿Cuál es su estatura?
¿Cuál es la diferencia entre el más alto y el más bajo?
Ordena a los jugadores de menor a mayor de acuerdo a su estatura.
Jugador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
62
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Estatura (m)
2. Arturo ayuda a su papá a despachar en la carnicería. En una mañana
despachó 2.56 kg de bistec, 2.65 kg de lomo, 2.600 kg de carne molida,
2.62 kg de pollo, 2.630 kg de costilla, 2.625 kg de chorizo, 2.595 kg de
chicharrón y 2.59 kg de carnitas.
¿De qué producto vendió más cantidad?
¿Cuántos kg despachó?
¿De qué producto vendió menos?
¿Cuántos kg despachó?
¿Cuál es la diferencia entre el producto que más vendió y el que menos vendió?
Ordena de mayor a menor las cantidades de los productos que despachó.
Producto
Kg
1
2
3
4
5
6
7
8
Ubica los siguientes números decimales en el intervalo de la recta.
Guíate con los ejemplos.
5.03
5.15
5
5.20
5.35
5.58
5.7
5.07
5.99.
6
5.26
De la siguiente lista de números, realiza cinco comparaciones tomando un par
de ellos, los que tú quieras. Después ordena de mayor a menor toda la lista.
1.22
0.02
1.227
2.03
2.21
2.003
0.35
0.12
1.02
3.1
2.8
3.71
5.16
4.002
4.1
5.09
2.77
3.6
1.5
5.8
Ejemplo de comparación: 1.227 > 0.12
Comparación 1
Comparación 2
Comparación 3
Comparación 4
Comparación 5
Ordenación.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
63
LECCIÓN
4
Problemas con fracciones y números decimales
Probfracdecim
Cuando sumamos o restamos fracciones, se pueden presentar dos casos:
que el denominador de las fracciones sea el mismo, o que las fracciones
tengan diferente denominador.
Suma y resta
de fracciones
Con diferente
denominador
Con el mismo
denominador
1. Se suman o restan
los numeradores.
2. El denominador se
queda igual.
1. Se obtiene el mínimo común múltiplo
(mcm) de los denominadores.
2. Se divide el mcm entre el denominador de
cada fracción
3. El cociente se multiplica por el numerador.
4. Se suman o restan los productos.
Por ejemplo, sumar:
1 + 2 + 4 = 7
3
3
3
3
4×2=8
2 + 3 = 8 + 15 = 23
5
4
20
20
2 + 3 + 5 = 10
4
4
4
4
64
5 × 3 = 15
Se suman los
productos
8 + 15 = 23
20 ÷ 4 = 5
20 ÷ 5 = 4
Para encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números:
1. Se colocan los números en el lado izquierdo de una especie de “t” separados por
una coma.
5, 4
2. Tenemos que observar entre cuánto se pueden dividir ambos números (entre 2,
entre 3, entre 5 o entre 7), y el divisor se coloca del lado derecho de la “t”.
5, 4 2
3. Si uno de los números no se puede dividir entre el divisor del otro, se copia
igual, y se hacen divisiones consecutivas hasta que debajo de ambos números
haya un 1, es decir, que ya no se puedan dividir.
4. Se multiplican todos los divisores, en este caso, 2 × 2 × 5 = 20.
5, 4 2
5, 2 2
5, 1 5
1, 1
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Ejemplos de cálculo del mcm de los denominadores de fracciones.
3 + 5 ¿Entre cuánto son divisibles el 6 y el 4? Vemos que entre 2.
6
4
La mitad de 6 es 3, y la de 4 es 2
Dividimos entre 2. El 3 no se puede, se copia igual. 2 ÷ 2 es 1
Ahora dividimos el 3 entre sí mismo: 3 ÷ 3 = 1
Se multiplican los divisores, 2 × 2 × 3 = 12
El mínimo común múltiplo (mcm) de 6 y 4 es 12.
3 + 5 El 2 y el 8 se pueden dividir entre 2.
2
8
6, 4 2
3, 2 2
3, 1 3
1, 1
2, 8 2
1, 4 2
1, 2 2
1, 1
2 ÷ 2 es 1 y 8 ÷ 2 es 4.
Dividimos 4 entre 2 y tenemos 4 ÷ 2 = 2.
Ahora dividimos el 2 entre 2. Entonces, 2 ÷ 2 = 1
Se multiplican los divisores: 2 × 2 × 2 = 8
El mínimo común múltiplo (mcm) de 2 y 8 es 8.
Resuelve las siguienes sumas y restas de fracciones. Calcula primero el mínimo
común múltiplo en el lado derecho de la "t".
a)
1 1 7
+ + =
5 5 5
b)
5 3 6
+ + =
2 2 2
c)
3 9 6
+ + =
4 4 4
d)
9 5
− =
6 6
e)
10 3
− =
7 7
f)
15 6
− =
8 8
g)
2 6 5
+ + =
3 8 6
h)
9 7 8
+ + =
2 4 5
i)
12 20 5
+
+ =
5
5 3
j)
12 7 5
+ + =
7 4 2
k)
14 8 4
+ + =
5 7 3
l)
6 6 7
+ + =
4 9 6
Sentido numérico y pensamiento algebraico
65
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Si a 3 de tonelada de azúcar agrego 1 tonelada, ¿cuánto tengo?
4
2
2. Si Javier ve que su reloj marca las 6 1 y después de un rato el reloj
2
avanzó 3 de hora, ¿qué hora marca el reloj?
4
3. De los alumnos del grupo 5º A, a 2 partes les gusta jugar futbol, a
1 parte le gusta jugar basquetbol,5a 1 parte le gusta jugar volibol,
4
3
y a los demás no les gusta practicar deporte. ¿A cuántos alumnos no
les gusta practicar deporte?
4. Para hacer una blusa, la mamá de Martha compra 8 de metro de
5
tela, de los cuales utiliza 3 de metro. ¿Cuántos metros de tela le
4
sobraron?
5. Si en el restaurant tenían por la mañana 7 3 kilogramos de café y
4
se vendieron 7 1 kilogramos durante el día, ¿cuántos kilogramos de
2
café les queda al final del día?
66
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Para sumar o restar números decimales, hay que seguir estos pasos:
1. Las cifras de cada
2. Cuando los términos que
número se alinean
a partir del punto
decimal para sumarlos
o restarlos.
2 8. 0 4
+ 7. 9 8 7
forman una suma o resta
no tienen el mismo número
de cifras decimales, se les
puede agregar los ceros que
sean necesarios sin que esto
altere la operación.
2 8. 0 4 0
+ 7. 9 8 7
4. El punto decimal del resultado
se coloca exactamente debajo
de los puntos de los términos
de la operación.
3. Se empiezan a hacer las operaciones
con los de menor orden, es decir, de
derecha a izquierda.
2 8. 0 4
+ 7. 9 8 7
3 6. 0 2 7
2 8. 0 4 0
+ 7. 9 8 7
027
Coloca las siguientes sumas y restas en forma vertical y resuélvelas.
a) 37.705 + 92.61 + 8.435 =
b)6.034 + 58.81 + 27.8 =
c) 23.06 + 814.357 + 9.8 =
d) 75.298 + 39.42 + 9.393 =
e) 16.34 + 98.387 + 38.906 = f) 18.387 + 3.93 + 837.426 =
Sentido numérico y pensamiento algebraico
67
g)63.298 – 45.32 =
h)98.362 – 32.98 =
i) 108.34 – 43.568 =
j) 345.758 – 287.38 =
k)1085.328 – 742.45 =
l) 8204.67 – 4987.589 =
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. En el maratón de Tulancingo, Adriana corrió los primeros 10 km en
8.55 minutos, los siguientes 10 km en 9.35 minutos, los siguientes
10 km en 9.53 minutos y los últimos 10 km en 10.2 minutos. ¿En
cuántos minutos corrió Adriana toda la carrera?
2. En una bodega hay 3 bultos de frijol que pesan respectivamente 47.6,
53.257 y 49.345 kg. ¿Cuántos kilogramos de frijol hay en la bodega?
3. Para hacer una carne asada, Martín fue a la carnicería y compró 3.5 kg
de chorizo, 2.75 kg de bistec, 1.250 kg de queso y 2.500 kg de tortillas,
y metió todo en una bolsa. ¿Cuánto pesó su bolsa?
68
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
4. Sonia ahorró durante una semana $12.5, $25.8, $8.75, $18.35 y $7.2.
¿Cuánto dinero tiene al final de la semana?
5. Don Roque, el albañil, recibió 18.75 toneladas de cemento y utilizó
15.865 toneladas para construir una casa. ¿Cuánto cemento le queda?
6. De un pedazo de tela de 25 metros, doña Beatriz la costurera utilizó
4.5 m para una blusa, 8.75 m para un pantalón y 6.25 m para una
falda. ¿Cuánta tela queda?
7. Si Bertha tenía el domingo $275, y en el súper gastó en unos tenis
$135.75, en una blusa $95.35 y en unos guantes $24.35, ¿cuánto
dinero le quedó?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
69
LECCIÓN
5
División y su residuo
Divisionresiduo
Cuando hacemos divisiones directamente en una hoja de cálculo, no
siempre podemos conocer el residuo exacto, pero éste se puede obtener
si seguimos estos 4 sencillos pasos:
1.
2.
3.
4.
5.
Hacer la división directa.
Obtener la parte entera del cociente.
Multiplicar el divisor por la parte entera del cociente.
Multiplicar el divisor por la parte decimal del cociente.
Sumar los resultados de ambas multiplicaciones.
Por ejemplo, si dividimos con la calculadora 65 ÷ 4 = 16.25. Primero
multiplicamos el divisor por la parte entera del cociente, esto es, 4 × 16 = 64,
después se multiplica el divisor por la parte decimal, esto es, 4 × 0.25 = 1, y
por último sumamos 64 + 1 = 65. Por lo tanto, el residuo es el resultado de
multiplicar la parte decimal del cociente por el divisor; en este caso, 1.
Con ayuda de la calculadora obtén los cocientes que se piden.
Dividendo
Divisor
Cociente
(hoja de cálculo)
Parte entera
del cociente
Parte decimal
del cociente
68
8
8.5
8
0.5
73
5
27
4
192
31
382
37
Residuo
Utiliza los datos del divisor, el dividendo y la parte entera del cociente
para averiguar cuál es el residuo entero. Guíate con el ejemplo.
Parte
Parte entera
decimal del
del cociente
cociente
Dividendo
Divisor
Cociente
69
8
8.625
70
9
102
7
154
25
378
57
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
70
8
.625
Cociente
decimal ×
divisor
Comprobación:
divisor × cociente
entero + residuo
.625 × 8 = 5
8×8+5
Lee el siguiente ejercicio y completa la tabla.
Alicia le ayuda a su mamá a empacar tortillas de harina de trigo. Siempre registran en
una tabla la cantidad de bolsas de 12 piezas que llenan cada día.
Cantidad de tortillas
Cantidad de bolsas
(tortillas ÷ 12)
Residuo entero.
Tortillas – (cantidad
de bolsas × 12)
Cantidad de tortillas
que sobran
104
8
104 – (8 × 12) = 104 – 96
8
213
17
243
20
270
22
319
26
373
31
570
47
Completa cada operación. Marca con una  la casilla correcta.
317
=
34
123
718.175
761.028
9.323
5.205
9.968
= 2.5
401.51
307.5
25.93
= 31.225
23.02
33
23
= 91.36
08.67
8.33
11
Resuelve el siguiente problema.
En una fábrica de galletas, éstas se colocan en cajas de 28 galletas. Si en un día
se hicieron 3 500 galletas, ¿cuántas cajas se pudieron llenar? ¿Cuántas galletas
quedaron sueltas?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
71
LECCIÓN
6
Altura de triángulos
Alturatriang
La altura de un triángulo es un segmento de recta perpendicular a uno de
sus lados o prolongación de un lado, trazada desde el vértice opuesto. Como
cualquier lado puede considerarse como base, todos los triángulos tienen
tres alturas. Las alturas pueden quedar dentro del triángulo o fuera de él.
Identifica los elementos del triángulo. Luego, contesta.
¿Qué letras corresponden a los lados del triángulo?
¿Qué letras corresponden a los vértices del triángulo?
Procedimiento para trazar la altura de un triángulo utilizando escuadras.
1. Se toma uno de los lados como base. En este ejemplo tomamos el
que está marcado con rosa.
2. Se coloca una escuadra de manera que uno de sus lados coincida
con esa base.
3. Se coloca otra escuadra de manera que un lado de su ángulo recto se
apoye en el lado-base de la primera.
4. Se traza una línea perpendicular hasta el vértice opuesto a esa base.
Traza todas las alturas de cada uno de los siguientes triángulos,
usando un color diferente para cada una. Contesta las preguntas.
¿Cuántas alturas trazaste en
cada triángulo?
¿Todos los triángulos tienen
el mismo número de alturas?
Recuerda que, por la medida de sus lados, un triángulo puede ser equilátero (tres lados iguales),
isósceles (dos lados iguales) o escaleno (tres lados diferentes); por la medida de sus ángulos, puede ser
obtusángulo (un ángulo obtuso), rectángulo (un ángulo recto) o acutángulo (tres ángulos agudos).
Obtusángulo
72
BLOQUE TRES 
Rectángulo
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Acutángulo
LECCIÓN
Fórmula del área del paralelogramo
Los paralelogramos son cuadriláteros (figuras de cuatro lados) que tienen
los lados opuestos paralelos. Ejemplos de paralelogramos son:
Paralelos
Paralelos
Paralelos
Rectángulo
Rombo
Romboide
A= l× l
A=b×h
A= d×D
2
A=b×h
l = lado
b = base
h = altura
Forareaparalel
Paralelos
Cuadrado
Donde: A = área
7
d = diagonal menor
D = diagonal mayor
Completa las oraciones para el siguiente paralelogramo formado
por las figuras mostradas.
Un lado de los triángulos rectángulos es también un lado del
En ocasiones, en lugar de un cuadrado puede obtenerse un
Lee las instrucciones y contesta lo que se pide.
Dibuja un romboide de 6 cm de base y 4 cm de altura y transfórmalo en un rectángulo
que tenga las mismas dimensiones. Calcula el área de cada figura. Considera que el
lado de cada cuadrito mide 1 cm, y su área 1 cm2.
Romboide A =
cm2
Rectángulo A =
cm2
¿Cómo es el área de las dos figuras?
¿Qué fórmula puedes utilizar para calcular el área del romboide y el
rectángulo?
Forma espacio y medida
73
8
Fórmula y cálculo del área del
triángulo y el trapecio
Cuando dividimos un rectángulo con una diagonal (línea que atraviesa
de un vértice al vértice opuesto) se forman dos triángulos rectángulos
iguales. Por lo tanto, el área de cada triángulo es la mitad del rectángulo.
Recuerda que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando su base
por su altura.
Obtén el área del siguiente libro
A=
×
=
cm2
28 cm
21 cm
EMAT-Hidalgo
Forareatritrap
EMAT-Hidalgo
LECCIÓN
Si ahora trazamos una diagonal en el libro,
¿cuántos triángulos se formaron?
Como el rectángulo quedó dividido en dos triángulos, el
área de cada triángulo es el producto de su base por su
altura dividido entre 2.
A=b×h
2
Obtén ahora el área de cada triángulo formado en el
libro, sutituyendo los valores de b y h.
A = x cm2
2
Calcula el área de los triángulos formados en los siguientes
rectángulos y romboides. Considera que el lado de cada cuadrito
mide 1 cm.
74
A=
x
=
2
cm2
A=
x
=
2
cm2
A=
x
=
2
cm2
A=
x
=
2
cm2
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Cuando se divide un romboide o un trapecio en triángulos, el área de
éstos es la misma, siempre y cuando tengan la misma base y la misma
altura, sin que importe su forma.
Calcula el área de los triángulos 1 y 2 que forman los trapecios
A y B y contesta lo que se pide.
A1 =
x
=
2
A
cm2
A1 =
x
=
2
cm2
B
2
1
1
2
A2 =
x
=
2
cm2
A2 =
x
=
2
cm2
Al unir los triángulos verdes 1 con los triángulos magenta 2 se forma
un trapecio. ¿Cómo calcularías su área?
¿Cuál es el área del trapecio A?
¿Cuál es el área del trapecio B?
¿Se puede decir que con los triángulos magenta se forma la base menor
del trapecio y con los triángulos verdes se forma la base mayor?
Como las áreas de los triángulos magenta y verde son b × h y B × h se
2
2
desprende que el área del trapecio es la suma de las bases por la altura
entre 2, esto es:
A = (b + B) × h
2
Forma espacio y medida
75
LECCIÓN
9
Metro cuadrado y medidas agrarias
Las medidas de área tienen como unidad el metro cuadrado (m2). Para
obtener los múltiplos del metro cuadrado, se tiene que multiplicar por
100 para obtener el siguiente múltiplo, o agregar dos ceros a la cantidad,
o bien recorrer el punto decimal dos lugares a la derecha. Para obtener los
submúltiplos se tiene que dividir sucesivamente la cantidad entre 100, o
bien recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda.
Metroagrarias
Múltiplos
kilómetro
cuadrado
hectómetro
cuadrado
decámetro
cuadrado
km2
hm2
dam2
1 000 000 m2
10,000 m2
100 m2
metro
cuadrado
Submúltiplos
decímetro
cuadrado
centímetro
cuadrado
milímetro
cuadrado
m2
dm2
cm2
mm2
1
0.01 m2
0.0001 m2
0.000001 m2
Las medidas agrarias o agrícolas se utilizan para medir áreas o superficies
de terrenos que se dedican a la agricultura. Las más utilizadas son:
Nombre
Símbolo
Equivalencia
hectárea
ha
1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2
área
a
1 a = 1 dam2 = 100 m2
centiárea
ca
1 ca2 = 1 m2
Señala con una  la casilla que corresponde a cada cantidad,
en base a los siguientes datos.
En un metro cuadrado hay aproximadamente 5 matas de maíz
En promedio, en cada metro cuadrado hay 10 mazorcas
La parcela es de una hectárea
76
BLOQUE TRES 
Matas de maíz en la parcela
1 000
50 000
5 000
Mazorcas en 1 área
1 000
500
10 000
Mazorcas en una hectárea
10 000
100 000
5 000
Matas de maíz en 100 m2
50
50 000
500
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Relaciona las medidas agrarias con su símbolo correspondiente,
uniéndolas con una flecha. Sigue el ejemplo.
hectárea (ha)
1 m2
100 m
100 m
área (a)
100 m2
10 m
10 m
centiárea (ca)
10 000 m2
1m
1m
Lee los siguientes problemas y responde las preguntas
utilizando GeoGebra.
1. La compañía agrícola “El maizal” es dueña de 50 hm2, y la mitad del
terreno la destinará para sembrar maíz. ¿Cuántos metros cuadrados
destinará para el maíz?
2. Don Juan, el tapicero, compró 5 m2 de tela para forrar una silla de
457 dm2. ¿Qué cantidad de tela sobró en dm2?
3. Don Miguel compró un terreno con las siguientes medidas:
660 m
160 m
120 m
200 m
200 m
340 m
¿Cuál es el área del terreno en metros cuadrados?
¿Cuál es el área del terreno en decámetros cuadrados?
¿Cuántas hectáreas tiene el terreno?
Forma espacio y medida
77
LECCIÓN
10
Porcentaje y proporcionalidad
Porcenpropor
15. = 0.15
0.15 = 15%
El término porcentaje se deriva del latín per centum que significa por
ciento, y representa fracciones cuyo denominador es cien. Generalmente
se indica con el símbolo %. El porcentaje, conocido como tanto por ciento;
se expresa también en forma de fracción común o decimal.
Por ejemplo: 15 por ciento es: 15 = 0.15 = 15%
100
Para pasar de fracción a decimal, se realiza la división entre 100, es decir,
el punto decimal del numerador se recorre dos lugares a la izquierda. En
el caso del 15, el punto no aparece, pero sabemos que está a la derecha del
5, y al recorrerlo dos lugares a la izquierda queda 0.15
Para pasar esta cantidad a porcentaje, basta con multiplicar por 100, y
ahora el punto decimal se recorre dos lugares a la derecha.
El porcentaje está relacionado con la variación proporcional, ya que si
una cantidad aumenta o disminuye en determinada proporción, también
el porcentaje aumenta o disminuye en la misma proporción.
20
100
10%
0.75
3
4
50
100
15%
0.25
1
5
10
100
20%
0.50
1
4
75
100
25%
0.15
1
2
15
100
50%
0.10
1
10
25
100
75%
0.20
3
20
Procedimientos para calcular el precio con descuento de un artículo.
Por ejemplo, si un artículo cuesta $80, y se le hace un descuento de 15%,
¿cuál es su costo final?
1
2
Se divide el porcentaje
entre 100.
0. 1 5
10015
150
500
0
78
BLOQUE TRES 
Se multiplica el precio del
artículo por el resultado
anterior.
80
× 0. 1 5
400
80
1 2. 0 0
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
3
El resultado del producto
anterior se resta del
precio original.
80
−12
68
$80 menos 15% = $68
Otro procedimiento para calcular el precio de un artículo con descuento
de 15% es el siguiente.
1
2
Le quitamos 15% al 100%
original.
3
Se divide el porcentaje
restante entre 100.
0. 8 5
10085
850
500
0
100
−15
85
Se multiplica el precio
original por el resultado
anterior.
80
× 0. 8 5
400
640
6 8. 0 0
$80 menos 15% = $68
Procedimientos para calcular el precio con aumento de un artículo.
Por ejemplo, un artículo cuesta $60 de contado, y si se compra a crédito el
precio aumenta 25%. ¿Cuánto cuesta el artículo con el aumento?
1
2
Se divide el porcentaje
entre 100.
0. 2 5
10025
250
500
0
3
Se multiplica el precio del
artículo por el resultado
anterior.
6
× 0. 2
30
120
1 5. 0
Se suma el precio original
más el resultado del
producto anterior.
0
5
0
60
+15
75
0
$60 más 25% = $75
Otro procedimiento para calcular el precio con aumento de un artículo es
el siguiente:
1
2
Le sumamos 25% al 100%
original.
100
+25
125
3
Se divide el porcentaje
obtenido entre 100.
1. 2 5
100125
250
500
0
Se multiplica el precio
original por el resultado
anterior.
60
× 1. 2 5
300
120
60
7 5. 0 0
$60 más 25% = $75
Manejo de la información
79
Resuelve los siguientes problemas.
1. Por cada $100 de la venta de tenis, a Dulce le dan una comisión de
$15. Completa la siguiente tabla para que le ayudes a Dulce a calcular
cuánto ganaría por la venta de los tenis.
Venta en $
100
200
300
400
500
600
1 000
1 500
Comisión
2. En el Museo del Rehilete de Pachuca, por cada grupo de 100 niños
dejan entrar a 5 gratis. Ayúdale a la maestra Elvira a completar la
siguiente tabla.
Número de alumnos
100
200
500
1 500
5 000
Alumnos gratis
3. Juanito, quien vende periódicos, gana 20% de comisión por cada
suscripción que vende. Si en un mes vendió suscripciones por valor
de $780, ¿cuánto ganó?
4. María compra una bicicleta que vale $950, por la cual deja el 15%
de apartado. ¿Con cuánto dinero apartó María su bicicleta?
80
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
5. Miguel fue a la plaza de la tecnología en León, y en una tienda observó
los precios de los siguientes artículos, con su respectivo porcentaje de
descuento.
$ 2 500.00
$ 700.00
$ 3 500.00
$ 3 800.00
$ 900.00
15 %
10 %
5%
25 %
25 %
a) ¿Cuál es el precio con descuento
de la consola de videojuegos?
b) ¿Cuál es el precio con descuento
de la laptop?
c) Si el reproductor de mp3 se
vende a crédito, su costo aumenta
20% del costo original. ¿Cuál es el
precio a crédito?
d) Si el celular se vende a crédito,
su costo aumenta 25% del costo
original. ¿Cuál es el precio a crédito?
Encierra en un círculo la fracción que representa una sola de las
partes en que se separa cada producto, y a la derecha expresa
esta fracción en porcentaje.
Producto
Partes
Fracción del producto
1
2
1
4
1
5
1
4
1
5
1
2
1
6
1
5
1
4
Porcentaje
Manejo de la información
81
LECCIÓN
11
Espacio muestral
Espaciomuestral
Los eventos aleatorios o al azar, son aquellos en los que no se sabe con
seguridad cuál será el resultado.
El conjunto de todos los resultados posibles de un evento aleatorio
se denomina espacio muestral. Conocer los elementos del espacio
muestral de un suceso puede permitir prever si dos o más eventos son
igualmente probables, si es un evento imposible, seguro, etcétera.
Ejemplo:
Cuando se lanza un dado, el espacio muestral está formado por los números
1, 2, 3, 4, 5 y 6. De estos elementos, es probable que salga un 3, es seguro
que salga un número entre 1 y 6, y es imposible que salga un 7.
Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.
Lanzar una moneda al aire
El color de luz que tendrá un semáforo
La calificación de un examen
El sexo de un bebé antes de nacer
Lee el enunciado y contesta lo que se pide.
En un baúl con juguetes hay 10 carros, 4 camionetas, 1 lancha, 20
soldaditos y 3 muñecos articulados. Si introduces la mano para sacar
un juguete:
¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
¿Cuál es el juguete que tiene mayor probabilidad de ser sacado del baúl?
¿Cuál es el juguete que tiene menor probabilidad de ser sacado del baúl?
Sacar un juguete de la caja es un evento
Es
obtener una camioneta del baúl.
Es
sacar un juguete del baúl que sea robot.
¿Cuántos carros faltan para que tengan la misma probabilidad de ser
sacados que los soldaditos?
82
BLOQUE TRES 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Anota los resultados que faltan en la siguiente tabla, para que esté
completo el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados.
(1, 1)
(5, 3)
Lee los enunciados y contesta las preguntas.
Una baraja inglesa tiene 52 cartas.
En esta baraja se cuenta con 4 figuras principales:
De cada figura hay 13 cartas. A continuación se presentan las 13 cartas
de corazones:
Un As
Cartas del 2 al 10
3 figuras humanas
¿Cuál de las 4 figuras principales crees que tiene mayor probabilidad de
ser sacada de la baraja?
¿Qué carta tiene mayor probabilidad de ser extraída de una baraja, un as
o una figura humana?
¿Por qué?
¿Qué tiene mayor probabilidad de ser extraída de una baraja, una carta
del 2 al 10 o una figura humana?
¿Por qué?
Manejo de la información
83
BLOQUE CUATRO
LECCIÓN
1
Sistemas de numeración antiguos
En las civilizaciones antiguas se manejaron sistemas de numeración
con características diferentes al que utilizamos en la actualidad, como el
egipcio, el chino, el babilonio, etcétera.
Sistnumantig
Sistema de numeración egipcio
Utilizaba el principio aditivo para formar los números, es decir, se
tenían que agrupar varios jeroglíficos o símbolos. Cada símbolo se
podía repetir un máximo de 9 veces, por lo que el número máximo que
se podía formar era el 999 999 999. Los números se podían acomodar
de cualquier manera, por lo que no era posicional.
Los símbolos o jeroglíficos utilizados por los egipcios eran los
siguientes:
Valor
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
Jeroglífico
Ejemplos
La escritura del número 18 en egipcio era:
La escritura del número 354 en egipcio era:
La escritura del número 1726 en egipcio era:
Escribe a la derecha de los símbolos el número que representan
los siguientes jeroglíficos.
Dibuja los jeroglíficos egipcios que corresponden a los siguientes
números.
36
84
BLOQUE CUATRO 
782
5 356
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
87 432
Sistema de numeración chino
La numeración china no es posicional, se basa en el principio aditivomultiplicativo. Existen nueve caracteres que representan los números
del uno al nueve, y otros que representan números más grandes como
decenas, centenas, millares y decenas de millar. Los caracteres se pueden
colocar de manera horizontal o vertical, por lo que no es posicional.
Los caracteres utilizados por los chinos son:
1
5
9
2
6
10
3
7
100
4
8
1000
10 000
Ejemplos
El número 65 se forma con:
El número 328 se forma con:
El número 55 742 se forma con:
Escribe las cantidades de la tabla en numeración china.
54
6 784
423
3 734
52 345
Escribe qué números representan los siguientes caracteres chinos.
Completa la siguiente tabla.
Sistema de
numeración
¿Las cifras tienen ¿Se apoya en
¿Cuántos
¿Tiene principio
¿Existe el cero?
valor posicional? potencias de 10? símbolos tiene?
multiplicativo?
Egipcio
Chino
Decimal
Sentido numérico y pensamiento algebraico
85
LECCIÓN
2
Problemas de notación decimal
Un número decimal es el que está formado por una parte entera y otra
decimal, como 8.56 y 0.37 (en este caso, la parte entera es 0).
Probnotdecimal
El sistema decimal, con enteros y decimales, está estructurado así:
6.4 ÷ 10 = 0.64
73.9 ÷ 10 = 7.39
58.3 ÷ 100 = 0.583
349.3 ÷ 100 = 3.493
862.8 ÷ 1 000 = 0.8628
6 256.39 ÷ 1 000 = 6.25639
Millonésimos
Cienmilésimos
Diezmilésimos
10 veces más pequeño
Milésimos
Centésimos
Décimos
Decimales
Unidades
Decenas
Enteros
Centenas
Unidades
de millar
Decenas
de millar
Centenas
de millar
Unidades
de millón
Decenas
de millón
Centenas
de millón
10 veces más grande cada lugar
Cuando dividimos un número entre 10, el punto decimal se recorre
a la izquierda 1 lugar porque hay un cero en el 10.
Por ejemplo, al dividir 6.4 ÷ 10, el punto decimal se recorre un
lugar a la izquierda, y queda 0.64.
Si dividimos 73.9 ÷ 10, el resultado es 7.39.
Cuando dividimos un número entre 100, el punto decimal se recorre a la izquierda 2 lugares porque hay dos ceros en el 100.
Por ejemplo, al dividir 58.3 ÷ 100, el punto decimal se recorre dos
lugares a la izquierda, quedando 0.583.
Si dividimos 349.3 ÷ 100, el resultado es 3.493.
Cuando dividimos un número entre 1 000, el punto decimal se recorre a la izquierda 3 lugares porque hay tres ceros en el 1 000.
Por ejemplo, al dividir 862.8 ÷ 1 000, el punto decimal se recorre
tres lugares a la izquierda: 0.8628.
Si dividimos 6 256.39 ÷ 1 000, el resultado es 6.25639.
Recuerda que cuando dividimos un número entre otro más grande
(formando un número fraccionario), el resultado es menor que la unidad.
A este resultado se le llama también número decimal, y se escribe a la
derecha del punto decimal. Dependiendo de la posición es el nombre del
número decimal.
86
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Completa la siguiente tabla. Guíate con los ejemplos.
1
10
2
10
0.1
0.2
3
10
5
10
8
10
0.5
1
100
.7
3
100
0.01
1
6
100
9
100
0.04
0.08
1
1 000
5
1 000
0.001
10
10
7
1 000
0.003
0.006
0.008
Resuelve las siguientes divisiones
3.6 ÷ 10
4 573.8 ÷ 10 000
83.9 ÷ 100
9 651.3 ÷ 100 000
75.4 ÷ 1 000
8 349 567.3 ÷ 1 000 000
Escribe el número faltante para que la operación sea correcta.
8.75 ÷
10
= .875
6.3 –
÷ 100 = 6.672
= .0283
28.3 ÷
= 6.18
– 0.253 = 7
100.85 – 0.05 =
+ 0.435 = 5.856
296.4 +
= 300
+ 200.09 = 210
Completa las oraciones utilizando las palabras de los recuadros.
Décima
Una
Una
Una
Millonésima
Diezmilésima
es diez veces más grande que una diezmillonésima.
indica que la unidad se divide en 10 000 partes iguales.
indica que la unidad se divide en 10 partes iguales.
Completa los recuadros y relaciona las columnas. Sigue el ejemplo.
35 milésimas más 14 centésimas
0.2 + 0.35 + .014
0.076
2 décimas + 35 centésimas + 14 milésimas
0.453
56 milésimas + 2 centésimas
0.564
40 centésimas + 53 milésimas
0.175
Sentido numérico y pensamiento algebraico
87
Colorea el recuadro que representa correctamente la descripción.
Cuarenta y cinco centésimas
menos dos décimas
0.25
0.023
0.025
Ocho décimas menos
seis décimas
0.224
0.025
0.2
Nueve milésimas menos
cuatro milésimas
0.005
0.05
0.035
Cinco centésimas menos
dos centésimas
0.42
0.03
.003
Lee los enunciados y contesta lo que se pide.
1. Arturo obtuvo 27.008 después de restar 1. ¿Cuál es el número que
estaba inicialmente en la pantalla?
2. Rosa sumó un número a 1.237 y el resultado fue 1.247. ¿Qué número
sumó?
3. Roberto sumó 0.1 a un número y el resultado fue 0.109. ¿Cuál era el
número inicial?
4. Mirna restó a un número 0.356 y el resultado fue 6.250. ¿Qué número
tenía al principio?
5. Jorge restó un número a 6.48 y el resultado fue 6.235. ¿Cuál fue el
número que restó?
88
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Problemas con divisores
Se llama divisor de un número al que lo divide de manera exacta; esto
es, que al realizar la división el residuo es cero. Los divisores de un
número son también factores del mismo número. Recuerda que todos
los números se pueden dividir entre sí mismos y entre uno.
3
Probdivisores
Ejemplo. Obtén los divisores de 8.
El 8 se puede dividir
entre 1: 8 = 8
1
entre 2: 8 = 4
2
entre 4: 8 = 2
4
entre 8: 8 = 1
8
Entonces los divisores de 8 son: 1, 2, 4 y 8.
Lee los enunciados y contesta lo que se pide.
Observa el siguiente grupo de números y colorea de amarillo las casillas de
los divisores de 60, con rojo las casillas de los divisores de 40, con azul los
divisores de 56 y con verde los divisores de 36. Si encuentras algún número
que sea divisor de 2 números, colorea la mitad de cada color. Si hay alguno
que fue divisor de los 4, colorea una cuarta parte de cada casilla de cada color.
Escribe cuáles son los divisores de 60:
Escribe cuáles son los divisores de 40:
Escribe cuáles son los divisores de 56:
Escribe cuáles son los divisores de 36:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
¿Qué números fueron divisores de todos?
¿Qué número tuvo más divisores?
¿Qué divisores comunes tuvieron el 40 y el 36?
¿Qué número tuvo menos divisores?
¿Todos los divisores de 60 son también divisores de 36?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
89
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Javier tiene 50 cubos y quiere usarlos para construir castillos. ¿De
cuántas maneras diferentes los puede hacer, sin que haga un castillo
con todos los cubos o que haga castillos de un cubo? ¿Cuántos cubos
pudo poner en cada castillo?
2. Andrea tiene 48 piedritas de colores para hacer collares. ¿Cuántos
collares distintos puede hacer, sin que haga un collar con todas las
piedritas o que haga collares con una sola piedrita? ¿Cuántas piedritas
puede poner en cada collar?
3. El organizador de un torneo tiene 64 pelotas de golf para repartirlas
entre los jugadores. ¿A cuántos jugadores les puede repartir las pelotas,
sin que le entregue todas las pelotas a un solo jugador, o que le dé a cada
jugador sólo una pelota? ¿Cuántas pelotas le tocan a cada jugador?
4. Mario debe acomodar 52 libros en diferentes estantes. ¿De cuántas
maneras diferentes puede acomodar los libros, sin que los ponga todos
juntos o que haga filas de 1? ¿De cuántos libros puede hacer las filas?
90
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Multiplicación de números naturales por
decimales y fraccionarios
LECCIÓN
Cuando en una multiplicación uno de los factores es número natural y
el otro es un número fraccionario propio (menor que la unidad) o un
número decimal menor que 1 y mayor que 0, el producto siempre será
menor que el número natural.
Multdecifrac
Cuando se multiplica una cantidad por un decimal hay que observar
cuántas cifras decimales hay en el factor, porque el resultado debe tener el
mismo número de cifras decimales (el punto decimal se recorre de derecha
a izquierda un lugar si se multiplicó por décimos, dos lugares si fue por
centésimos, tres lugares si se multiplicó por milésimos, y así sucesivamente).
Ejemplos
6
12
15
23
386
4
× 0. 5
× 0. 8
× 0. 7
× .3 5
× .5 2
× .2 6
3. 0
9. 6
1 0. 5
115
772
37
69
1930
282
8. 0 5
2 0 0. 7 2
94
1 2. 5 9
El punto se recorre un lugar
hacia la izquierda porque se
multiplicó por décimos
El punto se recorre dos lugares
a la izquierda porque se
multiplicó por centésimos
4
7
8
6
6
8
× .7 5
53
445
623
6 7. 2 8
9
6
4
4
El punto se recorre tres lugares
a la izquierda porque se
multiplicó por milésimos
Por otra parte, cuando se multiplica un decimal por 10 o alguno de sus
múltiplos (100, 1 000, 10 000, etcétera), pasa lo contrario, porque ahora
el punto decimal se debe recorrer a la derecha tantas posiciones como
número de ceros tenga el factor.
Ejemplos
Al multiplicar 8.5 × 10, como el segundo factor tiene un cero, el
punto decimal se recorre un lugar a la derecha.
8.5 × 10 = 85
Al multiplicar 28.74 × 100, como el multiplicador tiene dos ceros,
el punto decimal se recorre dos lugares a la derecha.
28.74 × 100 = 2 874
También se tiene el caso: 8.5 × 100 = 850, porque, como ya no hay
números después de la última cifra significativa (que en este caso
es el 5) se agrega un cero a la derecha.
8.5 × 100 = 850
Sentido numérico y pensamiento algebraico
91
46.53 × 1 000 = 46 530
5.354 × 1 000 = 5 354
Al multiplicar 46.53 × 1 000, como el segundo factor tiene tres ceros,
el punto decimal se recorre tres lugares a la derecha, y como ya no hay
números después de la última cifra significativa (que en este caso es el 3)
se agrega un cero a la derecha.
La siguiente multiplicación queda: 5.354 × 1 000 = 5 354.
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 405.43 × 31
b) 87 × 0.02
c) 101 × 0.101
d) 379.4 × 28
e) 562 × 2.34
f) 254 × 38.5
g) 75.486 × 39
h) 842 × 56.79
i) 732 × 4.09
Resuelve las siguientes multiplicaciones recorriendo únicamente el
punto decimal, indicando con una flecha cuántos lugares se recorre.
92
BLOQUE CUATRO 
41.5 × 10 =
245.38 × 10 000 =
34.51 × 100 =
12.38 × 100 000 =
4.65 × 1 000 =
19.8742 × 1 000 000 =
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Paquito vendió 25 lápices a $3.5 cada uno. ¿Cuánto dinero obtuvo por
la venta?
2. Martha creció 1.2 cm cada mes durante los últimos 15 meses. ¿Cuánto
creció en ese tiempo?
3. Don José avanza en cada paso 0.67 m. Si da 110 pasos, ¿cuántos metros
recorre?
4. Para limpiar el piso de una oficina, don Pablo gasta diariamente 8.5
litros de agua. ¿Cuántos litros gasta en una semana?
5. Durante su embarazo, a la mamá de Lupita le crece el abdomen 1.5 cm
cada semana. ¿Cuánto crecerá su abdomen en las 36 semanas que dura
su embarazo?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
93
Para las fracciones, al entero se le pone un 1 como denominador, y se
multiplica el entero por el numerador de la fracción, y el denominador
por 1, de manera lineal:
4 × 2 = 4×2 = 8
1
3 1×3 3
7 × 3 = 7 × 3 = 21
1
5 1×5 5
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
94
a) 7 × 6 =
5
b) 9 × 4 =
6
c) 8 × 3 =
7
d) 7 × 4 =
3
e) 5 × 3 =
8
f) 4 × 6 =
9
g) 8 × 3 =
5
h) 5 × 2 =
6
i) 3 × 7 =
4
j) 2 × 6 =
8
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
6 × 4 = 6 × 4 = 24 = 3
1
8 1×8 8
Resuelve los siguientes ejercicios.
Ejemplo
Si en una escuela de 462 alumnos, las dos terceras partes son hombres,
¿cuántos hombres hay?
462 × 2 = 462 × 2 = 924 = 308
3
1
3
3
R = En la escuela hay 308 hombres
1. Para pintar la sala, don Lucho gastó dos terceras partes de 5 galones
de pintura. ¿Cuánta pintura gastó?
2. Si el metro de tubo de cobre cuesta $125, ¿cuánto costarán 4 de
5
metro?
3. Si el kilogramo de huevo cuesta $15, ¿cuánto costarán 3 de
4
kilogramo?
4. ¿Cuánto costarán 3 1 litros de leche, si un litro cuesta $11?
2
5. Si una bolsa de harina cuesta $60, ¿cuánto costarán 3 de bolsa?
4
Sentido numérico y pensamiento algebraico
95
LECCIÓN
5
Cálculo mental con números
fraccionarios y decimales
Calmentalfrac
Recuerda que cuando quieres calcular el doble de una cantidad, ésta se
tiene que multiplicar por 2, poniendo un 1 debajo del entero.
Por ejemplo:
para calcular el doble de 1 , se multiplica 1 × 2 = 2
5
5
1
5
Cuando se quiere calcular el triple, la cantidad se multiplica por 3,
poniendo un 1 debajo del entero.
Por ejemplo:
para calcular el triple de 3 , se multiplica 3 × 3 = 9
4
4
1
4
Cuando queremos calcular la mitad de una cantidad, ésta se tiene que
dividir entre 2, poniendo un 1 debajo del entero y multiplicando cruzado.
Por ejemplo:
para calcular la mitad de 3 , se divide 3 ÷ 2 = 3 × 1 = 3
4
4
1 4×2 8
Gráficamente tenemos primero, 3
4
Cada una de las 4 partes se divide en 2 y tomamos sólo la mitad de ellas,
quedando sombreadas 3 partes de las 8, o bien, 3
8
Cuando queremos calcular la tercera parte de una cantidad, ésta se tiene que
dividir entre 3, poniendo un 1 debajo del entero y multiplicando cruzado.
Por ejemplo:
para calcular la tercera parte de 2 , se divide 2 ÷ 3 = 2 × 1 = 2
5
5
1 5 × 3 15
Gráficamente tenemos primero, 2
5
Cada una de las 5 partes se divide en 3 y tomamos sólo la tercera parte de
ellas, quedando sombreadas 2 partes de las 15, o bien, 2
15
96
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Resuelve mentalmente las operaciones siguientes. Después
describe el procedimiento que utilizaste.
Cálculo
El doble de
El doble de
El doble de
El doble de
El triple de
El triple de
El triple de
El triple de
El doble de
El doble de
El doble de
El triple de
El triple de
El triple de
El triple de
Procedimiento
Resultado
Procedimiento
Resultado
Procedimiento
1
2
1
3
1
4
1
10
1
2
1
3
1
4
1
10
Cálculo
El doble de
Resultado
2
4
3
4
2
7
4
5
2
4
3
4
2
7
4
5
Cálculo
El doble de 0.5
El doble de 0.25
El doble de 0.45
El doble de 0.9
El doble de 0.35
El doble de 0.7
Sentido numérico y pensamiento algebraico
97
Cálculo
Resultado
Procedimiento
Resultado
Procedimiento
Resultado
Procedimiento
El triple de 0.5
El triple de 0.25
El triple de 0.45
El triple de 0.9
El triple de 0.35
El triple de 0.7
Cálculo
La mitad de 1
2
La mitad de
1
3
La mitad de 1
4
La mitad de 1
10
La mitad de 2
4
La mitad de 3
4
La mitad de 2
7
La mitad de 4
5
Cálculo
La mitad de 0.5
La mitad de 0.25
La mitad de 0.45
La mitad de 0.9
La mitad de 0.35
La mitad de 0.7
98
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Une con líneas un número de la primera columna con uno de la
segunda para obtener el resultado que se indica arriba. Haz lo
mismo con la tercera y cuarta columnas. Sigue los ejemplos.
Que la suma sea 1
Que la suma sea 10
0.725
0.750
2.75
4.90
0.43
0.28
6.35
1.20
0.7
0.20
4.20
7.25
0.93
0.428
3.50
2.70
0.80
0.175
1.40
3.65
0.572
0.3
8.80
6.30
0.5
0.57
5.10
6.50
0.825
0.275
9.25
8.60
0.250
0.5
3.70
5.80
0.62
0.07
7.30
0.75
Escribe dentro del recuadro el símbolo
>, < o = según corresponda para
cada pareja de números.
31.75
>
31.68
5
2
3
1
4
0.3
6
4
1
2
2
0.5
8.25
8.20
7
3
8
5
3
16
10
Completa los siguientes cuadrados mágicos multiplicativos.
Multiplica los números de una línea horizontal, vertical o diagonal
que esté completa y con ese producto encuentra los faltantes.
3
1
3
3
3
4
9
1
16
8
4
1
6
2
1
4
8
3
3
6
9
1
2
Sentido numérico y pensamiento algebraico
99
LECCIÓN
6
Clasificación de prismas
Clasifprismas
Los poliedros son cuerpos geométricos sólidos limitados por planos
llamados caras, que tienen una recta común llamada arista y el punto
común de éstas se llama vértice. Pueden ser regulares e irregulares.
Existen 2 tipos principales: prismas y pirámides, que reciben su nombre
según la forma de su base.
Los prismas son poliedros en los que dos de sus
caras son polígonos iguales, situados en planos
paralelos y cuyas otras caras son paralelogramos.
Las pirámides son poliedros que tienen como
base cualquier polígono y caras triangulares,
que se unen en un punto llamado vértice.
base
vértice
arista
cara
lateral
altura
cara
lateral
arista de
la base
base
1
arista
lateral
vértice o
cúspide
base
Colorea la base de las siguientes figuras.
2
3
4
5
6
7
8
Completa la siguiente tabla de acuerdo a lo que se indica. Guíate
con los ejemplos.
Nombre de
la figura
Número de
Número de caras Número de aristas Número de vértices
aristas de la base
de la figura
de la figura
de la figura
1
2
Prisma
rectangular
4
4+2=6
4 + 4 + 4 = 12
4+4=8
Pirámide
pentagonal
5
5+1=6
5 + 5 = 10
5+1=6
3
4
5
6
7
8
100
BLOQUE CUATRO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Escribe debajo de cada figura el desarrollo al que corresponda.
Guíate con el ejemplo.
Pirámide
triangular
Prisma
pentagonal
Une los vértices de la base con el punto externo, generando las
aristas de las pirámides. Mide la altura con una regla.
La altura de la pirámide mide
La altura de la pirámide mide
La altura de la pirámide mide
Forma espacio y medida
101
LECCIÓN
7
Ubicación de objetos en cuadrículas
Ubicobjcuadri
Para determinar la posición de las personas u objetos respecto de un
plano, se debe establecer un sistema o marco de referencia. Éstos son
como una cancha deportiva, en donde existen reglas y límites que nos
ayudan a ubicar la posición de los jugadores; por ejemplo, si un jugador
comete una falta en un área determinada de la cancha, su equipo es
castigado con un penalty. Los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste)
se utilizan internacionalmente como sistemas de referencia, aunque
también existen otros sistemas, como utilizar letras, colores o números
para ubicar en el plano filas o renglones y columnas.
Para ubicar puntos en el plano cartesiano, se necesitan dos rectas: la
horizontal, llamada eje de las x, y la vertical, llamada eje de las y; cada
uno de estos ejes tiene una graduación. La intersección de los dos ejes se
marca con el punto 0. Un punto se ubica en el plano por sus coordenadas,
que son un par de números (x, y), escritos siempre en ese orden.
Por ejemplo, para ubicar el punto (3, 5) se localiza el punto 3 en el eje
horizontal x y el punto 5 en el eje vertical y.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
(3, 5)
1
2
3
4
A
5
B
6
7
8
9 10
x
Localiza los siguientes puntos en el plano cartesiano, marcando
un punto grueso y la letra correspondiente. Sigue el ejemplo.
A(5, 4)
G(1, 8)
102
BLOQUE CUATRO 
B(8, 3) C(3, 8)
H(2, 4) I(4, 2)
D(5, 9) E(9, 5) F(7, 10)
J(10, 6) K(3, 1) L(4, 7)
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Analiza el siguiente plano cuadriculado y contesta las preguntas.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
La intersección de una fila con una columna nos ubica en una celda, cuyas
coordenadas están dadas por un número y una letra.
Ejemplo
Las coordenadas (3, A) corresponden al ala trasera o alerón del avión.
Registra las coordenadas que corresponden a las tres partes del avión
marcadas con un óvalo:
Cabina
Ala izquierda
Motor derecho
Registra las coordenadas que corresponden a las cuatro partes del auto
marcadas con un óvalo:
Placa
Faro izquierdo
Espejo lateral
Rueda trasera
Forma espacio y medida
103
LECCIÓN
8
Volúmenes
El volumen es la magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo
en tres dimensiones (en el espacio): largo (longitud), ancho (profundidad)
y alto. Dos cuerpos pueden tener diferente forma pero igual volumen. El
volumen se puede medir en metros cúbicos (m3), que es un cubo de 1 metro
por lado, y al igual que el metro lineal, tiene múltiplos y submúltiplos.
Volumenes
Altura
El volumen de los cuerpos como el que se
muestra, se calcula multiplicando el largo
por el ancho por el alto.
Longitud
Profundidad
De los siguientes objetos, identifica cuáles poseen volumen y
.
márcalos con una
P
Calcula el volumen de las siguientes figuras. Sigue el ejemplo.
Como el primero es un cubo, todos los lados miden lo mismo, es decir, el
largo, el ancho y el largo son iguales.
4.5 cm
40 cm
50 cm
V = 4.5 × 4.5 × 4.5
V = 91.125 cm3
104
BLOQUE CUATRO 
5.5 cm
30 cm
2.7 cm
V=
cm3
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
V=
1.2 cm
cm3
2.25 m
0.90 m
0.65 m
V=
1.25 m
0.8 m
m3
1.90 m
m3
V=
1 u3 =
V=
u3
u3
V=
Resuelve el siguiente problema.
Lalo construyó el siguiente cuerpo con cubos del mismo tamaño y dejó
un túnel para que pasaran sus carritos de lado a lado. ¿Cuántos cubos
utilizó en total?
Túnel
V=
u3
Forma espacio y medida
105
LECCIÓN
9
RepreGrafica
Representación gráfica
Los datos se pueden representar en tablas y gráficas para mostrar la relación que existe entre ellos. Las gráficas de barras consisten en rectángulos paralelos horizontales o verticales, cuya longitud es proporcional a
la magnitud que representan. Toda gráfica siempre debe incluir su título
en la parte superior, los datos representados en el eje vertical a la izquierda de éste y los datos representados en el eje horizontal debajo del mismo, así como indicar arriba de cada barra su valor.
Ejemplo.
Un bosque se quiere reforestar con las siguientes especies de árboles (la
cantidad de árboles está entre paréntesis).
Pino (10)
Encino (7)
Cedro (14)
Nogal (6)
Eucalipto (16)
En una gráfica los datos se muestran de la siguiente manera.
Cantidad de árboles
Reforestación de un bosque
106
BLOQUE CUATRO 
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
16
14
10
7
Pino
6
Nogal
Encino
Cedro
Especie de árbol
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Eucalipto
La siguiente tabla contiene información sobre la cantidad de hectáreas
sembradas con diversas verduras o granos en el estado de Hidalgo en 2009.
Vegetal
sembrado
Alfalfa
Avena
Chile
verde
Frijol
Maíz
Pasto
Sorgo
Hectáreas
(miles)
57
18
4
92
383
3
260
Tomate Tomate
rojo
verde
0.3
2
Trigo
118
Elabora una gráfica en donde esté representada la cantidad de
hectáreas sembradas de alfalfa, frijol, maíz, sorgo y trigo. Escribe
los títulos en los recuadros.
Trigo
Sorgo
Maíz
Frijol
Alfalfa
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Elabora una gráfica en donde esté representada la cantidad de
hectáreas sembradas de avena, chile verde, pasto, tomate rojo y
tomate verde. Escribe los títulos en los recuadros.
Avena
Chile
verde
Pasto
Tomate
rojo
Tomate
verde
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Manejo de la información
107
BLOQUE CINCO
LECCIÓN
1
Razones
Razones
Una razón es la comparación de dos cantidades, esto es, el número de
veces que una cantidad es mayor o menor que la otra. Las razones se
pueden expresar como una fracción o como una división.
Por ejemplo, si una persona camina a 10 km y un auto se desplaza a
h
80 km , la razón entre la velocidad de la persona y la velocidad del auto
h
puede escribirse como 10:80, que se lee 10 a 80 o 10 de 80, o también
puede escribirse como 10 , o ya simplificada la fracción, como 1 .
80
8
Cuando existe una variación proporcional entre 2 cantidades, al
multiplicar una de ellas por un factor se obtiene la otra. Ese factor se
denomina factor de proporcionalidad.
Lee los enunciados de la izquierda y únelos con flechas de colores
diferentes de acuerdo a la razón que corresponda. Sigue el ejemplo.
Mario utilizó 8 piedras verdes y
6 piedras rojas para hacer un collar.
1
4
Maite necesitó 2 kg de arroz para
dar de comer a 12 personas.
4
3
Julio ocupó 200 gramos de saborizante
para hacer 800 mL de agua de sabor.
1
3
Fernanda utilizó 12 bolas de
estambre para tejer 8 suéteres.
1
6
Milton ocupó 4 rosas blancas y
12 rosas rojas para un arreglo floral.
3
2
Lee el enunciado y haz lo que se pide.
En una bolsa con pelotas hay 20 rojas, 16 verdes, 12 azules, 10 naranjas y
8 moradas.
Escribe la razón entre las pelotas naranjas y rojas.
Escribe la razón entre las pelotas verdes y naranjas.
Escribe la razón entre las pelotas moradas y azules.
108
BLOQUE CINCO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
1. En el grupo de 5º “A” hay 16 hombres y
24 mujeres. ¿Cuál es la razón entre
hombres y mujeres?
2. Doña Martha le pone a un flan 6
cucharadas de vainilla por cada 2 litros
de leche. ¿Cuál es la razón entre la
vainilla y la leche?
3. Ahorré 15 pesos de los 60 que pude
haber ahorrado este mes. ¿Cuál es la
razón que expresa esta situación?
4. Un atleta corrió esta semana 30 km. La
semana pasada fueron 25 km. ¿Cuál es
la razón que expresa esta situación?
Lee cada enunciado, completa la tabla y encuentra la razón entre
las cantidades que aparecen. Después contesta lo que se pide.
1. En una tienda, por cada $10 de compra se descuentan $3.
Descuento
3
6
Compra $
10
20
15
24
60
30
90
¿Cuál es la razón?
2. Arturo gana $300 diarios, pero gasta $15 en transporte. Escribe lo
que acumula de ganancia y sus gastos de transporte en una semana.
Lunes
Ganancia
300
Transporte
15
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
900
Sábado
Domingo
1 800
60
105
¿Cuál es la razón?
3. Ocho personas consumen un refresco de 2 litros. Completa la siguiente
tabla y anota cuántas personas consumirán ocho refrescos de 2 litros.
Número de refrescos
2
Número de personas
16
12
64
128
¿Cuál es la razón?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
109
LECCIÓN
2
Números decimales en la recta numérica
Numdecirecta
Entre cualquier par de números decimales o fraccionarios, siempre va
a existir otro número. Para encontrar un número entre dos números
decimales, se suman éstos y el resultado se divide entre 2. En la recta
numérica podemos hacer subdivisiones para localizarlos fácilmente.
Cuando se quiere ubicar un número decimal en la recta numérica, es
importante determinar dos puntos (de preferencia uno antes y uno
después) entre el número que queremos ubicar.
Para encontrar números decimales que contengan centésimos, hay que hacer
segmentos con subdivisiones de 10 para que tengan una longitud de 0.01.
Por ejemplo, encontrar el número decimal que está entre 0.4
y 0.5. Se suman 0.4 + 0.5 = 0.9, y la suma se divide entre 2.
El número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45.
En la recta numérica:
0.45
0
0.4
0. 4 5
2 0. 9
10
0
1
0.5
Ubica los números decimales en la recta numérica, señalándolos
con una flecha.
4.34, 4.7 y 4.86
4
5
4.5
1.7, 2.53 y 3.04
1.5
2
3
0.12, 0.3 y 0.87
0
110
BLOQUE CINCO 
1
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
P
Marca con una
los números decimales que están
correctamente ubicados en la recta.
7.06
7
7.23
7.10
7.47
7.32
7.69
7.54
7.91
7.83
8.0
8
Ubica en la recta el número decimal que se encuentra en medio
de los números indicados.
3.6 y 3.7
3
4
8.5 y 8.6
8
9
0.7 y 0.8
0
1
Ubica en la recta el número decimal que se encuentra entre los
números indicados.
4.02
4
4.13
4.28
4.33
4.40
4.570
4.600
4.720
4.85
4.99
5
Sentido numérico y pensamiento algebraico
111
LECCIÓN
3
Cociente decimal
Cocientedecimal
Al realizar una división entre dos números, se pueden presentar dos
casos:
División
exacta
División
con residuo
Cuando el dividendo es
múltiplo del divisor, es decir,
la división es exacta, porque el
residuo es cero.
Divisor
2 0 Cociente
13260
00
0 Dividendo
Residuo 0
Cuando el dividendo no es
múltiplo del divisor, es decir, la
división no es exacta, porque el
residuo es diferente de cero.
2
1435
07
Residuo
0
diferente a 0
En este caso, el 260 es
múltiplo de 13, porque
13 × 20 = 260
5
7
7
7
En este caso, el 357 no es
múltiplo de 14, porque
14 × 25 = 350
350 + 7 = 357
En el caso de la división con residuo, para que se realice la división
completa se tiene que agregar un cero al residuo (nuevo dividendo), e
inmediatamente se pone un punto decimal en el cociente.
Ejemplo:
2 5. 5
14357
077
070
00
Se agrega el punto decimal al cociente
Se agrega un cero al residuo
El residuo ya es cero
Si el residuo aún no es cero, se repite este proceso tantas veces como sea
necesario hasta que el residuo sea cero, pero ya no se agregan más puntos
en el cociente.
Ejemplo:
112
BLOQUE CINCO 
1 9. 5 6
25489
239
140
150
00
Se agrega el punto decimal al cociente
Se agregan ceros al residuo
El residuo ya es cero
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Efectúa las siguientes divisiones agregando el punto decimal al
cociente y tantos ceros al residuo como sea necesario, hasta que
éste sea cero.
361386
24780
40900
16582
281001
341445
521235
682907
Resuelve los siguientes ejercicios hasta que el residuo sea cero.
1. Para pintar una casa que tiene 476 m2
de pared se requieren 8 litros de
pintura. ¿Cuántos m2 rinde cada litro?
2. En el supermercado ofrecen una
pantalla de TV en $4 560, que se
puede pagar en 12 mensualidades sin
intereses. ¿Cuánto se pagará cada mes?
3. Doña Clara pagó $354 por 12 juegos
de desarmadores para su ferretería.
¿Cuánto costó cada juego?
4. Don Fernando y sus 4 hermanos van
a sembrar, de manera equitativa, un
terreno de 2 358 m2. ¿Cuántos metros
cuadrados sembrará cada uno?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
113
LECCIÓN
4
Operaciones inversas
Operinversas
Existen operaciones matemáticas que son inversas: la suma y la resta, la
multiplicación y la división. Si al multiplicar dos números el resultado se
divide entre uno de los números, se obtiene el otro, y si el cociente de dos
números se multiplica por el divisor, se obtiene el dividendo.
Ejemplos:
8 × 7 = 56
9 × 5 = 45
56 ÷ 8 = 7,
45 ÷ 5 = 9,
7 × 8 = 56
5 × 9 = 45
56 ÷ 7 = 8
45 ÷ 9 = 5
Haz dos divisiones y dos multiplicaciones en cada recuadro.
114
BLOQUE CINCO 
2 × 5 =
×
=
5 × 2 =
×
=
÷ 2 =
÷
=
÷ 5 =
÷
=
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
De acuerdo al ejemplo completa las familias de operaciones.
a)
7 × 2 = 14
b)
c)
d)
× 7 = 35
× 8 = 56
× 8 = 64
2 × 7 = 14
×
=
×
=
×
=
14 ÷ 2 = 7
÷
=
÷
=
÷
=
14 ÷ 7 = 2
÷
=
÷
=
÷
=
e)
f)
g)
h)
× 5 = 25
× 4 = 32
× 7 = 42
× 11 = 110
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
÷
=
i)
j)
k)
l)
× 10 = 50
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
÷
=
36 ÷ 9 =
÷
=
÷
=
m)
40 ÷ 5 =
n)
÷
=
ñ)
54 ÷ 9 =
o)
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
×
=
÷
=
77 ÷ 11 =
48 ÷ 8 =
÷
63 ÷ 7 =
=
÷
=
30 ÷ 5 =
÷
=
Divide. ¡Piensa en la multiplicación que corresponde!
a)
12 ÷ 2 =
b)
15 ÷ 3 =
c)
40 ÷ 4 =
d)
45 ÷ 5 =
18 ÷ 2 =
24 ÷ 3 =
16 ÷ 4 =
25 ÷ 5 =
22 ÷ 2 =
18 ÷ 3 =
24 ÷ 4 =
55 ÷ 5 =
16 ÷ 2 =
9 ÷ 3 =
32 ÷ 4 =
40 ÷ 5 =
24 ÷ 2 =
27 ÷ 3 =
36 ÷ 4 =
35 ÷ 5 =
Sentido numérico y pensamiento algebraico
115
e)
56 ÷ 7 =
f)
48 ÷ 6 =
g)
54 ÷ 9 =
h)
48 ÷ 8 =
70 ÷ 7 =
24 ÷ 6 =
81 ÷ 9 =
24 ÷ 8 =
42 ÷ 7 =
66 ÷ 6 =
72 ÷ 9 =
72 ÷ 8 =
49 ÷ 7 =
72 ÷ 6 =
45 ÷ 9 =
40 ÷ 8 =
28 ÷ 7 =
54 ÷ 6 =
36 ÷ 9 =
32 ÷ 8 =
A continuación, identifica en cada problema, si se resuelve
mediante una multiplicación o una división. Y resuélvelo.
116
1. Enrique tiene 90 estampas en su
álbum, cada página tiene 10 estampas.
¿Cuántas páginas están llenas?
2. Julieta coloca 12 sellos por página en
su álbum y tiene 8 páginas llenas de
sellos. ¿Cuántos sellos tiene?
3. Si se meten 4 niños en cada uno de 11
taxis, ¿cuántos niños hay en los taxis?
4. Si caben 4 niñas en un taxi, ¿cuántos
taxis necesitas para 12 niñas?
5. Si hay 8 huevos en un cartón, ¿cuántos
huevos hay en 5 cartones?
6. Juan tiene 80 cubos y su mamá le pidió
que los guardara en varias bolsas de 5
en 5. ¿Cuántas bolsas utilizó?
BLOQUE CINCO 
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
LECCIÓN
Teselados
El teselado es un diseño que se realiza con un conjunto de figuras
geométricas que, por sí mismas o en combinación con otras, cubren
completamente una superficie plana, sin dejar huecos ni superponerse.
Las figuras pueden ser de cualquier forma o tamaño, siendo las más
comunes el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono.
5
Teselados
El plano no se puede recubrir por completo (formar mosaicos) con ciertas
figuras, como el pentágono y octágono regulares.
Observa los siguientes teselados y contesta, ¿qué figuras los
componen y de qué forma están acomodados?
En el siguiente espacio diseña un teselado original con figuras
geométricas y menciona qué figuras lo forman.
Figuras que lo forman:
Forma espacio y medida
117
6
LECCIÓN
Relaciones de tiempo
Cuando queremos medir el tiempo, debemos comparar un periodo contra
otro llamado unidad. Si queremos medir periodos cortos utilizamos segundos, minutos y horas; para medir periodos un poco más largos utilizamos
días, meses y años; y para periodos muy largos utilizamos lustros (5 años),
décadas (10 años), siglos (100 años) y milenios (1 000 años). Normalmente
los siglos se representan con números romanos.
Relacitiempo
Por ejemplo, el tiempo que transcurrió entre el año 0 y el año 100, es el
siglo I. El siglo en el que vivimos es el XXI.
Los números romanos
representan siglos.
Una línea del tiempo permite ubicar y relacionar distintos acontecimientos en un periodo histórico. Se divide en los años antes de Cristo (a.C.) y
después de Cristo (d.C.).
Las flechas significan
continuidad.
a. C.
V
500
IV
400
d. C.
III
II
300
I
200
I
0
100
II
III
100
200
IV
300
V
400
500
El cero representa el
Completa la siguiente tabla escribiendo en qué siglo ocurrió cada
origen en donde empiezan
acontecimiento. Después ubícalos en la línea del tiempo con el
a contar los años
transcurridos (es la fecha
punto correspondiente. Sigue el ejemplo.
de nacimiento de Cristo).
Punto
Fecha
Acontecimiento
Siglo
A
1 200 a.C.
Se establece la cultura Olmeca
XIII a.C.
B
300 d.C.
Se establece la cultura Maya
C
400 d.C.
Se establece la cultura Teotihuacana
D
1325
Fundación de México Tenochtitlan
E
1521
Conquista de México por los españoles
F
1810
Inicio de la independencia de México
G
1910
Inicio de la revolución mexicana
H
2000
Se da la alternancia política en México
a. C.
XIII
XII
XI
X
IX
VIII
VII
A
118
BLOQUE CINCO 
VI
XIX
d. C.
V
IV
III
II
I
0
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVII
XIX
XXI
XVI XVIII
XX
Para expresar una unidad de tiempo en otra mayor, se debe dividir. Cuando
se trate de convertir una unidad de tiempo a otra menor, se debe multiplicar.
Ejemplo:
Conversión de unidades pequeñas a grandes.
1 800 segundos a minutos
1 800 ÷ 60 = 30 min
45 minutos a horas
45 ÷ 60 = 0.75 horas
Conversión de unidades grandes a pequeñas.
5 horas a minutos
5 × 60 = 300 min
2 días a minutos
48 horas × 60 = 2 880 min
Realiza las siguientes conversiones de tiempo con la operación
adecuada.
Escribe tu edad exacta en años
meses
días
.
1. ¿Cuál es tu edad en meses?
2. ¿Cuál es tu edad en días?
3. ¿Cuántos minutos has vivido?
4. ¿Cuántos segundos has vivido?
5. Si una casa tiene 9 125 días de construida, ¿hace cuántos años la hicieron?
6. Si el profesor Miguel ha vivido 648
meses, ¿cuántos años ha vivido?, ¿y
cuántos días?
Forma espacio y medida
119
LECCIÓN
7
Variación proporcional
200
150
100
50
0
Aumenta
Número de hojas
Variaproporc
Cuando existe una relación entre dos cantidades u objetos, de manera
que el aumento en una de ellas produce un aumento proporcional en la
otra, se dice que existe una variación proporcional. En este tipo de
situaciones es importante conocer el valor de la unidad.
Ejemplos
Hojas por libreta
Aumenta
1 libreta 2 libretas 3 libretas 4 libretas
200
150
100
50
0
Aumenta
Número de hojas
Número de libretas
a) Si por 6 libretas se pagan $120 pesos, para conocer
cuánto cuesta 1 libreta se divide lo que se pagó entre
el número de libretas, es decir, 120 ÷ 6 = 20, por lo que
1 libreta cuesta $20.
Hojas por libreta
Aumenta
1 libreta 2 libretas 3 libretas 4 libretas
Número de libretas
b) Si una libreta tiene 50 hojas, 2 libretas tendrán
100 hojas, 3 libretas tendrán 150 hojas, etcétera.
A la izquierda se muestran ejemplos de gráficas de
variación proporcional directa.
Analiza las siguientes tablas y contesta lo que se pide.
Cantidad de canastas
1
2
3
4
5
6
7
Bolillos que caben en una canasta
4
8
12
16
20
24
28
¿En cuánto aumenta la cantidad de bolillos por cada canasta que se
aumenta?
¿Existe una variación proporcional?
¿Por qué?
Edad de un bebé (meses)
1
2
3
4
5
6
7
Peso de un bebé (kilogramos)
3.6
4.4
5.1
5.6
6.1
6.5
6.8
¿Aumenta la cantidad de kilogramos por mes?
¿Existe una variación proporcional?
¿Por qué?
Si una bolsa tiene 20 canicas, ¿cuántas canicas habrá en 2, 3, 5, 10 y 20
bolsas?
120
BLOQUE CINCO 
Bolsas de canicas
1
Número de canicas
20
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
2
3
5
10
20
Promedios
El promedio se establece respecto de un grupo de datos numéricos y
se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el
número de datos sumados.
LECCIÓN
8
Promedios
Es importante conocer el valor del promedio para realizar pronósticos o
tomar decisiones adecuadas. Por ejemplo, en una tienda es importante
conocer cuántos refrescos se venden en promedio en un día para que
cuando vuelva a surtir los refrescos, el dueño decida si pide más o menos
dependiendo del promedio que se venda en un día.
Es conveniente ordenar primero los datos, preferentemente de manera
ascendente (de menor a mayor) para poder hacer la suma más fácil.
Por ejemplo, si al final del año escolar las calificaciones de Marlene
fueron:
Español: 8 Matemáticas: 8 Ciencias Naturales: 7
Geografía: 9 Historia: 10 Formación Cívica y Ética: 10
Educación Física: 10 Educación Artística: 10
Su promedio se calcula de la siguiente manera:
Primero se ordenan los datos: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 10; luego se suman las
calificaciones y el resultado se divide entre el número de ellas.
7 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 10 + 10 = 72 = 9
8
8
Ordena los siguientes datos, súmalos, contesta las preguntas y
calcula el promedio.
Las estaturas (en centímetros) de los 30 alumnos varones del grupo 5º B
son:
125
130
145
150
160
161
163
164
132
132
140
140
129
135
129
129
134
135
145
163
160
134
134
130
150
140
128
145
150
150
Manejo de la información
121
Ordena las estaturas de menor a mayor
¿Cuántos centímetros mide el alumno más alto?
¿Cuántos centímetros mide el más bajo de estatura?
¿Cuántos alumnos miden 150 cm?
¿Cuántos miden menos de 140 cm?
¿Cuántos miden 163 cm?
¿Cuál fue el promedio de estatura de los varones del grupo?
cm.
En el siguiente cuadro, calcula el promedio de temperatura anual
en cada localidad.
Temperatura promedio anual
Localidad
Temperatura
promedio de
Ixmiquilpan
122
BLOQUE CINCO 
Temperatura
promedio
Temperatura Temperatura
del año
del año más
más frío
caluroso
Ixmiquilpan
14.2
26.6
Pachuca
9
21.7
Real del Monte
11.1
19.3
Tenango de Doria
10.6
23.5
Tlanchinol
12.8
22.9
Zacualtipán
10.2
19.7
Temperatura
promedio de
Pachuca
Temperatura
promedio de
Tenango de Doria
Enseñanza de las matemáticas con tecnología  5o grado
Temperatura
promedio de
Zacualtipán
Bibliografía
Secretaría de Educación Pública (2011). Matemáticas
Sexto grado. Primaria. México.
Secretaría de Educación Pública (1993). Matemáticas
Sexto grado. Primaria. México.
Secretaría de Educación Pública (2011). Plan y programa de
estudios 2011. Educación Básica. Sexto grado. Primaria. México.
Secretaría de Educación Pública (2009). Plan y programa de
estudios 2009. Educación Básica. Sexto grado. Primaria. México.
EMAT (2000). Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología.
Matemáticas con la hoja de cálculo. México. SEP.
EMAT (2000). Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología.
Geometría dinámica. México. SEP.
EMAT (2011). Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología.
Matemáticas para la Educación Secundaria. Propuesta Hidalgo.
123
Directorio
Lic. José Francisco Olvera Ruiz
Gobernador del Estado de Hidalgo
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
Profra. María Luisa Pérez Perusquia
Subsecretaria de Educación Básica
Profra. María Elena Núñez Soto
Directora General de Educación Básica
Profr. Noé Arciniega Lora
Encargado del Despacho de la Dirección General de Desarrollo Curricular
Dr. Roberto I. Diez Gutiérrez de la Parra
Director General de Proyectos y Programas de Apoyo a la Educación
Profra. Flora Cervantes Reyes
Directora de Educación Primaria
Profr. Juan Lara Sánchez
Director de Educación Indígena
Profr. Fidel Pioquinto Bibiano
Subdirector de Educación Primaria Indígena
Profr. Francisco Torres Ferra
Director de Educación Secundaria General
Profr. José Valdemar García Sánchez
Director de Educación Secundaria Técnica
Profr. Hazael Oviedo Terán
Director de Educación Telesecundaria
Dra. Teresa Rojano Ceballos
Investigadora Titular del Departamento de Matemática Educativa del
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN
Coordinadora General de EMAT y ECAMM Nacional
Profra. Ma. Guadalupe Flores Barrera y
Profr. Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa Enseñanza de las Matemáticas y
Ciencias con Tecnología para la Educación Básica,
Propuesta Hidalgo (EMAyCIT-Hidalgo)
124
Notas
125
Notas
126
Notas
127
Notas
128