1. No category

Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
TEMA 4
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.- Modelo geocéntrico y modelo heliocéntrico
2.- Leyes de Kepler.
3.- Momento angular o cinético.
I. Teorema de conservación.
4.- Ley de la gravitación universal
I. Fuerzas centrales.
II. Principio de superposición.
5.- Justificación de las leyes de Kepler.
6.- Deducción de la ley de la gravitación universal a partir de las leyes de Kepler.
7.- Teoría de campos.
8.- Campo gravitatorio.
I. Principio de superposición.
II. Campo gravitatorio terrestre.
III. Peso de los cuerpos.
IV. Líneas de campo gravitatorio.
9.- La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.
10.- Energía potencial gravitatoria.
I. Energía potencial de un sistema de masas.
II. Energía potencial gravitatoria terrestre
11.- Potencial gravitatorio
I. Superficies equipotenciales.
12.- Diferencia de potencial entre dos puntos.
I. Trabajo para trasladar una masa m de un punto a otro en un campo
gravitatorio.
13.- Movimiento de satélites y planetas. Velocidad orbital de un satélite.
14.- Energía mecánica de un satélite.
I. Energía necesaria para poner un satélite en órbita.
II. Energía que hay que comunicar para cambiar de órbita a un satélite.
15.- Velocidad de escape.
1
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
1.- Modelo geocéntrico y modelo heliocéntrico.
La idea del movimiento de los planetas y cuerpos celestes ha estado dividida en la
antigüedad en dos teorías: la teoría geocéntrica y la teoría heliocéntrica.
Teorías geocéntricas.
Consistían en considerar la Tierra como el centro del Universo y todos los demás
astros, incluido el Sol, se movían alrededor de ella.
El universo, según Aristóteles, estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y
concéntricas. La Tierra ocupaba el centro del universo y es la región llamada sublunar. Es la
región de los elementos fuego, aire, agua y tierra. Más
lejos, en la región celestial, se encuentran los astros
situados en esferas concéntricas con la Tierra y
realizando movimientos circulares, uniformes y
perpetuos.
Según Ptolomeo de Alejandría, la Tierra seguía
estando inmóvil en el centro del universo y los planetas
describían epiciclos, que eran trayectorias circulares
alrededor de un punto que, a su vez, describía otra
trayectoria circular alrededor de la Tierra, estando ésta
en el centro de dicha trayectoria. La trayectoria circular
descrita por el centro del epiciclo se llama deferente.
Teorías heliocéntricas.
Consideran al Sol como fuente necesaria de calor y de vida, colocado en el centro del
universo.
Copérnico sitúa al Sol en el centro del sistema y todos los
planetas, incluyendo la Tierra se mueven alrededor de él,
describiendo órbitas circulares. La teoría de Copérnico fue
denunciada como falsa y opuesta a las Sagradas Escrituras.
Martín Lutero le acusó de loco y hereje.
Los personajes que más influyeron en el asentamiento de la
teoría heliocéntrica fueron Galileo Galilei y Kepler. Las
ideas de Galileo sobre el sistema heliocéntrico del universo le
acarrearon problemas con la Inquisición, hasta el punto de
que se le forzó a la abjuración de esta teoría, después de
juicios, encarcelamientos y torturas.
El primer astrónomo que realizó mediciones astronómicas precisas sobre el movimiento de
los planetas fue el danés Tycho Brahe, cuyos datos sirvieron de base al alemán Kepler,
discípulo suyo, para que enunciara sus leyes, tras las cuales se aceptó definitivamente el
modelo heliocéntrico.
2
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
2.-Leyes de Kepler.
Apoyándose en los trabajos de Brahe, Johannes Kepler, enunció sus tres leyes
empíricas que rigen el movimiento de los planetas y son las leyes en las que se apoyó
Newton para la ley de la gravitación universal.
1ª. Ley de las órbitas
Los planetas giran alrededor del
Sol describiendo órbitas elípticas, de
manera que el Sol se encuentra en uno
de los focos de la elipse descrita.
2ª. Ley de las áreas.
Las áreas barridas por el radio vector, que une
el Sol con un planeta, en tiempos iguales son iguales,
es decir, dichas áreas son directamente proporcionales
a los tiempos empleados en describirlas. Se dice
entonces que la velocidad areolar del planeta (área
barrida por el vector de posición del planeta respecto
dS
del Sol en la unidad de tiempo,
) es constante.
dt
3ª. Ley de los períodos.
Los cuadrados de los períodos del movimiento de
los planetas en su movimiento alrededor del Sol son
directamente proporcionales a los cubos de los semiejes
mayores o radios medios de sus órbitas respectivas.
T12 T22
=
R13 R23
Esta ley también es aplicable al movimiento de un
conjunto de satélites alrededor de un astro central
Las dos primeras leyes se justificarán más adelante, a partir del teorema de
conservación del momento angular y, la tercera, a partir de la ley de Newton de la
gravitación universal.
3.- Momento angular o cinético.
Supongamos una partícula, de masa m, en movimiento siguiendo una trayectoria
r
cualquiera. Sea v su velocidad en un instante dado y siendo su momento lineal o cantidad de
r
r
movimiento p = m.v .
3
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Se define momento angular o cinético de la partícula con respecto al punto O y se representa
r
por L , al producto vectorial:
r r r
L = r ∧ p;
r r
r
L = r ∧ mv
r
Siendo r el vector de posición de la partícula respecto
del punto O, que tiene por origen el punto O y por
r
extremo el origen del vector fuerza, y v es el vector
velocidad de la partícula.
El momento angular o cinético es, por lo tanto, un vector
r r
perpendicular al plano formado por los vectores r y v ,
cuyo módulo es: L = r.m.v.senφ , donde φ es el ángulo
r r
formado por los vectores r y v y cuyo sentido viene
dado por la regla de Maxwell o del sacacorchos, que coincide con el de avance de un
r
sacacorchos que gire en el mismo sentido que se debe girar el vector r para hacerlo
r
coincidir con el vector v , girándolo por el camino más corto.
Aplicando lo anterior, si una partícula se mueve con movimiento rectilíneo, el
momento cinético respecto de un punto cualquiera de su trayectoria es nulo, ya que φ = 0 .
3.I.-Teorema de conservación del momento angular o cinético.
Si se calcula la variación del momento angular respecto al tiempo, derivando la
r
expresión de L respecto al tiempo:
r
r
r
r r r
dL dr r r dp r
=
∧ p+r ∧
= v ∧ mv + r ∧ F
dt
dt
dt
r
r
dr r
dp r
Se ha tenido en cuenta que
=v y
=F
dt
dt
r
r
El producto vectorial v ∧ mv = 0 , ya que se trata de dos vectores paralelos. Recordando que
r
el vector momento de un vector respecto de un punto, M , es el producto vectorial del vector
r
r r
de posición por dicho vector, entonces r ∧ F , será M , el momento del vector fuerza, con lo
que queda:
r
r
dL r r
=r ∧F =M
dt
r
r
r
dL
Si M = 0, entonces
= 0 y L es constante.
dt
Si el momento de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo respecto de un punto es
cero, el momento angular respecto del mismo punto permanece constante
4
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
4.- Ley de la gravitación universal
Suponiendo que las órbitas de los planetas eran circulares y siguiendo las leyes de
Kepler, Newton dedujo la ley de la gravitación universal.
La suposición de que las órbitas eran circulares no es muy
errónea si se tiene en cuenta que la mayoría de las órbitas
de los planetas son, aproximadamente circulares, por
ejemplo, la razón del semieje menor al semieje mayor de la
b
órbita terrestre es = 0,9998
a
La ley de la gravitación universal se puede enunciar como sigue:
Dos cuerpos cualesquiera en el Universo se atraen mutuamente con una fuerza
que es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que separa sus centros.
Al ser la fuerza una magnitud vectorial, su módulo se
puede expresar matemáticamente:
F =G
m1.m2
r122
Y el vector, teniendo en cuenta su dirección y sentido se
dibujaría de forma que la dirección coincida con la de la recta
que une las dos masas y el sentido vendrá marcado por la atracción que cada masa
experimenta por acción de la otra.
La constante G, llamada constante de la gravitación universal, tiene como valor
N .m 2
6,67.10 −11
.
Despejando G del valor del módulo de la fuerza en la ley de la
kg 2
gravitación universal, se puede deducir su significado físico:
G=
F .r122
m1.m2
Si en esta expresión se da a m1 y a m2 valores de 1 kg y a r12 valor de 1 m, se puede
decir que G es la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg cada una, separadas una
distancia de 1m.
4.I.- Fuerzas centrales.
Se llama fuerza central aquella que siempre
está dirigida hacia un mismo punto, llamado centro de
fuerzas, cualquiera que sea la posición de la partícula
sobre la que está actuando. Por lo tanto, la fuerza de
atracción del Sol sobre los planetas es una fuerza
central.
Para fuerzas centrales el momento angular permanece constante ya que, en cualquier
posición, la dirección del vector fuerza coincide con la dirección del vector de posición.
5
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
4.II.- Principio de superposición.
Si se tiene un conjunto de partículas, la fuerza gravitatoria que actúa sobre una de las
masas es igual a la suma vectorial de las fuerzas producidas sobre ella por cada una del resto
de las partículas del sistema:
r r r
r
F = F1 + F2 + F3 + ...
Para calcular la fuerza resultante sobre una masa se
elige un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con
dicha masa, se dibujan los vectores fuerza que actúan sobre
ella y se utiliza la descomposición vectorial en función de
r r r
los vectores unitarios i , j , k .
Recordamos que la expresión general de cualquier
vector es:
r
r
r
r
a = ax i + a y j + az k
Actividad 1.- Tres masas puntuales de 3, 8 y 2 kg se encuentran situadas en los puntos (0,3);
(4,0) y (0,0), respectivamente, de un sistema de coordenadas en el que las distancias vienen
expresadas en metros. Calcula la fuerza gravitatoria que actúa sobre la masa situada en el
origen de coordenadas.
Actividad 2.- En cada uno de los tres vértices consecutivos de un cuadrado de 2 m de lado,
se encuentra una masa de 4 kg. Calcula la fuerza que actúa sobre una masa de 2 kg situada
en el cuarto vértice.
5.- Justificación de las leyes de Kepler.
1ª ley de Kepler o ley de las órbitas.
Ya hemos visto que la fuerza gravitatoria de atracción del Sol sobre los planetas es
una fuerza central y, por lo tanto, el vector momento cinético de un planeta respecto del Sol
permanece constante a lo largo de su trayectoria.
r
Si la dirección y el sentido del vector L son constantes, los vectores están contenidos
en un mismo plano y la trayectoria será una curva plana que coincide con la idea de que la
trayectoria es una elipse.
2ª ley de Kepler o ley de las áreas.
Vamos a demostrarla basándonos también en que las fuerzas gravitatorias son
fuerzas centrales y que cumplen, por lo tanto, el principio de conservación del momento
angular.
Recordamos que la ley de las áreas indica: Las áreas descritas (barridas) por el
radio vector que une el Sol con un planeta en tiempos iguales son iguales.
6
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Supongamos que un planeta pasa de la posición M a la M’ en un tiempo
r
infinitesimal, dt. En ese tiempo el vector de posición r ha descrito un área dA, que es el
área de un triángulo:
dA =
1
1
r.h = r.dr.senϑ ; r.dr.senϑ = 2.dA
2
2
(I )
Recordando el módulo del momento angular:
L = r.m.v.senϑ = r.m.
Se ha considerado que v =
dr
senϑ
dt
dr
dt
Utilizando la expresión (I) resulta: L = 2.m
Por lo que
dA
L
=
;
dt 2m
dA
dt
al ser el módulo del momento angular, L, constante y m también
dA
= constante
dt
quedaría la expresión:
Esto significa que no hay variación del área barrida con respecto al tiempo y, por lo tanto, las
áreas barridas en tiempos iguales son iguales.
dA
recibe el nombre de velocidad areolar y entonces la ley de las áreas
dt
también se puede enunciar de la siguiente forma: “Cualquier partícula que se mueva bajo el
efecto de una fuerza central lo hace con una velocidad areolar constante”.
El término
1
v.r y se mide en m 2 .s −1
2
Cuando un planeta se mueve alrededor del Sol, las
posiciones más cercana y más alejada del planeta
respecto del Sol, se denominan perihelio y afelio,
respectivamente.
Si un planeta tarda el mismo tiempo en pasar de
P1 a P1' (afelio) que en pasar de P2 a P2' (perihelio),
según la ley de las áreas se debe cumplir que A1 = A2 .
En los triángulos mixtilíneos (triángulos con un
lado curvo) de la figura se cumple que:
La velocidad areolar es
1
v1t.r1
2
1
A2 = v2 .t.r2
2
A1 =
7
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Igualando y simplificando resulta:
v1.r1 = v2 .r2 ;
v1 〈 v 2
como r1 〉 r2 ,
entonces se cumple que
Un planeta va más rápido en perihelio que en
afelio.
Si consideramos una órbita circular en el movimiento de
un planeta, éste se moverá con movimiento uniforme. Ya
que al ser r1 = r2 , ⇒ v1 = v 2
Actividad 3.- El satélite artificial “Explorer I”, de masa 2000 kg, presentaba en el perihelio
una velocidad de 29600 km/h, cuando su distancia a la superficie terrestre era de 360 km.
Tomando como valor del radio de la Tierra 6370 km, calcula:
a) El momento cinético del satélite respecto al centro de la Tierra.
b) La velocidad que tenía en el afelio, sabiendo que entonces se hallaba a una distancia
de 2500 km.
Actividad 4.- Calcula la velocidad areolar de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol,
suponiendo la órbita circular de radio 1,5.1011 m.
3ª ley de Kepler o ley de los períodos.
Considerando la órbita circular, el planeta se mueve con una aceleración centrípeta
comunicada por la fuerza gravitatoria de atracción del Sol sobre dicho planeta. Aplicando la
ecuación fundamental de la Dinámica:
r
r
∑ F = m .a
p
c
Puesto que la fuerza gravitatoria y la aceleración centrípeta
tienen la misma dirección y sentido, trabajamos con
módulos:
G
M sol .m p
r
2
= mp
v2
r
⇒ G
MS
= v2
r
El planeta al moverse en una órbita circular lo hace con el módulo de la velocidad constante,
es decir, con movimiento uniforme (ley de las áreas) y:
v=
s 2.π .r
=
;
t
T
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior:
M S 4π 2 .r 2
G
=
r
T2
8
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Haciendo operaciones queda:
T2
4.π 2
=
= constante = k
r 3 G.M S
Ecuación que representa la ley de los períodos.
Actividad 5.- Marte tiene dos satélites, Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios de 9400
y 23500 km, respectivamente. Fobos tiene un período de 7,7 horas. ¿Cuánto tiempo tarda
Deimos en dar una vuelta alrededor del planeta?
6.- Deducción de la ley de la gravitación universal a partir de las leyes de Kepler.
SI se considera que la órbita de un planeta en su
movimiento alrededor del Sol es circular, por la ley de las
áreas:
S1 = S2 ⇒ v1.r1 = v2 .r2 . Al ser r1 = r2 , ⇒ v1 = v 2
El movimiento del planeta es uniforme y su período será:
2.π .r
T =
v
La aceleración normal o centrípeta de un planeta que gira
en una órbita de radio R1 es:
a1 =
v12 4.π 2 .R12 4.π 2 .R1
= 2
=
R1
T1 .R1
T12
La aceleración para otro planeta cuya órbita tenga un radio R2 es:
a2 =
4π 2 .R2
T22
a1 R1.T22
Dividiendo el valor de las aceleraciones de los dos planetas:
=
a2 R2 .T12
Aplicando la 3ª ley de Kepler:
T22 R23
=
T12 R13
a1 R22
Se obtiene para la relación entre las aceleraciones:
=
a2 R12
Se deduce que: a1.R12 = a2 .R22
9
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Para cualquier planeta se puede escribir: a.r 2 = k , es decir, a =
k
r2
La aceleración en el movimiento de un planeta es inversamente proporcional al
cuadrado de la órbita que describe y, por lo tanto, la fuerza será también inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia:
F = m.a = m
k
r2
Si a k se le da el valor k = G.M S , siendo MS, la masa del Sol, se obtiene la ley de la
gravitación universal:
F =G
M S .m
r2
7.- Teoría de campos.
Se entiende por campo aquella región del espacio en la que en cada punto se puede
determinar el valor de una magnitud física. Si la magnitud es escalar, el campo es escalar,
como el campo de temperaturas del aula; mientras que, si la magnitud es vectorial, el campo
es vectorial, como el campo de fuerzas gravitatorias en una región.
Los campos vectoriales se pueden representar mediante las llamadas líneas de
campo o líneas de fuerza (en el caso de que sea un campo de fuerzas) que son líneas que se
dibujan de forma que sean tangentes en todo punto al vector que representa la magnitud del
campo.
Las líneas de campo no pueden cortarse, ya que si fuera así, supondría la existencia
de dos valores del campo en el mismo punto, cosa que no puede ser.
Para que las líneas de campo den información sobre el módulo del vector que define
el campo, el número de líneas se dibuja de manera que su densidad (cantidad de líneas por
unidad de área) sea proporcional a dicho módulo.
8.- Campo gravitatorio.
En una región se dice que existe un campo gravitatorio debido a una masa M si otra
masa colocada en cualquier punto de dicha región experimenta una fuerza gravitatoria por
acción de la masa M que crea el campo.
El campo gravitatorio viene definido por un vector llamado intensidad de campo
gravitatorio o simplemente campo gravitatorio,
que se define como la fuerza ejercida por la masa a
la que se debe el campo sobre la unidad de masa
colocada en el punto en el que se desea calcular la
r
intensidad de campo. Se representa por g
10
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Para una masa M colocada a una distancia r del punto en el que se va a calcular la
r
intensidad de campo gravitatorio, el módulo del vector g viene dado por:
G.M
g= 2
r
La dirección del vector es la de la recta que une la masa M con el punto y el sentido
va dirigido hacia la masa m que crea el campo, para indicar de esa forma la atracción que
ejercería m sobre la unidad de masa colocada en el punto.
8.I.- Principio de superposición.
Si se tiene un conjunto de masas y se quiere
calcular la intensidad de campo (o el campo) total en
un punto dado se realizará la suma vectorial de todos
los vectores campo debidos a cada una de las masas
en dicho punto.
r r r
r
g = g1 + g 2 + g 3 + ...
Actividad 6.- Determina el campo gravitatorio en el punto P(10,5) de un sistema de
coordenadas, en el que las distancias se miden en metros, producido por tres masas de 10, 5
y 3 kg colocadas en los puntos (0,0); (0,5) y (10,0), respectivamente.
8.II.- Campo gravitatorio terrestre.
Si la masa m a la que se debe el campo y que va a ejercer una fuerza sobre cualquier
otra masa colocada en un punto de la región del campo, fuera la masa de la Tierra, al campo
se le denomina campo gravitatorio terrestre, cuyo módulo vendría dado por:
g=
GM T
RT2
La dirección del vector campo sería la de la recta que una el
punto donde se quiere calcular el campo con el centro de la
Tierra y el sentido estaría dirigido hacia el centro de la Tierra.
La expresión anterior da el valor del módulo del campo
gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra.
Variación de g con la altura.
Si se considera un punto situado a una altura h sobre la superficie terrestre, el módulo de la
intensidad de campo sería:
g=
G.M T
(RT + h )2
En esta expresión se observa que el valor de g disminuye con la altura.
11
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Variación de g con la profundidad.
Supongamos un punto en el interior de la Tierra, situado a una profundidad h
respecto a la superficie terrestre y a una distancia r del
centro de la Tierra, tal que r = RT − h
G.m
siendo m la
r2
masa correspondiente a la esfera de radio r.
Considerando la densidad de la Tierra como uniforme,
se puede escribir:
El valor de g en ese punto es: g =
4
m = ρ .V ' = ρ π .r 3 ;
3
4
M T = ρ .VT = ρ π .RT3
3
Comparando el valor de la intensidad de campo gravitatorio a una profundidad h con el valor
en la superficie terrestre y sustituyendo los valores de m y MT:
4 3
G.m
π .r .ρ .RT2
2
2
.
gh
m
R
r
R −h
T
= r
=
= 3
=
= T
2
4
g 0 G.M T
M T .r
RT
π .RT3 .ρ .r 2 RT
2
3
RT
Despejando el valor de g a la profundidad h, que hemos representado por gh:
gh = g0
RT − h
RT
8.III.- Peso de los cuerpos.
Se define peso de un cuerpo como la fuerza con la que la Tierra lo atrae. Aplicando la
ley de la gravitación universal:
G.M T .m
P=
= m.g
(RT + h )2
Siendo m la masa del cuerpo y h la altura a la que se encuentra sobre la superficie terrestre.
Si se encuentra sobre la superficie, entonces h = 0 .
El módulo del peso será variable, porque depende de h.
De igual forma que el vector intensidad de campo gravitatorio terrestre está dirigido
hacia el centro de la Tierra (fuerza central) y será considerado como un vector vertical y
dirigido hacia abajo, el vector peso también será un vector vertical y dirigido hacia abajo,
para indicar que se dirige al centro de la Tierra.
12
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Actividad 7.- ¿Cuánto vale el campo gravitatorio de un cuerpo de 200 kg en un punto que se
encuentra a 10 m de su centro?
Actividad 8.- ¿A qué distancia de un cuerpo de masa 3m tiene el campo gravitatorio el
mismo valor que a una distancia r de un cuerpo de masa m?
Actividad 9.- ¿A qué altura sobre la superficie terrestre hay que elevarse para que la
intensidad de campo disminuya en un 10%?
Actividad 10.- ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se reduce el peso de Lola al 80%?
Actividad 11.- Si Júpiter tiene una densidad media de 1,34 g/cm3 y un radio de 7,18.10 4
km. ¿Cuál es el valor del campo gravitatorio en la superficie de Júpiter?
8.IV.- Líneas de campo gravitatorio.
Al ser el campo gravitatorio un campo de fuerzas y, por lo tanto, un campo vectorial
se puede representar mediante sus líneas de campo o líneas de fuerza, que recordamos que se
dibujan de tal forma que sean tangentes al vector intensidad de campo en cada punto.
Se han representado las líneas de campo o de fuerza para una masa aislada, para dos masas
iguales y para dos masas diferentes. En el caso de dos masas, cuando son iguales, llegan el
mismo número de líneas a cada una; cuando son diferentes, el número de líneas que llegan a
cada una es distinto, siendo mayor para la masa más grande.
9.- La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.
Calculemos el trabajo para trasladar una
partícula de masa m desde un punto A a otro punto B,
dentro del campo gravitatorio creado por una masa M.
Consideremos la trayectoria APB, para ir de la posición
inicial a la final.
WA → B = WA→ P + WP → B =
∫
P
A
r r Br r
F .dr + ∫ F .dr =
P
∫
P
A
B
F .dr. cos180º + ∫ F .dr. cos 90º
P
Como cos 90º=0, resultará:
13
Física de 2º Bachillerato.
WA → B
Tema 4. Interacción gravitatoria
P
P dr
G.M .m
 1
dr = −G.M .m ∫ 2 = −G.M .m − 
= ∫ − F .dr = ∫ −
2
A
A
A r
r
 r A
P
P
Calculando el valor numérico de la integral, considerando que en A, r = rA y en P, r = rP y
que además se cumple que rP = rB :
 1  1  G.M .m G.M .m
WA → B = −G.M .m − −  −  =
−
rB
rA
 rB  rA 
A continuación calculemos el trabajo para trasladar la
partícula de masa m desde el punto A al B, siguiendo la
trayectoria AP’B, es decir, siguiendo otra trayectoria
distinta:
WA → B = WA → P ' + WP '→ B =
WA → B =
∫
B
P'
∫
P'
A
− F .dr =
r r Br r
F .dr + ∫ F .dr =
P'
∫
B
P'
∫
P'
A
B
F .dr. cos 90º + ∫ F .dr. cos180º
P'
B
−
B dr
G.M .m
 1
dr = −G.M .m ∫ 2 = −G.M .m − 
2
P' r
r
 r  P'
Calculando el valor numérico de la integral, considerando que en B, r = rB y en P’, r = rP ' y
que además se cumple que rP ' = rA :
WA → B =
G.M .m  G.M .m 
G.M .m G.M .m G.M .m G.M .m
 = −
+
=
−
− 
rB
rA
rB
rB
rA
 rA 
Se observa que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para llevar la partícula desde A
hasta B por el camino 1 (trayectoria APB) es el mismo que para llevarla desde hasta B por el
camino 2 (trayectoria AP’B), por lo tanto el trabajo no depende de la trayectoria seguida y la
fuerza gravitatoria es conservativa
El trabajo en el movimiento de ida es igual al del movimiento de vuelta con signo
negativo
WB → A = −WA→ B =
G.M .m G.M .m
−
rA
rB
Sumando el trabajo de ida, WA → B al trabajo de vuelta, WB → A , para calcular el trabajo total
realizado en el movimiento de ida y vuelta, se obtiene:
WTotal = WA→ B + WB → A =
G.M .m G.M .m G.M .m G.M .m
−
+
−
=0
rB
rA
rA
rB
14
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria a lo largo de una trayectoria cerrada, en
un movimiento de ida y vuelta, es cero y, por lo tanto, la fuerza gravitatoria es una fuerza
conservativa.
Este resultado es válido para todas las fuerzas centrales.
Así pues, como se verá en las fuerzas eléctricas al ser
también fuerzas centrales, también serán conservativas y el
trabajo realizado por ellas no dependerá de la trayectoria
seguida sino únicamente de las posiciones inicial y final, o
lo que es lo mismo, que el trabajo realizado por la fuerza a
lo largo de un ciclo cerrado es cero.
10.- Energía potencial gravitatoria.
Por ser la fuerza gravitatoria conservativa, se cumple:
WA → B = − ∆Ep = −(EpB − Ep A ) = Ep A − EpB
Si comparamos esta expresión con la obtenida en el apartado anterior:
WA → B = Ep A − EpB = −
G.M .m  G.M .m 

−  −
ra
rB 

Se puede asociar a un sistema de dos masas m1 y m2
separadas una distancia rB un valor de energía
potencial:
Ep = −
G.m1.m2
rB
Si r → ∞ , la energía potencial: Ep → 0 , por lo que tomando como origen de energía
potencial el infinito:
WB → ∞ = −∆Ep = EpB − Ep∞ = −
G.m1.m2
G.m1.m2
− (− 0 ) = −
= EpB
rB
rB
Podemos decir que la energía potencial asociada a dos masas puntuales, separadas una
distancia r representa el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para separar una masa hasta
el infinito dentro del campo creado por la otra, es decir,
permaneciendo ésta inmóvil, o lo que es lo mismo, sería el trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria para separarlas infinitamente
una de la otra.
Observando la expresión de la energía potencial se deduce
que cuando dos masas se aproximan, la energía potencial
disminuye, mientras que si las partículas se alejan, la energía
potencial aumenta.
15
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
La energía potencial gravitatoria siempre tiene valores negativos. Adquiriendo el
máximo valor en el infinito que es cero.
La energía potencial es una magnitud escalar y se mide en el S.I. en Julios (J)
Actividad 12.- Dos partículas de masas 2 y 4 kg se encuentran separadas 20 cm. Calcula:
La energía potencial del sistema.
El trabajo de la fuerza gravitatoria para aumentar la separación de las partículas a 60
cm.
El trabajo de la fuerza gravitatoria para llevar una partícula hasta el infinito
Actividad 13.- ¿Cuál es el valor de la energía potencial de un satélite de 104 kg de masa,
situado en una órbita alrededor de la Tierra a una altura sobre la superficie de 200 km?
M T = 5,98.10 24 kg ; RT = 6370km
10.I.- Energía potencial de un sistema de masas.
Si hubiera un sistema formado por más de dos masas, la energía potencial del sistema
sería la suma de la energía potencial de cada pareja de masas:
EpT = Ep1 + Ep2 + Ep3 + ...
Actividad 14.- Calcula la energía potencial de un sistema formado por tres masas de valores
2, 4 y 6 kg, colocadas en los puntos (0,0); (0,3) y (4,0), respectivamente, de un sistema de
coordenadas expresadas en metros.
10.II.- Energía potencial gravitatoria terrestre.
El valor de la energía potencial gravitatoria para un
cuerpo de masa m respecto a la Tierra es:
G.M T .m
Ep = −
, siendo R la distancia
R
que separe la masa m del centro de la Tierra. R = RT + h .
Estudiemos la variación que experimenta la energía
potencial gravitatoria cuando elevamos un cuerpo desde la
superficie terrestre hasta una altura h, suponiendo RT 〉〉〉 h , es
decir, al elevarlo a una altura relativamente pequeña comparada
con el radio terrestre.
∆Ep = −
 1
G.M T .m  G.M T .m 
1 
 = G.M T .m

−  −
−
RT + h 
RT 
 RT RT + h 
(10.II)
 R + h − RT 
h
 = G.M T .m
∆Ep = G.M T .m T
;
RT (RT + h )
 RT (RT + h ) 
16
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Multiplicando y dividiendo por RT queda:
R .h
m.g.RT .h
G.M T
∆Ep = G.M T .m 2 T
=
; se ha tenido presente que g =
RT + h
RT2
RT .(RT + h )
Si RT 〉〉〉 h; se puede hacer la aproximación RT + h ≈ RT y resulta:
∆Ep = mgh
Esta ecuación es válida mientras g permanezca constante, o sea, mientras que los
desplazamientos de los cuerpos sean pequeños comparados con el radio de la Tierra. Para
grandes alturas se debe utilizar la ecuación (10.II)
11.- Potencial gravitatorio
El potencial gravitatorio debido a una masa m en un punto situado a una distancia r
de ella es el trabajo para trasladar la unidad de masa desde el punto al infinito, es decir,
representa la energía potencial por unidad de masa. Es una magnitud escalar y su unidad en
el S.I, es J/kg.
V =
Ep WP → ∞
G.m
=
=−
m
m
r
El potencial gravitatorio en función de r tendrá una representación similar a la de la energía
potencial. El potencial siempre toma valores negativos y va creciendo conforme aumenta la
distancia del punto a la masa para la que se calcula el potencial y alcanza su máximo valor,
0, en el infinito.
Si en lugar de considerar solo una masa, se
calcula el potencial creado por varias masas en el mismo
punto, entonces el potencial será la suma escalar de todos
los potenciales de cada una de las masas en el punto
considerado.
VT = V1 + V2 + V3 + V4
11.I.- Superficies equipotenciales.
Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen el
mismo valor de potencial, que serán aquellos que están situados a la misma distancia de la
masa. Para una masa puntual las superficies equipotenciales son superficies esféricas con
centro en la masa.
Las líneas de campo, al ser radiales serán perpendiculares a la superficie
equipotencial.
17
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
12.- Diferencia de potencial entre dos puntos.
Dados dos puntos A y B se calcula la diferencia de potencial entre ellos de la
siguiente forma:
VA − VB = −
G.m  G.m 
 = −(VB − VA )
−  −
rA
r

B 
1 1
VA − VB = −G.m − 
 rA rB 
12.I.- Trabajo para trasladar una masa m de un punto a otro en un campo gravitatorio.
Por ser el campo gravitatorio conservativo se cumple:
W = −∆Ep = −(EpB − Ep A ) = Ep A − EpB = m.VA − m.VB = m(VA − VB )
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar una masa m desde un
punto A a otro B es igual al producto de la masa que se traslada por la diferencia de
potencial entre el punto inicial y el final.
Actividad 15.- Dos masas puntuales de 3 kg y 4 kg están situadas en los puntos (0,0) y (6,0)
de un sistema de coordenadas, en el que las distancias se miden en metros. Calcula el trabajo
necesario para llevar otra masa de 2 kg desde el punto (3,4) al punto (3,0).
13.- Movimiento de satélites y planetas. Velocidad orbital de un satélite.
Supongamos un satélite que gira en una órbita circular alrededor de un planeta, por
ejemplo, la Tierra.
Al describir una órbita circular estará sometido a una
aceleración normal, de dirección radial y dirigida hacia el
centro de la trayectoria y para que se cumpla la ecuación
fundamental de la Dinámica, cuando la masa es constante:
r
r
F = m.a , debe actuar una fuerza en la misma dirección y
sentido, que será la fuerza de atracción gravitatoria entre el
planeta y el satélite. Sustituyendo los valores de los módulos
de la fuerza y la aceleración centrípeta, queda:
G.Mm
v2
=m
r2
r
Ecuación en la que M es la masa del planeta, m es la masa del satélite y r es el radio de la
órbita, medido desde el centro del planeta.
Despejando la velocidad del satélite en la órbita o velocidad orbital:
18
Física de 2º Bachillerato.
v=
Tema 4. Interacción gravitatoria
G.M
=
r
G.M
Rp + h
RP es el radio del planeta y h la altura a la que orbita
el satélite, es decir, la distancia del satélite a la
superficie del planeta.
Al tiempo que tarda un satélite en describir
una órbita se le llama período y vale:
T =
2.π .(RP + h )
v
14.- Energía mecánica de un satélite.
La energía mecánica de un satélite será la suma de su energía cinética y su energía
potencial:
Em = Ec + Ep
Sustituyendo el valor de la velocidad del satélite en la órbita, deducido en el apartado 13, en
la energía cinética y considerando el valor de la energía potencial:
m.v 2
G.M .m
G.M .m
Ec =
=
;
Ep = −
2
2( R P + h )
RP + h
Em =
G.M .m  G.M .m 
G.M .m
G.M .m
 = −
+  −
=−
2(RP + h )  RP + h 
2(RP + h )
2R
Siendo R = RP + h
Cuando sobre un cuerpo que se desplaza entre dos posiciones distintas de un campo
gravitatorio, solo actúa la fuerza gravitatoria, la energía mecánica permanece constante
durante el desplazamiento.
∆Em = 0;
Em1 = Em2 ; ⇒ Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
m.v12 G.M .m m.v22 G.M .m
−
=
−
2
R1
2
R2
Actividad 16.-Un meteorito de 1000 kg de masa, se encuentra en reposo a una distancia
sobre la superficie de la Tierra igual a cinco veces el radio terrestre. Despreciando el
rozamiento con el aire, calcula la velocidad con la que llegará a la superficie terrestre.
RT = 6370 km;
g 0 = 9,8m / s 2
19
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
14.I.- Energía necesaria para poner un satélite en órbita.
La energía cinética que es preciso comunicar a un satélite en la superficie de la Tierra
(si fuera desde otro planeta se cambiarían la masa y el radio de la Tierra por los del planeta
considerado) para ponerlo en órbita a una altura h se calcula teniendo en cuenta el principio
de conservación de la energía mecánica.
Em órbita = Em sup erficie
m.v o2 G.M T .m
G.M T .m
(Ec O + Ep O ) = (Ep S + Ec S ) =
−
=−
+ Ec
2
RT + h
RT
Sustituyendo el valor de la velocidad orbital y haciendo operaciones:
W (que hay que realizar ) = Ec = −
G.M T .m G.M T .m
G.M T .m G.M T .m
+
=−
+
;
2.( RT + h)
RT
2 .R
RT
con R = RT + h
14.II.- Energía que hay que comunicar para cambiar de órbita a un satélite.
Si se pretende trasladar un satélite de masa m desde una órbita de radio R1 a otra
órbita de radio R2, se verifica:
W (para cambiar de órbita ) = Ec(que se debe comunicar) = Emórbita 2 − Emórbita1
Recordamos que la energía mecánica en una órbita será la suma de la energía cinética y
potencial en dicha órbita. Para la energía cinética, se tendrá en cuenta el valor de la
velocidad del satélite en dicha órbita y, para la energía potencial, el valor del radio de la
órbita.
Actividad 17.- Se lanza un satélite artificial, de 600 kg de masa, desde la superficie de la
Tierra para que alcance una órbita de 8000 km de radio. ¿Qué energía se le debe comunicar
para ponerlo en órbita? Si una vez colocado en esa órbita, se decide cambiar de órbita
encendiendo los cohetes propulsores, y el radio de la nueva órbita es de 10000 km, calcula la
energía que se ha debido comunicar para que se produzca el paso de una órbita a otra.
RT = 6370 km;
g 0 = 9,8m / s 2
15.- Velocidad de escape.
Se define velocidad de escape, ve, como la velocidad que se debe comunicar a un
cuerpo para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.
A medida que el cuerpo se aleja de la Tierra aumenta su energía potencial mientras
que su energía cinética disminuye, de forma que la energía mecánica permanezca constante,
por tratarse de un campo conservativo. Cuando la energía potencial alcance su máximo
valor, 0, la energía cinética alcanzará su mínimo valor, 0.
20
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:
Em1 = Em2
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
m.ve2  G.M T .m 
 = 0+0
+  −
2
RT 

m.ve2 G.M T .m
=
2
RT
ve =
2.G.M T
RT
(15)
La velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo que se lanza.
Si un cuerpo se lanza con una velocidad igual a la velocidad de escape su energía mecánica
es cero.
Si se lanzara el cuerpo desde otro planeta se cambiarían la masa y el radio de la Tierra por
los del planeta de que se trate.
En la ecuación (15) multiplicando y dividiendo el radicando por RT2 :
ve = 2.g 0 .RT
21
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
EJERCÍCIOS DEL TEMA IV
1.
Si la Tierra redujese su radio a la mitad conservando su masa, ¿cuál sería la
intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra?
2. Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna
en el que se anulan las dos fuerzas gravitacionales. Calcula la distancia de ese punto
al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre el centro de la Tierra y el centro
de la Luna es de 3,8.105 km y que la masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna.
3. El radio de la Tierra es 6370 km. Si elevamos un objeto de 20 kg a una altura de 160
km sobre la superficie de la Tierra, ¿cuánto pesará el objeto a esa altura?
2
2
M T = 6.10 24 kg. G = 6,67.10-11 N.m /kg
4. Si el momento angular de una partícula respecto a un punto permanece constante,
¿implica esto que sobre la partícula no actúa fuerza alguna? Razona la respuesta.
5. Se lanza un cuerpo de 1000 kg, desde la superficie terrestre verticalmente hacia
arriba, con una velocidad de 6000 m/s. ¿Qué altura alcanzará?
2
2
RT=6370 km. M T = 6.10 24 kg. G = 6,67.10-11 N.m /kg
6. Suponiendo que la Tierra describe en torno al Sol una órbita circular de radio 1,5.1011
2
2
metros, calcula la masa del Sol. G = 6,67.10-11 N.m /kg
7. Un satélite se dice que es sincrónico cuando tiene el mismo período de revolución
que el período de rotación de la Tierra. El satélite se dice entonces que está en órbita
geoestacionaria porque se encuentra siempre en la vertical del mismo punto de la
superficie terrestre.
a) ¿A qué altura se encuentran los satélites geoestacionarios?
b) ¿Cuál es el momento cinético respecto al centro de la Tierra de un satélite
geoestacionario de masa 200 kg?
c) ¿Qué energía es preciso comunicar en la superficie de la Tierra al satélite
geoestacionario anterior para ponerlo en órbita?
RT = 6370 km;
g 0 = 9,8m / s 2
8. Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol, estando éste situado en uno
de los focos de la elipse. Compara entre las posiciones de afelio y perihelio:
a) El momento angular respecto a la posición del Sol.
b) La velocidad de traslación
c) El valor de la fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre el cometa.
d) Energía potencial del cometa
9. La intensidad del campo gravitatorio de Marte es 3,7m m/s2 y su radio 3,4.106 m.
2
2
¿Cuál es el valor de la masa de Marte? G = 6,67.10-11 N.m /kg
10. ¿A qué altura se debe colocar un cuerpo para que pierda el 40% de su peso? ¿Y para
que su peso se reduzca al 40%? RT=6370 km.
22
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
11. Si la velocidad lineal de una partícula es constante con el tiempo, ¿puede variar su
momento angular con el tiempo? Razona la respuesta.
12. Calcula la masa de Júpiter sabiendo que uno de sus satélites tiene un período de
2
2
16,55 días y un radio de órbita de 1,0883.106 km G = 6,67.10-11 N.m /kg
13. La distancia entre el Sol y Mercurio es de 5,79.107 km, y entre el Sol y la Tierra es de
1,496.108 km. Suponiendo que las órbitas de ambos planetas son circulares, calcula
su velocidad de rotación alrededor del Sol.
14. El diámetro del Sol es 100 veces mayor que el de la Tierra y la aceleración de la
gravedad en la superficie del Sol es 27 veces el valor en la superficie terrestre.
¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?
15. El período de revolución de un satélite que describe una órbita circular en torno a la
Tierra es 1,6 horas. ¿Cuál es el radio de la órbita del satélite? ¿A qué altura sobre la
superficie de la Tierra se encuentra? RT=6370 km. M T = 6.10 24 kg.
2
2
G = 6,67.10-11 N.m /kg
1
16. La masa de la Luna es
de la masa de la Tierra y su radio es la cuarta parte del
81
radio de la Tierra. Calcula el peso en la superficie lunar de una persona, cuyo peso en
la superficie terrestre es 686 N.
17. La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la
Tierra una órbita circular con una velocidad de 7,62 km/s.
a) ¿A qué altura se encontraba?
b) ¿Cuál era su período?
2
2
RT=6370 km. M T = 6.10 24 kg. G = 6,67.10-11 N.m /kg
18. La masa de Marte es 0,107 veces la de la Tierra y su radio es 0,533 veces el de la
Tierra. ¿Cuál sería el período de un péndulo en Marte si en la Tierra es de 2 s?
g 0 = 9,8m / s 2
19. El satélite Meteosat envía tres veces al día imágenes de Europa para la confección de
los mapas del tiempo. ¿Cuál es el radio de la órbita que describe?
RT=6370 km. M T = 6.10 24 kg.
20. Calcula el trabajo necesario para trasladar un satélite de 500 kg de masa desde una
órbita de radio R = 3RT hasta otra de radio 4 RT .
RT = 6370 km;
g 0 = 9,8m / s 2
21. Júpiter tarda doce veces más que la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol. ¿Cuál
es la distancia media, en km, del Sol a Júpiter si la distancia del Sol a la Tierra es
1,5.108 km?
22. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra describiendo una órbita situada a 500
km de altura con un período de 1,57 h. Calcula la masa de la Tierra. RT=6400 km.
23
Física de 2º Bachillerato.
Tema 4. Interacción gravitatoria
23. La relación entre los radios medios de las órbitas de Marte y la Tierra en torno al Sol
R
es M = 1,53 . Calcula el período de la órbita de Marte en torno al Sol.
RT
24. La intensidad del campo gravitatorio en la Luna es 1,6 m/s2 ¿Cuánto pesa en la Luna
un persona que en la Tierra pesa 689 N?
25. Calcula el período de un satélite artificial que está girando a 10000 km de altura
sobre la superficie terrestre g0= 9,8 N/kg; RT=6370 km
26. Un meteorito, de 400 kg de masa, se encuentra inicialmente en reposo a una distancia
sobre la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra. Si cae directo a la
Tierra, en caída libre, suponiendo que no hay rozamiento con el aire. Calcula: a) El
valor de la energía mecánica a esa altura b) La velocidad con la que impactará sobre
la superficie terrestre G = 6,67.10-11 N.m2/kg2 RT = 6370 km; MT = 5,98.1024 kg;
27. El transbordador espacial libera un satélite de comunicaciones de 470 kg mientras
está en órbita a 280 km sobre la superficie de la Tierra. Un motor en el satélite le
coloca en una órbita geoestacionaria, es decir, una órbita en la cual es sincrónico con
la Tierra. ¿Cuánta energía ha proporcionado el motor? RT=6370 km g0=9,8 m/s2
28. Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra
con una velocidad de 7,5 km/s. Calcula: a) La energía potencial del satélite b) la
energía mecánica del satélite c) La energía que se le ha debido comunicar para
ponerlo en órbita d) La energía que habría que suministrar para pasarlo desde la
órbita en la que se encuentra a una órbita con doble de radio
2
2
RT=6370 km. MT= 5,98.1024 kg G = 6,67.10-11 N.m /kg
29. ¿Qué altura alcanzará un cuerpo de 200 kg de masa que se lanza desde la superficie
de la Tierra con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcula el valor de v
necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.
2
2
RT=6370 km. MT= 5,98.1024 kg G = 6,67.10-11 N.m /kg
30. El planeta Venus, cuya masa es 4,87.1024 kg, gira alrededor del Sol describiendo una
órbita circular de 108 millones de kilómetros de radio. a) Si la aceleración de la
gravedad en la superficie de Venus es 8,87 m/s2 , calcula el diámetro del planeta; b)
Calcula la velocidad orbital de Venus alrededor del Sol y el tiempo (en días) que
tarda en dar una vuelta completa; c) Calcula qué velocidad tendría que tener el
planeta Venus para escapar de la atracción gravitatoria del Sol
2
2
MSol= 2.1030 kg G = 6,67.10-11 N.m /kg
31. Una misión cuyo objetivo es la exploración de Marte pretende colocar un vehículo de
490 kg en una órbita circular de 3500 km de radio alrededor de ese planeta.
Determina: a) La energía cinética del vehículo en órbita y el tiempo necesario para
completar una órbita; b) La energía potencial del satélite y su energía mecánica en la
órbita; c) Si por necesidades de la misión hubiese que transferir el vehículo a una
órbita situada a 303 km sobre la superficie del planeta, ¿qué energía sería necesario
2
2
suministrarle? G = 6,67.10-11 N.m /kg MMarte= 6,42.1023 kg RMarte=3397 km
24