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GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La astronomía es la más antigua de las ciencias. La cantidad y precisión de los datos astronómicos
conseguidos desde épocas muy remotas, son realmente sorprendentes.
Esto se debe,
probablemente, a la influencia que los fenómenos celestes ejercían en la vida de los pueblos más
antiguos. Así, la necesidad de establecer las épocas de siembra y de cosecha, y su relación con las
posiciones del Sol, de la Luna y de las estrellas, llevó a los astrónomos de la Antigüedad a recabar un
gran número de datos relacionados con los movimientos de tales astros.
El modelo antiguo de los griegos. Los primeros intentos para explicar el movimiento de los
cuerpos celestes se, deben a los griegos del siglo IV a. de C. Al tratar de reproducir los movimientos
de dichos cuerpos, los astrónomos griegos establecieron un modelo en el cual la Tierra se situaba en
el centro del Universo (teoría geocéntrica), y los planetas, así como el Sol, la Luna y las estrellas, se
hallaban incrustados en esferas que giraban alrededor de la Tierra. Con este modelo se pudieron
describir con aproximación razonable, los movimientos de los astros en el cielo. Al intentar ajustar
mejor su modelo a los hechos observados, los griegos tuvieron que valerse de un gran número de
esferas para explicar el movimiento de un solo planeta. Esto convirtió el universo griego antiguo en
algo muy complicado, y durante muchos años se llevaron a cabo varios intentos para conseguir un
modelo más sencillo.
El sistema geocéntrico de Ptolomeo. De los
sistemas ideados para la simplificación del antiguo
modelo griego, el que obtuvo mayor éxito fue la
teoría geocéntrica del gran astrónomo Ptolomeo,
quien vivió en Alejandría en el siglo II d. de C., y era
de origen griego.
Ptolomeo suponía que los planetas se
movían en círculos cuyos centros giraban alrededor
de la Tierra (Fig. 1). Además de ser éste un
modelo más sencillo que el primitivo de los griegos,
logró un mejor ajuste a los movimientos que se
observaban en el cielo.
Debido a la razonable exactitud de las previsiones que se hacían con el sistema de Ptolomeo, y
como su teoría (que suponía a la Tierra en el centro
del Universo) se adaptaba muy bien a las creencias
religiosas de la Edad Media, sus ideas perduraron prácticamente durante trece siglos. Pero las
sucesivas modificaciones introducidas en tal modelo para que se adaptara a las observaciones que
se fueron acumulando durante ese largo periodo, acabaron por convertir el sistema tolomeico en otro
también muy complicado.
El sistema heliocéntrico de Copérnico. El astrónomo polaco Nicolás Copérnico presentó en el
siglo XVI, un modelo más sencillo para sustituir el sistema de Ptolomeo. Siendo un hombre con una
profunda fe religiosa, Copérnico creía que "el Universo debería ser más sencillo, pues Dios no haría
un mundo tan complicado como el de Ptolomeo".
En el modelo de Copérnico, el Sol está en reposo, y los planetas, incluyendo la Tierra, giran
alrededor de él en órbitas circulares (teoría heliocéntrica). Esta idea ya había sido propuesta por
algunos filósofos de la Grecia antigua. Con su teoría heliocéntrica, Copérnico lograba una
descripción de los movimientos celestes tan satisfactoria como la que se obtenía con el sistema de
Ptolomeo, y con la ventaja de ser un modelo mucho más sencillo que el geocéntrico.
Pero un sistema en el que el Sol se considere inmóvil, y la Tierra se convertía en un planeta
en movimiento como todos los demás, iba en contra de la filosofía aristotélica y las convicciones
religiosas de la época. En virtud de ello, Copérnico tuvo gran renuencia a publicar sus ideas. El libro
en el cual expuso su teoría causó grandes polémicas, y terminó por ser colocado en la lista de los
libros prohibidos por la iglesia.
EJERCICIOS
1. Describa en forma breve el modelo del Universo según los griegos de la remota Antigüedad.
2. a) ¿Qué entiende usted por "sistema geocéntrico"?
1
b) ¿Cuáles son los modelos geocéntricos del Universo que presentamos en esta sección?
3. Cite dos causas por las cuales el sistema de Ptolomeo fuera aceptado por tanto tiempo.
4. a) ¿Qué es un sistema “heliocéntrico”?
b) ¿Cuál fue la razón alegada por Copérnico (citada en esta sección) para presentar su modelo
en sustitución del de Ptolomeo?
c) ¿Por qué las ideas de Copérnico no fueron bien aceptadas en su época?
LEYES DE KEPLER
Kepler y las observaciones de Tycho Brahe. Algunos años después de la muerte de Copérnico, el
astrónomo danés Tycho Brahe comenzó a realizar un importante trabajo destinado a obtener
mediciones más precisas de las posiciones de los cuerpos celestes. En su observatorio, muy bien
equipado para su época, Tycho Brahe llevó a cabo durante casi 20 años, rigurosas observaciones de
los movimientos planetarios, comprobando que el sistema de Copérnico no se adaptaba
satisfactoriamente a tales mediciones.
Los datos obtenidos por Brahe, cuidadosamente tabulados, serían la base del trabajo que
después de su muerte, desarrollara su discípulo, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 1630). Entusiasmado por la sencillez del sistema de Copérnico, Kepler creía en la posibilidad de
realizar ciertas correcciones a dicho modelo, a fin de adaptarlo aún más a los movimientos celestes
que se observan en realidad. Llevó a cabo su trabajo analizando cuidadosamente, con una gran
habilidad matemática y durante casi 17 años, la enorme cantidad de datos obtenidos por su maestro.
El trabajo de Kepler fue coronado por el éxito, pues logró descubrir las tres leyes del movimiento de
los planetas, lo cual originó el nacimiento de la
Mecánica Celeste. A continuación presentamos
estas leyes del movimiento planetario.
Primera ley de Kepler. La corrección del sistema
de Copérnico, buscada por Kepler, se expresa a
través de su primera ley. Sus estudios lo llevaron a
concluir que, en realidad, los planetas se mueven
alrededor del Sol, pero sus órbitas son elípticas y
no circulares, como suponía Copérnico. Además,
Kepler comprobó que el Sol se encuentra situado
en uno de los focos de cada elipse (Fig. 2). De
manera que:
Primera ley de Kepler: todo planeta gira alrededor del Sol
describiendo una órbita elíptica, en la cual el Sol ocupa uno de
los focos.
Cabe destacar que la órbita de un planeta no es una elipse tan alargada como indica la Fig. 2.
En realidad, las órbitas difieren muy poco de una circunferencia, y realmente es impresionante ver
cómo las mediciones de Tycho Brahe pudieron ser tan exactas que hicieran posible al genial Kepler
descubrir que dichas órbitas en realidad son elipses.
Segunda ley de Kepler. Preocupado por conocer
la velocidad de los planetas, Kepler pudo
comprobar que se mueven con más rapidez cuando
están más cercanos al Sol, y con más lentitud
cuando están más alejados de este astro. En la
Figura 3, por ejemplo, el planeta desarrolla mayor
velocidad entre A y B que entre C y D.
Mientras el planeta se mueve desde A hasta
B, la recta o radio focal que une al planeta con el
Sol "describe" el área A1 . Al moverse de C a D,
dicha recta "describe" el área A2 (Fig. 3). Kepler
comprobó que si el tiempo que tarda en ir desde A
hasta B fuera igual al tiempo necesario para ir de C
a D, entonces las áreas A1 y A2 serían iguales.
Con base en esto formuló su segunda ley:
2
Segunda ley de Kepler: el radio focal que une a un planeta
con el Sol “barre” áreas iguales en tiempos iguales.
Tercera ley de Kepler. Al continuar el estudio de las tablas de datos de Tycho Brahe, Kepler buscó
establecer una relación entre los periodos de revolución de los planetas y los radios de sus órbitas
(para simplificar este estudio, se supondrá que las trayectorias planetarias son circulares). Después
de 10 años de intentarlo, Kepler descubrió una relación que se sintetiza en su tercera ley.
TABLA - 1
Planeta
Período de revolución Radio de la órbita (r)
(T) en años
(en u.a.)
Mercurio
0,241
0,387
Venus
0,615
0,723
Tierra
1,000
1,000
Marte
1,881
1,524
Júpiter
11,56
5,204
Saturno
29,6
9,58
Urano
83,7
19,14
Neptuno
165,4
30,2
Plutón
248
39,4
1 u.a. = 1 unidad astronómica = radio de la órbita terrestre
T 2 /r 3
(en año2 /(U.A.)3
1,002
1,000
1,000
0,999
0,997
0,996
1,000
0,993
1,004
Para entender mejor esta ley, analicemos la Tabla 1. En la primera columna vemos que los
periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son muy distintos entre sí. Lo mismo sucede
con los radios de sus órbitas (distancias de los planetas al Sol), presentados en la segunda columna
de la tabla. Pero, por la tercera de ellas nos damos cuenta de que si elevamos a la segunda potencia
el periodo de revolución de cada planeta ( T 2 ) y lo dividimos entre el cubo del radio de su órbita ( r 3 ),
el cociente T 2 /r 3 tendrá el mismo valor para cualquier planeta (las pequeñas diferencias que se
observan en la tercera columna de la Tabla 1 se justifican plenamente por errores experimentales).
Este resultado, que es el contenido de la tercera ley de Kepler, se expresa matemáticamente por
T2
r3
=K
donde K es una constante para todos los planetas. De esta relación obtenemos T 2 = Kr 3 es decir,
T 2 ∝ r 3 . Podemos, entonces, enunciar la tercera ley de Kepler de la siguiente manera:
Tercera ley de Kepler: los cuadrados de los períodos de revolución de los
planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas
Con el trabajo de Kepler, las leyes básicas del movimiento de los planetas habían sido
descubiertas, estableciéndose así las bases de la Mecánica Celeste. Pero lo que Kepler hizo fue
describir este movimiento sin ocuparse de sus causas; en otras palabras, las leyes de Kepler
constituyen la cinemática del movimiento planetario. En la próxima sección veremos cómo algunos
años más tarde Newton, con base en los resultados de Kepler, elabora la mecánica del movimiento
de los planetas y descubre una de las leyes fundamentales de la naturaleza: la de la Gravitación
Universal.
EJERCICIOS
5. ¿Cuál fue la principal fuente de información que permitió a Kepler descubrir sus leyes?
6. Recordando la primera ley de Kepler:
a) Haga un dibujo que muestre la forma aproximada de la trayectoria de un planeta cualquiera
alrededor del Sol. ¿Cómo se denomina esta curva?
b) ¿Está situado el Sol en el centro de la órbita?
3
7. La figura de este ejercicio representa la trayectoria de
Mercurio alrededor del Sol. Sabiendo que la velocidad de
este planeta es máxima al pasar por E, ¿Cuál de los
puntos, B, C o D representa mejor la posición que el Sol
ocupa?
8. Suponga que la elipse mostrada en la figura de este
ejercicio representa la trayectoria de Júpiter alrededor del
Sol. Todas las áreas sombreadas son iguales entre sí.
¼,
a) Si Júpiter tarda un año en recorrer el arco AB
¿cuál será el tiempo que tarda en recorrer cada uno
» , EF
» y GH
¼?
de los arcos CD
r
r
r
r
b) Sean v1, v2 , v3 y v4 , las velocidades de Júpiter
en cada una de las posiciones mostradas en la
figura.
Coloque estas velocidades en orden
decreciente de sus valores.
9. Al consultar la Tabla 1 responda lo siguiente:
a) ¿Qué es una unidad astronómica (1 u.a.)?
b) ¿Cuántas vueltas da la Tierra alrededor del Sol mientras Plutón sólo da una?
c) ¿Cuál es el valor de la constante K de la tercera ley de Kepler ( T 2 /r 3 = K ) que figura en la
tabla?
10. a) Imagine que alguien le dice que se descubrió un pequeño planeta con un periodo T= 8,0 años,
y cuya distancia al Sol es r = 4,0 u.a. Si esto fuera verdad, ¿confirmarían tales datos la tercera ley
de Kepler?
a) ¿Podría existir un planeta a una distancia r = 10 u.a. del Sol, y con un periodo T= 10 años?
¿Por qué?
LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Introducción. Al estudiar el movimiento de los planetas
con base en las leyes de Kepler, Newton observó que
como describen órbitas alrededor del Sol, deben estar
sujetos a una fuerza centrípeta, pues de lo contrario sus
trayectorias no serían curvas. Al razonar de esta
manera, Newton estaba admitiendo que sus leyes del
movimiento también eran válidas para los cuerpos
celestes. Este punto de vista iba en contra de la filosofía
aristotélica, en la cual se creía que el movimiento de los
astros estaba regido por leyes especiales, distintas de
las que pueden comprobarse en relación con los
movimientos producidos en la superficie de la Tierra.
En la Figura 4 se presenta un planeta en su órbita
r
(supuestamente circular) alrededor del Sol. La fuerza F
representa la fuerza centrípeta que debe actuar sobre el
planeta para mantenerlo en su trayectoria. Newton
atribuyó esta fuerza a la existencia de una atracción del Sol sobre el planeta. En resumen, concluyó
que
la fuerza centrípeta que mantiene a un planeta en su órbita, se
debe a la atracción que el Sol ejerce sobre él.
Fuerza de atracción entre el Sol y un planeta. Basándose en sus leyes del movimiento, así como
en los estudios de Kepler, Newton logró obtener la expresión matemática de la fuerza de atracción
r
entre el Sol y un planeta. Designando por F esta fuerza, llegó a las conclusiones siguientes:
4
1)
2)
3)
F es proporcional a la masa m del planeta: F ∝ m
F es proporcional a la masa M del Sol: F ∝ M
F es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, entre el Sol y el planeta:
F ∝ 1/r 2 .
De modo que podemos escribir
F∝
m M
r
2
o bien
F=G
m M
r2
donde G es una constante de proporcionalidad denominada constante de gravitación universal. La
expresión F = G mM/r 2 nos dice que:
la fuerza de atracción del Sol sobre un planeta es proporcional al
producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que hay entre ellos.
Gravitación universal
Ahora vamos a describir el paso mas audaz del
trabajo de Newton, el cual demuestra su
extraordinaria capacidad de extrapolación, así como
su gran intuición. Al analizar el movimiento de la
Luna alrededor de la Tierra (Fig. 5), Newton se dio
cuenta de que debía existir una fuerza de atracción
de la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la
que el Sol atrae a los planetas. Según se dice, al
observar una manzana desprenderse de un árbol
concibió la idea de que su caída también debía ser
causada por atracción de la Tierra. Reuniendo las
ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra
atrae a la Luna y a la manzana, Newton llegó a la
conclusión de que la atracción observada debe ser
un fenómeno general (universal), y manifestarse
entre dos objetos materiales cualesquiera. En
otras palabras, entre usted y un libro debe existir una
fuerza de atracción, de la misma manera que existe
entre usted y su compañero, ¡o entre el profesor y el
pizarrón! Surgió así la idea de la Gravitación
r
Universal, de que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza F , denominada fuerza
gravitacional, cuyo valor está dado por la misma expresión matemática de la fuerza entre el Sol y un
planeta. Entonces, siendo m1 y m 2 las masas de dos cuerpos separados una distancia r (Fig. 6),
r
habrá entre ellos una fuerza F de atracción cuya magnitud está dada por
F=G
m1 · m2
r2
Tenernos, por tanto:
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
F=G
m1 · m2
r2
Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza
proporcional al producto de sus rnasas, e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.
La fuerza de atracción gravitacional entre dos objetos "comunes" existentes en la Tierra resulta ser
muy pequeña, y Newton no pudo comprobar experimentalmente dicha atracción. Sólo cuando la
interacción es entre dos masas muy grandes (como el Sol y los planetas) es posible apreciar la fuerza
de atracción gravitatoria.
5
Comprobación experimental de la Ley de
Gravitación Universal. No fue sino hasta casi 100
años después de que Newton presentó sus trabajos,
cuando se pudo comprobar en forma experimental que
la gravitación es en realidad un fenómeno universal. El
físico inglés Henry Cavendish, empleando una balanza
de torsión (Fig. 7), realizó el siguiente experimento:
equilibró cuidadosamente dos pequeñas esferas, de
masas m1 y m 2 en una barra horizontal. Al acercar a
estas masas dos esferas más grandes, M1 y M 2 ,
Cavendish comprobó que la barra giraba, produciendo
una torsión en el hilo muy fino que la sostenía. Este
hecho mostró que realmente existe sana fuerza de
atracción entre m1 y M1 , así como entre m 2 y M 2
(Fig. 7) como Newton había previsto.
Mediante la balanza de torsión, Cavendish
logró medir la fuerza de atracción entre dos esferas, y
así le fue posible determinar el valor de la constante de gravitación universal G. En el Sistema
Internacional de Unidades (S.I.), el valor de G es
G = 6,67 · 10 -11
N · m2
kg 2
Notamos que el valor de G es muy pequeño, y a ello se debe que la atracción gravitacional entre dos
objetos "comunes", de acuerdo con lo ya expresado, es prácticamente despreciable, y sólo se puede
detectar con aparatos muy delicados, como el de
Cavendish.
EJEMPLO
Medición de la masa de la Tierra. Al haber obtenido
con una báscula de torsión el valor de G, Cavendish
logró determinar la masa de la Tierra, como ahora
vimos a describir.
Consideremos una partícula de masa m
cercana a la superficie de la Tierra (que tiene masa M
y radio R), según se indica en la Figura 8. La partícula
r
m será atraída por la Tierra con una fuerza F , que es
el peso de dicha partícula.
Newton había
demostrado (usando el Cálculo Integral inventado por
él), que en la atracción gravitatoria entre dos cuerpos
esféricos todo sucede como si la masa de ellos
estuviera concentrada en su punto central. Así que
podemos imaginar la masa M concentrada en el
6
centro de la Tierra, y Ia fuerza F estará apuntando hacia dicho punto. Como la distancia de m, al
centro de la Tierra es R (radio de esta última), podemos escribir, por la Ley de la Gravitación
Universal,
F=G
M·m
R2
Pero como F representa el peso de la partícula de masa m, tenemos, por la segunda ley de Newton:
F = m· g
Al igualar estas dos expresiones para una misma fuerza, vemos que
G
M·m
R2
=m · g
donde
M=
g · R2
G
Así pues, conociendo los valores de g, R y G, lograremos determinar el valor de M.
En la época de Newton, los valores de g y R se conocían con razonable precisión, pero
Newton no sabía con exactitud el valor de G. Como Cavendish logró medir G, fue posible entonces
calcular la masa de la Tierra, y por eso se dice que Cavendish fue quien por primera vez, "pesó" a la
Tierra en su balanza.
Al sustituir en la expresión anterior, los valores g = 9,80 m/s 2
R= 6,37 · l0 6 m y G = 6,67 · 10-11 N · m2 /kg 2 obtenemos para la masa de la Tierra,
M = 5,97 · 10 24 kg .
EJERCICIOS
11. a) Usted sabe que los planetas describen órbitas alrededor del Sol. ¿Podría concluir, como hizo
Newton, que tiene que haber una fuerza que actúa sobre ellos? Explique.
b) Newton supo que debía existir un agente responsable de esta fuerza. ¿Cuál es?
12. La fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra vale, aproximadamente, 4 · 10 22 N . Diga cuál es
el valor de esta fuerza suponiendo que:
a) La masa de la Tierra fuera tres veces mayor.
b) La masa del Sol fuese dos veces menor.
c) La distancia entre la Tierra y el Sol fuese dos veces mayor.
13. La ley de gravitación inicialmente fue establecida por Newton para expresar la fuerza de atracción
entre el Sol y los planetas. Explique por qué, posteriormente, pasó a ser denominada "Ley de la
Gravitación Universal".
14. a) Para que se de cuenta de la pequeñez de la fuerza de atracción entre dos objetos "comunes",
calcule la fuerza con la que dos personas se atraen (gravitacionalmente). Para simplificar los
cálculos, suponga que las masas de las personas son m1 = m2 = 100 kg , que la distancia entre
ellas es r = 1 m y considere que G = 10 -10 N · m2 /kg 2 .
b)Como los cuerpos celestes tienen masas enormes, la fuerza gravitacional entre ellos es muy
grande (aun cuando la distancia que los separa es, también, enorme). A fin de comprobar lo
anterior, calcule el valor aproximado de la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna,
considerando que G = 10 -10 N · m2 /kg 2 , masa de la Tierra M T = 10 25 kg , masa de la Luna
M L = 10 23 kg y distancia de la Tierra a la Luna r = 10 8 m .
15. El experimento de la balanza de torsión permitió a Cavendish llegar a dos resultados de gran
importancia en la época. ¿Cuáles fueron dichas conclusiones?
7
16. La figura de este ejercicio muestra un
pequeño cuerpo de masa m1 situado a cierta
distancia de la Tierra (de masa m 2 ). Para
r
calcular la fuerza F de atracción gravitacional
que la Tierra ejerce sobre el cuerpo, ¿el valor
de la distancia r deberá tomarse igual a OA,
OC u OB?
Movimiento de los satélites
Aun cuando no fue posible, sino hasta hace relativamente
poco, colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra, ya
en el siglo XVII Newton tenía una idea clara de la manera
en que podía hacerse. Pero no se disponía entonces de
la fantástica tecnología necesaria para situar en órbita un
satélite.
Cómo se puede colocar un satélite en órbita. Para
orbitar o poner en órbita un satélite, debe elevarse,
mediante poderosos cohetes, hasta la altura h deseada
(Fig. 9) El valor de h varía notablemente de un satélite a
otro, y ello depende de muchos factores. Pero la altura no
debe ser inferior a unos 150 km, para que en la región
donde el satélite se moverá, la atmósfera esté totalmente
enrarecida y, así, la fuerza de resistencia del aire no
perturbe el movimiento del satélite.
Una vez alcanzada la altura deseada, el satélite,
r
también por medio de cohetes, es lanzado horizontalmente con una velocidad v (Fig. 9). Como ya
r
sabemos, la Tierra ejerce sobre dicho satélite una fuerza F de atracción, que alterará la dirección de
r
la velocidad v haciendo que describa una trayectoria curvilínea. Muchas personas piensan,
equivocadamente, que a esa altura la fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite res nula o
despreciable. Si esto fuese verdad, el satélite, una vez lanzado, con la velocidad v seguiría
moviéndose en línea recta con tal velocidad, y no entraría en órbita alrededor de la Tierra.
r
Para que la trayectoria del satélite sea circular en torno de la Tierra, la velocidad horizontal v
deberá tener un valor determinado (que calcularemos más adelante). Lo anterior es porque la fuerza
r
F de atracción de la Tierra, tiene que proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para tal
movimiento.
Una vez puesto en órbita, y si no existe perturbación alguna, el satélite seguirá girando
indefinidamente alrededor de la Tierra.
Cálculo de la velocidad del satélite. Vamos a hallar ahora la velocidad que debe impartirse a un
satélite para que entre en órbita circular alrededor del centro de la Tierra. El radio orbital, r como
muestra la Figura 9, esté dado por
r=R+h
donde R es el radio de la Tierra, y h , la altura del satélite.
r
La fuerza F de atracción de la Tierra sobre el cuerpo orbitando, esta dada por
Mm
F=G
r2
donde m es la masa del satélite, y M la masa de la Tierra (recuerde que M puede suponerse
concentrada en el centro del planeta). Como esta acción proporciona la fuerza centrípeta que lo
mantiene en órbita, podemos concluir que su valor es igual a mv 2 /r , que es la expresión general de
una fuerza centrípeta. Por tanto, tendremos
mv 2
Mm
=G 2
r
r
donde
v=
GM
r
8
Luego, si se nos proporciona la altura o distancia
radial de un satélite en órbita, podremos calcular
su velocidad, una vez que se conoce el valor de G
y el de M Observe que tal velocidad no depende
de la masa del satélite, y que cuanto mayor sea su
radio orbital (o su altura) tanto menor será su
velocidad.
Periodo de revolución del satélite. El tiempo
que el satélite tarda en dar una vuelta alrededor
del centro de la Tierra es su periodo de revolución.
Durante dicho tiempo, T, la distancia que el satélite
recorre estará dada por 2pr (perímetro de su
órbita circular). Entonces, como se trata de un
movimiento uniforme, tendremos que
2pr = v T
donde T =
2 πr
v
Así pues, como ya sabemos calcular v , esta
expresión nos permitiría determinar el periodo del satélite.
Satélite estacionario. Suponga que un satélite es
colocado en órbita a una altura aproximada de 36.000
km sobre un punto del ecuador (Fig. 10). El radio de su
órbita será r = R + h , y como el radio de la Tierra es,
aproximadamente, igual a 6.000 km, tendremos para el
radio de la órbita un valor de casi 42.000 km. Llevando
este valor de r a la expresión v = GM/r , obtenemos
para el satélite una velocidad v = 10.800 km/h ,
Conociendo esta cantidad, podremos calcular el
periodo del satélite por la relación T = 2 πr/v .
Realizando los cálculos encontramos que
T = 24 h
observemos que este periodo de revolución es igual al
de rotación de la Tierra sobre su eje, y esto vuelve muy
importante a tal satélite. Como se encuentra situado en el plano del ecuador terrestre (Fig. 10) y gira
junto con la Tierra, ambos tardan lo mismo en dar una vuelta, a un observador en la superficie
terrestre le parecerá que el satélite está inmóvil. Lo anterior es lo que sucede con los famosos
satélites estacionarios del tipo llamado Intelsat, tan empleados en la actualidad en las
telecomunicaciones mundiales.
Así, cuando usted presencia un programa "vía satélite", la señal de televisión se envía (antes
de llegar a su aparato receptor) hasta el satélite, a casi 36.000 km de altura, y Iuego regresa a la
Tierra. Esta señal es captada por estaciones especiales de recepción, y se puede difundir a diversas
regiones de un país. Como las señales de televisión se propagan con la velocidad de la luz (300.000
km/s ), el tiempo que las señales tardan en ir hasta el satélite y regresar a la Tierra es muy corto. Por
ello, es posible presenciar, por ejemplo, un juego de fútbol efectuado en Europa, prácticamente en el
mismo instante en que se realiza en el estadio.
EJEMPLO
¿Cuál es el valor de la velocidad horizontal que debe imprimirse a un objeto para que entre en órbita
casi al ras de la superficie de la Tierra?
Esto significa que la altura del satélite sería nula ( h = 0) y que el radio de su órbita tendría
que ser el radio de la Tierra (r = R), como indica la Figura 12. El valor de v , resultaría muy grande,
pues sabemos que v es tanto mayor cuanto menor sea h . Al sustituir en v = GM/r los valores
conocidos de G, M y R, encontramos que
v = 7,9 · 103 m/s (o bien, 28.800 km/h)
Con esta gran velocidad, el objeto encontraría una gran resistencia del aire, y probablemente,
dependiendo del material, se quemaría antes de desplazarse una distancia considerable. Además,
usted podría citar varios factores que impedirían la realización del experimento. Pero no dude que, si
9
se pudieran eliminar todos esos factores y se imprimiera correctamente a un objeto, la velocidad que
calculamos arriba, esto lo haría entrar en órbita, como se sugiere en la Figura 12, y usted lo tendría
de regreso, sin caer al suelo, después de dar una vuelta completa alrededor de la Tierra.
EJERCICIOS
17. Las afirmaciones siguientes suelen ser hechas por personas que no conocen muy bien las leyes
de la Física. Presente argumentos que demuestren que estas afirmaciones no son correctas.
a) "La fuerza de atracción de la Tierra sobre un satélite artificial, es nula porque está muy alejado
de su centro".
b) "Un cohete ya no será atraído por la Tierra una vez que llegue a regiones fuera de la
atmósfera terrestre".
18. Explique por qué un satélite debe colocarse en órbita en regiones más allá de la atmósfera
terrestre.
19. La fuerza de atracción de la Tierra sobre un satélite en órbita circular, proporciona la fuerza
centrípeta que debe actuar sobre el satélite. Entonces la atracción de la Tierra:
a) ¿Hace variar la dirección de la velocidad del satélite?
b) ¿Hace cambiar la magnitud de su velocidad?
20. Considere dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que
m A > mB . Estos satélites están en una misma órbita
circular alrededor de la Tierra, como muestra la figura de
este ejercicio.
a) La velocidad de A, ¿es mayor, menor o igual que B?
b) El período de A, ¿es mayor. menor o igual que B?
21. Observe el satélite C, que también se muestra en la figura
del ejercicio anterior.
a) La velocidad de C, ¿es mayor, menor o igual que B?
b) El periodo de C, ¿es mayor, menor o igual que B?
22. La velocidad angular del movimiento de rotación de Júpiter es ω = (π/5 ) rad/h .
a) ¿Cuántas horas tarda Júpiter en dar una vuelta completa alrededor de su eje?
b) Imagine que existe en Júpiter un satélite estacionario empleado para telecomunicaciones.
¿Cuál será su periodo?
10
Variación de la aceleración de la gravedad
Conforme a lo visto en las leyes de Newton, experimentalmente se puede comprobar que el valor de
la aceleración de la gravedad, g, varía de un punto a otro de la Tierra. Ya se ha dicho también que
en la superficie de la Luna, el valor de g es mucho menor que en la Tierra, y en otros planetas la
aceleración gravitatoria no es igual a 9,8 m/s 2 . Estas variaciones en el valor de g podrían
entenderse, como veremos, por medio de la Ley de la Gravitación Universal.
Expresión matemática de la aceleración de la gravedad. Consideremos un
cuerpo, de masa m , situado a una
distancia r del centro de la Tierra (Fig.
13). El peso de este cuerpo, por la
segunda ley de Newton, está dado por
P = mg
donde g es el valor de la aceleración de la
gravedad en el punto donde se encuentra
r
el cuerpo. Pero este peso P es la fuerza
de atracción que la Tierra ejerce sobre el
cuerpo.
Por la Ley de Gravitación
Universal podemos, pues, escribir
Mm
P=G 2
r
donde M es la masa de la Tierra
(supuestamente concentrada en su
centro).
Si igualamos estas dos expresiones de P,
tendremos
mg = G
Mm
r2
donde
g=G
M
r2
Así pues, llegamos a una expresión matemática que permite calcular la aceleración de la gravedad en
un punto en las proximidades de la superficie terrestre, cuando conocemos G, la masa de la Tierra y
la distancia de este punto al centro de ella.
Comentarios. Al analizar la ecuación g = GM/r 2 , haremos algunas apreciaciones:
1. Obsérvese que el valor de la masa m del cuerpo no aparece en la ecuación, o sea, el valor de g
no depende de m . Este resultado que se obtuvo inmediatamente de la Ley de Gravitación Universal,
ya había sido observado en forma experimental por Galileo, algunos años antes de Newton, al
comprobar que todos los cuerpos en caída libre descienden con la misma aceleración.
2. Por la expresión g = GM/r 2 vemos que g=1/r 2 , es decir, cuanto mis nos alejamos del centro
de la Tierra, tanto menor es el valor de g. Así, el valor de g en lo alto de una montaña es menor que al
pie de la misma. En este caso, la diferencia entre los dos valores de g es muy pequeña, pero si nos
desplazamos lo suficiente hacia arriba de la superficie de la Tierra, notaremos una disminución
considerable en g (véase Tabla 2).
TABLA 2
g ( m/s 2 )
9.81
9.75
9.69
9.63
9.57
9.51
9.22
Altitud (km)
0
20
40
60
80
100
200
11
3. Vamos a analizar ahora el valor de g en la superficie terrestre. En este caso, siendo R el radio de
nuestro planeta, tendremos r = R, y por consiguiente,
g=G
M
R2
Como la Tierra no es perfectamente esférica y el valor de R en el ecuador es mayor que en los polos,
podemos concluir que la aceleración de la gravedad en el ecuador es, por tanto, menor que en los
polos; es decir,
R (en el ecuador) > R (en los polos),
luego g (en el ecuador) < g (en los polos).
Esta conclusión coincide con los resultados experimentales y aparecen en la Tabla 3. En realidad, las
variaciones de g que se muestran en la tabla se deben, en parte, a la rotación de la Tierra. Este
factor también contribuye a que la aceleración gravitatoria en el ecuador sea menor que en los polos.
TABLA 3
Variación de g con la latitud
(al nivel del mar)
Latitud
g ( m/s 2 )
0º
9,780
20º
9,786
40º
9,802
60º
9,819
80º
9,831
90º
9,832
Aceleración de la gravedad en la superficie de otros cuerpos celestes.
La expresión
2
g = GM/R que se emplea para calcular la aceleración gravitacional en la superficie terrestre, se
puede utilizar también para determinar el valor de g en la superficie de cualquier otro cuerpo celeste.
En este caso, M representa obviamente la masa de tal astro y R su radio. Observemos que la
aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta es proporcional a su masa, e inversamente
proporcional al cuadrado de su radio.
EJEMPLO
Imaginemos un planeta que tuviese una masa 8 veces mayor que la de la Tierra, y cuyo radio fuera 2
veces mas grande que el terrestre. ¿Cuál sería el valor de g en este planeta?
Como g ∝ M , concluimos que si sólo M varía, g sería 8 veces mayor que en la Tierra.
Puesto que g ∝ 1/R2 vemos que la influencia del radio es volver 4 veces menor el valor de g. Como
g se multiplica por 8 (por la influencia de M y se divide entre 4 (por la influencia de R), es obvio que g
quedará multiplicada por 2. Así, la aceleración de la gravedad en el planeta en cuestión sería:
g = 2 · 9,8 m/s2
o bien,
g = 19,6 m /s 2
EJERCICIOS
r
23. En la Figura 13, el vector P representa el peso del cuerpo de masa m .
a) ¿Cuál es la expresión matemática de P de acuerdo con la segunda ley de Newton?
b) ¿Cuál es la expresión matemática de P según la Ley de la Gravitación Universal?
c) Usando las respuestas de (a) y (b), muestre que podemos obtener la expresión g = GM/r 2
la cual permite calcular el valor de g.
12
24. Los astronautas que descendieron en la superficie lunar comprobaron experimentalmente que la
aceleración de la gravedad en nuestro satélite, vale casi1,6 m/s 2 .
Usando la expresión
g = GM/R 2 , calcule el valor de g en la Luna y compruebe si su respuesta concuerda con el
resultado
que
-11
G = 6,7 · 10
obtuvieron
2
los
astronautas.
Considere
2
los
N · m /kg ; masa de la Luna, M L = 7,4 · 10
22
datos
kg
siguientes:
y radio lunar,
R = 1,7 · l0 6 m
h
r=R+h
0
R
R
g
10 m/s 2
4R
9R
Ejercicio 25
25. La expresión g = GM/r 2 indica que la aceleración de la gravedad terrestre en un punto dado es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de tal punto al centro de la Tierra,
Complete con la anterior información la tabla de este ejercicio, determinando los valores de g para
cada una de las alturas h que se indican (R representa el radio de la Tierra).
26. Como vimos en el tema correspondiente a la Cinemática, los experimentos de Galileo
demostraron que todos los cuerpos en caída libre, caen con la misma aceleración. Explique por
qué la expresión g = GM/r 2 concuerda con esta observación de Galileo.
27. Vimos que el valor de g en la superficie de la Tierra, varía con la latitud y con la altitud. Al
observar la Tabla 3 y saber que el valor de g en lo alto del Monte Everest (punto mis alto de la
superficie terrestre) vale casi 9,78 m/s 2 , responda:
a) ¿Encuentra usted que las variaciones de g en la superficie terrestre son grandes o pequeñas?
b) Entonces, ¿es aceptable considerar g = 9,8 m/s 2 en cualquier lugar de la superficie
terrestre?
28.
a) La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta
fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces mayor que en la Tierra sería la aceleración
gravitatoria en Júpiter?
b) El radio de Júpiter es casi diez veces mayor que el de la Tierra. Si la masa de dicho planeta
exterior (o sea, de los que están fuera de la órbita terrestre) fuera igual a la de la Tierra,
¿cuántas veces menor que en ésta sería la aceleración de la gravedad en Júpiter?
c) Aplicando sus respuestas de (a) y (b), diga cuántas veces mayor que en la Tierra es la
aceleración de la gravedad en Júpiter.
d) Luego entonces, ¿cuál es el valor aproximado de g en tal planeta?
13