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FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONOMICAS
CALCULO DIFERENCIAL APLICADO
EJERCICIOS:
1. Determinar los incrementos y la tasa de cambio promedio de las siguientes funciones para los intervalos
dados.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
𝑓 (𝑥 ) = −5𝑥 − 4 ; 𝑥 = 1,5 𝑦 ∆𝑥 = 0,8
𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 5 ; 𝑥 = 5 𝑦 ∆𝑥 = 3,8
𝑥 2− 4
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 − 2 ; 𝑥 = 1 𝑦 𝛥𝑥 = 0,15
𝑓 (𝑥 ) = 3 + 𝑥 3 ; 𝑥 = 1,5 𝑦 ∆𝑥 = 0,8
𝑓 (𝑥 ) = 3 − 𝑥 3 + 𝑥 4 ; 𝑥 = 2 𝑦 ∆𝑥 = 1,8
𝑔(𝑥 ) = 2 + √𝑥 + 3 ; 𝑥 = 4 𝑦 ∆𝑥 = 2,8
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 − 𝑥 3 ; 𝑥 = 2𝑎 + 1 𝑦 ∆𝑥 = 𝑎
2. Un fabricante sabe que el costo de producir x artículos esta dada por la función
3. 𝐶 (𝑥 ) = 0,002𝑥 3 − 0,35 𝑥 2 + 10𝑥 + 450
, determinar:
a. El incremento en el costo cuando el número de unidades producidas se incrementa de 25 a 60
b. El costo promedio por unidad adicional producida, en el incremento de producción de 70 a 100 unidades.
3. Cuando el precio de cierto artículo es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana
(demanda) esta dada por la función:
1000
𝑥 = 𝑝 +1
√
, determinar:
a. El incremento de la demanda cuando el precio se incrementa de $2000 a $2500.
b. El incremento en el ingreso bruto cuando el precio del artículo se incrementa de $3000 a $4000.
c. El incremento promedio del ingreso total por unidad de incremento en el precio cuando este se
incremento de $1500 a $5000.
4. El costo de producir x unidades de cierto artículo esta dado por la función:
C(x) = 15x +450
, y el ingreso obtenido por la venta de x unidades está dada por:
I(x) = 1000x – x2
Si están produciendo 200 unidades y se desea incrementar la producción a 250 unidades.
a. Determine los incrementos correspondientes en el costo, el ingreso y la utilidad.
b. Determine el cambio promedio del costo, el ingreso y la utilidad por las unidades adicionales vendidas.
5. Una empresa de telefonía celular pudo determinar que la cantidad de persona que utilizan su servicio
durante t años esta dada por la expresión: p = 1 - e- 0,1t. Determinar el crecimiento de p y la tasa de cambio
promedio entre t = 1 y t = 2.
6. El ingreso semanal total R obtenido por la producción y venta de x unidades de cierto articulo esta dado por:
R(x) = 500,5x – 2x2. Determinar la tasa de cambio promedio de ingresos por unidad extra cuando el número
de unidades producidas y vendidas por semana se incrementa de 100 a 125.
7. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto
fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está
dado por R(x) =100x – 0.01 x². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por semana, pero está
considerando incrementar la producción a 3.200 toneladas por semana. Calcular los incrementos
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resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad para las
toneladas extra producidas e interprete el resultado.
8. El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio
por litro en centavos, se encuentra que el volumen de ventas q (en litros por día) está dado por:
𝑞 = 500(150 − 𝑝)
Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento de$120 a $130
9. Evalué los siguientes límites:
lim (𝑥 2 + 3𝑥 − 5 )
lim (2𝑥 2 − 4𝑥 + 7 )
𝑥 →−3
lim
𝑥 →9
lim
𝑡 →0
√𝑥 − 3
𝑥 2 − 81
lim
𝑥 → 1
𝑡
lim
3 − √𝑡 − 9
√x + 3 − 2
𝑥→1
𝑥2 − 1
lim
𝑥 → ∞
√𝑥 − 3
𝑥 2 − 81
𝑥→∞ √𝑥 2
+ 4𝑥 − 2
1 − 4𝑥
+5+𝑥+2
lim (
𝑥 → 3
√2 − 𝑥 − 1
2 – √𝑥 + 3
𝑥√𝑥 2 + 16
− √2𝑥 + 3
𝑥
3
𝑥 → 0
1 − √2𝑥 + 1
lim
1
3𝑥 4 + 𝑥 3 − 8𝑥
𝑥 → ∞
7𝑥 − 1
lim
𝑥 → ∞ 3√5𝑥 3
𝑥
𝑥→3 2𝑥
lim
lim
lim
𝑥 →1
lim (𝑥 2 – √ 3 + 𝑥 5 )
𝑥 → ∞
lim
𝑥 → ∞
𝑥 2 + 4𝑥 + 4
→−2
𝑥2 − 4
lim
lim
𝑥 →5
lim
𝑥 →0
(𝑥 + 4)− 1 − 4− 1
𝑥
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥 3
ℎ→0
ℎ
lim
lim
𝑥 → ∞
lim
𝑥 → ∞
(𝑥 2 + 1)2 − 3𝑥 2 + 3
𝑥3 − 5
𝑥 − 1
𝑥 + 5
− 2
)
𝑥 − 3
𝑥 − 4𝑥 + 3
√3𝑥 − 6 − 3
𝑥 − 5
√4𝑥 4 + 𝑥 2 + 1
𝑥2 − 1
lim
𝑥 → 3 𝑥2
lim
− 3𝑥 + 1
𝑥2 − 1
𝑥→0 √1
𝑥2 − 9
− 5𝑥 + 6
𝑥
+ 𝑥 − √1 − 𝑥
10. El volumen de ventas, y (en miles de dólares), se relaciona con los gastos de publicidad x(en miles de
dólares) según
200𝑥
𝑦=
𝑥 + 10
¿Qué pasa con 𝑦 cuando la inversión en publicidad es muy alta?
11. El número de libras de durazno p de buena calidad producidos por un árbol promedio depende del número
de libras de insecticida x con el cual el árbol fue rociado, de acuerdo a la siguiente fórmula
200 + 300𝑥
𝑝=
1+𝑥
a. Calcule él lim 𝑝 cuando 𝑥 → 0 ¿qué significa? ¿qué encuentra?
b. Calcule él lim 𝑝 cuando 𝑥 → ∞ ¿qué significa? ¿qué encuentra?
12. El tipo de interés anual, 𝐼(𝑡) en %, ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo, t en años, que
esté dispuesto a mantener la inversión a través de la siguiente expresión:
90𝑡
𝐼 (𝑡 ) = 2
𝑡 +9
Si una inversión se mantuviese a muy largo plazo, ¿el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justifica la
respuesta.
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