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Instituto
Dr. Juan Segundo
Fernández
Guía Teórico- Práctica de Matemática
Profesores: Tomás Cerrotta - Silvia Rocco
Alumno:
1er Año
E.S
AÑO 2015
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
¡¡¡Bienvenidos!!!
A partir de ahora comenzamos a recorrer un nuevo camino dentro de esta Institución.
Para ello, habrá que establecer ciertas condiciones para el desarrollo del trabajo durante el
año. Una de ellas es el uso de este cuadernillo donde están preparadas todas las actividades
que se realizarán..
El esquema del cuadernillo se estructura de la siguiente manera:
 Sección teórica: Se vuelcan todas las explicaciones y ejemplos necesarios de cada
uno de los contenidos trabajados en clase.
 Sección de ejercitación: Se encuentran todos los ejercicios que iremos realizando
clase a clase, respetando el orden de los mismos.
 Sección ejercicios de repaso: En esta sección se ofrece una serie de ejercicios para
aquellos alumnos que necesiten reforzar ciertos conceptos. El docente indicará el
alumno que deberá realizarlos, pero también es importante tenerlo en cuenta para
aclarar las dudas que pueden surgir con algún concepto en particular.
Es importante traerlo todas las clases y mantenerlo en condiciones (no escribirlo ni
dibujarlo, etc. ).
Deseo que transitemos un excelente año juntos, aprendiendo y mejorando día a día.
Tomás Cerrotta
Profesor de Matemática
1
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Matemática 1er.Año Ciclo Básico
Contenidos del área:
Primer año:
El conjunto de los números naturales







Definición de los números naturales.
Suma algebraica. Supresión de paréntesis.
Potenciación y radicación: definición.
Operaciones combinadas. Separación en términos.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. (MCD y MCM)
Factorización de un número como producto de sus factores primos.
Resolución de situaciones problemáticas
El conjunto de los números racionales.










Números racionales. Concepto.
Representación en la recta numérica.
Fracciones equivalentes.
Simplificación de fracciones.
Pasaje de fracción a decimal exacto y viceversa.
Operaciones con números racionales: suma; resta; multiplicación; división;
potenciación y radicación.
Ejercicios combinados.
Resolución de situaciones problemáticas.
Porcentaje.
Resolución de problemas aplicando regla de tres simple.
Geometría










Figuras planas: triángulos, cuadriláteros, polígonos.
Elementos y clasificación.
Perímetro.
Área.
Resolución de situaciones problemáticas
Cuerpos
Poliedros y cuerpos redondos.
Elementos.
Volumen.
Resolución de situaciones problemáticas.
2
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Conjuntos





Términos primitivos.
Relación de pertenencia e inclusión.
Definición por extensión y definición por comprensión.
Diagrama de Venn.
Operaciones entre conjuntos: unión e intersección
Estadística




Población, muestra.
Variables. Cualitativa y cuantitativa discreta y continua.
Frecuencias: relativa, absoluta y porcentual.
Gráficos de barra, circulares, pictograma se histograma
3
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
El conjunto de los Números Naturales
Un poco de Historia…
El hombre desde siempre, tuvo la necesidad de contar, por ejemplo, la cantidad de
animales que cazaba, sus posesiones, etc.
Con el paso del tiempo el uso de números naturales nos permite, por ejemplo,
expresar cantidad de habitantes de un país, números telefónicos, fechas de
nacimientos, etc.
El estudio de las propiedades de las operaciones aporta métodos de cálculo
práctico y eficaz.
El sistema de numeración empleado se conoce con el nombre de sistema de
numeración decimal, consta de diez símbolos, es posicional y cada dígito o cifra toma
un valor de acuerdo al lugar que ocupa. El cero es imprescindible ya que a partir de él
se introdujo la escritura posicional en la India en el siglo V, expandiéndose hacia el
occidente, viaje que duró aproximadamente800 años.
Comenzaremos conociendo algunas características del conjunto de los números
naturales.
 Lo simbolizaremos con la letra N.
 N: el conjunto de los números naturales sin incluir el cero.
 N0: el conjunto de los números naturales incluyendo el cero.
 Tiene primer elemento. El 1 si tomamos N sin incluir el cero; el cero si
consideramos N0.
 Todo número natural tiene sucesor. Por ejemplo: 5 es el sucesor de 4.
En general:n+1
 Es infinito.
 No es denso. Entre dos números naturales no hay ningún número
natural. Por ejemplo: entre3 y4 no hay otro número natural.
4
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Recordar:
El sistema de numeración decimal es posicional pues
cada cifra tiene un valor según la posición que ocupa.
Los símbolos son: 0– 1 – 2– 3- 4– 5–6 – 7– 8- 9
Nos ubicamos…
En Matemática recibe el nombre de recta numérica a la línea donde ubicamos los
números naturales, partiendo del cero o del número más conveniente según la
situación
Recordemos un poco:
Dar ejemplos donde tuvieron que utilizar rectas numéricas y representar una de ellas.
5
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Operaciones en el conjunto delos Números Naturales
Como sabés las cuatro operaciones fundamentales dentro del conjunto de los números
naturales son: suma ó adición; resta ó sustracción; multiplicación ó producto y
cociente ó división.
Dentro de estas operaciones, a cada uno de los números se los identifica con un nombre.
Suma o Adición
115
Resta o Sustracción
sumando
115
minuendo
sumando
25
sustraendo
suma
90
Resta
+
25
140
Multiplicación o Producto
110
X 5
División o Cociente
factor
110
Factor
550
÷
producto
5
22
Dividendo
Divisor
Cociente
 Con los ejemplos analizaremos que propiedades se cumplen en estas
operaciones.
6
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Suma Algebraica
Pensamos la siguiente situación:
Francisco y Julián están resolviendo un problema de matemática, la situación es:
Una familia está planeando sus futuras vacaciones, calculan el dinero que deberían
gastar: $ 500en el alquiler, $ 250encomprasdesupermercado y$ 150 en paseos.
Si cuentan con$ 1000. ¿El dinero será suficiente?
Comparan sus respuestas, Francisco afirma que el dinero será suficiente
mientras que Julián cree que no les alcanzará.
 ¿Cuál de los dos chicos tiene razón y por qué?
Conclusiones:
Atención:
Los cálculos donde se combinan las operaciones, sumas y restas
se llaman sumas algebraicas.
Llamaremos términos positivos a aquellos precedidos por un
signo + y términos negativos a aquellos precedidos por un
Signo -.
Regla práctica
Puedes efectuar las sumas parciales de los términos positivos y los términos
negativos y luego calcular su diferencia.
Ej:
𝟐𝟖 + 𝟓𝟑 − 𝟏𝟑 + 𝟖 − 𝟔𝟒 − 𝟒 + 𝟑𝟕 =
(𝟐𝟖 + 𝟓𝟑 + 𝟖 + 𝟑𝟕) − (𝟏𝟑 + 𝟔𝟒 + 𝟒) =
7
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
¿Por qué usamos los paréntesis?
Al aplicar la regla práctica, se usaron los paréntesis para agruparlos términos
positivos y los términos negativos.
La principal función que cumplen los paréntesis es indicar cuál es la operación que
se debe resolver primero.
Ejemplo:
80 – (14 – 4+ 10) – (12+ 6) + (18+ 16–4) =
= 80 – ( 20) - ( 18) +
( 30 ) =
= 80 -
20
-
18
+
30
= 72
8
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Seguimos agrupando:
El uso de los corchetes [ ] y las llaves {}.
Cuando se incorpora a un cálculo un nuevo signo como los corchetes y las
llaves, los mismos nos indican el orden en el que se deben resolver las
operaciones.
Analiza el ejemplo:
14 + { 15 – [ 9 + ( 6 – 5) ] + 3} – 2=
El orden de las operaciones será:
Suprimir los paréntesis:
=14 + {15 – [ 9 + 6 – 5] + 3} – 2 =
Suprimir los corchetes
=14 + {15 – 9 – 6 + 5 + 3} –2 =
Suprimirlas llaves
=14 + 15 – 9 – 6 + 5 + 3 – 2 = 20
9
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
¡Ahora! Las cuatro operaciones: suma; resta; multiplicación y división.
Operaciones combinadas
Al incorporar las operaciones multiplicación y división, comenzamos a resolver lo que
se conoce con el nombre de operaciones o cálculos combinados.
Para poder efectuar los cálculos debes tener en cuenta el orden de las
operaciones.
Ejemplo:
10 ● 8 : 4 + 18 : 6 – 4 : 2 ● 8 + 5 =
1º) Debes separar en términos. Los signos que determinan cada uno de los
términos son el ( + ) y el (- ) .
2º) Resuelves las multiplicaciones y divisiones.
20 + 3 – 16 + 5 =
3º) Resuelves la suma algebraica obtenida
20 + 3 – 16 + 5 = 12
10
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Seguimos agrupando…
A partir de lo aprendido: resolvemos…
40 + {10 ● 5 – ( 20 : 5) + [ ( 10 : 5) ● 4] }=
= 40 + {50 – (4) + [ ( 2) ● 4] } =
= 40 + {50 – 4 + [ 2 ●4]}=
= 40 + {50 – 4 + 8}=
= 40 + 50 – 4 + 8 = 94
-Enuncia los pasos efectuados en el cálculo según su desarrollo:
1)……………………………………………………………………………………………….
2)……………………………………………………………………………………………..
3)………………………………………………………………………………………………
4)……………………………………………………………………………………………….
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Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Resuelve las operaciones propuestas. Analiza los resultados y compara.
a)3●3●3 = …………
b)4+4+ 4=………………..
c)4●4 ●3●3= …………..
d)4+4+3+3=………………..
Esta operación recibe el nombre de ……………………………
Definimos:
aⁿ
=b
donde:
a : base: factor que se repite.
N: exponente: es la cantidad de veces que se debe repetir el
factor.
B: potencia.
...................................................................................................................................
Algunos conceptos importantes:
Todo número elevado a la cero da por resultado uno.
aº = 1, por ejemplo: 4º =1
Todo número cuyo exponente es 1 da por resultado el mismo número:
a¹= a, por ejemplo: 4¹= 4
Empleamos el vocabulario adecuado:
a²: se lee al cuadrado.
a³: se lee al cubo
12
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Las potencias de 10…
Calculamos:
10º =…………
10¹= …………
10²= …………
6
10= ……….
10³=..............
10⁵= …………
Una potencia de diez está formada por un número
uno seguido de tantos ceros como indica el
exponente.
Encuentren encada caso, un número que elevado al cuadrado de como
resultado:
a) 4 =
b) 16=
c) 25=
d) 100=
La operación realizada se llama………………….
La ……………………..es la operación inversa de ……………………...
Para calcular, por ejemplo, la raíz cuadradadenueve,pensaremos:
¿Cuáles el número que elevado al cuadrado da por resultado 9?…
Simbolizamos:
√9= 3 pues3² =9
ⁿ√b = a
En general:
Dónde:
a ⁿ=b
n: índice
√: radical
b:radicando
a: raíz
Leemos:
√ b : raíz cuadrada de b (el dos no se escribe)
³√ b: raíz cúbica de b.
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Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Cálculos combinados:
A partir de ahora, resolveremos cálculos combinados u operaciones combinadas
con las seis operaciones: suma; resta; multiplicación; división; potenciación y
radicación.
Ejemplo:
4² ● 5 – 6●√ 25+2².8º =
=
16 ● 5 – 6 ● 5 + 4 ● 1 =
=
80 – 30 + 4
=
54
Pautas a seguir para resolver los cálculos combinados:
1) Separar en términos.
2) Resolver potencias y raíces.
3) Resolver productos y cocientes.
4) Resolverla suma algebraica.
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Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Uso de paréntesis en los cálculos combinados:
Ejemplo:
9 ● (3 ● 5 –14)²+ √ 36:2 - 4º ● 5
=
= 9 ● ( 15 –14) ² + √ 36 :2 - 4º ●5 =
= 9●(1)²
+ √ 36 :2 - 4º ●5 =
= 9●1
+
=
9

+
6 :2 - 1●5
=
3
=7
- 5
Analiza el procedimiento utilizado y explica las pautas a seguir para la
resolución de los cálculos combinados.
1) ………………………………………………………………………….
2)……………………………………………………………………………
3) ……………………………………………………………………………
4) ……………………………………………………………………………
5) ……………………………………………………………………………
15
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Trabajo práctico 1
El conjunto de los Número Racionales
1) ¡Atención!
-Realiza las siguientes operaciones y coloca los resultados en el cuadro. Debes tener en
cuenta que el resultado debe ser un número natural.
a
b
36
4
a+b
b+a
a-b
b- a
4
18
axb
bxa
a :b
b:a
64
0
18
5
45
2) A partir de los resultados del ejercicio 1 y teniendo en cuenta la consigna de ese
ejercicio, ¿qué propiedades se cumplen en las operaciones propuestas?
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Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
3) Resuelve las siguientes sumas algebraicas de dos formas distintas:
a) 15–8+ 1+2+ 10+21+38=
b) 8 + 7–12–4–1+32+ 5=
c) 18–3+ 2–4+3–2–1–4=
d) 12–3–1+ 2+3+ 1=
e) 100–64+ 50–36=
4) Resuelve las siguientes sumas algebraicas, suprimiendo los paréntesis:
a) (4–3+ 6–1) – (8–5+1) + ( 6 – 4+2) + 3=
b) 12– (7+ 3) + (8+ 5) – 3+6+ 8 – ( 2+7) =
c) (4+12) – (9+ 5) + ( 8 + 17 ) – ( 9 – 6) + (9 – 5) =
d) 57– (20+ 4) – ( 16–12 ) + ( 14 – 11+2) =
e) 15+ 25– ( 6+19) + 4 – ( 8+10) + ( 6–5-1)=
5) Coloca los paréntesis donde sea conveniente para obtener el resultado propuesto:
a) 4–1+ 15–3=7
b) 3–1+ 5–4+2= 3
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Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
6) Suprime paréntesis, corchetes y llaves, luego resuelve:
a) {26+12–[ 4+ (6–5)] +15} –(12+ 34) =
b) 15–(13–8) + { 16+ [ 15+ 9–( 2+6) ]}–( 45–16) =
c) {[ ( 7+ 15)–( 19–14)] +[16+ ( 15–8) ] }- 28=
d) [24–(32–25) + ( 11–9) ]–[ 47–( 32+17–11) ] =
e) {14+ [ 19–( 27–15) ] –[ ( 8–2) + (7 –4) ] }+4=
7) Resuelve los siguientes cálculos combinados:
a) 5 ●8 : 2 + 9: 3 – 8: 4 – 8+ 5=
b) 35: 7 + 12: 4+ 8●2 – 5●3 + 3 ● 2=
c) 26: 13+ 200: 25 + 100: 10● 2 – 300:100=
d) 9 ● 7 ● 3 – 5 ● 4 ● 7– 3●8 – 5 ● 1 ● 4+ 3 ● 3=
e) 45: 9+15: 5 ● 8+ 128: 4–40:2+ 1–20=
f) 10●8 : 4+18: 6 –4: 2●8 +5=
g) 12●6–1●9 ● 3+105: 7–4 ● 5–10: 2=
h) 125 :5+7● 9–5 ● 3 ●2 + 6+9●5 + 3
18
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
8) Resuelve los siguientes ejercicios combinados, recuerda aplicar el procedimiento
adecuado:
a) 4 + {8:2+ [ 5+3●(24: 6) ]–13} + (20: 5) =
b) 21+ {43–[ 15:5+ ( 8 –3 ● 2) ] } +10: 10=
c) {[ 21● 3+12 –(9: 3) + 1] + [14+ 40–( 4 ● 10–30) ●2 ]}–14=
d) {14–8+ [ ( 9 ● 5–13)–( 3 ● 7–10) + (4●6 –23)] –5}●100=
e) {4 ● 5●6 :[6●4 + ( 5 ●3–9) ]●10} + ( 12 : 2) =
f) 7 ●9 :3+ {43–[ (15: 5 )+10] } + 6=
9) Situaciones problemáticas
 Los problemas deberán ser planteados como cálculo, realizando los
planteos en forma de dibujo o esquema y las cuentas auxiliares
necesarias.
a) Un auto al contado cuesta $48.750; pero también se puede pagar por medio de
diferentes planes. Plan1: la mitad al contado y la otra mitad en cinco cuotas de igual valor.
Plan2: 10 cuotas iguales de$ 5.370. Plan3: 36cuotas iguales, con un recargo de$ 18.000
sobre el precio de contado.
Calcular:
1) ¿Cuánto se debe pagar por cada cuota del plan 1; 2 y 3?
2) ¿Cuál es la diferencia deprecio entre el plan 2 y el plan1?
b) Un grupo de chicos organizó una rifa para comprar algunos equipos para la escuela.
Quieren comprar un televisor que cuesta $1.780; cuatro computadoras que cuestan $2450
cada una y seis ventiladores cuyo valores $350. ¿Cuánto dinero deberán recaudar para
poder comprar los productos? ¿Cuántas rifas de$5 deberán vender para juntar todo el
dinero? Si deciden vender100rifas, ¿cual deberá ser el precio de cada una?
c) Para un acto deportivo los organizadores arman un grupo con 1.800 deportistas
ubicados en filas con la misma cantidad de personas. ¿Cuántas filas se formaran si cada
una tiene 90 personas? Si se quiere ordenar en 50 filas la misma cantidad de deportistas,
cuantas personas se deberán ubicar en cada una delas filas?
d) La cooperadora de una escuela recibió una donación de baldosas. Si se colocan en 24
filas será necesario colocar 32 baldosas. ¿Cuántas baldosas se deberán colocar si se
ubican en 48 filas?
19
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
10) Completa la tabla:
A
0
1
2
3
4
5
6
7
a²
a³
11) Completa los exponentes:
a) 1.000.000.000= 10····
b) 1.000.000= 10····
c)
d) 10.000.000= 10····
100.000.000= 10 ····
12) Completa con un número natural, cuando sea posible:
a)….² = 49
b) ………³ = 64
d) ….² =144
e) ….²= 25
g)……³ =216
h)………³ = 8
c)……….³ = 6
f) ….² = 18
i)………³ =1000
20
8
9
10
11
12
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
13) Completa:
a)
B
1
4
9
49
64
36
81
100
121
25
16
144
169
√b
b)
b
1
8
27
125
64
∛b
14) Resuelve los siguientes cálculos combinados:
a) 5² ●2–√49● 4=
b) 2²● 3+6●2³: 3 -√100–5=
c) √81–3●√4+ 8²: 4=
d) 48: 2³+ 10:√25 –3³ :9=
e) 4³: 8+100:5²- √36●5º =
f) 54:3³ ●2+ √64● 2–39: 3=
g) 14+ 4:2+ √64–18: 6=
h) 12² : 16 – ∛27 + 4●2 + 7 =
i) 8 + 20:2² +3²-√16●2=
j) 24–6●4+1●5²- √49=
21
1000
512
343
216
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
15) Resuelve los ejercicios propuestos, atención en su desarrollo:
a) 7 ²: (4+3) + 14+4: 2=
b) ∛125. (2+1) +9º . 3 – (13–3) :2=
c) √100-2⁴: 2+ (3.3–2) ² =
d) ∛27- (8- 2³) + (3+2 .3) ² =
e) (25+ ∛1000:5) + 10² =
f) 3. (7–2) +2³ - √64=
16) Analiza el procedimiento aplicado en los siguientes ejercicios, indicando el error, si
existe y justifica:
a) 25+ 10:5+ 80=35:5 + 1=8
b) (8 –4:2) +5² +2.3= (8–2)+ 10+6= 6+10+6= 2
Aplicando lo aprendido:
Uso de paréntesis, corchetes y llaves:
17) Resuelve los cálculos combinados:
a) [16:2² + (6² :4) ] + ( 2⁴+ 1) =
b) 121:11+ {12²:∛8–[ √9 + ( 12–2³) ] } + 3.2³=
c) √100: ( 500:50) + 4.11+ 1=
d) { 10² : ∛125+ 8² :2+ [ (2³ :4+ 1³) . 2¹] } =
e) { [ ( ∛125: √25) + (√100 . ∛1000) : 10] } + ( 2) ² +5=
f) {14: 7+ [ (3) ² -2–4 ]+ 2³} + 40=
22
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Divisibilidad
Leemos atentamente:
Paula y Nicolás están repasando cuentas de dividir. Paula dice que el resultado de la
división entre640 y 8 es 80 y su resto es cero. Por otra parte Nicolás divide
564 por 8 y obtiene como resultado 70 y el resto es 4.
 Realiza las cuentas en tu hoja.
 Indica que nombre reciben cada uno de los números que intervienen en
ambas cuentas.
Definimos:
Dividendo =
D =
divisor x cociente + resto
d
x
c
+ r
El resto ( r) de una división entera siempre es menor que el divisor.
Si el resto(r) de una división entera es cero, decimos división exacta.
23
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
¿Es divisible por…? ¿Es múltiplo de…?
Actividades:
Responde y completa la línea punteada:
a) ¿El número 8 es múltiplo o divisor de 4? ¿Por qué?
……………………………………………………………………………
b) ¿El número 3 es múltiplo o divisorde12? ¿Por qué?
……………………………………………………………………………………………
Conclusión:
Un número natural a es múltiplo de b si existe un número c que multiplicado por
b da como resultado a.
Por ejemplo: 12 es múltiplo de 6, porque 2 por 6 es igual a doce.
Un número natural a es divisor de b si el resto de la división de b por a es igual a cero.
Por ejemplo: 6 es divisor de 18, porque la división entre18 y 6 tiene resto 0.
c) Analiza la conclusión y los ejemplos y propone tres ejemplos donde se cumpla
la condición de que un número es múltiplo y otros tres ejemplos donde un número
sea divisor de otro.
24
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Números primos y números compuestos:
Realiza las siguientes cuentas de dividir y compara:
12: 1=
12: 2=
12: 3=
12: 4=
12: 6=
12: 12=
17: 1=
17: 17=
Definimos:
Un número natural es primo cuando
tiene………………………………………………………………
Un número natural es compuesto cuando
tiene……………………………………………………….
IMPORTANTE
a) El cero es múltiplo de todos los números.
b) El conjunto de divisores de un número es finito.
c) El uno es divisor de todos los números.
d) El conjunto de múltiplos de un número es infinito.
25
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Situaciones problemáticas
a) Una de las guirnaldas de luces de un árbol de navidad se enciende cada 6
segundos y la otra cada 9 segundos. ¿Cada cuántos segundos se encenderán
juntas?
b) En un curso hay 32 varones y 24 mujeres. Se va a jugar un campeonato de vóley
y se deben formar equipos que tengan la misma cantidad de integrantes, sin
mezclarlos y además cada uno debe tener la mayor cantidad de integrantes.
¿Cuántos chicos y chicas pueden formar cada equipo? ¿Cuántos equipos es
posible formar?
¿Recuerdas cómo se resuelven estas situaciones? ¿Cuáles?
 Llamamos……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
 Llamamos……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
La descomposición en factores primos ó factorización implica
expresar un número como producto de sus factores primos.
Para cada número la descomposición es única.
26
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Trabajo práctico2
Divisibilidad
1) Completa la línea punteada y da un ejemplo en cada caso:
a) Si se multiplican dos números pares se obtiene un número……..
b) Si se multiplican dos números impares su resultado es………….
2) Indica verdadero (V) ó falso (F). Justifica:
a) El número 5 es múltiplo de125.
b) El número6 es divisor de 72.
c) El número108 es divisible por 9.
d) El 1 es divisor de todos los números.
e) El número 49 es divisor de 7.
f) El cero es divisor de todos los números.
3) Dada las siguientes descomposiciones en factores primos, indica verdadero o falso y
justifica:
a) 80 = 2⁴● 5
b) 35= 5●7
c) 48= 2⁴● 3
d) 56=2⁴●7
4) Escribir y explicar:
a) Dos números que tengan a 360 como mínimo común
múltiplo.
b) Dos números que tengan a11 como divisor común mayor.
27
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
5) Crucinúmeros:
Referencias horizontales:
Referencias verticales:
1- Primer múltiplo de 2 mayor que 90.
1- Múltiplo de7mayorque 91
2- Numero divisible por 11
comprendido entre 60 y 70.
5- Mínimo común múltiplo de 35 y 42.
y menor que 105
3- Mínimo común múltiplo de
8- Divisor común mayor de 90; 60 y 105.
12 y 20.
9- Menor múltiplo de11; 9y 3 a la vez.
4- Primer múltiplo de 3
mayor que108.
6-Primer número primo
Mayor que 60.
7- Número capicúa mayor 90.
1
2
3
4
5
6
8
7
9
28
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
6) Situaciones problemáticas:
Plantea y resuelve los problemas de dos formas distintas.
a) Gabriel tiene 66 figuritas de la selección argentina, 48 de las elección brasilera y
54 de la selección francesa. Quiere guardarlas en el menor número de sobres que
tengan la misma cantidad de figuritas de cada selección. ¿Cuántos sobres serán
necesarios? ¿Cuántas figuritas deberá poner en cada uno?
b) En el supermercado del barrio reciben mercadería cada 4días, pagan a los
proveedores cada 7 días ya los empleados cada 14 días. ¿Cada cuántos días las
tres situaciones sucederán el mismo día?
c) En un curso hay 32 varones y 24mujeres.Se va a jugar un campeonato de futbol de
varones contra mujeres. Hay que formar equipos todos con la misma cantidad de
integrantes y todos deben jugar. En los equipos no se deben mezclar los varones
y las mujeres y cada uno debe tener la mayor cantidad de integrantes.
¿Cuántos chicos podrán tener cada equipo y cuantos equipos se formaran?
29
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
El conjunto delos números racionales
Lee atentamente y responde:
a)
Martín faltó al colegio esta semana el lunes y el miércoles.
¿Qué fracción de los días hábiles de la semana representa?
b) Si una persona duerme 8 horas del día. Indica la fracción que indica ese
tiempo.
c) Un grupo de jóvenes está formado por 18 varones y 14chicas. ¿Qué parte
representan los varones?
Generalizamos
Los números racionales están formados por:
a numerador: indica la cantidad que se toma de ese entero.
b denominador: indica la cantidad en que se divide al entero.
a y b son números naturales y b debe ser distinto de cero.
- Representa a través de un gráfico las respuestas obtenidas
Clasificación de fracciones:
 Fracciones propias: El numerador es menor que el denominador.
 Fracciones impropias: El numerador es mayor que el denominador.
 Fracciones aparentes: Representan al entero; el numerador es igual al
denominador.
30
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Número mixto: Toda fracción impropia puede ser expresada como un número
mixto.
-Propone un ejemplo de cada una de estas fracciones.
Los números racionales pueden expresarse como fracciones o bien por su
desarrollo decimal.
Si efectuamos la división entre el numerador y el denominador de una fracción
obtendremos:
Expresiones
Decimales
Exacta: El resto de la división es cero.
Ejemplo: 2=2:5 = 0,4
5
Expresiones decimales periódicas puras. El resto de la división es
distinto de cero
Ejemplo: 1 = 1 : 3 =0,33…
3
Expresiones decimales cuyo denominador es diez ó una potencia de diez:
Observa:
1 = 0,1
10
1 = 0,01
100
1
1000
10¹= 10
10²= 100
10³ = 1000
31
= 0,001
Matemática 1er. Año

Profesor: Tomás Cerrotta
Al expresar una fracción cuyo denominador es 10 o una potencia de diez como
expresión decimal se corre la coma hacia la izquierda tantos lugares como
indica el exponente de dicha potencia.
Ubicación en la recta numérica:
-Considera los siguientes números racionales:
a) ½;
¾;
7/10.
b) 0,5;
0,75; 0,7.
- Representa en la recta numérica las fracciones y expresiones decimales de los
puntos a y b.
-Compara y extrae conclusiones.
Trabajamos con fracciones:
 Fracciones equivalentes:
Para hallar fracciones equivalentes multiplicamos numerador y denominador por
un mismo número.
Ejemplo:
3
5
x 2= 6 x
2 10
3 = 18 = 6
3
30
10
a y a ● m son fracciones equivalentes.
b b●m
……………………………………………………………………………………………
En general:
Simplificación:
Para simplificar una fracción, dividimos numerador y denominador por un
mismo número, divisor de ambos.
Ejemplo: 36 : 9= 4 : 2= 2
90 9 10 2 5
32
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
2: es una fracción irreducible pues el mcm ( 2;5) =1
5
Las fracciones dadas en el ejemplo son fracciones equivalentes.
Comparación de fracciones:
¿Cuál es menor 2/5 o 5/8?
-Un procedimiento para comparar dos fracciones es obtener fracciones
equivalentes a las dadas cuyo denominador sea múltiplo de ambos
denominadores, luego se comparan los numeradores.
Ejemplo:
Comparamos 2 y 5
3
8
Hallamos fracciones equivalentes con denominador 24:
Por lo tanto:
16> 15
2> 5
24
3
24
8
Entre dos fracciones siempre hay otra fracción
Observa:
4
Entre 2
7
y
4
7
está 3
7
2< 3<
7 7
7
¿Podemos intercalar una fracción entre 3 y 4?
7
7
1)
3 = 6
7
14
De 1 y 2 se obtiene:
2)
4 = 8
7
14
6;
7;
8
14
14
14
33
16 y 15
24 24
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
7 es una fracción equivalente a 1; por lo tanto 3< 7< 4
14
2
7 14
 Conclusión:
Entre dos números racionales siempre hay otro número racional, por eso se dice
que el conjunto de los números racionales es denso.
 Operaciones con números racionales
 Suma y resta con igual denominador
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se puede hallar fracciones
equivalentes a las dadas, cuyo denominador será el mcm entre ellos,
transformándose de este modo en una suma o resta con igual denominador.
Ejemplos:
7 + 1=
2
2
7-
1=
2
2
-Tenemos otra posibilidad de resolver estas operaciones:
Ejemplos:
7 + 1=
2
2
7 - 1=
2
2
34
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
¿Cómo resolvemos las sumas o restas con distintos denominar?
Ejemplos:
7+ 1 =
7
4 2
4
–
1 =
2
 Conclusiones: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Importante:
Tanto en la suma como en la resta se puede simplificar cada una de las fracciones
correspondientes a cada término, de igual modo podemos operar y finalmente simplificar
el resultado obtenido.
……………………………………………………………………………………………………
Multiplicación:
Para resolver esta operación, se multiplican los numeradores entre si y los
denominadores entre sí.
Ejemplo:
1
2
x 3 = 1● 3
5
2● 5
=3
10
Simplificación:
En el producto se puede simplificar previamente, los numeradores y
denominadores entre si o alternados.
…………………………………………………………………………………………
Fracción inversa:
Llamamos fracción inversa de una fracción a aquella que se obtiene
intercambiando el numerador por el denominador de la fracción dada.
Ejemplo:
3
Es fracción inversa de
5
5
3
-El producto de una fracción por su fracción inversa es igual a 1.
35
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Fracción de un número natural:
En general:
a de
b
Ejemplo:
1 de 10 = 1 ● 10 = 2
5
c
5
Se reemplaza “de” por la operación producto
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------División
Para resolver una división entre números racionales podemos hallar la fracción
inversa del divisor y transformarla en una multiplicación.
Ejemplo:
7: 3= 7x 4= 7● 4= 28= 7
8 4
8
3 8 ● 3 24
6
Otro procedimiento:
7:
8
3 = 7 ● 4 = 7 ● 4 = 28 = 7
4
8
3
8● 3
24
6
Simplificación:
La simplificación en la operación división se debe realizar entre numeradores y
denominadores.
36
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Potenciación y radicación en el conjunto de los números racionales.
Para elevar una fracción a un determinado exponente debemos calcular la
potencia tanto al numerador como al denominador.
En general:
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
Todo número racional elevado a la ceroesiguala1.
Todo número racional elevado a la uno es igual al mismo número racional.
Ejemplo:
3 2
32
9
( ) = 2=
5
5
25
Radicación
Para calcular la raíz cuadrada o cúbica de un número racional,
hallamos la raíz cuadrada o cúbica tanto del numerador como el
denominador.
Ejemplos:
4
23 8
2
√ = √ =
9
3 27
3
37
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
PORCENTAJE
UNA FRACCIÓN CUYO DENOMINADOR ES 100 REPRESENTA LA EXPRESIÓN
CONOCIDA COMO PORCENTAJE.
Ejemplo:
35/100=35%
Si queremos calcular el 35% de 180 realizamos la siguiente operación:
35
100
● 180 = 63
En general: si queremos calcular el x % de una cantidad n hacemos así:
𝑥
●n
100
……………………………………………………………………………………………
Ejercicio:
Indica si las siguientes igualdades son correctas y justifica:
a) 75%=
d) 80% =
3
4
3
5
1
b) 50% =
2
e) 10% =
1
10
c) 25% =
f) 3 % =
38
1
4
15
100
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
Trabajo práctico 3
El conjunto de los Números Racionales
1) Dados los siguientes números racionales:
1/3;
3/3;
9/5;
8/4;
2/3;
9/6
a) Clasifícalos en fracciones propias, impropias, aparentes.
b) Representa en la recta numérica: 9/5;
2/3.
2) Completa para obtener fracciones equivalentes:
𝑎)
2
=
=
3
6
24
𝑏)
12
=
=
18
6
24
𝑐)
7
=
=
25
100
1000
3) ¿Es posible hallar una fracción equivalente a 36 /27 cuyo denominador sea20?
4) Completa el cuadro:
Fracción
Se lee
Mayor o menor que
1
Representación
¾
Siete quintos
2/3mayorque1
3/2
39
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
5) Simplifica hasta obtener la fracción irreducible:
𝑎)
6)
6
36
𝑏)
24
90
165
385
Resuelve las siguientes sumas y restas. Expresa el resultado como
fracciónirreducible cuando sea posible:
a) 9 +
8
13
+2 =
8
8
b)
c) 13 - 7 + 6=
4
𝑐)
4
d)
5
- 3=
4
4
7+ 3+9=
4
5
5
5
7) Resuelve dedos formas distintas:
a) 1 + 5 +
4
7
d) 5
3
3 =
b) 7 - 1 + 5=
14
9
+ 8 + 12 =
7
21
e)
3
3
2
c) 5 + 2 + 7=
2
36
12
- 4 +7 -3 =
5 10 20
8) Agrupa para resolver de forma más simple los cálculos:
a)
4 + 1 + 6 + 5=
3 4 4 3
b) 11 + 2+ 7 + 3=
3 10 3 5
c) 4 + 2 + 1 + 4 =
15
3
15
3
40
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
9) Resuelve los siguientes productos. Simplifica.
𝑎)
4 12 55
∙
∙
=
15 22 32
𝑑)
𝑏)
6 5 14
∙
∙
=
7 12 5
5 18 8
16 5 21
∙
∙ = 𝑒)
∙ ∙
=
16 5 9
7 6 16
𝑐)
𝑓)
14 45 12
∙
∙
=
9 21 5
5 5 21
∙ ∙
=
8 6 16
10) Completa las multiplicaciones para que el resultado sea el propuesto:
a)
1
3
∙= 1
b)
3
10
∙= 1
c)
4
9
∙
=1
11) Escribe la fracción inversa de:
a)5/ 6
b)9/8
c) 1/5
d)7
12) Simplifica cuando sea posible y luego resuelve:
𝑎)
21
49
÷
=
25
30
𝑏)
5
10
÷
=
3
9
𝑐)
8
13
÷
=
5
3
𝑑)
11
33
÷
=
15 100
𝑒)
72
27
÷
=
49
7
𝑓)
25
5
÷ =
3
9
13) Expresa como cálculo y luego resuelve:
a) Los cuatro tercios de noventa y seis.
b) Un tercio de seiscientos cuarenta y cinco.
c) Los siete octavos de seiscientos cuarenta y ocho.
d) Los cuatro quintos de ochocientos cincuenta.
41
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
14) Cálculos combinados:
𝑎)
1 12 9
+
÷
=
4 5 10
3 2 4
𝑏) ∙ + =
4 9 5
𝑐)
2 4
− ÷8=
3 3
2 3 10 1
4 2 5 1
1 3 5 1
𝑑) + ∙
− = 𝑒) ∙ + ÷ = 𝑓) + ∙ − =
3 5 9 6
3 3 8 5
5 5 2 4
14) Resuelve los siguientes cálculos, compara los resultados. Explica la diferencia de
los mismos.
𝑎)
1 1 2
+ ∙ =
3 2 5
1 1 2
𝑎`) ( + ) ∙ =
3 2 5
𝑏)
2 1 3
− ∙ =
3 2 5
2 1 3
𝑏`) ( − ) ∙ =
3 2 5
𝑐)
2 1 3
+ ∙ =
5 3 5
2 1 3
𝑐`) ( + ) ∙ =
5 3 5
15) Calcula las siguientes potencias y raíces:
4 2
𝑎) ( ) =
9
1 3
𝑏) ( ) =
5
2 121
𝑐) √
=
144
42
2 49
𝑑) √ =
36
3 125
𝑒) √
=
1000
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
17) Resuelve:
1 3 1 2
𝑎) ( ) ÷ + =
3
3 3
3 1 2 2 7
𝑏) ( − ) + ∙ =
5 5
7 5
3 1 2 5 1
𝑐) ( − ) − ∙ =
2 4
8 2
5 9
1 3
𝑑) ∙
−( ) =
3 25
2
1 2 2 5
4
𝑒) ( + ) − + √ =
2 3
6
9
4
5 3
𝑓)√ +
∙ =
49 14 5
1 3
7
25
𝑔) + √1 − ÷ √
=
3
8
100
2 3 1 3 8
ℎ) ( ) − ∙ √ =
3
9
27
18) Cálculos combinados con paréntesis; corchetes y llaves:
1 3 3 1
3
9
𝑎) {[( ) + √ ] ∙ ( )} + √ =
2
64
8
64
4
1
1 2
1 0
𝑏) { + [ + ( ) ]} − ( ) =
5
2
2
4
2 2 3 27
1 2
𝑐) {[( ) + √
]} + ( ) =
5
125
5
4 1 1 2 1
2 10
𝑑) + ∙ ( ) ÷
+ {[( ∙ )] + 3} =
3 6 2
24
5 3
2
4
1 1
3
𝑒) ( ∙ (3)) ÷ [ + ∙ √16] ∙ ( ) =
3
2 4
32
43
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
19) Escribe los siguientes números decimales como fracción y simplifica hasta obtener la
fracción irreducible cuando sea posible:
a) 0,6=
b)1,8=
c) 0,09=
d)0,75=
20) ¿Cuánto le falta a cada número para llegar a la unidad?
a) 0,73
b) 0,49=
c) 9,123=
d) 0,035=
21) Representa en la recta numérica:
0,25;
0,75;
1,50;
1,2;
1,8;
2,6
22) a) Responde: ¿Qué tendrías en cuenta para ordenar de menor a mayor números
decimales?
b) Ordena de menor a mayor los números dados en el ejercicio 23.
23) Halla la expresión decimal y representa en la recta numérica:
a) 5 y
9
40
72
b) 7
5
y
28
20
Completa:
-
Las fracciones dadas son fracciones…………………………………………. ;sus
expresiones decimales son………………………………..….
- La ubicación en la recta numérica de una fracción y su expresión decimal.
…………………………………
24) Expresa como fracción cuyo denominador se a una potencia de diez:
a) 6,25
b) 12,5
c)0,75
d)0,5
44
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
25) Realiza las siguientes sumas y restas:
a) 0,02 + 15,006 + 9 + 8,3=
b)48 + 0,207 + 1,06 + 121=
c) 14 – 9,62=
d) 15,6 – 8,124=
e) 0,18 + 0,5 – 0,327=
f) 9,16 –1,062+ 12=
26) Efectúa los siguientes productos:
a) 48● 0,95=
b) 193● 1,07=
b) 4,38●0,745=
d) 94,3●2,4=
27) Calcula los siguientes cocientes:
a) 75,62 : 4,12=
b) 0,082 : 0,15=
b) 15,402 : 34=
d) 1296 : 0,54=
28) a) Para cada fracción halla su expresión decimal y resuelve.
b) Para cada expresión decimal halla su fracción y resuelve.
𝑎)
8
+ 2 ∙ 0,1 =
10
𝑑) 0,24 ∙ 5 +
1
∙9 =
25
𝑏)
1
+ 4 ÷ 0,8 =
2
𝑒) 0,25 ÷ 25 +
1
𝑐) 0,6 ÷ − 0,03 ∙ 10 =
5
7
÷ 70 =
10
45
𝑓)0,3 ÷
3
− 0,03 =
100
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
29) Calcula mentalmente. Expresa el resultado como expresión decimal y clasifícala:
a) √
b)
121
64
=
3
3
√
1
216
64
d) √125 =
=
9
𝑒) √
=
169
4
𝑐)√81=
30) Indica verdadero o falso:
a) (0,5)² + ( 0,2)² = ¼+ 1/25
c) (2,3)² + 0,07= 30/100
b) (1,5)² - (0,5)²= 1
d)(1/8)² : 5/16= 1/20
31) Resuelve como expresión decimal. Luego realiza el pasaje a fracción y resuelve.
a) 0,8+2x0,1=
c) (1,5)²- √0,04:√ 0,36 =
e) (0,6 –0,4)²+1,37:0,05=
b) (1, 2)² +8,1: 0,9=
d) ( 1+0,21) ² : √ 1,21=
f) √ 0,25+ 0,5: 0,25–1+ 1,5=
46
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
32) Situaciones problemáticas.
Analiza si existe una sola posibilidad como planteo y resolución de algunas de las
situaciones problemáticas.
a)
Tres hermanos repartieron una pizza. El primero se llevó 1/3 de la pizza, el
segundo¼. ¿Qué parte de la pizza se llevó el tercero? Explica tu respuesta.
b)
Claudio realiza un viaje en varias etapas. El primer día recorre¼ del camino,
el segundo día, 1/5delo que quedaba y tercer día termina su viaje. ¿Qué parte
del camino recorre el último día?
c)
Para preparar una tarta Ana usa ¾ kilos de acelga. La tarta rinde para 6
personas. ¿Qué cantidad de acelga deberá usar para hacer la tarta si come: 1
persona, 2 personas o 3 personas?
d)
Ariel tiene un barril con 53/3 litros de aceite para autos. Los divide en envases
para venderlo. ¿Cuántos envases serán necesarios si su capacidad desde ¼
litro, ½ litro y ¾ litros?
e)
En la tabla figuran las calificaciones obtenidas por los alumnosde1º año en la
última prueba.
-Completa la tabla.
Calificaciones 1 ; 2; 3
4y5
6
7y8
9 y 10
Cantidad
Porcentaje
Total
25
4
%
8%
36%
28%
24%
100 %
Porcentaje de alumnos aprobados:............ %
f) ¿Cuántas veces hay que sumar 0,1 para obtener como resultado 1?
g) Con 3kilos de naranjas se obtiene 2½ litros de jugo. ¿Cuántos litros dejugo se
obtendrán con 1kilo de naranjas y4,5 litros de naranjas?
h) Si 10 caramelos tienen un precio de$0,50, calcula el precio de 20; 40 y 100
caramelos. ¿Cuál será el valor de la unidad? Explica como realizaste el cálculo.
i)
Un auto realiza un trayecto a 60km/h y tarda 2 horas. ¿Qué tiempo tardara si
la velocidad es de 120km/h; 40km/h y 30km/h?
- Analiza y compara las situaciones h) e i). ¿Qué diferencias puedes identificar?
Explica tu respuesta.
47
Matemática 1er. Año
Profesor: Tomás Cerrotta
33) Resuelve el siguiente crucinúmeros. Debes tener en cuenta las referencias y
recuerda realizarlos cálculos en la hoja.
Referencias horizontales:
a) Lamitadde984.
c) 0,5:5+0,9=
e) ³√125/2. 864/10=
Referencias verticales:
A ) La quinta parte de 2000.
b) La tercera parte de 69.
d) √ 144/ 4 + ( 2/5)² . ( 5)³ =
a)
b)
d)
e)