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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:11 — page 1 — #1
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1.-La diagonal de Cantor
Introducción
1 El argumento de la diagonal de Cantor hace uso de una hipotética tabla T que se supone contiene todos los números reales en el intervalo real
(0, 1). Dicha tabla puede ser fácilmente redefinida con el fin de garantizar
que contiene por lo menos todos los números racionales de (0, 1). En estas
condiciones, ¿podrı́an reordenarse las filas de T de tal manera que pudiera
definirse una antidiagonal racional? En ese caso, y por la misma razón que
en el argumento original de Cantor, se habrı́a probado que el conjunto de
los números racionales es no numerable. Y entonces tendrı́amos una contradicción, porque como el mismo Cantor también probó, el conjunto de los
números racionales es numerable. ¿Debe, por lo tanto, suspenderse el argumento de la diagonal de Cantor hasta que se demuestre la imposibilidad
de tal reordenamiento? ¿Serı́a posible ese reordenamiento? La discusión
que sigue aborda ambas cuestiones.
Teorema del n-ésimo decimal
2 Empezaremos demostrando un resultado básico relacionado con la representación decimal de los números racionales (se podrı́a aplicar también
a los números irracionales) del que haremos uso más adelante. Para ello,
sea M el conjunto de todos los números reales en el intervalo real (0, 1)
expresados en notación decimal y completados, en los casos de un número
finito de cifras decimales, con infinitos ceros a la derecha, ası́ en lugar de
0,25 escribiremos 0,25000. . . . El subconjunto de todos los números racionales del conjunto M se denotará por MQ .
3 Vamos a demostrar el siguiente:
Teorema 3 (del n-ésimo decimal).-Para cada número natural n hay infinitos elementos diferentes en MQ con el mismo
dı́gito decimal dn en la misma n-ésima posición de su representación decimal.
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“ElFinDelInfinito” — 2015/8/28 — 13:11 — page 2 — #2
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2 —— La diagonal de Cantor
Demostración.-Consideremos un elemento cualquiera r0 de MQ de la forma:
r0 = 0.d1 d2 . . . dn
(1)
donde cada di es una cifra decimal cualquiera (0,1,2,3. . . 9). A partir de r0
definimos la sucesión de números racionales:
r1 = 0.d1 d2 . . . dn 1000 . . .
(2)
r2 = 0.d1 d2 . . . dn 11000 . . .
(3)
r3 = 0.d1 d2 . . . dn 111000 . . .
(4)
...
rk = 0.d1 d2 . . . dn 1 .(k)
. . 1000 . . .
(5)
...
La biyección f entre N (el conjunto de los números naturales) y MQ definida
por:
f (k) = rk , ∀k ∈ N
(6)
demuestra, que siendo n un número natural cualquiera, existe un subconjunto numerable f (N) de MQ , cada uno de cuyos elementos rk tiene una
expansión decimal finita de k + n decimales con la misma cifra decimal dn
en la misma n-ésima posición.
Cantor contra Cantor
4 El conjunto M de Cantor es la unión de dos conjuntos disjuntos: el
conjunto numerable MQ de todos los números racionales en (0, 1) y el conjunto de MI de todos los números irracionales en el mismo intervalo (0, 1).
Siendo MQ numerable, existe una biyección g entre N y MQ . Por otra parte
supongamos, como hizo Cantor en 1891 [35], que M fuera numerable. En
esas condiciones es evidente que, siendo MI infinito, también será numerable, en caso contrario (si fuera no numerable) su superconjunto M no
podrı́a ser (solo) numerable. Sea entonces h una biyección entre N y MI .
A partir de g y h se define una correspondencia uno a uno f entre N y M :
)
f (2n − 1) = g(n)
∀n ∈ N
(7)
f (2n) = h(n)
Podemos entonces considerar la tabla ω−ordenada T cuyas sucesivas filas
r1 , r2 , r3 . . . son precisamente f (1), f (2), f (3) . . . . Por definición, y siendo
MQ (supuestamente) numerable, T contiene una subtabla numerable con
todos los números racionales de (0, 1).
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Cantor contra Cantor —— 3
5 La diagonal de la tabla T de Cantor es el número real D = 0.d11 d22 d33
d44 . . . cuyo n-ésimo decimal dnn es el n-ésimo decimal de la n-ésima fila
rn de T . A partir de este número Cantor define otro número real en M ,
la antidiagonal D − de la siguiente manera: cámbiese cada decimal dnn por
cualquier otro decimal diferente. Esto asegura que, siendo un número real
del conjunto M , D − es diferente de todas las filas de T : se diferencia de
cada fila rn al menos en su n-ésimo decimal.
6 En consecuencia, M no puede ser numerable, como se habı́a supuesto.
Este es el argumento de la diagonal de Cantor, un impecable Modus Tollens
(MT)1 [35]. En efecto, consideremos las dos siguientes proposiciones:
p: M es numerable
(8)
q: T contiene todos los números reales de (0, 1)
(9)
entonces, una vez probado que D es un número real del conjunto M que
no está en T tendremos:
−
p⇒q
(10)
¬q
————
∴ ¬p
(11)
(12)
7 Ahora bien, puesto que D − es un número real de (0, 1), será racional o
irracional. Pero si fuera racional, y por la misma razón que en el caso de M ,
el subconjunto MQ de todos los números racionales en M también serı́a no
numerable. El problema es que Cantor habı́a demostrado ya que el conjunto
Q de todos los números racionales, y por lo tanto MQ , es numerable [31].
8 De acuerdo con 7, si fuera posible reordenar las filas de T de tal manera
que se pudiera definir una antidiagonal racional tendrı́amos dos resultados contradictorios: el conjunto Q de los números racionales serı́a y no
serı́a numerable. Ambos resultados podrı́an considerarse demostrados por
Cantor, aunque el último sólo como una consecuencia inesperada (y hasta
ahora desconocida) de su famoso método de la diagonal. En consecuencia,
podemos afirmar la siguiente:
Conclusión 8.-El argumento de la diagonal de Cantor y todas
sus consecuencias formales deberı́an suspenderse hasta que se
demuestre, sin hacer uso circular del argumento de la diagonal,
la imposibilidad de reordenar las filas de T de tal manera que
1 Las
crı́ticas del argumento de la diagonal de Cantor invariablemente están relacionados
con diferentes aspectos que no guardan relación con la estructura formal de la demostración del Cantor.
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4 —— La diagonal de Cantor
pueda definirse una antidiagonal racional.
9 Sin esa demostración, la teorı́a de conjuntos está bajo la amenaza de
una contradicción fundamental. Resulta entonces impactante que durante
más de un siglo nadie haya planteado ese problema (los reordenamientos
de las filas de T ), incluyendo a miles de matemáticos y lógicos de todo el
mundo.
Antidiagonales racionales
10 Examinaremos ahora las posibilidades y las consecuencias de reordenar
las filas de T en el sentido indicado en 8.
11 Una vez asumida la existencia del conjunto de todos los cardinales
finitos como una totalidad completa, Cantor demostró la existencia de
sucesiones ω−ordenadas [37], [39, Th. 15-A]. En una sucesión ω−ordenada, como la anterior tabla T, cada uno de sus elementos estará siempre
precedido por un número finito de elementos y seguido por un número
infinito de elementos. A continuación veremos una conflictiva consecuencia
de esa inmensa asimetrı́a.
12 Empezaremos definiendo el concepto de fila D-modular en la tabla T .
En primer lugar, diremos que una fila ri de T es n-modular si su n-ésima
cifra decimal es (n mod 10). Esto significa que una fila es, por ejemplo,
2348-modular si su 2348-ésima cifra decimal es 8; o que es 453-modular
si su 453-ésima cifra decimal is 3. Si una fila rn es n-modular (siendo el
mismo n en n-modular y en rn ) se dirá que es D-modular. Por ejemplo, las
filas:
r1 = 0.1007647464749943400034577774413 . . .
(13)
r2 = 0,2200045667778943000000000000000 . . .
(14)
r3 = 0,0030000000000000000000000000000 . . .
(15)
r9 = 0,1112223390000004340666666666333 . . .
(16)
r13 = 0,1234567890003000567585843456931 . . .
(17)
son todas ellas D-modulares. Una fila ri no D-modular se puede intercambiar con cualquier fila siguiente rj que sea i-modular (el número en rj pasa
a ri , y el número en ri pasa a rj ), siempre que exista una fila siguiente rj
que sea i-modular. Llamaremos D-intercambios a esos intercambios de las
filas de T .
13 Consideremos ahora la siguiente permutación P de las filas hrn i de de
tabla T . Para cada fila sucesiva ri en T :
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Antidiagonales racionales —— 5
1) Si ri es D-modular se deja como está.
2) Si ri no es D-modular se D-intercambia con cualquier fila siguiente
rj, j>i que sea i-modular, siempre que al menos una de las filas
siguientes rj sea i-modular (se intercambiará ri por rj y rj por
ri ).
n t er
3) Si ri no es D-modular y no puede ser D-intercambiada se deja
como está.
Obsérvese que, gracias a la condición j > i (en rj, j>i ), el D-intercambio de
una fila no D-modular la convierte en D-modular y además permanecerá Dmodular sin ser afectada por los siguientes D-intercambios.
ca
m.
136900987838344...
028282828282828...
133389745600000...
032967898354283...
136900987838344...
028282828282828...
133389745600000...
655489023467289...
...
...
655489023467289...
345787352637839...
032967898354283...
345787352637839...
...
...
D- i
Figura 1.1: Izquierda: r4 antes de ser D-intercambiada. Derecha: Una vez intercambiada,
r4 es una fila D-modular.
14 Es inmediato demostrar, por Modus Tollens (MT), que como consecuencia de la permutación P cada fila de T se convierte en D-modular.
En efecto, vamos a suponer que una fila rn no se convierte en D modular
como consecuencia de P. Esto significa que rn no es D-modular ni pudo
ser D-intercambiada con una fila siguiente n-modular. Ahora bien, todos
las filas n-modulares tienen la misma cifra (n mod 10) en la misma nésima posición de su representación decimal y, según el teorema 3 de la
n-ésima cifra decimal, hay infinitos números racionales con la misma cifra
en la misma posición de su representación decimal, cualquiera que sea el
cifra y la posición. En consecuencia, puesto que n es finito, la fila rn estará precedida por un número finito y seguida por un número infinito de
filas n-modulares. Cualquiera de estas infinitas filas n-modulares se tuvo
que haber D-intercambiado con rn . Por lo tanto, resulta imposible que rn
no sea D-modular. En consecuencia (Modus Tollens), cada fila rn de T se
convierte en D-modular como consecuencia de P.
15 Cabe destacar que el resultado demostrado en 14 es una consecuencia
formal tanto del teorema 3 de la n-ésima cifra decimal como del hecho de
que toda fila rn de T siempre está precedida por un número finito de filas nmodulares y seguida por un número infinito de tales filas n-modulares. Esta
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6 —— La diagonal de Cantor
inmensa asimetrı́a es un efecto secundario e inevitable del ω−orden, que,
como el propio Cantor demostró [39, Teorema 15-A], se deriva de asumir la
existencia del conjunto de todos los cardinales finitos (números naturales)
como una totalidad completa (hipótesis del infinito actual subsumida en
el Axioma del Infinito).
16 Para evitar discusiones innecesarias, subrayaremos la estructura formal de la demostración 14. Considérense las dos siguientes proposiciones
q1 y q2 sobre la permutación P:
q1 : Una vez completada P, no todas la filas se convierten en D-modulares.
q2 : Una vez completada P, al menos una fila rk no D-modular no pudo
ser D-intercambiada.
Resulta claro que q1 implica q2 : si P no convierte a todas las filas de T
en D-modulares, entonces al menos una fila rk no D-modular no pudo
ser D-intercambiada. Ahora bien, siendo k finito y teniendo en cuenta el
teorema de la n-ésima cifra decimal 3, existen infinitas filas rn, n>k que
siguen a rk y que son k-modulares, por tanto alguna de ellas tuvo que ser
D-intercambiada con rk . En consecuencia la proposición q2 es falsa, y por
tanto también lo será q1 . En sı́mbolos:
q1 ⇒ q2
(18)
¬ q2
————
∴ ¬ q1
(19)
(20)
Queda claro entonces que, como en el caso del argumento de la diagonal
de Cantor, la demostración anterior también es un simple Modus Tollens
(véase el comentario final).
17 Sea Tp la tabla resultante de la permutación P. Puesto que todas
las filas de Tp son D-modulares, su diagonal D será el número racional
0.1234567890. Es inmediato ahora definir infinitas antidiagonales racionales a partir de D. Veamos cómo. Llamemos p0 al periodo 1234567890 de
la diagonal D. Estamos interesados en perı́odos de diez dı́gitos ninguno
de los cuales coincida en posición con los dı́gitos de p0 , como es el cac El número de tales
so, por ejemplo, de 0123456789 ó 4545454545 (= 45).
10
perı́odos es de 9 . Entre ellos vamos a elegir, los dos ejemplos anteriores,
a los que nos referiremos como p1 y p2 respectivamente (p1 = 0123456789,
p2 = 4545454545). Ahora definimos la siguiente sucesión de antidiagonales
racionales hAn i:
∀n ∈ N : An = 0.p1 p1 . n. . p1 pb2
(21)
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Antidiagonales racionales —— 7
cuyos elementos no pueden estar en Tp por la misma razón que la antidiagonal de Cantor: difiere de cada fila rn precisamente en su n-ésima cifra
decimal. Y siendo todos ellos números racionales, debemos concluir que
MQ y su superconjunto Q son ambos no numerables.
18 La permutación P nos permite desarrollar otros argumentos cuyas
conclusiones sugieren también la inconsistencia de la hipótesis del infinic y muchas otras, nunca
to actual. Por ejemplo, está claro que la fila 0.21,
pueden convertirse en D-modulares, y entonces tendrı́amos que admitir el
absurdo de que P las hace desaparecer de la tabla. En efecto, sea n cualc es la n-ésima
quier número natural y supongamos que, por ejemplo, 0.21
c estará precedido por un número finito
fila de Tp . Puesto que n es finito, 0.21
de filas n-modulares y seguido por un número infinito de filas n-modulares,
c
de acuerdo con el teorema 3 del n-ésimo decimal. En consecuencia, 0.21,
2
que no es n-modular, se intercambió con alguna de esas filas n-modulares,
y entonces no puede ser la n-ésima fila de Tp . Por lo tanto, y siendo rn
c ¡ha desaparecido de
una fila cualquiera de Tp , debemos concluir que 0.21
la tabla!
19 El absurdo anterior 18 es la clase de cosas que uno puede esperar de
una lista en la que cada elemento tiene un número finito de predecesores
y un número infinito de sucesores. Una lista en la que, a pesar de tener un
número infinito de elementos sucesivos, es imposible alcanzar un elemento
con un número infinito de predecesores (lo que, evidentemente, hace posible
al argumento anterior). Una lista, en fin, que es a la vez completa (como
la hipótesis del infinito actual requiere) e incompletable (porque no existe
un último elemento que complete la lista).
20 La permutación P, se puede considerar incluso como un caso de supertarea (hipercomputación): sea htn i una sucesión estrictamente creciente
y ω−ordenada de instantes en un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), siendo tb el lı́mite de la sucesión. Supongamos que P se aplica a cada fila ri
justo en el preciso instante ti de htn i. Por lo tanto, ri se mantendrá sin
cambios si se trata de una fila D-modular (o si no es D-modular pero no se
puede D-intercambiar) o será D-intercambiada por cualquier fila i-modular
siguiente. En el instante tb la permutación P se habrá aplicado a cada fila
de T como lo demuestra la biyección f (ti ) = ri .
21 Supongamos que en tb , una vez completada la hipercomputación P,
cada n-ésima cifra decimal de 0.c
21 se verifica (n mod 10) = 2 si n es impar, o (n
mod 10) = 1 si es par.
2 Para
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8 —— La diagonal de Cantor
la tabla permutada Tp contiene una fila rn que no es D-modular. Esta fila,
sea la que sea, estará precedida por un número finito de filas y seguida
por un número infinito de filas, un número infinito de las cuales son nmodulares, y por tanto D-intercambiables con rn . En consecuencia rn fue
D-intercambiada. Por lo tanto rn solo puede ser D-modular en Tp .
22 Ser simultáneamente completo e incompletable (porque no hay último
elemento que complete), como ocurre con los objetos ω−ordenados, podrı́a
ser, después de todo, contradictorio.
Un nota final
23 Terminemos recordando que un argumento no puede ser refutado con
otro argumento diferente. En palabras de W. Hodges: [102, p. 4]
¿Cómo puede alguien caer en un estado mental en el que se
persuade a sı́ mismo de que es posible criticar un argumento
sugiriendo otro argumento diferente que no llega a la misma
conclusión?
Esta estrategia inadmisible es usada frecuentemente en los debates relacionados al infinito, por ejemplo para refutar los argumentos de Cantor sobre
la naturaleza no contable de los números reales. Refutar un argumento
significa indicar dónde y por qué ese argumento falla. Si dos argumentos
conducen a conclusiones contradictorias, simplemente están demostrando
la existencia de una contradicción.
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