1. Healthcare

Enseñanza de las
Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
PROPUESTA HIDALGO
1
er
grado
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado
e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la
Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del
Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa,
del cual surgió la propuesta nacional.
Autores de EMAT-Hidalgo
Ma. Guadalupe Flores Barrera
Andrés Rivera Díaz
[email protected]
[email protected]
Este material se utiliza en las escuelas secundarias Generales, Técnicas y
Telesecundarias del Estado de Hidalgo con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo de los Coordinadores
de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.
Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo
Enseñanza de las Matemáticas
con Tecnología
para la Educación Secundaria
Propuesta Hidalgo
1er. grado
Revisión: Ramón Guerrero Leyva
Formación y diseño: Ana Garza
© EMAT Hidalgo 2008
© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011
Campanario 26
San Pedro Mártir, Tlalpan
México, D.F. 14650
e-mail [email protected]
www.angeleseditores.com
Primera edición: agosto de 2011
Segunda edición: agosto de 2012
ISBN 978-607-9151-06-5
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial
Reg. Núm. 2608
Impreso en México
Alfaro Vera Gonzalo
Ángeles Ruiz Alfonso
Arroyo Rendón Martha Patricia
Arteaga Romero Damián
Azuara Sánchez Arturo
Badillo Ordóñez Filiberto
Bautista Montaño Maximino
Bibiano Santiago Edgar
Calva Badillo Jacobo
Castañeda Ahumada Héctor Hugo
Colín Pretel Alfonso
Cruz Bustos Marina
de la Cruz Reyes Rodrigo
Delgado Granados Nicasio
Díaz Badillo Ma. del Carmen
Espinoza Soto Juan Carlos
Flores Barrera Joel
Franco Moedano Aniceto Alejo
García Callejas Maricela Ma. del Carmen
García Mayorga Víctor
González Funes Cecilia Iliana
Hernández Ángeles Juan
Hernández Hernández Honorio
Hernández Hernández José Luis
Hernández Hidalgo Magdiel
Hernández Reyes Ernesto
Herrera Tapia Andrey
Islas Arciniega Silvia
Juárez Rojas Iván Ramsés
López Castellanos Verónica
López Lugo Silvia
López Miranda Rigoberto
Lozano Mendoza Rubén
Maqueda Lora Oscar Daniel
Mayorga Hernández Raúl =
Mendoza Paredes Maximino
Mendoza Ruiz Francisco
Meza Arellanos Ma. del Refugio
Mora Martín Teresa
Moreno Alcántara Alfonso
Moreno Martínez Ericka Sofía
Mota Aguilar Gloria
Naranjo Calderón Josué Arturo
Noble Monterrubio Guillermo
Nolasco Orta Edgar Arturo
Paredes Larios Hugo Alberto
Pedraza Sánchez Jaén Maximiliano
Pérez Pacheco Set Isaí
Pérez Salas Jesús Enrique
Recéndiz Medina Juan Carlos
Robles Feregrino María Teresa
Rodríguez Escudero María Teresa
Trejo Reyes Jesús
Ugarte Morán Sergio
Vargas Rivera Rafael
Vázquez Hernández Juan Andrés
Veloz Vega María Esther
Contenido
Introducción.............................................................................................. 5
Organización del texto EMAT-Hidalgo . ..................................................... 7
Programación del Primer Grado ............................................................... 9
Septiembre
Representación analítica y gráfica de fracciones y decimales ................ 13
Representación de fracciones y decimales en la recta numérica ........... 15
Problemas con suma y resta de fracciones............................................. 17
Generación de sucesiones de números................................................... 18
Octubre
Perímetro y área...................................................................................... 20
Construcción de triángulos . ................................................................... 22
Líneas importantes del triángulo............................................................. 24
Reparto proporcional.............................................................................. 25
Eventos probables en un juego de azar................................................... 27
Noviembre
Criterios de divisibilidad.......................................................................... 29
Cálculo del MCD y el mcm ...................................................................... 31
Problemas aditivos.................................................................................. 33
Multiplicación y división de números fraccionarios................................ 34
Diciembre
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz............................................... 37
Perímetro y área de polígonos regulares................................................ 39
Proporcionalidad directa......................................................................... 42
Enero
Multiplicación de números decimales . .................................................. 43
División de números decimales............................................................... 44
Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45
EMAT-Hidalgo
Febrero
Ecuaciones de primer grado.................................................................... 45
Construcción de polígonos regulares...................................................... 47
Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares ............................. 49
Constante de proporcionalidad............................................................... 51
Marzo y Abril
Números con signo.................................................................................. 52
Construcción de círculos . ....................................................................... 55
La circunferencia y el número ∏............................................................. 59
Análisis de la regla de tres simple........................................................... 63
Problemas de proporcionalidad inversa.................................................. 66
Problemas de conteo . ............................................................................ 68
Mayo
Operaciones con números enteros......................................................... 70
Potencia de números............................................................................... 72
Notación científica (1)............................................................................. 76
Notación científica (2)............................................................................. 78
Junio
Sucesiones con progresión aritmética..................................................... 80
Perímetro y área del círculo ................................................................... 82
Proporcionalidad múltiple ...................................................................... 84
Problemas de proporcionalidad múltiple................................................ 85
Bibliografía.............................................................................................. 86
Introducción
Las Herramientas Computacionales (HC) constituyen un revolucionario avance
en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones
constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos
expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden
ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección
a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.
En el ámbito educativo, las HC constituyen una valiosa ayuda para favorecer los
aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias,
pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada
y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.
En definitiva podemos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC
que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de
esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían
caracterizar:
1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste
tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades
que realizarán los estudiantes.
2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser
herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas
al entorno educativo.
3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte
de una educación integral.
4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de
sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista
del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora
orientar al alumno en el uso de las herramientas tecnológicas que
sean utilizadas en el proceso.
5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollan sus
actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y
energía.
5
Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas
Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también
permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar
el contenido con el de otras asignaturas, particularmente el de las ciencias,
contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de
nuestros estudiantes.
Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha
implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología
para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través
de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera
y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores
imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el ciclo escolar, al
equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez
ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten
ciencias en sus zonas correspondientes.
Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente
para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la
Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la
propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de
la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello
se han diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar
de educación secundaria.
Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa
comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros
alumnos.
Profr. Joel Guerrero Juárez
Secretario de Educación Pública
SEPH
6
Cómo está
organizado este libro
 PRESENTACIÓN
El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y
diseño de lecciones que hacen uso de cuatro herramientas de tecnología,
estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría,
álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto
cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de
matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica
y Telesecundaria).
En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de
estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico,
que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo
cognitivo y en lo epistemológico.
La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula
de medios o espacio asignado a equipos de cómputo, complementando las
sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del
curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita,
la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.
En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas
de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la
introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas;
lenguaje de programación LOGO para la programación con representación
geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la
resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de
tratamiento de la información.
En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los
estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las actividades
programadas semanalmente en el texto.
7
Con las lecciones contenidas en el libro se pretende que los alumnos alcancen
cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la
programación de las lecciones se hace como en el siguiente ejemplo:
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
JUNIO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Sucesiones con progresión aritmética.
Geometría dinámica
80
2
FEM
Geometría dinámica
82
Perímetro y área del círculo.
En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:
• Explorar
• Formular y validar hipótesis
• Expresar y debatir ideas
• Aprender mediante el análisis de sus propios errores
Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de lecciones en las cuales
los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta
computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas lecciones
ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión
que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.
Finalmente, una reflexión:
La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la
medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere
la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas
en hechos y no en sueños.
Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz
Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo
8
Programación Primer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
Eje
Lecciones del Bloque UNO
SEPTIEMBRE
Herramienta
Pág.
1
Representación analítica y gráfica de fracciones y
decimales.
Geometría dinámica
13
2
Representación de números fraccionarios y decimales
en la recta numérica.
Geometría dinámica
15
SNPA
3
Problemas con suma y resta de fracciones.
Hoja de cálculo
17
4
Generación de sucesiones de números.
Hoja de cálculo
18
Semana
Eje
1
2
FEM
3
Lecciones del Bloque UNO
OCTUBRE
Herramienta
Pág.
Perímetro y área.
Geometría dinámica
20
Construcción de triángulos.
Geometría dinámica
22
Líneas importantes del triángulo.
Geometría dinámica
24
Hoja de cálculo
25
Hoja de cálculo
27
SNPA Reparto proporcional.
4
MI
Semana
Eje
Eventos probables en un juego de azar.
Lecciones del Bloque DOS
NOVIEMBRE
Herramienta
Pág.
1
Criterios de divisibilidad.
Hoja de cálculo
29
2
Cálculo del MCD y el mcm.
Hoja de cálculo
31
Hoja de cálculo y
calculadora
33
Geometría dinámica
34
SNPA
3
Problemas aditivos.
4
Multiplicación y división de números fraccionarios.
9
Semana
Eje
1
Lecciones del Bloque DOS
DICIEMBRE
Herramienta
Pág.
Propiedades de la mediatriz y la bisectriz.
Geometría dinámica
37
Perímetro y área de polígonos regulares.
Geometría dinámica
39
Hoja de cálculo y
calculadora
42
FEM
2
3
Semana
SNPA Proporcionalidad directa.
Eje
1
2
Multiplicación de números decimales.
SNPA División de números decimales.
3
Semana
1
Lecciones del Bloque TRES
Ecuaciones de primer grado.
Eje
Lecciones del Bloque TRES
SNPA Ecuaciones de primer grado.
2
ENERO
Herramienta
Pág.
Hoja de cálculo
43
Hoja de cálculo
44
Calculadora
45
FEBRERO
Herramienta
Pág.
Calculadora
45
Construcción de polígonos regulares.
Geometría dinámica
47
Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares.
Geometría dinámica
49
Hoja de cálculo
51
FEM
3
4
10
SNPA Constante de proporcionalidad.
Programación Primer Grado
EMAT-HIDALGO
Semana
Eje
Lacciones del Bloque CUATRO
MARZO Y ABRIL
Herramienta
Pág.
Calculadora y
Geometría dinámica
52
Construcción de círculos.
Geometría dinámica
55
3
La circunferencia y el número π.
Geometría dinámica
59
4
Análisis de la regla de tres simple.
Hoja de cálculo
63
Problemas de proporcionalidad inversa.
Hoja de cálculo
66
Problemas de conteo.
Hoja de cálculo
68
MAYO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Números con signo.
2
FEM
5
MI
6
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
Calculadora y
Hoja de cálculo
70
Potencia de números.
Calculadora y
Geometría dinámica
72
3
Notación científica (1).
Calculadora y
Hoja de cálculo
76
4
Notación científica (2).
Calculadora y
Hoja de cálculo
78
1
Operaciones con números enteros.
2
SNPA
Semana
Eje
Lecciones del Bloque CINCO
JUNIO
Herramienta
Pág.
1
SNPA Sucesiones con progresión aritmética.
Geometría dinámica
80
2
FEM
Geometría dinámica
82
3
Perímetro y área del círculo.
Proporcionalidad múltiple.
MI
4
Problemas de proporcionalidad múltiple.
Hoja de cálculo y
Geometría dinámica
Hoja de cálculo y
Geometría dinámica
84
85
11
Iconos
Al inicio de cada lección aparece, a la
derecha del título, un elemento que
muestra el nombre del archivo a utilizar
y a la izquierda el icono que indica qué
recurso tecnológico debe usarse.
LECCIÓN
NombreDeArchivo
Los iconos y su significado son los siguientes:
Significa que para esta lección se requiere el
uso de la hoja de cálculo.
Quiere decir que para esta lección se
necesita la calculadora.
Significa que en esta lección se requiere el uso
de un software de geometría dinámica.
12
1
Bloque Uno
LECCIÓN
Representación analítica y gráfica
de fracciones y decimales
1
Reanagrafradec
Para comparar números racionales, también llamados fracciones, abre el archivo Reanagrafradec.
Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador,
una fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador, y un número
mixto es el que consiste de un número entero más una fracción propia.
1
5
1
7
En la recta siguiente, -2 está a la izquierda de -1 ; - está a la izquierda de - ; y 1 está a la
2
8
8
8
1
derecha de 1 .
8
-2
-1
0
1
2
1
5
-1 2
1
-8
1
-8
7
18
18
En la recta numérica el orden es creciente de izquierda a derecha, es decir, dados dos números, el
que esté a la izquierda es menor que (<) el de la derecha y, análogamente, el que está a la derecha
es mayor que (>) el de la izquierda, la relación de orden de los números anteriores se indica así:
1
5
1
7
1
-2 < -1
<1 >1
2
8
8
8
8
Para localizar en la recta numérica fracciones impropias, es conveniente primero convertirlas a un
número entero más una fracción propia, es decir, a un número mixto. Para hacer esto, dividimos
el numerador entre el denominador para encontrar el cociente entero y el residuo (fracción propia).
10
Por ejemplo, para representar
en la recta numérica, primero dividimos 10 ÷ 8, y vemos que el
8
2
cociente es 1 y el residuo es 2, por lo que el resultado es 1 (número mixto). Ahora en la recta
8
numérica dividimos los enteros en 8 partes iguales, puesto que así lo indica la fracción, y se
cuentan diez octavos o simplemente se ubica un entero más dos octavos.
10
2
En la recta se ha marcado
con una flecha azul, que equivale a 1
8
8
0
1
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
8
8
9
8
10
8
11
8
12
8
1. Ubica en la recta numérica las fracciones que se indican en cada caso:
7
2
23
7
15
4
Sentido numérico y pensamiento algebraico
13
2. Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha:
0
1
0
2
1
3
4
5
6
2
7
8
9 10
0
4
0
3
1
2
1
2
3
 Representación analítica y gráfica de números decimales
Para encontrar el número intermedio entre dos números decimales, se suman los dos números y
el resultado se divide entre 2; para localizar fácilmente el nuevo número en la recta numérica, es
muy útil hacer subdivisiones de los números marcados en ella.
Ejemplo.
Encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5.
Se suma 0.4 + 0.5 = 0.9, luego se divide 0.9 ÷ 2 = 0.45
Así que el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45
En la recta numérica:
0.45
0
0.4
0.5
1
Al realizar su representación gráfica en el ambiente de Geometría dinámica, con el archivo
Reanagradec, verás que se puede verificar la propiedad de densidad de los números racionales,
es decir, entre dos números racionales siempre hay otro número racional.
1. Señala con una flecha en la recta numérica los números que se indican.
0.9
0
2.50
1
5.20
2
1.70
0.5
3
3
4
5
6
2. Utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, encuentra y ubica en la recta un número que
esté entre los siguientes.
Procedimiento numérico.
a) 1.5 y 1.6
b) 2.7 y 2.8
14
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
2
LECCIÓN
Representación de fracciones y
decimales en la recta numérica
Refradec
En esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y
determinar el orden de las fracciones.
Las fracciones pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad en tantas partes iguales como
indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo la unidad siempre
en 10 partes iguales.
Ejemplo:
1
2
0
0.5
1
Abre el archivo Refradec y manipula los valores correspondientes para realizar las siguientes
actividades.
1. En cada pareja, encierra en un círculo el número mayor.
1
1
y
2
8
2
3
y
3
2
3
8
4
3
y
7
5
0.1 y
1
10
3
1
y
4
3
3
y 0.2
5
1
y 0.3
5
2
2
y
5
4
2
5
y
5
12
0.01 y
2. Ordena en el recuadro de abajo, de menor a mayor, los números que se muestran.
1
,
2
1
,
3
1
, 0.2
4
2
, 0.2,
3
5
, 1
2
0.01,
1
,
10
1
, 0.3
5
3. Colorea los números decimales que sí están correctamente ubicados en la recta:
7.06
7
7.10
7.23
7.47
7.32
7.69
7.54
7.91
7.83
8.0
8
Sentido numérico y pensamiento algebraico
15
4. Ubica en la recta los números decimales indicados.
3.6 y 3.7
3
4
8.5 y 8.6
8
9
0.7 y 0.8
0
1
5. Sitúa en la recta los siguientes números señalándolos con una flecha.
4.02
4.13
4.28
4.33
4.40
4.570
4.600
4
16
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
4.720
4.85
4.99
5
LECCIÓN
Problemas con suma
y resta de fracciones
3
Prosuresfra
En cada ejercicio analiza qué operación tienes que hacer para resolverlo y utiliza el archivo
Prosuresfra.
1. Resuelve los siguientes ejercicios.
1
2
a) Un obrero fabricó el lunes 14 docenas de piezas metálicas; el martes 15 docenas, y el
2
3
3
miércoles 16 docenas. ¿Cuántas docenas de piezas fabricó en los tres días? ¿Cuántas
4
piezas fueron en total?
b) Si a
3
1
de tonelada de azúcar agrego
tonelada, ¿cuánto tengo?
4
2
c) Si Javier ve que su reloj marca las 6
¿Qué hora marca el reloj?
1
3
y después de un rato el reloj avanzó
de hora,
2
4
2
1
partes de los alumnos del grupo 1º A, les gusta jugar futbol, a
parte le gusta jugar
5
4
1
basquetbol, a
parte le gusta jugar volibol, y a los demás no les gusta practicar deporte.
3
¿A cuántos alumnos no les gusta practicar deporte?
d) A
8
e) Para hacer una blusa, la mamá de Martha compró 5 de metro de tela, de los cuales utilizó
3
4 de metro. ¿Cuántos metros de tela le sobraron?
1
1
f) Si en un restaurante tenían 7 2 kilogramos de café por la mañana y se vendieron 7 4
kilogramos durante el día, ¿cuánto café quedó al final del día?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
17
LECCIÓN
Generación de
sucesiones de números
4
GenSucesiones
En el ambiente de hoja de cálculo realiza lo siguiente.
Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue:
A
1
4
2
5
B
C
3
4
En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.
En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.
Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de la hoja.
Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué sucesión obtienes
ahora en la columna A?
¿Qué harías para obtener la sucesión 100, 101, 102, 103… en la columna A?
Hazlo en la hoja de cálculo.
En seguida escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que dé como
resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la sucesión 100,
99, 98, 97… Tu hoja debe verse así:
A
B
1
100
100
2
101
99
3
102
98
4
103
97
C
Construye en la columna C la sucesión 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer
número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo.
18
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Ahora construye las siguientes sucesiones:
En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…
En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna G: 5, -5, 5, -5, 5…
Piensa en el siguiente problema: tu papá te ofrece dos opciones para darte tu gasto. En la primera,
te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En
la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el
doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías?
Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas
en la fila 3 para generar las tres sucesiones.
A
B
C
1
SEMANA
1a OPCIÓN
2a OPCIÓN
2
1
100
0.01
3
2
200
0.02
4
3
300
0.04
Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas.
¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?
¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (medio año) si hubieras escogido la segunda
opción?
¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?
¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?
En una sucesión aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En
una sucesión geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente.
¿Cuál de las sucesiones de arriba es geométrica y cuál es aritmética?
Clasifica las sucesiones de la lección Generación de sucesiones de números como aritméticas o
geométricas.
Aritméticas:
Geométricas:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
19
LECCIÓN
Perímetro y área
5
CalcuPeriArea
El perímetro y el área son medidas de uso común en diseños, edificaciones, estudio de estructuras,
comparación de figuras de formas diversas, etcétera. Por esta razón es importante su estudio en
el ambiente de Geometría dinámica.
Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el
área comprende la región interior de una figura y es su medida.
 Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
Abre cada archivo de acuerdo al nombre del polígono y comprueba las fórmulas del perímetro y
del área de cada figura.
Nombre
Figura
Triángulo
b
Perímetro
P = suma de los lados
P=a+b+c
c
h
a
Cuadrado
l
Rectángulo
a
b
a
d
Rombo
Romboide
D
a
Área
A=
P=4•l
A = l2
P = 2(b + a)
A=b•a
A=
P=4•a
P = 2(b + a)
h
b•h
2
D•d
2
A=b•h
b
b
Trapecio
c
h
d
P=B+c+b+d
d
P=a+b+c+d
A=
B
c
Trapezoide
b
a
B+b
•h
2
A = Suma de las áreas de
los dos triángulos
l
Polígono regular
20
a
P = nl
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
A=
P•a
2
1. Abre el archivo CalcuPeriArea y calcula el perímetro y área de las siguientes figuras, midiendo
los lados y alturas con las herramientas adecuadas.
Figura
Perímetro
Área
Forma, espacio y medida
21
LECCIÓN
Construcción
de triángulos
6
CalcuPeriArea
 Pasos para construir un triángulo con regla y compás
1. Se traza un segmento de cualquiera de las
medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.
2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos
medidas y con centro en un extremo del segmento,
se traza un arco.
3. Se abre el compás a la tercera medida y con
centro en el otro extremo del segmento, se traza un
arco que cruce al anterior.
4. Se unen los extremos del segmento con el punto
donde se cortan los arcos y se obtiene el triángulo
pedido.
1. Con base en el procedimiento anterior y con herramientas de geometría dinámica, traza cuatro
triángulos con las siguientes medidas.
a) 6, 3 y 4 cm
b) 4, 4.5 y 3 cm
c) 3.5, 4.5 y 4.5 cm
d) 6, 6 y 6 cm
22
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
 Construcción de cuadriláteros.
Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la
disposición de los lados y los ángulos que forman, se clasifican como sigue.
Tipos de cuadriláteros.
Cuando los lados son
paralelos dos a dos, el
cuadrilátero se llama
paralelogramo
Cuando solamente son
dos los lados paralelos,
el cuadrilátero se llama
trapecio
Caundo no existe ningún
lado paralelo a otro, el
cuadrilátero se llama
trapezoide
Diagonal es la recta que une un vértice con otro no inmediato.
Para construir un cuadrado conociendo su diagonal d, se siguen estos pasos:
• Sobre un punto A cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares
entre sí: recta r y recta s.
s
D
• Se traza la bisectriz a del ángulo formado por las rectas r y s.
• Con el compás se lleva d a la bisectriz, haciendo centro en A y
marcando el extremo con C .
• Desde ese punto C se trazan paralelas CD y CB a las rectas r y s.
• Utilizando los puntos A, B, C y D se construye el cuadrado.
d
C
r
A
B
1. Construye los siguientes cuadriláteros:
a) Cuadrado cuyas diagonales midan 4.6 cm
b) Cuadrados cuyas diagonales midan 5.2 cm y 6.9 cm, respectivamente
Para construir un rombo a partir de una diagonal d y su lado a:
• Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los
puntos A y C.
• Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C.
Obtenemos los puntos B y D.
• Se unen los extremos A y C de la diagonal con los puntos B y D y
se obtiene el rombo.
d
a
B
a
r
A
C
D
2. Dibuja dos rombos cuyas diagonales midan:
a) 4 cm y 3 cm
b) 5 cm y 7 cm
Forma, espacio y medida
23
LECCIÓN
Líneas importantes
del triángulo
El propósito de esta lección es reafirmar los
conceptos de bisectriz, altura, mediana y
mediatriz de un triángulo cualquiera.
7
LinTrian
n
l r
m
Bisectriz (l)
La siguiente figura muestra la
bisectriz, la altura y la mediana,
trazadas desde un vértice del
triángulo; aparece también la
mediatriz en el lado opuesto al
vértice considerado.
Mediatriz (m)
Mediana (n)
Altura (r)
Reproduce este trazo en el ambiente de Geometría dinámica.
Anota los pasos que seguiste para realizarlo.
Mueve los vértices del triángulo y verifica que las propiedades de cada una de las rectas se conservan.
Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas?
¿En qué tipo de triángulo coinciden las cuatro rectas?
En otro triángulo traza todas las:
a) bisectrices
b) alturas
24
c) medianas
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
d) mediatrices
LECCIÓN
8
ReparPropor
Reparto proporcional
Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la cantidad
total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Otra forma de resolverlos es
encontrar el valor unitario de las partes a repartir.
Ejemplo.
Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir
fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y
otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000. ¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una
manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto?
La estrategia que usaron para hacer el reparto fue la siguiente.
a. Anotaron en una tabla el número de playeras que vendió cada uno.
Nombre
Playeras vendidas
Karina
15
Carmen
25
Emilio
30
María
10
Mauricio
20
Total
100
b. Después de construir la tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. Como
son $2 000 a repartir y vendieron 100 playeras, el valor unitario es 2 000 ÷ 100 = 20, así
que por cada playera vendida se deben dar $20.
Nombre
Playeras vendidas
Operación
Cantidad a recibir
Karina
15
15 x 20
$300
Carmen
25
25 x 20
$500
Emilio
30
30 x 20
$600
María
10
10 x 20
$200
Mauricio
20
20 x 20
$400
Total
100
$2 000
Sentido numérico y pensamiento algebraico
25
 Problemas de reparto proporcional
Para resolverlos tienes que abrir el archivo
ReparPropor y completar las tablas con las
fórmulas apropiadas.
1. Un abuelo desea repartir $18 000 proporcionalmente al número de nietos que le han dado sus
tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirán cada uno de
los nietos.
2. Hugo, Paco y Luis compraron un billete de lotería con un costo de $80. Hugo puso $15, Paco
$45 y Luis $20. Si ganaron un premio de $120 000 y deciden repartirlo en partes proporcionales
de acuerdo con su aportación para comprar el billete, ¿qué cantidad le corresponde a cada
uno?
3. Marifer, Tania, Dominique y Paulina hicieron panecillos y los vendieron durante una semana.
Marifer trabajó solo el lunes y miércoles; Tania trabajó martes, miércoles, viernes y sábado;
Dominique trabajó lunes, martes, jueves, viernes y domingo; Paulina trabajó martes, jueves
y sábado. Si obtuvieron $800 de ganancia por la venta de los panecillos, ¿cuánto dinero le
tocará a cada una si lo reparten de manera proporcional a los días que trabajó cada una?
4. En la empresa “Patito”, el dueño desea repartir las ganancias de todo un año entre sus
empleados, para motivarlos. Las ganancias ascienden a $350 000. Si José trabajó 7 meses,
Mauricio 9 meses, Martín 12 meses, Mario 5 meses y Orlando 6 meses, ¿cuánto dinero le
tocará a cada uno si se reparte de manera proporcional de acuerdo al número de meses que
trabajaron?
26
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Eventos probables
en un juego de azar
9
JuegoJusto
Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer que:
3
En cada turno o partida todos los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar.
Si las probabilidades de los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con
menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.
Las reglas del juego no favorezcan a ninguno de los jugadores.
1
y es exactamente
6
la misma para que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Recuerda que la fórmula para calcular la probabilidad es
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de que salga 1 es
la siguiente:
Probabilidad de un evento =
número de eventos favorables
número de eventos posibles
En este caso, existen 6 eventos posibles, porque un dado tiene 6 caras y el número de eventos
favorables es 1 porque sólo una cara queda hacia arriba, aunque puede ser cualquiera de las 6.
Por lo tanto, los 6 eventos en un dado son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad
de ocurrir.
Con el lanzamiento de una moneda pasa lo mismo:
1
La probabilidad de que "salga" águila es , porque sólo puede caer una vez águila entre los 2
2
eventos posibles (águila o sol) al lanzar una vez la moneda, y la probabilidad de que caiga sol
1
también es ; por lo tanto, los eventos águila y sol son equiprobables.
2
El conjunto de todos los eventos posibles se denomina espacio muestral.
Abre el archivo JuegoJusto y explora los dos ejemplos anteriores.
Manejo de la información
27
 Eventos no equiprobables en un juego de azar
Cuando lanzamos dos dados cambian las condiciones; para verlo abre el archivo SumaDosDados.
Dado 1
1
2
3
4
5
6
Dado 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1. Completa el espacio muestral en el lanzamiento de
dos dados:
Suma
1+3=4
1+4=5
2+2=4
2+3=5
Los eventos con los que la suma nos da 4 son:
1–3, 2–2 y 3–1, aclarando que el primer número es del
dado 1 y el segundo corresponde al dado 2.
Entonces tenemos 3 resultados de los 36 posibles que
conforman el espacio muestral, es decir, la probabilidad
de que la suma sea 4 es:
3
P(suma 4) =
= 0.083; es decir, 8.3%
36
3+1=4
3+2=5
4+1=5
a) P(suma 6) y P(suma 7)
¿Serán eventos equiprobables que la suma de los dos
dados sea 4 o que sea 5?
Ahora, los eventos con los que la suma nos da 5 son: 1–4,
2–3, 3–2 y 4–1, es decir, la probabilidadde que la suma
sea 5 es:
4
P(suma 5) =
= 0.111; que es 11.1%.
36
En base a estos resultados, podemos concluir que los
eventos suma = 4 y suma = 5 no son equiprobables,
porque su probabilidad es diferente.
2. Resuelve los siguientes ejercicios haciendo en tu
cuaderno las operaciones necesarias para justificar
tu respuesta
P(suma 6) =
P(suma 7) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
b) P(suma 4) y P(suma 10)
P(suma 4) =
P(suma 10) =
¿Son equiprobables?
c) P(suma 8) y P(suma 9)
P(suma 9) =
¿Por qué?
P(suma 8) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
e) P(suma par) y P(suma impar) P(suma par) =
P(suma impar) =
¿Son equiprobables?
¿Por qué?
f) P(suma mayor que 6) y P(suma menor que 8)
P(suma mayor que 6) =
P(suma menor que 8) =
¿Son equiprobables?
28
¿Por qué?
Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Bloque Dos
LECCIÓN
1
CriterioDivis
Criterios de divisibilidad
En esta lección es importante que se comprendan los criterios de divisibilidad y, comprobarlos con
el archivo CriterioDivis.
Divisibilidad por dos
Todo número que termina en un dígito par o en cero, es
divisible por dos.
Divisibilidad por tres
Todo número es divisible por tres cuando la suma de sus
dígitos es divisible por tres.
Divisibilidad por cinco
Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco.
Divisibilidad por siete
Un número es divisible por siete cuando el doble de la
primera cifra de la derecha, restado de lo que queda a la
izquierda, da cero o un múltiplo de siete.
Divisibilidad por once
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la
suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y
la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de
derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Divisibilidad por trece
Un número es divisible por trece cuando el producto de la
primera cifra de la derecha por 9, restado de lo que queda a
la izquierda, es 0 o múltiplo de 13.
1. Haciendo uso del archivo FacPrim, escribe todos los divisores de:
a) 50
b) 81
c) 36
2. Escribe cinco números de dos cifras, que sean divisibles entre:
a) 2 y 3
b) 2 y 5
c) 2 y 9
d) 3 y 5
3. Escribe tres parejas de números primos entre sí.
4. En 14
sustituye cada espacio por una cifra, de forma que el número que resulte sea
divisible por 2, 3 y 5 a la vez. Halla tres soluciones.
a)
b)
c)
Sentido numérico y pensamiento algebraico
29
5. Explica cuáles de estos números son múltiplos de 11, aplicando el criterio de divisibilidad:
4709
990
1342
99385
5071
1995
770066
74017
6. Encuentra un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350.
7. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.
8. ¿Es 15 múltiplo de sí mismo? ¿Es 15 múltiplo de 1?
9. ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5?
10.¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?
11.Con el archivo MultiploVSDivisor, escribe en los espacios la palabra múltiplo o divisor, según
corresponda.
a) 25 es
de 5
b) 60 es
de 120
c)16 es
de 8
d) 11 es
de 33
e) 100 es
de 25
f) 7 es
g) 333 es
de 4
h) 343 es
de 63
de 7
12.De los siguientes números: 9, 25, 15, 20, 4, 8, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Elige cuatro parejas que
cumplan entre sí la relación de divisibilidad.
30
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
2
CalcMCDmcm
Cálculo del MCD y el mcm
Divisores: los divisores de un número son todos los números
que dividen a dicho número, dando residuo cero.
Ejemplo: los divisores de 20 son 1,
2, 4, 5, 10 y 20
Números primos: son los números que sólo tienen dos
divisores, el 1 y ellos mismos.
Son primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
En el archivo FacPrim tienes los
números primos menores que 100.
Máximo común divisor (MCD): El MCD de dos o más números
es el número más grande posible que divide a esos números.
Para calcular el MCD de dos
números se colocan uno debajo del
otro, se obtienen todos los divisores
de ambos y el mayor divisor que se
repita es el MCD.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es
el menor múltiplo que tengan en común.
Mediante el archivo EUCLIDES, calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de
las siguientes parejas de números.
a) 140, 350
g) 18, 24
b) 30, 45
h) 12, 40
c) 72, 108
i) 220, 150
d) 270,234
j) 300, 500
e) 560,588
k) 80, 100
f) 210, 315
l) 21, 35
Haciendo uso de EUCLIDES, analiza y resuelve los siguientes problemas.
1. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada
en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos
fuentes con el mismo programa, ¿a qué hora volverán a coincidir?
2. Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino
en garrafas iguales sin mezclarlo, pero de forma que el número de garrafas sea el mínimo.
¿Qué capacidad debe tener cada garrafa?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
31
3. Una hoja de papel de 18 cm de largo y 24 cm de ancho se quiere dividir en cuadritos iguales
del mayor tamaño posible. ¿Cuántos cuadritos se pueden obtener?
4. Dos cometas se acercan al Sol, uno cada 100 años y otro cada 75 años. Si se aproximaron
juntos al Sol en 1990, ¿cuándo se volverán a encontrar?
5. José y María van a casa de su abuelo, el primero cada 12 días y la segunda cada 16 días.
¿Cada cuántos días coinciden?
6. En el maratón de la ciudad de Pachuca, Adriana corrió los primeros 10 km en 28.32 minutos,
los siguientes 10 km en 33.48 minutos, los siguientes 10 km en 41.34 minutos y los últimos
12.195 km en 56.36 minutos. ¿En cuántos minutos corrió Adriana toda la carrera?
7. En una bodega, hay 3 bultos de frijol que pesan respectivamente 47.6, 53.257 y 49.345 kg.
¿Cuántos kilogramos de frijol hay en la bodega?
8. Para hacer una carne asada, Martín fue a la carnicería y compró 3.5 kg de chorizo, 2.75 kg de
bistec, 1.250 kg de queso y 2.500 kg de tortillas. ¿Cuál fue el peso total de sus compras?
9. Sonia ahorró durante una semana $12.5, $25.8, $8.75, $18.35 y $7.2. ¿Cuánto dinero tiene
al final de la semana?
10.Para construir una casa, don Roque, el albañil, recibió 18.75 toneladas de cemento y sólo
utilizó 15.865 toneladas. ¿Cuánto cemento le sobró?
11.De un pedazo de tela de 25 metros, doña Beatriz, la costurera, utilizó 4.5 m para una blusa,
8.75 m para un pantalón y 6.25 m para una falda. ¿Cuánta tela queda?
12.Si Bertha tenía $275 el domingo y en el supermercado compró unos tenis de $135.75, una
blusa de $95.35 y unos guantes de $24.35, ¿cuánto dinero le quedó?
13.Cinco timbres tocan simultáneamente y volverán a tocar cada 6, 7, 8, 9 y 10 segundos,
respectivamente. Si coinciden a las 11 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir?
14.Una caja contiene entre 70 y 100 naranjas: Si las contamos de cuatro en cuatro o de siete en
siete no sobra ninguna. ¿Cuántas naranjas hay?
32
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Problemas aditivos
3
SolProbFracDec
Para resolver los problemas de esta actividad, debe determinarse si es suficiente una estimación
del resultado o si es necesario obtenerlo exacto; también se debe decidir si conviene trabajar
con fracciones o con números decimales y realizar las conversiones necesarias. Se aprovechará
el proceso de resolución de problemas para revisar las nociones de números fraccionarios y
decimales, sus usos y fortalecer las técnicas para operar con este tipo de números.
Para resolver los problemas se usa el archivo SolProbFracDec.
1
1. Si una sandía pesó 6 kg y un melón 1.75 kg, ¿qué diferencia de peso tienen?
2
3
1
3
1
b) 3 kg
c) 2 kg
d) 1 kg
a) 4 kg
4
2
4
2
2. Si una papaya pesa 2
a) 6 kg
3
3
kg, un melón 1.5 kg y una jícama
kg, las tres frutas juntas pesan:
4
4
1
3
b) 5 kg
c) 4 kg
d) 4 kg
2
6
3. Si el basquetbolista Michael Jordan anotaba en promedio 64 puntos cada 2 partidos, ¿cuántos
puntos habrá anotado al final de una temporada de 85 partidos?
a) 2 700
b) 5 440
c) 3 000
d) 2 720
1
4. La altura de cada uno de los diecinueve pisos de una torre es de 3 m. ¿Cuál es su altura total?
4
a) 62 m
b) 61.75 m
c) 61.57 m
d) 62.75 m
3
5. Un deportista bebe 2.5 litros de agua el sábado y 1 el domingo. ¿Cuánta agua tomó en total?
4
17
17
17
17
a)
b)
c)
d)
4
3
2
6
17
m de ancho. El área de esta puerta es:
6. Una puerta mide 3.5 m de alto y
10
a) 4.9 m
b) 5.9 m
c) 6.9 m
d) 2.9 m
7. Si en un examen con 20 aciertos se obtiene un 5 de calificación, ¿cuánto vale cada acierto?
a) 4
b) 2
c) 0.25
d) 0.4
8. Para trazar un pentágono inscrito en una circunferencia, hay que trazar ángulos de:
a) 60º
b) 72º
c) 45º
d) 90º
1
9. De un pedazo de tela de 15 metros, doña Martha utilizó 2.7 m para una blusa, 4 m para un
4
33
pantalón y
m para una falda. ¿Cuánta tela le queda?
10
a) 4.85 m
b) 4.7 m
c) 4.5 m
d) 4.75 m
Sentido numérico y pensamiento algebraico
33
LECCIÓN
Multiplicación y división
de números fraccionarios
4
MultiNumFrac
Para la multiplicación de fracciones se necesita tomar en cuenta las opciones que se muestran en
el siguiente diagrama.
Multiplicación de fracciones
Dos o más
fracciones
Una fracción por
un número entero
Un número mixto por
una fracción
Se multiplican de manera
lineal, es decir, numerador
por numerador y denominador
por denominador
Al entero se le pone un 1 como
denominador y se multiplican
las dos fracciones
El número mixto se convierte
en fracción común y se
multiplican las dos fracciones
3
5 15
×
=
2
7 14
7
7
3 21
×3=
×
=
4
4
1
4
2
2
4
8
4 32
×
=
×
=
3
5
3
5 15
Para las actividades siguientes abre el archivo MultiNumFrac, en donde verás tanto la
representación analítica como la geométrica.
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones, simplifica y obtén enteros si es
necesario.
a)
3
6
×
=
5
7
b)
4
× 6 =
3
d)
2
8
×
=
3
4
e) 5 ×
6
=
5
c)
3
2
×2 =
8
5
f) 4
1
2
×
=
3
9
Resuelve los siguientes ejercicios de multiplicaciones de fracciones.
Ejemplo: si en una escuela de 462 alumnos, las dos terceras partes son hombres, ¿cuántos
hombres hay?
2 462 2 924
462 ×
=
×
=
= 308
3
1
3
3
R = En la escuela hay 308 hombres
34
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
2. De 5 galones de pintura, don Lucho gastó la cuarta parte para pintar la sala. ¿Cuánta pintura
gastó?
3. Si el metro de tubo de cobre cuesta $125, ¿cuánto me costarán
4. La longitud de una pista de atletismo es
distancia recorrió?
4
de metro?
5
2
de km. Si Miguel dio 5 vueltas a la pista, ¿qué
5
5. Sobre una báscula se han colocado 8 bolsas. Si cada bolsa pesa 1
que registra la báscula? Expresa el resultado en fracciones de kg.
1
kg, ¿cuál será la lectura
2
3
de litro con agua y vació su contenido en una jarra que estaba
4
vacía. Esta acción la realizó en 6 ocasiones. ¿Qué cantidad de agua hay dentro de la jarra?
6. Alejandra llenó una botella de
7. La siguiente es una lista de ingredientes para elaborar tortitas de pescado (6 porciones).
tortitas de
a) Calcula la cantidad de ingredientes
necesarios para hacer 12 porciones
de tortitas de pescado:
b) Calcula la cantidad de ingredientes
necesarios para elaborar 9 porciones de tortitas de pescado:
8. Si
1 kg de pes
pescado
cado en tro
1
zos
2 taza de leche (125
mililitros)
U
n
b
o
li
ll
o
frío (70 g)
3
4 de taza de aceite (
187.5 mililit
ros)
6 cucharas
de mayones
a (60g)
1
2 cebolla (100g)
2 dientes d
e ajo (4 g)
Hierbas de
olor al gusto
Sal y pimien
ta al gusto
3
partes de un número son 24. ¿cuál es el número?
8
9. Un cuadrado aumenta una décima parte en cada uno de sus lados. ¿Cuánto aumenta su área?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
35
 Problemas que requieren la división de números fraccionarios
Al dividir fracciones se pueden presentar las siguientes posibilidades, como se muestra en este
diagrama.
División de fracciones
Dos o más
fracciones
Una fracción entre
un número entero
Un número mixto entre
una fracción
Se multiplican
numeradores y
denominadores de
forma cruzada
Al entero se le pone un 1
como denominador y
se multiplican las fracciones
en forma cruzada
El número mixto se convierte
en fracción común y
se multiplican las fracciones
en forma cruzada
3
5 18 9
÷
=
=
4
6 20 10
3
3
2
3
÷2=
÷
=
5
5
1 10
2 3 8 3 32
5
2 ÷ = ÷ =
=3
3 4 3 4
9
9
3 × 6 = 18
4 × 5 = 20
3×1=3
5 × 2 = 10
8 × 4 = 32
3×3=9
Para las actividades siguientes abre el archivo ProbDivicFrac, en donde tendrás tanto la
representación analítica como la geométrica.
1. Realiza las siguientes divisiones, simplifica y obtén enteros si es posible.
a)
4
6
÷
=
7
5
d) 4 ÷
g) 4
5
=
9
2
5
÷ 3 =
3
7
b)
2
÷ 3 =
5
e) 3
h)
1
4
÷
=
4
5
8
3
÷
=
5
4
c)
3
2
÷2 =
8
6
f)
9
3
÷
=
5
6
i)
7
÷5=
11
Resuelve los siguientes ejercicios.
3
1. Hay seis cajas iguales de mercancía. Entre todas las cajas pesan 25 kg. ¿Cuánto pesa cada
5
caja?
2. Si para hacer una camisa se necesita 1.5 m de tela, ¿cuántas camisas se podrán hacer con
una pieza de tela dts?
3. Si tenemos un saco con 50 kg de azúcar, ¿cuántas bolsas de 2
36
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
1
kg podemos llenar?
2
5
LECCIÓN
Propiedades de la
mediatriz y la bisectriz
MediatBisec
 Mediatriz
La mediatriz de un segmento de recta es la recta que lo divide en dos partes iguales y es
perpendicular a ese segmento.
Para trazar la mediatriz sigue estos pasos:
1. Traza un segmento de recta y desígnalo como AB.
A
B
2. Tomando como centro el punto A, abre tu compás más de la mitad del segmento de recta.
3. Traza una circunferencia.
4. Ahora, desde el punto B se traza una circunferencia de igual radio que la anterior.
5. Traza una recta donde por los puntos donde se cruzan las dos circunferencias.
A esta recta se le conoce como mediatriz (M).
1. Con el uso de Geometría dinámica, traza la mediatriz del segmento AB cuya longitud es igual a:
a) 4 cm
b) 7 cm
B
B
A
A
c) 8 cm
d) 9 cm
A
A
B
B
Forma, espacio y medida
37
 Bisectriz
La bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos ángulos de la misma medida, es decir, la
bisectriz es el eje de simetría del ángulo.
Para trazar la bisectriz sigue estos pasos:
1. Dibuja el ángulo sobre el cual trazarás la bisectriz.
riz
ect
2. Apoyándote en el vértice del ángulo, abre el compás a
Bis
A
Q
cualquier medida para trazar dos arcos que corten a los lados
B
del ángulo en A y B.
3. Ahora, apoyándote en el punto A y el punto B traza dos arcos del mismo radio que se corten
en un punto Q.
4. Por último, traza una recta desde el vértice del ángulo y la intersección de estos dos últimos
arcos.
Esta es la bisectriz.
1. Con el uso de Geometría dinámica, traza la bisectriz de los siguientes ángulos y halla la medida
de cada nuevo ángulo:
a)
b)
40°
50°
c)
d)
120°
38
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
150°
LECCIÓN
Perímetro y área de
polígonos regulares
6
PoligonoRegular
 Polígonos regulares
Completa la siguiente definición:
Un polígono regular es aquel cuyos lados son
y cuyos ángulos son
Abre el archivo PoligonoRegular en el ambiente de Geometría dinámica e interactúa con las
herramientas de construcción geométrica.
En la escena de la derecha de la pantalla puedes visualizar los distintos elementos de un polígono
regular. Selecciona el número de lados del polígono y desde el menú escoge los distintos elementos
para ver su definición. Define:
Radio:
Diagonal:
Apotema:
Activa la herramienta
para ver la medida de los ángulos de un polígono regular.
Modifica el número de lados del polígono y observa cómo se calcula el valor de los ángulos central
e interior.
Calcula el valor de los ángulos central e interior de un polígono de 30 lados:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Calcula el valor de los ángulos central e interior de un polígono de n lados:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Completa la tabla abriendo el archivo PoliEjesSimetria:
Polígono regular
Número de ejes de simetría
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Forma, espacio y medida
39
Observa las similitudes y diferencias, respecto a los ejes de simetría, que muestran los polígonos
según tengan un número par o impar de lados:
1. Calcula el valor de los ángulos central, interior y exterior de un pentágono regular y de un
hexágono regular.
Ángulo exterior
Ángulo central
Ángulo exterior
Ángulo central
Ángulo interior
Ángulo central:
Ángulo central:
Ángulo interior:
Ángulo interior:
Ángulo exterior:
Ángulo exterior:
Ángulo interior
2. Dibuja los ejes de simetría de un triángulo equilátero, un cuadrado, un heptágono regular y
un octógono regular.
Realiza los siguientes ejercicios con Geometría dinámica.
1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares expresando el resultado en
decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros.
Lado: 5 cm
Lado: 8 m
Lado: 2 dm
¿Cuántos cm2 son 40 m2?
¿Cuántos m2 son 500 mm2?
¿Cuántos dm2 son 7 km2?
¿Cuántos hm2 son 24 dam2?
¿Cuántos mm2 son 0.125 hm2?
40
Lado: 4 mm
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
 Área de polígonos regulares
Abre el archivo AreaPoliReg y observa cómo se calcula el área de un polígono regular. Sigue el
razonamiento con los deslizadores de avance y retroceso.
Escribe la fórmula:
Área del polígono regular =
Activa la herramienta
para hacer unos ejercicios de cálculo de áreas.
Completa la siguiente tabla con los datos de los polígonos regulares que aparecen en la escena y
calcula el área. Presta atención a las unidades.
Valor del
deslizador
No. de lados
Lado
Perímetro
Apotema
Área
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Forma, espacio y medida
41
LECCIÓN
7
CanchaFutbol
ProbleProporci
Proporcionalidad directa
El factor constante de proporcionalidad es el cociente de la comparación entre dos conjuntos
de cantidades, y puede ser un decimal o una fracción. Si al aumentar o disminuir una de las
cantidades la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción, se dice que entre estas
dos cantidades existe una relación de proporcionalidad directa.
La constante de proporcionalidad es la cantidad por la que se deben multiplicar o dividir los
valores de una columna para obtener los de otra columna.
Las medidas reales de una
cancha de futbol aparecen en el
archivo CanchaFutbol y son las
siguientes:
Línea de medio campo
Punto de
penalty Línea de banda
16.5m
Línea de meta
Área de
meta
90-45m
Con base a esta información, completa
la siguiente tabla; encuentra el factor de
proporcionalidad activando en el archivo
la casilla de control de escala.
Medidas de la cancha
Largo total
7.32m 18.32m
40.32m
Portería
Área de
castigo
2.44m
16.5m
5.5m
9.15m
120-90m
Medida del dibujo (cm)
Medida real (m)
6.6
120
Ancho total
90
Ancho del área chica o de meta
5.5
Largo del área chica o de meta
18.32
Largo de la portería
7.32
Ancho del área grande o de castigo
16.5 m
Largo del área grande o de castigo
40.32 m
Radio del círculo central
9.15 m
Resuelve los siguientes ejercicios, manipulando el archivo ProbleProporci.
1. Si con la llave del agua abierta por 10 minutos el depósito subió 35 centímetros, ¿cuánto
tiempo más debe permanecer abierta la llave para que el nivel suba a 70 centímetros?
a) ¿Qué nivel alcanzará en el minuto 28?
1
2. Adriana pintó una pared de 3m2 con una mezcla de un litro de pintura azul y
litro de
2
2
pintura rosa. Si ahora quiere pintar una pared de 1m , ¿cuánta pintura azul y cuánta pintura
rosa necesita para que le queden ambas paredes del mismo color?
42
Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Bloque Tres
LECCIÓN
Multiplicación de
números decimales
1
MultiDecimales
Cuando se multiplica un número entero por un decimal:
6
× 0. 5
3. 0
12
× 0. 8
9. 6
15
× 0. 7
1 0. 5
El punto se recorre un lugar
hacia la izquierda porque se
multiplicó por décimos
23
× .3 5
115
69
8. 0 5
386
.5 2
772
1930
2 0 0. 7 2
×
El punto se recorre dos lugares
a la izquierda porque se
multiplicó por centésimos
4
× .2 6
37
282
94
1 2. 5 9
7
8
6
6
8
× .7 5
53
445
623
6 7. 2 8
9
6
4
4
El punto se recorre tres lugares
a la izquierda porque se
multiplicó por milésimos
Cuando se multiplica un número decimal por 10 o alguno de sus múltiplos (100, 1 000, 10 000,
etcétera), se hace lo contrario que en la división, porque ahora el punto decimal se recorre a la
derecha tantas posiciones como número de ceros tenga el múltiplo de 10.
Ejemplo.
Al multiplicar 46.53 × 1 000, como el segundo factor tiene tres ceros,
el punto decimal se recorre tres lugares a la derecha, y como ya no
46.53 × 1 000 = 46 530
hay números después de la última cifra significativa (que en este
caso es el 3) se agrega un cero a la derecha.
Para interactuar y resolver los siguientes ejercicios, abre el archivo MultiDecimales.
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 405.43 × 31
b) 87 × 0.02
d) 379.4 × 28
e) 562 × 2.34
c) 101 × 0.101
f) 254 × 38.5
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones con sólo recorrer el punto decimal.
a) 41.5 × 10 =
b) 245.38 × 10 000 =
c) 34.51 × 100 =
d) 12.38 × 100 000 =
e) 4.65 × 1 000 =
f) 19.8742 × 1 000 000 =
Problemas.
3. Lupita vendió 25 lápices a $3.5 cada uno. ¿Cuánto obtuvo por la venta?
4. Carlos compró 1.25 kg de bistec con un precio de $58.60 por kilogramo. ¿Cuánto pagó?
5. Manuel pagó $5.00 por 20 copias. Al día siguiente sacará 28 copias. ¿Cuánto deberá pagar?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
43
LECCIÓN
División de
números decimales
2
DiviDecimales
División de números decimales
Un decimal entre
un entero
Un entero entre
un decimal
Un decimal entre
un decimal
Se realiza la división como si
fueran dos números enteros, y
sólo se sube el punto al cociente
desde el mismo lugar donde se
encuentre el dividendo
Se recorre el punto decimal del
divisor hasta la derecha y se
agregan tantos ceros al dividendo
como lugares se haya recorrido el
punto
Se recorre el punto decimal del
divisor hasta la derecha y también
se recorre el punto decimal del
dividendo el mismo número de
lugares
2. 8 8
8 2 3. 0 4
70
64
0
614
25 1535 25 15350
35
100
3. 8 9 3. 4 8
Abre el archivo DiviDecimales.
1. Realiza las siguientes divisiones (el cociente con 2 decimales).
a) 0.76 ÷ 8
b) 85 ÷ 1.35
c) 87.15 ÷ 4.5
d) 2.55 ÷ 15
e) 78 ÷ 3.3
f) 246.54 ÷ 8.2
Problemas.
2. Si una docena de lápices cuesta $50.75, ¿cuánto cuesta cada lápiz?
3. ¿Cuántos vasos de 0.250 ml se pueden servir de un refresco de 3 litros?
4. ¿Cuántos sobres de 0.035 kg se pueden hacer con 2.75 kg de azúcar?
5. Si una caja con 12 paquetes de 100 hojas cuesta $875.58,
¿cuánto cuesta cada hoja?
6. Para hacer 8 cajas se utilizaron 2.68 m2 de cartulina.
¿Cuánta cartulina se utilizó en cada caja?
44
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
2 4. 6
3 8. 9 3 4. 8
174
228
0
LECCIÓN
Ecuaciones de
primer grado
3
EcuacionPrimera
Una ecuación es una igualdad algebraica donde hay por lo menos un valor desconocido, llamado
incógnita (generalmente designado con la letra x), que se cumple para determinado valor numérico
de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas
con incógnitas cuyo exponente es 1 (que no se escribe).
Para resolver una ecuación de primer grado, es decir, para encontrar el valor de la incógnita que
hace cierta a la igualdad, se siguen los siguientes pasos.
a. Se reducen los términos semejantes, cuando los haya.
b. Si es necesario se reubican los términos, los que contengan la incógnita se ubican en el
miembro izquierdo de la igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho. A los términos
que cambien de un lado a otro se les debe cambiar el signo.
c. Se reducen términos semejantes, si los hay.
d. Se aísla o despeja la incógnita. Si tiene coeficiente, se dividen entre él ambos miembros de
la ecuación, y se simplifica.
Abre el archivo EcuacionPrimera y examina los ejemplos.
Segundo miembro
Ejemplo 1: resolver la ecuación
x - 6 = 60
Segundo miembro
Para dejar la x sola en el primer miembro, trasladamos el 6 al segundo miembro con la operación
inversa es decir, si está restado, se cancela sumándolo y viceversa. La operación debe hacerse en
ambos miembros de la igualdad, para conservar su relación original.
x - 6 + 6 = 60 + 6
x = 66
En álgebra se utilizan los paréntesis para indicar la multiplicación en lugar del signo ×, para que
no se confunda con la incógnita.
Ejemplo 2: resolver la ecuación 0.5x = 3.5
En este caso la incógnita está multiplicada por un coeficiente, así que para despejarla debemos
hacer la operación inversa, es decir, dividir ambos miembros entre dicho coeficiente.
0.5x
3.5
=
0.5
0.5
al hacer la operación aritmética tenemos que x = 7.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
45
Resuelve los siguientes ejercicios, usando la calculadora y el archivo Ecu1erGrado.
1. Comprueba si:
a) x = 4 es solución de la ecuación x + 3 = 7
b) x = 1 es solución de la ecuación x + 8 = 10
c) x = 3 es solución de 4x = 12
d) x = 3 es solución de x - 2 = 1
e) x = 2 es solución de x + 7 = 3
f) x = 8 es solución de 5 + x = 14
g) x = 9 es solución de 7 + x = 16
2. Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado.
a) 2x = 6
b) 2x - 3 = 6 + x
c) 2(2x - 3) = 6 + x
d) 4(x – 10) = -6(2 - x) - 6x
e)
x-1 x-3 = 1
6
2
f) 2(x + 1) - 3(x - 2) = x + 6
g)
46
x-1 x-5 x+5
=
4
36
9
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Construcción de
polígonos regulares
4
PoliRegGral
La palabra polígono proviene del griego poli (muchos) y gonía (ángulo). Los polígonos tienen lados,
vértices, ángulos interiores y exteriores, y diagonales.
Diagonales
D
Vértices
E
C
Lados
Ángulos
exteriores
F
B
Un polígono es regular cuando todos sus lados tiene la misma longitud y todos sus ángulos
interiores son iguales (es equilátero y equiangular). Se le denomina cíclico si todos sus vértices
están sobre una circunferencia.
A
En el ambiente de Geometría dinámica, usa la herramienta
para construir polígonos regulares,
y las herramientas y
para medir sus lados y ángulos interiores, respectivamente.
Si se trazan dos ejes de simetría en un polígono regular, el punto donde se cortan es el centro del
polígono.
Por ejemplo:
Centro del polígono
1. Encuentra el centro de los siguientes polígonos:
Forma, espacio y medida
47
Los ángulos centrales de un polígono
son los que tienen su vértice en el centro
del polígono y sus lados pasan por dos
vértices consecutivos.
Ángulo central
0°
12
12
0°
2. Traza los ángulos centrales de los siguientes polígonos regulares, y luego mide y anota la
medida de cada uno en la tabla de abajo. Guíate con el ejemplo.
120°
Triángulo equilátero
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
Figura
Triángulo
equilátero
Cuadrilátero
Núm. de lados
Núm. de ángulos
centrales
Medida de cada
ángulo central
Número de lados ×
ángulo central
3
3
120°
3 × 120 = 360°
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
En el ejemplo del triángulo equilátero, dividimos
360
, por lo que cada ángulo central mide 120º.
3
Con el siguiente procedimiento traza un pentágono regular inscrito en una circunferencia:
• Traza una circunferencia con cualquier radio.
360
).
5
• Une los puntos de intersección de los radios con la circunferencia para formar el polígono.
• En la circunferencia traza cuatro radios con 72° de separación (72 se obtiene de
Abre el archivo PoliRegGral y con la herramienta deslizador traza seis circunferencias de 4 cm de
radio e inscribe en ellas cinco polígonos regulares distintos.
48
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Cálculo del perímetro y
área de polígonos regulares
5
CalPeriArea
1. Traza la diagonal y calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
5 cm
5 cm
10 cm
Cuadrado
Rectángulo
2. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
8 cm
4 cm
6 cm
5 cm
10 cm
2 cm
Trapecio
rectángulo
10 cm
a
3 cm
5c
m
h
Trapecio
isóceles
6 cm
Triángulo
equilátero
Pentágono
regular
Forma, espacio y medida
49
3. Halla el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.
4. Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
5. Calcula el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
6. Determina el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en éste,
otro círculo. Halla el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m, respectivamente.
Calcula la medida de los lados no paralelos y el área.
9. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, se forma un triángulo equilátero
de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcula el
área del trapecio.
10.El área de un cuadrado es 2 304 cm². Calcula el área del hexágono regular que tiene su mismo
perímetro.
11.En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de éste y
hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Halla el área de la estrella así formada.
12.A un hexágono regular de 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe
otra. Halla el área de la corona circular formada.
13.En una circunferencia, una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcula el área del
círculo.
14.Los lados que forman el ángulo de 90° de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia,
miden 22.2 cm y 29.6 cm, respectivamente. Calcula la longitud de la circunferencia y el área
del círculo.
15.Calcula el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita
a un cuadrado de 8 m de diagonal.
16.En un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Halla el área del sector circular
comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
17.Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, halla el área de uno de los sectores determinados
por la circunferencia circunscrita y por dos de los radios que pasan por los vértices.
50
Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Constante de
proporcionalidad
6
ConstanteProp
Abre el archivo ConstanteProp y resuelve los siguientes problemas.
1. Una fotografía se reduce con una escala de 1 a 4, es decir, tanto el ancho como el largo
de la fotografía se reducen a la cuarta parte. Enseguida se reduce nuevamente con una
escala de 1 a 4. Si las medidas de la fotografía original son 48 centímetros de largo por 32
centímetros de ancho:
a) ¿Cuánto mide el largo de la fotografía después de hacerle las dos reducciones?
b) ¿Cuánto mide el ancho de la fotografía después de hacerle las dos reducciones?
c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar directamente de las medidas
originales de la fotografía a las medidas de la reducción final?
2. El recuadro contiene una receta para elaborar sopa de arroz rojo (rinde 8 porciones).
a) Para preparar 12 porciones de sopa
de arroz, ¿qué cantidades de cada
ingrediente se necesitan?
b) Para preparar 18 porciones de sopa
de arroz, ¿qué cantidades de cada
ingrediente se necesitan?
Arroz rojo
1
4 kilo de arroz
3 jitomates
1 pedazo de cebolla
2 dientes de ajo
1 cucharada de cons
omé
Aceite al gusto
2 tazas de agua po
r cada taza de arro
z
3. Una cámara fotográfica cuenta con 2 lentes para tener un mejor alcance. La primera lente
hace una ampliación de 3.5 megapixeles por cada centímetro que mide el objeto. La segunda
lente hace una ampliación de 4.3 megapixeles por cada centímetro que mide el objeto. Si toma
las siguientes fotografías, calcula el tamaño en megapixeles.
Medida del objeto
Reducción con la lente 1
Reducción con la lente 2
3.5 cm
4.2 cm
6.4 cm
2.5 cm
4. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se tiene que aplicar a cualquier objeto al usar las
dos lentes?
¿Cómo lo obtuviste?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
51
Bloque Cuatro
1
LECCIÓN
Números con signo
RectaNumerica
Debido a que los números naturales, es decir, 1, 2, 3, 4, 5,… no contienen al cero y en la medición
de la temperatura no permiten expresar los grados bajo cero, fue necesario incorporar los números
negativos y al cero en la escala de medida. El cero es el punto de referencia, ya que antes del cero
ubicamos a los negativos y después del cero a los positivos.
Los números negativos se distinguen de los positivos por el signo menos (–) que les antecede,
mientras que por lo general a los positivos no se acostumbra asignarles el signo más (+).
 Representación de números en la recta
Los números negativos y positivos pueden ubicarse en la recta numérica para observar su orden
y posición.
-7
-6
A la izquierda del
cero ubicamos los
números negativos
El número de
referencia es
el cero
-5
-1
-4
-3
-2
0
1
A la derecha del
cero ubicamos los
números positivos
2
3
4
5
6
7
En la recta, los números están ordenados de menor a mayor. Por ello, al comparar dos números
siempre será mayor el que esté a la derecha.
Para ubicar números con signo en la recta numérica en el ambiente de Geometría dinámica, abre
el archivo RectaNumerica y con el deslizador que controla el número a localizar corrobora las
siguientes afirmaciones.
a) Se ubica al cero como número de referencia u origen.
b) A la izquierda del cero se ubican los números negativos, es decir, los números menores que
0, a los que identificamos con el signo menos (–).
c) A la derecha del cero se ubican los números positivos, es decir, los números mayores que
0, a los que identificamos con el signo más (+).
52
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
También podemos ubicar fracciones y decimales con signo en la recta numérica.
–
-7
-6
17
3
–
–4.1
-5
-4
-3
-2
3
2
+
-1
0
1
3
2
+4.3
2
3
4
+6.7
5
6
7
–1 y 1 no son iguales, ya que 1 está a la derecha de –1. Por lo tanto, –1 < 1.
3
3
3
3
3
es mayor que – porque está a la derecha de – . Por lo tanto, – < + .
+
2
2
2
2
2
Entre –3 y –2, es mayor –2 porque está a la derecha de –3 y más cerca de cero. Por lo tanto –3 < –2.
 Inverso aditivo (simétrico)
Observa que el 1 y el –1 están a la misma distancia del cero, al igual que el 2 y el –2, el 3 y el –3,
etcétera. Cada una de estas parejas tiene el mismo número, pero con signos opuestos o contrarios.
Por tanto, el –5 se llama el número opuesto de 5, y 3 es el opuesto de –3. Los números que están en
lados opuestos del 0, pero a la misma distancia de éste, se llaman inversos aditivos o simétricos.
 Valor absoluto
En la recta numérica el cero es el punto de referencia, el origen. Independientemente de en qué
lado del cero se encuentre un número, su distancia al cero se llama valor absoluto del número y
siempre es positivo, ya que la distancia tiene esa característica.
Por ejemplo, aunque –5 está a la izquierda del 0, su distancia a éste es 5 y entonces su valor
absoluto es 5.
El valor absoluto se indica de varias formas, la más usual es mediante el empleo de dos barras
verticales que encierran al número, como se muestra a continuación.
Ejemplos:
│ –3 │ = 3, se lee como el valor absoluto de –3 es 3.
│ –5 │ = 5, se lee como el valor absoluto de –5 es 5.
│ 7 │ = 7, se lee como el valor absoluto de 7 es 7.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
53
Ejercicios.
1. Localiza los números 0, 2, –4, –5, 4 en la recta numérica e indícalos con una flecha.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
2. Ubica en la recta numérica a los números: +
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
3
2
2 8
, – , –3 ,
, señalándolos con una flecha.
4
5
2 3
0
1
2
3
4
5
6
7
3. Ubica en la recta numérica los números que faltan entre los dos números marcados.
0
5
-7
-2
4. Completa las siguientes tablas.
Número
54
Inverso aditivo (simétrico)
Número
–6
│ –9 │
+8
│ +6 │
–7.3
│ –8.3 │
+5.1
│ +7.8 │
Valor absoluto
–4.2
2
+3.8
1.5
+11.75
2.3
–13.4
6.8
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
2
CentroCircunf
Construcción de círculos
Una circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a la misma
distancia de un punto interior llamado centro. La distancia del centro a
cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
En el ambiente de Geometría dinámica, traza una circunferencia con la herramienta
posteriormente todos los elementos que a continuación se describen.
1. Una cuerda es un segmento de recta que une dos
puntos de la circunferencia.
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro.
Círculo es el área que está contenida en una
circunferencia.
Diámetro
y
Radio
Centro
Cuerda
2. Para trazar una circunferencia que pase por dos puntos.

Tomamos dos puntos C y D, se encuentra el punto medio entre ellos y se toma como
centro. Se coloca el compás en el centro y se abre hasta cualquiera de los puntos, C o D y
se traza la circunferencia. Podemos calcular el valor del radio midiendo la distancia entre
C y D y dividiéndola entre dos, o bien, trazando la mediatriz entre estos dos puntos.

Si trazamos un segmento que mida 3.8 cm, tenemos
C
el valor del diámetro, por lo que el radio será la
3.8
mitad:
= 1.9 cm.
2

Trazamos la mediatriz entre
los puntos C y D:
C

D
Ya que tenemos la mediatriz, hacemos centro
en E y abrimos el compás con radio EC o ED y
trazamos la circunferencia.
C
E
E
D
D
Forma, espacio y medida
55
Abre el archivo CentroCircunf01 y explora las siguientes descripciones.
Para encontrar el centro de la circunferencia
Dadas dos cuerdas no paralelas, se traza
la mediatriz a cada cuerda y el punto de
intersección de las mediatrices trazadas es el
centro de la circunferencia.
Cuerdas
Cuerdas
C
C
Mediatrices
Mediatrices
Dadas dos paralelas, se traza la mediatriz a una
de las cuerdas, se identifica el diámetro que
está sobre la mediatriz y se obtiene el punto
medio del diámetro, el cual es el centro de la
circunferencia.
Diá
m
Cuerda Centro etro
Mediatriz
Cuerda
Para encontrar el centro de la circunferencia, abre el archivo CentroCircunf02 y explora las
siguientes descripciones:
Caso 1: Dados tres puntos que no son colineales (que no están sobre la misma recta) siempre
se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por
ellos es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen los tres puntos.
Caso 2: Cuando los tres puntos son colineales (están sobre la misma recta), no se puede trazar
la circunferencia.
Caso 1
C
Caso 2
D
No se puede trazar la
circunferencia
B
E
A
F
56
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Abre el archivo CentroCircunf03 y realiza los siguientes ejercicios.
1. Para cada pareja de puntos, construye la mediatriz, encuentra el centro y traza la circunferencia.
Mide también el radio y el diámetro.
A
C
B
Radio:
D
Diámetro:
Radio:
Diámetro:
C
E
F
Radio:
Diámetro:
G
Radio:
Diámetro:
Forma, espacio y medida
57
2. Encuentra el centro de la circunferencia dadas las siguientes cuerdas:
3. Encuentra el centro de la circunferencia dados los siguientes puntos:
D
A
B
E
C
F
58
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
La circunferencia y
el número π
3
NumeroPi
 Determinación del número Pi
El número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia (o perímetro de un círculo)
entre la longitud de su diámetro siempre es el mismo, se llama pi y se simboliza con la letra
griega π. Una aproximación a ese número es 3.1416, o bien, un valor más práctico es 3.14.
1. Completa la siguiente tabla. Auxíliate del archivo NumeroPi y de los deslizadores, ya sea que
se conozca el perímetro o el diámetro. Sigue los ejemplos.
Perímetro del círculo (cm)
Diámetro de la
circunferencia (cm)
6.2832
2
Perímetro/diámetro
6.2832 / 2 = 3.1416
9.4242
= 3.1416
18.8496
6
31.416
= 3.1416
47.124
15
62.832
= 3.1416
30
157.08
= 3.1416
50
El diámetro es directamente proporcional al perímetro del círculo, es decir, en la misma proporción
en que aumenta o disminuye el diámetro, aumenta o disminuye el perímetro del círculo. La
constante de proporcionalidad es el número π.
Las ruedas de las bicicletas tienen diferentes tamaños según el tipo de persona que las vaya a utilizar.
En la siguiente tabla se especifica la rodada en pulgadas (recuerda que 1 pulgada = 2.54 cm).
2. Completa la tabla. Guíate con el ejemplo y apóyate en el archivo RuedasBici.
Usuario
Rodada
(pulgadas)
Perímetro de la rueda
(cm)
Diámetro de la rueda
(cm)
Perímetro entre
diámetro
Infantes
12
30.48 × π = 95.7072
12 × 2.54 = 30.48
95.7072 ÷ 30.48 = 3.14
Niños
14
Adolescentes
24
Adultos
28
Forma, espacio y medida
59
 Perímetro del círculo
etro = 14.13
rím
cm
e
P
El perímetro de un círculo se calcula multiplicando la medida de
su diámetro por el número π. El perímetro equivale a darle toda
la vuelta a la circunferencia.
Diá
me
tro
=4
.5 c
Por ejemplo, para calcular el perímetro de una circunferencia de
diámetro 4.5 cm y tomando 3.14 como valor aproximado de π,
tenemos:
Perímetro = 4.5 cm × 3.14 = 14.13 cm
Es decir, podemos obtener el perímetro de cualquier círculo con la fórmula:
Perímetro = π por diámetro
Si se llama P al perímetro y d al diámetro, entonces puede escribirse:
P = π × d, o bien, P = πd
m
1. Abre el archivo PeriCircunf, mide el diámetro de las siguientes circunferencias y calcula su
perímetro.
Diámetro:
cm
P = πd
Perímetro =
×
P = πd
=
Diámetro:
cm
Perímetro =
60
×
×
=
Diámetro:
cm
P = πd
Perímetro =
cm
Diámetro:
cm
cm
P = πd
=
cm
Perímetro =
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
×
=
cm
2. Utiliza el archivo PeriCircunf y con los datos del ejercicio de las ruedas de las bicicletas,
completa la siguiente tabla para ver cuántas vueltas daría la llanta delantera en cada distancia.
Guíate con el ejemplo.
Usuario
Rodada
(pulgadas)
Infantes
12
Niños
14
Adolescentes
24
Adultos
28
Perímetro de la
rueda (cm)
Diámetro de la
rueda (cm)
Número de vueltas
en 10 m (1 000 cm)
Número de vueltas
en 50 m (5 000 cm)
30.48 × π = 95.7072 12 × 2.54 = 30.48 1000 ÷ 95.7072 = 10.45 5000 ÷ 95.7072 = 52.25
3. Se quiere poner una cerca o barandal de madera a un ruedo de 25 m de radio, para la monta
de caballos y toros salvajes en un rodeo. El ruedo es de forma circular. Cada metro de barandal
cuesta $120.
a) ¿Cuánto costará el primer nivel de barandal?
b) ¿Cuántos niveles se podrán poner con $50 000?
c) Si en total se pagaron $75 350, ¿cuántos niveles de barandal se pusieron?
Realiza tus operaciones y contesta.
a)
b)
c)
 Área del círculo
El área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área de un polígono regular, debido
a que al inscribir polígonos dentro de una circunferencia, entre más lados tenga el polígono más
se parecerá a una circunferencia:
Área de un polígono regular =
perímetro × apotema
2
Como el perímetro del círculo es π por diámetro y la apotema, cuando el número de lados aumenta,
coincide con el radio, entonces:
Área de un círculo = π × diámetro × radio
2
Y como el diámetro es 2 veces el radio:
Área de un círculo = π × 2 × radio × radio
2
Simplificando:
Área de un círculo = π × radio × radio
Si se llama A al área y r al radio, entonces puede escribirse: A = π r2
Explora el archivo AreaCirculo y comprobarás el resultado anterior.
Forma, espacio y medida
61
1. En el archivo DiametroArea mide el diámetro de las siguientes circunferencias y calcula su
área.
Diámetro:
cm Radio:
cm
Diámetro:
cm Radio:
A = πr
Área =
×(
Diámetro:
2
)2 =
cm2
cm Radio:
Área =
cm
×(
Diámetro:
A = πr
×(
cm2
cm
A = πr
2
) =
2
cm
2
Área =
×(
2. Un DVD tiene las siguientes medidas:
El disco tiene un radio de 5.95 cm, y el área de color azul es donde
se graban los datos, ¿cuántos cm2 de área tiene para grabar?
El área gris (r = 0.75 cm) es el orificio para insertar el DVD en el
lector. ¿Cuál es su área?
3. Calcular el área y el perímetro de la región azul.
20 cm
20 cm
62
)2 =
cm Radio:
2
Área =
cm
A = πr
2
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
)2 =
1.5 cm
5.95
cm
cm2
0.75 cm
LECCIÓN
Análisis de la
regla de tres simple
4
ReglaTreSimple
Si dos conjuntos de cantidades varían de forma directamente proporcional, se relacionan
mediante el factor constante de proporcionalidad.
Si se multiplica una cantidad de un conjunto por la constante de proporcionalidad, se obtiene
la cantidad correspondiente del otro conjunto.
Abre el archivo ReglaTreSimple y resuelve y comprueba los problemas siguientes.
Ejemplo.
Si un coche recorre 80 km en 2 horas, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas viajando a la
misma velocidad?
Para resolver este problema, debemos encontrar la constante de proporcionalidad o valor unitario,
es decir cuántos kilómetros recorre el coche en una hora. Para ello utilizamos la famosa regla de
tres, en la que es importante colocar adecuadamente los datos:
80 kilómetros
2 horas
x kilómetros
1 hora
Para resolver la regla de tres tenemos que ubicar lo que nos falta (x kilómetros), y para calcularlo
nos colocamos en el dato que está arriba de la incógnita, lo multiplicamos cruzado y el resultado
se divide por el otro dato:
80 kilómetros
2 horas
×
÷
x kilómetros
1 hora
Incógnita
Esto es, se multiplica 80 × 1 y se divide entre 2:
80 × 1 = 80, 80 ÷ 2 = 40
Así que en una hora el auto recorre 40 kilómetros.
Otra forma de representar la regla de tres es con razones:
Y aplicamos la regla de los productos cruzados
a
c
=
b
d
80 km
x km
=
2 horas 1 hora
a×d=b×c
si queremos despejar c, dividimos todo entre la b que está multiplicándola.
c=
a×d
80 km × 1 hora
80
, esto es, x km =
=
= 40 km en 1 hora (factor unitario)
b
2 horas
2
Manejo de la información
63
Como ya sabemos que recorre 40 km en 1 hora, podemos calcular cuántos recorre en 5 horas
multiplicando los 40 km por 5 horas: 40 × 5 = 200 km en 5 horas.
Si ahora queremos saber cuántos kilómetros recorre en 3, 6 u 8 horas, multiplicamos cada uno
de estos tiempos por el factor unitario:
3 horas × 40 kilómetros = 120 km en 3 horas
6 horas × 40 kilómetros = 240 km en 6 horas
8 horas × 40 kilómetros = 320 km en 8 horas
Y podemos completar una tabla como la siguiente multiplicando o dividiendo el tiempo por el
factor unitario (40):
Kilómetros recorridos
Tiempo (horas)
Kilómetros recorridos
Tiempo (horas)
40
1
40
1
80
2
80
2
120
3
120
3
4
4
200
240
200
6
240
7
320
7
8
320
360
360
400
400
Ejercicios
1. Para preparar 3 pasteles de manzana, se necesitan 12 manzanas.
a) ¿Cuántas manzanas se necesitan para preparar 7 pasteles?
Plantea la regla de tres
b) ¿Cuántas manzanas se necesitan para preparar 1 pastel?
c) Completa la siguiente tabla:
Pasteles
Manzanas
1
2
3
12
16
5
7
40
64
6
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
8
2. Si en un examen con 10 aciertos se obtiene un 5 de calificación, ¿cuánto vale cada acierto?
a) Plantea la regla de tres
b) ¿Cuántos aciertos se necesitan para sacar 10 de calificación?
c) Completa las tablas.
Aciertos
Calificación
Aciertos
1
1
2
2
1.5
Calificación
1.5
4
4
5
5
3.0
3.0
7
7
4.0
4.0
4.5
4.5
10
10
3. Si Jazmín ahorra $350 de sus domingos en 7 semanas, ¿cuánto le dan de domingo?
a) Plantea la regla de tres
b) Completa la tabla.
Semanas
Domingo ($)
1
150
5
7
350
10
1 250
52 (1 año)
Manejo de la información
65
LECCIÓN
Problemas de
proporcionalidad inversa
5
ReglaInversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en
la misma proporción. Por ejemplo, al aumentar una cantidad al doble, la otra disminuye a la mitad;
al aumentar una cantidad al triple, la otra disminuye a la tercera parte, y así sucesivamente.
 Regla de tres simple inversa
Dadas dos magnitudes, se conoce la equivalencia entre el valor de una y el valor de la otra.
Entonces, para cada nuevo valor que se dé a la primera magnitud, calculamos el valor proporcional
inverso de la segunda magnitud.
Abre el archivo ReglaInversa y corrobora los ejemplos siguientes.
1. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se
compran 100 gallinas más ¿en cuánto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
Gallinas
300
400
Días
20
x
300
x
=
400
20
x=
20 × 300 600
=
400
400
x = 15 días
2. Un coche que circula a 50 km/h invierte 11 horas en cubrir la distancia que separa dos
ciudades. Si de regreso solamente emplea 5 horas ¿a qué velocidad circula de regreso?
Velocidad (km/h)
50
x
Tiempo (horas)
11
5
x
11
=
50
5
x=
50 × 11 550
=
5
11
x = 110 km/h
3. Una cuadrilla formada por 3 obreros construye un muro de una nave industrial en 4 días.
¿Cuántos obreros debe haber en la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 6 días?
Obreros
3
x
Días
4
6
x
4
=
3
6
x=
3×4
12
=
6
6
x = 2 obreros
4. Tres grifos vierten agua de forma constante y llenan un depósito en 8 horas, si usamos 12
grifos para llenar ese depósito ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarlo?
Grifos
3
12
66
Tiempo (horas)
8
x
3
x
=
12
8
x=
3×8
24
=
12
12
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
x = 2 horas
Realiza los siguientes ejercicios planteando la regla de tres inversa y resolviendo con el procedimiento utilizado en los ejemplos.
a) En un establo 22 caballos consumen un camión de heno en 6 días. Si llegan 11 nuevos
caballos ¿en cuántos días se comen el camión de heno?
b) Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobús a precio fijo. Inicialmente
iban al viaje 26 alumnos siendo el precio por persona de 9 pesos. Si finalmente hacen el
viaje 18 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno?
c) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿ Cuánto tardarán en descargar el mismo
camión cuatro obreros?
d) Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días. ¿ Cuánto
se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?
Manejo de la información
67
LECCIÓN
Problemas de conteo
6
ProbleConteo
Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar los resultados de un
problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas. El número de
ramas de cada nivel se determina por la cantidad de elementos de cada característica.
Con frecuencia no se conoce un fenómeno lo suficiente como para construir un modelo matemático
y utilizarlo para inferir fórmulas; sin embargo, es posible tener datos que permitan entender su
comportamiento. En estos casos, lo que procede es hacer observaciones y construir una tabla o
un diagrama para explorar las relaciones entre los las variables.
Con el archivo ProbleConteo analiza el número de combinaciones posibles que se generan en
cada caso.
Cinco alumnos –Ángel, Beto, Carlos, Daniel y Enrique– van a participar en una competencia que
consiste en realizar carreras uno contra uno. Cada uno de los alumnos deberá correr contra todos
los demás. El siguiente diagrama representa las carreras que se realizarán en la competencia:
Las carreras son:
Beto
Ángel
Beto
Carlos
Ángel
Carlos
Daniel
Ángel
Daniel
Enrique
Ángel
Enrique
Carlos
Beto
Carlos
Daniel
Beto
Daniel
Enrique
Beto
Enrique
Daniel
Carlos
Daniel
Enrique
Carlos
Enrique
Enrique
Daniel
Enrique
Ángel
Beto
Carlos
Daniel
68
Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
10 combinaciones de
carreras de parejas
Esta misma información se puede representar también mediante una tabla, que es un arreglo
rectangular de datos dispuestos en filas (horizontal) y columnas (vertical), de manera que se
pueden visualizar rápidamente las relaciones que existen entre las variables. Para el mismo
ejemplo, la tabla queda conformada de la siguiente manera:
Ángel
(A)
Ángel
(A)
Beto
(B)
Carlos
(C)
Daniel
(D)
Enrique
(E)
Beto
(B)
Carlos
(C)
Daniel
(D)
Enrique
(E)
A, B
A, C
A, D
A, E
B, C
B, D
B, E
C, D
C, E
B, A
C, A
C, B
D, A
D, B
D, C
E, A
E, B
E, C
10 combinaciones de
carreras de parejas
D, E
E, D
En el grupo 1º C se quiere elegir, de entre 5 candidatos (Omar, Julio, Perla, Mariana y Karina), al
jefe y subjefe de grupo. ¿Cuáles son las combinaciones que se pueden hacer?
Martha va a comprar un pastel y en la pastelería le muestran las siguientes opciones:
 Puede ser de dos formas: rectangular (r) o circular (c).
 Existen 3 sabores: chocolate (ch), tres leches (3l) y vainilla (v).
 El relleno puede ser con fresas (f) o duraznos (d).
 El decorado puede ser con crema chantilly (c), betún (b) o mantequilla (m).
¿Cuáles son las posibles combinaciones que puede tener Martha para escoger un pastel?
3. Para un baile, decidieron participar Luisa (L), Andrea (A), María (M), Fernanda (F) y Lupita (L),
además de Ricardo (R), Tomás (T), Jaime (J) y Omar (O). ¿Cuántas parejas diferentes de baile se
pueden formar? Completa la tabla.
Luisa
Andrea
María
Fernanda
Lupita
Ricardo
Tomás
Jaime
Omar
Manejo de la información
69
Bloque Cinco
Operaciones con
números enteros
LECCIÓN
1
OperNumEnt
 Operaciones de números con signo
Cuando estudiamos Matemáticas, frecuentemente tenemos que resolver problemas, ecuaciones,
etcétera, que involucran operaciones con números positivos y negativos, por lo cual es importante
conocer las reglas que rigen las operaciones entre dichos números.
 Reglas para sumar y restar números con signo
1. Cuando se suman dos números que tienen el mismo signo, es decir, ambos positivos o ambos
negativos, el resultado de la suma conserva el signo de los sumandos. Por ejemplo:
a) 3 + 4 = 7
b) -5 + -8 = -13, que también se puede escribir (-5) + (-8) = -13, o bien -5 + (-8) = -13
Recuerda que cuando un número no tiene especificado el signo, se considera positivo, pero en el
caso de un número negativo, es obligatorio anexarle el signo, por ejemplo, el 2 negativo se debe
escribir –2, o -2, o bien (-2).
2. Cuando se suman dos números que tienen signos diferentes, se obtiene el valor absoluto de
ambos, al mayor se le resta el menor y el signo del resultado deberá ser el mismo que tenga el
sumando de mayor valor absoluto. Por ejemplo:
a) 3 + -7 = -4 (el valor absoluto de -7 es 7, mayor que el de 3, por lo tanto, al 7 se le resta 3 y
al resultado se le pone el signo -).
b) -8 + 12 = +4 = 4 (el valor absoluto de -8 es 8, menor que el de 12, por lo tanto, al 12 se le
resta 8 y al resultado se le pone el signo +, que se puede omitir).
3. Otra manera de sumar dos números es ubicándolos en la recta numérica: a partir de la
posición del primer sumando nos desplazamos tantas unidades como indique el segundo,
hacia la derecha si éste es positivo o hacia la izquierda si es negativo.
Verifica los ejemplos anteriores trazando (o imaginando) la recta numérica.
70
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Para restar dos números basta agregar el signo + entre ellos y sumarlos de acuerdo a la regla 3.
Por ejemplo:
a)
b)
c)
d)
e)
8 – 3 = 8 + (-3) = 5
3 – 8 = 3 + (-8) = -5
-7 – 4 = -7 + (-4) = -11
9 – (-2) = 9 + (-(-2)) = 9 + 2 = 11, porque el inverso de -2 es 2.
-5 – (-12) = -5 + (-(-12)) = -5 + 12 = 7, porque el inverso de -12 es 12.
 Problemas de números enteros
1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito
situado a 48 m de altura. ¿Qué distancia se desplaza el petróleo?
3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación
de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si
pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300
metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0 °C, ¿a qué altura
vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por
minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua
habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
6. Completa el siguiente cuadrado mágico escribiendo en cada espacio uno de los siguientes
números:
-7, -9, -11, -2, -6, 3, 1, -1.
La condición que debe cumplir el cuadrado mágico es que cualesquiera tres números colocados en
línea recta, deben sumar lo mismo.
–1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
71
LECCIÓN
Potencia de números
2
PotenNum
La potencia de un número dado es el resultado de la multiplicación sucesiva de ese número por
sí mismo.
La expresión de la potencia de un número consta de dos partes:
a) La base es el número que se multiplica por sí mismo.
b) El exponente es el número de veces que la base se tiene que multiplicar por sí misma.
Sus elementos son:
Exponente
54 = 625
Potencia
Base
54 significa que el 5 se va a multiplicar 4 veces por sí mismo, es decir, 5 × 5 × 5 × 5 = 625.
Por lo tanto, una potencia es un modo abreviado de escribir el producto de un número por sí
mismo.
Por ejemplo:
36 indica que el 3 se va a multiplicar 6 veces por sí mismo, es decir, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729
Por lo tanto, 36 = 729
1. Con el uso de la calculadora virtual, resuelve las siguientes potencias. Guíate con los ejemplos:
Expresión
45
2.2
4
( 23 )
72
3
Notación desarrollada
Operaciones
Resultado
4×4×4×4×4
4 × 4 = 16
16 × 4 = 64
64 × 4 = 256
256 × 4 = 1 024
45 = 1 024
2.2 × 2.2 × 2.2 × 2.2
2.2 × 2.2 = 4.84
4.84 × 2.2 = 10.648
10.648 × 2.2 = 23.4256
2.24 = 23.4256
2
2
2
×
×
3
3
3
2
2
4
×
=
3
3
9
4
2
8
×
×
9
3 27
( 23 ) = 278
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
3
Expresión
Notación desarrollada
Operaciones
Resultado
96
3.45
( 45 )
6
74
6.63
( 67 )
4
125
9.36
( 58 )
3
Sentido numérico y pensamiento algebraico
73
 Raíz cuadrada
La raíz cuadrada es la operación contraria de elevar un número al cuadrado. En general, la raíz
cuadrada de un número A es el número que multiplicado por él mismo da A. Esta operación se
representa con el símbolo √ . Los elementos de la raíz cuadrada son:
Radical
2
√25 = 5
Raíz
Símbolo de la raíz
Radicando
Geométricamente, la operación de la raíz cuadrada de un número equivale a calcular la longitud
del lado de un cuadrado cuya área es igual al número dado. Esto se debe a que el área del
cuadrado es lado × lado = lado2.
Así escribimos
√25 = 5 porque 52 = 25
√49 = 7 porque 72 = 49
1. Completa la siguiente tabla. Guíate con los ejemplos. Puedes ayudarte con la calculadora virtual.
Número (x)
Cuadrado del número (x2)
Notación desarrollada
Raíz cuadrada de x2
1
1
1×1
√1 = 1
2
4
2×2
√4 = 2
3
4
4×4
5
6
36
7
8
64
9
√81 = 9
10
11
12
144
13
14
15
15 × 15
16
17
18
19
20
74
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
√289 = 17
2. De acuerdo con la tabla anterior, ¿entre qué números está la raíz cuadrada de 50?
Como 72 = 49 y 82 = 64, el 50 está entre el 49 y el 64, por lo tanto, la raíz cuadrada será un
número que está entre 7 y 8.
a) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 10?
¿Por qué?
b) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 30?
¿Por qué?
c) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 40?
¿Por qué?
d) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 75?
¿Por qué?
e) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 150?
¿Por qué?
f) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 220?
¿Por qué?
 Procedimiento para calcular la raíz cuadrada aproximada de un número.
Esto lo hacemos mediante el método Babilónico en el ambiente de Geometría dinámica con el
archivo RaizBabilonico
Por ejemplo, calcular √20
Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números usando el archivo anterior.
a) 250
b) 1000
c) 1024
d) 2.25
e) 289
Sentido numérico y pensamiento algebraico
75
LECCIÓN
Notación científica (1)
3
NotaCient
Cuando tenemos que expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas es muy útil emplear una
técnica que se denomina notación científica.
Esta notación consiste en escribir cualquier número como producto de un decimal por una potencia
de diez. El decimal debe tener sólo una cifra antes del punto, y esa cifra no debe ser cero. Puede
haber potencias de exponente positivo y potencias de exponente negativo, para valores inferiores
a la unidad.
Están bien escritos en notación científica los números:
2.5 × 102
3.45 × 1012
-6.03 × 10-2
1.002 × 10-3
Están mal escritos en notación científica los números:
0.5 × 104
23.87 × 105
-0.03 × 10-8
154.2 × 10-3
La notación científica es muy práctica para comparar números muy grandes o muy pequeños,
bastará comparar el decimal si los exponentes coinciden, y bastará comparar los exponentes si
éstos no coinciden.
2.5 × 102 < 4.5 × 102 < 8.25 × 102 < 6.4 × 103 < 1.15 × 105
Utilizando la calculadora virtual resuelve y comprueba los procedimientos que contienen los
 Problemas de aplicación de la notación científica
1. El diámetro de un virus es de 5 × 10-4 mm. ¿Cuántos de esos virus son necesarios para rodear
la Tierra? Radio medio de la Tierra: 6 370 km.
Expresamos el diámetro terrestre en mm:
106 mm
R = 6 370 km ×
= 6.37 × 109 mm
1 km
Cálculo de la longitud de la circunferencia terrestre:
Lt = 2πR = 2 × π × 6.37 × 109 mm = 4 × 1010 mm
El número de virus para rodearla:
LTERRESTRE 4 × 1010 mm
=
= 8 × 1013 virus
LVIRUS
5 × 10-4 mm
76
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
2. La velocidad de la luz es 3 × 108 m/s
a) ¿Qué distancia recorre la luz en un año?
b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia del Sol a Plutón es 5.91 × 106 km)
El número de segundos que tiene un año:
365 días
24 h
60 min
60 s
Un año ×
×
×
×
= 31 536 000 s = 3.15 × 107 s
1 año
1 día
1h
1 min
La distancia que recorre la luz en un año:
m
D = 3 × 108
× 3.15 × 107 s = 9.45 × 1015 m = 9.45 × 1012 km
s
El tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a Plutón:
5.91 × 106 km
t=
= 19.7 s
3 × 105 km/s
3. La estrella Alfa-Centauro está a 4.3 años-luz de la Tierra. Expresa en km esa distancia.
El año luz es la distancia que recorre la luz en un año:
m
Daño = 3 × 108 × 3.15 × 107 s = 9.45 × 1015 m = 9.45 × 1012 km
s
La estrella está:
km
D = 9.45 × 1012
× 4.3 años-luz = 4.07 × 1013 km
año-luz
4. Teniendo en cuenta que el volumen de la Luna es 2.19 × 1010 km3 y su masa es 7 × 1022 kg:
a) Calcula la densidad media de la Luna, expresándola en kg/m3.
b) Compara su densidad con la de la Tierra (5.517 g/cm3).
El volumen de la Luna expresado en unidades del Sistema Internacional:
109 m3
V = 2.19 × 1010 km3 ×
= 2.19 × 1019 m3
1 km3
La densidad de la Luna:
MLUNA
7 × 1022 kg
kg
rLuna =
=
19 3 = 3 196.3
VLUNA
2.19 × 10 m
m3
Escribiendo la densidad de la Tierra en el Sistema Internacional:
g
1 kg
106 cm3
kg
5.517 3 × 3 ×
= 5 517 3
3
1m
cm
10 g
m
Comparando la densidad del Tierra con la de la Luna:
rTIERRA
5 517 kg/m3
=
= 1.73
rLUNA
3 196 kg/m3
Sentido numérico y pensamiento algebraico
77
LECCIÓN
Notación científica (2)
4
NotaCient
1. Calcula tu edad en segundos utilizando la notación científica. ¿Cuál es el orden de magnitud?
En primer lugar calculamos los segundos que tiene un año:
1 año = 365 días
= 365 × 24 h = 8 760 h
= 8 760 × 3600 s = 31 536 000
= 3.15 × 107 s
En segundo lugar calculamos los segundos de vida para un alumno de 15 años de edad:
15 × 3.15 × 107 s = 4.73 × 108 s
2. Si una persona tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4 500 000 glóbulos rojos en cada
mm3 de ésta, calcula en notación científica su número aproximado de glóbulos rojos.
En los 5 litros de sangre hay:
1 dm3
106 mm3
4 500 000 glóbulos
Número de glóbulos = 5 l ×
×
×
= 2.25 × 1013 glóbulos rojos.
1l
1 dm3
1 mm3
3. La masa de la Luna es de 7.34 × 1023 kg y la de la Tierra es de 5.98 × 1024 kg. ¿A cuántas lunas
equivale la masa de la Tierra?
Núm. de lunas =
5.98 × 1024 kg
= 8.147 lunas (aproximadamente 8 lunas)
7.34 × 1023 kg
4. La distancia entre la Tierra y la Luna es 3.8 × 105 km. Calcula el tiempo que tarda en llegar a
la Luna una nave que lleva una velocidad de 200 m/s.
El tiempo que tarda es:
t(s) =
Si lo convertimos a días:
t(s) = 1.9 × 106 s ×
78
3.8 × 108 m
= 1.9 × 106 s
2 × 102 m/s
1h
1 día
×
= 21.99 días = 21 días 23 h 46 m 40 s
3 600 s
24 h
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
5. Una molécula de hidrógeno pesa 3.3 × 10-24 g. ¿Cuántas moléculas hay en un gramo de
hidrógeno?
1g
Núm. de moléculas =
= 3 × 1023 moléculas
3.3 × 10-24 g
6. La velocidad de la luz es 300 000 km/s, y la distancia entre el Sol y Júpiter es 7.7 × 108 km.
¿Cuánto tiempo tarda la luz en llegar desde el Sol a Júpiter?
El tiempo que tarda en segundos:
7.7 × 108 km
t(s) =
= 2 567 s = 42 min 47 s
3 × 105 km/s
7. La tabla muestra las distancias medias al Sol, en km, de los planetas del Sistema Solar:
Planeta
Distancia al Sol
(km)
Júpiter
3.7 × 108
Marte
2.3 × 108
Mercurio
5.8 × 107
Neptuno
4.5 × 108
Saturno
1.4 × 108
Tierra
1.5 × 108
Urano
2.9 × 108
Venus
1.1 × 108
a) ¿Cuál es el planeta más cercano al Sol?
b) ¿Cuál es el planeta más lejano al Sol?
c) ¿Qué planeta está más cerca del Sol, la Tierra o Urano?
d) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que la de Mercurio al Sol?
e) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de Neptuno al Sol que de la Tierra al Sol?
Sentido numérico y pensamiento algebraico
79
LECCIÓN
Sucesiones con
progresión aritmética
5
ReglaSucesiones
Una sucesión de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay una regla de
crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el
primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo, luego la del tercero y así sucesivamente.
Cuando observamos algunas configuraciones geométricas, se pueden encontrar regularidades
numéricas.
En el ambiente de Geometría dinámica abre el archivo ReglaSucesiones.
Escribe en las celdas correspondientes de la hoja de cálculo la cantidad de puntos que se muestran
en cada figura. Después en otra columna anota la regla para obtener cualquier elemento de la
sucesión. Calcula cuántos puntos tendrían los términos 10, 20, 50 y 100. Sigue el ejemplo.
Regla: 2n
Figura 1
1
El primer término es
El segundo término es
El tercer término es
El cuarto término es
80
2
2(1) = 2
2(2) = 4
2(3) = 6
2(4) = 8
3
4
Término 10 = 2(10) = 20 puntos
Término 20 = 2(20) = 40 puntos
Término 50 = 2(50) = 100 puntos
Término 100 = 2(100) = 200 puntos
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Figura 2
Regla:
Término 10:
Término 20:
Término 50:
Término 100:
Figura 3
1
2
3
Regla:
Término 10:
Término 20:
Término 50:
Término 100:
Los siguientes términos serán 7, 9, 11, 13, 15, etcétera.
El primer término es 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1 cubo
El segundo término es 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 cubos
El tercer término es 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5 cubos.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
81
LECCIÓN
Perímetro y área
del círculo
6
PeriAreaCir
Abre el archivo PeriAreaCir de geometría dinámica y realiza los siguientes ejercicios de construcción,
además calcula el perímetro y el área usando las fórmulas en las celdas de la hoja de cálculo.
1. Dados los siguientes 2 puntos, construye la mediatriz, encuentra el centro y traza las
circunferencias. Mide también el radio y el diámetro.
A
C
B
Perímetro:
D
Área:
Radio:
Perímetro:
Diámetro:
Radio:
Área:
Diámetro:
C
E
F
Perímetro:
Radio:
82
Área:
Diámetro:
G
Perímetro:
Radio:
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
Área:
Diámetro:
2. Encuentra el centro de la circunferencia dadas las cuerdas.
Perímetro:
Radio:
Área:
Perímetro:
Diámetro:
Perímetro:
Radio:
Área:
Radio:
Área:
Diámetro:
Perímetro:
Diámetro:
Área:
Radio:
Diámetro:
3. Encuentra el centro de la circunferencia dados los siguientes puntos.
D
A
B
E
C
F
Perímetro:
Radio:
Área:
Diámetro:
Perímetro:
Radio:
Área:
Diámetro:
Forma, espacio y medida
83
7
LECCIÓN
Proporcionalidad
múltiple
ProporMultiple
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales.
a : b = c : d = e : f se puede expresar como una proporción múltiple:
a:c:e=b:d:f
En la proporción formada por dos razones iguales, a : b = c : d, hay cuatro términos: a y d se
llaman extremos y b y c se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Abre el archivo ProporMultiple, corrobora y resuelve las siguientes situaciones:
1. Dos albañiles construyen un muro de 12 metros de área en 3 horas. ¿Qué área construirán 5
albañiles en 4 horas?
Hay dos parámetros que influyen en el área construida: El número de albañiles y el tiempo de
trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí,
explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que
todas las personas tienen la misma eficacia en el trabajo (son intercambiables); y afirmar que
el área del muro es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia
con el tiempo: los albañiles no se cansan.
5
×
2
Albañiles
Tiempo (horas9
Superficie (metros2)
2
3
12
2
4
16
5
4
40
4
3
5
×
2
×
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia:
¿qué área construirían dos albañiles en cuatro horas? El parámetro Albañiles tiene un valor fijo,
luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (parte gris de la tabla). El área construida será
4
multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando el número de
3
5
obreros de 2 a 5, el área será multiplicada por
(la parte azul de la tabla es proporcional).
2
4
5
×
= 40 metros cuadrados.
El resultado final es 12 ×
3
2
84
Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria  1er Grado
LECCIÓN
Problemas de
proporcionalidad múltiple
8
ProporMultiple
1. 35 gallinas consumen 96 kilos de alimento cada 4 días. ¿Cuántos kilos de alimento consumirán
60 gallinas en 2 días?
Gallinas
Alimento
Días
Comentario
35
96
4
1
96/35 = 2.742
4
1
2.742/4 = 0.685
1
Vamos a intentar que el valor correspondiente a las
columnas gallinas y días valga 1. Para ello usamos ideas de
proporcionalidad directa e inversa.
Observa que estas columnas son las que están llenas en la
última fila de la tabla. Lo hacemos en dos pasos.
60
60 × 0.685 = 41.14
1
60
41.14 × 2 = 82.28
2
60
82.28
2
Ahora intentamos que en la columna gallinas y en la columna
días aparezcan los mismos datos de la última fila. Lo hacemos
también paso a paso y usando la proporcionalidad directa o
la inversa, según sea el caso.
Usa el mismo procedimientos para resolver los problemas que siguen.
2. 14 hombres pavimentan 140 m de un camino en 10 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas
horas diarias deben trabajar 20 hombres para pavimentar 180 m en 15 días?
3. Diez trabajadores siembran un terreno de 10 000 m2 en 9 días. ¿En cuántos días sembrarán
15 000 m2 doce trabajadores?
4. 20 focos originan un gasto de $50 al mes, estando encendidos 6 horas diarias. ¿Qué gasto
originarán 5 focos en 45 días, encendidos durante 8 horas diarias?
5. Una persona recorre 54 km caminando 4 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántas horas diarias
tendrá que caminar para recorrer 140 km en 14 días?
6. Completa la siguiente tabla, basada en el trabajo efectuado para abrir una zanja, en las mismas
condiciones de trabajo.
No. de trabajadores Metros de la zanja Horas diarias de trabajo
10
Días de trabajo
140
8
14
180
6
12
6
20
16
14
250
6
80
7
16
Manejo de la información
85
Bibliografía
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP.
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Geometría dinámica. México: SEP.
EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. De los números al álgebra en secundaria con el
uso de la calculadora. México: SEP.
EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con
Tecnología. Programación computacional para matemáticas
de secundaria. México: SEP.
SEP. (2011). Programas de estudio 2011. Matemáticas.
Educación básica. Secundaria. México: SEP.
SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas.
Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP.
SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos.
Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP.
SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas.
Secundaria, México.
Ursini, Sonia, Fortino Escareño, Delia Montes, María
Trigueros. (2005). Enseñanza del álgebra elemental. Una
propuesta alternativa, Trillas, México.
86