1. No category

E
cha cuentas
Pág. 1
1
En un colegio hay dos clases, A y B, de primero de ESO. Si en el grupo A se hacen equipos de 5 para jugar a baloncesto, sobran 3 personas. Si se hace lo mismo
en el grupo B, sobran 4. ¿Cuántos sobrarán si se hacen los equipos después de juntar ambos grupos?
Juntamos los grupos A y B. Los equipos formados, formados están.
Sobraban 3 y 4, que hacen 7. Con ellos podemos hacer un equipo más y sobran 2.
2
Pepe compra un reproductor de CD y un CD, todo ello por 101 €. El reproductor vale 100 € más que el CD. ¿Cuánto vale el CD? (No olvides escribir un punto en lugar de la coma decimal.)
El precio del reproductor es de 100,50 € y el del CD es de 0,50 €.
3
Un vendedor ambulante compra camisetas a 72 € la docena y pantalones a 30 €
el par. Después vende las camisetas a 15 € el par y los pantalones a 30 € la unidad. ¿Cuántos pares de camisetas ha de vender para ganar 27 €?
Doce camisetas le cuestan 72 €. Un par de camisetas le cuestan 72 : 6 = 12 €.
En cada par de camisetas gana 15 – 12 = 3 €.
Para ganar 27 € ha de vender 27 : 3 = 9 pares de camisetas.
(Los datos sobre los pantalones, precio de compra, venta, etc., no influyen en la resolución).
4
El coste de fabricación de una calculadora es de 3 €. La empresa que las fabrica
las vende luego a la distribuidora por 15 € la unidad. En principio ha vendido
1 650 y le han devuelto el 16% por ser defectuosas. ¿Cuánto ha cobrado la fábrica a la distribuidora?
El 16% de 1 650 es 16 · 1 650 = 264, que son las calculadoras defectuosas.
100
El número de calculadoras que se ha vendido es 1 650 – 264 = 1 386.
La fábrica ha cobrado a la distribuidora 1 386 · 15 = 20 790 €.
(El precio de coste de una calculadora no influye en la resolución, ya que se pide la
cantidad que se cobra, no la que se gana).
5
En una excursión, Marina lleva 4 bocadillos y Rafa, 2 bocadillos. Cuando van a
comer llega Javier, que no tiene comida. Reparten los bocadillos entre los tres por
igual. Javier, como pago de lo que comió, aporta 6 €. ¿Cómo se los deben repartir entre Marina y Rafa?
Como hay 6 bocadillos, cada uno se come 2.
Rafa no tiene por qué recibir nada porque lo que consume (2 bocadillos) es lo mismo que lo que aporta.
Marina se debe llevar los 6 €.
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E
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Pág. 2
6
Un transportista carga en su furgoneta 4 televisores y 3 minicadenas musicales. Si
cada televisor pesa como 3 minicadenas y en total ha cargado 75 kg, ¿cuánto pesa
cada televisor?
Si el peso de 3 minicadenas es el mismo que el de un televisor, 4 televisores y 3 minicadenas pesan como 5 televisores.
Cada televisor pesa 75 : 5 = 15 kg.
7
Rosa tiene una granja de patos y gansos. Hoy ha vendido en el mercado 21 de sus
animales por 350 €. Entre los animales vendidos había el doble de patos que de
gansos, y un ganso vale el triple que un pato. ¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un
ganso?
Vende 21 animales, entre los que había el doble de patos que de gansos:
21 : 3 = 7 8 Vende 7 gansos y 14 patos.
Como un ganso vale lo mismo que 3 patos, los 7 gansos equivalen, en precio, a 21
patos. Es decir, se puede considerar que vende 21 + 14 = 35 patos.
Cada pato vale 350 : 35 = 10 €.
Cada ganso vale 3 · 10 = 30 €.
8
En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por
cada pregunta fallada (equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas
ha acertado un alumno que ha obtenido un resultado de 20 puntos?
Un estudiante que contestase bien a las 20 preguntas obtendría 20 · 3 = 60 puntos.
Sobre esos 60 puntos, por cada pregunta fallada o no contestada se pierden 5 puntos (3 que no suman y 2 que quitan).
El alumno que ha obtenido 20 puntos ha perdido, sobre los 60 de máximo, 40 puntos, lo que supone haber contestado mal a 40 : 5 = 8 preguntas.
Ha contestado bien, por lo tanto, a 12 preguntas.
9
Aurora, entre las moscas y las arañas de su colección de bichos, ha contado 11 cabezas y 76 patas. ¿Cuántas arañas y cuántas moscas tiene?
Decir que hay 11 cabezas equivale a decir que hay 11 bichos, entre arañas y moscas.
Si todos fuesen arañas habría 11 · 8 = 88 patas.
Como hay 76 patas, hay que quitar 12 (todas de las moscas).
Como las moscas tienen 2 patas menos que las arañas, necesitamos 6 moscas para
completar esas 12 patas que nos sobran.
Por lo tanto, hay 6 moscas y 5 arañas.
Se puede hacer el mismo razonamiento suponiendo que todos los bichos son moscas. En ese caso faltarían patas, 2 por cada araña que hubiese.
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10
Tengo en el bolsillo 25 monedas. Todas son de 0,50 € o de 0,20 €. En total tengo 8 €. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?
Si todas las monedas fuesen de 0,50 €, tendría 25 · 0,50 = 12,50 €.
Pero solo tengo 8 €. La diferencia es 12,50 – 8 = 4,50 €.
Al considerar que todas las monedas son de 0,50 €, he contabilizado 0,30 € más
por cada moneda de 0,20 €.
¿Cuántas veces he contabilizado 0,30 para conseguir 4,50? 8 4,50 : 0,30 = 15
Hay, por tanto, 15 monedas de 0,20 € y 10 monedas de 0,50 €.
11
Tengo monedas de 1 €; 0,5 €; 0,20 € y 0,05 €, y en total tengo 3,45 €. Hay
menos de diez monedas. ¿Cuántas hay de cada tipo? (Encuentra más de una solución). Escribe en solución 1 la solución para la que encuentres menor número de
monedas.
Como mínimo tengo una moneda de cada tipo.
En total: 1 + 0,5 + 0,20 + 0,05 = 1,75 €.
Quedan 3,45 – 1,75 = 1,70 €, que tengo que conseguir con, como máximo, cinco
monedas (nos dicen que, en total, hay menos de diez).
Probando, conseguimos los 1,70 € de dos formas distintas:
1 moneda de 1 € + 1 moneda de 0,50 € + 1 moneda de 0,20 €
3 monedas de 0,50 € + 1 moneda de 0,20 €
Por tanto, hay dos formas de conseguir los 3,45 €:
Solución 1 8 2 de 1 € + 2 de 0,50 € + 2 de 0,20 € + 1 de 0,05 €
Solución 2 8 1 de 1 € + 4 de 0,50 € + 2 de 0,20 € + 1 de 0,05 €
12
En una habitación hay taburetes de tres patas y sillas de cuatro patas. Cuando hay
una persona sentada en cada uno de ellos, el número total de patas y piernas es de
27. ¿Cuántos asientos hay de cada clase?
En un taburete se cuentan 3 patas y 2 piernas. En total, 5.
En una silla se cuentan 4 patas y 2 piernas. En total, 6.
Hemos de conseguir, por tanto, que “paquetes de 5” más “paquetes de 6” sumen 27.
Escribimos unos cuantos (sin pasarnos de 27) y probamos:
Taburetes 8 5 10 15 20 25
Sillas
8 6 12 18 24
Observamos que la única posibilidad que tenemos es 15 + 12 = 27.
Es decir, 3 taburetes y 2 silllas.
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Pág. 4
13
Un comerciante vende arroz envasado en bolsas de cuatro tipos: de 1 kg, de
2 kg, de 5 kg y de 10 kg. En este momento tiene estas cantidades de bolsas:
DE
1
KG
DE
3
N .° D E B O L S A S
2
KG
5
DE
4
KG
DE
10
10
KG
10
Describe todas las formas en que un cliente puede llevarse 15 kg de arroz dependiendo de las bolsas que elija.
DE
14
10
KG
DE
5
KG
DE
2
KG
DE
1
KG
(máximo 10)
(máximo 10)
(máximo 4)
(máximo 3)
1
1
0
0
1
0
2
1
1
0
1
3
0
3
0
0
0
2
2
1
0
2
1
3
0
1
4
2
Dispones de:
• Una balanza con dos platillos, A y B.
• Tres pesas: una de 1 kg, otra de 3 kg y otra de 5 kg.
• Un saco de patatas.
Busca todas las cantidades de patatas que podrías pesar, con una sola pesada, usando la balanza y una, dos o las tres pesas. Por ejemplo: para pesar dos kilos de patatas puedes colocar la pesa de 5 kg en el platillo A y la de 3 kg, en el platillo B.
Recoge tus resultados en una tabla como esta, en tu cuaderno:
CÓMO PESAR
PESAS EN
A
PESAS EN
1 kg
2 kg
3 kg
4 kg
5 kg
…
Entrénate resolviendo problemas
3 kg
1 kg
B
E
cha cuentas
Pág. 5
Por ejemplo:
CÓMO PESAR
Entrénate resolviendo problemas
PESAS EN
A
PESAS EN
1 kg
1 kg
0 kg
2 kg
3 kg
1 kg
3 kg
3 kg
0 kg
4 kg
5 kg
1 kg
5 kg
5 kg
0 kg
6 kg
1 kg y 5 kg
0 kg
7 kg
5 kg y 3 kg
1 kg
8 kg
5 kg y 3 kg
0 kg
9 kg
5 kg, 3 kg y 1 kg
0 kg
B
A
vueltas con los números
Pág. 6
15
Si escribes todos los números impares entre el 100 y el 200, ¿cuántas veces habrás
usado la cifra 6?
La cifra 6 no puede aparecer en primer lugar (son números entre 100 y 200) y tampoco en último lugar (deben ser impares). Solo puede estar en el medio. Todos los
números deben ser de la forma 16 앮, e impares.
161 163 165 167 169
La cifra 6 solo se usa 5 veces.
16
¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de tres cifras?
Capicúas de dos cifras hay nueve: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99.
Los capicúas de tres cifras empiezan y acaban por la misma cifra.
101
202
…
909
111
·
·
·
121
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
191
292
…
999
Hay diez capicúas de tres cifras por cada uno de dos cifras. En total, 90.
17
¿Cuántas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos los capicúas de tres cifras?
Capicúas de la forma 앮5앮 hay 9. 8 El 5 aparece 9 veces.
Capicúas de la forma 5앮5 hay 10. 8 El 5 aparece 20 veces.
El 5 aparece 29 veces.
(El 555 lo hemos tenido dos veces en cuenta, pero en la primera solo hemos contado el 5 del centro y en la segunda, solo los de los extremos.)
18
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar utilizando solamente las cifras
1, 2 y 3?
Números que empiecen por 1 hay nueve:
111 112 113 121 122 123 131 132 133
Hay otros tantos que empiezan por 2 y otros tantos que empiezan por 3.
En total hay 27 números.
19
Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 264.
La suma de tres números consecutivos es el triple del número que está en el medio:
264 : 3 = 88
El número que está en el medio es el 88.
Por tanto, los números buscados son 87, 88 y 89.
Entrénate resolviendo problemas
A
vueltas con los números
Pág. 7
20 Halla el número más pequeño que se pueda obtener multiplicando tres números
enteros positivos cuya suma sea 12. Calcula también el más grande.
1 + 1 + 10 = 12 8 1 · 1 · 10 = 10
1 + 2 + 9 = 12 8 1 · 2 · 9 = 18
1 + 3 + 8 = 12 8 1 · 3 · 8 = 24
…
…
El producto más pequeño es 10.
Según se reparte 12 en sumandos más iguales, el producto aumenta.
4 + 4 + 4 = 12 8 4 · 4 · 4 = 64
El producto más grande es 64.
21
Expresa el número 10 utilizando solo cinco nueves y las operaciones que necesites. Busca varias soluciones.
Estos son algunos ejemplos. Tal vez tú hayas encontrado algunos otros:
99 : 99 + 9 = 10
99 : 9 – 9 : 9 = 10
9 · 9 : 9 + 9 : 9 = 10
(9 + 9 – 9) + (9 : 9) = 10
(9 + 9 : 9) · 9 : 9 = 10
22 Utilizando cuatro cuatros y las operaciones que conoces, hemos conseguido el número 15:
44 : 4 + 4 = 15
¿Cuáles de los números naturales menores que 15 puedes conseguir por métodos
similares con los cuatro cuatros?
Aquí damos una posible solución para cada número, pero puede haber otras.
1 = 44 : 44
2=4:4+4:4
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = (4 – 4) · 4 + 4
5 = (4 · 4 + 4) : 4
6 = (4 + 4) : 4 + 4
7=4– 4:4+4
8=4+4+4–4
9=4:4+4+4
10 = (44 – 4) : 4
11 = 44 : (√4 + √4 )
12 = (44 + 4) : 4
13 = (44 : 4) + √4
14 = 4 + 4 + 4 + √4
Entrénate resolviendo problemas
A
vueltas con los números
Pág. 8
23 ¡Se busca el 100!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
Colocando entre las nueve cifras las operaciones adecuadas, puedes conseguir
como resultado 100.
Aquí tienes dos soluciones:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9 = 100
123 + 45 – 67 + 8 – 9 = 100
Pero hay muchas más. Busca alguna.
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 = 100
123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
(1 + 23) : 4 + (5 + 6) · 7 + 8 + 9 = 100
1 · 2 + 34 + 56 + 7 – 8 + 9 = 100
24 Divide la esfera del reloj en 6 partes de forma que los números que entran en cada
parte sumen lo mismo.
11
12
1
2
10
3
9
4
8
7
6
5
25 Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de forma que todos los tríos alineados sumen 15.
6
7
2
5
8
Entrénate resolviendo problemas
1
9
3
4
A
vueltas con los números
Pág. 9
26 Coloca los números del 1 al 9, cada uno en una círculo, de modo que los de la misma línea (horizontal, oblicua o vertical) sumen lo mismo.
9
2
6
7
5
3
4
8
1
27
Esto es un cuadrado mágico porque las filas, las columnas y las diagonales tienen
la misma suma, 15.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Coloca en este tablero los números 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 y 40 para que formen un cuadrado mágico.
15 40
5
10 20 30
35
Entrénate resolviendo problemas
0
25
H
az un esquema
Pág. 10
28 En una garrafa hay doble cantidad de agua que en otra. Si sacáramos 5 litros de
cada una, la primera quedaría con el triple de agua que la segunda. ¿Cuántos litros hay en cada garrafa?
Con un esquema como este es evidente que una garrafa tiene 20 litros y la otra, 10
litros.
5l
5l
29 Úrsula y Marina viven en la misma casa y van al mismo colegio. Úrsula, cuando
va sola, tarda 20 minutos de casa al colegio. Marina, a su paso, tarda 30 minutos
en el mismo recorrido. ¿Cuánto tardará Úrsula en alcanzar a Marina, si esta ha salido hoy con 5 minutos de ventaja?
10 min
COLEGIO
Úrsula
CASA
ALCANCE
5 min
5 min
10 min
Marina
15 min
Úrsula tarda 10 minutos en recorrer la mitad del camino y Marina, 15 minutos. Por
tanto, si Marina sale 5 minutos antes, Úrsula la alcanza a la mitad del camino, cuando lleva caminando 10 minutos.
30 Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de
4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la
liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m?
Galgo
Liebre
3
4
6
8
9
12
Las huellas coinciden cada 12 metros.
En 200 metros coincidirán 16 veces (es el cociente que resulta al dividir 200 entre 12).
Entrénate resolviendo problemas
H
az un esquema
Pág. 11
31
Camila tiene una caja de caramelos. El primer día se come un cuarto. El segundo
día, un tercio de lo que le quedaba. El tercer día se come la mitad del resto. El cuarto día se come cuatro caramelos y se le termina la caja. ¿Cuántos caramelos había
en la caja?
PRIMER DÍA
SEGUNDO DÍA
TERCER DÍA
CUARTO DÍA
4 CARAMELOS
En la caja había 4 · 4 = 16 caramelos.
32 Marta tenía, hace 16 años, 2 de su edad actual. ¿Cuántos años tiene ahora?
3
16 años
Su edad es, evidentemente, 16 · 3 = 48 años.
33 De las 15 personas que trabajan en una oficina, hay 9 a las que les gusta el café y 7
a las que les gusta el té. También sabemos que hay 3 personas a las que les gustan
ambos productos. ¿A cuántas personas de esa oficina no les gusta ni el café ni el té?
TOTAL
CAFÉ
15
TOTAL
TÉ
9
7
De las 9 personas a
quienes les gusta el
café…
Total,
15 personas
De las 7 personas a
quienes les gusta el
té…
3
4
…a 6 les gusta el
café, pero no el té.
…y a las otras 3 les
gusta el café y el té.
…a 4 les gusta el té,
pero no el café.
…y a las otras 3 les
gusta el té y el café.
6 + 4 + 3 = 13
A 2 personas no les gusta ni el café ni el té.
Entrénate resolviendo problemas
TÉ
CAFÉ
6
3
2
Las mismas
H
az un esquema
Pág. 12
34 De los 150 alumnos y alumnas de un colegio, 115 estudian inglés; 95, informática y 80, ambas cosas. ¿Cuántos no estudian ni inglés ni informática?
TOTAL: 150
INGLÉS: 115
TOTAL: 150
INGLÉS: 115
80
35
INFORMÁTICA: 95
80
15
INFORMÁTICA: 95
20
TOTAL: 150
130
Es claro, siguiendo los esquemas, que hay 20 que no estudian ni inglés ni informática.
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 13
35 Con los vértices en los puntos señalados se pueden encontrar varios tipos de cuadrados de distinto tamaño. Localiza todos los que puedas.
(Puedes trabajar sobre papel cuadriculado).
36 Con los vértices en los puntos de esta cuadrícula se pueden dibujar varios tipos de
rectángulos no cuadrados. Localiza todos los que puedas.
(Puedes trabajar sobre papel cuadriculado).
1
5
2
3
6
4
7
8
10
9
13
11
12
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 14
37
¿Cuántos cuadrados hay dibujados en esta cuadrícula? Descríbelos.
Para hacerlo ordenadamente, vamos marcando el vértice superior izquierdo de cada
cuadrado:
9 cuadrados de 1 Ò 1 cuadraditos:
4 cuadrados de 2 Ò 2 cuadraditos:
1 cuadrado de 3 Ò 3 cuadraditos:
En total hay 14 cuadrados.
38 ¿Cuántos cuadrados hay dibujados en esta cuadrícula? Descríbelos.
Para hacerlo ordenadamente, vamos marcando el vértice superior izquierdo de cada
cuadrado:
16 cuadrados de 1 Ò 1 cuadraditos:
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 15
9 cuadrados de 2 Ò 2 cuadraditos:
4 cuadrados de 3 Ò 3:
1 cuadrado de 4 Ò 4 cuadraditos:
En total hay 30 cuadrados.
39 ¿Cuántos rectángulos no cuadrados hay dibujados en esta cuadrícula? Descríbelos.
Para hacerlo ordenadamente, vamos marcando el vértice superior izquierdo de cada
rectángulo.
En sentido horizontal (escribimos base Ò altura):
9 rectángulos de 2 Ò 1:
6 rectángulos de 3 Ò 1:
3 rectángulos de 4 Ò 1:
4 rectángulos de 3 Ò 2:
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 16
2 rectángulos de 4 Ò 2:
1 rectángulo de 4 Ò 3:
En sentido vertical (escribimos base Ò altura):
8 rectángulos de 1 Ò 2:
4 rectángulos de 1 Ò 3:
3 rectángulos de 2 Ò 3:
En total hay 40 rectángulos no cuadrados.
40 Busca la manera de partir cada figura en cuatro trozos iguales:
a)
a)
41
b)
b)
Divide esta figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño:
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 17
42 Divide esta figura en seis partes, todas ellas de igual forma y tamaño:
43 Dando dos cortes a un cuadrado se pueden obtener con facilidad 4 cuadrados:
a) Dando dos cortes rectos a un cuadrado se pueden formar, con los trozos, dos
cuadrados. Hazlo.
b) ¡Más difícil todavía! Da dos cortes rectos a un cuadrado y construye después,
con los trozos, tres cuadrados.
a)
b)
1
3
2
44 Dibuja un triángulo equilátero.
a) Divídelo en dos trozos iguales (fácil, ¿verdad?).
b) Dibuja otro y divídelo en tres trozos iguales (este es menos fácil).
c) ¡Pues también puedes dividirlo en cuatro trozos iguales! Y esto último se puede hacer con un triángulo cualquiera.
a)
Entrénate resolviendo problemas
b)
c)
C
onstruyendo figuras
Pág. 18
45 Llamamos pentominós a las distintas figuras planas que se pueden formar con
cinco cuadrados de una cuadrícula. (Los cuadrados han de estar en contacto por
uno de sus lados). Aquí tienes algunos de ellos:
Consideramos que estas dos piezas son la misma:
Dibuja todos los pentominós diferentes que puedas.
46 Realiza esta actividad sobre papel cuadriculado. Sin ocupar más que un cuadrado
de 5 Ò 5 y apoyándote en los vértices de la cuadrícula…
a)
b)
c)
Representa tantos
tipos de rombos que
no sean cuadrados
como puedas.
d)
Representa algunos tipos de trapecios, que no sean rectángulos
ni isósceles.
(¡Hay muchísimos!)
Inventa cuadriláteros distintos, pero
todos ellos con el
mismo perímetro.
e)
¿Puedes delimitar varios cuadriláteros con Representa algunos cuadrilátela misma área pero con distinto perímetro? ros cóncavos.
a)
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 19
b)
c)
Entrénate resolviendo problemas
C
onstruyendo figuras
Pág. 20
d)
e)
Entrénate resolviendo problemas
P
alillos en movimiento
Pág. 21
47
Usando 10 palillos, se ha construido una casa con la fachada mirando hacia la izquierda, como muestra la figura.
Cambiando de posición dos palillos, ¿podrías conseguir que la fachada quedara
mirando a la derecha?
48 Hemos construido un pez con 8 palillos.
a) Moviendo solo tres palillos, consigue que el pez vaya en la dirección contraria.
b) Si movemos solo dos palillos, podemos conseguir un pez que mire en otra dirección. Compruébalo.
a)
b)
Entrénate resolviendo problemas
P
alillos en movimiento
Pág. 22
49 Estas 12 cerillas forman 3 cuadrados. Añadiendo solo 3 cerillas más puedes obtener 6 cuadrados. ¿Sabrías hacerlo?
1
2
4
5
3
6
50 Moviendo solo dos palillos, haz que la moneda quede fuera de la cuchara (la cuchara final tiene que ser idéntica a la inicial).
51
Con seis palillos de dientes, ¿puedes formar cuatro triángulos iguales?
Se ha de formar un tetraedro.
Entrénate resolviendo problemas
P
ura lógica
Pág. 23
52 Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de naranja; otra, caramelos de
limón, y la tercera contiene una mezcla de caramelos de naranja y de limón. Están
etiquetadas con estas referencias:
NN
LL
NL
Solo caramelos
de naranja
Solo caramelos
de limón
Caramelos de
naranja
y de limón
pero ninguna caja lleva la etiqueta que le corresponde. Raquel dice que si me da
una caja y yo saco un caramelo y se lo enseño, puede adivinar el contenido de todas las cajas. Si crees que es cierto lo que dice Raquel, explica cómo lo consigue.
Raquel tomará la caja etiquetada con NL (es lo más sensato), y sacará un caramelo.
Recordemos que en esta caja los caramelos no pueden estar mezclados (lee el enunciado).
• Si el caramelo es de limón…
— Esta caja NL es la que contiene los caramelos de limón.
— La caja etiquetada con NN no puede contener caramelos de naranja (por enunciado) y tampoco de limón. Es, por tanto, la caja mixta.
— Solo falta LL que, sin duda, tendrá en su interior los caramelos de naranja.
• Si el caramelo fuese de naranja, el razonamiento sería similar y…
NL, naranja LL, mezcla
NN, limón
53 Tres amigos motoristas, Roberto Rojo, Bartolomé Blanco y Genaro Gris, se disponen a salir de paseo:
¿Os habéis fijado —dice Roberto— que una de nuestras motos es roja, otra blanca y otra gris, pero en ningún caso el color coincide con el apellido del dueño?
Pues no me había fijado —dice el de la moto blanca—, pero tienes razón.
¿De qué color es la moto de cada uno?
El de la moto blanca no puede ser Bartolomé Blanco y, con seguridad, no es
Roberto. Por tanto, el de la moto blanca es Genaro Gris.
La moto roja no puede ser de Roberto Rojo. La moto roja es de Bartolomé Blanco.
Y, finalmente, la moto gris es de Roberto Rojo.
ROBERTO ROJO
BARTOLOMÉ BLANCO
GENARO GRIS
Moto gris
Moto roja
Moto blanca
Entrénate resolviendo problemas
P
ura lógica
Pág. 24
54 Anselmo Arnáiz, Bernardo Benítez y Ramón Ramírez son amigos. Cada uno tiene una hermana: Ana, Bárbara y Rosa, respectivamente. Y cada uno de ellos es novio de la hermana de otro.
En cierta ocasión, Rosa se encuentra con Bernardo y le comenta:
—Ayer estuve de compras con tu novia.
¿Podrías decir cómo están emparejados?
Rosa es hermana de Ramón, y no puede ser novia de Bernardo. Rosa es novia de
Anselmo.
Bárbara y Bernardo son hermanos. Bárbara es novia de Ramón.
Ana es novia de Bernardo.
55 Aquí hay cuatro parejas de hermanos.
Has de saber que:
Los Ribeiro practican el mismo deporte.
Los Ferrer llevan el mismo número en la camiseta.
En la familia Urrutia no hay hijos varones.
A los García les gusta el cine.
¿Puedes emparejarlos?
Aitana
Rafa
Carlos
Cuca
Rober
Poli
Andrés
Jara
• ¿Quiénes serán las URRUTIA?
Teniendo en cuenta que en la familia Urrutia no hay hijos varones, las posibilidades para estas dos hermanas son:
Cuca – Jara
Aitana – Jara
Aitana – Cuca
Entrénate resolviendo problemas
P
ura lógica
Pág. 25
Vamos a ver qué pasa con cada una de estas posibilidades:
— Si las Urrutia fueran Cuca y Jara, todos los deportistas que quedan llevarán en
sus camisetas números distintos y no habría forma de encontrar a los hermanos Ferrer.
— Si la pareja Urrutia fueran Aitana y Jara, nos encontraríamos en una situación
similar a la anterior. Tampoco pueden ser ellas.
Así pues, las hermanas Urrutia son Aitana y Cuca.
• Busquemos a los FERRER:
Los únicos números de camiseta que quedan iguales son el 10, que corresponden
a Jara y a Rafa. Ellos son los hermanos Ferrer.
• Lo que queda ya es fácil. Solo quedan dos que practican el mismo deporte, fútbol. Estos serán los Ribeiro: Carlos y Andrés.
• Y los dos que quedan, Rober y Poli, los García.
FERRER
URRUTIA
RIBEIRO
GARCÍA
Jara
Rafa
Aitana
Cuca
Carlos
Andrés
Rober
Poli
56 a) Qué hora es cuando la aguja de las horas está, exactamente, en una de las divisiones marcadas en este reloj y el minutero en la siguiente?
b) ¿Qué hora es cuando la aguja de las horas está, exactamente, en una de las divisiones y el minutero en la anterior?
c) ¿Qué hora es sabiendo que la aguja de las horas tardará en llegar a la marca de
las seis justo el doble que el minutero?
d) ¿Qué hora es sabiendo que la aguja de las horas tardará en llegar a la marca de
las seis el triple que el minutero?
a)
Las once en punto.
b)
La una en punto.
Entrénate resolviendo problemas
P
ura lógica
Pág. 26
c)
Las cinco en punto. La aguja pequeña tardará una hora en
llegar a la marca de las seis. El minutero tardará media hora.
d)
Las cinco y cuarto. La aguja pequeña tardará tres cuartos de
hora en llegar a la marca de las seis. El minutero tardará un
cuarto de hora.
Entrénate resolviendo problemas
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
S istemas de numeración
1
¿Qué número expresa cada grabado en el sistema de numeración de los antiguos egipcios?:
a)
b)
c)
a) 53
2
b) 125
Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de estos números:
a) 48
b) 235
c) 2 130
a)
3
b)
c)
Traduce, al sistema decimal, estos números romanos:
a) XIV
b) LXXIII
c) LXIX
d) CCXVII
e) DCXC
f) MCMLVI
a) 14
d) 217
4
c) 1 212
b) 73
e) 690
c) 69
f ) 1 956
Escribe en números romanos.
a) 18
b) 36
d) 333
e) 608
c) 54
f) 2 390
a) XVIII
d) CCCXXXIII
c) LIV
f ) MMCCCXC
5
b) XXXVI
e) DVCIII
Observa la tabla y contesta.
–
M
CM
7
5
0
DM
1
0
0
UM
0
0
C
0
0
D
U
0
a) ¿Cuántas centenas hay en una decena de millar?
b) ¿Cuántas decenas hay en 5 centenas de millar?
c) ¿Cuántos millones hacen 700 decenas de millar?
a) 100
Unidad 1. Los números naturales
b) 50 000
c) 7
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
6
Escribe utilizando solamente doses y treses.
a) Todos los números posibles de tres cifras.
b) Todos los números posibles de cuatro cifras.
2
7
3
3
a) 222
223
232
322
233
323
332
333
b)2 222
2 223
2 232
2 322
3 222
2 233
2 323
2 332
3 223
3 232
3 322
2 333
3 233
3 323
3 332
2
3 333
Escribe el número “cincuenta y siete” en, al menos, tres sistemas diferentes
de numeración.
DECIMAL
EGIPCIO
8 57
8
ROMANO
8
OTRO
LVII
8
S umas y restas
8
Calcula.
a) 6 070 + 893 + 527
c) 831 – 392 – 76
a) 7 490
9
10
b) 651 + 283 – 459
d) 1 648 – 725 – 263
b) 475
c) 363
d) 660
Copia, calcula y completa.
48 + 115 = 163
103 + 256 = 359
628 – 429 = 199
480 – 284 = 196
Calcula mentalmente.
a) 5 + 7 – 3 – 4
b) 18 – 4 – 5 – 6
d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5
e) 12 + 13 + 8 – 23
a) 5
b) 3
Unidad 1. Los números naturales
c) 0
d) 1
c) 10 – 6 + 3 – 7
f) 40 – 18 – 12 – 6
e) 10
f) 4
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
11
Opera.
a) 15 – 6 + 8
c) 12 – 7 – 2
e) 27 – 11 + 12
g) 54 – 22 – 16
a) 17
e) 28
12
b) 15 – (6 + 8)
d) 12 – (7 – 2)
f) 27 – (11 + 12)
h) 54 – (22 – 16)
b) 1
f) 4
c) 3
g) 16
d) 7
h) 48
Calcula y compara con las soluciones que tienes debajo. Si no coinciden,
repite el ejercicio.
a) 18 – (6 + 9 – 3)
b) 25 – (18 – 7) + 4
c) 24 – (6 + 5 + 11)
d) 19 – (11 – 7) – 5
e) (26 – 17) + (32 – 24)
f) (33 – 25) – (24 – 19)
g) (12 + 11) – (15 + 7)
h) (22 – 9) – (19 – 13)
a) 6; b) 18; c) 2; d) 10; e) 17; f ) 3; g ) 1; h) 7
a) 18 – 12 = 6
c) 24 – 22 = 2
e) 9 + 8 = 17
g) 23 – 22 = 1
13
b) 25 – 11 + 4 = 18
d) 19 – 4 – 5 = 10
f) 8 – 5 = 3
h) 13 – 6 = 7
Calcula y comprueba con las soluciones.
a) 5 – [7 – (2 + 3)]
b) 3 + [8 – (4 + 3)]
c) 2 + [6 + (13 – 7)]
d) 7 – [12 – (2 + 5)]
e) 20 – [15 – (11 – 9)]
f) 15 – [17 – (8 + 4)]
a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10
a) 5 –[7 – 5] = 5 – 2 = 3
c) 2 + [6 + 6] = 2 + 12 = 14
e) 20 – [15 – 2] = 20 – 13 = 7
14
b) 3 + [8 – 7] = 3 + 1 = 4
d) 7 – [12 – 7] = 7 – 5 = 2
f ) 15 – [17 – 12] = 15 – 5 = 10
Opera y completa.
a)
5 + 7 = 12 °
5+7=7+5
7 + 5 = 12 ¢£
b)
2 + (7 + 6) = 2 + 13 = 15 °
15 = 15
(2 + 7) + 6 = 9 + 6 = 15 ¢£
¿Qué propiedad se comprueba en cada caso?
a) Se comprueba la propiedad conmutativa.
b)Se comprueba la propiedad asociativa.
Unidad 1. Los números naturales
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
M ultiplicación y división
15
Copia, reflexiona y completa.
Ò
2
1 1
1 3
5
2
2
4
6
9 4 6
2 4
3 6
1
16
17
18
7
4
8
4
Ò
3 4
8 5
1 1 9
8
7
1 3 5
2
2
1
4
5
3 0 7 3
0 4 7
0 8 3
0 5
7
8
6
6
13
236
Multiplica.
a) 16 · 10
d) 17 · 100
g) 22 · 1 000
b) 128 · 10
e) 85 · 100
h) 134 · 1 000
c) 60 · 10
f) 120 · 100
i) 140 · 1 000
a) 160
d) 1 700
g) 22 000
b) 1 280
e) 8 500
h) 134 000
c) 600
f ) 12 000
i) 140 000
Calcula el cociente y el resto en cada caso:
a) 2 647 : 8
b) 1 345 : 29
d) 7 482 : 174
e) 7 971 : 2 657
c) 9 045 : 45
f) 27 178 : 254
a) c = 330; r = 7
d) c = 43; r = 0
c) c = 201; r = 0
f ) c = 107; r = 0
b) c = 46; r = 11
e) c = 3; r = 0
Calcula mentalmente.
a) 3 · (10 : 5)
b) (4 · 6) : 8
d) (30 : 5) · 3
e) 10 : (40 : 8)
c) 20 : (2 · 5)
f) (40 : 8) : 5
a) 6
d) 18
c) 2
f) 1
Unidad 1. Los números naturales
b) 3
e) 2
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
19
Copia, calcula y completa.
a) 123 · 48 = 5 904
b) 18 · 86 = 1 548
c) 1 482 : 57 = 26
d) 1 862 : 14 = 133
20
21
Calcula el valor de a, b, c y d.
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
RESTO
856
c
7 512
38
42
d
a
57
156
b
33
24
DIVIDENDO
DIVISOR
COCIENTE
RESTO
856
2 427
7 512
38
42
48
22
57
156
20
33
24
Copia y completa.
3 · (5 + 2) = 3 · 7 = 21
¿Qué propiedad
3 · 5 + 3 · 2 = 15 + 6 = 21 has comprobado?
°
¢
£
Se comprueba la propiedad distributiva.
O peraciones combinadas
22
Calcula.
a) 8 + 7 – 3 · 4
c) 22 – 6 · 3 + 5
e) 4 · 7 – 13 – 2 · 6
g) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5
a) 3
e) 3
23
b) 4
f) 8
b) 15 – 2 · 3 – 5
d) 36 – 8 · 4 – 1
f) 5 · 4 + 12 – 6 · 4
h) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8
c) 9
g) 12
Opera.
a) 2 · (4 + 6)
c) 8 : (7 – 5)
e) (5 + 6) · 4
g) (19 – 7) : 2
a) 20
e) 44
d) 3
h) 0
b) 2 · 4 + 6
d) 5 · 7 – 5
f) 5 + 6 : 3
h) 18 – 7 · 2
b) 14
f) 7
Unidad 1. Los números naturales
c) 4
g) 6
d) 30
h) 4
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
24
Calcula y comprueba la solución.
a) 30 – 4 · (5 + 2)
b) 5 + 3 · (8 – 6)
c) 5 · (11 – 3) + 7
d) 3 · (2 + 5) – 13
e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)
f) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)
g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2)
h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3)
a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g ) 9; h) 11
a) 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2
b) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11
c) 5 · 8 + 7 = 40 + 7 = 47
d) 3 · 7 – 13 = 21 – 13 = 8
e) 2 · 12 – 3 · 5 = 24 – 15 = 9
f ) 4 · 2 + 3 · 2 = 8 + 6 = 14
g) 15 – 3 · (10 – 8) = 15 – 3 · 2 = 15 – 6 = 9
h) 6 + 5 · (13 – 12) = 6 + 5 · 1 = 6 + 5 = 11
25
Opera como en el ejemplo y comprueba que la posición del paréntesis hace
variar el resultado.
•5·8–4:2
40 – 2
5 · 8 – 4 : 2 = 40 – 2 = 38
38
a) 5 · (8 – 4) : 2
b) (5 · 8 – 4) : 2
c) 5 · (8 – 4 : 2)
a) 5 · (8 – 4) : 2 = 5 · 4 : 2 = 20 : 2 = 10
b) (5 · 8 – 4) : 2 = (40 – 4) : 2 = 36 : 2 = 18
c) 5 · (8 – 4 : 2) = 5 · (8 – 2) = 5 · 6 = 30
P roblemas
26
Un trabajador autónomo ganó, en enero, 2 056 €; en febrero, 136 € menos, y en marzo, 287 € más que en febrero. ¿Cuánto ingresó en el primer trimestre del año?
8 2 056 €
FEBRERO 8 2 045 – 136 = 1 920 €
MARZO 8 1 920 + 287 = 2 207 €
TOTAL 8 2 056 + 1 920 + 2 207 = 6 183 €
ENERO
27
Adela tenía en su cuenta bancaria 1 187 €, pero ha pagado con la tarjeta
385 € por la compra de un abrigo y 163 € por un vestido. ¿Cuánto le queda en
la cuenta?
1 187 – 385 – 163 = 639 €
Unidad 1. Los números naturales
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
28
La oca mediana pesa
850 g más que la pequeña y
1 155 g menos que la grande.
¿Cuánto pesan entre las tres?
P 8 2 530 – 850 = 1 680 g
M 8 2 530 g
G 8 2 530 + 1 155 = 3 685 g
TOTAL 8 P + M + G = 7 895 g
29
En un maratón internacional se han inscrito 187 corredores europeos, 145
americanos y 158 asiáticos. El resto, hasta un total de 612 participantes, son africanos. ¿Cuántos participantes son africanos?
612 – (187 + 145 + 158) = 122 participantes africanos
30
La valla de mi colegio presenta ocho barrotes por cada metro, y tiene una
longitud de 327 metros. ¿Cuántos barrotes componen la valla?
327 · 8 = 2 616 barrotes
31
Se desea plantar árboles, con una separación de 20 metros, a lo largo de un
sendero que tiene una longitud de dos kilómetros. ¿Cuántos árboles se necesitan?
☞ 1 km = 1 000 m
2 000 : 20 = 100 árboles
32
Un ganadero tiene un rebaño de 483 ovejas. Si el valor medio de cada oveja es de 87 €, ¿cuál es el valor del rebaño?
483 · 87 = 42 021 €
33
Un camión ha recorrido 450 km en 6 horas. ¿Qué distancia recorre, por
término medio, en una hora?
450 : 6 = 75 km
34
Un senderista camina a un ritmo de 72 pasos por minuto y avanza 85 cm
en cada paso. ¿Qué distancia recorre en una hora?
85 · 72 · 60 = 367 200 cm = 3 672 metros
35
Una fábrica de coches ha producido 15 660 unidades en los últimos tres
meses. ¿Cuántos coches saca, por término medio, cada día?
3 meses 8 3 · 30 = 90 días
15 660 : 90 = 174 coches cada día
Unidad 1. Los números naturales
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
36
Un barco pesquero ha conseguido 9 100 € por la captura de 1 300 kg de
merluza. ¿Cuánto obtendrá otro barco que entra en puerto con 1 750 kg de merluza de la misma calidad?
9 100 : 1 300 = 7 €/kg
1 750 · 7 = 12 250 €
37
Un hortelano lleva al mercado 85 kg de tomates y 35 kg de frambuesas. Si
vende los tomates a 2 €/kg y las frambuesas a 3 €/kg, ¿cuánto obtendrá por la
venta de la mercancía?
85 · 2 + 35 · 3 = 275 €
38
Un camión de reparto transporta 15 cajas de refrescos de naranja y 12 cajas
de limón. ¿Cuántas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?
24 · (15 + 12) = 648 botellas
39
Un granjero anota las bandejas de huevos recogidas en su granja durante
una semana:
BANDEJAS
L
M
X
J
V
S
D
86
104
91
99
83
108
89
¿Cuántos huevos ha recogido en toda la semana, sabiendo que cada bandeja lleva
dos docenas y media?
Dos docenas y media 8 12 + 12 + 6 = 30 huevos
86 + 104 + 91 + 99 + 83 + 108 + 89 = 660 bandejas
660 · 30 = 19 800 huevos
40
Una fábrica de electrodomésticos produce 250 lavadoras cada día, con un
coste medio de 208 € por unidad.
¿Qué ganancia obtiene si vende la producción de un mes a un mayorista, por un
importe global de dos millones de euros?
Coste 8 250 · 208 = 52 000 €
Coste producción 30 días 8 52 000 · 30 = 1 560 000 €
Ganancia 8 2 000 000 – 1 560 000 = 440 000 €
41
Una sociedad financiera con el capital inicial fraccionado en 25 000 acciones reparte unos beneficios de 375 000 euros.
¿Qué dividendos corresponden a un inversionista que posee 1 530 acciones?
Beneficio/acción 8 375 000 : 25 000 = 15 €
Beneficios accionistas 8 15 · 1 530 = 22 950 €
Unidad 1. Los números naturales
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
42
Una granja de 6 000 gallinas ponedoras tiene un rendimiento diario de 4
huevos por cada 5 ponedoras. ¿Cuántas docenas de huevos produce cada semana?
Huevos/día 8 (6 000 : 5) · 4 = 4 800
Docenas/semana 8 (4 800 : 12) · 7 = 2 800
43
En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total hemos contado 714
patas, 168 cuernos y 137 picos. ¿Cuántos caballos hay en la granja?
Gallinas 8 137
Vacas 8 168 : 2 = 84
Patas de caballo 8 714 – 137 · 2 – 84 · 4 = 104
Caballos 8 104 : 4 = 26
44
Un mayorista de alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por
2 000 €. Después, al seleccionar la mercancía, desecha 300 kg y envasa el resto
en bolsas de 5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?
Kilos comprados 8 150 · 30 = 4 500
Kilos aprovechados 8 4 500 – 300 = 4 200
Bolsas 8 4 200 : 5 = 840
Recauda 8 840 · 4 = 3 360 €
Gana 8 3 360 – 2 000 = 1 360 €
45
El dueño de un quiosco compra 5 bidones de helado por 250 € y los despacha en cucuruchos a 1 € la bola. Si de cada bidón saca 80 bolas, ¿qué ganancia
obtiene con la venta de toda la mercancía?
Bolas 8 5 · 80 = 400
Recauda 8 400 €
Gana 8 400 – 250 = 150 €
46
Un agricultor tiene 187 colmenas con una producción de dos cosechas al
año, a razón de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa en
tarros de medio kilo y se comercializa en cajas de seis tarros que se venden a 18
euros la caja. ¿Qué beneficio anual produce el colmenar?
Cosecha 8 187 · 2 · 9 = 3 366 kg
Envasa 8 3 366 · 2 = 6 732 tarros
6 732 : 6 = 1 122 cajas
Beneficio 8 1 122 · 18 = 20 196 €
47
La carta de un restaurante ofrece cinco variedades de primer plato, tres de
segundo y dos de postre.
¿De cuántas formas puede elegir su menú un cliente que toma un plato de cada
grupo?
5 · 3 · 2 = 30 posibilidades de menú
Unidad 1. Los números naturales
1
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
48
En una empresa de 50 trabajadores se han obtenido los datos siguientes de
una encuesta:
• 22 juegan a las quinielas, 25 son aficionados al fútbol y 28 están casados.
• 11 son aficionados al fútbol y, además, hacen quinielas, 12 son casados y hacen
quinielas y 14 son casados y aficionados al fútbol.
• 7 son casados, aficionados al fútbol y hacen quinielas.
¿Cuántos son solteros, no son aficionados al fútbol y no hacen quinielas?
C
5
F
14 – 7 = 7
9
7
7
11 – 7 = 4
12 – 7 = 5
6
Q
Casados
°
§
No fútbol ¢ 28 – 7 – 7 – 5 = 9
No quinielas §£
Sí fútbol
°
§
No casados ¢ 25 – 7 – 7 – 4 = 7
No quinielas §£
Sí quinielas
No fútbol
No casados
°
§ 22 – 7 – 5 – 4 = 6
¢
§
£
Solteros que no juegan al fútbol y no juegan a las quinielas:
50 – (9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 7 + 7) = 5
49
Busca tres números sabiendo que:
• Su suma es 100.
• El primero es 10 unidades mayor que el segundo.
• El segundo es 15 unidades mayor que el tercero.
– 10
100 – 15 – 25 = 60
60 : 3 = 20
°20
Los números son §¢20 + 15 = 35
§
£20 + 25 = 45
20 + 35 + 45 = 100
Unidad 1. Los números naturales
– 15
2
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
C álculo de potencias
1
Copia y completa.
• 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16
a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = … = …
c) 7 · 7 · 7 · 7 = … = …
b) … = 53 = …
d) … = 85 = …
a) 25 = 32
c) 74 = 2 401
b) 5 · 5 · 5 = 53 = 125
d) 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 85 = 32 768
2
Completa la tabla.
BASE
3
a)
24
a)
55
a)
412
2
3
23
8
5
2
52
25
3
4
34
81
11
3
113
1 331
Calcula con lápiz y papel.
b) 95
b) 59 049
Obtén con la calculadora.
b) 510
a) 16 777 216
6
VA L O R
b) 216
a) 3 125
5
POTENCIA
Calcula mentalmente.
b) 63
a) 16
4
EXPONENTE
b) 9 765 625
c) 35
d) 204
e) 300
c) 243
d) 160 000
e) 1
c) 110
d) 153
e) 164
c) 1
d) 3 375
e) 65 536
c) 453
d) 674
e) 993
c) 91 125
d) 20 151 121
e) 970 299
Calcula.
a) El cuadrado de 60.
b) El cubo de 12.
a) 602 = 3 600
b) 123 = 1 728
P otencias de base 10.
Expresión abreviada de números grandes
7
a)
102
Escribe con todas sus crifras.
b) 106
c) 1010
a) 100
d) 1 000 000 000 000
Unidad 2. Potencias y raíces
d) 1012
b) 1 000 000
e) 10 000 000 000 000 000
e) 1016
c) 10 000 000 000
2
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
8
9
10
11
Escribe como una potencia de base 10.
a) Cien
b) Cien millones
c) Cien billones
d) Cien mil billones
a) 102
d) 1017
b) 108
c) 1014
Expresa con todas sus cifras.
b) 34 · 10 9
a) 13 · 10 7
c) 62 · 1011
a) 130 000 000
c) 6 200 000 000 000
b) 34 000 000 000
Transforma como en el ejemplo.
• 180 000 = 18 · 104
a) 5 000
b) 1 700 000
c) 4 000 000 000
a) 5 · 103
c) 4 · 109
b) 17 · 105
Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 7 526
b) 385 000
c) 92 475
d) 400 800
e) 502 030
f) 7 800 000
a) 7 526 = 7 · 103 + 5 · 102 + 2 · 10 + 6
b) 385 000 = 3 · 105 + 8 · 104 + 5 · 103
c) 92 475 = 9 · 104 + 2 · 103 + 4 · 102 + 7 · 10 + 5
d) 400 800 = 4 · 105 + 8 · 102
e) 502 030 = 5 · 105 + 2 · 103 + 3 · 10
f ) 7 800 000 = 7 · 106 + 8 · 105
12
¿Qué número expresa cada descomposición polinómica?:
a) 7 · 105 + 3 · 104 + 2 · 103 + 2 · 102 + 10 + 8
b) 5 · 108 + 107 + 4 · 106 + 7 · 104 + 8 · 103
a) 732 218
b) 51 4 078 000
13
Redondea a la centena de millar y escribe abreviadamente con el apoyo de
una potencia de base 10 el número de habitantes de cada una de estas ciudades:
ROMA
MADRID
PARÍS
EL CAIRO
14
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
2 823 201
3 155 359
11 174 743
16 248 530
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
28 · 105
32 · 105
112 · 105
162 · 105
Ordena, de menor a mayor, estas cantidades:
8 · 109
17 · 107
98 · 106
1010
16 · 108
98 · 106 < 17 · 107 < 16 · 108 < 8 · 109 < 9 · 109 < 1010
Unidad 2. Potencias y raíces
9 · 109
2
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
O peraciones con potencias
15
Calcula de la forma más sencilla.
a) · 24
b) 43 · 53
d) 63 · 53
e) 82 · 52
g) 46 : 26
h) 65 : 35
j) 153 : 53
k) 204 : 54
c) 26 · 56
f) 253 · 43
i) 84 : 44
l) 182 : 92
a) 104 = 10 000
d) 303 = 27 000
g) 26 = 64
j) 33 = 27
c) 106 = 1 000 000
f ) 1003 = 1 000 000
i) 24 = 16
l) 22 = 4
54
16
b) 203 = 8 000
e) 402 = 1 600
h) 25 = 32
k) 44= 256
Reduce a una única potencia.
a) · 84
b) 25 · 27
d) x 8 · x 3
e) a 5 · a 5
g) 510 : 56
h) 312 : 34
j) x 7 : x 5
k) a 9 : a 2
2
3
m) (25)
n) (74 )
2
3
o) (x 3 )
p) (a 5 )
☞ a n · a m = a m + n a m : a n = a m – n (a m)n = a m · n
82
17
18
c) 102 · 102
f) k 7 · k 6
i) 1210 : 129
l) k 12 : k 12
2
ñ) (82 )
4
q) (k 4 )
a) 86
f ) k 13
k) a 7
o) x 6
b) 212
g) 54
l) k 0 = 1
p) a 15
c) 104
h) 38
m) 210
q) k 16
d) x 11
i) 121 = 12
n) 712
Reduce.
a) x 8 : x 7
f) z 9 · z
b) y 5 · y 7
g) x 8 · x 0
c) (z 2 )
3
h) ( y 0 )
d) (x 3 )
i) z 9 : z 9
e) y 5 : y 3
a) x
f ) z 10
b) y 12
g) x 8
c) z 8
h) y 0 = 1
d) x 9
i) z 0 = 1
e) y 2
4
3
e) a 10
j) x 2
ñ) 84
Calcula.
a) (53 · 43 ) : 23
d) (24 · 25) : 29
g) (43 · 45) : (44 · 42 )
b) 63 : (213 : 73 )
e) (155 : 55) : 33
h) (307 : 57 ) : (25 · 35)
c) 364 : (24 · 94 )
f) 129 : (47 · 37 )
a) 103 = 1 000
d) 20 = 1
g) 42 = 16
b) 23 = 8
e) 32 = 9
h) 62 = 36
c) 24 = 16
f ) 122 = 144
Unidad 2. Potencias y raíces
2
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
19
20
Reduce a una sola potencia.
a) (a 3 · a 2 ) : a 4
b) (x 5 : x ) · x 2
4
4
3
d) (a 3 ) : a 10
e) (x 2 ) : (x 2 )
g) (a 3 · a 5 ) : (a · a 4 )
h) (x 3 : x 2 ) · (x 4 : x 3 )
c) (m 7 : m 4 ) : m 3
3
2
f) (m 4 ) : (m 5 )
a) a 1
e) x 2
d) a 2
h) x 2
b) x 5
f) m2
c) m 0 = 1
g) a 3
Calcula y contesta.
52 + 22
b) (3 + 7)2
32 + 72
a) (5 + 2)2
¿Es igual el cuadrado de una suma que la suma de los cuadrados de los sumandos?
a) 49; 29
b) 100; 58
El cuadrado de una suma no es igual a la suma de los cuadrados de los sumandos.
21
Calcula y compara.
a) (1 + 4)3
13 + 43
¿Qué observas?
b) (1 + 4)4
14 + 44
a)125; 65
b) 625; 257
La potencia de una suma no es igual a la suma de las potencias de los sumandos.
23
Reduce a una sola potencia y, después, calcula.
a)
: 44
b) 36 : 92
d) (23 · 42 ) : 8
e) (34 · 92 ) : 272
210
a) 210 : (22)4 = 210 : 28 = 22 = 4
c) (52)3 : 54 = 56 : 54 = 52 = 25
e) (34 · 34) : 36 = 32 = 9
c) 253 : 54
f) (55 · 53) : 253
b) 36 : (32)2 = 36 : 34 = 32 = 9
d) (23 · 24) : 23 = 24 = 16
f ) (55 · 53) : 56 = 52 = 25
R aíz cuadrada
24
Copia y completa como en el ejemplo.
• 82 = 64 5 √ 64 = 8
2
a)
= 36 5 √ 36 =
b)
a) 62 = 36 5 √ 36 = 6
25
2
= 256 5 √ 256 =
b) 162 = 256 5 √ 256 = 16
Calcula el valor de m en cada caso:
a) √ m = 8
b) √ m = 20
c) √ m = 45
a) m = 64
c) m = 2 025
26
a)
a2
b) m = 400
Calcula el valor de a en cada caso:
= 81
b) a 2 = 100
a) a = 9
Unidad 2. Potencias y raíces
b) a = 10
c) a 2 = 441
c) a = 21
2
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
27
28
Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera.
a) √ 90
b) √ 121
c) √ 1 785
a) 9
b) 11 (exacta)
c) 42
Calcula utilizando el algoritmo y, después, comprueba con la calculadora.
a) √ 655
b) √ 1 024
c) √ 1 369
a) 25
d) 65 (exacta)
29
e) √ 12 664
b) 32 (exacta)
e) 112
f) √ 33 856
c) 37 (exacta)
f ) 184 (exacta)
Obtén con la calculadora igual que en el ejemplo.
8
• 2 874
La raíz entera de 2 784 es 53.
a) √ 6 309
b) √ 7 056
c) √ 9 824
a) La raíz entera de 6 309 es 79.
c) La raíz entera de 9 824 es 99.
e) La raíz exacta de 23 409 es 153.
30
d) √ 4 225
d) √ 17 342 e) √ 23 409
f) √ 54 200
b) La raíz exacta de 7 056 es 84.
d) La raíz entera de 17 342 es 131.
f ) La raíz entera de 54 200 es 232.
Copia los cuadrados perfectos en tu cuaderno.
1 936
6 556
8 464
16 076
11 025
178 929
1 936; 8 464; 11 025; 178 929
P roblemas
31
¿Cuántas losas de un metro cuadrado se necesitan para cubrir un patio
cuadrado de 22 m de lado?
222 = 484 losas
32
Una finca cuadrada tiene una superficie de 900 metros cuadrados. Calcula
la longitud de su lado.
√ 900 = 30 metros de lado
33
¿Cuántos padres y madres tenían entre todos tus tatarabuelos?
Tatarabuelos 8 24
Padres y madres de los tatarabuelos 8 25 = 32
34
Calcula el número de cubitos de arista unidad que caben en un cubo de
arista 10 unidades.
103 = 1 000 cubitos
35
Se ha enlosado una habitación cuadrada con 2 209 baldosas, también cuadradas. ¿Cuántas filas forman las baldosas?
√ 2 209 = 47 filas
Unidad 2. Potencias y raíces
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
L a relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores
1
Razona si existe relación de divisibilidad entre:
a) 20 y 300
b) 13 y 195
d) 15 y 75
e) 23 y 203
c) 38 y 138
f) 117 y 702
a) 300 : 200 = 15 8 exacta 8 Sí.
b) 195 : 13 = 15 8 exacta 8 Sí.
c) 138 : 38 8 inexacta 8 No.
d) 75 : 15 = 5 8 exacta 8 Sí.
e) 203 : 23 8 inexacta 8 No.
f ) 702 : 117 = 6 8 exacta 8 Sí.
2
Calcula mentalmente.
a) Tres números contenidos una cantidad exacta de veces en 180.
b) Tres números que contengan a 15 una cantidad exacta de veces.
c) Tres divisores de 180.
d) Tres múltiplos de 15.
a) 18, 10, 9, 3, …
c) 18, 10, 9, 3, …
3
b) 30, 45, 60, 75, …
d) 30, 45, 60, 75, …
Responde, justificando tus respuestas.
a) ¿Es 372 múltiplo de 12? ¿Y de 93? b) ¿Es 21 divisor de 189? ¿Y de 201?
a) 372 : 12 = 31 8 372 sí es múltiplo de 12.
372 : 93 = 4 8 372 sí es múltiplo de 93.
b) 189 : 21 = 9 8 21 sí es divisor de 189.
201 : 21 8 inexacta 8 21 no es divisor de 189.
4
Continúa en tres términos cada serie:
•
12 8 12 - 24 - 36 •
16 8 16 - 32 - 48 -
-
-
-
-
•
12 8 48 - 60 - 72
•
16 8 64 - 80 - 96
5
Escribe.
a) Los cinco primeros múltiplos de 11.
b) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.
c) Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.
a) 11, 22, 33, 44, 55
Unidad 3. Divisibilidad
b) 160, 180, 200
c) 195 = 13 · 15
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
6
Escribe.
a) Todos los pares de números cuyo producto es 80.
b) Todos los divisores de 80.
a) 1 · 80 = 2 · 40 = 4 · 20 = 5 · 16 = 8 · 10
b) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
7
Busca todos los divisores de:
a) 10
b) 18
c) 20
e) 30
f) 39
g) 45
a) 1, 2, 5, 10
c) 1, 2, 4, 5, 10, 20
e) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
g) 1, 3, 5, 9, 15, 45
d) 24
h) 50
b) 1, 2, 3, 6, 9, 18
d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
f ) 1, 3, 13, 39
h) 1, 2, 5, 10, 25, 50
C riterios de divisibilidad
8
Sustituye cada letra por una cifra, para que el número resultante sea divisible entre 3.
A51
A51
2B8
31C
52D
1E8
9
8
8
8
8
8
2B8
31C
52D
351 - 651 - 951
228 - 258 - 288
312 - 315 - 318
522 - 525 - 528
108 - 138 - 168 - 198
Construye con estas cuatro fichas
0
0
1
5
todos los números posibles de tres cifras que sean:
•
•
•
b) 3
c) 5
a) 2
a) 100, 150, 500, 510
c) 100, 105, 150, 500, 510
10
1E8
•
d) 10
b) 105, 150, 501, 510
d) 100, 150, 500, 510
Busca, en cada caso, todos los valores posibles de a para que el número resultante sea, a la vez, múltiplo de 2 y de 3:
4 a
4a 8 42 - 48
32a 8 324
24a 8 240 - 246
Unidad 3. Divisibilidad
3 2 a
2 4 a
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
N úmeros primos y compuestos. Descomposición en factores
11
Descompón en producto de dos factores.
a) 120
b) 285
c) 350
d) 105
e) 209
f) 323
a) 120 = 10 · 12 = 8 · 15
c) 350 = 10 · 35 = 14 · 25
e) 209 = 11 · 19
13
b) 285 = 15 · 19 = 3 · 95
d) 105 = 3 · 35 = 15 · 7
f ) 323 = 17 · 19
Descompón al máximo, como en el ejercicio 2.
a) 15
b) 27
d) 36
e) 60
g) 110
h) 140
j) 250
b) 27 = 33
d) 36 = 22 · 32
f ) 80 = 24 · 5
h) 140 = 22 · 5 · 7
j) 250 = 2 · 53
a) 15 = 3 · 5
c) 32 = 25
e) 60 = 22 · 3 · 5
g) 110 = 2 · 5 · 11
i) 200 = 23 · 52
14
c) 32
f) 80
i) 200
Escribe los números primos mayores de 25 y menores de 45.
29, 31, 37, 41, 43
15
Separa los números primos de los compuestos.
14
17
28
29
47
53
57
63
71
79
91
99
8 17, 29, 47, 53, 71, 79
COMPUESTOS 8 14, 28, 57, 63, 91, 99
PRIMOS
17
Descompón en factores primos, como en el ejercicio resuelto anterior.
a) 36
b) 40
c) 76
d) 135
e) 126
f) 180
g) 252
h) 264
i) 315
j) 330
k) 588
l) 900
a) 36 = 22 · 32
d) 135 = 33 · 5
g) 252 = 22 · 32 · 7
j) 330 = 2 · 3 · 5 · 11
Unidad 3. Divisibilidad
b) 40 = 23 · 5
e) 126 = 2 · 32 · 7
h) 264 = 23 · 3 · 11
k) 588 = 22 · 3 · 72
c) 76 = 22 · 19
f ) 180 = 22 · 32 · 5
i) 315 = 32 · 5 · 7
l) 900 = 22 · 32 · 52
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
18
Selecciona a simple vista.
b = 22 · 72
c = 2 · 32 · 5
a = 25 · 3
d = 22 · 5 · 11
e = 3 · 52 · 13
f = 22 · 32 · 7
a) Los múltiplos de 10.
b) Los múltiplos de 14.
c) Los múltiplos de 15.
d) Los múltiplos de 18.
e) Uno que es múltiplo de 13.
f) Uno que es múltiplo de 30.
a) c - d
19
b) b - f
c) c - e
d) c - f
Selecciona a simple vista.
a=2·3
b=2·5
2
d=2 ·3
e = 22 · 5
a) Los divisores de 20 = 22 · 5.
c) Los divisores de 60 = 22 · 3 · 5.
a) b - e
b) a - b - c
e) e
f) c
c=3·5
f = 2 · 52
b) Los divisores de 30 = 2 · 3 · 5.
d) Los divisores de 90 = 2 · 32 · 5.
c) a - b - c - d - e
d) a - b - c
M áximo común divisor y mínimo común múltiplo
20
21
Calcula.
a) mín.c.m. (5, 11)
d) máx.c.d. (4, 18)
b) máx.c.d. (5, 11)
e) mín.c.m. (75, 100)
c) mín.c.m. (4, 18)
f) máx.c.d. (75, 100)
a) 55
d) 2
b) 1
e) 300
c) 36
f ) 25
Calcula el mínimo común múltiplo de a y b en cada caso:
a) a = 48
b) a = 80
c) a = 175
b = 56
b = 88
b = 350
a) 336
22
24
b) 880
c) 350
Calcula el máximo común divisor de a y b en cada caso:
a) a = 63
b) a = 105
c) a = 165
b = 84
b = 120
f) b = 198
a) 21
b) 15
c) 33
Calcula.
a) mín.c.m. (2, 4, 8)
d) máx.c.d. (10, 15, 20)
b) máx.c.d. (2, 4, 8)
e) mín.c.m. (20, 30, 40)
c) mín.c.m. (10, 15, 20)
f) máx.c.d. (20, 30, 40)
a) 8
d) 5
b) 2
e) 120
c) 60
f ) 10
Unidad 3. Divisibilidad
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
25
El mínimo común múltiplo de dos números es 15. ¿Cuáles pueden ser esos
números?
3 y 5, o bien, 1 y 15.
26
¿Halla cuáles pueden ser los valores de a y b , sabiendo que mín.c.m.
(a, b ) = 20 y que máx.c.d. (a, b ) = 2.
10 y 4, o bien, 20 y 2.
P roblemas
27
Busca todas las formas posibles de hacer montones iguales con 72 terrones
de azúcar.
72 montones de 1 terrón.
24 montones de 3 terrones.
12 montones de 6 terrones.
8 montones de 9 terrones.
4 montones de 18 terrones.
2 montones de 36 terrones.
28
36 montones de 2 terrones.
18 montones de 4 terrones.
9 montones de 8 terrones.
6 montones de 12 terrones.
3 montones de 24 terrones.
1 montón de 72 terrones.
Ricardo puede ordenar su colección de cromos por parejas, por tríos, y
también en grupos de cinco. ¿Cuántos cromos tiene Ricardo, sabiendo que son
más de 80 y menos de 100?
mín.c.m. (2, 3, 5) = 30
Múltiplos de 30 8 30, 60, 90, 120, …
Ricardo tiene 90 cromos.
29
Un vaso pesa 75 gramos, y una taza, 60 gramos. ¿Cuántos vasos hay que
colocar en uno de los platillos de una balanza, y cuántas tazas en el otro, para que
la balanza quede equilibrada?
mín.c.m. (60, 75) = 300
Vasos 8 300 : 75 = 4
Tazas 8 300 : 60 = 5
4 vasos equilibran a 5 tazas.
30
Un comerciante, en un mercadillo, intercambia con un compañero un lote
de camisetas de 24 € la unidad por un lote de zapatillas de 30 € la unidad.
¿Cuántas camisetas entrega y cuántas zapatillas recibe?
mín.c.m. (24, 30) = 120
Camisetas 8 120 : 24 = 5
Zapatillas 8 120 : 30 = 4
Intercambian 5 camisetas por 4 zapatillas.
Unidad 3. Divisibilidad
3
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
31
En un almacén de maderas se han apilado tablones de pino, de un grosor
de 35 mm, hasta alcanzar la misma altura que otra pila de tablones de roble, de
20 mm de gruesos. ¿Cuál será la altura de ambas pilas? (Busca al menos tres soluciones).
mín.c.m. (20, 35) = 140
La altura puede ser 140 mm = 14 cm o cualquier múltiplo de 14 (28 cm, 42 cm,
56 cm, …).
32
Un grupo de 60 niños, acompañados de 36 padres, acuden a un campamento en la montaña. Para dormir, acuerdan ocupar cada cabaña con el mismo
número de personas. Además, cuantas menos cabañas ocupen menos pagan. Por
otro lado, ni los padres quieren dormir con niños ni los niños con padres. ¿Cuántos entrarán en cada cabaña?
máx.c.d. (36, 60) = 12
En cada cabaña entrarán 12 personas.
Unidad 3. Divisibilidad
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
E l conjunto
1
. Orden y representación
Expresa con la notación de los números enteros, como se hace en el ejemplo:
• Antonio gana 15 € buzoneando propaganda 8 +(+15) = +15
a) A Rosa le llega una factura de teléfono de 57 €.
b) Por no hacer la tarea, pierdo los dos positivos que tenía en Matemáticas.
c) He resuelto un problema complicado. El profesor me quita los dos negativos
que tenía.
a) +(– 57) = –57
b) –(+2) = – 2
c) –(– 2) = +2
2
Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números:
a) +6
b) –9
c) 0
d) +8
e) –13
a) – 6
3
4
b) +9
c) 0
d) – 8
Copia y completa.
a) |–1| = …
d) |–7| = …
b) |+5| = …
e) |+12| = …
c) |0| = …
f) |–15| = …
a) |–1| = 1
d) |–7| = 7
b) |+5| = 5
e) |+12| = 12
c) |0| = 0
f ) |–15| = 15
¿Qué número corresponde a cada letra?:
A
–20
A = – 35
M = – 16
5
e) +13
–20
M
B = – 10
N = – 10
Ordena de menor a mayor.
a) +6, +2, 0, +4, –7, +3
b) –7, –2, 0, –1, –5, –9
c) –4, 0, +6, –8, +3, –5
a) – 7 < 0 < +2 < +3 < +4 < +6
b) – 9 < – 7 < – 5 < – 2 < – 1 < 0
c) – 8 < – 5 < – 4 < 0 < +3 < +6
Unidad 4. Los números enteros
B
N
C = +10
K = –4
C
0
K
D
0
L
D = +20
L = +2
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
6
Escribe un número entero para cada movimiento en la recta:
B
A
C
M
N
K
A = +4
B = –5
C = +7
M = –3
N = +5
K = –8
S uma y resta
7
8
9
10
Quita paréntesis.
a) +(–7)
d) –(+1)
g) –[–(–5)]
b) –(–2)
e) +(+11)
h) –[+(–9)]
c) –(+8)
f) +(–14)
i) –[–(+2)]
a) +(– 7) = – 7
d) –(+1) = – 1
g) –[–(– 5)] = – 5
b) –(–2) = +2
e) +(+11) = +11
h) –[+(–9)] = +9
c) –(+8) = –8
f ) +(–14) = –14
i) –[–(+2)] = +2
Calcula.
a) 9 – 4
d) 8 – 9
g) 5 – 11
j) 10 – 12
b) 4 – 9
e) 11 – 7
h) 3 – 7
k) 11 – 15
c) 10 – 8
f) 7 – 11
i) 1 – 6
l) 14 – 20
a) 9 – 4 = 5
d) 8 – 9 = – 1
g) 5 – 11 = – 6
j) 10 – 12 = – 2
b) 4 – 9 = –5
e) 11 – 7 = 4
h) 3 – 7 = –4
k) 11 – 15 = –4
c) 10 – 8 = 2
f ) 7 – 11 = –4
i) 1 – 6 = –5
l) 14 – 20 = –6
Halla el valor de estas expresiones:
a) –2 + 6
b) – 4 + 7
d) –7 + 2
e) –8 + 5
g) –12 + 5
h) –15 + 6
c) –1 + 9
f) –10 + 8
i) –15 + 14
a) –2 + 6 = 4
d) – 7 + 2 = – 5
g) – 12 + 5 = – 7
b) –4 + 7 = +3
e) –8 + 5 = –3
h) –15 + 6 = –9
c) –1 + 9 = +8
f ) –10 + 8 = –2
i) –15 + 14 = –1
Opera.
a) –1 – 1
d) –2 – 5
g) –6 – 6
b) –1 – 2
e) – 4 – 3
h) –10 – 2
c) –2 – 3
f) –7 – 1
i) –3 – 12
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
a) – 1 – 1 = – 2
d) – 2 – 5 = – 7
g) – 6 – 6 = –12
11
b) –1 – 2 = –3
e) –4 – 3 = –7
h) –10 – 2 = –12
Calcula.
a) +2 – 7 + 5
c) 13 – 9 + 5 – 7
e) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4
c) –2 – 3 = –5
f ) –7 – 1 = –8
i) –3 – 12 = –15
b) +12 – 5 – 8
d) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6
f) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18
a) +2 – 7 + 5 = 7 – 7 = 0
b) +12 – 5 – 8 = 12 – 13 = –1
c) 13 – 9 + 5 – 7 = 18 – 16 = +2
d) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6 = 15 – 20 = –5
e) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4 = 6 – 16 = –10
f ) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18 = 29 – 25 = 4
12
Quita paréntesis y opera.
a) (+3) – (+8)
b) (–9) + (– 6)
c) (–7) – (–7) – (+7)
d) (–11) + (+8) – (–6)
e) (+15) – (– 12) – (+11) + (–16)
f) (–3) – (–2) – (+4) + (–7) + (+8)
g) (+11) – (+7) + (–13) – (–20) + (–11)
a) (+3) – (+8) = 3 – 8 = – 5
b) (–9) + (– 6) = – 9 – 6 = – 15
c) (–7) – (–7) – (+7) = – 7 + 7 – 7 = –7
d) (–11) + (+8) – (–6) = – 11 + 8 + 6 = 14 – 11 = 3
e) (+15) – (– 12) – (+11) + (–16) = 15 + 12 – 11 – 16 = 27 – 27 = 0
f ) (–3) – (–2) – (+4) + (–7) + (+8) = –3 + 2 – 4 – 7 + 8 = 10 – 14 = –4
g) (+11) – (+7) + (–13) – (–20) + (–11) = 11 – 7 – 13 + 20 – 11 = 31 – 31 = 0
13
Escribe una expresión que refleje los movimientos encadenados en cada recta y halla el resultado:
a)
PARTIDA
FIN
b)
PARTIDA
FIN
a) +5 + 4 – 6 = +3
b) +3 – 9 + 4 = –2
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
15
17
Calcula.
a) 13 – (6 + 5)
c) (4 + 8) – (3 – 9)
e) 12 – (7 + 11 – 14 – 8)
b) 8 – (6 + 5)
d) 10 + (8 – 15 + 2 – 6)
f) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5)
a) 13 – (6 + 5) = 2
c) (4 + 8) – (3 – 9) = +18
e) 12 – (7 + 11 – 14 – 8) = 16
b) 8 – (6 + 5) = –3
d) 10 + (8 – 15 + 2 – 6) = –1
f ) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5) = –8
Calcula.
a) (5 – 7) – [(–3) + (–6)]
b) (–8) + [(+7) – (– 4) + (–5)]
c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)]
d) [(+6) – (–8)] – [(– 4) – (–10)]
e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(– 9 + 6) – (–5 + 7)]
a) (5 – 7) – [(–3) + (–6)] = +7
b) (–8) + [(+7) – (– 4) + (–5)] = –2
c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)] = +5
d) [(+6) – (–8)] – [(– 4) – (–10)] = +8
e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(– 9 + 6) – (–5 + 7)] = –3
M ultiplicación y división
18
19
20
Recuerda la regla de los signos y multiplica.
a) (+7) · (– 8)
b) (– 6) · (–9)
d) (+5) · (–12)
e) (–3) · (+20)
c) (+5) · (+11)
f) (–5) · (–15)
a) (+7) · (– 8) = – 56
d) (+5) · (–12) = – 60
c) (+5) · (+11) = +55
f ) (–5) · (–15) = +75
b) (–6) · (–9) = +54
e) (–3) · (+20) = –60
Calcula.
a) (–5) · (+2) · (–3)
c) (+ 4) · (+5) · (–2)
b) (– 4) · (–1) · (–7)
d) (+6) · (–3) · (–1)
a) (–5) · (+2) · (–3) = +30
c) (+ 4) · (+5) · (–2) = – 40
b) (–4) · (–1) · (–7) = –28
d) (+6) · (–3) · (–1) = +18
Recuerda la regla de los signos y divide.
a) (+24) : (–8)
b) (–140) : (+7)
c) (–130) : (–13)
d) (+77) : (–7)
e) (–18) : (–1)
f) (–156) : (–13)
a) (+24) : (–8) = – 3
c) (–130) : (–13) = +10
e) (–18) : (–1) = +18
Unidad 4. Los números enteros
b) (–140) : (+7) = –20
d) (+77) : (–7) = –11
f ) (–156) : (–13) = +12
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
22
Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
a) (–18) : [(+6) · (–3)]
b) [(–18) : (+6)] · (–3)
c) (+54) : [(–6) : (+3)]
d) [(+54) : (–6)] : (+3)
a) (–18) : [(+6) · (–3)] = (– 18) : [–18] = +1
b) [(–18) : (+6)] · (–3) = [– 3] · (–3) = +9
c) (+54) : [(–6) : (+3)] = (+54) : [–2] = –27
d) [(+54) : (–6)] : (+3) = [– 9] : (+3) = –3
24
Efectúa como en el ejercicio resuelto anterior.
a) 2 · 7 – 3 · 4 – 2 · 3
b) 30 : 6 – 42 : 7 – 27 : 9
c) 3 · 5 – 4 · 6 + 5 · 4 – 6 · 5
d) 5 · 4 – 28 : 4 – 3 · 3
a) 2 · 7 – 3 · 4 – 2 · 3 = –4
c) 3 · 5 – 4 · 6 + 5 · 4 – 6 · 5 = –19
26
b) 30 : 6 – 42 : 7 – 27 : 9 = –4
d) 5 · 4 – 28 : 4 – 3 · 3 = 4
Resuelve explicando el proceso, igual que en el ejercicio resuelto anterior.
a) 16 + (–5) · (+4)
b) 20 – (– 6) · (– 4)
c) (–2) · (–5) + (+4) · (–3)
d) (–8) · (+2) – (+5) · (– 4)
e) 10 + (– 4) · (+2) – (+6)
f) (–5) – (+4) · (–3) – (–8)
g) 14 – (+5) · (– 4) + (– 6) · (+3) + (–8)
h) (+4) · (– 6) – (–15) – (+2) · (–7) – (+12)
a) 16 + (–5) · (+4) = 16 + (– 20) = 16 – 20 = –4
b) 20 – (– 6) · (– 4) = 20 – (+24) = 20 – 24 = –4
c) (–2) · (–5) + (+4) · (–3) = (+10) + (–12) = 10 – 12 = –2
d) (–8) · (+2) – (+5) · (– 4) = (–16) – (–20) = –16 – 20 = +4
e) 10 + (– 4) · (+2) – (+6) = 10 + (–8) – (+6) = 10 – 8 – 6 = 10 – 14 = –4
f ) (–5) – (+4) · (–3) – (–8) = (–5) – (–12) – (–8) = –5 + 12 + 8 = 15
g) 14 – (+5) · (– 4) + (– 6) · (+3) + (–8) = 14 – (–20) + (–18) + (–8) =
= 14 + 20 – 18 – 8 = 8
h) (+4) · (– 6) – (–15) – (+2) · (–7) – (+12) = (–24) – (–15) – (–14) – (+12) =
= –24 + 15 + 14 – 12 = –7
27
Calcula como en el ejemplo.
• (– 4) · (2 – 7) = (– 4) · (–5) = +20
a) 3 · (3 – 5)
b) 4 · (8 – 6)
d) (–2) · (7 – 3)
e) (– 4) · (6 – 10)
g) 16 : (1 – 5)
h) (–35) : (9 – 2)
j) (2 – 8) : 3
k) (5 + 7) : (– 4)
Unidad 4. Los números enteros
c) 5 · (8 – 12)
f) (–5) · (2 – 9)
i) (–14) : (5 + 2)
l) (12 – 4) : (–2)
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
a) 3 · (3 – 5) = – 6
d) (–2) · (7 – 3) = – 8
g) 16 : (1 – 5) = – 4
j) (2 – 8) : 3 = – 2
28
b) 4 · (8 – 6) = +8
e) (–4) · (6 – 10) = +16
h) (–35) : (9 – 2) = –5
k) (5 + 7) : (–4) = –3
Opera estas expresiones:
a) 35 + 7 · (6 – 11)
c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4)
d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6)
e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)]
c) 5 · (8 – 12) = –20
f ) (–5) · (2 – 9) = +35
i) (–14) : (5 + 2) = –2
l) (12 – 4) : (–2) = –4
b) 60 : (8 – 14) + 12
a) 35 + 7 · (6 – 11) = 0
b) 60 : (8 – 14) + 12 = +2
c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4) = +3
d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6) = +2
e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)] = –1
30
Calcula, paso a paso, como en el ejercicio resuelto anterior.
a) (–3) · [(–9) – (–7)]
b) 28 : [(– 4) + (–3)]
c) [(–9) – (+6)] : (–5)
d) (–11) – ( – 2) · [15 – (+11)]
e) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)]
f) (– 4) · [(– 6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)]
g) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)]
a) (–3) · [(–9) – (–7)] = (– 3) · [–2] = +6
b) 28 : [(– 4) + (–3)] = 28 : [– 7] = –4
c) [(–9) – (+6)] : (–5) = [– 15] : (–5) = +3
d) (–11) – ( – 2) · [15 – (+11)] = (–11) – (–2) · [+4] = –11 + 8 = –3
e) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)] = 5 – (–18) : [–6] = 5 – 3 = 2
f ) (– 4) · [(– 6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)] = (–4) · [+2] – (+3) · [–4] =
= –8 + 12 = 4
g) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)] = [+3] : [–1] = +3
31
Opera.
a) 8 + (4 – 9 + 7) · 2 + 4 · (3 – 8 + 4)
b) 4 · [(+5) + (–7)] – (–3) · [7 – (+3)]
c) (–3) · (+11) – [(–6) + (–8) – (–2)] · (+2)
d) (–6) · [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) · (+3)
a) 8 + (4 – 9 + 7) · 2 + 4 · (3 – 8 + 4) = 8
b) 4 · [(+5) + (–7)] – (–3) · [7 – (+3)] = 4
c) (–3) · (+11) – [(–6) + (–8) – (–2)] · (+2) = 9
d) (–6) · [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) · (+3) = –3
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
P otencias y raíces
32
Calcula:
a) El cuadrado de (–8).
c) El cubo de (–8).
a) 64
33
34
35
b) El cuadrado de (–20).
d) El cubo de (–20).
b) 400
c) –512
d) –8 000
Halla las potencias siguientes:
a) (+1)10
b) (–1)10
d) (– 4)4
e) (+8)2
g) (–10)7
h) (+9)3
c) (–1)7
f) (–9)2
i) (–3)5
a) (+1)10 = 1
d) (– 4)4 = 256
g) (– 10)7 = – 10 000 000
b) (–1)10 = 1
e) (+8)2 = 64
h) (+9)3 = 729
c) (–1)7 = –1
f ) (–9)2 = 81
i) (–3)5 = –243
Calcula.
a) (–3)3
d) (–3)4
b) (+3)3
e) (+3)4
c) –33
f) –34
a) (– 3)3 = – 27
d) (– 3)4 = 81
b) (+3)3 = 27
e) (+3)4 = 81
c) –33 = –27
f ) –34 = –81
Averigua el valor de x en cada caso:
a) = –125
b) (–x)3 = – 125
e) (–x)4 = 81
d) (–x)11 = –1
c) x11 = –1
f) x 3 = – 1 000
a) x = – 5
d) x = 1
c) x = –1
f ) x = –10
x3
36
37
b) x = 5
e) x = 3
Calcula, usando las propiedades de las potencias.
a) (–5)4 · (–2)4
b) (– 4)4 · (–5)4
d) (+35)3 : (–7)3
e) [(–5)3]2 : (–5)5
c) (–18)3 : (–6)3
f) [(+8)4]3 : (–8)10
a) (–5)4 · (–2)4 = (– 10)4 = 10 000
c) (–18)3 : (–6)3 = 33 = 27
e) [(–5)3]2 : (–5)5 = (– 5)6 – 5 = –5
b) (–4)4 · (–5)4 = 204 = 160 000
d) (+35)3 : (–7)3 = (–5)3 = –125
f ) [(+8)4]3 : (–8)10 = 82 = 64
Opera estas expresiones:
a) (+12)3 : (–12)3
c) [(–5)4 · (–5)3] : (+5)5
e) [(–2)7 : (–2)4] : (–2)3
b) (–8)9 : (–8)8
d) (–6)7 : [(+6)2 · (+6)3]
f) (–2)7 : [(–2)4 : (–2)3]
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
(+12)3 :
(–12)3
– 120
a)
=
= –1
9
8
1
b) (–8) : (–8) = (– 8) = – 8
c) [(–5)4 · (–5)3] : (+5)5 = – 57 – 5 = –25
d) (–6)7 : [(+6)2 · (+6)3] = – 67 – 6 = –6
e) [(–2)7 : (–2)4] : (–2)3 = (– 2)3 – 3 = 1
f ) (–2)7 : [(–2)4 : (–2)3] = (– 2)7 – 1 = 64
38
Halla, si existe, el resultado exacto o aproximado.
a) √ (+121)
b) √ (–121)
c) √ (+225)
d) √ (+250)
e) √ (–250)
f) √ (+400)
g) √ (–900)
h) √ (+1 000)
i) √ (+10 000)
a) +11 y –11
b) No tiene solución.
c) +15 y –15
d) +15 < √ 250 < +16
e) No tiene solución.
f ) +20 y –20
h) +31 < √ 1 000 < +32
i) +100 y –100
– 16 < √ 250 < –15
g) No tiene solución.
–32 < √ 1 000 < –31
L os números negativos en la calculadora
40
Utilizando los procedimientos del ejercicio resuelto anterior, escribe en la
pantalla de tu calculadora:
a) –3
b) –12
c) –328
d) –1 000
a) 4 - 7 = 8
b) 12
8
c) 1 - 329 = 8
d) 1 000
8
41
Realiza con la calculadora las operaciones siguientes:
a) 26 – 50
b) –126 – 84
c) (–43) · (–15)
d) 1 035 : (– 45)
a) 26 - 50 = 8
b) 126 84
8
c) 43 1 - 16 = * = 8
d) 45 1 035 / = 8
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
P roblemas
42
En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de
12 °C, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 °C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?
La diferencia es de 12 – (– 15) = 12 + 15 = 27 grados.
43
Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subió 3 grados más. Desde las cinco a medianoche bajó 5 grados, y de medianoche al alba,
bajó 6 grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día?
– 2 + 8 + 3 – 5 – 6 = 11 – 13 = –3
Amaneció a tres grados bajo cero.
44
Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes:
a) Baja 20 metros para dejar material.
b) Baja 12 metros más para hacer una soldadura.
c) Sube 8 metros para reparar una tubería.
d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma.
¿Cuántos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma?
6 – 20 – 12 + 8 = 14 – 32 = –18
– 18 + 24 = +6
En el último desplazamiento sube 24 metros.
45
Alejandro Magno, uno de los más grandes generales de la historia, nació en 356
a.C. y murió en 323 a.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso?
(– 323) – (– 356) = 356 – 323 = 33
Murió a los 33 años.
Para calcular cuánto tiempo hace que murió Alejandro Magno, se suman 323 años
al año actual.
46
El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus
finanzas a lo largo del año:
ENERO-MAYO 8 Pérdidas de 2 475 € mensuales.
JUNIO-AGOSTO 8 Ganancias de 8 230 € mensuales.
SEPTIEMBRE 8 Ganancias de 1 800 €.
OCTUBRE-DICIEMBRE 8 Pérdidas de 3 170 € mensuales.
¿Cuál fue el balance final del año?
(– 2 475) · 5 + 8 230 · 4 + 1 800 – (–3 170) · 3 = 12 835
En el año ganó 12 835 €.
Unidad 4. Los números enteros
4
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
47
Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el saldo que tenía el 6 de noviembre, sabiendo que el 15 de octubre se cerró con un saldo de 250 €.
BANCO KOKO
EXTRACTO DE MOVIMIENTOS
nº de cuenta.....................................
FECHA
D
16 - X
150 €
H
25 - X
2€
31 - X
1284 €
2 - XI
84 €
CONCEPTO
Extracción cajero
Devolución comisión
Abono nómina
Gasto tarjeta comercio
3 - XI
100 €
Extracción cajero
3 - XI
572 €
Préstamo hipotecario
5 - XI
65 €
Recibo luz
Su saldo era de 250 – (150 + 84 + 100 + 572 + 65) + (2 + 1 284) = 565 €.
Unidad 4. Los números enteros
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
E l sistema de numeración decimal
1
Escribe cómo se leen.
a) 13,4
b) 0,23
d) 0,0017
e) 0,0006
c) 0,145
f) 0,000148
a) Trece unidades y cuatro décimas.
b) Veintitrés centésimas.
c) Ciento cuarenta y cinco milésimas.
d) Diecisiete diezmilésimas.
e) Seis diezmilésimas.
f ) Ciento cuarenta y ocho millonésimas.
2
Escribe con cifras.
a) Treinta y siete unidades y dos décimas.
b) Ocho centésimas.
c) Cinco unidades y cuarenta y dos milésimas.
d) Ciento veinte cienmilésimas.
e) Ochenta y tres millonésimas.
a) 37,2
d) 0,00120
3
b) 0,08
e) 0,000083
c) 5,042
Observa la tabla y contesta.
D
U,
1
6
d
c
m
3
2
0
8
0
0
dm
5
0
0
0
0
0
a) ¿Cuántas centésimas son 320 milésimas?
b) ¿Cuántas centésimas hay en 18 décimas?
c) ¿Cuántas centésimas son 500 diezmilésimas?
d) ¿Cuántas diezmilésimas hay en 6 unidades?
a) 32
4
b) 180
Expresa en décimas.
a) 6 decenas.
b) 27 unidades.
a) 6 decenas = 600 décimas
c) 200 centésimas = 20 décimas
Unidad 5. Los números decimales
c) 5
d) 60 000
c) 200 centésimas.
d) 800 milésimas.
b) 27 unidades = 270 décimas
d) 800 milésimas = 8 décimas
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
O rden. Representación. Redondeo
5
Ordena de menor a mayor en cada caso:
a) 1,4
b) –0,6
1,390
0,9
)
៣
1,39
–0,8
1,399
2,07
a) 1,390 < 1,399 < 1,39 < 1,4 < 1,41
6
b) –1,03 < –0,8 < –0,6 < 0,9 < 2,07
Asocia a cada letra un número:
A
R
A = 5,9
M = 2,28
R = 5,277
B
6
M
7
1,41
–1,03
N
2,3
D
C
6,5
O
S
5,28
5,29
B = 6,3
N = 2,34
S = 5,285
C = 6,8
O = 2,37
T = 5,293
P
T
E
Q
2,4
U
V
D=7
P = 2,39
U = 5,296
Intercala tres decimales entre los de cada pareja:
a) 3,3 y 3,7
b) 6,6 y 6,7
c) 7,01 y 7,02
E = 7,1
Q = 2,43
V = 5,3
d) 2 y 2,01
Por ejemplo:
a) 3,3 < 3,4 < 3,5 < 3,6 < 3,7
c) 7,01 < 7,012 < 7,015 < 7,018 < 7,02
8
Aproxima primero a las décimas y después a las centésimas.
a) 6,423
b) 6,072
c) 5,169
d) 4,786
e) 2,651
f) 9,2556
a) 6,4
6,42
d) 4,8
4,79
10
b) 6,6 < 6,62 < 6,65 < 6,68 < 6,7
d) 2 < 2,002 < 2,005 < 2,008 < 2,01
b) 6,1
6,07
e) 2,7
2,65
c) 5,2
5,17
f ) 9,3
9,26
Aproxima a las unidades, a las décimas y a las centésimas.
a) 2,499
b) 1,992
c) 0,999
a) 2
2,5
2,50
Unidad 5. Los números decimales
b) 2
2,0
1,99
c) 1
1,0
1,00
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
S umas y restas
11
Calcula mentalmente.
a) ¿Cuánto le falta a 4,7 para valer 5?
b) ¿Cuánto le falta a 1,95 para valer 2?
c) ¿Cuánto le falta a 7,999 para llegar a 8?
a) 0,3
12
c) 0,001
Realiza estas operaciones:
a) 13,04 + 6,528
b) 2,75 + 6,028 + 0,157
c) 4,32 + 0,185 – 1,03
d) 6 – 2,48 – 1,263
a) 19,568
13
b) 0,05
b) 8,935
c) 3,475
d) 2,257
Opera las expresiones siguientes:
a) 5 – (0,8 + 0,6)
b) 2,7 – (1,6 – 0,85)
c) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75)
d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6)
a) 5 – (0,8 + 0,6) = 5 – 1,4 = 3,6
b) 2,7 – (1,6 – 0,85) = 2,7 – 0,75 = 1,95
c) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75) = 5,61 – 1,05 = 4,56
d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6) = 2,03 – 1,08 = 0,95
15
Obtén con ayuda de la calculadora.
a) 6,712 – (2,865 + 1,627)
b) 7,138 – (6,254 – 2,916)
c) (2,574 + 3,018) – (6,6 – 5,548)
d) (2,754 – 1,963) – (1,296 – 0,605)
a) 2,22
b) 3,8
c) 4,54
d) 0,1
M ultiplicación y división
16
Multiplica.
a) 0,6 · 0,4
d) 15 · 0,007
b) 0,03 · 0,005
e) 2,65 · 1,24
c) 1,3 · 0,08
f) 0,25 · 0,16
a) 0,24
d) 0,105
b) 0,00015
e) 3,286
c) 0,104
f ) 0,04
Unidad 5. Los números decimales
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
17
18
Calcula el cociente:
— Con una cifra decimal.
a) 19 : 7
b) 5 : 12
c) 9 : 16
— Con dos cifras decimales.
d) 8,2 : 3
e) 1,5 : 6
f) 0,7 : 18
a) 2,7
d) 2,73
c) 0,5
f ) 0,03
Calcula el cociente con dos cifras decimales, si las hay.
a) 12 : 0,9
b) 4 : 0,25
c) 15 : 18,3
d) 42 : 0,07
a) 13,33
19
b) 0,4
e) 0,25
b) 16
b) 47,5
e) 0,34
c) 1,64
f ) 37,39
Multiplica y divide mentalmente por la unidad seguida de ceros.
a) 5 · 10
b) 5 : 10
c) 0,7 · 100
d) 0,7 : 100
e) 62,4 · 1 000
f) 62,4 : 1 000
g) 0,12 · 10
h) 0,12 : 10
i) 0,002 · 100
j) 0,002 : 100
k) 0,125 · 1 000
l) 0,125 : 1 000
a) 50
e) 62 400
i) 0,2
21
b) 0,5
f ) 0,0624
j) 0,00002
c) 70
g) 1,2
k) 125
Multiplica, fíjate en los resultados y reflexiona.
a) 6 · 0,5
b) 10 · 0,5
d) 0,8 · 0,5
e) 1,4 · 0,5
¿Qué observas?
a) 3
b) 5
c) 11
d) 0,4
e) 0,7
Multiplicar por 0,5 es lo mismo que dividir entre 2.
22
d) 600
Calcula el cociente (no saques más de dos cifras decimales).
a) 0,8 : 0,3
b) 1,9 : 0,04
c) 5,27 : 3,2
d) 0,024 : 0,015
e) 2,385 : 6,9
f) 4,6 : 0,123
a) 2,66
d) 1,6
20
c) 0,81
Divide, fíjate en los resultados y reflexiona.
a) 3 : 0,5
b) 5 : 0,5
d) 0,4 : 0,5
e) 0,7 : 0,5
¿Qué observas?
a) 6
b) 10
c) 22
d) 0,8
e) 1,4
Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2.
Unidad 5. Los números decimales
d) 0,007
h) 0,012
l) 0,000125
c) 22 · 0,5
f) 4,2 · 0,5
f ) 2,1
c) 11 : 0,5
f) 2,1 : 0,5
f ) 4,2
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
O peraciones combinadas
24
Opera.
a) 4 · 0,6 – 0,3 · 5 + 0,5 · 0,6
b) 3 – 2,5 · 0,4 + 1,6 · 3
c) 1,2 – 0,75 · 6 + 0,5 · 1,8
a) 4 · 0,6 – 0,3 · 5 + 0,5 · 0,6 = 2,4 – 1,5 + 0,3 = 2,7 – 1,5 = 1,2
b) 3 – 2,5 · 0,4 + 1,6 · 3 = 3 – 1 + 4,8 = 7,8 – 1 = 6,8
c) 1,2 – 0,75 · 6 + 0,5 · 1,8 = 1,2 – 4,5 + 0,9 = 2,1 – 4,5 = –2,4
26
Calcula.
a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2)
b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02)
c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97)
a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2) = 1,9 + 2 · (–0,9) = 1,9 – 1,8 = 0,1
b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02) = 0,36 – 1,3 · 0,2 = 0,36 – 0,26 = 0,1
c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97) = 2,5 – 1,25 · 1,6 = 2,5 – 2 = 0,5
R aíz cuadrada
28
29
Calcula mentalmente.
a) √ 0,04
b) √ 0,16
c) √ 0,36
d) √ 0,0009
e) √ 0,0025
f) √ 0,0081
a) 0,2
d) 0,03
b) 0,4
e) 0,05
c) 0,6
f ) 0,09
Copia y completa para calcular, con una cifra decimal, √ 38 y √ 5,7 .
,
√ 3 8, 0 0
–3 6
12
·
0 2
– 1 2 1
0
Unidad 5. Los números decimales
,
√ 5, 7 0
–4
4
·
1
0
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
√ 3 8, 0 0 6 , 1
–3 6
12 1 · 1
1 7 0
1 2 9
0 4 1
0 2 0 0
– 1 2 1
0 7 9
30
31
Calcula con una cifra decimal.
a) √ 5,76
b) √ 32,8
c) √ 138,85
a) 2,4
c) 11,7
b) 5,7
Calcula con lápiz y papel, sacando dos cifras decimales, y después comprueba con la calculadora.
a) √ 42
b) √ 230
c) √ 1 425
a) 6,48
32
√ 5, 7 0 2 , 3
–4
4 3 · 3
b) 15,16
c) 37,74
Halla con la calculadora y después redondea a las centésimas.
a) √ 78
b) √ 428
c) √ 1 365
a) √ 78 = 8,8317… ≈ 8,83
b) √ 428 = 20,6881… ≈ 20,69
c) √ 1 365 = 36,9459… ≈ 36,95
P roblemas
33
Con una cinta de 20 metros se han confeccionado 25 lazos iguales. ¿Cuánto mide el trozo de cinta que lleva un lazo?
Mide 20 : 25 = 0,8 m = 80 cm.
34
Carmen ha comprado una blusa y una falda por 89 € . Si la falda cuesta el
triple que la blusa, ¿cuánto le ha costado cada una de las prendas?
89 : 4 = 22,25
La falda ha costado 22,25 · 3 = 66,75 € .
La blusa ha costado 22,25 € .
35
¿Cuántos litros de perfume se necesitan para llenar 1 000 frascos de 33 mililitros?
Se necesitan 33 · 1 000 = 33 000 ml = 33 l.
36
Cuatro tazas pesan lo mismo que cinco vasos. Si cada taza pesa 0,115 kg,
¿cuánto pesa cada vaso?
Cuatro tazas pesan 0,115 · 4 = 0,46 kg = 460 g.
Un vaso pesa 460 : 5 = 92 g.
Unidad 5. Los números decimales
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
37
En el polideportivo hemos visto que:
— Siete pasos de Juan equivalen a cuatro saltos de Ana.
— Tres saltos de Ana equivalen a 5 pasos de Rosa.
— Un paso de Rosa mide 0,63 metros.
¿Cuánto mide un paso de Juan?
Cinco pasos de Rosa
Un salto de Ana 8
Cuatro saltos de Ana
Un paso de Juan 8
38
8 0,63 · 5 = 3,15 m
3,15 : 3 = 1,05 m
8 1,05 · 4 = 4,2 m
4,2 : 7 = 0,6 m
Manuel ha comprado 2,60 kg de manzanas y 850 g de fresas. ¿Cuánto le
devuelven si paga con un billete de 10 € ?
1,35 €/kg
2,80 €/kg
Paga: 2,60 · 1,35 + 0,85 · 2,80 = 5,89 €
Le devuelven: 10 – 5,89 = 4,11 €
39
En el obrador de una industria de bollería se fabrican todos los días, para
una cadena de supermercados, 2 000 bollos suizos a 0,45 € la unidad; 1 500
magdalenas a 0,8 € cada una y 1 000 ensaimadas a 1,03 € la unidad. ¿A cuánto
asciende la factura diaria por estos productos?
Asciende a 2 000 · 0,45 + 1 500 · 0,8 + 1 000 · 1,03 = 3 130 € .
40
Una merluza de kilo y cuarto ha costado 15,75 €. ¿A cómo está el kilo?
¿Cuánto costará otra merluza que pesa un kilo y cuatrocientos gramos?
15,75 : 1,250 = 12,6
Un kilo de merluza cuesta 12,6 € .
1,400 · 12,6 = 17,64
Una merluza de 1,4 kg costará 17,64 € .
41
Una nave de exposiciones mide 20,65 m de ancho y 35,1 m de largo.
¿Cuánto costará cubrir el suelo de la nave con una moqueta que cuesta 9,70 e el
metro cuadrado?
20,65 · 35,1 = 724,815 m2
724,815 · 9,70 = 7 030,7055
La moqueta costará 7 030,71 € .
Unidad 5. Los números decimales
5
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
42
Rosa y Javier compran en el supermercado:
— Cinco cajas de leche a 1,05 € la caja.
— Una bolsa de bacalao de 0,920 kg a 13,25 €/kg.
— Un paquete de galletas que cuesta 2,85 €.
— Un cuarto de kilo de jamón a 38,40 €/kg.
¿Cuánto pagan en caja por la compra?
5 · 1,05 + 0,92 · 13,25 + 2,85 + 38,4 : 4 = 29,89
Rosa y Javier pagan 29,89 € .
43
Un comerciante del sector de la confección compra 125 vestidos a 13,20
euros cada uno.
¿A qué precio debe ponerlos a la venta, sabiendo que retira cinco unidades para el
escaparate y que desea ganar 450 € con la mercancia?
Gasta 8 125 · 13,2 = 1 650 €
Debe recaudar 8 1 650 + 450 = 2 100 €
Vende 8 125 – 5 = 120 vestidos
Precio de venta de un vestido:
2 100 : 120 = 17,5 €
Unidad 5. Los números decimales
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
U nidades de longitud
1
Indica en cada longitud la unidad adecuada para expresarla:
a) Longitud de un lapicero.
b) Radio de un átomo.
c) Altura de una casa.
d) Distancia entre dos estrellas.
a) Centímetros
c) Metros
2
b) Ángstrom
d) Años luz
Copia y completa la tabla siguiente:
EN
DECÍMETROS
2m
8
EN
CENTÍMETROS
20
0,4 m
8
0,018 m 8
3
EN
MILÍMETROS
18
EN
DECÍMETROS
EN
CENTÍMETROS
EN
MILÍMETROS
20
200
2 000
4
40
400
0,18
1,8
18
Copia y completa.
a) 2,7 hm = ... km = ... dam = ... dm
b) 2 380 m = ... km = ... hm = ... cm
c) 47 m = ... dam = ... dm = ... hm
d) 382 cm = ... m = ... dm = ... mm
a) 2,7 hm = 0,27 km = 27 dam = 2 700 dm
b) 2 380 m = 2,38 km = 23,8 hm = 238 000 m
c) 47 m = 4,7 dam = 470 dm = 0,47 hm
d) 382 cm = 3,82 m = 38,2 dm = 3 820 mm
4
Expresa en metros.
a) 3 km 8 hm 5 dam
b) 8 dam 5 m 7 cm
c) 1 m 4 dm 6 cm 7 mm
a) 3 km 8 hm 5 dam = 3 000 m + 800 m + 50 m = 3 850 m
b) 8 dam 5 m 7 cm = 80 m + 5 m + 0,07 m = 85,07 m
c) 1 m 4 dm 6 cm 7 mm = 1 m + 0,4 m + 0,06 m + 0,007 m = 1,467 m
Unidad 6. El sistema métrico decimal
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
5
Expresa en centímetros.
a) 5 dam 6 m 3 dm 4 cm
c) 2 m 5 cm 4 mm
b) 3 m 8 dm 7 cm 9 mm
a) 5 dam 6 m 3 dm 4 cm = 5 000 cm + 600 cm + 30 cm + 4 cm = 5 634 cm
b) 3 m 8 dm 7 cm 9 mm = 300 cm + 80 cm + 7 cm + 0,9 cm = 387,9 cm
c) 2 m 5 cm 4 mm = 200 m + 5 cm + 0,4 cm = 205,4 cm
6
Calcula y expresa cada resultado en la unidad que se indica:
a) 27,46 dam + 436,9 dm 8 m
b) 0,83 hm + 9,4 dam + 3 500 cm 8 m
c) 0,092 km + 3,06 dam + 300 mm 8 cm
d) 0,000624 km – 0,38 m 8 cm
a) 27,46 dam + 436,9 dm = 274,6 m + 43,69 m = 318,29 m
b) 0,83 hm + 9,4 dam + 3 500 cm = 83 m + 94 m + 35 m = 212 m
c) 0,092 km + 3,06 dam + 300 mm = 9 200 cm + 3 060 cm + 30 cm = 12 290 cm
d) 0,000624 km – 0,38 m = 62,4 cm – 38 cm = 24,4 cm
7
Elige la medida adecuada en cada caso:
a) Altura de una persona.
b) Grosor de un diccionario.
— 0,01 km
— 0,06 m
— 0,01 hm
— 0,18 dm
— 90 dm
— 0,5 cm
— 180 cm
— 7 mm
a) 180 cm
b) 0,06 m = 6 cm
U nidades de peso
8
Nombra la unidad adecuada para expresar el peso de:
a) La carga de un barco.
b) Un elefante.
c) Un bolígrafo.
d) Un grano de arroz.
a) Toneladas
9
b) Kilogramos
c) Gramos
d) Miligramos
Pasa a gramos.
a) 1,37 kg
d) 1,8 dag
g) 18,9 dg
b) 0,7 kg
e) 0,63 dag
h) 480 cg
c) 0,57 hg
f) 5 dg
i) 2 500 mg
a) 1,37 kg = 1 370 g
d) 1,8 dag = 18 g
g) 18,9 dg = 1,89 g
b) 0,7 kg = 700 g
e) 0,63 dag = 6,3 g
h) 480 cg = 4,8 g
c) 0,57 hg = 57 g
f ) 5 dg = 0,5 g
i) 2 500 mg = 2,5 g
Unidad 6. El sistema métrico decimal
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
10
11
Expresa en toneladas.
a) 15 000 kg
c) 400 kg
b) 8 200 kg
d) 1 kg
a) 15 000 kg = 15 t
c) 400 kg = 0,4 t
b) 8 200 kg = 8,2 t
d) 1 kg = 0,001 t
Copia y completa.
a) 5,4 t = ... kg = ... hg = ... dag
c) 7 hg = ... dag = ... g = ... dg
b) 0,005 kg = ... g = ... mg = ... dag
d) 42 g = ... dag = ... cg = ... mg
a) 5,4 t = 5 400 kg = 54 000 hg = 540 000 dag
b) 0,005 kg = 5 g = 5 000 mg = 0,5 dag
c) 7 hg = 70 dag = 700 g = 7 000 dg
d) 42 g = 4,2 dag = 4 200 cg = 42 000 mg
12
Expresa en gramos.
a) 4 kg 5 hg 2 dag 3 g
c) 6 dag 8 g 6 dg 8 cg
b) 9 hg 8 dag 5 g 4 dg
d) 7 dg 6 mg
a) 4 kg 5 hg 2 dag 3 g = 4 000 g + 500 g + 20 g + 3 g = 4 523 g
b) 9 hg 8 dag 5 g 4 dg = 900 g + 80 g + 5 g + 0,4 g = 985,4 g
c) 6 dag 8 g 6 dg 8 cg = 60 g + 8 g + 0,6 g + 0,08 g = 68,68 g
d) 7 dg 6 mg = 0,7 g + 0,006 g = 0,706 g
13
Pasa a forma compleja.
a) 4,225 kg
b) 38,7 g
c) 1 230 cg
d) 4 623 mg
a) 4,225 kg = 4 kg 2 hg 2 dag 5 g
b) 38,7 g = 3 dag 8 g 7 dg
c) 1 230 cg = 1 dag 2 g 3 dg
d) 4 624 mg = 4 g 6 dg 2 cg 3 mg
14
Calcula y expresa en forma compleja.
a) 57,28 g + 462 cg
b) 0,147 t – 83,28 kg
c) 1,24 g – 6,18 dg + 378 mg
d) 0,472 kg · 15
e) 324,83 hg : 11
a) 57,28 g + 462 cg = 57,28 g + 4,62 g = 61,9 g = 6 dag 1 g 9 dg
b) 0,147 t – 83,28 kg = 147 kg – 83,28 kg = 63,72 kg = 63 kg 7 hg 2 dag
c) 1,24 g – 6,18 dg + 378 mg = 1,24 g – 0,618 g + 0,378 g = 1 g
d) 0,472 kg · 15 = 7,08 kg = 7 kg 8 dag
e) 324,83 hg : 11 = 29,53 hg = 2 kg 9 hg 5 dag 3 g
Unidad 6. El sistema métrico decimal
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
15
Hemos comprobado que una cucharada de arroz pesa 22 dg y contiene 66
granos. ¿Cuántos granos entran en un kilo de arroz?
Como 66 granos de arroz pesan 22 dg, cada grano pesa 66 : 22 = 3 dg.
En un kilo de arroz hay 10 000 dg.
Por tanto, en un kilo de arroz hay 3 · 10 000 = 30 000 granos de arroz.
U nidades de capacidad
16
Nombra la unidad adecuada para medir la capacidad de:
a) Un dedal.
b) Un cántaro.
c) Un bote de refresco.
d) Un camión cisterna.
a) Mililitro
c) Centilitro
17
18
19
b) Litro
d) Hectolitro
Copia y completa.
a) 1 kl = ... l
d) 1 dl = ... l
b) 1 hl = ... l
e) 1 cl = ... l
c) 1 dal = ... l
f) 1 ml = ... l
a) 1 kl = 1 000 l
d) 1 dl = 0,1 l
b) 1 hl = 100 l
e) 1 cl = 0,01 l
c) 1 dal = 10 l
f ) 1 ml = 0,001 l
Expresa en centilitros.
a) 0,15 hl
c) 0,7 l
e) 26 dl
b) 0,86 dal
d) 1,3 l
f) 580 ml
a) 0,15 · 10 000 = 1 500 cl
c) 0,7 · 100 = 700 cl
e) 26 · 10 = 260 cl
b) 0,86 · 1 000 = 860 cl
d) 1,3 · 100 = 130 cl
f ) 580 : 10 = 58 cl
Copia y completa.
a) 4,52 kl = ... hl
c) 15 dal = ... l
e) 850 ml = ... dl
g) 2 000 ml = ... dl
b) 0,57 hl = ... dal
d) 0,6 l = ... cl
f) 1 200 cl = ... l
h) 380 dal = ... kl
a) 4,52 kl = 45,2 hl
c) 15 dal = 150 l
e) 850 ml = 8,5 dl
g) 2 000 ml = 20 dl
b) 0,57 hl = 5,7 dal
d) 0,6 l = 60 cl
f ) 1 200 cl = 12 l
h) 380 dal = 3,8 kl
Unidad 6. El sistema métrico decimal
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
20
21
Traduce a litros.
a) 8 kl 6 hl 3 l
c) 1 dal 9 l 6 dl 3 cl
b) 5 hl 2 dal 7 l 2 dl
d) 4 l 2 dl 5 cl 7 ml
a) 8 603 l
c) 19,63 l
b) 527,2 l
d) 4,257 l
Calcula y expresa el resultado en litros.
a) 0,05 kl + 1,2 hl + 4,7 dal
b) 42 dl + 320 cl + 2 600 ml
c) 7,8 dal – 52,4 l
a) 50 l + 120 l + 47 l = 217 l
b) 4,2 l + 3,2 l + 2,6 l = 10 l
c) 78 l – 52,4 l = 25,6 l
22
¿Cuántos frascos de perfume de 12 cl se llenan con un bidón de 15 litros?
Se llenan 15 l : 12 cl = 1 500 cl : 12 cl = 125 frascos.
23
Sabiendo que un litro de agua pesa 1 kg, expresa en toneladas el peso del
agua que cabe en una cisterna de 52,4 hl de capacidad.
52,4 hl = 5 240 l 8 5 240 kg
5 240 kg = 5,24 t
El agua que cabe en la cisterna pesa 5,24 toneladas.
U nidades de superficie
24
Asocia cada superficie con la unidad adecuada para expresar su medida:
a) Una hoja de papel.
b) El suelo de una vivienda.
c) El ala de una abeja.
d) La Península Ibérica.
a) Centímetro cuadrado
c) Milímetro cuadrado
25
km2
cm2
m2
mm2
b) Metro cuadrado
d) Kilómetro cuadrado
Copia y completa.
a) 1 km2 = ... m2
d) 1 m2 = ... cm2
b) 1 m2 = ... dm2
e) 1 dam2 = ... m2
c) 1 hm2 = ... m2
f) 1 m2 = ... mm2
a) 1 km2 = 1 000 000 m2
d) 1 m2 = 10 000 cm2
b) 1 m2 = 100 dm2
e) 1 dam2 = 100 m2
c) 1 hm2 = 10 000 m2
f ) 1 m2 = 1 000 000 mm2
Unidad 6. El sistema métrico decimal
6
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
26
27
28
Copia y completa.
a) 4 km2 = ... dam2
d) 0,7 dm2 = ... mm2
b) 54,7 hm2 = ... m2
e) 5 400 m2 = ... hm2
c) 0,005 dam2 = ... dm2
f) 174 cm2 = ... dm2
a) 4 km2 = 40 000 dam2
d) 0,7 dm2 = 70 cm2
b) 54,7 hm2 = 547 000 m2
e) 5 400 m2 = 0,54 hm2
c) 0,005 dam2 = 50 dm2
f ) 174 cm2 = 1,74 dm2
Pasa a decímetros cuadrados.
a) 0,146 dam2
b) 1,4 m2
d) 1 800 cm2
e) 544 cm2
c) 0,36 m2
f) 65 000 mm2
a) 1 460 dm2
d) 18 dm2
c) 36 dm2
f ) 6,5 dm2
b) 140 dm2
e) 5,44 dm2
Opera y expresa en metros cuadrados.
a) 1 hm2 52 dam2 27 dm2 60 cm2
b) 0,00375 km2 + 2 500 cm2
c) 0,045 hm2 – 29,5 m2 d) 520 mm2 · 1 500
e) 6,96 hm2 : 24
a) 15 200,2760 m2
c) 450 m2 – 29,5 m2 = 420,5 m2
e) 69 600 m2 : 24 = 2 900 m2
29
30
b) 3 750 m2 + 0,25 m2 = 3 750,25 m2
d) 0,00052 m2 · 1 500 = 0,78 m2
Expresa en forma compleja.
a) 248 750 dam2
c) 83 545 cm2
b) 67 425 m2
d) 2 745 600 mm2
a) 24 km2 87 hm2 50 dam2
c) 8 m2 35 dm2 45 cm2
b) 6 hm2 74 dam2 25 m2
d) 2 m2 74 dm2 56 cm2
Calcula y expresa en forma compleja.
a) 725,93 m2 – 0,985 dam2
b) 0,03592 km2 + 27,14 ha + 3 000 a
c) 467 108,23 dam2 : 30
d) (15 hm2 16 dam2 38 m2 ) · 30
a) 725,93 m2 – 98,5 m2 = 627,43 m2 = 6 dam2 27 m2 43 dm2
b) 3,592 hm2 + 27,14 hm2 + 30 hm2 = 60,732 hm2 = 60 hm2 73 dam2 20 m2
c) 467 108,23 dam2 : 30 = 15 570,274 dam2 = 1 km2 55 hm2 70 dam2 27 m2 40 dm2
d) 151 638 m2 · 30 = 4 549 140 m2 = 4 km2 54 hm2 91 dam2 40 m2
31
32
Expresa en hectáreas.
a) 572 800 a
b) 50 700 m2
c) 25,87 hm2
d) 6,42 km2
a) 5 728 ha
c) 25,87 ha
d) 642 ha
b) 5,07 ha
Si una fanega de tierra son 6 500 m2, ¿cuántas fanegas son 13 hectáreas?
13 ha = 130 000 m2 = (130 000 : 6 500) fanegas = 20 fanegas
Unidad 6. El sistema métrico decimal
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
L a fracción: parte de la unidad
1
¿Qué fracción se ha coloreado en cada figura?:
1
2
2
11
15
8 =2
12 3
Colorea en cada triángulo la fracción indicada:
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
L a fracción de un número
3
Calcula mentalmente en el orden en que aparecen.
1
3
a) de 12
b) de 12
4
4
d)
2
de 15
5
a) 3
4
e)
b) 9
c) 3
1
de 30
6
d) 6
c)
1
de 15
5
f)
5
de 30
6
e) 5
f ) 25
Calcula mentalmente.
a) 2 de 9
3
d)
2
de 14
7
a) 3 · 2 = 6
d) 2 · 2 = 4
Unidad 7. Las fracciones
b)
4
de 20
5
c)
3
de 80
4
e)
5
de 60
6
f)
5
de 400
8
b) 4 · 4 = 16
e) 10 · 5 = 50
c) 20 · 3 = 60
f ) 50 · 5 = 250
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
5
Calcula.
a) 2 de 192
3
b)
4
de 375
5
c)
3
de 749
7
d)
3
de 332
4
e)
5
de 1 096
8
f)
4
de 153
9
g)
6
de 1 430
11
h)
5
de 1 040
13
i)
7
de 2 196
12
a) (192 : 3) · 2 = 64 · 2 = 128
b) (375 : 5) · 4 = 75 · 4 = 300
c) (749 : 7) · 3 = 107 · 3 = 321
d) (332 : 4) · 3 = 83 · 3 = 249
e) (1 096 : 8) · 5 = 137 · 5 = 685
f ) (153 : 9) · 4 = 17 · 4 = 68
g) (1 430 : 11) · 6 = 130 · 6 = 780
h) (1 040 : 13) · 5 = 80 · 5 = 400
i) (2 196 : 12) · 7 = 183 · 7 = 1 281
6
Calcula mentalmente y completa.
a) Los 3 de … valen 15. b) Los 2 de … valen 40.
4
3
a) Los 3 de 20 valen 15. b) Los 2 de 60 valen 40.
4
3
c) Los 4 de … valen 20.
5
c) Los 4 de 25 valen 20.
5
F racciones y números decimales
7
Transforma cada fracción en número decimal.
1
7
a)
b) 9
c) 17
d)
10
2
10
10
e) 5
4
a) 1 : 10 = 0,1
d) 7 : 2 = 3,5
)
g) 7 : 3 = 2,3
8
f) 5
8
g)
7
3
b) 9 : 10 = 0,9
e) 5 : 4 = 1,25
)
h) 5 : 9 = 0,5
h) 5
9
c) 17 : 10 = 1,7
f ) 5 : 8 = 0,625
)
i) 7 : 6 = 1,16
Expresa cada decimal en forma de fracción.
a) 0,6
b) 1,7
d) 0,04
e) 0,21
c) 2,5
f) 1,25
a) 6 = 3
10 5
d) 4 = 1
100 25
c) 25 = 5
10 2
f ) 125 = 5
100 4
Unidad 7. Las fracciones
b) 17
10
e) 21
100
i) 7
6
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
9
Ordena de menor a mayor.
3
4
4
5
5
7
3
10
7
8
3 < 5 < 3 < 4 < 7
10
7
4
5
8
|
|
|
|
|
0,3 0,71… 0,75 0,8 0,875
F racciones equivalentes
10
Escribe tres fracciones equivalentes en cada caso:
1
4
2
a)
b)
c) 4
d)
e) 4
2
3
6
5
8
f) 12
18
Por ejemplo:
a) 2 = 3 = 4
4 6 8
b) 8 = 12 = 20
6 9 15
c) 8 = 12 = 20
10 15 25
d) 1 = 3 = 4
3 9 12
e) 1 = 2 = 3
2 4 6
f) 6 = 2 = 4
9 3 6
11
Busca pares de fracciones equivalentes.
1
12
4
3
3
12
4
15
5
12
4
28
1= 3
4 12
12
3 = 15
4 20
15
20
3 = 12
7 28
Simplifica.
a)
13
12 = 4
15 5
3
7
2
4
b)
10
14
c) 5
15
d) 18
22
21
28
h) 22
33
e) 5
25
f) 6
27
g)
a) 1
2
b) 5
7
c) 1
3
d) 9
11
e) 1
5
f) 2
9
g) 3
4
h) 2
3
Obtén la fracción irreducible.
30
20
200
a)
b)
c) 56
d)
45
60
800
80
e) 300
140
f) 165
330
a) 2
3
e) 15
7
f) 1
2
b) 1
3
Unidad 7. Las fracciones
c) 7
10
d) 1
4
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
14
Calcula el valor de x en cada caso:
3 6
b) 9 = 18
a) =
5 x
x
8
c)
d) x = 15
10 50
5 2
=
x 6
a) x = 5 · 6 = 10
3
b) x = 8 · 9 = 4
18
c) x = 5 · 6 = 15
2
d) x = 10 · 15 = 3
50
P roblemas
15
Resuelve mentalmente.
a) ¿Qué fracción de los dados son rojos?
b) ¿Qué fracción de los azules están apilados en columna?
c) ¿Qué fracción de la semana son tres días?
d) En una clase de 24 alumnos, 8 juegan al tenis. ¿Qué fracción juega al tenis?
e) El 25% de las flores de un jardín son rosas. ¿Qué fracción son rosas?
f) Víctor tenía 30 € y ha gastado dos quintas partes. ¿Cuánto ha gastado?
g) Ana ha gastado 2/3 de su dinero y aún le quedan 4 €. ¿Cuánto tenía?
16
a) 2 = 1
6 3
b) 2 = 1
4 2
c) 3
7
e) 25 = 1
100 4
f ) (30 : 5) · 2 = 12 €
d) 8 = 1
24 3
g) 4 · 3 = 12 €
¿Qué fracción de hora son 15 minutos? ¿Y 10 minutos? ¿Y 12 minutos?
15 minutos son 15 = 1 de hora.
60 4
10 minutos son 10 = 1 de hora.
60 6
12 minutos son 12 = 1 de hora.
60 5
Unidad 7. Las fracciones
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
17
Doce de cada veinte personas que van al circo son niños. ¿Qué fracción de
los asistentes al circo son niños?
12 = 3 de los asistentes al circo son niños.
20 5
18
Con un bidón de 20 litros se llenan 200 frascos de agua de colonia. ¿Qué
fracción de litro entra en cada frasco?
20 = 1
200 10
La capacidad de un frasco es de 1 de litro.
10
19
En un concurso-oposición aprueban 15 candidatos y suspenden 35. ¿Qué
fracción de los opositores ha aprobado?
15 = 15 = 3
15 + 35 50 10
Han aprobado 3 de los opositores.
10
20
Ana y Rosa han comprado un bolígrafo cada una. Ana ha gastado 4/5 de
un euro, y Rosa, 75 céntimos. ¿Cuál de los dos bolígrafos ha salido más caro?
El bolígrafo de Ana ha costado 4 € = 0,80 €.
5
Por tanto, es más caro que el de Rosa (0,75 €).
21
En una estantería hay 30 libros. Cinco sextas partes son novelas. ¿Cuántas novelas hay en la estantería?
5 de 30 = (30 : 6) · 5 = 25
6
En la estantería hay 25 novelas.
22
De un bidón de aceite de 40 litros se han extraído 3/8. ¿Cuántos litros se
han extraído?
Se han extraído 3 de 40 = (40 : 8) · 3 = 15 litros.
8
23
Julia compró un queso de 2 kilos y 800 gramos, pero ya ha consumido dos
quintos. ¿Cuánto pesa el trozo que queda?
Pesa 3 de 2 800 gramos = (2 800 : 5) · 3 = 1 680 gramos = 1,68 kg.
5
Unidad 7. Las fracciones
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
24
¿Cuánto cuestan tres cuartos de kilo de pastas de té, que están a 14 euros el
kilo?
3 de 14 = (14 : 4) · 3 = 10,5
4
Tres cuartos de kilo de pastas cuestan 10,50 €.
25
En una parcela de 800 metros cuadrados, se ha construido una casa que
ocupa 2/5 de la superficie y el resto se ha ajardinado. ¿Qué superficie ocupa la casa? ¿Y el jardín?
Casa 8 2 de 800 = 320 m2
5
26
Jardín 8 3 de 800 = 480 m2
5
De un pilón de riego de 45 000 litros, se han consumido siete octavas partes. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?
En el depósito quedan 1 de 45 000 litros que son 5 625 litros.
8
27
Un hotel tiene 80 habitaciones, de las que el 20% están vacías. ¿Qué fracción de las habitaciones están vacías? ¿Cuántas están vacías?
El hotel tiene 20 = 1 de las habitaciones vacías.
100 5
Habitaciones vacías 8 1 de 80 = 16 habitaciones
5
28
Tres kilos de pasteles se reparten en cinco bandejas. Cada bandeja se vende
por 6 euros. ¿A cómo se vende el kilo de pasteles?
Una bandeja 8 3 kg
5
3 de 1 kg 8 6 €
5
1 de 1 kg 8 6 : 3 = 2 €
5
1 kg = 5 de 1 kg 8 2 · 5 = 10 €
5
29
En este bidón hay 8 litros de agua. ¿Cuántos litros
caben en total en el bidón?
8 : 2 = 4 litros
4 · 5 = 20 litros en total
Unidad 7. Las fracciones
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
30
He comprado 2/5 de una empanada que han pesado 300 gramos. ¿Cuánto
pesaba la empanada completa?
Pesaba (300 : 2) · 5 = 750 gramos.
31
Tres cuartos de kilo de bacalao han costado 12 euros. ¿Cuánto cuesta un kilo?
Un kilo cuesta (12 : 3) · 4 = 16 €.
32
Una bolsa de arroz, de tres cuartos de kilo, cuesta 1,80 €. ¿A cómo sale el kilo?
El kilo sale a (180 : 3) · 4 = 2,4 €.
33
Se han sembrado de alfalfa los 4/5 de la superficie de una finca, y aún quedan 600 metros cuadrados sin sembrar. ¿Cuál es la superficie total de la finca?
La superficie total son 600 · 5 = 3 000 m2.
34
Rosario ha sacado 3/5 del dinero que tenía en la hucha y aún le quedan 14
euros. ¿Cuánto tenía antes de abrirla?
Quedan 2 del dinero, que son 14 €.
5
En total tenía (14 : 2) · 5 = 35 €.
Unidad 7. Las fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
R educción a común denominador
1
Reduce a común denominador.
a) 3 y 1
7 3
b) 3 y 2
4 5
c) 3 y 7
5 10
d) 5 y 7
12 18
e) 1 , 2 y 3
2 3 5
f) 1 , 3 y 5
2 4 8
g) 2 , 1 y 4
3 6 9
h) 2 , 3 y 11
5 10 15
a) 9 y 7
21 21
b) 15 y 8
20 20
c) 6 y 7
10 10
d) 15 y 14
36 36
e) 15 , 20 y 18
30 30 30
f) 4, 6 y 5
8 8 8
g) 12, 3 y 8
18 18 18
h) 12, 9 y 22
30 30 30
2
Reduce a común denominador y, después, ordena.
a) 5 ,
7
c) 5 ,
8
3, 1, 9
4 2 14
7 , 4, 2
12 9 3
b) 3 ,
4
d) 3 ,
4
4,
5
1,
2
7 , 13
10 12
2, 5
5 12
a) 14 < 18 < 20 < 21
28 28 28 28
b) 42 < 45 < 48 < 65
60 60 60 60
1< 9 <5<3
2 14 7 4
7 < 3 < 4 < 13
10 4 5 12
c) 32 < 42 < 45 < 48
72 72 72 72
d) 24 < 25 < 30 < 45
60 60 60 60
4< 7 <5<2
9 12 8 3
2< 5 <1<3
5 12 2 4
S uma y resta de fracciones
3
Calcula mentalmente.
a) 1 – 1
2
d) 1 + 1
2 2
b) 1 – 1
4
e) 3 – 1
4 2
c) 1 – 3
4
f) 1 – 1
4 8
a) 1
2
b) 3
4
c) 1
4
d) 1
e) 1
4
f) 1
8
Unidad 8. Operaciones con fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
4
Realiza estas sumas y restas:
a) 3 – 2
b) 1 +
4 3
8
d) 3 + 1
e) 5 –
8 2
8
g) 5 – 5
h) 3 +
4 6
4
j) 7 + 15
10 20
3
7
1
4
3
10
c) 2 +
7
f) 1 –
2
i) 7 –
6
1
3
3
14
5
9
a) 9 – 8 = 1
12 12 12
b) 7 + 24 = 31
56 56 56
c) 6 + 7 = 13
21 21 21
d) 3 + 4 = 7
8 8 8
e) 5 – 2 = 3
8 8 8
f) 7 – 3 = 4 = 2
14 14 14 7
g) 15 – 10 = 5
12 12 12
h) 15 + 6 = 21
20 20 20
i) 21 – 10 = 11
18 18 18
Calcula.
a) 1 + 4
10 15
d) 17 – 11
20 30
b) 3 + 5
8 12
e) 23 – 19
20 30
c) 13 –
12
f) 15 +
28
a) 3 + 8 = 11
30
30
b) 9 + 10 = 19
24
24
c) 39 – 22 = 17
36
36
d) 51 – 22 = 29
60
60
e) 69 – 38 = 31
60
61
f ) 45 – 40 = 5
84
84
b) 1 + 8 – 25
3 9 27
e) 2 + 7 – 11
5 10 15
h) 5 + 1 – 5 + 7
9 4 6 12
c) 2 – 3 +
2
f) 8 – 1 +
5
a) 4 – 2 + 3 = 5
8
8
b) 9 + 24 – 25 = 8
27
27
c) 12 – 9 + 1 = 4 = 2
6
6 3
d) 15 – 28 + 6 = –7
20
20
e) 12 + 21 – 22 = 11
30
30
f ) 24 – 15 + 13 = 22
15
15
g) 4 + 18 – 15 = 7
24
24
h) 20 + 9 – 30 + 21 = 20 = 5
36
36 9
j) 14 + 15 = 29
20 20 20
5
6
a) 1
2
d) 3
4
g) 1
6
Opera.
–1+3
4 8
–7+ 3
5 10
+3–5
4 8
Unidad 8. Operaciones con fracciones
11
18
10
21
1
6
13
15
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
8
Calcula.
a) 5 – 1 + 3
4
2 8
d) 1 – 1 – 1 – 2
5
3
g) 3 + 1 – 3 – 7
5 4
2 5
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
b) 3 – 1 – 7
5
10
e) 1 – 1 – 1 – 1
3
2 5
h) 3 – 5 – 2 – 7
3
5
( ) ( )
( ) ( )
( 13 ) – ( 12 – 13 )
( 56 ) – ( 14 + 23 )
c) 1 +
2
f) 1 +
2
a) 5 – 4 + 3 = 10 – 7 = 3
4
8
8
8
b) 3 – 3 = 6 – 3 = 3
5 10
10
10
c) 5 – 1 = 4 = 2
6 6 6 3
d) 4 – 1 = 12 – 5 = 7
5 3
15
15
e) 2 – 3 = 20 – 9 = 11
3 10
30
30
f ) 8 – 11 = 16 – 11 = 5
6 12
12
12
g) 17 – 1 = 17 – 2 = 15 = 3
20 10
20
20 4
h) 4 – 3 = 20 – 9 = 11
3 5
15
15
M ultiplicación y división de fracciones
9
10
Calcula y simplifica.
a) 4 · 1
b) 6 · 5
8
12
d) 3 · 2
e) 5 · 12
15
6
c) 4 · 9
3
f) 4 · 3
9
a) 4 = 1
8 2
b) 30 = 5
12 2
c) 36 = 12
3
d) 6 = 2
15 5
e) 60 = 10
6
f ) 12 = 4
9 3
Multiplica y reduce.
a) 2 · 5
b) 1 · 6
5 6
3 5
d) 8 · 9
e) 12 · 7
9 8
5 12
g) 7 · 5
h) 2 · 21
15 14
7 16
c) 4 ·
15
f) 10 ·
7
i) 13 ·
4
a) 10 = 1
30 3
b) 6 = 2
15 5
c) 20 = 1
120 6
d) 1
e) 7
5
f ) 10 = 2
15 3
g) 1 = 1
3·2 6
h) 3
8
i) 1
Unidad 8. Operaciones con fracciones
5
8
7
15
8
26
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
11
Calcula y reduce.
a) 1 : 5
6
d) 5 : 3
4
b) 1 : 3
8
e) 3 : 6
5
c) 1 : 3
3
f) 4 : 8
5
a) 6
5
d) 20
3
b) 8
3
e) 15 = 5
6 2
c) 1
9
f) 4 = 1
40 10
b) 1
3
e) 1
2
h) 2
7
c) 1 : 1
3 7
f) 15 : 3
12 10
i) 7 : 21
10 20
12
Divide y simplifica.
a) 2 :
5
d) 3 :
4
g) 5 :
3
2
5
1
2
1
6
:2
6
:4
5
: 6
14
a) 1
b) 6 = 1
6
c) 7
3
d) 6 = 3
4 2
e) 5
8
f ) 150 = 25
36
6
g) 30 = 10
3
h) 28 = 2
42 3
i) 140 = 2
210 3
13
Opera como en el ejemplo y compara los resultados de cada apartado.
( )
a) 3 : ( 1 · 3 ) ( 3 : 1 ) · 3
4 2 5
4 2 5
b) ( 2 : 3 ) · 1 2 : ( 3 · 1 )
7 7 2 7 7 2
c) 2 : ( 3 : 1 ) ( 2 : 3 ) : 1
5 5 2
5 5 2
• 2 : 3 · 1 = 2 : 3 = 20 = 4
5 5 2
5 10 15 3
a) 3 :
4
b) 2 ·
3
c) 2 :
5
3 = 30 = 5
10 12 2
1 =1
2 3
6 =1
5 3
Unidad 8. Operaciones con fracciones
6
4
2
7
2
3
· 3 = 18 = 9
5 20 10
: 3 =4
14 3
:1=4
2 3
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
O peraciones combinadas
15
17
19
Calcula.
a) 1 · 1 + 1
5 2 3
( )
d) 1 : ( 2 – 3 )
10 3 5
b) 1 : 1 – 1
4 2 4
( )
e) 3 · ( 1 – 1 )
4 3 9
( )
f) 7 : ( 1 + 2 )
9 6 9
a) 1 · 5 = 1
5 6 6
b) 1 : 1 = 1
4 4
c) 2 · 3 = 6 = 1
6 6
d) 1 : 1 = 3
10 15 2
e) 3 · 2 = 1
4 9 6
f) 7 : 7 = 2
9 18
c) 2 · 4 – 5
3 6
Calcula.
a) 1 – 1 : 1 + 1
5
5
( )( )
c) (1 – 3 ) : (1 – 4 )
2
3
e) ( 3 – 2 ) · (2 – 2 )
4 3
7
g) ( 4 – 2 ) : ( 4 – 1 )
3 5
5 2
( )( )
d) (1 + 1 ) · (2 – 16 )
8
9
f) ( 1 – 1 ) : (1 – 5 )
2 3
6
h) ( 2 – 1 ) : ( 1 – 1 )
3 2
3 5
a) 4 : 6 = 2
5 5 3
b) 3 · 1 = 1
5 6 10
c) (– 1) : (– 1) = 3
2
3
2
d) 9 · 2 = 9 · 1 = 1
8 18 8 9 8
e) 1 · 12 = 1
12 7 7
f) 1 : 1 = 1
6 6
g) 14 : 3 = 140 = 28
15 10 45
9
h) 1 : 2 = 15 = 5
6 15 12 4
b) 1 – 2 · 2 – 1
5
3 2
Calcula.
a) 1 – 1 ·
3
c) 1 – 5 ·
6 3
( 12 – 16 )
( 12 – 25 )
( )
( )
b) 9 – 2 : 1 + 1
10 5 2 6
d) 2 – 5 : 1 + 1
6 2 3
a) 1 – 1 · 2 = 1 – 1 = 8
3 6
9 9
b) 9 – 2 : 2 = 9 – 6 = 3
10 5 3 10 10 10
c) 1 – 5 · 1 = 1 – 1 = 0
6 3 10 6 6
d) 2 – 5 : 5 = 2 – 1 = 1
6 6
Unidad 8. Operaciones con fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
P roblemas
20
Un agricultor ha cosechado un campo de trigo en tres días. En el primer día
recolectó 3/7 de la finca; en el segundo día, 1/4, y en el tercero, el resto. ¿En cuál
de los tres días ha recolectado mayor cantidad de terreno?
3 + 1 = 12 + 7 = 19 8 En el tercer día recolectó 9 .
7 4
28
28
28
1 < 9 < 3 8 El segundo día ha recolectado una porción mayor.
4 28 7
21
Arancha abre una botella de aceite de 3/4 de litro y retira un vaso para la receta de un gazpacho. Si la capacidad del vaso es de 2/5 de litro, ¿cuánto aceite queda en la botella?
3 – 2 = 15 – 8 = 7
4 5
20
20
En la botella quedan 7 de litro.
20
22
La mitad de los habitantes de una aldea viven de la agricultura; la tercera
parte, de la ganadería, y el resto, de los servicios. ¿Qué fracción de la población vive
de los servicios?
1 + 1 = 5 8 Resto: 1
2 3 6
6
1 de los habitantes viven de los servicios.
6
23
Un pastor esquiló ayer los 3/8 de sus ovejas, y esta mañana, la quinta parte.
a) ¿Qué fracción del rebaño ha esquilado?
b) ¿Qué fracción queda por esquilar?
a) 3 + 1 = 15 + 8 = 23
8 5
40
40
Ha esquilado 23 del rebaño.
40
b) Quedan por esquilar los 17 del rebaño.
40
24
Un embalse estaba lleno a finales de mayo. En el mes de junio se consumieron 3/10 de sus reservas y a finales de julio solamente quedaba la mitad. ¿Qué
fracción del embalse se consumió en el mes de julio?
Junio terminó con 1 – 3 = 7 del embalse.
10 10
En julio se consumió 7 – 1 = 2 = 1 del embalse.
10 2 10 5
Unidad 8. Operaciones con fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
25
Un peregrino recorre 1/6 del camino en la primera semana, 1/3 en la segunda semana y 2/9 en la tercera. ¿Qué fracción del camino le queda por recorrer al
principio de la cuarta semana?
1 + 1 + 2 = 13
6 3 9 18
Le quedan por recorrer 5 del camino.
18
26
Una furgoneta de reparto carga 40 cajas de vino. Cada caja contiene 12 botellas de tres cuartos de litro. ¿Cuántos litros de vino van en la furgoneta?
En la furgoneta van 3 · 12 · 40 = 360 litros.
4
27
¿Cuántos litros de perfume se necesitan para llenar 100 frasquitos de 3/20
de litro?
Se necesitan 100 · 3 = 15 litros.
20
28
¿Cuántos frascos de perfume se llenan con un bidón de 15 litros, sabiendo
que la capacidad de cada frasco es de 3/20 de litro?
Se llenan 15 : 3 = 100 frasquitos.
20
29
Raquel avanza 3/5 de metro con cada paso. ¿Qué distancia avanza en 200
pasos?
Avanza 200 · 3 = 120 metros.
5
30
De una caja de galletas de tres cuartos de kilo, se han consumido dos quintas partes. ¿Cuánto pesan las galletas que quedan?
Se han consumido 2 de 3 de kilo.
5
4
Quedan 3 de 3 de kilo 8 3 · 3 = 9
5
4
5 4 20
31
Dos quintas partes de los empleados de una empresa trabajan en el turno de
noche. La cuarta parte de los del turno de noche pertenecen a la sección de mantenimiento. ¿Qué fracción de los empleados de la empresa trabajan en mantenimiento durante la noche?
1 de 2 = 1 · 2 = 1
4
5 4 5 10
La décima parte de los empleados trabajan en el mantenimiento por la noche.
Unidad 8. Operaciones con fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
32
Ana, Loli y Mar han comprado un queso por 32 €. Ana se queda con la mitad; Loli, con la cuarta parte, y Mar, con el resto.
a) ¿Qué fracción de queso se lleva Mar?
b) ¿Cuánto debe pagar Mar por su parte?
a) 1 + 1 = 3 . Mar se lleva 1 del queso.
2 4 4
4
b) 1 de 32 = 32 : 4 = 8
4
Mar debe pagar 8 €.
33
Ana, Loli y Mar han comprado un queso. Ana se queda con la mitad; Loli,
con la cuarta parte, y Mar, con el resto. Sabiendo que Mar, por su porción, ha
puesto 8 euros, ¿cuánto costó el queso entero?
Ana y Loli 8 1 + 1 = 3
2 4 4
Mar 8 1
4
El queso costó 8 · 4 = 32 €.
34
Juan compró ayer una tarta de 1 500 gramos y consumió 2/5. Hoy ha consumido 1/3 de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción de tarta ha consumido?
b) ¿Qué fracción queda?
c) ¿Cuánto pesa el trozo que queda?
2
°
§Consumió —
5
a) Ayer §¢
3
§Quedaron —
§
5
£
Hoy ha consumido 1 de 3 = 1
3
5 5
Juan ha consumido 2 + 1 = 3 de tarta.
5 5 5
b) Hoy quedan 2 de tarta.
5
c) El trozo que queda pesa 2 de 1 500 g = (1 500 : 5) · 2 = 600 gramos.
5
Unidad 8. Operaciones con fracciones
8
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
35
Juan compró ayer una tarta y comió 2/5. Hoy ha comido 1/3 del resto. Si el
trozo que queda pesa 600 gramos, ¿cuál era el peso de la tarta entera?
Siguiendo el proceso del problema anterior, quedan 2 del queso.
5
2 del queso 8 600 g
5
1 del queso 8 600 : 2 = 300 g
5
Todo el queso 5 8 300 · 5 = 1 500 g
5
((
36
Un sastre utiliza la tercera parte de un corte de tela para confeccionar la americana de un traje; la cuarta parte, para el pantalón, y la sexta parte, para el chaleco. Si aún le ha sobrado un metro, ¿cuál era la longitud del corte?
Ha utilizado: 1 + 1 + 1 = 9 = 3
3 4 6 12 4
Queda 1 , que mide 1 m.
4
La pieza entera 4 mide 4 m.
4
((
37
Un pintor utiliza 2/3 de un bote de pintura para repasar la valla de un chalé, y 2/5 de lo que le quedaba, para pintar el cobertizo del jardín. Finalizada la tarea, aún le quedan 2 kilos de pintura. ¿Cuánto pesaba el bote antes de empezar?
3 8 2 kg
15
1 8 2 kg
15
3
15 8 15 · 2 = 10 kg
15
3
El bote pesaba 10 kilos.
Unidad 8. Operaciones con fracciones
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
L as relaciones de proporcionalidad
1
Indica los pares de magnitudes que son directamente proporcionales (D),
los que son inversamente proporcionales (I) y los que no guardan proporcionalidad (X).
a) El tiempo que está encendida una farola y la cantidad de energía que gasta.
b) El número de páginas de un periódico y su precio.
c) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en ir de Córdoba a Badajoz.
d) El peso de un queso y su coste.
e) El caudal de una fuente y el tiempo que tarda en llenar un cántaro.
f) El número de asas de un jarro y su capacidad.
a) D
d) D
2
b) X
e) I
c) I
f) X
Completa esta tabla de valores directamente proporcionales:
1
2
3
4
5
5
8
10
15
10
Escribe con estos valores tres pares de fracciones equivalentes.
1
2
3
4
5
8
10
15
2,5
5
7,5
10
12,5
20
25
37,5
2 = 4 ; 4 = 8 ; 8 = 10
5 10 10 20 20 25
3
Completa esta tabla de forma que los pares de valores sean inversamente
proporcionales:
1
5
10
12
6
15
20
30
Escribe con estos valores tres pares de fracciones equivalentes.
1
5
10
15
20
30
60
12
6
4
3
2
1 = 12 ; 10 = 4 ; 1 = 3
5 60 15 6 20 60
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
4
Calcula en cada caso el término desconocido:
a) 6 = 30 b) 21 = 28
c) 17 = 51
d) 14 = x
10
x
24
x
24
x
21 69
e) x = 65
63 91
f) 39 = 13
x
17
g) x = 18
18 81
h) 5 = 1
9 x
i) 3 = 35
2,4
x
j) 0,63 = 2,7
0,56
x
a) 50
f ) 51
b) 32
g) 4
c) 72
h) 1,8
d) 46
i) 28
e) 45
j) 2,4
P roblemas de proporcionalidad
5
Resuelve mentalmente.
a) Dos cajas de galletas cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán tres cajas?
b) Doscientos gramos de mortadela cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan 300 gramos?
c) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas. ¿Cuánto tardaría uno solo? ¿Y tres
jardineros?
d) Un ciclista, a 20 km/h, tarda 30 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará una moto a 60 km/h?
a) 6 €
b) 2,70 €
c) Un jardinero tardará 6 h. Tres jardineros tardarán 2 h.
d) La moto tardará 10 minutos.
6
Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 kg. ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales a
las anteriores?
CAJAS
KILOS
4
2,4
5
x
Son magnitudes directamente proporcionales. Así:
4 = 2,4 8 x = 5 · 2,4 = 3
5
x
4
Las 5 cajas pesan 3 kg.
7
Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos. ¿Cuántos litros arrojará
en 15 minutos?
MINUTOS
LITROS
6
42
15
x
Son magnitudes directamente proporcionales. Así:
6 = 42 8 x = 15 · 42 = 105
15
x
6
Arroja 105 l de agua.
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
8
Dispongo de tres grifos iguales para llenar un depósito. Si abro uno, el depósito se llena en 12 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse si abro dos grifos? ¿Y si
abro los tres?
Son magnitudes inversamente proporcionales:
• 2 grifos son el doble; por tanto, tardarán en llenarlo 12 : 2 = 6 minutos.
• 3 grifos son el triple; por tanto, tardarán en llenarlo 12 : 3 = 4 minutos.
9
Cuatro segadores cortan un campo de heno en tres horas. ¿Cuánto tardará
un solo segador? ¿Y seis segadores?
Son magnitudes inversamente proporcionales. Así:
• Un segador es un cuarto; por tanto, tardará 3 · 4 = 12 h.
• Seis segadores es 6 veces 1. Por tanto, tardarán 12 : 6 = 2 h.
10
Un empleado recibió la semana pasada 60 € por 5 horas extraordinarias de
trabajo. ¿Cuánto recibirá esta semana por solo 3 horas?
HORAS
EUROS
5
60
3
x
Como son directamente proporcionales:
5 = 60 8 x = 3 · 60 = 36
3
x
5
Le darán 36 €.
11
En una bodega con dos máquinas embotelladoras se envasa la cosecha de
vino en 15 días. ¿Cuánto se tardaría teniendo una máquina más?
MÁQUINAS
DÍAS
2
15
x
3
Como son inversamente proporcionales:
2 = x 8 x = 2 · 15 = 10
3 15
3
Tardarán 10 días.
12
En un taller de confección se han fabricado 5 880 vestidos en 21 días. Si se
mantiene el ritmo de producción, ¿cuántos vestidos se fabricarán en los próximos
15 días?
DÍAS
VESTIDOS
21
5 880
15
x
Como son directamente proporcionales:
21 = 5 880 8 x = 15 · 5 880 = 4 200
15
x
21
Se fabricarán 4 200 vestidos.
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
13
Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca
3 de ellos en cada maceta. ¿Cuántas necesitaría si colocase 4 bulbos en cada una?
Tiene un total de 20 · 3 = 60 bulbos, que puede sembrar en 60 = 15 macetas, de
4
cuatro en cuatro.
14
Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha costado 14,40 €. ¿Cuánto
costará otro besugo de ochocientos gramos?
KILOS
EUROS
1,200
14,40
x
0,800
Son directamente proporcionales:
1,2 = 14,4 8 x = 0,8 · 14,4 = 9,6
0,8
x
1,2
Costará 9,60 €.
15
Un autobús de línea, a 80 km/h, tarda 25 minutos en cubrir la distancia
entre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 100 km/h?
P. INVERSA
VELOCIDAD (km/h)
TIEMPO (min)
80
100
25
x
Como son inversamente proporcionales:
80 = x 8 x = 80 · 25 = 20
100 25
100
Tardará 20 minutos.
16
En el plano de una casa, el salón mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho.
Si en la realidad el largo es de 5 m, ¿cuál es la anchura del salón?
LARGO (cm)
ANCHO (cm)
10
7
x
500
Son directamente proporcionales:
10 = 7 8 x = 500 · 7 = 350
500 x
10
El ancho mide 350 cm = 3,5 m.
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
17
Dos ciudades A y B separadas 85 km en la realidad, están a 34 cm de distancia en un plano. ¿Cuál será la distancia real entre otras dos ciudades M y N separadas 12 cm en el plano?
PLANO (cm)
REALIDAD (cm)
34
8 500 000
12
x
Son directamente proporcionales:
34 = 8 500 000 8 x = 12 · 8 500 000 = 3 000 000
12
x
34
Están a 3 000 000 cm = 30 km.
18
Con un depósito de agua, se abastece una cuadra de 20 caballos durante 15
días. ¿Cuánto duraría el depósito si se vendieran 8 caballos?
CABALLOS
DÍAS
20
15
12
x
Son inversamente proporcionales:
20 = x 8 x = 20 · 15 = 25
12 15
12
El depósito durará 25 días.
19
Un jardinero, con su máquina cortacésped, siega una parcela de 200 metros cuadrados en 18 minutos. ¿Qué superficie puede segar en hora y media?
MINUTOS
METROS CUADRADOS
18
200
90
x
Son directamente proporcionales:
18 = 200 8 x = 90 · 200 = 1 000
90
x
18
Podrá segar 1 000 m2.
20
Un grifo, con un caudal de 12 litros por minuto, ha tardado tres cuartos de
hora en llenar un depósito. ¿Cuál deberá ser el caudal para llenar el mismo depósito en 20 minutos?
MINUTOS
LITROS/MINUTO
45
12
20
x
Son inversamente proporcionales:
45 = x 8 x = 45 · 12 = 27
20 12
20
Se necesitan 27 l/min.
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
21
Dos socios montan un negocio aportando 20 000 € y 15 000 €, respectivamente. Para compensar la diferencia, cada uno se compromete a trabajar un
número de horas inversamente proporcional a la cantidad aportada.
Si el primero dedica al negocio 3 horas al día, ¿cuántas horas al día debe dedicar
el segundo?
HORAS
EUROS
3
20 000
x
15 000
Son inversamente proporcionales:
x = 20 000
3 15 000
8 x = 3 · 20 000 = 4
15 000
El segundo socio debe trabajar 4 horas diarias.
22
Un empresario premia a tres empleados con un incentivo económico directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa.
El mayor, que lleva 20 años, recibe 500 euros.
¿Cuánto recibirán los otros dos, que llevan en la empresa 15 años y 8 años, respectivamente?
AÑOS
EUROS
20
500
15
x
8
x
Son directamente proporcionales:
20 = 500 8 x = 15 · 500 = 375
15
x
20
20 = 500 8 x = 8 · 500 = 200
8
x
20
El segundo cobrará 375 €, y el tercero, 200 €.
23
Copia y completa las casillas vacías, teniendo en cuenta los datos iniciales:
Cinco caballos, en cuatro días, consumen 60 kilos de pienso.
CABALLOS
DÍAS
KILOS
5
ÄÄ8
4
ÄÄ8
60 kg
5
ÄÄ8
1
ÄÄ8
kg
1
ÄÄ8
1
ÄÄ8
kg
8
ÄÄ8
1
ÄÄ8
kg
8
ÄÄ8
15
ÄÄ8
kg
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
CABALLOS
24
DÍAS
KILOS
5
ÄÄ8
4
ÄÄ8
60
5
ÄÄ8
1
ÄÄ8
1
ÄÄ8
1
ÄÄ8
8
8
ÄÄ8
ÄÄ8
1
15
ÄÄ8
ÄÄ8
60 = 15
4
15 = 3
5
3 · 8 = 24
24 · 15 = 360
En un comedor escolar de 75 comensales, se han consumido 230 kilos de
pescado en dos meses.
a) ¿Cuántos kilos de pescado consumirán 150 comensales en un mes?
b)¿Cuántos kilos consumirán 150 comensales en tres meses?
COMENSALES
MESES
KILOS
75
ÄÄ8
2
ÄÄ8
75
ÄÄ8
1
ÄÄ8
150
150
ÄÄ8
ÄÄ8
1
3
ÄÄ8
ÄÄ8
230
230 = 115
2
115 · 2 = 230
230 · 3 = 690
a) Consumirán 230 kg.
b) Consumirán 690 kg.
P orcentajes
25
Calcula mentalmente.
a) 10% de 340
c) 50% de 68
e) 25% de 40
g) 20% de 45
i) 32% de 50
a) 34
f ) 500
26
b) 480
g) 9
b) 10% de 4 800
d) 50% de 850
f) 25% de 2 000
h) 20% de 500
j) 80% de 50
c) 34
h) 100
d) 425
i) 16
e) 10
j) 40
Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la calculadora.
a) 15% de 360
b) 11% de 3 400
c) 8% de 175
d) 60% de 1 370
e) 45% de 18
f) 84% de 5 000
g) 150% de 80
h) 120% de 350
a) 54
e) 8,1
b) 374
f ) 4 200
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
c) 14
g) 120
d) 822
h) 420
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
27
Calcula y, si el resultado no es exacto, redondea a las unidades.
a) 16% de 470
b) 14% de 288
c) 57% de 1 522
d) 7% de 3 640
e) 6% de 895
f) 92% de 2 630
g) 115% de 94
h) 120% de 751
a) 75,2 ≈ 75
d) 254,8 ≈ 255
g) 108,1 ≈ 108
28
b) 40,32 ≈ 40
e) 53,7 ≈ 54
h) 901,2 ≈ 901
c) 867,54 ≈ 868
f ) 2 419,6 ≈ 2 420
Completa cada casilla con un número decimal y, después, calcula el resultado:
a) 20% de 560 =
· 560 = …
b) 16% de 1 250 =
c) 72% de 925 =
· 925 = …
d) 9% de 700 =
e) 2% de 650 =
b) 0,16 · 1 250 = 200
e) 0,02 · 650 = 13
a)
% de 70 = 35
b)
% de 230 = 115
c)
% de 800 = 200
d)
% de 370 = 37
e)
% de 56 = 5,6
f)
% de 30 = 6
b) 50% de 230 = 115
d) 10% de 370 = 37
f ) 20% de 30 = 6
Calcula mentalmente.
a) El 50% de un número es 16. ¿Cuál es el número?
b) El 25% de un número es 9. ¿Cuál es el número?
c) El 75% de un número es 15. ¿Cuál es el número?
d) El 20% de un número es 7. ¿Cuál es el número?
a) 16 · 2 = 32
31
c) 0,72 · 925 = 666
Completa con el porcentaje adecuado en cada caso:
a) 50% de 70 = 37
c) 25% de 800 = 200
e) 10% de 56 = 5,6
30
· 700 = …
· 650 = …
a) 0,2 · 560 = 112
d) 0,09 · 700 = 63
29
· 1 250 = …
b) 9 · 4 = 36
c) (15 : 3) · 4 = 20
d) 7 · 5 = 35
Calcula.
a) El número cuyo 30% es 222.
b) El tanto por ciento que hay que tomar de 390 para obtener 156.
a) 222 · 100 = 740
30
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
b) 156 · 100 = 40%
390
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
P roblemas de porcentajes
32
En mi clase somos 30, el 40% chicos y el 60% chicas. ¿Cuántos chicos y
cuántas chicas hay en mi clase?
Chicos 8 30 · 0,4 = 12
Chicas 8 30 · 0,6 = 18
33
En una caja hay cuatro docenas de bombones, de los que el 25% están envueltos en papel de plata. ¿Cuántos van envueltos?
25% de 48 = 6 bombones.
34
En una barriada viven 400 familias, de las que el 75% están pagando la hipoteca del piso. ¿Cuántas familias tienen hipoteca?
75% de 400 = 300 familias.
35
Un barco pesquero ha capturado dos toneladas de pescado, de las que el
35% es merluza. ¿Cuántos kilos de merluza lleva el barco?
35% de 2 000 = 700 kilos de merluza.
36
El camión de reparto deja en el supermercado 580 cajas de leche. El 15 %
son de leche desnatada. ¿Cuántas cajas de leche desnatada se han recibido?
15% de 580 = 87 cajas de leche desnatada.
37
El banco me hace esta oferta: si deposito 4 000 euros durante un año, me
dan un 4,5% de intereses. ¿Qué beneficio obtendría en la operación?
4,5% de 4 000 = 180 € de beneficio.
38
Un equipo de baloncesto ha ganado esta temporada el 65% de los encuentros disputados. Sabiendo que ha ganado 52 partidos, ¿cuántos encuentros ha jugado en total?
52 · 100 = 80 partidos disputados.
65
39
Marisa ha tirado 20 veces a canasta y ha metido 12. ¿Cuál es su porcentaje
de aciertos?
12 · 100 = 60% de aciertos.
20
40
Un agencia de viajes saca en oferta un crucero de vacaciones y en la primera semana vende 156 plazas, lo que supone el 30% del total. ¿De cuántas plazas
dispone el crucero?
156 · 100 = 520 plazas.
30
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
9
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
41
Un sofá que costaba 890 euros se ha rebajado un 40%. ¿Cuál es el precio
tras la rebaja?
890 · 0,60 = 534 €.
42
Un embalse tenía, al finalizar el verano, 2,4 hectómetros cúbicos de agua.
En otoño las reservas han aumentado en un 25%. ¿Cuánta agua tiene al comenzar el invierno?
2,4 · 1,25 = 3,6 hectómetros cúbicos.
43
Por un videojuego que costaba 60 € he pagado 48 €. ¿Qué porcentaje me
han rebajado?
Porcentaje pagado = 48 · 100 = 80%
60
Rebaja 8 20%
44
He pagado 34 € por una camisa que estaba rebajada un 15%. ¿Cuánto
costaba la camisa sin rebaja?
La camisa costará 34 · 100 = 40 €.
85
45
Un mayorista compra un camión de 5 000 kg de melocotones, los selecciona y los envasa para venderlos al detalle. Si en la selección desecha un 15%,
¿cuántos kilos quedan para la venta?
Quedarán el 85% de los melocotones, es decir, 5 000 · 85 = 4 250 kg.
100
Unidad 9. Proporcionalidad y porcentajes
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
E xpresiones algebraicas
1
Llamando x a un número indeterminado, asocia cada enunciado con la expresión que le corresponde:
a) El doble del número.
b) El doble más cinco.
c) El doble del resultado de sumarle cinco.
d) La mitad del número.
e) La mitad menos cinco.
f) La mitad del resultado de restarle cinco.
2x + 5
x
—–5
2
a) 2x
d) x
2
2
x
—
2
2x
b) 2x + 5
e) x – 5
2
x–5
—
2
2 · (x + 5)
c) 2(x + 5)
f) x – 5
2
Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:
a) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h.
b) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg.
c) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros.
d) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro.
0,8x
a) 60x
3
b) 0,8 · x
60x
x – 60
c) 0,8x
2
0,8 · x
—
2
d) x – 60
Copia y completa la tabla, atendiendo a los siguientes enunciados:
•
•
•
•
•
•
Cristina tiene x años.
Alberto, su esposo, tiene 3 años más.
Javier, su padre, le dobla la edad.
Marta, su madre, tiene 5 años menos que su padre.
Loli y Mar son sus hijas gemelas. Las tuvo con 26 años.
Javi, el pequeño, tiene la mitad de años que las gemelas.
EDAD
CRISTINA
ALBERTO
J AV I E R
M A R TA
LOLI Y MAR
J AV I
Unidad 10. Álgebra
x
x+3
2x
2x – 5
x – 26
x – 26
—
2
EDAD
CRISTINA
ALBERTO
J AV I E R
M A R TA
LOLI Y MAR
J AV I
x
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
4
•
•
•
•
•
5
Lee y completa la tabla.
El sueldo mensual de Pablo es de x euros.
El gerente de la empresa gana el doble que Pablo.
El ingeniero jefe gana 400 € menos que el gerente.
El señor López gana un 10% menos que Pablo.
Al señor de la limpieza le faltan 80 € para ganar las tres cuartas partes del sueldo de Pablo.
GERENTE
INGENIERO
SR. LÓPEZ
SR. LIMPIEZA
PA B L O
GERENTE
INGENIERO
SR. LÓPEZ
SR. LIMPIEZA
x
2x
EMPLEADO
PA B L O
SUELDO
x
EMPLEADO
SUELDO
x
2x – 400 x – —
10
3x
— – 80
4
Copia y completa.
n
1
2
3
4
5
10
100
n
1
2
3
4
5
8
11
2n – 1
3
1
3
n
1
2
3
4
5
10
100
5n – 3
2
7
12
17
22
47
497
n
1
2
3
4
5
8
11
2n – 1
3
1
3
1
5
3
7
3
3
5
7
8
10
n
40
n
5n – 3
6
Observa, reflexiona y completa.
Unidad 10. Álgebra
1
2
3
5
3
5
7
11
2
4
6
10
20
2
3
4
6
11
1
2
3
5
8
10
n
3
5
7
11
17
21
2n + 1
2
4
6
10
20
40
n
2
3
4
6
11
21
n
—+1
2
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
M onomios y operaciones
7
Copia y completa la tabla siguiente:
MONOMIO
4a 2
–3xy 4 –x 2 y 2
1/3
COEFICIENTE
PA R T E L I T E R A L
ab/3
–1
a2
5
GRADO
MONOMIO
COEFICIENTE
PA R T E L I T E R A L
GRADO
8
9
10
4a 2
ab/3
4
a2
2
1/3
ab
2
–3xy 4 –x 2 y 2
–3
xy 4
5
–1
x 2y 2
4
Reduce.
a) x + x + x
e) 3x + x
i) 7x – 7x
b) a + a
f) 8a – 5a
j) –3a + 4a
c) 2x – x
g) 4x – 3x
k) 2x – 3x
d) 5a + 2a
h) 4a + 5a
l) 3a – 7a
a) 3x
e) 4x
i) 0
b) 2a
f ) 3a
j) a
c) x
g) x
k) –x
d) 7a
h) 9a
l) – 4a
Opera.
a) 3x + 2x + x
d) a – 5a + 2a
b) 10x – 6x + 2x
e) –2x + 9x – x
c) 5a – 7a + 3a
f) –5x – 2x + 4x
a) 6x
d) –2a
b) 6x
e) 6x
c) a
f ) –3x
Reduce todo lo posible.
a) x + x + y
c) 5a + b – 3a + b
e) 2 + 3x + 3
g) 2x – 5 + x
i) x – 2y + 3y + x
b) 2x – y – x
d) 3a + 2b + a – 3b
f) 5 + x – 4
h) 3x + 4 – 4x
j) 2x + y – x – 2y
a) 2x + y
c) 2a + 2b
e) 3x + 5
g) 3x – 5
i) 2x + y
b) x – y
d) 4a – b
f) x + 1
h) 4 – x
j) x – y
Unidad 10. Álgebra
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
11
Reduce, cuando sea posible.
b) x 2 + x
a) + 2x 2
d) a 2 – a – 1
e) x 2 – 5x + 2x
g) 2a 2 + a – a 2 – 3a + 1 h) a 2 + a – 7 + 2a + 5
x2
a) 3x 2
d) a 2 – a – 1
g) a 2 – 2a + 1
12
b) x 2 + x
e) x 2 – 3x
h) a 2 + 3a – 2
Suprime los paréntesis y reduce.
a) 3x – (x + 1)
b) x + (2 – 5x)
d) 2a + (1 – 3a)
e) (x – 4) + (3x – 1)
a) 3x – x – 1 = 2x – 1
c) 4a – 3a + 2 = a + 2
e) x – 4 + 3x – 1 = 4x – 5
13
Multiplica.
a) 2 · (5a)
d) (5x) · (–x)
15
c) a 2 – a
f ) 2a 2 – 1
c) 4a – (3a – 2)
f) (6x – 3) – (2x – 7)
b) x + 2 – 5x = 2 – 4x
d) 2a + 1 – 3a = 1 – a
f ) 6x – 3 – 2x + 7 = 4x + 4
b) (– 4) · (3x)
e) (2a) · (3a)
h) (6a) · 1 b
3
c) (–2 a ) · a 2
f) (–2x) · (–3x 2)
i) 2 x · (3x)
3
a) 10a
d) –5x 2
g) –10a 2b
b) –12x
e) 6a 2
h) 2ab
c) –2a 3
f ) 6x 3
i) 2x 2
Divide.
a) (6x) : 3
d) (2x) : (2x)
g) (15a 2) : (3a)
b) (–8) : (2a)
e) (6a) : (–3a)
h) (–8x) : (4x 2)
c) (–15a) : (–3)
f) (–2x) : (– 4x)
i) (10a) : (5a 3)
a) 2x
b) –4
a
c) 5a
d) 1
e) –2
g) 5a
h) –2
x
f) 1
2
i) 22
a
Quita paréntesis.
a) 5 · (1 + x)
d) x 2 · (2x – 3)
b) (– 4) · (2 – 3a)
e) x 2 · (x + x 2)
c) 3a · (1 + 2a)
f) 2a · (a 2 – a)
a) 5 + 5x
d) 2x 3 – 3x 2
b) –8 + 12a
e) x 3 + x 4
c) 3a + 6a 2
f ) 2a 3 – 2a 2
g) (2a) · (–5ab)
14
c) 3a 2 – a – 2a 2
f) 4 + 2a 2 – 5
Unidad 10. Álgebra
( )
( )
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
16
Quita paréntesis y reduce.
a) x + 2(x + 3)
c) 4 · (a + 2) – 8
e) 2(x + 1) + 3(x – 1)
b) 7x – 3(2x – 1)
d) 3 · (2a – 1) – 5a
f) 5 · (2x – 3) – 4 · (x – 4)
a) x + 2x + 6 = 3x + 6
c) 4a + 8 – 8 = 4a
e) 2x + 2 + 3x – 3 = 5x – 1
b) 7x – 6x + 3 = x + 3
d) 6a – 3 – 5a = a – 3
f ) 10x – 15 – 4x + 16 = 6x + 1
E cuaciones sencillas
17
18
Resuelve estas ecuaciones:
a) 3x + 2 = 14
b) 3 – 2x = 5
d) 3 = 4 – 3x
e) 2x = x + 3
c) 5x + 12 = 2
f) 5x – 2 = x + 1
a) x = 4
b) x = –1
c) x = –2
d) x = 1
3
e) x = 3
f) x = 3
4
Halla el valor de x en cada caso:
a) 2x – 3 = 2x + 1
b) 3x + 1 = 7x – 1
d) 3 + 4x – 7 = x – 3
e) 5x – 1 = 3x – 1 + 2x
a) No tiene solución.
b) x = 1
2
c) x + 8 + 2x = 6 – 2x
f) 6 – 3x + 2 = x + 7
c) x = – 2
5
e) Es una identidad. Cualquier valor de x cumple la igualdad.
19
20
Resuelve.
a) 2x + 5 – 3x = x + 19
c) 11 + 2x = 6x – 3 + 3x
e) x – 1 – 4x = 5 – 3x – 6
b) 7x – 2x = 2x + 1 + 3x
d) 7 + 5x – 2 = x – 3 + 2x
f) 5x = 4 – 3x + 5 – x
a) x = – 7
c) x = 2
e) Es una identidad.
b) No tiene solución.
d) x = –4
f) x = 1
d) x = 1
3
f) x = 1
4
Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) 3x – x + 7x + 12 = 3x + 9
b) 6x – 7 – 4x = 2x – 11 – 5x
c) 7x + 3 – 8x = 2x + 4 – 6x
d) 5x – 7 + 2x = 3x – 3 + 4x – 5
a) x = – 1
2
c) x = 1
3
Unidad 10. Álgebra
b) x = – 4
5
d) No tiene solución.
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
E cuaciones con paréntesis
22
Resuelve estas ecuaciones:
a) 4 – (5x – 4) = 3x
c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x
b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x)
d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x)
a) 4 – (5x – 4) = 3x 8 4 – 5x + 4 = 3x 8 8 = 8x 8 x = 1
b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x) 8 7x + 10 = 5 – 2 + 6x 8 x = –7
c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x 8 5x – 4 + 2x = 2 – 2x 8 9x = 6 8 x = 6 = 2
9 3
d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x) 8 1 – 6x = 4x – 3 + 2x 8 4 = 12x 8 x = 4 = 1
12 3
23
Resuelve.
a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2)
b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x
c) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x)
d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x)
a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2) 8 x – 3 + x = 7 – x + 2 8 3x = 12 8
8 x = 12 = 4
3
b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x 8 3x – 1 – 5x = 9 – 2x – 7 – x 8 x = 3
c) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x) 8 2x – 5 – 5x – 1 = 8x – 2 – 7x 8
8 – 4 = 4x 8 x = –1
d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x) 8 9x + x – 7 = 5x + 4 – 8 + 3x 8
8 2x = 3 8 x = 3
2
25
Halla x en cada caso:
a) 2(x + 5) = 16
b) 5 = 3 · (1 – 2x)
c) 5(x – 1) = 3x – 4
d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4)
e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7
f) 6(x – 2) – x = 5(x – 1)
g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2
h) 3(3x – 2) – 7x = 6(2x – 1) – 10x
i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2)
Unidad 10. Álgebra
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
a) 2(x + 5) = 16 8 2x + 10 = 16 8 2x = 6 8 x = 3
b) 5 = 3 · (1 – 2x) 8 5 = 3 – 6x 8 2 = –6x 8 x = – 2 = – 1
6
3
c) 5 (x – 1) = 3x – 4 8 5x – 5 = 3x – 4 8 2x = 1 8 x = 1
2
d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4) 8 5x – 3 = 3 – 2x + 8 8 7x = 14 8 x = 2
e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7 8 10x – 4x + 1 = 5x – 5 + 7 8 x = 1
f ) 6(x – 2) – x = 5(x – 1) 8 6x – 12 – x = 5x – 1 8 0x = 11 No tiene solución.
g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2 8 7x – 7 – 4x – 4x + 8 = 2 8 –x = 1 8 x = –1
h) 3 (3x – 2) – 7x = 6 (2x – 1) – 10x 8 9x – 6 – 7x = 12x – 6 – 10x 8 0x = 0
Es una identidad.
i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2) 8 4x + 2x + 6 = 2x + 4 8 4x = –2 8 x = – 2 = – 1
4
2
26
Resuelve estas ecuaciones:
a) x – 6 = 1
2
b) x – 1 = 2
3
c) x + 1 = 1
5 5
d) x + 2 = x
7 7
e) 4 = x + x
3
f) x = 1 – x
5
a) x – 6 = 1 8 x – 6 = 2 8 x = 8
2
b) x – 1 = 2 8 x – 3 = 6 8 x = 9
3
c) x + 1 = 1 8 x + 1 = 5 8 x = 4
5 5
d) x + 2 = x 8 x + 2 = 7x 8 2 = 6x 8 x = 2 = 1
7 7
6 3
e) 4 = x + x 8 12 = 3x + x 8 12 = 4x 8 x = 3
3
f ) x = 1 – x 8 5x = 5 – x 8 6x = 5 8 x = 5
5
6
P roblemas para resolver con ecuaciones
27
Si triplicas un número y al resultado le restas 16, obtienes 29. ¿Cuál es el número?
3x – 16 = 29 8 3x = 45 8 x = 15
El número es 15.
Unidad 10. Álgebra
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
28
¿Cuál es el número que sumado con su anterior y su siguiente da 117?
ÄÄ8 x – 1
EL NÚMERO ÄÄ8 x
EL POSTERIOR ÄÄ8 x + 1
EL ANTERIOR
(x – 1) + x + (x + 1) = 117 8 3x = 117 8 x = 39
El número es 39.
29
La suma de tres números consecutivos es 84. ¿Qué números son?
x + (x + 1) + (x + 2) = 81 8 3x = 81 8 x = 27
Los números son 27, 28 y 29.
30
Si a un número le restas 28 unidades, obtienes el mismo resultado que si lo divides entre 3. ¿Qué número es?
ÄÄ8 x
EL NÚMERO MENOS 28 ÄÄ8 x – 28
EL NÚMERO DIVIDIDO ENTRE 3 ÄÄ8 x : 3
EL NÚMERO
x – 28 = x 8 3x – 84 = x 8 2x = 84 8 x = 42
3
El número es 42.
31
Si a este cántaro le añadieras 13 litros de agua, tendría el triple que si le sacaras dos. ¿Cuántos litros de agua hay en el cántaro?
–2
+13
x
x
= 3 ·
x
x + 13 = 3 (x – 2) 8 x + 13 = 3x – 6 8 19 = 2x 8 x = 19
2
En el cántaro hay 19 l de agua.
2
32
En mi colegio, entre alumnos y alumnas somos 624. El número de chicas supera en 36 al de chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas?
CHICOS
Ä8 x
CHICOS
CHICAS
+
CHICAS
x + x + 36 = 624 8 2x = 588 8 x = 294
Hay 294 chicos y 294 + 36 = 330 chicas.
Unidad 10. Álgebra
Ä8 x + 36
= 624
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
33
Sabiendo que un yogur de frutas es 5 céntimos más caro que uno natural, y
que seis de frutas y cuatro naturales me han costado 4,80 €, ¿cuánto cuesta un yogur natural? ¿Y uno de frutas?
NATURAL Ä8 x €
FRUTAS Ä8 (x + 0,5)€
4x + 6 (x + 0,05) = 4,8 8 4x + 6x + 0,30 = 4,80 8 10x = 4,50 8 x = 0,45
Un yogur natural cuesta 0,45 €. Uno de frutas cuesta 0,45 + 0,05 = 0,50 €.
34
Roberta tiene un año menos que su hermana Marta, y ya tenía cinco cuando nació Antonio, el más pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres, ahora, suman 35 años?
ROBERTA 8 x
MARTA 8 x + 1
ANTONIO 8 x – 5
x + x + 1 + x – 5 = 35 8 3x = 39 8 x = 13
Roberta tiene 13 años; Marta, 14, y Antonio, 8.
35
En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La caja
grande contiene el doble de unidades que la mediana, y esta, el doble que la pequeña. Si compras una caja de cada tamaño, te llevas 500 unidades. ¿Cuántos clavos
tiene cada caja?
Caja pequeña: x clavos °
§
Caja mediana: 2x clavos ¢ x + 2x + 4x = 500 8 7x = 500 8 x = 71,49
§
Caja grande: 4x clavos £
Obviamente hay un error en el enunciado, puesto que el número de clavos tiene
que ser un número entero.
36
Un kilo de chirimoyas cuesta el doble que uno de naranjas.
Por tres kilos de chirimoyas y cuatro de naranjas se han pagado 11 €. ¿A cómo están las unas y las otras?
NARANJAS Ä8 x
CHIRIMOYAS Ä8 2x
4x + 3 (2x) = 11 8 4x + 6x = 11 8 10x = 11 8 x = 1,1
Naranjas 8 1,10 €/kg
Chirimoyas 8 2 · 1,10 = 2,20 €/kg
37
Una bolsa de kilo de alubias cuesta lo mismo que tres bolsas de kilo de lentejas. Por dos bolsas, una de cada producto, he pagado 6 €. ¿Cuánto costaba cada
bolsa?
x + 3x = 6 8 4x = 6 8 x = 6 = 1,5
4
Bolsa de lentejas 8 1,50 €
Bolsa de alubias 8 3 · 1,50 = 4,50 €
Unidad 10. Álgebra
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
38
Un granjero ha contado, entre avestruces y caballos, 27 cabezas y 78 patas.
¿Cuántos caballos hay en la granja? ¿Y avestruces?
CABEZAS
CABALLOS
AV E S T R U C E S
PATAS DE
CABALLO
+
PATA S
x
4x
27 – x 2 · (27 – x)
PATAS DE
= 78
AVESTRUZ
4x + 2 (27 – x) = 78 8 4x + 54 – 2x = 78 8 2x = 24 8 x = 12
Hay 12 caballos y 27 – 12 = 15 avestruces.
39
En una cafetería, entre sillas y taburetes hemos contado 44 asientos con 164
patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?
4x + 3 (44 – x) = 164 8 4x + 132 – 3x = 164 8 x = 32
Hay 32 sillas y 44 – 32 = 12 taburetes.
40
Irene ha sacado de la hucha 14 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 10
céntimos. Entre todas valen dos euros. ¿Cuántas ha sacado de cada clase?
NÚMERO
VA L O R
x
14 – x
10x
20(14 – x)
(200 cént.)
10x + 20 (14 – x) = 200 8 10x + 280 – 20x = 200 8 80 = 10x 8 x = 8
Ha sacado 8 monedas de 10 cént. y 14 – 8 = 6 monedas de 20 cént.
41
En un concurso de 50 preguntas, dan tres puntos por cada acierto y quitan
dos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado un concursante que ha obtenido 85 puntos?
ACIERTOS Ä8 x
FALLOS Ä8 50 – x
3·
ACIERTOS
–2·
FALLOS
=
PUNTOS
OBTENIDOS
3x – 2 (50 – x) = 85 8 3x – 100 + 2x = 85 8 5x = 185 8 x = 37
Ha acertado 37 preguntas.
Unidad 10. Álgebra
10
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 11
43
Mónica tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga
a cada uno. En ese caso, Mónica tendrá mañana el doble que Javier. ¿Cuánto tiene hoy cada uno?
J AV I E R
MÓNICA
DINERO DE
HOY
MAÑANA
x
x + 12
x+5
x+8+5
=2·
MÓNICA MAÑANA
DINERO DE
JAVIER MAÑANA
x + 12 + 5 = 2 (x + 5) 8 x + 17 = 2x + 10 8 x = 7
Javier tiene 7 €, y Mónica, 19 €.
44
Victoria tiene 50 sellos más que Aurora, y si le diera 8 sellos, aún tendría el
triple. ¿Cuántos sellos tiene cada una?
Aurora 8 x sellos
Victoria 8 (x + 50) sellos
(x + 50) – 8 = 3 (x + 8) 8 x + 42 = 3x + 24 8 18 = 2x 8 x = 9
Aurora tiene 9 sellos, y Victoria, 9 + 50 = 59 sellos.
45
Una parcela rectangular es 18 metros más larga que ancha, y tiene una valla
de 156 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
x
x + 18
x + 18 + x + x + 18 + x = 156 8 4x = 120 8 x = 30
La parcela mide 30 metros de ancho y 30 + 18 = 48 m de largo.
46
Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son 3 cm más cortos que el
lado desigual, y su perímetro es de 48 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
x–3
x–3
x
x + 2 (x – 3) = 48 8 x + 2x – 6 = 48 8 3x = 54 8 x = 18
Los lados miden 18 cm, 15 cm y 15 cm.
Unidad 10. Álgebra
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
O PERACIONES CON ÁNGULOS
1
Efectúa las siguientes sumas:
a) 15° 13' + 35° 23'
b) 18° 50' + 22° 15'
c) 25° 17' + 54° 40' + 13° 54'
a) 50° 36'
2
3
4
5
b) 41° 5'
c) 93° 51'
Resuelve estas restas:
a) 181° 19' – 121° 52'
b) 143° 12' – 97° 24'
a) 59° 27'
b) 45° 48'
Haz los productos siguientes:
a) (58° 14') · 3
c) (62° 12') · 7
b) (37° 43') · 5
d) (5° 58') · 2
a) 174° 42'
c) 435° 24'
b) 188° 35'
d) 11° 56'
Resuelve estas divisiones:
a) (277° 34') : 11
c) (127° 55') : 5
b) (201° 52') : 8
d) (174° 30') : 6
a) 25° 14'
c) 25° 35'
b) 25° 14'
d) 29° 5'
Halla el complementario de:
a) 45° 13'
b) 70° 52'
a) 90° – 45° 13' = 44° 47°
b) 90° – 70° 52' = 19° 8'
6
Halla el suplementario de:
a) 93° 15'
b) 15° 02'
a) 180° – 93° 15' = 86° 45'
b) 180° – 15° 02' = 164° 58'
7
Halla en grados y minutos el ángulo interior de un heptágono regular.
5 · 180° = 128° 34,29'
7
Unidad 11. Rectas y ángulos
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
C ONSTRUCCIONES CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS
8
Construye un ángulo de 60°.
60°
9
Construye un triángulo que tenga los tres ángulos de 60°.
60°
60°
10
60°
Construye un triángulo cuyos ángulos midan 60°, 90° y 30°.
30°
60° 90°
11
Construye un triángulo con ángulos de 45°, 45° y 90°.
45°
90°
12
45°
Construye un ángulo de 120° y otro de 150°.
120°
Unidad 11. Rectas y ángulos
150°
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
13
Traza un segmento y construye su mediatriz. ¿Qué propiedad tienen sus
puntos?
P
A
B
Todos los puntos, P, de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento:
— —
PA = PB
14
Traza un ángulo y construye su bisectriz. ¿Qué propiedad tienen sus puntos?
r
P
s
Todos los puntos, P, de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo:
dist (P, r) = dist(P, s )
R ELACIONES ANGULARES
15
Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura:
a)
37°
^
A
b)
^
^
^
N
B^
C
M
132°
c)
d)
^
A
26°
37°
^ ^
P Q
ì
a) A = 180° – 37° = 143°
ì
b) M = 180° – 132° = 48°
ì
c) A = 180° – 90° – 37° = 53°
ì ì
d) P = Q = 180° – 26° = 77°
2
Unidad 11. Rectas y ángulos
ì
B = 37°
ì
N = 132°
ì
C = 37°
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
16
Calcula el valor de los ángulos desconocidos.
a)
b)
^
A
120°
120°
^
^
71°
N
P
c)
d)
^
^
B
A
^
N
^
C
^
26°
e)
M
35°
^
P
f)
^
^
M
B
^
A
^
N
ì
a) A = 360° – 90° – 90° – 71° = 109°
ì ì
b) P = N = 360° – 120° – 120° = 60°
2
ì
ì ì
c) B = 26°; A = C = 180° – 26° = 154°
ì
ì
ì
d) N = 35° = 17° 30'; M = 180° – 35° = 145°; P = 90° – 17° 30' = 72° 30'
2
ì
ì
e) A = 3 · 180° = 108°; B = 360° = 72°
5
5
ì ì
f ) M = N = 90° + 45° = 135°
17
Halla el valor de los ángulos indicados.
a)
b)
^
^
B
50°
110°
A
c)
d)
^
C
^
B
^
C
e)
^
^
A
D
160°
f)
63°
^
E
^
D
Unidad 11. Rectas y ángulos
^
A
^
C
^
B
40°
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
18
ì
a) A = 110° = 55°
2
ì ì
c) C = D = 90°
ì
b) B = 50° = 25°
2
ì ì ì
d) A = B = C = 160° = 80°
2
ì
ì
e) D = 2 · 63° = 126°; E = 63°
ì ì
ì
f ) A = B = 2 · 40° = 80°; C = 40°
Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto mide el ángulo central?
b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo?
c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono?
a) 360° = 72°
5
19
b) 180° – 72° = 54°
2
c) 2 · 54° = 108°
El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles.
a
I
a
a
II
^
C
a
a
II
^
A
^
B
a
ì ì
ì
Halla la medida de los ángulos A , B y C.
ì
Los ángulos del triángulo equilátero I miden 60°. Por lo que el ángulo D medirá:
90° – 60° = 30°.
ì
Así: A = 180° – 30° = 75°
2
^
ì
D
B = 360° – 2 · 75° – 60° = 150°
ì
^
C = 180° – 150° = 15°
^
^ A
2
B
C
Unidad 11. Rectas y ángulos
Pág. 5
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
S IMETRÍAS
20
Observa las letras del abecedario:
A
H
Ñ
U
B
I
O
V
C
J
P
W
D
K
Q
X
E
R
Y
F
M
S
Z
G
N
T
Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay
13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría.
Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.
No tienen ejes de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z.
Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L, M, T, U, V, W, Y. Así:
A
B
C
D
E
K
M
T
U
V
W
Y
Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. Así:
H
I
X
La O tiene infinitos ejes de simetría. Todas las rectas que pasen por el centro de la
circunferencia son ejes de simetría.
21
Completa cada figura para que sea simétrica respecto del eje señalado.
Unidad 11. Rectas y ángulos
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
22
Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se
indican:
e1
e1
e2
e2
23
Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus dos
caras.
¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las
dos caras?
a)
b)
c)
Unidad 11. Rectas y ángulos
11
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
Para que se vea lo mismo por las dos caras, hay que situar el espejo sobre alguno de
los ejes de simetría de cada figura:
a)
e1
b)
e2
e2
e3
24
c)
e1
e3
e4
e2
Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo:
F
Por ejemplo, para obtener esta hemos de situar el espejo así:
F
Pero, ¡atención!, no tenemos un espejo en la mano. Tienes que imaginártelo.
Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las siguientes figuras:
A
B
C
D
E
P
M
N
C
B
A
D
E
N
Unidad 11. Rectas y ángulos
M
P
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
P RACTICA
Polígonos: clasificación
1
Di cuáles de estos triángulos son:
a) Acutángulos.
b) Rectángulos.
c) Obtusángulos isósceles.
B
A
C
D
G
E
F
H
a) Acutángulos: C , F y G .
b) Rectángulos: D y E .
c) Obtusángulos isósceles: B y H .
2
Di cómo son, según sus lados y según sus ángulos, los triángulos siguientes:
D
B
A
C
A
8 Isósceles obtusángulo.
B
8 Isósceles acutángulo.
C
8 Equilátero acutángulo.
D
8 Isósceles rectángulo.
3
Ponle nombre a cada uno de los cuadriláteros que aparecen a continuación:
A
C
B
D
F
G
H
I
E
A
8 Romboide, paralelogramo.
B
8 Trapezoide.
C
8 Trapezoide.
D
8 Cuadrado, paralelogramo.
E
8 Rombo, paralelogramo.
F
8 Rectángulo, paralelogramo.
G
8 Trapezoide.
H
8 Trapecio rectángulo.
I
8 Romboide, paralelogramo.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
4
Clasifica los polígonos siguientes en regulares y no regulares:
A
B
C
G
E
D
F
Polígonos regulares: A , B y F .
Polígonos no regulares: C , D , E y G .
Construcciones con regla y compás
5
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. ¿Cuánto miden sus ángulos?
C
A
B
ì
A = 90°
ì ì
B = C = 45°
6
Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 5 cm y 7 cm, y traza sus medianas.
¿Cómo se llama el punto donde se cortan?
3 cm
5 cm
7 cm
El punto donde se cortan las medianas se llama baricentro.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
7
Dibuja un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, y traza sus alturas. ¿Cómo
se llama el punto donde se cortan?
4 cm
5 cm
6 cm
El punto donde se cortan las alturas se llama ortocentro.
8
Dibuja un triángulo equilátero de 5 cm de lado, y traza la circunferencia inscrita. ¿Cómo se llama el centro de esa circunferencia?
5 cm
5 cm
5 cm
El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro.
9
Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm, y traza la circunferencia
circunscrita. ¿Cómo se llama el centro de esa circunferencia?
5 cm
4 cm
3 cm
El centro de la circunferencia circunscrita se llama circuncentro.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
10
Dibuja un cuadrado cuya diagonal mida 6 cm.
3 cm
3 cm
Los pasos a seguir son:
1.° Se traza un segmento de 6 cm.
2.° Se traza la mediatriz del segmento y se miden
3 cm a cada lado del punto donde se cortan.
3.° Se unen los extremos de los segmentos.
6 cm
11
Dibuja un rectángulo del que se conoce la diagonal,
10 cm, y un lado, 8 cm.
☞ Empieza construyendo un triángulo rectángulo con la diagonal y el lado conocido. Después, completa el rectángulo.
d = 10 cm
8 cm
10 cm
8 cm
12
Traza dos rectas perpendiculares y sus dos
bisectrices.
Traza una circunferencia de radio 6 cm con centro
en el punto donde se cortan las cuatro rectas.
Dibuja un octógono regular y justifica la construcción.
Esta forma de construir un octógno nos asegura que todos los lados y ángulos son iguales.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
13
Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y 8 cm, respectivamente.
Las diagonales del rombo
son perpendiculares, por
lo que la forma de construirlo será:
3 cm
1.° Dibujamos un segmento de 8 cm (o 6 cm).
2.° Hallamos la mediatriz
del segmento y señalamos 3 cm a cada lado
de esta (o 4 cm).
4 cm
4 cm
3 cm
3.° Unimos los extremos
de los segmentos.
14
Dibuja un hexágono regular de 4 cm de lado.
Como sabemos, el radio de un hexágono es igual que su lado. Por tanto, los pasos a
seguir serán:
1.° Dibujamos una circunferencia de 4 cm de radio.
2.° Desde cualquier punto de la circunferencia, pinchamos el compás con medida
4 cm reiteradamente.
3.° Unimos los puntos hallados.
4 cm
m
4c
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
15
Haz una espiral sobre papel cuadriculado.
Traza las cuatro semirrectas a, b, c y d. Con centro en 1, haz un arco de radio
1 entre a y b.
Con centro en 2, haz un arco de radio 2 entre b y c. Y así, sucesivamente, ve tomando como centro 3, 4, 1, 2, 3, 4, … y ve aumentando una unidad cada vez el
radio de los sucesivos arcos de circunferencia.
b
a
4
1
3
2
c
d
Propiedades de las figuras planas
16
Si dibujas dos segmentos que sean perpendiculares en sus puntos medios y
unes sus extremos, obtienes un cuadrilátero. ¿De qué tipo es?
Hazlo en tu cuaderno:
a) Para dos segmentos de distinta longitud.
b) Para dos segmentos de igual longitud.
a) Es un rombo.
17
b) Es un cuadrado.
Dibuja dos segmentos que se corten en sus puntos medios y no sean perpendiculares. Une sus extremos y di qué tipo de cuadrilátero se obtiene:
a) Si los dos segmentos son de igual longitud.
b) Si los dos segmentos son de distinta longitud.
a) Es un rectángulo.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
b) Es un romboide.
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
18
Dibuja un cuadrilátero en cada caso:
a) Paralelogramo con dos ejes de simetría.
b) Con cuatro ejes de simetría.
c) Paralelogramo con un eje de simetría.
d) Paralelogramo sin ejes de simetría.
e) No trapecio con un eje de simetría.
a) Puede ser un rectángulo o un rombo.
e1
e1
e2
b) Cuadrado.
e2
c) Por ejemplo:
e1
e2
e4
e1
e3
d) Por ejemplo:
e1
e) Por ejemplo:
e1
19
Dibuja un cuadrilátero en cada caso:
a) Paralelogramo con las diagonales perpendiculares.
b) No paralelogramo con las diagonales perpendiculares.
c) Paralelogramo con las diagonales iguales.
d) No paralelogramo con las diagonales iguales.
a) Puede ser un cuadrado o un rombo.
b) Por ejemplo:
c) Puede ser un rectángulo o un cuadrado.
d) Por ejemplo:
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
e1
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
20
21
Dibuja un cuadrilátero en cada caso:
a) Con dos pares de lados iguales y paralelogramo.
b) Con dos pares de lados iguales y no paralelogramo.
c) Con dos pares de ángulos iguales y paralelogramo.
d) Con dos pares de ángulos iguales y no paralelogramo.
a) Por ejemplo:
b) Por ejemplo:
c) Por ejemplo:
d) Por ejemplo:
Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y un triángulo cuyos lados sean:
uno secante a la circunferencia, otro tangente y otro exterior.
5 cm
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
22
Dibuja dos circunferencias, C y C', de radios 5 cm y 3 cm, respectivamente, que sean tangentes interiores. Traza tres circunferencias distintas, de 2 cm de radio, tales que cada una de ellas sea tangente a C y a C'.
23
Traza dos rectas que se corten. Dibuja una circunferencia, de radio el que tú
quieras, tangente a ambas rectas.
Completa la frase: “Si una circunferencia es tangente a dos rectas que se cortan,
su centro estará en la …”
r1
“Si una circunferencia es tangente a
dos rectas que se cortan, su centro estará en la bisectriz de ambas rectas”.
R
r2
24
¿Cuál es la posición relativa de las rectas y las circunferencias?
a)
a) Exteriores.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
b)
b) Secantes.
c)
c) Tangentes.
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
25
¿Cuál es la posición relativa de cada par de circunferencias?
a)
a) Tangentes exteriores.
26
b)
c)
b) Secantes.
c) Concéntricas.
La distancia entre los centros de dos circunferencias es 11 cm. Sus radios miden 29 cm y 18 cm. ¿Cuál es su posición relativa? Dibújalas.
r2 = 18 cm
d = 11 cm
r1 = 29 cm
r1 – r2 = 11 cm = d
Las circunferencias son tangentes interiores.
r1
d
r2
Te o r e m a d e P i t á g o r a s
28
Di si los triángulos siguientes son rectángulos, acutángulos u obtusángulos:
I. a = 61 m, b = 60 m, c = 11 m
II. a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm
III. a = 30 m, b = 24 m, c = 11 m
a 2 = 3 721, b 2 + c 2 = 3 600 + 121 = 3 721
Como a 2 = b 2 + c 2, el triángulo es rectángulo.
II. a 2 = 324, b 2 + c 2 = 225 + 144 = 369
Como a 2 < b 2 + c 2, el triángulo es acutángulo.
III. a 2 = 900, b 2 + c 2 = 576 + 121 = 697
Como a 2 > b 2 + c 2, el triángulo es obtusángulo.
I.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 11
29
Un globo cautivo está sujeto al suelo con una
cuerda. Ayer, que no había viento, el globo estaba a
51 m de altura. Hoy hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 45 m del punto de amarre. ¿A qué altura está hoy el globo?
51 m
a
a = √512 – 452 = √576 = 24 m
45 m
El globo está hoy a 24 m de altura.
30
Para afianzar una antena de 24 m de altura, se
van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantes que se amarrarán en tierra, a 18 m de la base.
¿Cuántos metros de cable se necesitan para los tirantes?
24 m
l
l = √242 + 182 = √900 = 30 m
La longitud de uno de los tirantes es 30 m.
18 m
Se necesita 4 · 30 = 120 m de cable para los tirantes.
31
Calcula el perímetro del triángulo ABC. Aproxima a las décimas la medida de cada lado.
A
3 cm
B
C
—
AB = √22 + 22 = √8 ≈ 2,8 cm
—
BC = √12 + 42 = √17 ≈ 4,1 cm
—
CA = √32 + 22 = √13 ≈ 3,6 cm
Perímetro de ABC = 10,5 cm
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 12
32
Halla las dimensiones de las figuras que se obtienen con los siguientes cortes hechos a un cubo de 6 cm de arista y represéntalas en tu cuaderno. Di qué tipo
de polígono se obtiene:
6
El corte contiene a una arista y pasa por los puntos
medios de otras dos aristas.
b)
6
El corte contiene a dos aristas opuestas.
c)
6
Observa que los cuatro lados son iguales. Halla su longitud y la de la diagonal menor.
a)
3
3
3
d)
El plano pasa por los puntos medios de dos aristas
contiguas y por dos vértices.
3
3
6
a)
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
6 cm
Es un rectángulo de 6,7 cm Ò 6 cm.
x
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 13
b)
6 cm
x = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm
x
Es un rectángulo de 6 cm Ò 8,5 cm.
c)
D
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
x
d
Es un rombo de 6,7 cm de lado.
Perímetro = 4 · 6,7 = 26,8 cm.
x
La diagonal menor es igual a la diagonal de una cara del cubo.
Mide d = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm.
x
d)
x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,2 cm
z
z
y = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm
z = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
y
Es un trapecio isósceles de bases 8,5 cm y 4,2 cm y lados no paralelos de 6,7 cm.
33
Di el valor del área del cuadrado verde en cada uno de los casos siguientes:
a)
b)
144 m2
16 m2
196 m2
9 m2
a) A = 144 + 196 = 340 m2
b) A = 16 – 9 = 7 m2
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 14
34
Calcula el lado desconocido de estos triángulos:
56 dm
?
33 dm
B
89 m
A
?
80 m
Llamamos x a la longitud del lado desconocido:
A: x = √892 – 802 = √1 521 = 39 m
B: x = √562 + 332 = √4 225 = 65 dm
35
Calcula el lado desconocido de los siguientes triángulos rectángulos, aproximando hasta las décimas.
A
16 m
?
15 km
7m
4 cm
B
C
?
?
23 km
5 cm
Llamamos x a la longitud del lado desconocido:
A: x = √42 + 52 = √41 ≈ 6,4 cm
B: x = √162 – 72 = √207 ≈ 14,4 m
C : x = √232 – 152 = √304 ≈ 17,4 km
36
¿Cuánto mide el lado del cuadrado cuya diagonal mide 6 cm?
6
cm
x
62 = x 2 + x 2 8 36 = 2x 2 8 x 2 = 18 8 x ≈ 4,2 cm
El lado del cuadrado mide 4,2 cm.
x
37
La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y uno de sus lados, 8 cm. Halla
la longitud del otro lado.
x = √102 – 82 = √36 = 6 cm
10
cm
El lado que falta del rectángulo mide 6 cm.
8 cm
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
x
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 15
Halla el lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm.
x
4 cm
38
x = √42 + 32 = √25 = 5 cm
3 cm
El lado del rombo mide 5 cm.
39
De un rombo se conoce una de sus diagonales, 16 cm, y el lado, 17 cm.
¿Cuánto mide la otra diagonal?
x
x = √172 – 82 = √225 = 15 cm
La otra diagonal del rombo mide 2 · 15 = 30 cm.
40
17 cm
8 cm
Dibuja un rombo de diagonales 6 cm y 8 cm. Calcula la longitud del lado y
comprueba el resultado sobre el dibujo.
x = √42 + 32 = √25 = 5
4 cm
El lado mide 5 cm.
x
3 cm
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 16
41
Dibuja un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos midan 17 cm y 11 cm,
y el lado oblicuo, 10 cm. Empieza averiguando cuánto mide la altura.
11 cm
x
x = √102 – 62 = 8 cm
10 cm
La altura mide 8 cm.
17 cm
42
6 cm
¿Cómo es la longitud de la apotema de un cuadrado con
relación a su lado? Halla el radio de un cuadrado cuyo lado
mida 12 cm, con dos cifras decimales.
a
r
l
6 cm
6 cm
r
La apotema de un cuadrado mide la mitad que su lado.
r = √62 + 62 = √72 ≈ 8,49 cm
El radio del cuadrado mide 8,49 cm
12 cm
43
Recuerda que en el hexágono regular el lado es igual
al radio. Calcula la longitud de la apotema de un hexágono
regular de lado 6 cm, con una cifra decimal.
a
r
3 cm
a
6 cm
a = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 cm
La apotema del hexágono mide 5,2 cm.
6 cm
44
El lado de un pentágono regular mide 12 cm, y su radio, r = 10,2 cm. Halla
su apotema con una cifra decimal.
12 cm
10,2 cm
a
6 cm
a = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 cm
La apotema del pentágono mide 8,2 cm.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 17
45
El radio de un pentágono regular mide 20 cm, y su apotema, 16,2 cm. Halla
la longitud de su lado (con una cifra decimal).
x = √202 – 16,22 = √137,56 ≈ 11,7 cm
16,2 cm
20 cm
El lado del pentágono mide 2 · 11,7 = 23,4 cm.
x
46
El lado de un octógono regular mide 8 cm, y su apotema, 9,6 cm. Halla el
radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
8 cm
9,6 cm
r = √9,62 + 42 = √108,16 ≈ 10,4 cm
El radio de la circunferencia circunscrita es igual al radio del octógono, y mide 10,4 cm.
r
4 cm
47
Halla, con una cifra decimal, la altura de un triángulo equilátero de 12 cm
de lado. ¿Cuánto miden su apotema y su radio?
a
12 cm
a = √122 – 62 = √108 ≈ 10,4 cm
La altura mide 10,4 cm.
6 cm
La apotema es 1 de la altura del triángulo, y el radio es 2 de la altura.
3
3
Por tanto: apotema = 1 (10,4) ≈ 3,5 cm
3
radio = 2 (10,4) ≈ 6,9 cm
3
48
El lado del hexágono exterior mide 8 cm. Halla el radio, la apotema y el lado
del triángulo azul.
8 cm
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 18
Al ser un hexágono, su radio mide igual que el lado.
Por tanto:
4 cm
x
8 cm
x = √82 – 42 = √48 ≈ 6,9 cm
El lado del triángulo mide 2 · 6,9 = 13,8 cm.
El radio del triángulo coincide con el radio del hexágono, por lo que mide 8 cm.
La apotema del triángulo mide la mitad del radio; es decir, 4 cm.
49
Una recta pasa a 18 cm del centro de una circunferencia de radio 19,5 cm.
¿Corta la recta a la circunferencia?
Halla la longitud de la cuerda que determina en ella.
La recta corta a la circunferencia, ya que la distancia de
la recta al centro de la circunferencia es menor que el
radio.
19,5
x = √19,52 – 182 = √56,25 = 7,5 cm
cm
x
18 cm
La cuerda mide 2 · 7,5 = 15 cm.
Cuerpos geométricos
50
Observa estos cuerpos:
1
4
2
3
5
7
6
8
9
a) ¿Cuáles son poliedros? De ellos, nombra los prismas y la pirámide. ¿Hay alguno que no sea prisma ni pirámide?
b) ¿Cuáles son cuerpos de revolución? Nómbralos.
c) ¿Hay alguno que no sea ni poliedro ni cuerpo de revolución?
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 19
a) Son poliedros: 1 , 2 , 7 y 9 .
1
8 Prisma hexagonal (no regular).
7
8 Pirámide triangular regular (tetraedro).
9
8 Prisma triangular.
El poliedro 2 no es prisma ni pirámide.
b) Son cuerpos de revolución: 4 , 5 , 6 y 8 .
4
8 Cilindro.
5
8 Cono.
6
8 Tronco de cono.
8
8 Esfera.
c) El cuerpo geométrico 3 no es ni un poliedro ni un cuerpo de revolución.
51
¿Cuáles de las figuras siguientes son cuerpos de revolución? ¿De cuáles conoces el nombre?
Son cuerpos de revolución la lata, la pelota, la rosquilla, el embudo, el lápiz, la vasija y la copa. Cada una de las torres son cuerpos de revolución, el edificio no.
La lata es un cilindro.
La pelota es una esfera.
Los tejados de las torres son conos.
52
Al girar cada una de las figuras siguientes en torno al eje que se indica se genera una figura de las del ejercicio anterior. Identifícala.
A
A 8 Vasija.
B 8 Copa.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
B
C
C 8 Rosquilla.
D
D 8 Lata.
E
E 8 Pelota.
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 20
53
Dibuja la figura y el eje alrededor del que ha de girar para generar la copa,
la pelota y el embudo del ejercicio 51.
Para engendrar
la copa:
Para engendrar
la pelota:
Para engendrar
el embudo:
Problemas
54
Sobre cada uno de los lados de un hexágono regular construimos un cuadrado. Unimos los vértices
sueltos mediante segmentos. Se obtiene así un dodecágono (polígono de 12 lados).
¿Crees que es regular? Justifica la respuesta.
Demuestra que el ángulo A es de 60° para así probar
que el triángulo es equilátero.
b
120°
A
El ángulo interior del hexágono mide 4 · 180° = 120°.
6
b medirá 360° – 120° = 240°.
Pero b = 90° + 90° + A 8 A = b – 2 · 90° 8 A = 60°
Sabiendo que A = 60°, sabemos que los triángulos de la figura son equiláteros. Por
eso sabemos que los lados del dodecágono que resulta son iguales. Como los ángulos que forman el dodecágono son la suma del ángulo de un cuadrado más el de un
triángulo, son todos iguales. Por tanto, es regular.
55
Sobre cada uno de los lados de un cuadrado construimos otro cuadrado.
Unimos los vértices sueltos mediante segmentos. Se obtiene así un octógono.
¿Crees que es regular? Justifica la respuesta.
Los triángulos de la figura son rectángulos, por lo que
no son equiláteros. La hipotenusa de cada triángulo es
mayor que los catetos, que son iguales que el lado del
cuadrado. Como el octógono tiene lados formados por
los lados de los cuadrados y otros formados por las hipotenusas de los triángulos, no tiene todos sus lados
iguales. Por tanto, no es regular.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
l = 12 cm
12
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 21
56
Construye un cubo de cartulina.
a) Señala sobre él cómo hay que cortarlo para obtener un triángulo equilátero.
¿Cuál es el mayor posible?
b) ¿Y un cuadrado?
c) ¿Y un hexágono regular?
a)
57
b)
c) Hecho en el libro del
alumno.
¿Será posible conseguir un cuadrado cortando por un
plano este cilindro achatado?
Sí.
Unidad 12. Figuras planas y espaciales
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
Á REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS
Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:
1
a)
b)
4 cm
5 dm
2 cm
5 cm
8 cm
a) A = 52 = 25 dm2
P = 5 · 4 = 20 dm
2
a)
b) A = 8 · 2 = 8 cm2
2
P = 8 + 5 + 4 = 17 cm
b)
5m
8m
17 m
15 m
a) A = π · 52 ≈ 78,5 dm2
P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm
3
a)
b) A = 15 · 8 = 60 m2
2
P = 15 + 8 + 17 = 40 m
b)
5 mm
7 dm
5 dm
9,2 dm
11 dm
a) A = 11 + 5 · 7 = 56 dm2
2
P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm
4
a)
10 mm
b) A = 10 · 5 = 50 mm2
P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm
b)
6 cm
18 cm
9,5 cm
a) A = 18 · 6 = 54 cm2
2
P = 9,5 · 4 = 38 cm
Unidad 13. Áreas y perímetros
5,4 hm
28 hm
15 hm
b) A = 28 · 5,4 = 75,6 hm2
2
P = 28 + 15 · 2 = 58 hm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
5
a)
b)
3 cm
30,4 mm
30 mm
2,1 cm
47 mm
57 mm
a) A = 47 + 57 · 30 = 1 560 mm2
2
P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm
6
b) A = 5 · 3 · 2,1 = 15,75 cm2
2
P = 5 · 3 = 15 cm
a)
b)
5d
am
6 km
4 dam
9 dam
2
b) A = π · 3 ≈ 14,13 km2
2
a) A = 9 · 4 = 36 dam2
P = 2π · 3 + 6 ≈ 9,42 dm
2
P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam
7
a)
b)
15
12 cm
7,
2
cm
6 cm
cm
43 cm
cm
36 cm
a) A = 8 · 6 · 7,2 = 172,8 cm2
2
P = 8 · 6 = 48 cm
a)
b) A = 43 + 36 · 12 = 474 cm2
2
P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm
b)
15 m
8
20
8m
7 mm
a) A = π · 152 – π · 82 ≈ 505,54 m2
P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m
Unidad 13. Áreas y perímetros
b) A = 72 – π · 3,52 ≈ 10,53 mm2
P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
9
a)
b)
9,9 km
3 km
120°
4 km
2
a) A = 7 · 7 – π · 3 ≈ 17,43 km2
2
4
2
b) A = π · 15 · 120 ≈ 235,5 mm2
360
P = 2 · π · 3 + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km
4
10
m
8m
a)
P = 2π · 15 · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm
360
b)
8,6 hm
1m
5 hm
0,5 m
7 hm
2
2
a) A = π · 1,5 – π · 1 ≈ 0,98 m2
4
4
P = 2π · 1,5 + 2π · 1 + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m
4
4
2
b) A = 7 · 5 + π · 5 ≈ 37,12 hm2
2
4
P = 2 · π · 5 + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm
4
M EDIR Y CALCULAR ÁREAS Y PERÍMETROS
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,
tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).
11
a)
b)
2,4 cm
a) A = 5,76 cm2
P = 9,6 cm
Unidad 13. Áreas y perímetros
1,2 cm
b) A = 4,52 cm2
P = 7,54 cm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
12
a)
b)
2 cm
2 cm
2,4 cm
3,5 cm
a) A = 4,8 cm2
P = 8,8 cm
13
b) A = 3,5 cm2
P = 8 cm
a)
b)
1,6 cm
2,2 cm
2 cm
a) A = 4,3 cm2
P = 8,5 cm
14
1,8 cm
0,5 cm
2,7 cm
b) A = 1,77 cm2
P = 8,41 cm
a)
b)
3 cm
60°
cm
1,6 cm
1,7 cm
1,7
1,5 cm
1,6 cm
1,5 cm
2,9 cm
3,1 cm
a) A = 7,8 cm2
P = 11,1 cm
2,2 cm
b) A = 3,3 cm2
P = 7,4 cm
Á REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS
15
Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide el
lado.
ÁREA DEL CUADRADO
cm2
16
225 cm2
36 mm2
100 dam2
Unidad 13. Áreas y perímetros
LADO
ÁREA DEL CUADRADO
cm2
16
225 cm2
36 mm2
100 dam2
LADO
4 cm
15 cm
6 mm
10 dam
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.
16
40 m2
40
a=—=8m
5
a
La altura del rectángulo mide 8 m.
5m
17
Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura,
10 cm.
A = 12 + 20 · 10 = 160 cm2
2
El área del trapecio es 160 cm2.
18
Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,
c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.
9m
5m
4m
Área = 12 + 9 · 4 = 42 m2
2
El área del trapecio es 42 m2
12 m
19
Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y
otro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.
A = 26 + 14 · 8 = 160 cm2
2
P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm
20
El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm
y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.
a13
m
11
13
a20
20 m
Unidad 13. Áreas y perímetros
m
a11
P = 20 + 11 + 13 = 44 cm
66
66 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm
20
66
66 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm
13
66
66 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm
11
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
21
Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula
su área y la altura sobre la hipotenusa.
17 dm
8 dm
ah
15 dm
A = 15 · 8 = 60 dm2
2
17 · ah
120 =
8 ah = 120 ≈ 7,06 dm
17
2
22
Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y
5,2 mm de apotema.
A = 6 · 6 · 5,2 = 93,6 mm2
2
P = 6 · 6 = 36 mm
En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm.
Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.
34 cm
23
24 cm
90° O
ATRIÁNGULO = 24 · 24 = 288 cm2
2
ACÍRCULO = π · 242 ≈ 1 808,64 cm2
ASEGMENTO CIRCULAR = 1 ACÍRCULO – ATRIÁNGULO = 1 808,64 – 288 = 164,16 cm2
4
4
24
Calcula el área de la zona coloreada.
5 cm
4 cm
A = 52 + 42 + 32 – (5 + 4 + 3) · 5 = 20 cm2
2
Unidad 13. Áreas y perímetros
3 cm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
25
Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas.
a)
31 m
49 m
37 m
40 m
35 m
54 m
b)
7c
m
5m
2,
5
m
c)
a)
5m
26 m
31 m
49 m
5m
37 m
35 m
40 m
42 m
54 m
A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 = 3 437 m2
P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m
2
b) A = π · 7 ≈ 51,29 cm2
3
P = 2π · 7 + 2 · 7 ≈ 28,65 cm
3
c) A = 5 · 5 = 25 m2
P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
26
Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a)
A
B
OB = 11 cm
AB = 8 cm
O
b)
C
B
ì
A = 60°
AB = 10 m
AC = 8,7 cm
A
a) A = 2 · 8 · 11 · 5 = 440 cm2
2
P = 2 · 8 · 5 = 80 cm
ì
—
—
b) Como el triángulo es equilátero (ya que A = 60°), AB = 2BC = 10 m.
2
A = π · 10 · 60 – 10 · 8,7 ≈ 8,83 m2
2
360
P = 2π · 10 · 60 + 10 ≈ 20,47 m
360
27
El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm.
¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?
Observación:
l
l
Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad del
del cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es el
doble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el lado
del cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetro
del cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
28
Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.
Radio circunferencia grande: R = 3 cm
Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm
A = π · 32 – 7 · π · 12 = 2π ≈ 6,28 cm2
29
¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica
la respuesta.
Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales para
todos ellos.
30
A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar
de la circunferencia.
C
C
A
B
C
¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?
Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia
para que el área sea lo mayor posible. Esto es porque con
la misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será el
área del triángulo.
C
A
Unidad 13. Áreas y perímetros
B
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
Á REAS Y PERÍMETROS UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,
tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si
no es exacto, halla una cifra decimal.
31
a)
b)
25 m
7m
6m
5m
a = √62 – 2,52 = √29,75 = 5,5 m
a)
a
A = 6 · 5,5 = 13,8 m2
2
P = 2 · 6 + 5 = 17 m
6m
2,5 m
x = √252 – 72 = √576 = 24 m
b)
A = 24 · 7 = 84 m2
2
P = 24 + 7 + 25 = 56 m
7m
25 m
x
32
b)
5 cm
a)
90 m
13 cm
a = √132 – 52 = √144 = 12 m
a)
13 cm
5 cm
x
A = 12 · 5 = 60 cm2
P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm
b)
53 m
45 m
x
33
53 m
a)
x = √532 – 452 = √784 = 28 m
A = 2 · 28 · 90 = 2 520 m2
2
P = 53 · 4 = 212 m
b)
99 m
Unidad 13. Áreas y perímetros
15 cm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 11
x2
a)
99 m
x
=
992
8
= 9 801 8
8 x 2 = 4 900,5 8 x = √4 900,5 ≈ 70 m
A = 702 = 4 900 m2
x = √152 + 152 = √450 ≈ 21,2 cm
b)
x
A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2
15 cm
15 cm
P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm
b) 18 cm
a)
cm
110
89 cm
98 cm
73 cm
x = √732 – 552 = √2 304 = 48 cm
a)
55
cm
A = 110 · 48 · 2 = 5 280 cm2
2
P = 4 · 73 = 292 cm
x
73 cm
x = √892 – 802 = √1 521 = 39
b) 18 cm
A = 18 + 98 · 39 = 2 262 cm2
2
P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm
89 cm
x
80 cm
98 cm
35
2x 2
P = 70 · 4 = 280 m
x
34
+
x2
a)
b)
41 dam
41 dam
53 dam
4 dm
8 dm
5,6 dm
71 dam
a)
x = √412 – 92 = √1 600 = 40 dam
53 dam
9 dam
71 dam
b)
2,4 dm
41 dam
x
4 dm
x
5,6 dm
Unidad 13. Áreas y perímetros
A = 53 + 71 · 40 = 2 480 dam2
2
P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam
x = √42 – 2,42 = √10,24 = 3,2 dm
A = 8 + 5,6 · 3,2 ≈ 21,8 dm2
2
P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 12
36
a)
b)
12 m
10,2
48 cm
m
25 cm
25 cm
a)
x = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 m
12 m
10,2
x
A = 12 · 8,2 · 5 = 246 m2
2
P = 12 · 5 = 60 m
m
6m
x = √252 – 242 = √49 = 7 cm
b)
24 cm
x
25 cm
25 cm
37
a)
A = 48 · 7 · 2 = 336 cm2
2
P = 4 · 25 = 100 cm
b)
x
60°
8 mm
10 m
x
x
x = √102 – 52 = √75 ≈ 8,7 m
a)
5m
x
10 m
2
A = π · 10 · 60 – 10 · 8,7 ≈ 8,8 m2
2
360
P = 2π · 10 · 60 + 10 ≈ 20,5 m
360
(2x)2 + x 2 = 82 8 5x 2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm
b)
x
8 mm
x
x
38
x
A = 3,6 · 2 · 3,6 · 2 – 3,6 · 2 · 3,6 ≈ 13 mm
2
2
P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm
x
Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.
l = 28 : 4 = 7 cm
x
7 cm
x = √72 + 72 = √98 ≈ 9,9 cm
La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.
7 cm
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 13
Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.
21 cm
39
l
l = √212 + 202 = √841 = 29 cm
P = 4 · 29 = 116 cm
20 cm
40
Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado
oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.
30 m
x = √892 – 802 = √1 521 = 39 m
89 m
x
80 m
110 m
41
A = 30 + 110 · 39 = 2 730 m2
2
P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m
Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.
l = 60 : 3 = 20 dam
x
20 dam
10 dam
42
x = √202 – 102 = √300 ≈ 17,32 dam
A = 20 · 17,32 = 173,2 dam2
2
Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es o
no un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.
532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2
Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.
A = 45 · 28 = 630 cm2
2
630 = 53 · ah 8 ah = 630 ≈ 11,9 cm
53
La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.
43
Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.
Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 14
a = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 cm
AHEXÁGONO = 6 · 6 · 5,2 = 93,6 cm2
2
2
ACÍRCULO = π · 6 ≈ 113,04 cm2
6 cm
3 cm
a
ARECINTO = ACÍRCULO – AHEXÁGONO = 19,44 cm2
44
¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro.
1 cm
1 cm
El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros √2 ≈ 1,4 cm.
El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2. El octógono está formado por 5
cuadrados de 1 cm2 y cuatro mitades. Esto es:
Área = 5 · 1 + 4 · 1 = 7 cm2
2
45
Calcula el perímetro y el área de esta figura:
8m
12 m
8m
18 m
8m
4m
x = √102 + 42 = √116 ≈ 10,77 m
4m
x
ARECTÁNGULO = 18 · 8 = 144 m2
10 m
ATRAPECIO = 8 + 18 · 4 = 52 m2
2
8m
2
A 1/2 CÍRCULO = π · 4 ≈ 25,12 m2
2
18 m
ATOTAL = ARECTÁNGULO + ATRAPECIO – A 1/2 CÍRCULO = 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2
P = 18 + 8 + 10,77 + 2π · 4 + 12 ≈ 61,33 m
2
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 15
46
Halla el perímetro y el área de esta figura:
m
10 d
26 dm
x = √262 – 102 = √576 = 24 dm
m
10 d
x
26 dm
ATRIÁNGULO = 24 · 10 = 120 dm2
2
2
A 1/2 CÍRCULO GRANDE = π · 12 ≈ 226,08 dm2
2
2
A 1/2 CÍRCULO PEQUEÑO = π · 5 ≈ 39,25 dm2
2
ATOTAL = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2
P = 26 + 2π · 5 + 2π · 12 ≈ 79,38 dm
2
2
47
Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones de
un cubo:
a)
b)
6 cm
6 cm
3 cm
6 cm
3 cm
6 cm
3 cm
a)
6 cm
x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,24 cm
x
A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2
6 cm
b)
P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,71 cm
6 cm
A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2
x
Unidad 13. Áreas y perímetros
P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 16
48
Determina el perímetro
y el área de la siguiente figura:
4m
5m
13 m
3,5 m
x
x = √52 – 42 = √9 = 3
1
y = √132 – 52 = √144 = 12
5m
4m
13 m
z = √122 + 3,52 = √156,25 = 12,5 m
2
y
3,5 m
3
z
A① = 4 · 3 = 6 m2; A ② = 5 · 12 = 30 m2; A③ = 3,5 · 12 = 21 m2
2
2
2
2
A = 6 + 30 + 21 = 57 m
P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m
La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales
perpendiculares. Justifica que también puedes calcular su área
mediante la fórmula:
D·d
2
8m
15 m
49
d=8m
6
4
D = 15 m
5
7
8
3
ARECTÁNGULO = D · d = 8 · 15 = 120 m2
1
Como vemos, A① = A②; A③ = A④; A⑤ = A⑥; A⑦ = A⑧
2
Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:
A
AFIGURA = RECTÁNGULO = D · d = 120 = 60 m2
2
2
2
Unidad 13. Áreas y perímetros
13
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 17
50
m2.
Un salón cuadrado tiene una superficie de 50
Hemos de embaldosarlo
con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántas
losetas son necesarias?
ALOSETA = 25 · 25 = 625 cm2
ASALÓN = 50 m2 = 500 000 cm2
Para cubrir el salón se necesitan 500 000 = 800 losetas.
625
51
Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2
cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?
El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.
La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.
Por tanto, se necesitan 324 000 = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.
400
Unidad 13. Áreas y perímetros
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
R E P R E S E N TA C I Ó N D E P U N T O S
1
Representa los siguientes puntos:
a) A (3, 2), B (5, 1), C (0, 2), D (5, 5), E (3, 0).
b) A (–3, 5), B (0, –6), C (–1, –3), D (3, 4), E (5, –2).
c) A (3; 0,5), B (2; –2,5), C (– 4,5; 2), D (0; 3,5), E (–3,5; – 4,5).
a) Y
7
6
5
4
3
2 C
1
D
A
B
E
1 2 3 4 5 6 7 8
b)
X
Y
A
D
1
–1
–1
1
X
E
C
B
c)
Y
D
C
1
–1
–1
A
1
X
B
E
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
2
Dibuja la figura que se obtiene al unir cada punto con el siguiente:
A (2, 1), B (2, 3), C (3, 3), D (3, 5), E (6, 5),
F (6, 3), G (7, 3), H (7, 1), I (5, 1), J (5, 2),
K (4,5; 3), L (4, 2), M (4, 1), A (2, 1)
Y
6
5
4
3
2
1
E
D
K
B
C
A
G
L
J
M
I
F
H
1 2 3 4 5 6 7 8
3
X
Escribe las coordenadas de los siguientes puntos:
Y
C
D
B
E
X
L
F
G
A
I
H
A(5, 2)
D(–4, 3)
G(–6, –5)
J(4, –4)
B(3, 3)
E(–2, 0)
H (0, –5)
K(5, –7)
C (0, 5)
F(–4, –3)
I(1, 0)
L(5, –2)
J
K
4
Observa la siguiente gráfica y contesta:
B
a) Escribe las coordenadas de A, B, C y D.
b) Representa los simétricos de A, B, C y D respecto de la recta azul y pon sus coordenadas.
c) Representa los simétricos de A, B, C y D
respecto del eje Y y pon sus coordenadas.
d) Representa los simétricos de A, B, C y D
respecto de la recta roja y pon sus coordenadas.
A
C
D
Y
a) A(4, 3); B(2, 5); C (2, 2); D(7, 1)
b) A'(4, –5); B'(2, –7); C'(2, –4); D'(7, –3)
A''
D''
B''
B
C''
C
A
D
c) A''(– 4, 3); B''(–2, 5); C''(–2, 2); D''(–7, 1)
d) A''' (–3, – 4); B''' (–5, –2); C''' (–2, –2);
D'''(–1, –7)
X
B'''
C'''
A'''
D'''
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
C'
B'
D'
A'
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
5
Lee el mensaje. Para ello, representa los puntos y únelos.
a) (2, 2), (5, 2), (5, 5), (3, 5), (3, 6), (5, 6), (5, 7), (2, 7), (2, 4), (4, 4), (4, 3),
(2, 3) y (2, 2).
b) (6, 2), (9, 2), (9, 7), (6, 7) y (6, 2).
(7, 3), (8, 3), (8, 6), (7, 6) y (7, 3).
c) (10, 2), (13, 2), (13, 5), (11, 5), (11, 6), (13, 6), (13, 7), (10, 7), (10, 4),
(12, 4), (12, 3), (10, 3) y (10, 2).
Y
1
1
X
I N T E R P R E TA C I Ó N D E P U N T O S
6
En la siguiente gráfica vienen representados
un galgo y un elefante:
PESO
A
¿Qué punto corresponde a cada uno?
A 8 Elefante 8 Pesa mucho y es menos veloz.
B 8 Galgo 8 Pesa poco y es más veloz.
B
VELOCIDAD
7
Los puntos P y Q representan dos coches; uno de Antonio y
otro de Bárbara. Di cuál es de cada
uno sabiendo que el coche de
Antonio es más caro que el de
Bárbara, pero el de esta corre más.
VELOCIDAD
MÁXIMA
P
Q
PRECIO
Sitúa sobre el diagrama un punto, C, que represente el coche de Carlos, más barato y menos veloz que el de Antonio y Bárbara. Y otro punto, D, para el de
Damián, el más veloz de todos y casi tan caro como el de Antonio.
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
P 8 Bárbara
Q 8 Antonio
VELOCIDAD
MÁXIMA
D
P
Q
C
PRECIO
I N T E R P R E TA C I Ó N D E G R Á F I C A S
8
Observa el siguiente viaje en coche:
DISTANCIA (km)
90
60
30
TIEMPO (h)
1
2
3
4
5
a) ¿Cuántos kilómetros recorre en la primera media hora?
b) ¿Cuánto tiempo permanece parado en total?
c) ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra el lugar de la primera parada?
¿Y el de la segunda parada?
d) Describe paso a paso el viaje.
a) Recorre 60 km.
b) Está parado primero durante media hora y, después, una hora y tres cuartos. En
total, 2 horas y cuarto.
c) A 60 km del punto de partida se encuentra el lugar de la primera parada. El de la
segunda parada se encuentra a 90 km del punto de partida.
d) Comienza el viaje con velocidad constante y recorre 60 km en media hora. Se
para media hora y continúa el viaje haciendo 30 km en un cuarto de hora.
Permanece en el mismo sitio una hora y tres cuartos y regresa al punto de partida en una hora y media.
9
Observa este otro viaje en coche al mismo lugar que el del ejercicio anterior:
DISTANCIA (km)
90
60
30
TIEMPO (h)
1
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
2
3
4
5
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 5
a) ¿A qué distancia da la vuelta en la primera hora?
b) ¿En qué lugar se para?. ¿Cuánto dura la parada?
c) ¿Cuánto tiempo estuvo el coche en marcha?
a) A los 30 km del punto de partida.
b) Se para a los 90 km del punto de partida y permanece parado durante una hora
y media.
c) Estuvo en marcha tres horas y media.
10
Observa las carreras de dos velocistas:
80 m
META
META
80 m
Antonio
Rodolfo
10 s
10 s
a) ¿Cuáles son las dos variables que se relacionan en estas funciones?
b) Uno de ellos va “cada vez más despacio” y el otro “cada vez más deprisa”. ¿Quién
es cada uno?
c) ¿Cuál de los dos ganará la carrera de 80 m?
a) En las dos gráficas, las variables que se relacionan son las mismas: la variable x da
el tiempo en segundos. Un cuadrado es 1 s.
La variable y da la distancia, en metros, a la que se encuentran de la salida. Un
cuadrado son 10 metros.
b) Antonio va cada vez más despacio. Rodolfo va cada vez más deprisa.
c) Rodolfo ganará la carrera, ya que a los 11 segundos y poco llega a la meta, mientras que Antonio llega a los 12 segundos.
11
Todos estos rectángulos tienen la misma área, 36 cuadraditos.
A
B
G
F
D
E
C
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 6
a) Asigna a cada uno su base y su altura, y tómalos como coordenadas de un punto. Por ejemplo:
A: base 9, altura 4 8 A (9, 4)
De este modo obtendrás 7 puntos que has de representar en unos ejes cartesianos.
b) Une todos los puntos para obtener una curva, que es la gráfica de la función.
a) A(9, 4)
B(12, 3)
C (19, 2)
D(6, 6)
E(4, 9)
F (3, 12)
G(2, 18)
a) y b)
ALTURA
18
G
16
14
F
12
10
E
8
D
6
A
4
B
C
2
2
12
4
6
8
10
12
14
16
18
20 BASE
Los ingresos y los gastos diarios de una tienda de zapatos, en función del número de pares vendidos, vienen dados por las siguientes gráficas:
6 000
EUROS
INGRESOS
5 000
4 000
3 000
GASTOS
2 000
1 000
40 80 120 140 180 200
N.° DE PARES
VENDIDOS
a) ¿A partir de qué número de pares de zapatos vendidos se empieza a obtener beneficios?
b) ¿Cuánto pierde si solo vende 40 pares?
c) ¿Cuánto gana si vende 120 pares?
d) ¿Cuánto gana si vende 200 pares?
a) A partir de 80 pares de zapatos.
b) Gastos para 40 pares: 2 500 €. Ingresos: 1 500 €. Pierde 1 000 €.
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 7
c) Gastos para 120 pares: 3 250 €, aproximadamente.
Ingresos para 120 pares: 4 250 €, aproximadamente.
Gana 1 000 €, aproximadamente.
d) Gastos para 200 pares: 3 500 €.
Ingresos para 200 pares: 6 000 €.
Gana 2 500 €.
E S TA D Í S T I C A
13
Di si cada una de las siguientes variables estadísticas es cuantitativa o cualitativa:
a) Deporte preferido.
b) Número de calzado.
c) Estudios que se desean realizar.
d) Nota de matemáticas en el último examen.
e) Cantidad de libros leídos en el último mes por los alumnos de tu clase.
a) Cualitativa.
d) Cuantitativa.
14
b) Cuantitativa.
e) Cuantitativa.
c) Cualitativa.
Calcula la media, la mediana y la moda de cada uno de estos conjuntos de
datos:
a) 2, 4, 4, 41, 17, 13, 24
b) 1, 3, 5, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6
c) 1, 3, 8, 9, 4, 1, 1, 7, 10, 10
= 2 + 4 + 4 + 41 + 17 + 13 + 24 = 105 = 15
7
7
Para determinar la mediana, ordenamos los datos de menor a mayor. La mediana es el valor de en medio.
2 4 4 13 17 24 41
• MEDIANA = 13
• MODA = 4 (Es el valor que más se repite.)
a) •
MEDIA
b) •
MEDIA
= 1 + 3 + … + 6 = 54 = 5,4
10
10
1
2
3
= 5 + 6 = 5,5
2
• MODA = 6
•
MEDIANA
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
4
5
6
6
8
9
10
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 8
c) •
MEDIA
= 1 + 3 + 8 + … + 10 + 10 = 54 = 5,4
10
10
1
1
1
3
4
7
8
9
10
10
= 4 + 7 = 5,5
2
• MODA = 1
•
15
MEDIANA
A los estudiantes de un curso se les pregunta por el tipo de carrera que van
a estudiar. Estas son las respuestas:
Ingeniería
6
Medicina
4
Ciencias
6
Derecho
3
Letras
8
Informática
6
Otras
7
a) Representa estos datos en un diagrama de barras.
b) ¿Cuál es la moda?
c) ¿Por qué esta distribución no tiene ni media ni mediana?
b) MODA = Letras
a)
NI
ER
ME
IN
GE
16
DI
ÍA
CI
N
A
CI
EN
CI
AS
DE
RE
CH
O
LE
IN
TR
FO
A
S
RM
ÁT
IC
A
OT
RA
S
c) Esta distribución no tiene ni media ni
mediana porque se trata de una variable
cualitativa.
Estas son las notas que un profesor ha puesto a sus alumnos en el último examen que han hecho:
1 5 8 6 2
2 7 8 4
9
4 6 5 4 5
7 2 3 6
8
9 3 2 5 3
10 6 10 1 10
6 8 7 8 4
5 5 6 10 5
a) La variable ¿es cualitativa o cuantitativa?
b) Representa los datos en una tabla de frecuencias.
c) Representa los resultados en un diagrama de barras.
d) Halla la media, la mediana y la moda.
a) La variable es cuantitativa, ya que toma valores numéricos.
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 9
b)
17
N O TA
FRECUENCIA
1
2
2
4
3
3
4
4
5
7
6
6
7
3
8
5
9
2
10
4
c)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
d) MEDIA = 1 · 2 + 2 · 4 + … + 10 · 4 =
40
= 225 = 5,625
40
= 5,5
MODA = 5
MEDIANA
Lanzamos un dado 40 veces. Estos son los resultados:
3
4
4
4
5
3
3
2
1
6
5
3
2
4
6
2
5
1
2
6
5
6
1
5
3
4
5
4
4
2
6
1
6
6
6
6
2
1
2
1
Halla la frecuencia de cada uno de los valores de la variable. Calcula la media y la
moda de la distribución.
18
R E S U LTA D O
FRECUENCIA
1
6
2
7
3
5
4
7
5
6
6
9
= 1 · 6 + 2 · 7 + … + 6 · 9 = 147 = 3,675
40
40
MODA = 6
MEDIA
En la clase de música de cierto instituto, cada alumno tiene que elegir un instrumento entre cuatro posibles. La distribución de los alumnos según el instrumento elegido viene dada por el siguiente diagrama de sectores:
Flauta
Clarinete
Piano
Guitarra
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 10
a) ¿Cuál es el instrumento más elegido? ¿Y el menos?
b) ¿Hay algún instrumento que lo hayan elegido exactamente el 25% de la clase?
c) Sabiendo que los alumnos que han elegido cada instrumento son 7, 8, 9 y 12,
¿qué número corresponde a cada uno de ellos?
a) La guitarra es el más elegido, y el piano, el menos elegido.
b) Sí, la flauta.
c) Pinao 8 7 alumnos
Clarinete 8 8 alumnos
Flauta 8 9 alumnos
Guitarra 8 12 alumnos
19
El peso de los alumnos de una clase viene reflejado en el siguiente histograma:
5
40
45
50
55
60
65
70
75
PESO (en
kg)
a) ¿Cuántos alumnos pesan entre 60 kg y 65 kg?
b) ¿De qué color es la barra donde se ubica un alumno de 57 kg?
c) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
d) ¿Cuál es la moda?
a) 4 alumnos.
b) Azul.
c) 29 alumnos.
d) Entre 50 kg y 55 kg.
P ROBABILIDAD
20
Di cuáles de las siguientes experiencias son aleatorias y cuáles no:
a) Dejamos caer una moneda desde cierta altura y cronometramos el tiempo que
tarda en llegar al suelo.
b) Lanzamos una moneda y observamos si sale cara o cruz.
c) Lanzamos una moneda a un suelo embaldosado y observamos si toca raya o no.
d) Lanzamos una moneda y observamos si se rompe o no.
a) No es una experiencia aleatoria, porque no depende del azar.
b) Es una experiencia aleatoria.
c) Es una experiencia aleatoria.
d) No es una experiencia aleatoria, seguro que no se rompe.
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 11
21
Echamos a una bolsa las siguientes bolas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sacamos una de estas bolas y observamos el número y el color.
a) Explica por qué esta es una experiencia aleatoria.
b) Di el valor de las siguientes probabilidades:
P [1]
P [7]
P [10]
P [ROJA]
P [VERDE]
P [AZUL]
a) Es una experiencia aleatoria, porque depende del azar sacar una bola u otra.
b) P [1] = 1
10
P [ROJA] = 5 = 1
10 2
22
P [7] = 1
10
P [10] = 1
10
P [VERDE] = 3
10
P [AZUL] = 2 = 1
10 5
Calcula la probabilidad, en cada una de las siguientes urnas, de sacar:
a) Bola roja.
b) Bola azul.
c) Bola negra. d) Bola verde.
A
B
a) A 8 P [ROJA] = 3
8
b) A 8 P [AZUL] = 2 = 1
8 4
B 8 P [ROJA] = 2
7
B 8 P [AZUL] = 2
7
C 8 P [ROJA] = 3 = 1
6 2
C 8 P [AZUL] = 0
c) A 8 P [NEGRA] = 1
8
23
C
d) A 8 P [VERDE] = 2 = 1
8 4
B 8 P [NEGRA] = 1
7
B 8 P [VERDE] = 2
7
C 8 P [NEGRA] = 2 = 1
6 3
C 8 P [VERDE] = 1
6
Calcula la probabilidad de obtener, en cada una de las ruletas:
a) Rojo.
b) Azul.
c) Negro.
d) Verde.
A
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
B
C
D
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 12
a) A 8 P [ROJO] = 2 = 1
6 3
b) A 8 P [AZUL] = 0
B 8 P [ROJO] = 1
4
B 8 P [AZUL] = 3
4
C 8 P [ROJA] = 2
5
C 8 P [AZUL] = 1
5
D 8 P [ROJA] = 3
8
D 8 P [AZUL] = 2 = 1
8 4
c) A 8 P [NEGRO] = 1
6
24
d) A 8 P [VERDE] = 3 = 1
6 2
B 8 P [NEGRO] = 0
B 8 P [VERDE] = 0
C 8 P [NEGRO] = 1
5
C 8 P [VERDE] = 1
5
D 8 P [NEGRO] = 2 = 1
8 4
D 8 P [AZUL] = 1
8
Un chico tira a diana con un dardo. Lo ha lanzado 250 veces y ha dado en
el círculo rojo 36. ¿Qué probabilidad asignas al suceso “en la próxima tirada el chico acertará en el círculo rojo”?
P [CÍRCULO ROJO] = 36 = 18 = 0,144
250 125
25
Tiramos dos dados y restamos las puntuaciones. Es decir, si sale 3 y 5, anotamos 2; si sale 4 y 4, anotamos 0. Estos son los resultados obtenidos en 100 tiradas:
2 0 4 1 2
0 5 1 3
2
3 5 2 1 3
4 1 3 0
4
1 1 1 0 2
2 1 3 2
4
5 1 2 0 4
3 2 0 3
0
2 3 1 1 2
2 1 5 2
4
2
4
2
2
0
3
4
1
5
0
0
0
1
0
2
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
2
1
1
2
4
3
0
2
1
1
0
4
2
2
1
3
2
2
1
0
3
3
4
1
2
1
3
2
3
0
2
3
3
3
4
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 13
a) Haz una tabla como esta y calcula la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa
de cada resultado:
R E S U LTA D O S
F R . R E L AT I VA
FRECUENCIA
0
1
2
3
4
5
b) Realiza tú la experiencia 100 veces.
a)
26
R E S U LTA D O S
FRECUENCIA
F R . R E L AT I VA
0
16
0,16
1
22
0,22
2
27
0,27
3
18
0,18
4
12
0,12
5
5
0,05
b) Respuesta abierta.
El juego del dominó tiene las siguientes fichas:
a) Si tenemos la ficha
y el resto están boca abajo, ¿cuál es la probabilidad
de que, tomando una al azar, encaje con
?
b) Sobre la mesa está la siguiente serie de fichas:
¿Cuál es la probabilidad de que, tomando una de las demás al azar, podamos seguir la serie?
a) Hay 7 fichas que contienen el 3 y 7 que contienen el 5. De esas 14 que hemos
contado, una la estamos contando dos veces, la
, y no deberíamos contar-
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar
14
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 14
la ninguna, ya que no está entre las que pueden salir (ya que está boca arriba). Por
tanto, 14 – 2 = 12 fichas que encajarían con
. Como hay 28 fichas, de las
cuales una no puede salir, entonces:
P [FICHAS ENCAJE] = 12 = 4
27 9
b) Hay 7 fichas que contienen al 6 y 7 que contienen al 0. La
la estamos contando dos veces; por tanto, hay 13 fichas que nos pueden interesar. Como de las
que están boca arriba hay 5 que nos intereserían, entonces hay 13 – 5 = 8 fichas
que nos pueden salir.
Hay 28 – 8 = 20 fichas boca abajo. Por tanto:
P [SEGUIR LA SERIE] = 8 = 2
20 5
Unidad 14. Tablas y gráficas. El azar