1. No category

TEMA 4: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
4.1 Razones y proporciones
Ejemplo
D directamente proporcionales
Señala en cada caso la opción correcta
I inversamente proporcionales
N no proporcionales
El precio de una sandia y su peso D
La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer determinado viaje I
El peso de una persona y el número de calzado que gasta N
El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito I
El tiempo que permanece encendida una bombilla el consumo eléctrico que ocasiona D
La altura que alcanza el agua de un depósito cilíndrico y el número de litros que contiene D
El tiempo que dura una película y el precio de la entrada N
La edad de una persona y la velocidad a la que corre N
La velocidad de un coche y la presión que lleva en las ruedas N
El número de obreros que descargan un camión y el tiempo que tardan en terminar el
trabajo I
11. La velocidad de un coche y la distancia que recorre en un minuto D
12. El precio de un tebeo y el número de tebeos que puedo comprar con mi paga I
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
4.2 Magnitudes directamente proporcionales
Ejemplo
1.
Completa.
A tiempo que permanece abierto un grifo
B litros que vierte
A (minutos) 1
2
B (litros)
4
5
8
10 15 20
15
A (minutos) 1
2
5 10
B (litros)
2.
3
3
4
5
8
10
15
20
15
20 25 40 50 75 100
Completa, sabiendo que M y N son dos magnitudes directamente proporcionales.
M 1
4
N
12
M 1 4
8
20
8
20
N 3 12 24 60
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Ejemplo
1.
Francisco ha pagado 42.5 euros por cinco entradas para el circo. ¿Cuánto pagará por tres
entradas?
5 entradas cuestas 42.5 euros
1 entrada cuesta 42. 5 5 8. 5 euros
3 entradas cuestan 8. 5 3 25. 5 euros
1
2.
3.
4.
5.
Cuatro entradas para el cine han costado 28 euros. ¿Cuánto costarán siete entradas?
4 entradas 28 euros
1 entrada 28 4 7 euros
7 entradas 7 7 49 euros
Una furgoneta que transporta tres televisores, lleva una carga de 120 kg. ¿Cuál sería la carga
si llevara cinco televisores?
3 televisores 120 kg
1 televisor 120 3 40 kg
5 televisores 40 5 200 kg
Tres kilos de naranjas cuestan 2.55 euros. ¿Cuánto cuestan cinco kilos?
3 kg 2. 55 euros
1 kg 2. 55 3 0. 85 euros
5 kg 0. 85 5 4. 25 euros
María ha comprado cuatro bolsas que contenían 48 globos. ¿Cuántos globos tendrá Enrique,
que ha comprado cinco bolsas?
María
Bolsas
Globos
4
48
Enrique 5
6.
proporcionalidad directa
4
5
48
x
x
4 x 5 48
5 48
60 globos
x
4
Por dos horas de aparcamiento he pagado 2.80 euros. ¿Cuánto pagaré por tres horas?
horas
precio
2
2.80
3
x
proporcionalidad directa
2
3
2. 8
x
2 x 3 2. 8
3 2. 8
x
4. 2 euros
2
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4.3 Magnitudes inversamente proporcionales
Ejemplo
1.
Completa
A velocidad de un coche
B Tiempo que tarda en ir al pueblo vecino
A (km/h)
10 20 30 40 60 120
B (minutos)
A (km/h)
9
10 20 30 40 60 120
B (minutos) 36 18 12 9
2.
6
3
Completa, sabiendo que M y N son dos magnitudes inversamente proporcionales.
M 1
5
N
12
M 1
5
15 30
15 30
N 60 12 4
2
Ejemplo
1.
Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarían nueve obreros?
2
2.
3.
4.
5.
6.
6 obreros tardan 3 horas
1 obrero tardaría 3 6 18 horas
9 obreros tardarían 18 9 2 horas
Una acequia que lleva un caudal de 140 litros por minuto, llena un pilón de riego en 2 horas y
18 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse el pilón si el caudal fuera de 210 litro por minuto?
Caudal (l/min)
Tiempo (min)
140
138
proporcionalidad inversa
210
x
210
138
x
140
210 x 138 140
138 140
x
92 min 1h 32 min
210
Un coche, a 60 km/h, tarda 4 horas en hacer un viaje. ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje
a una velocidad de 80 km/h?
Velocidad (km/h)
Tiempo (h)
60
4
proporcionalidad inversa
80
x
80
4
x
60
80 x 4 60
60 4
3h
x
80
Un grifo que tiene un caudal de 7 l/min, llena un depósito en tres horas. ¿Cuánto tardaría si el
caudal disminuyera a 4 l/min?
Caudal (l/min)
Tiempo (min)
7
180
4
x
proporcionalidad inversa
4
180
x
7
4 x 180 7
180 7
x
315 min 5 horas 15 min
4
Seis palas excavadoras hacen un desmonte en 16 horas. ¿Cuánto tardarían cinco palas en
hacer el mismo trabajo?
palas (l/min)
Tiempo (h)
6
16
5
x
proporcionalidad inversa
5
16
x
6
5 x 16 6
16 6
96
x
19. 2 h 19 h 12 min
5
5
Una taller de confección que trabaja 8 horas diarias, tiene previsto entregar un pedido en 15
días. ¿Cuánto horas al día deberá trabajar si decide hacer la entrega en diez días?
trabajo (h/día)
Tiempo (días)
8
15
x
10
proporcionalidad inversa
x
15
8
10
10 x 15 8
15 8
12 h/día
x
10
3
7.
8.
Un tren ha cubierto el recorrido entre dos ciudades en tres hora y media, con una velocidad de
99 km/h. ¿Cuánto tarda en el mismo recorrido otro tren más rápido que viaja a 135 km/h?
velocidad (km/h)
Tiempo (h)
99
3.5
proporcionalidad inversa
135
x
135
3. 5
x
99
135 x 3. 5 99
3. 5 99
x
2. 566 7 h 2 h 34 min
135
Julían y Tomasas van juntos de paseo. Los pasos de Julían son de 0.90 m y los de Tomasa, de
0.80 m. ¿Cuántos pasos de Tomasa equivalen a 1000 pasos de Julían?
Julían
paso (m)
nº de pasos
0.90
1000
proporcionalidad inversa
Tomasa 0.80
x
1000
0. 80
x
0. 90
0. 80 x 1000 0. 90
1000 0. 90
x
1125 pasos
0. 80
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4.4 Problemas de proporcionalidad compuesta
Ejemplo
1.
2.
3.
4.
Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 h/día, ha construido 600 m 2 de pared en 18 días.
¿Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días, trabajando 8 h/día?
trabajando 10 h/día durante 18 días construyen 600 m 2
trabajando 1 h/día durante 18 días construyen 600
60 m 2
10
10 m 2
trabajando 1 h/día durante 1 días construyen 600
10 18
3
trabajando 1 h/día durante 15 días construyen 600 15
50 m 2
10 18
trabajando 8 h/día durante 15 días construyen 600 15 8
400 m 2
10 18
Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 h/día, ha construido 600 m 2 de pared en 18 días.
¿Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días, trabajando 8 h/día?
h/dia
días
m2
10
18
600
8
15
x
h/día proporcionalidad directa
días proporcionalidad directa
m2
m2
10 18
600
x
8
15
600
8
15
x
400 m 2
10 18
Una pala excavadora, trabajando 10 h/día, ha abierto 1000 metros en 8 días. ¿Cuánto tardaría
en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12h/día?
trabajando 10 h/día abre 1000 m en 8 días
trabajando 1 h/día abre 1000 m en 8 10 80 días
2 días
trabajando 1 h/día abre 1 m en 8 10
1000
25
trabajando 1 h/día abre 600 m en 8 10 600
48 días
1000
trabajando 12 h/día abre 600 m en 8 10 600
4 días
1000 12
Una pala excavadora, trabajando 10 h/día, ha abierto 1000 metros en 8 días. ¿Cuánto tardaría
4
en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12h/día?
h/dia
m
días
10
1000
8
h/día proporcionalidad inversa días
m proporcionalidad directa días
12
600
x
8
12 1000
x
600
10
600
8
10
x
4 días
1000 12
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4.5 Los porcentajes
Ejemplo
Calcula los siguientes porcentajes:
12% de 500 500 12
60
100
15% de 2480 2480 15
372
100
18% de 850 850 18
153
100
20% de 325 325 20
65
100
65% de 1760 1760 65
1144
100
6% de 150 150 6
9
100
8% de 475 475 8
38
100
7% de 1300 1300 7
91
100
3% de 800 800 3
24
100
10% de 490 490 10
49
100
29
10% de 58 58 10
5. 8
5
100
189
35% de 270 270 35
100
2
1. El 52% de las personas matriculadas en un curso de pintura son varones. ¿Cuál es el
porcentaje de mujeres?
100 52 48
48%
2. En un clase de 30 alumnos, el 60% son chicas. ¿Cuántas chicas hay?
60% de 30 30 60
18
100
Hay 18 chicas
3. Un agricultor recoge 2500 kg de maiz y vende el 35%. ¿Cuántos kilos le quedan?
Si vende el 35%, no vende el 100 35 65
65% de 2500 2500 65
1625 kg le quedan
100
4. En un pueblo de 2800 habitantes, el 20% de la población se ha vacunado contra la gripe.
¿Cuántas personas se han vacunado contra la gripe?
20% de 2800 0. 2 2800 560. 0
560 personas se han vacunado contra la gripe
5. Josefa ha gastado el 20% del dinero que llevaba en una entrada para el cine que le ha costado
6 euros. ¿Cuánto dinero llevaba?
Total
Parte
100
20
x
6
100
x
20
6
x
100 6
20
30
5
6.
7.
8.
Llevaba 30 euros
En un colegio hay 130 chicas, lo que supone el 52% del total. ¿Cuántos chicos y chicas hay en
el colegio?
Total
Chicas
100
52
x
130
100
x
52
130
100 130
52
x
250
Hay 250 chicos y chicas
Al comprar un jersey me han hecho una rebaja del 15%, con lo que he ahorrado 9 euros.
¿Cuánto costaba el jersey sin rebajar?
Precios
Rebaja
100
15
x
9
100
x
15
9
x
100 9
15
60
Costaba 60 euros
En una población de 2000 habitantes hay 180 inmigrantes. ¿Cuál es el porcentaje de
inmigrantes?
Total
Inmigrantes
2000
180
100
x
2000
100
180
x
x
100 180
2000
9
Es un 9%
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4.6 Problemas con porcentajes
Ejemplo
Elvira tenía ahorrados 850 euros y gasto el 30% en un viaje. ¿Cuánto le costó el viaje?
30% de 850 30 850
255
100
El viaje le costó 255 euros.
Elvira tenía ahorrados 850 euros y gastó 255 euros en un viaje. ¿Qué tanto por ciento de sus
ahorros gastó?
Total
Parte
850
255
100
x
850
100
255
x
x
255 100
850
30
Gastó el 30%
Elvira gastó en un viaje 255 euros, lo que supone el 30% del dinero que tenía ahorrado. ¿Cuánto
dinero tenía ahorrado?
Total
Parte
x
255
100
30
x
100
255
30
x
255 100
30
850
Tenía ahorrado 850 euros.
En un hotel de 175 habitaciones están ocupadas el 60%. ¿Cuántas habitaciones están ocupadas?
Total
Parte
175
x
100
60
175
100
x
60
x
175 60
100
105
105 habitaciones están ocupadas
El 32% de los 25 alumnos de una clase participan en un torneo de ajedrez. ¿Cuántos alumnos
participan en el torneo?
6
Total
Parte
25
x
100
32
25
100
x
32
25 32
100
x
8
8 alumnos participan en el torneo
En un colegio de 750 alumnos han aprobado todas las materias 495. ¿Qué tanto por ciento de
alumnos ha aprobado todo?
Total
Parte
750
495
100
x
750
100
495
x
x
495 100
750
66
Es el 66%
En un restaurante han subido el menún del día un 8%. ¿Cuál será el nuevo precio si costaba 7.5
euros?
Precio inicial
Precio aumentado
7.5
x
100
108
x
108
7. 5
100
7. 5 108
100
x
8. 1
Costará 8.1 euros
Tengo que pagar 352 euros por un mueble en el que incluyen el cobro de un 10% por transporte.
¿Cuál será el precio del mueble prescindiendo del transporte?
Precio inicial
Precio aumentado
x
352
100
110
x
100
352
110
352 100
110
x
320
Cuesta 320 euros
¿Cuál será el precio de unos zapatos de 68 euros si nos hacen una descuento del 40%?
Precio inicial
Precio rebajado
68
x
100
60
68
100
x
60
x
60 68
100
204
5
40. 8
Será de 40.8 euros
¿Qué descuento me han hecho en una factura de 1385.00 euros si he pagado 1135.70?
Precio inicial
Precio rebajado
1385
1135.7
100
x
1385
100
1135. 7
x
x
100 1135. 7
1385
82. 0
Me han rebajado un 18% (100 82 18
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4.7 Interés bancario
Ejemplo
1.
2.
En un banco, que ofrece un interés anual del 3%............
100 euros, en un año, producen un beneficio de 3 euros
100 euros, en 4 años, producen un beneficio de 4 3 12 euros
500 euros, en 1 año, producen un beneficio de 5 3 15 euros
500 euros, en 4 años, producen un beneficio de 5 12 4 15 60 euros
Un inversor coloca un capital de 20000 euros en un banco que paga un interés del 4% anual.
¿Qué beneficio obtiene en un año?
4% de 20000 0. 04 20000 800 euros
¿Qué beneficio obtiene en tres años?
7
3 800 2400 euros
Otra forma de hacerlo
3.
4.
5.
Capital
Tiempo
Interés
100
1
4
capital proporcionalidad directa interés
tiempo proporcionalidad directa interés
20000
3
I
100
1
4
4 3 20000
I
2400
I
20000 3
100
¿Qué beneficio producen 5000 euros, colocados al 3.5% durante 4 años?
Capital
Tiempo
Interés
100
1
3.5
Capital
Tiempo
Interés
100
1
2.7
Capital
Tiempo
Interés
100
1
12
capital proporcionalidad directa interés
tiempo proporcionalidad directa interés
5000
4
I
100
1
3. 5
4 3. 5 5000
I
700. 0 euros
I
5000 4
100
Ernesto depososita 8000 euros, durante dos años, en un banco que paga un interés del 2.7%
anual. ¿Cuánto dinero podrá retirar transcurrido ese periodo?
capital proporcionalidad directa interés
tiempo proporcionalidad directa interés
8000
2
I
100
1
2. 7
2 2. 7 8000
I
432. 0
I
8000 2
100
Puede retirar 8000 432 8432 euros
¿Qué intereses hay que pagar por un préstamo de 6000 euros, al 12%, que hay qué devolver
en un solo pago al cabo de 4 años?
capital proporcionalidad directa interés
tiempo proporcionalidad directa interés
6000
4
I
100
1
12
4 12 6000
I
2880
I
100
6000 4
Se devolverán 2880 euros
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Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios de la página 104
8
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Escribe
a. Tres pares de números cuya razón sea 2
3
2 2
4 4y6
2
3
3 2
6
2 5
10 10 y 15
2
3
3 5
15
2 10
20 20 y 30
2
3
3 10
30
Solución abierta
Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 1
Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 1
2 Calcula x en las siguientes proporciones:
10
6
a.
x
9
6 x 9 10
90
x
15
6
4
15
7
l
x
20 36
4 15 x 7 20 36
7 20 36
84
x
4 15
Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 2
Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 2
Tareas 15-01-2015 2B: 3
Tareas 16-01-2015 2A: 3
4 Completa en tu cuaderno estas tablas de proporcionalidad directa:
1.
a.
1 2
3
7
5 10
1 2
60
3
7
12
5 10 15 35 60
10
15
35
60
Se cumple que: 5
5 es la constante de proporcionalidad
7
1
2
3
12
Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 4
Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 4
5 Completa en tu cuaderno estas tablas de proporcionalidad inversa.
a.
1
2
20 10
1
2
4
5
2
4 5 10
20 10 5 4 2
Se cumple que: 1 20 2 10 4 5 5 4 10 2 20 es la constante de
proporcionalidad.
Tareas 16-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 5
Tareas 19-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 5
Tareas 16-01-2015 2B: 6,7,8
Tareas 19-01-2015 2A: 6,7,8
9 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1.75 euros. ¿Cuánto cuestan tres kilos y medio?
9
patatas (kg)
precio (euros)
2.5
1.75
patatas proporcionalidad directa precio
3.5
x
2. 5
1. 75
3. 5 1. 75
x
2. 45 euros cuestan.
x
3. 5
2. 5
10 Cuatro operarios tardan diez horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían 5 operarios?
operarios (nº)
tiempo (h)
4
10
5
x
operarios proporcionalidad inversa tiempo
5
10
4 10
x
8h
x
5
4
11 Una cuadrilla de soladores, trabajando 8h/dia, renuevan una acera en 15 días. ¿Cuánto
tardarán trabajando 10h/día?
trabajo (h/día)
tiempo (día)
8
15
trabajo proporcionalidad inversa tiempo
10
x
10
15
8 15
x
12 días
x
8
10
12 Un paquete de 500 folios pesa 1.8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 folios?
folios (nº)
peso (kg)
500
1.8
folios proporcionalidad directa peso
850
x
1. 8
1. 8 850
500
x
3. 06 kg
x
500
850
Tareas 16-01-2015 2B: 13 20, ambos inclusive
Tareas 19-01-2015 2A: 13 20, ambos inclusive
21 Un tren de mercancias, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el trayecto entre la ciudad A
y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería de ser la velocidad media para hacer el mismo trayecto
en solo 6 horas?
velocidad (km/h)
tiempo (h)
72
7
velocidad proporcionalidad inversa tiempo
x
6
x
7
72 7
x
84 km/h
72
6
6
22 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distancia en la realidad. ¿Cuál
es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm?
mapa (cm)
realidad (km)
5
35
mapa proporcionalidad directa realidad
13
x
5
35
35 13
x
91 km
x
5
13
Tareas 19-01-2015 2B: 23 27, ambos inclusive
Tareas 20-01-2015 2A: 23 27, ambos inclusive
28 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, deber
fabricar 2000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del
trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo el pedido?
velocidad (prendas/día)
tiempo (d)
2000
12
x
10
velocidad proporcionalidad inversa tiempo
10
x
12
12 2000
x
2400 prendas diarias
2000
10
10
29 Cincuenta terneros consumen 4200 kilos de alfalfa a la semana.
a. ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?
50 terneros consumen 4200 kg de alfalfa en 7 días
1 ternero consume 4200
84 kg de alfalfa en 7 días
50
1 ternero consume 84
12 kg de alfalfa en 1 día
7
b ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días?
terneros (nº)
días (nº)
alfalfa (kg)
20
15
x
terneros (nº)
alfalfa (kg)
días (nº)
10
600
x
días proporcionalidad directa alfalfa
terneros proporcionalidad directa alfalfa
50
7
4200
x
20 15
7
4200
50
4200 15 20
x
3600 kg
50 7
c ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos
de alfalfa?
días proporcionalidad directa alfalfa
terneros proporcionalidad inversa días
50
4200
7
50
600
x
7
10 4200
600 50 7
x
5 días
4200 10
Tareas 19-01-2015 2B: 30 37, ambos inclusive
Tareas 20-01-2015 2A: 30 37, ambos inclusive
38 ¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes?
50
1
a. 50%
100
2
Tareas 21-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 38
Tareas 21-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 38
Tareas 21-01-2015 2B: 39, 40, 41
Tareas 21-01-2015 2A: 39, 40, 41
42 El gráfico representa la relación entre la población autóctona y la inmigrante en un pueblo
agrícola del sur de España.
a.
b.
¿Qué fracción de la población es inmigrante?
1
8
¿Cuántas de cada 1000 personas son inmigrantes?
11
1 de 1000 1 1000 125 personas son inmigrantes de 1000
8
8
c. ¿Cuántas de cada 100 personas son inmigrantes?
25
1 de 100 1 100
12. 5 personas son inmigrantes de 100
8
8
2
d. ¿Cuál es el porcentaje de inmigrantes?
12.5%
43 Un empleado gana 1700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipoteca de su vivienda.
¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos?
Para el resto de sus gastos tiene el 100 40 60%
60% de 1700 0. 6 1700 1020. 0 euros tiene para el resto de sus gastos
44 De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto por ciento ha faltado a la
excursión?
28 de 100 28 100 35 80% ha ido a la excursión.
35
Ha faltado el 20%
Tareas 21-01-2015 2B: 45,46,47,48
Tareas 21-01-2015 2A: 45,46,47,48
49 De 5475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué tanto por ciento
de los hombres reconoce saber planchar?
76 de 100 76 100 5475
304
1. 388 1% sabe planchar
5475
219
50 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha solucionado más
del 65%, pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le quedan por resolver?
Calculamos:
65% de 18 0. 65 18 11. 7
70% de 18 0. 70 18 12. 6
Esto nos dice que tiene resueltos 12 problemas, y le faltan por resolver 6.
Tareas 21-01-2015 2B: 51,52,53,54
Tareas 21-01-2015 2A: 51,52,53,54
55 La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0.55 euros. ¿Cuánto costaba antes de la
subida?
El precio actual de la barra, comparado con su precio anterior es del 100 10 110%
Si llamamos x al precio anterior de la barra, se cumple que:
110% de x es 0.55 1. 10 x 0. 55
0. 55
x
0. 5
1. 1
La barra antes costaba 0.5 euros.
56 Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos de agua. Durante el estío,
sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son las reservas actuales ahora, al final del
verano?
Como han disminuido un 68%, nos quedan 100 68 32%
32% de 775 0. 32 775 248. 0 decámetros cúbicos quedan
12