1. Ciencia

Departamento de Matemáticas
2º de bachillerato
Matemáticas II aplicadas a
las Ciencias Sociales
Tema 3: Programación
lineal.
1º Dibuja las regiones factibles definidas por los siguientes sistemas:
0,3 x + 0,4 y ≤ 0,9
 y + 3x − 7 ≤ 0
a) 
b) 
 0,2 x − 0,1y ≥ 1,2
y − 6 x + 11 ≤ 0
2º Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisfacen las siguientes
desigualdades:
6 ≤ y ≤ 30 5 x + 2y ≤ 100 6 x + y ≥ 30 x + 2y ≥ 20
 x≥0
 0≤y ≤5

3º Dibuja el recinto definido por las inecuaciones 
y calcula los vértices
 x − 2y ≤ 10
 x + y ≥ 10
de dicho recinto.
 x ≥ 0, y ≥ 0

4º Maximiza la función z = 3 x + 3 y , sujeta a las restricciones  x + y ≥ 0
 x−y ≥0

5º Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función F (x, y ) = x + 2y sujeta a
las siguientes restricciones y ≤ 4 x ≤ 3 x − y ≤ 3 x − y ≥ 0
6º Maximiza la función z = 3 x + 2y en el dominio definido por las restricciones
siguientes: y + 2 x ≥ 0 3 y − x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 2
 x ≥ 0,
 x + 4y

7º Dado el sistema de desigualdades lineales 
 x + 2y
 2 x + y
y ≥0
≤ 16
≤ 10
≤ 14
a) Represéntalo gráficamente.
b) Maximiza la función lineal F (x, y ) = 3 x + 5 y
c) Estudia cual será el resultado si le añadimos la inecuación lineal x ≤ 5
8º Una empresa constructora de barcos fabrica en sus dos astilleros tres tipos de
barcos: A, B y C. Se compromete a entregar anualmente a cierta compañía marítima
18 barcos del tipo A, 10 del tipo B y 6 del tipo C. El primer astillero construye
mensualmente 3 barcos de tipo A, 2 del tipo B y 1 del tipo C, siendo su costo
mensual de funcionamiento de 5 millones de euros, y el segundo astillero construye
mensualmente 2 barcos del tipo A, 1 del tipo B y 2 del tipo C, siendo el costo
mensual de funcionamiento de 3 millones de euros.
¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada astillero para que la empresa cumpla
su compromiso adquirido y consiga reducir al mínimo el costo de funcionamiento?
9º Un fabricante de coches lanza una oferta especial en sus dos modelos, ofreciendo
el modelo A aun precio de 15.000 € y el modelo B en 20.000 € La oferta está
limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B,
queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por
otra parte, par cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella
deben ser al menos de 6 0.000 €
a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender?. Plantea el problema y
representa su conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus
ingresos?. ¿Cuál es el importe de dichos ingresos?
10º En cierta región se dispone de un área máxima de 600 ha para cultivo de trigo y
algodón. Las disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas,
calculándose que el consuno global dedicado a estos cultivos no puede exceder en
el presente año los 3.000.000 de metros cúbicos. Razones de regulación de los
precios obligan a un asignación mínima de 200 ha de trigo y 100 ha de algodón, y
se estima que cada ha cultivada de trigo precisa de 6.000 metros cúbicos de agua
por año siendo de 4.000 metros cúbicos los precisadas por la de algodón. Las
ganancias que se espera obtener por ha cultivada de trigo son de 25.000 €, mientras
que la de algodón producirá 20.000 €. ¿Cuántas hectáreas deberán dedicarse a
cada cultivo para obtener una ganancia máxima?
11º La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120
artículos del tipo A y 360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que al
menos el 80% de la producción total se destines a exportación, pero la capacidad de
inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El precio de los artículos del
tipo A es cuatro veces el de los del tipo B. Planifica la producción diaria para
maximizar los beneficios.
12º La compañía de viajeros MARYTIERRA utiliza dos autobuses, A y B, para
realizar excursiones turísticas. La compañía planifica la temporada estimando que
realizará, entre los dos autobuses, al menos 60 viajes, aunque no puede ocuparse
de más de 200 excursiones.
El programa de revisiones de autobuses impone que el autobús A no puede hacer
más de 120 viajes, aunque debe realizar al menos los mismos viajes que el autobús
B.
Si cada trayecto del autobús A consume 300 litros de combustible y del B consume
200 litros, ¿cuántos viajes debe hacer cada autobús para que el consumo sea
mínimo?
13º Una empresa fabrica diariamente dos tipos de aparatos: A y B. Como máximo
puede fabricar 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente, al menos, un aparato del
tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren realizar ventas por
importe superior a 60 €, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B
son, respectivamente, 30 € y 10 €.
 2y ≤ 2 x + 8

14º Maximizar z = 2 x − 2y , sujeta a las restricciones 0 ≤ 3 x + 3 y − 12

x≤4

15º En un problema de programación lineal se desea minimizar la función lineal
3 x + 4 y + 2 ⋅ (10 − x ) + 3 ⋅ (18 − y ) con las siguientes restricciones
x ≥ 0; y ≥ 0; 10 − x ≥ 0; 18 − y ≥ 0; x + y ≤ 13; (10 − x ) + (18 − y ) ≤ 15
16º Un camión puede transportar 9 toneladas como máximo por viaje. En un
determinado viajes debe transportar, al menos, 4 toneladas de una mercancía A y un
peso de mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A.
Sabiendo que se cobra a 3 céntimos de euro por kilogramo el transporte de A, y 2
céntimos de euro el kilogramo por el de B, ¿cómo se debe cargar el camión para que
la ganancia sea máxima?
17º Dibuja el polígono de vértices (10,0), (11,0), (6,6), y averigua en qué punto de la
región limitada por dicho polígono alcanza el máximo la función f (x, y ) = 7 x + 4 y
18º Un ganadero debe suministrar un mínimo de 4 mg de vitamina A y 6 de vitamina
B por cada kilogramo de pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos
de pienso, P1 y P2, Cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los que
aparecen en la tabla adjunta.
A
B
P1
2
6
P2
4
3
Si el kilo de pienso P1 vale cuarenta céntimos de euro y el kilo de pienso P2 vale
sesenta. ¿Cómo debe mezclar los piensos para suministrar las vitaminas requeridas
con un mínimo coste?
19º En un almacén hay 100 cajas del tipo A y 100 del tipo B. La tabla nos informa del
peso, volumen y valor de cada una de las cajas:
Valor (€)
Tipo
Peso (kg)
Volumen
(dm³)
A
100
30
750
B
200
40
1.250
Una camioneta puede cargar 10.000 Kg. y un volumen máximo de 2.400 dm³.
20º Averigua como han de cargarla para que el valor de las cajas que lleve sea el
más alto posible.
Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina
B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2 , que
en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:
P1
P2
A
4
1
B
1
6
C
6
10
21º Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del
producto P2 es de 160 euros, averiguar:
a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con
el mínimo precio?
b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible?
22º Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 euros y sortijas adornadas a
6 euros. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al
día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total.
a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema
y representar gráficamente su conjunto de soluciones.
b) Suponiendo que se vende toda la producción ¿cuántas unidades de cada
clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos?
23º Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100kg. de
almendras y 85 kg. de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo
B. Cada caja de tipo A contiene 3 kg. de chocolate, 1kg. de almendras y 1kg. de
frutas, mientras que cada caja de tipo B contiene 2 kg. de chocolate, 1.5kg. de
almendras y 1kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 130 euros y
135 euros respectivamente.
a) ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia?
b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?
24º Una persona tiene 500000 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B.
Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las
acciones del tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7%. Decide invertir
como máximo 300000 euros en las de tipo A y como mínimo 100000 euros en las de
tipo B e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. ¿Cómo
debería invertir sus 500000 euros para maximizar sus intereses anuales?
25º Un grupo de alumnos formado por veinte chicas y diez chicos organizan un viaje.
Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en
una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de
jóvenes de dos tipos:
Tipo A: Parejas (una chica y un chico).
Tipo B: Equipos de cuatro (tres chicas y un chico).
La compañía paga 30 euros por la tarde de la pareja y 50 euros por la tarde del
equipo de cuatro.
¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero?
¿Y si les pagara 30 euros por la tarde de la pareja y 30 euros por la tarde del equipo
de cuatro?
26º Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y
1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de
poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El
precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de
pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que
éstos consigan una venta máxima?
27º Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su
fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30
minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 de 15 y de 10 minutos para L2.
Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas
al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2,
respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
28º Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un
espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B,
con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el
transporte de 3.000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro
que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B
de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea
mínimo?
29º En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el
mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una
composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de
cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de
30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades
con un coste mínimo?
30º Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos
almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la
oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2
cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta
y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente.
¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo
beneficio?
31º Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un
lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un
lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos
de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de
cada tipo para maximizar la ganancia?
34º Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte
tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9
conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600
€. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión
resulte lo más económica posible para la escuela.
Departamento de Matemáticas
Problema 8º
2º de bachillerato
Matemáticas II aplicadas a
las Ciencias Sociales
Tema 3: Programación lineal.
x= número de meses trabajados en el 1º astillero
y= número de meses trabajados en el 2º astillero
Astilleros
Barcos tipo A Barcos tipo B Barcos tipo C
Coste
Primer
3
2
1
5000000
Segundo
2
1
2
3000000
Total al año
18
10
6
Función objetivo: Min c(x,y)=5000000x+3000000
Restricciones: ( sujeto a) 3 x + 2y ≥ 18 ; 2 x + y ≥ 10 ; x + 6 y ≥ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
A= (0,10)
B= (2,6)
C= (6,0)
El menor coste es de 28.000.000€ trabajando 2 meses el primer astillero y 6 meses el
segundo astillero
Problema 9º
x=número de coches del tipo A
y=número de coches del tipo B
Función objetivo (f.o.): Max b(x,y)=15000x+20000y
Restricciones sujeto a(s.a.): 0 ≤ x ≤ 20 ; 0 ≤ y ≤ 10 ; x ≥ y ; 15000 x + 20000 y ≥ 60000
A= (4,0) B= (12/7,12/7) C= (10,10) D= (20,10) E= (20,0)
El máximo beneficio es de 500.000€ vendiendo 20 coches tipo A y 10 del tipo B
x= nº de ha dedicadas al cultivo de trigo.
y=nº de ha dedicadas al cultivo de algodón.
f.o. : Max g(x,y)=25000x+20000y
s.a.:
x + y ≤ 600; 6000 x + 4000 y ≤ 3000000;
Problema 10º
x ≥ 200;
y ≥ 100
A=(200,100)
B=(200,400)
C=(300,300)
D=(1300/3,100)
La máxima ganancia es de 13.500.000€ cultivando 300 ha de trigo y otras 300 ha de
algodón.
x=nº de artículos del tipo A.
y=nº de artículos del tipo B
f.o.: Max b(x,y)=4x+y
s.a.: 0.8 x + 0.8 y ≤ 200; 0 ≤ x ≤ 120; 0 ≤ y ≤ 360
Problema 11º
A= (0,0)
B= (0,250)
C= (120,130)
D= (120,0)
El máximo beneficio es en 610 con 120 artículos del tipo A y 130 del tipo B.
x= nº de viajes del autobús A.
y= nº de viajes del autobús B
Mín c(x,y)= 300x+200y
s.a.: x + y ≥ 60; x + y ≤ 200; x ≥ y ; 0 ≤ x ≤ 120; y ≥ 0
Problema 12º
A=(30,30)
B=(100,100)
C=(120,80)
D=(120,0)
E=(60,0)
El mínimo consumo de combustible es de 15000 litros con 30 viajes realizados por el
autobús A y otros 30 por el B.
Problema 13º
x= nº de aparatos del tipo A.
y=nº de aparatos del tipo B
30 x + 10 y ≥ 60; 0 ≤ x ≤ 3; 1 ≤ y ≤ 3
Entonces las posibles opciones son
(1,3);(2,3);(3,3);(3,2);(3,1);(2,1);(2,2)
Problema 14º
La solución son todos los puntos del segmento determinado por A=(4,0) y B=(0,4)
Problema 15º
Minimizar x+y+74
A=(0,0);
B=(0,18);
C=(10,18);
D=(10,3);
E=(10,0);
F=(10,13).
Luego el mínimo valor es 74 y está en (0,0)
Problema 16º
x=kg de mercancía A.
y=kg de mercancía B
f.o.:Máx g(x,y)=3x+2y
s.a.: x + y ≤ 9000; 4000 ≤ x;
x
≤ y; y ≥ 0
2
Los vértices son
A(0,0);B(0,9000);C(4000,500
0);D(4000,2000)
El máximo se alcanza en C(4000,5000) con una ganancia de 22000 céntimos.
Problema 18º
x=kg del pienso P1.
y=kg del pienso P2
f.o.:Min 40x+60y
s.a.: 2x + 4y ≥ 4;6x + 3y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0
Los vértices son
D(2,0);C(2/3,2/3);B(0,2).
El mínimo se alcanza en C con un gasto de 66,67 céntimos de euro.
Problema 19º
Max v(x,y)=750x+1250y, con x=nº de cajas del tipo A e y=nº de cajas del tipo B
s.a.: 100x + 200y ≤ 10000;30x + 40y ≤ 2400; x ≥ 0; y ≥ 0
Los vértices son A(0,0);B(0,50);C(40,30);D(80,0). El máximo se alcanza cargando 40
cajas de A y 30 de B con un valor de 67500