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Repartido 16 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
julio 2015 - Elipse
Ejercicio 1
Halla la ecuación de la elipse cuyos focos pertenecen al eje de las abscisas, son simétricos con respecto
al origen y cumpe que:
1) sus semiejes tienen medidas 5 y 2.
2) su eje mayor mide 10 y la distancia focal 8.
3) su eje menor mide 24 y la distancia focal 10.
4) la distancia focal mide 6 y la excentricidad ε = 35 .
5) su eje mayor mide 20 y la excentricidad ε = 35 .
6) su eje menor mide 10 y la excentricidad ε =
12
13
.
Ejercicio 2
Idem. al anterior pero con focos en el eje de las ordenadas y cumple:
1) sus semiejes tienen medidas 7 y 2.
2) su eje mayor mide 10 y la distancia focal 8.
3) su eje menor mide 24 y la distancia focal 10.
4) la distancia focal mide 24 y la excentricidad ε =
5) su eje menor mide 16 y la excentricidad ε =
6) su eje menor mide 10 y la excentricidad ε =
3
5
12
13
12
13 .
.
Ejercicio 3
Determinar la medida de los semiejes de cada una de las elipses siguientes:
x2 y2
+ =1
16 9
b)
x2
+ y2 = 1
4
d) x2 + 5y2 = 15
e)
4x2 + 9y2 = 25
a)
g)
x2 + 4y2 = 1
j)
9x2 + y2 = 1
h) 16x2 + y2 = 16
Ejercicio 4
Dada la elipse de ecuación 9x2 + 25y2 = 225, halla:
1) las medidas de sus semiejes.
2) las coordenadas de sus focos.
3) su excentricidad.
Diego Charbonnier
1
c)
x2 + 25y2 = 25
f ) 9x2 + 25y2 = 1
i)
25x2 + 9y2 = 1
Repartido 16 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
julio 2015 - Elipse
Ejercicio 5
Calcular el área del cuadrilátero que tiene dos vértices en los focos de la elipse x2 + 5y2 = 20 y los
otros dos en los extremos de su eje menor.
Ejercicio 6
Se considera una escalera de longitud 10 m, apoyada en la pared y el piso como se muestra en la
figura. A los 4 m del extremo superior hay un tarro de pintura. La escalera empieza a resbalar (sin
despegar sus extremos de la pared y del piso). ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por el tarro de
pintura?
Ejercicio 7
La órbita de la Luna es una elipse que tiene a la Tierra como uno de sus focos. La longitud del eje
mayor es de 620.444 km y la excentricidad es ε = 0, 549. Encuentra la mínima y la máxima distancia
Tierra-Luna.
Ejercicio 8
El arco de un túnel tiene forma de semielipse de 20 m de ancho y de 7 m de alto. Un camionero decide
tomar esa ruta; su camión tiene 5 m de altura. El carril por el que debe transitar el camión, dista 7 m
del centro de la carretera. ¿Podrá pasar por el túnel?
Ejercicio 9
Sea p ∈ R, p ≥ 0. Prueba que al variar p, la familia de elipses:
y2
x2
+
=1
a2 + p b2 + p
tiene focos fijos.
Ejercicio 10
Determina la ecuación de la elipse que tiene su eje mayor en el eje de las ordenadas, su centro
en el origen
√ y su semieje mayor es el doble de su semieje menor, sabiendo que pasa por el punto
P = (1 , 2 3).
Ejercicio 11
Halla la ecuación de la elipse E cuyos focos están en el eje de las abscisas, su centro en el origen y la
distancia entre sus directrices es 32 y su excentricidad ε = 21 .
Ejercicio 12
Diego Charbonnier
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Repartido 16 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
Dada la ecuación de la elipse E :
julio 2015 - Elipse
x2 y2
+
= 1, halla las ecuaciones de sus directrices.
9 16
Ejercicio 13
Determina los puntos de la elipse E :
x2
y2
+
= 1, cuya distancia al foco derecho vale 14.
100 36
Ejercicio 14
Determina los puntos de la elipse E :
x2 y2
+ = 1, cuya distancia al foco izquierdo vale 2, 5.
16 7
Ejercicio 15
Determina la exentricidad de la elipse E si:
a) Su eje menor se ve desde uno de los focos bajo un ángulo de 60º.
b) El segmento entre los focos se ve desde los vértices bajo un ángulo recto.
c) La distancia entre las directrices es el tripe de la de los focos.
Ejercicio 16
Hallar la ecuación de una elipse, sabiendo que sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, es
tangente al eje de la abscisas en el punto A = (3, 0) y al eje de las ordenadas en el punto B = (0, −4).
Ejercicio 17
Idem. al anterior sabiendo que el centro se encuentra en el punto O0 = (−3, 2) y además es tangente
a los ejes coordenados.
Ejercicio 18
Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes representa a una elipse de la que se pide hallar
las coordenadas del centro, las medidas de los semiejes, la excentricidad y las ecuaciones de sus
directrices:
a) 5x2 + 9y2 − 30x + 18y + 9 = 0
b) 16x2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0
c) 4x2 + 3y2 − 8x + 12y − 32 = 0
Ejercicio 19
Hallar la ecuación de una elipse, sabiendo que su excentricidad es ε =
ecuación de su directriz correspondiente es x − 5 = 0.
2
3
su foco F1 = (2, 1) y la
Ejercicio 20
Idem. al anterior para ε = 12 , foco F1 = (−4, 1) y la ecuación de la directriz correspondiente y + 3 = 0.
Ejercicio 21
El punto A = (−3, −5) pertenece a la elipse E , uno de cuyos focos es F = (−1, −4) y la directriz
correspondiente tiene ecuación x − 2 = 0. Hallar la ecuación de E .
Ejercicio 22
Diego Charbonnier
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Repartido 16 - Matemática II
Liceo Nº35 - IAVA
julio 2015 - Elipse
El punto M = (3, −1) es un extremo del eje menor de una elipse, cuyos focos
están en la recta
√
2
y + 6 = 0. Halla la ecuación de la elipse sabiendo que su excentricidad es ε = 2 .
Ejercicio 23
Halla los puntos de intersección de la elipse x2 + 4y2 = 25, con la recta x + 2y − 7 = 0.
Ejercicio 24
Idem. al anterior para
x2 y2
+ = 1 y 3x + 10y − 25 = 0.
25 4
Ejercicio 25
Determina las posiciones relativas de la recta r con respecto a la elipse E en cada uno de los casos
siguientes:
i) r) 2x − y − 3 = 0
E)
x2 y2
+ =1
16 9
iii) r) 3x + 2y − 20 = 0
E)
x2 y2
+
=1
40 10
ii) r) 2x − y − 10 = 0
E)
x2 y2
+ =1
9
4
Ejercicio 26
Determina las posiciones relativas de la recta r con respecto a la elipse E en función del parámetro
n ∈ R:
r) y = −x + n E )
x2 y2
+ =1
20 5
Ejercicio 27
Deducir condiciones para m, n ∈ R de forma que la recta de ecuación y = mx + n sea tangente a la
x2 y2
elipse de ecuación 2 + 2 = 1.
a
b
Ejercicio 28
Demostrar que si p es la distancia de un foco a la directriz correspondiente de la elipse E , entonces
2ε p
la longitud del eje mayor de dicha elipse vale:
(1 − ε 2 )
Diego Charbonnier
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