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Control par calculado difuso basado en pasividad para
seguimiento de trayectorias de robots manipuladores
S.M. Orozco-Soto1, J.C. Ramos-Fernández2
1
Universidad Tecnológica del Norte de Aguascalientes (UTNA),
Aguascalientes, México
2
Universidad Politécnica de Pachuca (UPP),
Hidalgo, México
[email protected], [email protected]
Resumen. En este trabajo se presenta una alternativa para mejorar la técnica de
control Par-Calculado para seguimiento de trayectorias de robots manipuladores.
La estrategia de control propuesta utiliza lógica difusa para calcular la
compensación requerida por el Control Par Calculado clásico ante variaciones en
los parámetros del robot tales como masa o fricción. La innovación de esta
propuesta es que la mejora del controlador Par Calculado se realiza en la parte de
la compensación de las dinámicas en lugar de la parte tipo PD de la estructura del
controlador. La estabilidad asintótica global se garantiza utilizando la teoría de
la pasividad y el método directo de Lyapunov en el diseño del controlador. Los
experimentos de simulación se realizaron utilizando el modelo dinámico de un
robot manipulador de 2 GDL en configuración planar con presencia de pares
gravitacionales. Los resultados satisfactorios, así como la sencillez de la
estructura del controlador motivan a la implementación de esta propuesta en
robots reales utilizando sistemas embebidos.
Palabras clave: par calculado, lógica difusa, seguimiento de trayectoria,
pasividad, método directo de Lyapunov.
1.
Introducción
El controlador Par Calculado es preferido para seguimiento de trayectorias de robots
manipuladores debido a que garantiza la estabilidad asintótica global y calcula la
cantidad de energía exacta que requieren los actuadores de las articulaciones de los
robots para llevar a cabo las trayectorias deseadas [1-3]. Sin embargo, este controlador
es susceptible a variaciones en el modelo del robot, incertidumbre en los parámetros
del mismo o dinámicas no modeladas, por lo que se han desarrollado diversas
alternativas para mejorar el desempeño de esta técnica, tales como complementos
robustos[4], algoritmos genéticos [5] o estrategias basadas en lógica difusa [6-9]. La
mayoría de estas mejoras consisten en la adaptación de la parte proporcional-derivativa
(PD) de la estructura del controlador en lugar de adaptar la parte de la compensación
de las dinámicas del robot. En este trabajo, se presenta una alternativa para mejorar el
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rendimiento del control Par Calculado ante variaciones en los parámetros del robot
utilizando lógica difusa. La estrategia de control propuesta fue diseñada utilizando las
propiedades generales del modelo dinámico de robots manipuladores, la Teoría de
Pasividad y el Segundo Método de Lyapunov, para garantizar estabilidad asintótica
global durante el seguimiento de trayectoria. Para probar el controlador diseñado, se
llevaron a cabo algunos experimentos en simulación utilizando el modelo dinámico de
un robot manipulador de 2 grados de libertad (GDL) en configuración planar afectado
por los pares gravitacionales. Los resultados satisfactorios del controlador propuesto
motivan a la implementación de esta alternativa utilizando un microcontrolador o un
sistema embebido para controlar un robot real. Este artículo está organizado de la
siguiente manera: en la Sección 2, se presentan algunas propiedades del modelo
dinámico de robots manipuladores, que son útiles para el diseño del controlador. En la
Sección 3, se plantea el problema de la susceptibilidad del Control Par Calculado a las
variaciones en los parámetros; asimismo, se formulan los objetivos de control. La
Sección 4 describe el diseño del controlador propuesto utilizando lógica difusa y la
Teoría de Lyapunov. Los resultados satisfactorios a nivel simulación se presentan en la
Sección 5. Finalmente, en la Sección 6 se presentan las conclusiones.
2.
Propiedades del modelo dinámico de robots manipuladores
En esta sección, se presentan algunas propiedades del modelo dinámico de robots
manipuladores que son útiles para el diseño del controlador. La dinámica de los robots
manipuladores puede ser representada matemáticamente por [10]:
𝐷(𝑞)𝑞̈ + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ + 𝐺(𝑞) + 𝐹(𝑞̇ ) = 𝜏 ,
𝑛×𝑛
(1)
𝑛×𝑛
donde 𝐷(𝑞) ∈ ℝ
es la matriz de fuerzas inerciales, 𝐶(𝑞, 𝑞̇ ) ∈ ℝ
es la matriz de
fuerzas centrípetas y de Coriolis, 𝐺(𝑞) ∈ ℝ𝑛 es el vector de pares gravitacionales,
𝐹(𝑞̇ ) ∈ ℝ𝑛 es el vector de fricción y 𝜏 ∈ ℝ𝑛 es el vector de entradas de control. El
modelo dinámico (1) cuenta con las siguientes propiedades:
Propiedad 1. La matriz de fuerzas inerciales es simétrica y definida positiva, i.e. [11]:
D(q) ≡ D(q)T ,
(2)
D(q) > 0.
Propiedad 2. La matriz de fuerzas inerciales y la matriz de fuerzas centrípetas y de
Coriolis tienen la siguiente relación (propiedad de antisimetría) [12]:
1
q̇ T [ Ḋ(q) − C(q, q̇ )] q̇ = 0,
2
(3)
Propiedad 3. El modelo dinámico (1) puede ser parametrizado como [12]:
𝐷(𝑞)𝑞̈ + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ + 𝐺(𝑞) + 𝐹(𝑞̇ ) = Y(q, q̇ , q̈ )T Φ,
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(4)
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donde Y(q, q̇ , q̈ )T ϵℝn×p es una matriz de regresión y Φϵℝn es un vector conformado
por parámetros constantes.
Propiedad 4. La energía total del sistema robótico (1) está dada por su ecuación
Hamiltoniana como se muestra a continuación [12]:
1
H(q, q̇ ) = q̇ T D(q)q̇ + G(q),
(5)
2
Derivando (5) se obtiene:
Ḣ(q, q̇ ) = q̇ T τ ,
(6)
Al integrar ambos lados de (6), se puede observar que el sistema (1) es pasivo, es decir:
t
H(q, q̇ ) − H(0) = ∫ q̇ T τ dt.
(7)
0
3.
Formulación del problema
El Control Par Calculado es preferido para seguimiento de trayectoria de robots
manipuladores debido a que calcula la energía exacta para llevar a cabo la tarea deseada
[3]; este controlador se representa matemáticamente como [11]:
𝜏 = 𝐾𝑃 𝑞̃ + 𝐾𝐷 𝑞̃̇ + 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ 𝑑 + 𝐺(𝑞) + 𝐹(𝑞̇ ),
(8)
donde 𝑞̇ 𝑑 ∈ ℝ𝑛 y 𝑞̈ 𝑑 ∈ ℝ𝑛 son los vectores de velocidades y aceleraciones deseadas
respectivamente. Aplicando la Propiedad 3, el controlador (8) se puede expresar como
sigue [12]:
𝜏 = 𝐾𝑃 𝑞̃ + 𝐾𝐷 𝑞̃̇ + Y(q, 𝑞̇ 𝑑 , 𝑞̈ 𝑑 )T Φ.
(9)
Nótese que este controlador depende directamente del modelado adecuado y de la
correcta identificación paramétrica del robot. Sin embargo, si alguno de los parámetros
del vector Φ, tales como la masa o la fricción, varía, el controlador no alcanzará la
posición deseada o no seguirá la trayectoria requerida debido a que fue diseñado para
calcular el par necesario de acuerdo a diferentes valores de los parámetros del robot.
De esta manera, se establecen los siguientes objetivos de control:
Objetivo de control 1: Asegurar que el error de posición q̃ → 0 mientras t → ∞. El
error de posición está dado por: q̃ = qd − q.
Objetivo de control 2: Si alguno de los parámetros del vector Φ cambia, adaptar el
controlador (9) para garantizar que el Objetivo de control 1 se cumpla.
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El Objetivo de control puede alcanzarse utilizando del Control Par Calculado clásico
(9), ya que garantiza la estabilidad global asintótica durante el seguimiento de
trayectoria. Para lograr el Objetivo de control 2, se propone utilizar una versión
adaptable del controlador (9), la cual está basada en lógica difusa para compensar
variaciones en los parámetros del modelo del robot manipulador.
4.
Diseño del control par calculado difuso
En esta sección, se presenta el diseño de la técnica de control propuesta para alcanzar
los objetivos de control mencionados en la sección anterior. Dicha propuesta es una
versión adaptable del Control Par Calculado (9), misma que utiliza lógica difusa para
especificar el grado de compensación que requiere el controlador ante una variación en
los parámetros del modelo del robot. La variación en los parámetros es detectada
utilizando un índice de variación, el cual es también la variable de entrada del sistema
difuso; la salida del sistema difuso es una ganancia variable agregada al Control Par
Calculado, la cual es útil para aumentar o disminuir energía al sistema dependiendo de
las variaciones en los parámetros del robot y del par requerido para desarrollar la tarea
deseada.
4.1.
Variable fusificada
La variable utilizada como entrada del sistema difuso es el índice de variación dado
por:
𝛥𝛷 =
‖𝛷𝑅 ‖
‖𝛷‖
,
(10)
donde ‖𝛷𝑅 ‖ es la norma Euclidiana del vector de parámetros con variaciones y ‖𝛷‖
es la norma Euclidiana del vector de parámetros original. En la práctica, las normas de
los vectores pueden ser sustituidas por mediciones de par. De esta forma, el índice de
variación 𝛥𝛷 se introduce al sistema difuso para calcular la energía requerida por los
actuadores para realizar la tarea deseada en caso de una variación en los parámetros del
robot.
4.2.
Particiones difusas
El universo de discurso del sistema difuso fue seleccionado de acuerdo a los posibles
valores del índice de variación, desde 0.6, que significa casi la mitad del par requerido
por los actuadores, hasta 2, lo cual supone la posibilidad de duplicar dicho par. Se
decidió utilizar 5 particiones difusas para fusificar el índice de variación, mismas que
se ilustran en la Figura 1. La partición High down sugiere una pérdida considerable de
masa o de fricción en el robot, mientras que High up supone un incremento significativo
en la masa o la fricción. Low up y Low down abordan cambios razonables de los
parámetros incluyendo rangos de hasta −20% y hasta +30% del par requerido. La
partición Minimum maneja variaciones de hasta ±5. Nótese que todas las particiones
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están configuradas de la forma Hard Fuzzy, lo cual significa que la suma de todos los
valores de pertenencia da por resultado 1; dicha configuración facilita la
implementación de este controlador en la mayoría de los dispositivos programables.
Fig. 1. Particiones difusas y universo de discurso del índice de variación.
4.3.
Reglas y superficie difusas
Las reglas difusas fueron creadas realizando un mapeo del valor de pertenencia para
cada partición difusa del índice de variación, hacia un valor duro, el cual es una
ganancia llamada 𝑘𝑓 . Las reglas difusas realizadas se pueden observar en la Tabla 1.
Obsérvese que para pérdidas de masa o de fricción, el par debe ser reducido. Para
incrementos de dichos parámetros, la compensación también debe incrementar. Para el
caso de variaciones mínimas, el controlador no se ve afectado considerablemente, por
lo que la parte tipo PD de la estructura del mismo debe ser capaz de manejar dichas
perturbaciones; de esta forma, al no existir compensación, 𝑘𝑓 = 1.
Tabla 1. Reglas difusas.
Si 𝛥𝛷 es HIGH DOWN, entonces, 𝑘𝑓 es 0.2
Si 𝛥𝛷 es LOW DOWN, entonces, 𝑘𝑓 es 0.8
Si 𝛥𝛷 es MINIMUM, entonces, 𝑘𝑓 es 1
Si 𝛥𝛷 es LOW UP, entonces, 𝑘𝑓 es 1.2
Si 𝛥𝛷 es HIGH UP, entonces, 𝑘𝑓 es 2
La superficie difusa que representa gráficamente el mapeo del índice de variación
hacia la ganancia de compensación por medio de las reglas difusas se ilustra en la Figura
2, donde se puede apreciar que el máximo valor de 𝒌𝒇 es capaz de compensar la energía
necesaria incluso si el par incrementa al doble. En la práctica, el éxito del controlador
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depende directamente de la capacidad de los actuadores y de la electrónica de potencia
para suministrar la energía calculada.
Fig. 2. Superficie difusa.
4.4.
Defusificación
El método de defusificación seleccionado es la media ponderada, misma que se
representa de la siguiente forma [13-14]:
𝐾𝐹 =
∑5𝑖=1 𝜇𝑖 (ΔΦ)𝑘𝑓
∑5𝑖=1 𝜇𝑖 (ΔΦ)
𝑖
,
(11)
donde 𝐾𝐹 es una salida escalar que se utiliza como ganancia en el controlador, 𝑖 es el
número de particiones difusas, 𝜇𝑖 (ΔΦ) es el valor de pertenencia del índice de variación
(10) para cada partición difusa y 𝑘𝑓𝑖 es la salida correspondiente para cada partición. La
ganancia 𝐾𝐹 es el valor duro que representa la compensación requerida para mejorar el
rendimiento del Control Par Calculado (9) ante variaciones en los parámetros del robot
manipulador.
4.5.
Diseño del controlador
El controlador fue diseñado utilizando el Método Directo de Lyapunov, mismo que
se describe en el siguiente teorema [15]:
Teorema 4.1 (Estabilidad Global) Una función escalar V del estado x debe tener
derivadas continuas de primer orden tales que:
 𝑉(𝒙) sea definida positiva
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

𝑉̇ (𝒙) sea definida negativa
𝑉(𝒙) → 0 mientras ‖𝒙‖ → ∞.
De esta forma, se propone la siguiente función candidata a ser Lyapunov:
𝑉(𝑞, 𝑞,
̃ 𝑞̃̇ ) =
1
2
1
𝑞̃̇ 𝑇 𝐷(𝑞)𝑞̃̇ + 𝑞̃ 𝑇 𝐾𝑃 𝑞̃ .
2
(12)
Como 𝐾𝑃 es una matriz diagonal constante, la función (12) satisface la primer
condición del Teorema 4.1. Derivando (12) se obtiene:
1
𝑉̇ (𝑞, 𝑞̇ , 𝑞̃) = 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷(𝑞)𝑞̃̈ + 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷̇ (𝑞)𝑞̃̇ + 𝑞̃̇ 𝑇 𝐾𝑃 𝑞̃ .
2
(13)
Cabe mencionar que 𝐷(𝑞)𝑞̃̈ = 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 − 𝐷(𝑞)𝑞̈ , por lo tanto:
1
𝑉̇ (𝑞, 𝑞̇ , 𝑞̃) = 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 − 𝑞̃̇ 𝑇 [𝜏 − 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ − 𝐺(𝑞) − 𝐹(𝑞̇ )] + 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷̇ (𝑞)𝑞̃̇
2
+𝑞̃̇ 𝑇 𝐾𝑃 𝑞̃.
(14)
Como 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ = 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ 𝑑 − 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̃̇ , se puede sustituir en (14) como sigue:
𝑉̇ (𝑞, 𝑞̇ , 𝑞̃) = 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 − 𝑞̃̇ 𝑇 [𝜏 − 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ 𝑑 + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̃̇ − 𝐺(𝑞) − 𝐹(𝑞̇ )]
1
+ 𝑞̃̇ 𝑇 𝐷̇ (𝑞)𝑞̃̇ + 𝑞̃̇ 𝑇 𝐾𝑃 𝑞̃.
(15)
2
Aplicando la Propiedad de antisimetría:
𝑉̇ (𝑞, 𝑞̇ , 𝑞̃) = 𝑞̃̇ 𝑇 [−𝜏 + 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ 𝑑 + 𝐺(𝑞) + 𝐹(𝑞̇ ) + 𝐾𝑃 𝑞̃] .
(16)
A pesar de que (19) no es una función definida negativa, puede ser forzada a serlo
utilizando [12]:
−𝑞̃̇ 𝑇 𝐾𝐷 𝑞̃ = 𝑞̃̇ 𝑇 [−𝜏 + 𝐷(𝑞)𝑞̈ 𝑑 + 𝐶(𝑞, 𝑞̇ )𝑞̇ 𝑑 + 𝐺(𝑞) + 𝐹(𝑞̇ ) + 𝐾𝑃 𝑞̃] .
(17)
Entonces, la ley de control utilizada para satisfacer la segunda y tercera condición
del Teorema 4.1 es:
𝜏 = 𝐾𝑃 𝑞̃ + 𝐾𝐷 𝑞̃̇ + 𝐾𝐹 Y(q, 𝑞̇ 𝑑 , 𝑞̈ 𝑑 )T Φ
(18)
Nótese que cuando 𝐾𝐹 = 1 (ausencia de compensación), el controlador (18) es el
Control Par Calculado clásico (9).
5.
Resultados
Los experimentos a nivel simulación se llevaron a cabo utilizando el modelo
dinámico de un robot de 2 GDL afectado por pares gravitacionales con los siguientes
parámetros:
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Tabla 2. Parámetros del robot manipulador.
Parámetro
Masa del eslabón 1
Masa del eslabón 2
Longitud del eslabón 1
Longitud del eslabón 2
Longitud de la articulación 1 al centro de gravedad del
eslabón 1
Longitud de la articulación 2 al centro de gravedad del
eslabón 2
Momento de inercia del eslabón 1
Momento de inercia del eslabón 2
Aceleración de la gravedad
Coeficiente de fricción de la articulación 1
Coeficiente de fricción de la articulación 2
Símbolo
𝑚1
𝑚2
𝑙1
𝑙2
Valor
2.8
1.75
0.35
0.2
𝑙𝑐1
0.21
𝑙𝑐2
0.14
𝐼1
𝐼2
𝑔
𝑓1
𝑓2
0.45
0.33
9.81
0.9
0.9
El vector Φ contiene todos los parámetros de la Tabla 2. La trayectoria que debe
seguir el efector final del robot es un círculo con las siguientes ecuaciones paramétricas:
xd = 0.3 + 0.15 cos(t)
yd = 0.2 + 0.15 cos(t)
(19)
Fig. 3. Trayectorias articulares con Control Par Calculado clásico.
Lo cual sugiere que el robot debe realizar un círculo de 15cm de radio. El tiempo de
simulación es de 60 segundos. El primer experimento fue realizado variando la fricción
de las articulaciones de 0.9 a 1.5, utilizando el Control Par Calculado clásico; los
resultados de este experimento se ilustran en la Figura 3 y en la Figura 4.
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En la Figura 3 se aprecia que las trayectorias articulares no corresponden a las
referencia; asimismo, en la Figura 4 se observa que el robot no realiza el círculo debido
a la falta de energía por parte de los actuadores.
Fig. 4. Trayectoria del efector final con Control Par Calculado clásico.
Fig. 5. Trayectorias articulares con Control Par Calculado difuso.
El segundo experimento se llevó a cabo utilizando el controlador propuesto en este
trabajo, cuyos resultados se ilustran en la Figura 5 y en la Figura 6. En la Figura 5 se
puede apreciar que las trayectorias articulares siguen correctamente las trayectorias
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deseadas. En la Figura 6 se observa como la trayectoria del efector final del robot
corresponde a la trayectoria deseada.
Fig. 6. Trayectoria del efector final con Control Par Calculado difuso.
6.
Conclusiones
En este trabajo se presenta el diseño de una alternativa para mejorar el Control Par
Calculado clásico utilizando lógica difusa. El controlador propuesto es capaz de
compensar variaciones en los parámetros del robot tales como las masas de los
eslabones o fricción en las articulaciones, utilizando la fusificación de un índice de
variación, el cual se mapea hacia un dato duro que se utiliza como ganancia para la
mejora del Control Par Calculado clásico. La estabilidad asintótica de este controlador
se garantiza utilizando la Teoría de Pasividad y el Método Directo de Lyapunov para
el diseño del mismo. La innovación que presenta esta estrategia de control es la mejora
de la técnica clásica en la parte de la compensación de las dinámicas del robot en lugar
realizarse en la parte tipo PD de la estructura.
Los resultados satisfactorios muestran que la alternativa propuesta es útil para
compensar variaciones del robot cuando ya ha sido previamente parametrizado y puesto
en marcha. En la práctica, el índice de variación puede ser calculado utilizando
mediciones directas de par o de corriente en los actuadores. La sencillez de la estructura
de este controlador y los resultados satisfactorios a nivel simulación motivan a su
implementación utilizando microcontroladores comunes o hardware embebido;
además, es recomendable asegurarse de que los actuadores y las interfaces de potencia
utilizadas sean capaces de suministrar la energía calculada por el controlador propuesto
para garantizar su correcto funcionamiento.
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