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APUNTES DE ESTADÍSTICA.
Prof. Germán Ernesto Rincón Rey.
Departamento De Ciencias Básicas,
Unidades Tecnológicas de Santander.
Departamentos de Ciencias Básicas
2013
Contenido
Introducción ................................................................................................................................................................. 1
1
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1
ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1
LOS FENÓMENOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2
LOS FENÓMENOS PRODUCEN INFORMACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3
DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4
IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5
DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.7
INFERENCIA ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.8
FASES DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2
CONCEPTOS BÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1
DATO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2
ELEMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3
EJEMPLOS DE ELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4
POBLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5
COMO SE DEFINE UNA POBLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.6
TAMAÑO DE UNA POBLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.7
CLASES DE POBLACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.8
Poblaciones Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.9
Poblaciones infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.10
CARACTERÍSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.11
CARACTERÍSTICAS CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.12
CARACTERÍSTICAS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.13
CENSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.14
MUESTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.15
TAMAÑO DE LA MUESTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.16
PARÁMETRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.17
ESTADÍSTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.18
TIPOS DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.19
UNIDAD DE OBSERVACIÓN O DE INVESTIGACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.20
ESTADÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2
CONCEPTO DE CLASE O CATEGORÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Estadística
Departamento de Ciencias Básicas
uts
CONTENIDO
3
1.3.3
CLASE ESTADÍSTICA O CATEGORÍA ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4
AMPLITUD DE CLASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5
CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADÍSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.6
NÚMERO DE CLASES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.7
MÉTODO ESTADÍSTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.8
PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.9
DESARROLLO DEL EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.10
LOS TIPOS DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.11
LECTURA DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.12
LA TABLA MENOR QUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.13
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SITUACIÓN EN ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.14
EL HISTOGRAMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.15
EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.16
MARCA DE CLASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.17
COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLÍGONO DE FRECUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.18
LA OJIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.19
LA INTERPOLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4
ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1
PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2
EJEMPLO PRÁCTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5
ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE AMPLITUD CERO . . . . . . . . . . 26
1.5.1
EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6
ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1
EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN . . . . . . . . . 29
2.1
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1
Formas estadísticas de describir un fenómeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2
Concepto de medida en Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3
Parámetros y Estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4
Clases de medidas en Estadística
2.1.5
Las medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.6
Las medidas de Tendencia No Central o de Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.7
Las medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.8
Medidas para poblaciones y medidas para muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.9
Clases de medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.10
LA MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.11
Media Aritmética para datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.12
Significado de la Media Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.13
LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.14
Propiedades de la Media Aritmética
2.1.15
LA MEDIA GEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.16
Propiedad de la Media Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.17
Usos de la Media Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.18
LA MEDIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
uts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Estadística
Departamento de Ciencias Básicas
4
CONTENIDO
2.1.19
Interpretación de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.20
Símbolo de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.21
Cálculo de la mediana para datos no agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.22
Cálculo de la mediana para datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.23
MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.24
Los Cuartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.25
Cuartiles para datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.26
Los Percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.27
Percentiles para datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.28
Propiedades de la mediana, cuartiles y percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.29
LA MODA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.30
Símbolo de la moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.31
Moda para datos no agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.32
Moda para datos no agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.33
Propiedades de la moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.34
CASOS ESPECIALES DE LA MEDIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.35
Distribuciones de frecuencias para datos de variable discreta agrupados en clases con amplitud igual a cero . . . . . 52
2.2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1
Concepto de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2
Dispersión y variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3
Importancia de la dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.4
Clases de medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.5
El Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.6
Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.7
Características del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.8
El Rango Intercuartílico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.9
La Desviación Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.10
La Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.11
La varianza poblacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.12
Varianza Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.13
La Desviación Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.14
El coeficiente de Variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1
REGRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2
Concepto de Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3
Importancia de la Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.4
Variables dependientes e independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.5
Gráfico de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.6
Tipos de relación entre dos o mas variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.7
Tipos de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.8
Regresión Lineal Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.9
Regresión lineal Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.10
Regresión curvilínea Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.11
Regresión Curvilínea Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.12
Ninguna relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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CONTENIDO
1
3.1.13
La Regresión Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2
LA CORRELACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1
Relación entre el coeficiente de correlación y la pendiente de la recta de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2
El Coeficiente de Determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
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Introducción
1
1.1
1.1.1
ARREGLO Y PRESENTACIÓN
DE DATOS
ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA
LOS FENÓMENOS
Un fenómeno es cualquier manifestación de las actividades humanas o de la naturaleza que puede ser
percibido por los sentidos o la razón. Algunos ejemplos de fenómenos son los siguientes:
. El crecimiento de una planta.
. El comportamiento del clima.
. Las ventas por periodo de una empresa.
. Las personas, por día, que son afectadas por una enfermedad.
. Los accidentes de tránsito en diferentes lugares de una ciudad.
. La variación mensual del costo de vida.
1.1.2
LOS FENÓMENOS PRODUCEN INFORMACIÓN
Por muchos motivos los seres humanos desean poseer información sobre el comportamiento de diversos
fenómenos y para ello realizan registros sobre el estado de estos fenómenos en diferentes momentos o espacios.
Estos registros o mediciones generan diversos volúmenes de datos y para que estos datos se conviertan en
información se deben procesar de diferentes maneras. Una de las formas como se pueden tratar los datos
para extraer la información que ellos contienen es utilizando las técnicas estadísticas.
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3
1.1.3
DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
Es una ciencia que estudia cómo debe emplearse información para facilitar la toma de decisiones en situaciones prácticas que se manifiestan bajo incertidumbre.
1.1.4
IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA
La actividad más importantes para las personas que trabajan en las organizaciones empresariales es la toma
de decisiones. Dado el enorme aumento de la disponibilidad de datos (gracias a los sistemas de información), y dada la complejidad creciente de las operaciones empresariales, los procesos de decisión se ven
sometidos a presiones extraordinarias.
Una de las técnicas más valiosa que ayudan en los procesos de toma de decisiones es la Estadística. Por
lo que es indispensable que los hombres y mujeres que dirigen organizaciones o que de alguna manera
participan en la toma de decisiones estén familiarizados con las técnicas estadísticas para poder determinar
cuando se puede examinar un problema existente mediante la aplicación del análisis estadístico.
1.1.5
DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA
La Estadística se divide en dos grandes ramas:
. La Estadística Descriptiva
. La Inferencia Estadística
1.1.6
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Son los conocimientos y métodos que tratan de la recolección, organización y presentación numérica y gráfica de los datos.
Los análisis que se hacen con las herramientas de la estadística descriptiva se limitan, únicamente, al conjunto de datos que se recolectaron.
Palabras sinónimas de fenómeno son: suceso, hecho o acontecimiento.
1.1.7
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Son los conocimientos y métodos que permiten:
. Sacar conclusiones sobre el comportamiento total de un fenómeno basándose únicamente en la información recolectada sobre una parte de ese mismo fenómeno. Estas conclusiones se obtienen bajo
incertidumbre.
. Estimar el comportamiento futuro de un fenómeno.
1.1.8
FASES DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
1. Planeamiento
. Fin de la investigación
. Unidad de investigación
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4
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
. Definir la población
. Naturaleza o clase de los datos
. Fuentes de la información
. Procedimiento para recolectar los datos
. Diseño de instrumentos
. Presupuesto
2. Recolección de los datos
3. Crítica y codificación
4. Tabulación, gráficas y medidas
5. Análisis e interpretación
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5
1.2
1.2.1
CONCEPTOS BÁSICOS
DATO
En términos generales un dato es un registro o anotación que se hace del estado de un fenómeno en un
momento determina.
1.2.2
ELEMENTO
En general, un elemento es una parte indivisible de un todo o un componente indivisible o básico de un
cuerpo. Pero, en estadística se llama elemento a las entidades que tienen una o varias características cuyo
estado nos interesa registrar. El registro del estado de estas características es lo que constituye los datos.
Estos elementos pueden ser individuos, objetos o sucesos.
Los individuos pueden ser personas o seres vivos animales o vegetales. Los sucesos pueden ser, por ejemplo, los accidentes de tránsito, los encuentros deportivos, los recorridos que realiza un vehículo o los días
del año.
Figura 1.1: Tabla No.1
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6
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.2.3
EJEMPLOS DE ELEMENTOS
. En una investigación sobre el comportamiento de los salarios de trabajadores los elementos son los
trabajadores (personas), y la característica que se observa a cada elemento es el valor de su salario.
. En una investigación sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora los elementos
podrían ser las facturas (un objeto), y la característica observada es el valor de cada factura.
. También, en una investigación sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora los elementos podrían ser los meses (un suceso), y la característica observada el valor de las ventas de cada
mes.
. En una investigación sobre los accidentes de tránsito los elementos son los accidentes (un suceso), y
la característica observada podría ser el número de personas lesionadas por accidente observado.
Los fenómenos se producen cuando el estado de las características observadas varía, usualmente, de un
elemento a otro.
1.2.4
POBLACIÓN
. Todos los elementos que presentan una característica común
. Es el conjunto de todos los elementos que hacen parte de una situación que se está estudiando y sobre
la cual se intenta sacar conclusiones
Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusión sobre si un determinado elemento pertenece o no a la población
1.2.5
COMO SE DEFINE UNA POBLACIÓN
Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusión sobre si un determinado elemento pertenece o no a la población. Para facilitar esta definición, en muchos casos, las palabras
que la componen se pueden ordenar de acuerdo a la siguiente sintaxis:
TODOS(AS) + DESCRIPCIÓN DEL ELEMENTO + CONDICIÓN RESTRICTIVA
Significa que una definición de población debe empezar por la palabra ?Todos? o ?Todas? seguida de una
descripción del elemento que se está observando mas una restricción al alcance de la palabra Todos(as)
Ejemplo: En un estudio del nivel salarial de los operarios del sector de confecciones de la ciudad, una definición de población podría ser la siguiente:
Todos los operarios del sector de confecciones de la ciudad
1.2.6
TAMAÑO DE UNA POBLACIÓN
Es el número total de elementos que componen una población. El tamaño de una población se suele representar por la letra N
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7
EJEMPLO: Para indicar que una población tiene 670 elementos se indica así: N = 670
1.2.7
CLASES DE POBLACIONES
Las poblaciones se dividen en dos clases:
. Poblaciones finitas
. Poblaciones infinitas
1.2.8
Poblaciones Finitas
Son las poblaciones a las cuales se les pueden determinar fácilmente el número de elementos que las componen, es decir, su tamaño.
EJEMPLO: Situación o fenómeno: La edad de los estudiantes de las UTS
Población: Todos los estudiantes de las UTS
Tipo de población: Finita, porque fácilmente se pueden contabilizar sus elementos acudiendo a la oficina
de la institución que registra estos datos
1.2.9
Poblaciones infinitas
. Son las poblaciones que físicamente es imposible numerarlas o determinar su tamaño
. Son las poblaciones que aunque se puede determinar su tamaño, no es conveniente hacerlo por razones económicas o de tiempo
EJEMPLO:
Situación:Accidentes por día en un cruce de calles de la ciudad
Población: Todas los días mientras exista este cruce
Tipo de población: Infinita. Es imposible determinar cuántos elementos tiene esta población.
EJEMPLO:
Situación: Número promedio de hijos por pareja de un barrio de la ciudad
Población: todas las parejas que habitan en el barrio
Tipo de población: Infinita. Es muy costoso o demanda mucho tiempo determinar su tamaño
1.2.10
CARACTERÍSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIÓN
A los elementos de una población se les observan sus características o la intensidad con que se presenta
una magnitud.
De acuerdo con su comportamiento las características que se observan en los elementos de una población
se pueden clasificar en constantes o variables
1.2.11
CARACTERÍSTICAS CONSTANTES
Una característica es constante cuando el valor que presenta esta característica no varía de un elemento a
otro o varía muy poco; por ejemplo, la estatura de una persona adulta observada en los últimos 20 meses o
la profesión de un graduado universitario.
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.2.12
CARACTERÍSTICAS VARIABLES
. Es una característica que cambia frecuentemente de valor cuando se observa en algunos o en todos
los elementos de la población
. Es un símbolo que puede tomar diversos valores dentro de un conjunto determinado de valores que
reciben el nombre de dominio de la variable.(Significado matemático)
La estadística solamente estudia las características variables Estas características variables, comúnmente
denominadas variables, pueden ser de dos clases:
. Variables cualitativas o categóricas
. Variables cuantitativas
1.2.12.1 Variables Cualitativas o Categóricas Son las que describen el estado de la característica únicamente mediante palabras. Se refieren a atributos, cualidades, actitudes o preferencias de los elementos que
se están estudiando
EJEMPLOS
. Las profesiones u ocupaciones de un grupo de personas: Abogado, maestro, panadero, ingeniero, etc
. El estado civil de un grupo de personas: Soltero, casado, unión libre, etc.
. El sabor de las naranjas de una cosecha: dulce, insípido, ácido
. El color favorito de un grupo de individuos: Blanco, rojo, verde, etc.
. Pasatiempos de un grupo de estudiantes: Deportes, lectura, reuniones sociales, labores manuales, etc
. La calidad de un producto: Bueno, regular o defectuoso
Como se puede observar, en los ejemplos, cada una de estas variables se expresa a través de dos o más
modalidades o categorías: soltero, casado, unión libre; bueno, regular, defectuoso.?
Los datos que se registran cuando las variables son cualitativas o categóricas corresponden a la cantidad o
proporción de elementos que caen dentro de cada categoría que toma la variable, por ejemplo: el número de
abogados o de maestros, el número de individuos que prefieren el color blanco, la proporción de productos
defectuosos.
Las variables categóricas se pueden a su vez subdividir en variables nominales y variables ordinales
1.2.12.2 Variables Nominales: Son las que no tienen una forma particular de organizar sus categorías. Por
ejemplo, no existe una forma común de ordenar los colores o el estado civil de las personas.
Cuando existe una forma común de organizar las categorías que toma la
variable. Por ejemplo: las modalidades como se puede expresar la calidad de un producto se pueden ordenar como bueno, regular, defectuoso o al contrario, en defectuoso, regular, bueno. Las categorías con
las que se califica el servicio que presta una EPS se pueden ordenar como pésimo, malo, regular, bueno o
excelente.
1.2.12.3
Variables ordinales :
Variables cuantitativas: Son las que se describen por medio de números, por ejemplo, la edad de
los empleados de una empresa, las personas que visitan por día un museo, los saldos de las cuentas por
cobrar de una empresa, el peso de los paquetes que moviliza una empresa transportadora, el número de
vehículos que vende un concesionario, etc.
1.2.12.4
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Las variables cuantitativas se pueden clasificar, también, en discretas o continuas:
Son las que únicamente pueden tomar valores enteros tales
como el número de vehículos que vende un concesionario o el número de personas que asisten a una sala
de cine
1.2.12.5
Variables cuantitativas discretas :
1.2.12.6 Variables cuantitativas continuas: Son las que se refieren a mediciones de magnitudes físicas o a
características apreciables en unidades monetarias y admiten valores fraccionarios o decimales tales como
el peso de los paquetes que moviliza una transportadora, los saldos de las cuentas de ahorro de una entidad
financiera o el tiempo que dura el recorrido de un bus urbano.
Cuando se quiere facilitar el manejo de los datos o aumentar
la comprensión de un fenómeno, las variable cuantitativas se pueden convertir en categóricas, como cuando
las personas que miden menos de 1.50 metros se clasifican como de estatura pequeña, las personas que
miden entre 1.50 metros y menos de 1.70 se clasifican como de estatura mediana y las personas que miden
1.70 metros o más se clasifican como de estatura alta.
1.2.12.7
Variables cuantitativas categóricas :
1.2.13
CENSO
Es cuando se observa y registra el estado de una característica examinado a todos los elementos de una
población.
Los censos rara vez se realizan debido al tiempo que demandan y a la cantidad de recursos que necesitan
por lo que se recurre a tomar datos del estado de la variable en algunos de los elementos de la población.
1.2.14
MUESTRA
Es cuando se observa y registra el estado de una característica variable examinado a una parte de los elementos que pertenecen a una población
Las muestras deben ser representativas y para esto se requiere que las características de la población estén
representadas en la muestra, en la misma proporción en que están incluidas en la población
1.2.15
TAMAÑO DE LA MUESTRA
Es el número de elementos que componen la muestra. Se suele indicar con la letra n
EJEMPLO: Para indicar que una muestra tiene 350 elementos se indica así: n = 350
1.2.16
PARÁMETRO
Es el resultado de una medida o cálculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que toma
una característica variable cuando se observan todos los elementos de una población, es decir, cuando se
hace un censo. Por ejemplo, la edad promedio de los niños que cursan primer grado, este año, en todas las
escuelas oficiales de la ciudad. El parámetro siempre es un valor constante.
1.2.17
ESTADÍSTICO
Es el resultado de una medida o cálculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que
toma una característica variable cuando se observan algunos de los elementos de una población, o sea, una
muestra. Por ejemplo, la edad promedio de los niños de primer grado de algunas escuelas oficiales de la
ciudad escogidas al azar. El estadístico es un valor que varía de muestra en muestra.
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.2.18
TIPOS DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS
Los estudios estadísticos pueden ser experimentales y de observación
En los estudios estadísticos experimentales el investigador controla o manipula una o varias variables con
el fin de determinar su comportamiento en determinadas condiciones
En los estudios estadísticos de observación el investigador registra el estado de la característica variable
que le interesa sin ejercer ninguna influencia sobre ella. El estudio estadístico de observación mas común
es la encuesta
1.2.19
UNIDAD DE OBSERVACIÓN O DE INVESTIGACIÓN
Se llama Unidad de Observación o de Investigación a alguno de los siguientes conceptos:
. Al nombre genérico, que se le da a los elementos cuya característica se está registrando
. A la entidad que se investiga o de la que se recolectan los datos
. Al soporte de donde se extraen los datos
1.2.20
ESTADÍSTICAS
Es cualquier conjunto ordenado de datos como por ejemplo las estadísticas de un torneo de fútbol, las
estadísticas de ventas de una empresa o las estadísticas de accidentes
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11
1.3
1.3.1
ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA
INTRODUCCIÓN
Para visualizar las características de una situación representada por un conjunto de datos o establecer el
patrón de comportamiento de esta situación, los datos se deben organizar de alguna manera. La Estadística
propone una metodología que consiste en agrupar los datos recolectados en conjuntos de categorías o clases
estadísticas y con este conjunto construir una tabla que se llama Distribución de Frecuencias
1.3.2
CONCEPTO DE CLASE O CATEGORÍA
En general, una clase o categoría es un conjunto de elementos que tienen una o varias características en
común, por ejemplo, las personas que compiten en algún deporte pertenecen a la clase de los deportistas,
las personas mayores de 60 años pertenecen a la clase de la tercera edad
1.3.3
CLASE ESTADÍSTICA O CATEGORÍA ESTADÍSTICA
En estadística se llama clase, únicamente, a un conjunto de datos que están dentro de un intervalo determinado de valores. Por ejemplo, para datos correspondientes a ingresos de personas podemos crear una clase
de las personas que tienen ingresos entre $500.000 y $800.000. Toda clase estadística tiene, por lo tanto, un
límite inferior ($500.000),y un límite superior ($800.000)
1.3.4
AMPLITUD DE CLASE
Es la distancia o diferencia que hay entre los límites de una clase. En el ejemplo anterior la amplitud de la
clase de ingresos es de $300.000. Es decir, que para calcular la amplitud de clase se resta del límite superior
de la clase el límite inferior.
Para expresar estas ideas en símbolos, llamamos A a la amplitud de la clase, LS al límite superior de la clase
y LI al límite inferior de la clase, expresando aritméticamente la amplitud de la clase así:
Para el ejemplo: A = LS − LI = $800.000 − $500.000 = $300.000
Entonces, para visualizar las características de un conjunto de datos, la Estadística propone que se agrupen
estos datos en intervalos de valores o categorías o clases
1.3.5
CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADÍSTICAS
Un conjunto de clases o categorías es considerado como un conjunto de clases estadístico sí todas las clases,
del conjunto, tienen, simultáneamente, las siguientes tres características:
. Amplitud constante
. Mutuamente excluyentes
. Exhaustivas
se refiere a que la amplitud de todas las clases de un conjunto de clases en
que se agrupa un determinado grupo de datos debe ser la misma para todo el conjunto
1.3.5.1
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Amplitud constante
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Conjunto de clases mutuamente excluyentes se refiere a que cualquier dato, de un grupo de datos
en estudio, debe corresponder únicamente a una sola clase
1.3.5.2
1.3.5.3
Conjunto de clases exhaustivas
cuando el conjunto de clases puede contener a todos los datos de
una muestra.
1.3.6
NÚMERO DE CLASES
Una de las primeras inquietudes que surge cuando se van a agrupar un conjunto de datos en clases estadísticas es en cuantas clases es conveniente o adecuado agrupar estos datos. Hay varios criterios para resolver
este problema:
. El número de clases es determinado por una circunstancia deseable u obligante
. Determinar el número de clases de clases orientándose por una norma empírica de la estadística
. Determinar el número de clases utilizando la expresión empírica: No.C = 2K
. Determinar el número de clases utilizando la expresión empírica: No.C = 1 + 3, 3log(n)
. Otros criterios
El primer caso se presenta, por ejemplo, cuando el estudio actual se va a comparar con un estudio anterior
o un estudio realizado por otro investigador. Entonces, para facilitar las comparaciones entre los dos estudios, es deseable que los datos del estudio actual se agrupen con el mismo número de clases del estudio
anterior
La norma empírica de la estadística indica que el número de clases en que se deben agrupar cualquier conjunto de datos debe ser como mínimo 5 ó 6 clases y como máximo alrededor de 20 clases
En la expresión No.C = 2K, No.C es abreviatura de número de clases y K indica las clases en que, según esta
expresión, se deben agrupar los datos.
Por ejemplo, para un estudio contiene 155 datos esta expresión funciona así:
Sí K = 6 clases, entonces, No.C = 26 = 64 como 64 < 155 el número de clases igual a 6 no es conveniente
Sí K = 7 clases, entonces, No.C = 27 = 128 como 128 < 155 el número de clases igual a 7 no es conveniente
Sí K = 8 clases, entonces, No.C = 28 = 256 como 256 > 155 el número de clases igual a 8, según este procedimiento, es el más adecuado para agrupar los 155 datos del estudio.
En la expresión No.C = 1 + 3, 3log(n), No,C es también, abreviatura de número de clases, log se refiere a
logaritmo con base 10 y n es la cantidad de datos que se desean agrupar
Por ejemplo, para el estudio de 155 datos se tiene: No.C = 1 + 3, 3log(155) = 8, 23, quiere decir que el número
conveniente de clases, para agrupar estos 155 datos es de 8 clases
Otros criterios pueden ser, por ejemplo, números de clases que hacen que los límites de las clases sean muy
fáciles de establecer o que las clases automáticamente queden mutuamente excluyentes.
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Este ejemplo es útil para fines de aprendizaje, porque en situaciones reales, se suelen manejar volúmenes de
datos muy superiores al del presente ejemplo La siguiente tabla se refiere a los galones de gasolina corriente
que tanquearon la semana pasada, en un autoservicio, una muestra de vehículos escogidos al azar
Este ejemplo es útil para fines de aprendizaje, porque en situaciones reales, se suelen manejar volúmenes
de datos muy superiores al del presente ejemplo
1.3.7
MÉTODO ESTADÍSTICO
Como se dijo al comienzo de este tema, para describir una situación representada por un conjunto de datos,
como el anterior, la estadística propone agrupar los datos en un conjunto de clases o categorías y con este
conjunto construir una tabla que se llama Tabla de Frecuencias o Distribución de Frecuencias. Para realizar
este proceso se deben resolver, en primera instancia, las siguientes preguntas:
. ¿En cuántas clases o categorías es más conveniente o se desea agrupar las datos recolectados?
. ¿Cuál es el tipo de variable relacionada con la situación o fenómeno en estudio?
. ¿Cómo se construyen estas clases o categorías?
. ¿Cómo se construye una Distribución de Frecuencias?
Para resolver estas preguntas se propone el siguiente procedimiento:
1.3.8
PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES
1. Para establecer el número de clases:
. Por conveniencia
. Norma empírica
. Fórmulas exponencial o logarítmica
2. Tipo de variable relacionada con la situación en estudio
. (Revisar el tema en el módulo CONCEPTOS BÁSICOS)
3. Construcción de las clases o categorías Existen muchas formas para realizar este paso. A continuación
se propone una de ellas:
. Determinar los valores máximo y mínimo del conjunto de datos: Xmax y Xmin
. Calcular el Rango, R = Xmax − Xmin
. Calcular la amplitud de las clases: A =
R
No.C
. Modificar la amplitud teniendo en cuenta los decimales de los datos ( Amod )
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
. Ajustar el rango ( Rmod ), para que coincida con la nueva amplitud modificada
. Ajustar Xmin o Xmax o ambos para que coincidan con el rango modificado
. Fijar el limite inferior de la primera clase
. Construir los límites de las clases
. Verificar que las clases cumplan con las tres características de las clases estadísticas
4. Construcción de la Distribución de frecuencias
. Establecer el número de observaciones dentro de cada clase ( FA ) ( tabla de conteo )
. Calcular la frecuencia relativa ( FR )
. Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1
. Calcular la frecuencia relativa acumulada ( FRA)
1.3.9
DESARROLLO DEL EJEMPLO
1. Determinar el número de clases
El número de clases se puede determinar de acuerdo a los siguientes criterios:
. Por conveniencia: Cuando exista alguna circunstancia que haga conveniente o deseable un determinado número de clases
. Norma empírica: Se puede escoger cualquier número de clases entre 6 y 20 dependiendo del
criterio o preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un número
de clases satisfactorio
. Aplicando las fórmulas exponencial o logarítmica
Aplicando la fórmula No.C = 2k Para K = 5 entonces 25 = 32 < 39 quiere decir que 5 no es un
número conveniente de clases
Para K = 6 entonces 26 = 64 > 39 quiere decir que 6 es el número conveniente de clases
Aplicando la fórmula No.C = 1 + 3, 3log(n) = 1 + 3, 3log(39) = 6, 25 quiere decir que el número de
clases conveniente es de 6
2. Tipo de variable: En este caso es una variable continua
3. Construcción de las clases o categorías: Estos pasos se presentan en la siguiente tabla y son específicos
para variable continua
TABLA No.1
N0C = 6
Xmax = 6, 9
Xmin = 1, 7
R = 5, 2
A = 0, 866667
Amod = 0, 9
Rmod = 5, 4
Rmod − R = 0, 2
0
Xmin = 1, 5
0
Xmin se refiere al límite inferior de la primera clase
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4. Construcción de la Distribución de Frecuencias: El resultado de este proceso se presenta en la tabla
No.2:
La tabla No.2 recibe el nombre de DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS o TABLA DE FRECUENCIAS y los
detalles de su construcción serán explicados por el docente en la exposición que haga sobre este tema y el
significado de las columnas FA, FR y FRA se expone a continuación
1.3.10
LOS TIPOS DE FRECUENCIAS
Los tipos de frecuencias que se presentan en la tabla No.2 son los siguientes:
. Frecuencia Absoluta FA: Es la cantidad de datos de la muestra que corresponden a cada clase. Se
obtiene por conteo. En la tabla No.2 corresponde al Número de Vehículos.
. Frecuencia Absoluta Acumulada FAA: Se obtiene, para cada clase, sumando la frecuencia absoluta
de la clase, FA, con la frecuencia absoluta de la clase anterior
. Frecuencia Relativa FR: Se calcula, para cada clase, dividiendo la frecuencia absoluta de la clase, FA,
entre el total de datos de la muestra. Es práctico que los valores de la frecuencia relativa se tomen con
dos decimales y su suma se ajuste para que dé exactamente uno
. Frecuencia Relativa Acumulada FRA: Se calcula, para cualquier clase, sumando la frecuencia relativa
de la clase, FR, con la frecuencia relativa de la clase anterior
1.3.11
LECTURA DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Esta tabla permite describir la situación histórica de la venta de gasolina en esta estación de servicio, por
ejemplo, la mayoría de los vehículos de la muestra, un 36%, tanquearon entre 2,4 y 3,3 galones de gasolina,
el 5% de los vehículos de la muestra tanquearon entre 5,1 y 6,0 galones de gasolina y fue la clase con menor
frecuencia de tanqueo. Solamente tres vehículos de la muestra tanquearon más de 6,0 galones
1.3.12
LA TABLA MENOR QUE
Es una tabla auxiliar que se construye a partir de las distribuciones de frecuencias acumuladas, FAA y FRA,
con el fin de facilitar la descripción de la situación utilizando estas frecuencias. Esta tabla se encuentra al
lado de la tabla de distribución de frecuencias y se utilizó, en este caso, la columna de frecuencia relativa
acumulada.
Observando esta tabla se puede ver que el 59% de los vehículos de la muestra tanquearon menos de 3,3
galones de gasolina o que el 13% de los vehículos de la muestra tanquearon mas de 5,1 galones
uts
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16
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.3.13
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SITUACIÓN EN ESTUDIO
La Estadística Descriptiva utiliza tres tipos de gráficos para representar cualquier situación o fenómeno en
estudio:
. El histograma
. El polígono de frecuencias
. La ojiva
Estos gráficos permiten visualizar de manera fácil y rápida los resultados que se presentan en la distribución
de frecuencias
1.3.14
EL HISTOGRAMA
Es un gráfico de frecuencia absoluta, FA o la frecuencia relativa, FR, donde las clases se representan mediante rectángulos. El siguiente histograma se refiere al ejemplo práctico y se utilizó la frecuencia relativa
1.3.15
EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Se hace a partir del histograma uniendo las marcas de clase proyectadas sobre el lado superior de los
rectángulos y agregando, para cerrar la figura, dos clases adicionales, una, por encima del límite superior
de la clase más alta y la otra, por debajo del límite inferior de la clase más baja
Para construir el polígono de frecuencias necesitamos introducir el concepto de Marca de Clase
1.3.16
MARCA DE CLASE
Es el punto medio de una clase. Se calcula sumando los límites de cada clase y dividiendo este total por 2.
El símbolo que usualmente se utiliza para representar la marca de clase es xi
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17
La expresión matemática de la marca de clase es:
LS + LI
2
Donde LS es el límite superior de la clase y LI es el límite inferior de la clase. Por ejemplo, para construir la
marca de clase de la primera clase se procede así:
xi =
xi =
1, 5 + 2, 4
= 1, 95
2
Las marcas de clase se utilizan, también, cuando se requiere representar todos los valores de una clase por
un solo número. Por ejemplo, 1,95 galones representa todos los valores de la muestra que se encuentran
entre 1,5 galones y 2,4 galones
Se puede construir, entonces, con las marcas de clase, una tabla auxiliar de cálculos que permita elaborar
fácilmente el polígono de frecuencias, como se presenta a continuación:
Obsérvese que la tabla tiene ahora 8 clases porque se han agregado dos clases, la número cero y la número
7. A estas clases se les llama clases falsas porque no hay observaciones para ellas; su finalidad es presentar
el polígono de frecuencias como una figura cerrada
uts
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18
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Tanto el histograma como el polígono de frecuencias permiten visualizar algunas de las características de
la situación o fenómeno que se está estudiando, tales como:
. El rango de los datos
. Alrededor de qué valores tienden a agruparse los datos
. Valores de la muestra que se presentan con más o menos frecuencia
. A qué lado de la gráfica parecen agruparse más los datos
Los demás detalles de la construcción del polígono de frecuencias serán explicados por el docente en la
exposición que haga sobre este tema
1.3.17
COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Los histogramas y los polígonos de frecuencias facilitan a las personas que tienen que tomar decisiones
sobre una determinada situación una visión rápida del comportamiento y características de la situación
que se estudia. Algunas de las preguntas que se pueden responder observando estas gráficas son:
. ¿Cuál es el rango de los datos?
. ¿En qué clases se concentran el mayor número de datos?
. ¿Cuál clase contiene menos datos?
. ¿Qué valores de la muestra se presentan con más o menos frecuencia?
. ¿A qué lado de la gráfica parecen concentrarse más los datos?
. ¿Se presentan huecos o clases vacías?
. ¿Se presentan valores aislados de los demás?
. ¿La gráfica presenta subidas o bajadas bruscas o suaves?
. ¿Cuántos picos tiene la gráfica?
. ¿Es simétrica la gráfica?
1.3.18
LA OJIVA
La ojiva es un gráfico de frecuencias acumuladas que describe que cuantas unidades o qué porcentaje de
unidades se encuentran por encima o por debajo de un determinado valor de la variable.
Este gráfico se construye a partir de la tabla MENOR QUE, utilizando la frecuencia absoluta acumulada,
FAA o la frecuencia relativa acumulada, FRA. En el gráfico que se presenta a continuación se utilizó la
frecuencia relativa acumulada.
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19
Los detalles sobre la construcción de estos gráficos serán explicados por el docente en la exposición que
haga sobre este tema
1.3.19
LA INTERPOLACIÓN
En general, la interpolación, es un método de cálculo para establecer el valor de la ordenada de un valor de
la variable que se encuentra ?dentro? de otros valores ya calculados en una tabla. En el caso de la Estadística
Descriptiva, se utiliza para calcular valores de la frecuencia absoluta acumulada, FAA o de la frecuencia relativa acumulada, FRA, correspondientes a valores de la variable que no se encuentran en la tabla MENOR
QUE, pero que están dentro de los valores mínimo y máximo recolectados en el estudio.
Por ejemplo, si se quiere saber qué porcentaje de los vehículos tanquearon mas de 4,8 galones de gasolina,
al buscar este valor en la tabla MENOR QUE se detecta que aunque no está tabulado, se encuentra entre los
valores de la variable 4,2 y 5,1 galones. Con esta información se pueden disponer los datos existentes y los
buscados de la siguiente manera:
x0 = 4, 2
x1 = 4,8
x2 = 5, 1
y0 = 0, 74
y1 = ?
y2 = 0, 87
La expresión matemática que permite realizar el cálculo de interpolación es la siguiente:
0
y1 = y0 +
x1 − x0
(y2 − y0 )
x2 − x0
Reemplazando los símbolos por los valores se tiene:
0
y1 = 0, 74 +
4, 8 − 4, 2
(0, 87 − 0, 74)
5, 1 − 4, 2
0
y1 = 0, 827 ' 0, 83
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20
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Esto quiere decir que el 83% de los vehículos de la muestra tanquearon menos de 4,8 galones, pero, como
se quiere saber es que porcentaje tanqueó mas de 4,8 galones, se debe restar el resultado anterior de 1
1 − 0, 83 = 0, 17 = 17% es entonces, el porcentaje de vehículos de la muestra que tanquearon mas de 4,8
galones
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uts
21
1.4
1.4.1
ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA
PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES
1. Para establecer el número de clases:
• Por conveniencia
• Norma empírica
• Fórmulas exponencial o logarítmica
2. Tipo de variable relacionada con la situación en estudio
• (Revisar el tema en el módulo CONCEPTOS BÁSICOS)
3. Construcción de las clases o categorías
Este procedimiento es específico para variable discreta como se muestra a continuación:
• Determinar los valores máximo y mínimo entre los datos: Xmax y Xmin
• Calcular el Rango, R = Xmax ?Xmin
R
N0C
• Modificar la amplitud eliminando la parte decimal del número calculado en el paso anterior
(Amod)
• Calcular la amplitud de las clases A =
• Utilizar Xmin como el límite inferior de la primera clase
• Construir los límites de las clases
Al construir las clases con este procedimiento automáticamente quedan con las tres condiciones de
las clases estadísticas, es decir, de amplitudes constantes, mutuamente excluyentes y exhaustivas.
4. Construcción de la Distribución de frecuencias
• Establecer el número de observaciones dentro de cada clase (FA) (tabla de conteo)
• Calcular la frecuencia relativa (FR)
• Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1
• Calcular la frecuencia relativa acumulada (FRA)
1.4.2
EJEMPLO PRÁCTICO
Una muestra de 41 días del número de transacciones que se realizaron por día en un cajero automático se
presenta en la siguiente tabla:
uts
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.4.2.1
DESARROLLO DEL EJEMPLO
1. Establecer el número de clases
• Por conveniencia: No existe, en este caso, ninguna circunstancia que haga conveniente o deseable
un determinado número de clases
• Norma empírica: Se puede escoger cualquier número de clases entre 5 y 20 dependiendo del
criterio o preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un número
de clases satisfactorio
• Aplicando las fórmulas exponencial o logarítmica
Utilizando la expresión logarítmica como se muestra a continuación, se tiene que:
N0 .C = 1 + 3, 3log(41) = 6, 3
que indica que un número conveniente de clases para esta cantidad de datos es de 6 clases.
2. Tipo de variable: En este caso es una variable discreta
3. Construcción de las clases o categorías: Los pasos se encuentran en la siguiente tabla y son específicos
para variable discreta
TABLA N0 .4
N0 .c = 6
Xmax = 91
Xmin = 36
R = xmax − xmin = 55
55
A=
= 9, 1666667
36
Amod = 9
En el cálculo anterior se puede observar que para construir la amplitud modificada, se borra toda la
parte decimal de la amplitud, A, calculada
Cuando la amplitud modificada es un número impar, las marcas de clase, que se utilizan para representar a las clases, son valores fraccionarios, como ocurre en este ejemplo; esta situación es incómoda
porque no refleja la realidad en los casos de variable discreta, por lo que se prefiere agrupar los datos
en clases que sean de amplitud par, como se presenta a continuación, para el mismo ejemplo, donde
la amplitud se cambió de 9 transacciones por día a 8 transacciones por día, esto hace que el número
de clases pase de 6 a 7
Amod = 8
4. Construcción de la Distribución de Frecuencias: El resultado de este proceso se presenta en la tabla
N0 .5:
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uts
23
Se observa, también, que el límite inferior de cada clase es igual al límite inferior de la clase anterior más
uno. También se puede ver que el límite superior de la última clase, (98), no coincide con el Xmax = 91, de
los datos y el límite inferior de la primera clase es el Xmin = 36, de los datos.
Las clases construidas de esta manera se llaman CLASES CERRADAS, porque en cada clase se contabilizan
todos los datos incluidos entre los dos límites de la clase. Sin embargo, estas clases, como se puede observar,
son de amplitudes constantes, mutuamente excluyentes y exhaustivas.
También se observa que la tabla MENOR QUE, se construye de manera un poco distinta a como se hizo
para el caso de variable continua, nótese que el último valor de la columna Menor Que, no es igual al límite
superior de la última clase, sino a ése valor más uno.
1.4.3
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
1.4.3.1
HISTOGRAMA
Para el caso de variable discreta el histograma, recibe también el nombre de DIAGRAMA DE FRECUENCIAS y en él las clases se encuentran separadas, como se ve en el siguiente gráfico:
Con frecuencia, en lugar de identificar cada clase con sus límites de clase, es más práctico utilizar la marca
de clase, como se muestra en este gráfico, a continuación
uts
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24
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
Ahora es mucho más fácil leer el diagrama de frecuencias, por ejemplo, en el 14% de los días de la muestra
se realizaron 58 transacciones, el número de transacciones por día menos frecuente, en la muestra, fue de
40 transacciones por día
Se construye de la misma manera, a partir del diagrama de frecuencias y las marcas de clase, como se hizo en el caso de variable continua. Nótese que en esta gráfica se
presenta una distorsión debido a que las clases no son adyacentes
1.4.3.2
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
OJIVA Cuando la variable es discreta, como en este caso, la ojiva se construye de forma diferente,
porque la variable sólo toma valores enteros, aunque, aquí también, este gráfico se construye a partir de la
tabla MENOR QUE
1.4.3.3
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uts
25
Los detalles sobre la construcción de este gráfico serán explicados por el docente en la exposición que haga
sobre este tema
uts
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26
ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
1.5
ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE
AMPLITUD CERO
Cuando el intervalo de valores que toma la variable es reducido y la variable es discreta, es más práctico
agrupar los datos en clases de amplitud cero, como se muestra en el siguiente caso. Aquí X simboliza los
valores que toma la variable que son al mismo tiempo las clases estadísticas. Estas clases cumplen con las
tres características de una clase estadística: son de amplitud constante, son mutuamente excluyentes y son
exhaustivas
1.5.1
EJEMPLO
Se tomó una muestra de 60 facturas registrando el número de errores por factura. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:
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27
1.6
ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS
Cuando la variable es cualitativa, el arreglo y presentación de datos estadístico es limitado. Sólo se pueden
construir distribuciones de frecuencias con las frecuencias absolutas y relativas y diagramas de frecuencias.
Adicionalmente, se utilizan en estos casos otros tipos de gráficos como se presenta en el siguiente ejemplo:
1.6.1
EJEMPLO
Se interrogó a una muestra de clientes de una cafetería sobre el tipo de bebida gaseosa que prefieren
obteniéndose los siguientes resultados:
uts
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Estadística
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ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS
uts
2
2.1
2.1.1
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL, DE POSICIÓN Y
DE DISPERSIÓN
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN
Formas estadísticas de describir un fenómeno
Anteriormente se vio que los fenómenos o hechos se pueden describir con tablas y gráficos pero, también
se pueden describir con números
2.1.2
Concepto de medida en Estadística
En estadística se llama medida a un cálculo u operación que se realiza sobre un conjunto de datos para
extraer alguna información
2.1.2.1
Ejemplos
• Calcular la estatura promedio de un grupo de personas
• Hallar la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos
• Establecer el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos
2.1.3
Parámetros y Estadísticos
En la unidad anterior se vio que los cálculos o medidas que se realizan con los datos referidos a una
situación pueden clasificarse de dos maneras:
Parámetros: Cuando el cálculo se realiza con todos los datos de la población. Los parámetros son valores
constantes
Estadísticos: Cuando el cálculo se realiza con una parte de los datos de la población, es decir, una muestra.
Los estadísticos son variables
uts
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30
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
2.1.4
Clases de medidas en Estadística
En estadística existen tres clases de medidas:
• Las medidas de tendencia central
• Las medidas de tendencia no central o de posición
• Las medidas de dispersión
2.1.5
Las medidas de Tendencia Central
Son tres valores, con cada uno de los cuales, se pretende describir, parcialmente, el comportamiento de una
muestra o de una población.
Las medidas tendencia central, reciben este nombre porque al representar el resultado de un cálculo en
un gráfico de una distribución de frecuencias (histograma o polígono de frecuencias), el valor calculado
siempre se sitúa hacia el centro de la gráfica
2.1.6
Las medidas de Tendencia No Central o de Posición
Las medidas tendencia no central, reciben este nombre porque al representar el resultado de un cálculo en
un gráfico de una distribución de frecuencias (histograma o polígono de frecuencias), el valor calculado
suele situarse hacia los extremos de la gráfica
2.1.7
Las medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son cálculos o valores que indican que tan concentrados están los datos alrededor de un valor especial que se toma como referencia
2.1.8
Medidas para poblaciones y medidas para muestras
Las medidas de tendencia central y de dispersión pueden clasificarse como Parámetros o Estadísticos, según
sea que los datos utilizados correspondan a una población o a una muestra.
Los cálculos de las medidas de tendencia central y de dispersión para poblaciones, en algunos casos, son
diferentes de los cálculos de las medidas de tendencia central y de dispersión para muestras, por lo que se
utilizan, en estos casos, símbolos diferentes para cada tipo de medida.
2.1.9
Clases de medidas de Tendencia Central
Existen tres clases de medidas de tendencia central:
• La media aritmética o promedio
• La mediana
• la moda
2.1.10
LA MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE
Existen dos tipos de media aritmética: la Media Aritmética Simple y la Media Aritmética Ponderada. A la
media aritmética simple se le llama usualmente La Media y la forma de calcularla depende de sí los datos
están o no agrupados en clases.
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uts
31
2.1.10.1
La Media Aritmética para datos no agrupados
La media aritmética, para datos no agrupados, se calcula sumando los valores registrados de la variable
en estudio y dividiendo entre el total de estos valores registrados. La expresión matemática de este cálculo
tiene dos presentaciones: una sí los datos registrados corresponden a una población y otra sí los datos corresponden a una muestra, tal como se indica a continuación.
Para poblaciones:
µ=
Σxi
N
x̄ =
Σxi
n
Para muestras:
El significado de los símbolos es el siguiente:
µ : Es la letra del alfabeto griego mu, simboliza la media aritmética calculada para una población
x̄ : Se lee equis trazo o equis barra, simboliza la media aritmética calculada para una muestra
N: Es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la población
n: Es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra
xi : Es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la población
Ejemplo Las comisiones que un vendedor ha recibido en los 6 primeros meses del año se presentan en la siguiente tabla:
2.1.10.2
Calcular la media aritmética e interpretar el significado
La expresión para calcular la media aritmética indica que se deben sumar todos los valores que toma la
variable y dividir por el número de datos
x̄ =
800 + 950 + 920 + 1000 + 830 + 900
6
x̄ = $900
Como esta forma de cálculos es poco práctica se suman, mejor, los datos en columna como se muestra a
continuación:
uts
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32
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Σxi = 5400
x̄ =
Σxi 5400
=
= $900 miles
n
6
Interpretación: La media aritmética es el mismo promedio y es como sí en cada uno de los 6 meses el
comisionista hubiera ganado $900.000
2.1.11
Media Aritmética para datos agrupados
La media aritmética se calcula sumando los productos de las marcas de clase por sus respectivas frecuencias absolutas y dividiendo esta suma por el número total de datos registrados, como se muestra en las
siguientes expresiones:
µ=
x̄ =
Σxi FAi
N
Σxi FAi
n
Para poblaciones
Para muestras
el significado de los símbolos es el siguiente:
µ :Es la letra del alfabeto griego mu, simboliza la media aritmética calculada para una población
x̄ :Se lee equis trazo o equis barra, simboliza la media aritmética calculada para una muestra
N : Es el tamaño de la población
n : Es el tamaño de la muestra
xi :Es la marca de clase de cada una de las clases en que se han agrupado los datos
FAi :Es la frecuencia absoluta de cada una de las clases en que se han agrupado los datos
Una muestra del valor de las facturas, en miles de pesos, que se cancelan con tarjetas de
crédito en una cadena de almacenes de modas se presenta en la siguiente tabla:
2.1.11.1
Ejemplo
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33
Calcular la media aritmética e interpretar el significado
Como se debe calcular la marca de clase de cada clase y multiplicar cada uno de esto valores por su respectiva frecuencia absoluta, estas operaciones es más práctico realizarlas en forma tabular, como se muestra a
continuación:
SOLUCIÓN
El total de la cuarta columna es Σxi FAi = 10.764 y el total de datos, n, es 224, por lo que la media aritmética
buscada es:
x̄ =
10.764
= $48.054 miles
224
Interpretación: El valor de promedio de cada factura pagada con tarjeta de crédito es de $48.054 miles, que
es como si cada factura fuera de este valor
2.1.12
Significado de la Media Aritmética
La media aritmética o promedio calculada para un conjunto de datos significa que al remplazar el valor
promedio por cada uno de los datos se obtiene el mismo resultado general
2.1.13
LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Existen situaciones en las cuales los datos registrados sobre una situación traen in formación adicional que
indica que estos valores no tienen la misma importancia relativa, como se presenta en el siguiente caso:
uts
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34
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Ejemplo Las notas obtenidas por un estudiante en 3 quices de un corte y las notas finales, del
semestre, extraídas del polígrafo correspondiente, se presentan en la siguiente tabla:
2.1.13.1
En el caso de los quices no existe ninguna información que permita pensar que estas tres notas tienen
diferente nivel de importancia, por lo que su promedio se puede calcular utilizando la fórmula de la media
para datos no agrupados, lo que no ocurre para el caso del polígrafo donde, por ejemplo, la nota de la
asignatura B vale el doble que la nota de la asignatura A; en casos como este, para calcular el promedio,
se utiliza una variante de la media aritmética que recibe el nombre de Media Aritmética Ponderada o
Promedio Ponderado, cuya expresión matemática es la siguiente:
x¯p =
Σxi wi
Σwi
Media Aritmética Ponderada
x¯p : Es el símbolo de la media ponderada
xi : Representa los valores que toma la variable. En el ejemplo, las notas (4.9, 3.1 y 3.0)
wi : Representa el valor relativo de cada uno de los datos, llamados Factores de Ponderación. En el ejemplo,
los créditos de cada una de las asignaturas (2, 4 y 3)
Aplicando la fórmula al ejemplo se tiene:
Σxi wi = 31, 2
Σwi = 9
x¯p = 31,2
9 = 3, 47
Sí para este caso del polígrafo, el promedio se calculara como media aritmética simple, ignorando la información de los créditos, este cálculo daría 3,7 que es diferente del promedio ponderado que da un valor de
3,47
2.1.14
Propiedades de la Media Aritmética
• El cálculo de la media aritmética tiene en cuenta todos los valores de la variable en estudio registrados
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uts
35
• A todas las variables cuantitativas se les puede calcular la media aritmética
• Un conjunto de datos sólo tiene una media
• La media permite hacer comparaciones entre poblaciones o muestras
• La media se puede trabajar matemáticamente
• La media es afectada por los valores extremos
• No se puede calcular la media en distribuciones de frecuencias que tienen clase de extremo abierto
2.1.15
LA MEDIA GEOMÉTRICA
En muchas situaciones los datos se presentan en valores relativos tales como porcentajes o proporciones.
En tales casos el procedimiento de cálculo de la media, que se ha estado utilizando hasta ahora, puede
apartarse de los resultados reales sí la variabilidad de los datos es alta.
Existe, entonces, una expresión matemática especial para calcular
promedios en los casos en que los datos provengan de tasas de interés, porcentajes o números índices, entre
otros. A este expresión matemática se le llama la media geométrica y se suele representar por la letra G
2.1.15.1
Cálculo de la Media Geométrica
G=
p
n
(FC1 )(FC2 )(FC3 )........(FCn )
G Es el símbolo de la media geométrica
FC1 , FC2 , FC3 ........FCn se llaman Factores de Crecimiento
El índice de la raíz depende del número de factores de crecimiento. Sí los factores de crecimiento son 2, la
raíz es cuadrada, sí los factores de crecimiento son 6 la raíz es sexta y así sucesivamente
Los factores de crecimiento,FCi , se determinan con la siguiente expresión:
FC = 1 +
Valor en porcenta je
100
Como el valor en porcentaje se llama comúnmente Tasa, la expresión, más apropiada, para el Factor de
Crecimiento es:
FC = 1 +
Tasa
100
Ejemplo La rentabilidad de un título valor ha estado variando en las últimas semanas como se
presenta en la siguiente tabla:
2.1.15.2
uts
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36
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
¿A qué tasa promedio semanal ha estado variando la rentabilidad de este título?
Para aplicar la fórmula, las tasas de rentabilidad se deben convertir a factores de crecimiento
Con los factores de crecimiento, de la tercera columna, se calcula G
G=
p
6
(1, 03)(1, 01)(0, 98)(1, 007)(1, 015)(1, 01)
G = 1, 008557 ( factor de crecimiento promedio )
Como las unidades de este cálculo son Factores de Crecimiento, para convertir este resultado en tasa, se
despeja ésta de la última fórmula
Tasa
100
Tasa = (FC − 1)100
FC = 1 +
Por lo tanto:
Tasapromedio = (1, 00856 − 1)100 = 0, 856% ≈ 0, 9%
Respuesta:
El título ha estado aumentado a una tasa promedio del 0,9% semanal
Cuando los datos se presentan en valores absolutos, pero, se debe calcular un porcentaje promedio, los
factores de crecimiento se determinan como se indica en el siguiente ejemplo:
Ejemplo Las ventas anuales de una empresa, en millones de pesos, se presentan en la siguiente
tabla. ¿A qué tasa promedio anual están variando las ventas de esta empresa?
2.1.15.3
Estadística
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uts
37
Obsérvese que se pide la tasa promedio de crecimiento, que es un valor relativo y no la venta promedio
anual, que es un valor absoluto
Para convertir las ventas, que son valores absolutos, en factores de crecimiento, se divide el valor de un
periodo cualquiera entre el valor del periodo inmediatamente anterior. Por ejemplo, el factor de crecimiento
del año 2004 se consigue dividiendo 59 entre 32 así:
FC =
59
32
= 1, 8438
Los demás cálculos se muestran en la tabla que se presenta a continuación.
Nótese que no se puede calcular el factor de crecimiento del año 2001 porque no se conocen las ventas del
año 2000.
Con los datos de la tercera columna, FC, se calcula G
G=
p
6
(1, 1029)(0, 4267)(1, 8438)(1, 2373)(1, 2603)(1, 1739)
G = 1, 08017 (Factor de crecimiento)
Tasa promedio = (1, 08017 − 1) = 8, 017% ≈ 8%
Respuesta:
Las ventas están creciendo a una tasa promedio del 8% anual
También se puede calcular la media geométrica para el caso de valores que varían en función del tiempo y
sólo se conocen los valores iniciales y finales del periodo, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
Ejemplo Una persona invirtió $25 millones a 3 años, recibiendo al final de este periodo la suma
de $33,306 millones ¿A qué tasa promedio mensual creció esta inversión?
2.1.15.4
La expresión de la media geométrica para casos como este, es la siguiente:
G=
q
n
Valor f inal
Valor inicial
Donde n es el número de periodos de tiempo durante el intervalo de la inversión
Para el caso del ejemplo la expresión se aplica así:
uts
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38
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
r
G=
36
33, 306
25
Como la tasa que se pide es mensual el número de periodos es 36, por lo tanto, el índice de la raíz es 36
Para calcular la tasa promedio se aplica la expresión:
Tasa = (FC − 1)100
Tasa promedio = (1, 008 − 1)100 = 0, 8%
Respuesta:
La inversión está creciendo, en promedio, al 0.8% mensual
2.1.16
Propiedad de la Media Geométrica
La media geométrica siempre es menor o igual a la media aritmética, es decir: a ≤ b
2.1.17
Usos de la Media Geométrica
La media geométrica se utiliza para calcular promedios de cantidades expresadas en porcentajes o en proporciones
2.1.18
LA MEDIANA
La mediana es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de datos cuando estos están ordenados
de menor a mayor.
Para aclarar este concepto veamos el siguiente ejemplo:
2.1.18.1
Ejemplo
La siguiente tabla presenta las notas obtenidas por una muestra de estudiantes en un
examen:
Ordenando estos datos de menor a mayor, donde el menor está en el extremo izquierdo y el mayor en el
extremo derecho de la fila se tiene:
El número que ocupa la posición central es 3.8 porque por debajo de él hay 4 datos y por encima otros 4,
por lo tanto, 3.8 es el valor mediano
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uts
39
2.1.19
Interpretación de la mediana
El docente que tomó la muestra podría describir el comportamiento de los estudiantes en la prueba diciendo que la mitad de las notas de la muestra se encuentran por debajo de 3.8 o por encima de 3.8
Alternativamente, el docente podría haber utilizado el promedio o media aritmética para describir el comportamiento de los estudiantes en la muestra, como se vio anteriormente, pero, la mediana, entonces, es
otra manera de describir una situación que es diferente de la media aritmética
2.1.20
Símbolo de la mediana
El símbolo utilizado, en estas notas, para representar la mediana es: x̃ (una equis con una onda en la parte
superior que se lee equis mediana)
El cálculo de la mediana para el caso de las notas se expresa así:
x̃ = 3.8
2.1.21
Cálculo de la mediana para datos no agrupados
Número impar de datos
Cuando en número de datos que componen la muestra es impar, como en el ejemplo de las notas, la mediana se puede calcular por simple inspección como se hizo anteriormente. Pero, para situaciones que
representen un mayor número de datos existe una expresión matemática que es la siguiente:
x̃ = x n+1
2
Esta expresión indica que el valor mediano ocupa la posición (n + 1)/2 cuando los datos están ordenados
en orden ascendente
Para aplicar esta expresión es preciso ordenar, entonces, los datos en orden ascendente e indicar la posición
u orden de cada dato como se muestra a continuación:
Los xi indican la posición de cada dato, por ejemplo, x7 indica que 4.3 ocupa la séptima posición cuando los
datos están ordenados de forma ascendente
Como el número de datos es 9, entonces (n + 1)/2 es igual a 5, esto quiere decir que el valor mediano es el
valor que ocupa la quinta posición cuando los datos están ordenados de menor a mayor, por lo tanto,
x̃ = x5 = 3, 8
tal como se había establecido anteriormente por simple inspección
Número par de datos Cuando el número de datos sin agrupar es par, la expresión para calcular la mediana
es la siguiente
x̃ =
uts
x n2 + x n2 +1
2
Estadística
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40
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Esto quiere decir que el valor mediano es el resultado de promediar los valores que ocupan las posiciones
x n2 y x n2 +1
Para explicar esta expresión veamos el siguiente ejemplo:
2.1.21.1
Ejemplo
Una muestra de las estaturas, en metros, de 10 estudiantes de una clase se presentan en
la siguiente tabla:
Al ordenar estos datos de forma ascendente e indicar la posición de cada uno de ellos se llega a la siguiente
tabla:
Como se puede observar, en esta ocasión, no existe un valor único que se localice en el centro del conjunto
de datos ordenado, los valores X5 y X6 ocupan el centro de este conjunto y la mediana se localiza en el
punto medio entre estos dos datos , por lo que para establecer su valor se promedian 1.69 y 1.71 así:
x̃ =
x5 + x6 1, 69 + 1, 71
=
= 1, 70
2
2
Este valor se interpreta como que la mitad de los estudiantes de esta muestra miden menos de 1.70 metros
Se deja al lector de estas notas, que como ejercicio, verifique que la expresión de la mediana para número
par de datos produce el mismo resultado anterior.
2.1.22
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Recordemos que cuando se habla de datos agrupados nos referimos a datos agrupados en clases. Se presentan dos casos para el cálculo de la mediana
Primer Caso
La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta alguna de las clases, de la distribución de frecuencias, coincide con la cantidad total de datos dividida entre 2, es decir, ( n / 2), como se puede ver en el siguiente
ejemplo:
Estadística
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uts
41
Como se puede observar el número de datos de la muestra n es 120, por lo tanto, n/2 es 60 y este valor
coincide con la frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta la cuarta clase. En este caso la mediana es igual
al límite superior de la cuarta clase, es decir:
x̃ = Límite superior de la clase = $2,8 millones
Este valor se puede interpretar diciendo que la venta mínima de la mitad de las tabernas de la muestra fue
de $2.8 millones
Segundo Caso
El cálculo del total de datos de la muestra dividido entre 2, n/2, no coincide con el valor de la frecuencia
absoluta acumulada, FAA, de ninguna de las clases.
Para calcular la mediana en este caso se utiliza la siguiente fórmula de interpolación:
n
− FAAi−1
x̃ = Li + A 2
FAi
Li : Es el límite inferior de la clase que contiene la mediana
A : Es la amplitud de las clases
n
2 : Es la cantidad total de datos de la muestra dividida entre 2
FAAi−1 : Es la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior a la clase que contiene la mediana
FAi : Es la frecuencia absoluta de la clase que contiene la mediana
Para saber cuál es la clase que contiene la mediana se compara n2 , el tamaño de la muestra dividido entre 2,
con las frecuencias absolutas acumuladas, FAA, de la distribución de frecuencias. La mediana se encuentra
en la clase cuya frecuencia absoluta acumulada, FAA, sea inmediatamente superior a n2 . A esta clase, en
términos de la expresión anterior, se le llama la clase i, y la clase anterior a esta se le llama la clase i-1
Para aclarar estos conceptos revisemos el siguiente ejemplo:
Los saldos de los depósitos al finalizar un mes en las cuentas de ahorro de un número
de cuentahabientes, de los bancos locales, escogidos al azar, se presentan en la siguiente tabla:
2.1.22.1
uts
Ejemplo
Estadística
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42
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
El número total de datos de la muestra es 279 depósitos, por lo tanto, n2 es $139.5 miles. El valor, de la frecuencia absoluta acumulada, FAA; inmediatamente superior a éste es $154 miles, es decir, que la clase en la
que se encuentra la mediana es la cuarta clase que va de $900 a $1.200 miles. Esta es entonces la clase i. La
clase anterior a ésta es la tercera clase y su frecuencia absoluta acumulada hasta aquí es $112 miles.
Reemplazando estos datos en la expresión de la mediana se obtiene lo siguiente:
139, 5 − 112
x̃ = 900 + 300
= $1, 096miles
42
Esto quiere decir que la mitad de los clientes de la muestra tenían un saldo, al final del mes, observado,
inferior a $1.096.000
2.1.23
MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN
2.1.24
Los Cuartiles
Los cuartiles son tres valores que se determinan o calculan a partir de un conjunto de datos, con la particularidad de que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales cuando este conjunto está ordenado
en forma ascendente. Estos valores son:
Primer cuartil o Q1
Es el valor por debajo del cual se encuentran la cuarta parte de los datos o 25% de los datos cuando están
ordenados de menor a mayor
Segundo cuartil o Q2
Es el valor por debajo del cual se encuentran la mitad de los datos o 50% de los datos cuando están ordenados de menor a mayor, es decir, es la misma mediana
Estadística
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uts
43
Tercer cuartil o Q3
Es el valor por debajo del cual se encuentran las tres cuartas partes de los datos o 75% de los datos cuando
están ordenados de menor a mayor
Precisemos estas ideas con el siguiente ejemplo:
El número de clientes que atendieron en un día once vendedores de un centro comercial
escogidos al azar se presenta en la siguiente tabla:
2.1.24.1
Ejemplo
Este conjunto de datos ordenando de menor a mayor se muestra en la siguiente tabla:
Como se puede observar los números 8, 15 y 23 dividen el conjunto en cuatro partes iguales. Estos valores
reciben, respectivamente, los nombres de Primer Cuartil, Segundo Cuartil y Tercer Cuartil
2.1.25
Cuartiles para datos agrupados
Primer caso
La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación
Qi n
100 , donde:
Qi : es el valor del cuartil que se pretende calcular, es decir: 25, 50 o 75
n : Es el tamaño de la muestra
Cuando se da esta coincidencia, el cuartil buscado es igual al límite superior que está frente al valor de la
frecuencia absoluta acumulada, FAA, igual al valor calculado
2.1.25.1
Ejemplo
Las utilidades por acción del portafolio de inversiones de una empresa se presenta en
la siguiente tabla:
uts
Estadística
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44
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Calcule el primer cuartil e interprete el significado de este cálculo
Para establecer la clase donde se encuentra el cuartil buscado, se realiza el siguiente cálculo:
Qi n
100
=
25x1100
= 275
100
Como 275 es la FAA hasta la segunda clase, entonces, el primer cuartil es igual al límite superior de esa
clase, es decir:
Qi = 1500
Una interpretación: El 25% de las acciones, de este portafolio, dan una utilidad inferior a $1.500
Segundo caso
La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la opin
eración Q
100
En este caso, el cálculo del cuartil se hace de manera parecida al segundo caso del cálculo de la mediana.
La expresión que se utiliza es la siguiente:
"
Qn = Li + A
Qi n
100 − FAAi−1
#
FAi
Qn : Es el cuartil que se quiere calcular.
Li : Es el límite inferior de la clase que contiene el curtil que se busca
A : Es la amplitud de las clases
Qi n
: Es el producto del valor del cuartil que se quiere calcular por el tamaño n de la muestra dividido
100
entre 100. Qi toma el valor de 25, 50, ó 75, según que el cuartil que se pretenda calcular sea Q1 , Q2 o Q3 ,
respectivamente Esta operación se utiliza para localizar la clase donde se encuentra el cuartil.
FAAi−1 : Es la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior a la clase que contiene el cuartil
FAi : Es la frecuencia absoluta de la clase que contiene el cuartil
Estadística
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uts
45
2.1.25.2
Ejemplo
Para el mismo ejemplo del primer caso, calcule el tercer cuartil e interprete su signifi-
cado
Qi n
100
=
75x1100
= 825
100
El tercer cuartil se encuentra en la clase cuya FAA es inmediatamente superior a 825. A esta clase se le llama
clase i. Reemplazando en la fórmula se tiene:
825 − 695
Q3 = 1700 + 100
= $1.787
150
Interpretación: El 75% de las acciones, de la muestra, tuvieron una utilidad inferior a $1.787
2.1.26
Los Percentiles
Los percentiles son valores que dividen un conjunto de datos en 100 partes iguales, cuando este conjunto
está ordenado de menor a mayor.
Un percentil, por lo tanto, es un valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de los
datos. Por ejemplo:
P30 = 200 que se lee: Percentil 30 igual a 200, quiere decir que por debajo del valor 200, del conjunto ordenado de datos, se encuentran el 30% de los datos.
2.1.27
Percentiles para datos agrupados
Primer caso
Pn
La frecuencia absoluta acumulada hasta alguna de las clases coincide con el valor de la operación 100
Donde:
P : Es el percentil que se quiere calcular
n : es el tamaño de la muestra.
Sí el percentil que se quiere calcular es igual al límite superior de la clase cuya frecuencia absoluta acumuPn
lada, FAA, coincide con el valor de la operación 100
, entonces, el valor del percentil buscado es igual al
límite superior de esa clase.
uts
Estadística
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46
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Ejemplo La siguiente tabla se refiere a una muestra, al azar, del tiempo que duraron las llamadas
telefónicas realizadas por el personal de oficina de una empresa
2.1.27.1
Calcule el percentil 20 e interprete el resultado
para establecer la clase donde se encuentra el percentil buscado se realiza el siguiente cálculo:
Pn
20x230
=
= 46
100
100
Como 46 es la FAA hasta la primera clase, entonces, el percentil 20 es igual al límite superior de esa clase,
es decir:
P20 = 2, 0
Interpretación: el 20% de las llamadas, de la muestra, duraron menos de 2.0 minutos
Segundo caso
La frecuencia absoluta acumulada, FAA, hasta cualquiera de las clases no coincide con el valor de la
Pn
operación
100
En este caso, el cálculo del percentil se hace de manera parecida al segundo caso del cálculo de la mediana.
La expresión que se utiliza es la siguiente:
"
Pn = Li + A
Pn
100 − FAAi−1
#
FAi
Li : Es el límite inferior de la clase que contiene el percentil buscado
A : Es la amplitud de las clases
Pn
: Es la operación que se hace para saber en qué clase se encuentra el percentil
100
FAAi−1 : Es la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior a la clase que contiene el percentil
FAi : Es la frecuencia absoluta de la clase que contiene el percentil
Pn
Para saber cuál es la clase que contiene el percentil se compara la operación 100
con las frecuencias absolutas
acumuladas, FAA, de la distribución de frecuencias. El percentil se encuentra en la clase cuya frecuencia
Estadística
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uts
47
absoluta acumulada, FAA, sea inmediatamente superior al valor de esta operación. A esta clase, en términos de la expresión anterior, se le llama la clase i, y la clase anterior a esta se le llama la clase i − 1
Para aclarar estos procedimientos utilizamos el ejemplo de las llamadas telefónicas
2.1.27.2
Ejemplo
calcular el percentil 70 e interpretar su significado
Para establecer la clase donde se encuentra el percentil 70 se realiza el siguiente cálculo:
Pn
70x230
=
= 161
100
100
El percentil buscado se encuentra en la clase cuya FAA es inmediatamente superior a 161. A esta clase se le
llama clase i
Reemplazando en la fórmula se tiene:
161 − 157
P70 = 6, 0 + 2, 0
= 6, 26 minutos
31
Interpretación: El 70% de las llamadas, de la muestra, fue inferior a 6.26 minutos
Ejemplo Para el mismo ejemplo de la duración de las llamadas ¿Cuál fue la duración mínima del
40% de las llamadas?
2.1.27.3
El valor que se pide es menor que el 40% de las llamadas, por lo tanto, este valor es superior al 60% de las
llamadas de la muestra, lo que quiere decir que se requiere calcular el percentil 60
2.1.28
Propiedades de la mediana, cuartiles y percentiles
• A la mediana, cuartiles y percentiles no los afectan los valores extremos
• La mediana, cuartiles y percentiles se pueden calcular en distribuciones de frecuencias que tengan
clases de extremo abierto
uts
Estadística
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48
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
• La mediana, cuartiles y percentiles se pueden calcular en distribuciones de frecuencias que tengan
clases de extremo abierto
• Los cálculos de la mediana, cuartiles y percentiles son más complejos que los de las demás medidas
de tendencia central
• La mediana, cuartiles y percentiles no se pueden operar matemáticamente
• Para calcular la mediana, cuartiles y percentiles los datos deben estar ordenados
2.1.29
LA MODA
La moda, de un conjunto de datos, es el valor que más se repite dentro de ese conjunto.
2.1.30
Símbolo de la moda
El símbolo que se va a utilizar, en esta notas, para representar la moda es: x̂ que se lee equis moda
2.1.31
Moda para datos no agrupados
Cuando los datos no están agrupados la moda se establece a simple vista.
2.1.31.1
Ejemplo
Una muestra de las edades de la última promoción de graduados se presenta en la
siguiente tabla:
A simple vista, el valor que más se repite es 22 años por lo que éste es el valor modal, es decir:
x̂= 22 años
Interpretación: La edad más común en la muestra de egresados es 22 años
Observación: En este caso hay un solo valor modal
Los puntajes alcanzados, en una escala de 100 puntos, en las pruebas de ingreso, por
los aspirantes a trabajar en una empresa se presentan en la siguiente tabla:
2.1.31.2
Ejemplo
A simple vista se puede establecer que los puntajes que más se repiten son el 57 y el 68, con una frecuencia
de 4 cada uno, por lo que el conjunto de datos tiene 2 modas, es decir:
Estadística
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uts
49
x̂1 = 57 puntos
x̂2 = 68 puntos
Cuando un conjunto de datos tiene más de una moda, como en este caso, se llama conjunto de dato Polimodal
Interpretación: Cuando un conjunto de datos tiene más de una moda, esta medida de tendencia central no
es útil para describir el comportamiento de los datos
El tiempo, en horas, que gastan los buses de una empresa de transportes en realizar el
viaje entre dos ciudades determinadas, en una muestra de recorridos escogidos al azar, se presenta en la
siguiente tabla:
2.1.31.3
Ejemplo
A simple vista se puede establecer que ninguno de los datos se repite por lo que este conjunto de datos no
tiene moda. Por lo tanto, no se puede utilizar la moda para describir el comportamiento de los datos de esta
muestra
2.1.32
Moda para datos no agrupados
Primer caso: Datos de variable discreta agrupados en clases de amplitud igual a cero
Ejemplo Una muestra del número de motocicletas que vende por semana un distribuidor se
presenta en la siguiente tabla:
2.1.32.1
La más alta frecuencia corresponde a 19 semanas y el valor de la variable para esta frecuencia es de 4 motos
por semana, por lo que la moda es 4, es decir:
x̂ = 4 motocicletas por semana
Interpretación: El volumen de venta más frecuente es de 4 motos por semana
uts
Estadística
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50
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Segundo caso: Datos de variable cualitativa
Aquí, también, la moda corresponde al valor de la variable que tiene la más alta frecuencia
Ejemplo Se preguntó a una muestra de profesionales, escogidos al azar, por la marca de celular
que utilizan y el resultado se presenta en la siguiente tabla:
2.1.32.2
La más alta frecuencia corresponde a la marca Nokia, por lo tanto, esta es la moda, es decir:
x̂ = Nokia
Interpretación: La marca de celular que con más frecuencia utilizan los profesionales, de la muestra, es Nokia
Como se puede observar se puede calcular la moda para datos de variable cualitativa
Tercer caso: Datos de variable discreta o continua agrupados en clases de amplitud mayor
que cero
Ejemplo Utilizando un radar de carretera los agentes de tránsito tomaron una muestra de la
velocidad, en kilómetros por hora, a la que se desplazan los vehículos al pasar por un puente. Los resultados
están en la siguiente tabla:
2.1.32.3
En este caso, la moda se encuentra en la clase que tiene la más alta frecuencia. Esta clase es la No.4 que
corresponde al intervalo de 60 a 70 kilómetros por hora. Para saber en qué punto de este clase se encuentra
la moda se aplica la siguiente expresión:
Estadística
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uts
51
d1
x̂ = Li + A
d1 + d2
Li : Es el límite inferior de la clase que contiene la moda
A :Es la amplitud de las clases
d1 : Es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase que contiene la moda y la frecuencia absoluta
de la clase anterior a la clase que contiene la moda
d2 : Es la diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase que contiene la moda y la frecuencia absoluta
de la clase posterior a la clase que contiene la moda
Aplicando la fórmula al ejemplo se tiene:
d1 = 61 − 44 = 17
d2 = 61 − 55 = 6
17
x̂ = 69 + 10
= 67, 39 Kmts/hora
17 + 6
Interpretación: Lo más común es que los vehículos de la muestra se desplacen por el puente a 67,39 Kmts/hora
2.1.33
Propiedades de la moda
• La moda se puede calcular en situaciones de variables cualitativitas y cuantitativas
• A la moda no la afectan los valores extremos
• La moda se puede calcular en distribuciones de frecuencias que tengan clases de extremo abierto
• Existen conjuntos de datos que no tienen moda o que tienen más de una moda
• La moda no se puede operar matemáticamente
uts
Estadística
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52
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
2.1.34
CASOS ESPECIALES DE LA MEDIANA
2.1.35
Distribuciones de frecuencias para datos de variable discreta agrupados en clases
con amplitud igual a cero
Para calcular la mediana, cuando se tienen distribuciones de frecuencia con amplitud igual a cero y datos
correspondientes a variable discreta se tiene dos casos:
Primer caso: La frecuencia acumulada hasta cualquiera de las clases es diferente de n2
Este caso se presenta cuando ninguno de los valores de la columna de frecuencias relativas acumuladas o
FAA coincide con el tamaño de la muestra dividida entre 2, es decir, n2
La siguiente tabla se refiere a una muestra del número de computadores que vendieron
en un mes 112 tiendas de tecnología del país escogidos al azar
2.1.35.1
Ejemplo:
La distribución de frecuencias acumuladas de este ejemplo se presenta en la siguiente tabla, donde se enn
cuentra que = 112
2 = 56
2
Como se observa ningún valor de FAA coincide con n2 en este caso la mediana se encuentra en la clase cuya
FAA sea más próxima por arriba a n2 . Este valor es 75, entonces, la mediana se encuentra en la clase 4 (LI = 4
y LS = 4). Por lo tanto la mediana es 4, es decir:
Estadística
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uts
53
x̂ = 4 unidades
Segundo caso:Algún valor de la frecuencia absoluta acumulada, hasta alguna de las clases,
coincide con 2n
Se tomó una muestra del número de estufas eléctricas que vendieron en el año una
muestra de distribuidores escogidos al azar, como se presenta en la siguiente tabla:
2.1.35.2
ejemplo:
En este caso
n
2
=
94
2
= 47
Como se puede ver un valor de la columna FAA coincide con n2 . En este caso la mediana se encuentra entre
las clases 12 y 13 y para calcularla se promedian estos dos valores así:
12 + 13
= 12, 5
x̃ =
2
Este resultado se puede interpretar de dos maneras así:
• La mitad de los distribuidores de la muestra vendieron 12 o menos unidades
• La mitad de los distribuidores de la muestra vendieron 13 o más unidades
uts
Estadística
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54
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
2.2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Se había dicho anteriormente que el objetivo de las medias de tendencia central es describir (parcialmente),
el comportamiento de un conjunto de datos que pertenezcan a una muestra o a una población. Sin embargo,
esta capacidad descriptiva de las medidas de tendencia central es parcial porque es necesario complementarla con otra característica de las muestras y poblaciones que es la dispersión.
Para introducir el concepto de dispersión se presenta el siguiente caso:
2.2.0.3
Ejemplo:
Las ventas mensuales, en millones de pesos, de dos empresas se presentan en las sigu-
ientes tablas:
Al calcular la venta promedio mensual de estas dos muestras se encuentra que es igual para ambas con
un valor de $19,395 millones, por lo que se podría pensar que ambas empresas tienen un comportamiento
similar en cuanto a las ventas. Sin embargo, si se comparan sus polígonos de frecuencias como se hace en
el siguiente gráfico, se puede ver que sus ventas siguen patrones de comportamiento muy diferentes.
Estadística
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uts
55
La diferencia se encuentra, entonces, en que las dos muestras tienen diferente dispersión de sus datos alrededor de la media. Las ventas de Diseños Galaxia son menos dispersas que las ventas de Creaciones Armany
2.2.1
Concepto de dispersión
Se llama dispersión al grado de variabilidad o de dispersión de un conjunto de datos alrededor de algún
valor que se toma como referencia. Usualmente se toma como referencia alguna de las medidas de tendencia
central.
2.2.2
Dispersión y variabilidad
La variabilidad hace referencia a qué tan diferentes son entre sí los datos de una muestra o una población.
La dispersión y la variabilidad son conceptos sinónimos como se puede ver en los siguientes ejemplos:
En este caso todas las notas son iguales, por lo tanto, no hay ninguna variabilidad y ninguna dispersión
uts
Estadística
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56
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Ahora hay una nota diferente a las demás, por lo tanto, existe una pequeña variabilidad entre los datos y
una pequeña dispersión con respecto a la primera muestra
En esta última muestra, hay un aumento notorio en la variabilidad entre los datos y en la dispersión con
respecto a la muestra anterior.
Es preciso resaltar, que la dispersión es un concepto relativo, siempre se evalúa comparando una muestra
o población con algún valor de referencia o con otra muestra o población
2.2.3
Importancia de la dispersión
Para que una medida de tendencia central sea representativa de los datos que la originaron se requiere que
su valor sea similar a los datos de esa muestra o población que pretende describir, como se puede ver en el
siguiente ejemplo:
x̄ = 3, 6
x̄ = 2, 9
Como se puede observar, en la muestra de baja dispersión, el valor del promedio es similar o está cerca de
los valores de la muestra, en cambio, en la muestra de alta dispersión, ninguno de los valores de la muestra
es parecido al valor de la media. Por lo tanto, el promedio de la primera muestra es verdaderamente representativo de los datos de esta muestra y el de la segunda muestra no lo es.
El concepto de dispersión, entonces, es importante porque entre mayor sea la dispersión de un conjunto de
datos, menor es la fuerza representativa que tiene la medida de tendencia central calculada con esos datos
Estadística
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uts
57
2.2.4
Clases de medidas de dispersión
Las medidas de dispersión que se van a estudiar en estos apuntes son las siguientes:
• El Rango
• El Rango Intercuartílico
• La Desviación Media
• La Varianza
• La Desviación Estándar
2.2.5
El Rango
Es la diferencia o distancia entre el mayor valor, de un conjunto de datos y el valor menor. Este concepto ya
se había mencionado para agrupar los datos en clases estadísticas, por lo tanto se utilizará para enunciarlo
el mismo símbolo, es decir la letra R, es decir:
R = xmax − xmin
2.2.6
Ejemplo:
Calcular el rango de los siguientes conjuntos de datos:
R = 3, 9 − 3, 2 = 0, 7
R = 5, 0 − 0, 1 = 4, 9
La dispersión de la muestra superior, medida por el rango, es menor que la dispersión de la muestra inferior
El cálculo anterior se realizó con muestras de datos que no están agrupados. Cuando los datos ya están
agrupados en clases el rango se establece restando del valor del límite superior de la clase mas alta el valor
del límite inferior de la clase mas baja. En símbolos:
R = LSclase mas alta − LIclase mas ba ja
Una muestra de las facturas que se cancelan con tarjetas de crédito en una cadena de
almacenes de modas se presenta en la siguiente tabla:
2.2.6.1
uts
Ejemplo
Estadística
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58
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
R = LSclase mas alta − LIclase mas ba ja
R = 66 − 30 = $36 miles
Como no se tiene el rango de otro conjunto de datos o un valor de referencia, para comparar, entonces, no
se puede decir sí este conjunto de datos es o no disperso.
2.2.7
Características del rango
• Es fácil de entender y de calcular
• Da una idea rápida de la dispersión
• En el cálculo únicamente se tienen en cuenta los valores máximo y mínimo
• Varía mucho de una muestra a otra
• No se puede calcular con distribuciones de frecuencia que tienen clases de extremo abierto
2.2.8
El Rango Intercuartílico
Una de las desventajas del rango es que solamente se tienen en cuenta, para su cálculo, los valores máximo
y mínimo, por lo que no indica como están distribuidos internamente los datos. Esta desventaja se puede
corregir con el Rango Intercuartílico.
Para simbolizar el rango intercuartílico se utiliza, en estas notas, RQ y se calcula restando la diferencia entre
el primero y el tercer cuartil, es decir:
R Q = Q3 − Q1
Este rango muestra la dispersión de la porción más central de los datos que abarca el 50% del total
Las distancias en kilómetros, recorrida en un día por dos muestras de vehículos se presentan en las siguiente tablas:
2.2.8.1
Ejemplo
Estadística
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uts
59
R = Xmax − Xmin = 85 − 25 = 60 kmts
Q1 = 47, 7 Kmts Q3 = 67, 75 kmts
RQ = 20, 05 kmts
R = Xmax − Xmin = 85 − 25 = 60 kmts
Q1 = 48, 0 Kmts Q3 = 64, 9 kmts
RQ = 16, 9 kmts
Como se ve, aunque las dos muestras tienen el mismo rango, R, el rango intercuartílico es diferente, lo que
indica que la muestra B es menos dispersa que la muestra A
2.2.9
La Desviación Media
Es la diferencia promedio, en valor absoluto, de los datos de la muestra o población con respecto a su
propia media. La forma de la expresión de cálculo varía dependiendo de que se trate de datos no agrupados o datos agrupados.
El símbolo que se utiliza en estos apuntes para la desviación media son las iniciales: DM
Desviación Media para Datos No Agrupados
DM =
uts
Σ|xi − x̄|
n
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Donde:
DM : Es el símbolo de la desviación media
xi : cada uno de los datos de la muestra
x̄ : Es la media aritmética de la muestra
n : Es el número de datos de la muestra
La razón por la cual se extrae el valor absoluto es porque los números tienen una propiedad que consiste
en que la suma de las diferencias de un conjunto de números con respecto a su media siempre da igual a
cero
Ejemplo Una muestra, al azar, del tiempo, en minutos, que duran las llamadas que se hacen desde
un teléfono, se presenta en la siguiente tabla:
2.2.9.1
Hallar la desviación media de esta muestra.
x̄ = 11, 5 minutos
DM =
31
= 5, 2 minutos
6
Desviación Media para Datos Agrupados
DM =
Σ|xi − x̄|FAi
n
Donde:
Donde:
DM : Es el símbolo de la desviación media
xi : cada uno de los datos de la muestra
x̄ : Es la media aritmética de la muestra
FAi : Es la frecuencia absoluta de la clase i
n : Es el número de datos de la muestra
La siguiente tabla es una muestra, en miles de pesos, del valor del arriendo mensual de
vivienda del estrato tres.
2.2.9.2
Ejemplo
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uts
61
x̄ = $271, 92 miles
DM =
3836, 48
= $30.7 miles
125
Interpretación: En promedio, los arriendos de la muestra, se diferencian de la media en $30,7 miles
La desviación media tiene en cuenta, para su cálculo, todos los datos de la muestra y es fácil de interpretar.
Pero, la operación del valor absoluto para soslayar la propiedad anteriormente mencionada de los de los
números, da una descripción incompleta de la situación. Obsérvese que no se sabe sí la diferencia de $30,7
miles, del ejemplo anterior, es por encima o por debajo de la media.
Parta evitar este inconveniente existe otra medida de dispersión que aprovecha otra propiedad de los
números que consiste en que todo número elevado al cuadrado tiene signo positivo. Esta medida de dispersión es la varianza.
2.2.10
La Varianza
La Varianza, al igual que la desviación media utiliza, para medir la dispersión, las desviaciones de los datos
con respecto a la media, pero, en este caso, estas desviaciones se elevan al cuadrado. Por lo tanto, se puede
uts
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
decir que la varianza es el promedio de las desviaciones, de los datos, con respecto a la media elevadas al
cuadrado.
Para el cálculo de la varianza, lo mismo que para las medidas de dispersión estudiadas anteriormente, se
debe tener en cuenta sí los datos están o no agrupados, pero, adicionalmente, el cálculo de la varianza es
ligeramente diferente según se trate con poblaciones o muestras, por lo que se utilizan símbolos diferentes
para indicar cada una de estas dos situaciones.
2.2.11
La varianza poblacional
Es la varianza que se calcula utilizando todos los datos de una población.
Símbolo: σ2
Varianza Poblacional para datos no agrupados
σ2 =
Σ(xi −µ)2
N
Donde:
xi : Cada dato de la población
µ : La media de la población
N : El tamaño de la población
2.2.11.1
Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por los aspirantes a un cargo
en una empresa
681, 5
6
σ2 = 113, 58 puntosalcuadrado
σ2 =
Varianza Poblacional para datos agrupados
σ2
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=
Σ(xi −µ)2 FAi
N
uts
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Donde:
xi : Cada dato de la población
µ : La media de la población
FAi : Es la frecuencia absoluta de cada clase
N : El tamaño de la población
Ejemplo En un programa sobre riesgo cardiovascular, se registró el peso en kilogramos de todos
los empleados de una empresa
2.2.11.2
µ = 74, 2kilogramos
31894, 04
151
σ2 = 211, 22 kilogramos al cuadrado
σ2 =
2.2.12
Varianza Muestral
Es la varianza que se calcula sobre los datos de una muestra. El cálculo con respecto a la varianza poblacional difiere en que, el divisor de la expresión ya no es N, el tamaño de la población, ahora es (n − 1), que
es el tamaño de la muestra, n, menos una unidad.
2
Símbolo : s
uts
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Varianza Muestral para datos no agrupados
s2 =
Σ(xi −x̄)2
n−1
Donde:
xi : Es cada uno de los datos de la muestra
x̄ : Es la media de la muestra
n : Es el tamaño de la muestra
La razón por la cual se divide entre n − 1 es porque, de esta manera, s2 , es un estimador insesgado de la
varianza de la población de la cual se extrajo la muestra. El concepto de estimador insesgado se estudia en
el curso de Estadística Inferencial.
Los saldos de las cuentas de ahorro, de empleados, de una muestra de las cuentas de
ahorro de una cooperativa, escogidas al azar, se presentan en la siguiente tabla:
2.2.12.1
Ejemplo
x̄ = $212, 5 Miles
143435, 5
(6 − 1)
s2 = 28687, 10 miles de pesos al cuadrado
s2 =
Varianza Muestral para datos agrupados
s2 =
Σ(xi −x̄)2 FAi
n−1
Donde:
xi : Es la marca de clase de c/u de las clases en que se agrupa la muestra
x̄ : Es la media aritmética de la muestra
FAi : Es la frecuencia absoluta de cada clase
n : Es el tamaño de la muestra
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uts
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Ejemplo Una muestra del tiempo, en horas, que demora el almacén de materiales de una fábrica
en surtir los pedidos que recibe:
2.2.12.2
x̄ = 6, 3 horas
s2 =
943, 40
= 6, 8 horas al cuadrado
(14 − 1)
Como se puede observar, en los ejemplos anteriores, todas las unidades de la desviación estándar están
elevadas al cuadrado por lo que es difícil interpretar el significado del valor de la varianza; esta en una de
las razones por las cuales, para medir la dispersión, se prefiere otra medida que es la Desviación Estándar
2.2.13
La Desviación Estándar
Conocida también como Desviación Típica, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Los
símbolos que se utilizan son σ, para cálculo de la dispersión en poblaciones y s, para el cálculo de la
dispersión en muestras
Desviación Estándar para poblaciones
Datos no agrupados
q
σ=
uts
Σ(xi −µ)2
N
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
Datos Agrupados
q
σ=
Σ(xi −µ)2 FAi
N
Desviación Estándar para muestras
Datos no agrupados
q
s=
Σ(xi −x̄)2
n−1
Datos Agrupados
q
s=
Σ(xi −x̄)2 FAi
n−1
Las tablas de cálculo para la desviación estándar son idénticas a las que se utilizan para la varianza, con un
cálculo adicional: extraer la raíz cuadrada de la varianza
2.2.13.1
Ejemplo
En un ejemplo anterior se vio que los puntajes de los aspirantes a un cargo, en una
empresa fueron:
y se calculó que:
σ2 = 113, 58 puntosalcuadrado
Por lo tanto:
σ=
√
√
σ2 = 113, 58 = 10, 7puntos
Ejemplo
En otro caso se estableció que el tiempo, en horas, que demora el almacén de materiales
de una fábrica en surtir los pedidos que recibe
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uts
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y se calculó que:
s2 = 6, 8 horas al cuadrado
√
s = s = 2, 6 horas
Aunque es indispensable que se conozca, a ciencia cierta, como se obtienen la cifras de
los cálculos de la media aritmética y la desviación estándar, en la práctica, la tecnología
disponible permite que estas operaciones se hagan de forma más rápida y segura utilizando las funciones estadísticas de las calculadoras científicas o de las hojas electrónicas
de los programas de computador, por lo que se debe consultar, por lo menos, en los manuales de las calculadoras, los detalles de la forma como se ejecutan estas funciones.
2.2.14
El coeficiente de Variación
Para introducir el concepto del coeficiente de variación se analiza la siguiente situación:
La primera impresión que se obtiene de una observación desprevenida de estos resultados es que las dos muestras tienen la misma dispersión porque sus desviaciones estándar
son iguales. Sin embargo, si se examina con más atención, se puede ver que en el caso
de la sección de materiales livianos, la desviación estándar equivale a la mitad del peso
promedio de los materiales de la muestra. En cambio, en la sección de materiales pesados
la desviación estándar equivale únicamente a 1/25 del peso promedio de los paquetes.
Por lo que comparadas las dos desviaciones estándar con la magnitud de su respectivo
promedio, es mucho más alta la dispersión de la sección de materiales livianos.
De este análisis se concluye que la desviación estándar en casos como el del ejemplo, no
permite comparar la dispersión de dos muestras y se puede agregar que esta dificultad se
presenta cuando las medias de las muestras que se están comparando son muy diferentes
entre sí.
Para resolver este inconveniente, la estadística dispone de un indicador para medir la
dispersión. Este indicador es el Coeficiente de Variación y se calcula con la siguiente expresión:
uts
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN
El coeficiente de variación es un número sin dimensiones por lo que se puede expresar en
fracciones decimales o en porcentaje.
Como se puede notar, la desviación estándar del vendedor A es mayor que la desviación
estándar del vendedor B; sin embargo, las ventas de la muestra del vendedor A son menos
dispersas que las ventas de la muestra del vendedor B, porque el coeficiente de variación
de las ventas del vendedor A es menor que el coeficiente de variación de las ventas del
vendedor B
Ejemplo:
Una muestra de las ventas por día de un almacén de ropa de moda y un gran distribuidor
textil se presentan en la siguientes distribuciones de frecuencias. ¿Cuál de los dos promedios de ventas por día es más confiable?
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uts
69
x̄ = 1, 70630636
s = 0, 30489321
CV = 0, 17868609 = 18%
x̄ = 12, 26428571
s = 1, 62566714
CV = 0, 13255294 = 13%
Respuesta: Es más confiable el promedio diario de Distrimoda porque tiene el menor coeficiente de variación.
uts
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3
3.1
3.1.1
REGRESIÓN Y
CORRELACIÓN
REGRESIÓN
Introducción
En muchas circunstancias de las actividades administrativas o cotidianas se encuentra
que el comportamiento de dos o más hechos o situaciones parece estar relacionado de
alguna manera, como por ejemplo en los siguientes casos:
• El número de vehículos que circulan por las vías de una ciudad y los índices de
contaminación de la misma
• La tasa de desempleo y las ventas del comercio
• Las ventas de licor y el número de accidentes de tránsito
• Las horas de tutorías y el número de estudiantes que reprueban los parciales
• El número de apartamentos construidos en un determinado periodo y las ventas de
muebles
• El número de personas que se movilizan en bus y las ventas de motos y el estado del
clima
3.1.2
Concepto de Regresión
Es un método de cálculo para establecer la relación matemática que existe entre dos o
más situaciones o variables, que la observación o el sentido común indican que tienen
comportamientos que están relacionados
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uts
71
3.1.3
Importancia de la Regresión
Este método aplicado al análisis estadístico permite predecir matemáticamente el comportamiento de una variable a partir del comportamiento conocido de otra u otras variables. Esta relación entre las variables se establece a través de una ecuación que se llama
Ecuación de Regresión
3.1.4
Variables dependientes e independientes
Al establecer la relación entre dos variables se encuentra que el comportamiento de una
variable depende del comportamiento de otra u otras variables o que la manifestación
de una variable ocurre primero que la manifestación de otra u otras variables. A la variable que ocurre primero o que determina el comportamiento de otra se le llama Variable
Independiente y se suele representar por la letra x y a la otra variable se le llama Variable
Dependiente y se suele representar por la letra y
Ejemplos:
• Tasa de desempleo y ventas del comercio: La variable independiente o variable x es
la tasa de desempleo y la variable dependiente o variable y es las ventas del comercio
• Accidentes de tránsito y ventas de licor: La variable independiente es las ventas de
licor y la variable dependiente los accidentes de tránsito
• El número de personas que se movilizan en bus puede depender de las ventas de
motocicletas y del estado del clima, por lo que el número de personas que utilizan el
servicio de bus es la variable dependiente y las otras dos son las variables independientes
3.1.5
Gráfico de dispersión
Es la representación gráfica, en el plano cartesiano, en forma simultánea, de los valores
que toman la variable independiente: x y la variable dependiente: y
Ejemplo
Se tomaron datos sobre el kilometraje recorrido por un vehículo y el consumo de gasolina,
en galones, como se presenta en la siguiente tabla:
uts
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72
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
La representación gráfica de los valores de esta tabla en el plano cartesiano, recibe el
nombre de Gráfico de Dispersión como se muestra a continuación:
3.1.6
Tipos de relación entre dos o mas variables
La relación entre dos o más variables que, como dijimos anteriormente, recibe matemáticamente el nombre de regresión se puede clasificar de dos formas:
• Atendiendo a la cantidad de variables que se relacionan se clasifica en Regresión Univariada o Regresión Multivariada
• Atendiendo a la representación gráfica de la ecuación de regresión se clasifica en
Regresión Lineal o Regresión Curvilínea
Esta clasificación se puede visualizar en la siguiente gráfica:
Estadística
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uts
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3.1.7
Tipos de regresión
• Regresión univariada: Se presenta cuando sólo interviene una variable independiente
• Regresión Multivariada: Se presenta cuando interviene más de una variable independiente
• Regresión lineal: Se presenta cuando la representación gráfica de la ecuación de
regresión es una línea recta
• Regresión Curvilínea: Se presenta cuando la representación gráfica de la ecuación
de regresión es una curva
Tanto la regresión lineal como la curvilínea tienen dos formas de manifestarse: en forma
directa o en forma inversa
3.1.8
Regresión Lineal Directa
Ocurre cuando al aumentar el valor de la variable independiente aumenta, proporcionalmente, el valor de la variable dependiente. Por lo tanto, una recta parece describir de
manera apropiada la relación entre estas variables, como se puede ver en el siguiente
gráfico:
uts
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74
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
La curva de regresión (una recta), que mejor describe la relación entre estas dos variables,
se presenta en la siguiente gráfica:
3.1.9
Regresión lineal Inversa
Ocurre cuando al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de
la variable dependiente en una proporción similar
Estadística
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uts
75
La curva de regresión (una recta), que mejor describe la relación entre estas dos variables,
se presenta en la siguiente gráfica:
3.1.10
Regresión curvilínea Directa
Ocurre cuando al aumentar de valor la variable independiente, la variable dependiente
aumenta mas que proporcionalmente
uts
Estadística
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76
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
La curva de regresión, que mejor describe la relación entre estas dos variables, se presenta
en la siguiente gráfica
3.1.11
Regresión Curvilínea Inversa
Ocurre cuando al aumentar de valor la variable independiente, la variable dependiente
disminuye de valor en forma más que proporcional
Estadística
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uts
77
La curva de regresión, que mejor describe la relación entre estas dos variables, se presenta
en la siguiente gráfica:
3.1.12
Ninguna relación
Ocurre cuando la relación entre la variable dependiente e independiente no se puede
describir con ningún tipo de curva
uts
Estadística
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78
3.1.13
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
La Regresión Lineal
Cuando los puntos del gráfico de dispersión se pueden relacionar con una recta que pase
lo mas cerca posible de todos ellos, a esta recta se le llama Recta de Mínimos Cuadrados,
porque la suma de las distancias al cuadrado, de los puntos del gráfico a esta recta es
mínima
Esta recta tiene por ecuación Y = A + BX, donde A es el punto donde la recta corta al eje
Y , y B es la pendiente de la recta. El proceso para determinar el valor de los parámetros
A y B es complejo, pero, el estudiante interesado lo puede consultar en cualquier texto
de estadística. En el curso, se determinarán utilizando las funciones de las calculadoras
científicas.
Ejemplo
Se comparó el tiempo total que realmente dura encendido, de forma intermitente, un celular, con la duración de su batería, obteniendo los valores que se presentan en la siguiente
tabla:
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uts
79
Como el tiempo de duración de la batería depende del tiempo total, que de forma intermitente dura encendido el celular, la variable dependiente es el tiempo de duración de la
batería y la variable independiente el tiempo en segundos que dura encendido el celular,
como se presenta a continuación:
El gráfico de dispersión de estos datos es el siguiente:
Trazando una recta que pase lo más cerca posible de todos los puntos, el gráfico queda
así:
uts
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80
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Entre más tiempo dure el celular encendido menos tiempo durará la batería por lo que
la relación entre las dos variables en inversa y la pendiente de la recta es, por lo tanto
negativa. Adicionalmente, se observa que la relación entre las dos variables es de tipo
lineal, donde los parámetros de la recta de regresión son:
A = 4, 7764201
B = −0, 0055024
Y la ecuación de regresión que relaciona las dos variables es:
y = 4, 7764201 − 0, 0055024x
Para un tiempo de encendido total intermitente del celular de 500 segundos, la duración
que se puede esperar de la batería es:
y = 4, 7764201 − 0, 0055024(500)
y = 2 horas
3.2
LA CORRELACIÓN
El interés del analista no está solamente en establecer la forma como se relacionan dos
variables, sino, también, en medir que tan fuerte es el grado de esta relación.
La regresión univariada es un caso extraño, lo común es que en comportamiento total de
una variable dependiente sea el resultado de la interacción de varias variables dependientes, como se muestra en las siguientes gráficas:
Estadística
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uts
81
Como es lógico pensar, la influencia que tiene cada una de estas variables independientes
en el comportamiento total de la variable dependiente no es igual para todas las variables
independientes. Habrá algunas variables independientes que determinan, en buena medida, el comportamiento de la variable independientey, también, habrá algunas variables
independientes cuya influencia en el costo de reparación de vías o en el consumo de combustible, para estos ejemplos, es muy reducida.
Para cualquier observador que analice estas situaciones, es de capital importancia determinar cuáles son las variables que ejercen un efecto notable en el comportamiento de
otra, es decir, establecer la fuerza o intensidad con la que una variable independiente y
otra dependiente están relacionadas. A esta fuerza o intensidad se le llama Correlación
Es una medida del grado en que una variable independiente influye en una variable dependiente
3.2.0.1
uts
El Coeficiente de Correlación
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82
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Este grado de la relación entre dos variables se mide con un indicador que recibe el nombre de coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación es un número adimensional que se representa por la letra r y
toma valores entre −1 y +1. El significado de estos valores que toma r es el siguiente:
• Sí r = −1 ó r = +1 la correlación entre las variables es perfecta, es decir, la fuerza
de la relación entre la variable independiente y la variable dependiente, es la máxima posible. Esto quiere decir, que el comportamiento de la variable dependiente
depende completamente del comportamiento de la variable dependiente
• Sí r > 0, es decir, es positiva, la relación entre las variables es directa
• Sí r < 0, es decir, es negativa, la relación entre las variables es inversa
• Sí 0, 9 ≤ r < 1 ó −1 < r ≤ −0, 9 la correlación entre las variables se considera
óptima
• Sí r = 0 no existe correlación entre las variables
Como el coeficiente de correlación es un número adimensional se puede expresar también
en porcentaje. Se suelen preferir valores de coeficientes de correlación superiores al 90%
3.2.1
Relación entre el coeficiente de correlación y la pendiente de la recta de regresión
• Sí la relación entre las variables dependiente e independiente es directa el coeficiente
de correlación r y la pendiente de la recta de regresión son ambos de signo positivo
• Sí la relación entre las variables dependiente e independiente es inversa el coeficiente
de correlación r y la pendiente de la recta de regresión son ambos de signo negativo
Ejemplo
Para el mismo caso de la duración de la batería del celular, el valor del coeficiente de
regresión es:
r = −94%
Que significa que la correlación entre las dos variables es inversa y óptima
3.2.2
El Coeficiente de Determinación
El coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación y explica el
porcentaje de cambio de la variable dependiente que se puede explicar por el cambio de
la variable independiente. Por ejemplo, un coeficiente de determinación de 64% entre los
litros de licor vendidos los fines de semana y el número de accidentes de tránsito, en esos
días, significa que el 64% de los accidentes de tránsito de los fines de semana se pueden
Estadística
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uts
83
explicar por las ventas de licor
Para el mismo caso que estamos estudiando de la duración de la batería del celular, el
coeficiente de determinación es:
r2 = 88%
Que significa que el 88% de las variaciones en la duración de la batería del celular se deben
a las variaciones en el tiempo total que demora el celular prendido de forma intermitente
uts
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4
BIBLIOGRAFÍA
• LEVIN y RUBIN Estadística para Administradores. Séptima edición. Editorial THOMSON
• MARTÍNEZ B, Ciro. Estadística y Muestreo. Décimo Tercera edición. Editorial ECOE
• LIND, MARCHAL Y OTRO. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía
Décimo Quinta edición. Editorial McGraw Hill
• ANDERSON, SWEENEY Y OTRO. Estadística para Administración y Economía. 11ª
edición. Editorial CENGAGE LEARNING
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