1. No category

Algebra Lineal XVIII: Matriz Transpuesta.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En esta muy pequeña nota introduciremos el concepto de matriz transpuesta y matrices simétricas
y antisimétricas.
1.
Matriz transpuesta, simétrica y antisimétrica.
Empezaremos esta sección definiendo la matriz transpuesta.
Definición. Sea M una matriz de m filas y n columnas tal que su elemento tı́pico, localizado
en la i−ésima fila y la j−ésima columna está dado por mij . Entonces la matriz transpuesta de M ,
denominada M T es la matriz de n filas y m columnas tal que su elemento tı́pico, localizado en la
i−ésima fila y la j−ésima columna dado por m∗ij satisface la condición
m∗ij = mji
Teorema. Sean M y N dos matrices conformables, es decir M N está bien definido. Entonces
la transpuesta del producto es el producto de las transpuestas con el orden invertido; es decir
(M N )T = N T M T
Prueba. Sea M ∈ Mm×n y N ∈ Mn×r ; es decir, M es una matriz de m filas y n columnas y N
es una matriz de n filas y r columnas. Es evidente que las matrices son conformables y el producto
está definido. En ese caso, se tiene que el elemento mnji del producto está dado por
mnji =
n
X
mjk nki
k=1
Pero el elemento mnji es el elemento mnij de la transpuesta del producto (M N )T . Por lo tanto
mnij =
n
X
mjk nki =
n
X
nki mjk
k=1
k=1
Sin embargo nki , i = 1, . . . , n es la i-ésima fila de N T y mjk , i = 1, . . . , n es la j-ésima columna de
M T . Con esto finaliza la prueba.
Definición. Una matriz cuadrada, M , se dice que es simétrica si
M = MT
1
o en términos de los elementos de la matriz,M , se dice que es simétrica si
mij = mji .
Similarmente, una matriz cuadrada, M , se dice que es antisimétrica si
M = −M T .
o en términos de los elementos de la matriz,M , se dice que es antisimétrica si
mij = −mji .
Teorema. M es simétrica si, y sólo si,
M − MT = 0
Similarmente, M es antisimétrica si, y sólo si,
M + MT = 0
Prueba: Se probarán cada uno de esos resultados en una lı́nea.
M = M T ⇐⇒ M − M T = 0.
M = −M T ⇐⇒ M + M T = 0.
Teorema. Sea M ∈ Mn×n , es decir M es una matriz cuadrada, entonces M puede descomponerse
como
M = B + C,
(1)
donde B es simétrica y C es antisimétrica.
Prueba. Sea mij el elemento localizado en la i−ésima fila y la j−ésima columna de la matriz
M , defina entonces las matrices B y C de manera que
bij =
mij + mji
2
cij =
mij − mji
2
Entonces, se tiene que
bij + cij =
mij − mji
mij + mji + mij − mji
mij + mji
+
=
= mij
2
2
2
Repitiendo este cálculo para cada cada uno de los elementos de la matriz M , se tiene que
M =B+C
Finalmente, se debe probar que B es simétrica y C es antisimétrica. Considere
bij =
y
cij =
mij + mji
mji + mij
=
= bji .
2
2
mji + mij
mij − mji
=−
= −cji
2
2
2
2.
Problemos Propuestos.
Problema 1. Considere las siguientes matrices
¸
0
1
·
3 1
M=
−1 2


1 −1
N = 3 2 
0 1
Verifique, que
(M N )T = N T M T
(N M )T = M T N T
Problema 2. Escriba la matriz

3
M = −1
4

1 0
2 1
2 2
como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
3