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Problemas de Algebra Moderna I
Lista 2
1. Sea D el grupo diedrico, es decir el grupo generado por la reexion
en el eje Y y la rotacion a respecto al origen por un angulo de 2=n
radianes en el sentido de las manecillas del reloj. Demostrar que:
n
(a) Si n es impar y a 2 D tal que a b = b a para todo b 2 D
entonces a es la identidad.
(b) Si n es par, demostrar que existe a 2 D ; a 6= I; tal que a b = b a
para todo b 2 D :
n
n
n
n
2. Sea G grupo, a 2 G; a 6= e; tal que a5 = e, sea b
aba 1 = b2 : encontrar el orden de b:
2
G; b =
6 e con
3. Sea G un grupo cclico nito con n elementos.Si G = (a):
(a) Demuestre que a con 1 i n genera si y solo si (i; n) = 1:
(b) Demuestre que para cada divisor d de n; G contiene un unico
subgrupo de orden d:
i
4. Sean G1 ; G2 dos grupos con mas de un elemento. Demuestre que
G1 G2 es grupo cclico si y solo si G1 y G2 son cclicos nitos cuyos
ordenes son primos relativos
5. Demuestre que si un grupo G tiene como sus unicos subgrupos a G y
feg, entonces G debe ser un grupo cclico nito con un numero primo
de elementos.
6. Sean g1 ; g2 ; : : :; g elementos del grupo Abeliano G de ordenes
nitos tales que (o(g ); o(g )) = 1: Demuestre que o(g1 g2 ::: g ) =
o(g1 ) ::: o(g ):
n
i
j
n
n
7. Sea G grupo Abeliano g1 ; g2 elementos de G con o(g1 ); o(g2 ) nitos.
Demuestre que existe h 2 G con o(h) igual al mnimo comun multiplo
de o(g1 ) y o(g2 ):
8. Sea G grupo Abeliano con m n elementos, m y n primos relativos,
suponga que a y b son elementos de G de ordenes m y n respectivamente. Demuestre que G es grupo cclico.
9. Sea G grupo Abeliano nito, suponga que para todo numero natural
n hay a lo mas n elementos en G que satisfacen la ecuacion x = e.
Demuestre que G debe de ser grupo cclico.
n
10. Sea G grupo Abeliano, T el conjunto de elementos de G de orden
nito. Demuestre que T es subgrupo de G:
1
11. Sea G un grupo.
(a) Si H es subgrupo de G: Demuestre que para todo g 2 G el
conjunto g H g 1 = fg h g 1 : h 2 H g es subgrupo de G:
(b) Demuestre que si H es nito entonces g H g 1 tambien es
nito y que tiene el mismo numero de elementos que H .
12. Sea G un grupo, H subgrupo de G.
(a) Denase N (H ) = fg 2 G : g H g 1 = H g : Demuestre que
N (H ) es subgrupo de G que contiene a H . Lo llamaremos el
normalizador de H en G.
(b) Sea C (H ) = fg 2 G : g h = h g 8 h 2 H g. Demuestre que
C (H ) es subgrupo de G; lo llamaremos el centralizador de H en
G:
G
G
G
G
13. Sea G un grupo abeliano nito G = fa1 ; : : : ; a g. Demostrar que x =
a1 a satisface que x2 = e:
n
n
14. Si a > 1 es un entero, demuestrese que n j '(a
funcion de Euler.
1); donde ' es la
n
15. Sea ( GLM2 (C); ) el grupo de matrices no singulares 22 con entradas
en C es decir
GLM2 (C) =
y
S= A=
a b
c d
0 1
1 0
: a; b; c; d 2 C; a d
;B =
0 i
i 0
b c 6= 0
i 2 = 1:
Demuestre que (S ) es un subgrupo con 8 elementos.
Sugerencia: demuestre que B A = A3 B; A4 = B 4 = I2 : Denotaremos
a (S ) por Q8 y lo llamaremos el grupo de cuaternos.
16. Sea ( GLM2 (R); ) el grupo de matrices no singulares 22 con entradas
en R:
(a) Sea
S= C=
0 1
1 0
;D =
0 1
1 0
:
Demuestre que (S ) es grupo no Abeliano de orden 8, lo denotaremos por D4 :
(b) Calcule tres subgrupos no triviales de D4
:
2
17. Encuentre el subgrupo conmutador y el centro del grupo S , para n =
3; 4.
n
18. (a) >Es alguno de los grupos U18 ; U20 ; cclico?
(b) Demuestre que en U41 ; hay un elemento a tal que a2 = 1.
19. Sea p numero primo de la forma 4n + 3; demuestrese que no existe
x 2 Z tal que x2 = 1:
p
20. Si p es primo. Demuestre que U es cclico.
p
3