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GEOTECNIA I
Año Académico 2015-2016
Dr. Lorenzo Borselli
Instituto de Geología
Fac. De Ingeniería, UASLP
[email protected]
www.lorenzo-borselli.eu
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Parte III
Propiedades mecánicas
de los geomateriales
Objetivo: Stress - strain, stress total, presión neutral y
stress eficaz definición de estrés y de deformación, módulo
de elasticidad y deformación, tensiones principales.
Variables características y sus correlaciones. Circulo de
Mohr y stress en cualquier plano. Ámbito de aplicación:
todas las áreas de la geotecnia
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A) Stress, Strain
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Presión hidrostática
En un punto, adentro
en un masa liquida
Z (m)z
!La presión es
igual en todas
las direcciones!
σ v ≡σ h  γ w z  9.81 z (kPa)
Se vea también…
http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html
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Los Componentes de tensión o
presión se pueden ilustrar
gráficamente, respecto a los
ejes de coordenadas
(x, y, z), cuyo origen es O.
Se usa comúnmente una forma
vectorial (dirección y
intensidad).
En un cuerpo real
Cualquier material solido
Los esfuerzos pueden ser
diferentes Dependiendo
da la orientación en el
espacio
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En geotecnia se usa también el
Elipsoide triaxial.
En un elipsoide triaxial, los tres ejes
principales son diferentes.
σv
es la tensión vertical, mientras
que
h1 y h 2 son los esfuerzos
horizontales.
(en esto ejemplo no se consideran los
esfuerzo cortantes.. Se ve mas
adelante..).
σ
σ
En un elipsoide triaxial genérico el plano
longitudinal y ecuatorial son siempre elipses
σ v ≠σ h1 ≠σ h 2
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Simplificación en dos direcciones
En un elipsoide biaxial sólo hay
dos ejes principales. El eje vertical
(v) y el eje horizontal (h).
En otras palabras, el plano
ecuatorial del elipsoide es un
círculo.
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En rocas y suelos
a veces la presión vertical
puede ser menor
de la horizontal…
v
 h1
 h2
σ v > σ h1 > σ h 2
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σ v < σ h1 > σ h 2
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stress (o presión)
geostatico
(presión entro los
cuerpos rocosos y
suelos )
σ v = γz (kPa)
σ h = ko γz (kPa)
Stress (o presión) Vertical
Stress (o presión) Horizontal
γ peso unitario (kN/m3 )
K0 = Lateral stress coefficient en condición estática.
Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5
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Stress geostatico vertical
a grandes profundidades
http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG
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Distribución de stress
Cuando la superficie no es horizontal
La dirección de estrés mayor no siempre
Es vertical…
Simbulo ellipsoide de los stress
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σ v (kPa)
Z(m)
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
σv =
∑γ d = γ d + γ d
i
i
1 1
2 2
+ γ3[ z - (d1 + d 2 )]
(kPa)
i
A cualquier profundidad z, en suelo o rocas estratificadas la
presión total vertical es la suma de la contribución de carga de
todos lo estratos arriba el punto considerado
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σ v (kPa)
Z(m)
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
σ v = γ unsat zw + γ sat(z-zw )
γunsat
γ sat
Peso de unitario porcion insatura
Peso de unitario porcion satura
(kPa)
γ unsat < γ sat
Presión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajo
de porción no satura .
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVk
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Cuerpo solido sumergido en
un liquido
Ww =mwg
Spinta hidrostatica
Principio de Archimedes
W’ =W-Ww = mg-mw g
W =mg
W =mg
Concepto de stress
efectivo o eficaz
σv '
En un medio poroso σ v ' es
equivalente a la presión
Promedia de contacto entre
Partícula y partícula.
Si hay una presión de poro
(hidrostática ) la presión de
contacto disminuye.
Efecto del principio de
Archimedes ..
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σ v , u, σ v ' (kPa)
hw
σv
u
Z(m)
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/Soil
Mech/stresses/stresses.htm
Concepto de Stress efectivo:
Presion
Neutra
'
σv
Presion
Estress
total
efectivo
σv '
σ v '= σ v u = 0 Zona no satura
σ v '< σ v u = γ whw Zona satura
σ v '= σ v - u
Presión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción no
satura Y su relación con la presión hidrostática de poros
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u
en el mismo punto.
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Problema da resolver 1
(kN/m3)
[1]
-3
γ sat = 19, γ unsat = 16
[2]
-5.5
γ sat = 18.5, γ unsat = 15.5
-8
-10
γ sat = 21, γ unsat = 18
[3]
[4]
Perfil
Geotecnico
de 4
estratos
diferentes
γ sat = 20.5, γ unsat = 17.5
-14
Z(m)
Calcular perfil completo de:
Recordando que :
σ v ( z ), u( z ), σ v ' ( z )
γ w = 9.81
(kN / m3 )
datos perfil geotecnico
strato
zbase (m)
1
2
3
4
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales
1
2A
2B
3
4
espesor (m)
-3
-8
-10
-14
gamma(sat) kn/m3
3
5
2
4
gamma(unsat) kn/m3
19
18.5
21
20.5
16
15.5
18
17.5
-5.5
zbase (m)
-3
-5.5
-8
-10
-14
espesor (m)
3
2.5
2.5
2
4
gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa)
16
15.5
18.5
21
20.5
Sigma cumulado (kPa)
48
38.75
46.25
42
82
48
86.75
133
175
257
Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)
1) Estructuraras datos de base
2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales
3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio1 - parte III.ods
En el material didáctico adicional
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ejercicio 1 Grafico final
Stress vertical
u
(total, neutro, eficaz)
Sigma tot
(kN/m3)
Sigma eff
vertical stress (kPa)
0
0
50
100
150
200
250
[1]
300
-2
-4
z (m )
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-3
-5.5
-8
-10
γ sat = 19, γunsat = 16
[2]
γ sat = 18.5, γunsat = 15.5
[3]
[4]
-14
γ sat = 21, γunsat = 18
γ sat = 20.5, γunsat = 17.5
Z(m)
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ejercicio 1
columnas
de calculo
Z (m)
-0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
-5.5
-6
-6.5
-7
-7.5
-8
-8.5
-9
-9.5
-10
-10.5
-11
-11.5
-12
-12.5
-13
-13.5
-14
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
u (kPa)
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.905
9.81
14.715
19.62
24.525
29.43
34.335
39.24
44.145
49.05
53.955
58.86
63.765
68.67
73.575
78.48
83.385
Sigma tot (kPa)
-0
8
16
24
32
40
48
55.75
63.5
71.25
79
86.75
96
105.25
114.5
123.75
133
143.5
154
164.5
175
185.25
195.5
205.75
216
226.25
236.5
246.75
257
Sigma eff (kPa)
0
8
16
24
32
40
48
55.75
63.5
71.25
79
86.75
91.095
95.44
99.785
104.13
108.475
114.07
119.665
125.26
130.855
136.2
141.545
146.89
152.235
157.58
162.925
168.27
173.615
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Problema da resolver 2
(casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludo
impermeable) )
(kN/m3)
[1]
-3
γ sat = 19, γ unsat = 16
[2]
-5.5
γ sat = 18.5, γ unsat = 15.5
-8
-10
γ sat = 21, γ unsat = 18
[3]
[4]
No saturo !!
-14
γ sat = 20.5, γ unsat = 17.5
Z(m)
Calcular perfil completo de:
Recordando que :
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Perfil
Geotecnico
de 4
estratos
diferentes
σ v ( z ), u( z ), σ v ' ( z )
γ w = 9.81
(kN / m3 )
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
datos perfil geotecnico
strato
zbase (m)
1
2
3
4
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales
1
2A
2B
3
4
espesor (m)
-3
-8
-10
-14
gamma(sat) kn/m3
3
5
2
4
gamma(unsat) kn/m3
19
18.5
21
20.5
16
15.5
18
17.5
-5.5
zbase (m)
-3
-5.5
-8
-10
-14
espesor (m)
3
2.5
2.5
2
4
gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa)
16
15.5
18.5
21
17.5
Sigma cumulado (kPa)
48
38.75
46.25
42
70
48
86.75
133
175
245
Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)
1) Estructuraras datos de base
2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales
3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio2 - parte III.ods
En el material didáctico adicional
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
ejercicio 2: Grafico final
Stress vertical
u
(total, neutro, eficaz)
Sigma tot
Sigma eff
(kN/m3)
vertical stress (kPa)
0
0
50
100
150
200
250
300
[1]
γ sat = 19, γunsat = 16
-2
-4
[2]
z (m)
-6
γ sat = 18.5, γunsat = 15.5
-8
-10
-12
[3]
[4]
Insaturo !!
-14
-16
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
γ sat = 21, γunsat = 18
γ sat = 20, γunsat = 17.5
Z(m)
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ejercicio 2
columnas de
calculo
Z (m)
-0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
-5.5
-6
-6.5
-7
-7.5
-8
-8.5
-9
-9.5
-10
-10
-10.5
-11
-11.5
-12
-12.5
-13
-13.5
-14
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
u (kPa)
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.905
9.81
14.715
19.62
24.525
29.43
34.335
39.24
44.145
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Sigma tot (kPa)
-0
8
16
24
32
40
48
55.75
63.5
71.25
79
86.75
96
105.25
114.5
123.75
133
143.5
154
164.5
175
175
183.75
192.5
201.25
210
218.75
227.5
236.25
245
Sigma eff (kPa)
0
8
16
24
32
40
48
55.75
63.5
71.25
79
86.75
91.095
95.44
99.785
104.13
108.475
114.07
119.665
125.26
130.855
175
183.75
192.5
201.25
210
218.75
227.5
236.25
245
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Sugerencias:
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1
• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
B) Stress y deformación
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidos
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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3D  2D
Stress en elemento
tri-dimensional (3D)
Stress en elemento
bi-dimensional (2D)
En condición de equilibrio
Las parejas de stress tangenciales
deben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)
Deformaciones normal
(Linear strain):
(adimensional)
ε
Deformacion de corte
(Shear strain) :
(en radianes )
γ
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Definición de modulo de elasticidad y de deformación tangencial
Elastic modulus
o modulo de
deformación
o modulo de
Young’s
Shear modulus
o modulo de
deformación
por esfuerzo
horizontal
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Los dominios de stress vs. Strain
• Region elastica
• Region plastica
• Roptura
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
El comportamiento de materiales
en términos de stress y strain se
puede poner en forma grafica…
Elastic modulus
o modulo de
deformación
o modulo de Young’s
material audiovisual:
http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_video
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Definición de
Poisson’s ratio
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Incremento
modulo de
elasticidad
Debido a un
incremento de la
pendiente de
La porción inicial
Caso ideal de un
concreto
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Modulo elástico y coeficiente de
Poisson’s de varios tipos de suelos
Nota:
1x103 kN/m2=1 MPa
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Modulo elástico estatico y
coeficiente de Poisson’s por
varios tipos de rocas ..
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3
C) Distribución de tensiones en el
terreno bajo de áreas cargadas
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Tensión debida a una carga
puntual en un semi-espacio
Elástico.
(teoria de BUSSINESQ)
P =carga puntual (dimensión
de una presión)
Z,r,L: parámetros geométricos
para posicionar el punto, o
elemento, adonde se necesita
calcular la tensión adicional
(delta sigma) inducida da la
carga P.
Nota: en este caso se usa un sistema de
coordenadas coordinada cartesianas XYZ
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de la
solución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual)
Ejemplo de solución por una área rectangular:
q = presión uniforme
L,B= lados del rectángulo
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Solución de Newmark
(por áreas rectangular cargada uniformemente)
Factores de escala (adimensionales)
Incremento de tensión vertical
Coeficiente de influencia que depende da
factores geométricos
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Solución de Newmark
(carta de Fadum, 1948)
I (Fadum) I (Newmark) /4 p
Solución aproximada por
Esquina de un área cargada
Uniformemente carta de Fadum.
Nota: esto coeficiente incluye
ya el divisor 4 p
Dz=q
x I (Fadum)
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Solucion Área circular cargada
uniformemente
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas
(area circular )
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Area Rectangular
con lado L infinito
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Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargada
uniformemente)
L1
L2
En cualquier punto
interno se suman los
[1]
B1
[2]
efectos a la esquina de 4
rectángulos cargados
uniformemente
B1=B2
B3=B4
B3
[4]
L1=L4
[3]
L2=L3
z
Δσ z  Δσ z1  Δσ z 2  Δσ z 3  Δσ z 4
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Principio de superposición:
Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangular
q5
q4
q3
q2
q1
Δσ =
Z
Δσ z = q1I σ1 + q2 I σ2 + ....+ qn I σn
Cada
I σi depende de la geometría de carga de cada sub-elemento
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Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
Principio de superposición
Otro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrera
de contención
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Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presión
adicional al centro de un área con una carga distribuida:
Zapatas circular
B
Zf
B
L
Zapatas rectangular
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Zf
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Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presión
adicional al centro de un área con una carga distribuida :
Los métodos aproximado
dan una solución con un
error Promedio de 5%
respecto a la solucione de
Bussinesq-Newmark
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Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodos
Stress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.
El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a la
profundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.
q
B=4m
q
q
q
L=7m
Z=5 m
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Comparar 3 métodos
1) Método de newmark-fadum
2) Método de poulos y davis (1974)
3) Método 1:2
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Método de newmark-fadum
1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m
2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5m
m=L/z=3.5/5=0.7
q
q
q
B=2m
n= B/z=2/5=0.4
q
L=3.5 m
Z=5 m
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q x I
 200x0.36=72 (kPa )
Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)
Se deriva el valore I=0.09 en la carta de
Fadum.
Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9%
adicional a la presión normal, debido a
la carga uniforme q en superficie.
Aplicando el principio de superposición al centro
del área cargada se tiene que considerar el
acción combinada de los 4 rectángulos chiquito
y iguales. Entonces el factor de influencia final
es Ifadum =4 X 0.09=0.36 (nota que esto
coeficiente incluye ya el divisor 4 p)
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Uso de carta
de Fadum, (1948)
Dz=q
x I (Fadum)
I (Fadum)0.09
m=0.7
n=0.4
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0.7
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Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)
q
B
L
Se obtiene al fin a z=5 m
Zapatas rectangular
Dz=q X I200 x 0.326 65 kpa
Zf
Con las constantes a=2.1212
b=1.7334
Con el metodo 1:2
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q X I200 x 0.283 56.56 kpa
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 ejercicios 6.7 y 6.20
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D) stress en cualquier plano
z’
z'
z

 zy '
 yz '
y'
y’

y
y'
 yz '
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 zy '
90  
z'
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Distribución de estres
bajo una cimentación..
Los Ejes de estres mayor y
menor son
dibujados
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Concepto de stress
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Concepto de stress-1
stress normal
al plano PQ
Stress UNIAXIAL
Fuerza tangencial
al plano PR
Ensayo cilíndrico
con compresión
uniaxial
Fuerza normal
al plano PR
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Concepto de stress-2
Stress UNIAXIAL
stress tangencial
y normal a plano
orientado de
cualquier Angulo
theta
Cual es el ángulo
con max Tau y max
SigmaN?
Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico por
Cualquier ángulo theta
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Concepto de stress-3
Stress BIAXIAL
Stress biaxial en una plataforma
Rectangular y stress en su elemento
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Concepto de stress-4
Stress BIAXIAL
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-5
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Stress BIAXIAL generalizado
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Concepto de stress-6
Stress BIAXIAL generalizado
Convenciones en geo-mecanica !
Nota importante:
In geotecnia la convención de los signos
se usa una manera diferente que
en otras área de mecánica de los
materiales (donde los signos son
invertidos).
1) tensiones normales compresivas son
positivos Y tensiones normales de
tracción son negativo.
2) Orientación shear stress (Tau) sigue la
la regula siguiente:
En condicion
de equilibiro
-
+
Orientacion Anti-clockwise
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Orientacion clockwise
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Concepto de stress-7
Stress BIAXIAL generalizado
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-8
Stress BIAXIAL generalizado
shear stress máximo en un plano
orientado según este ángulo:
θτ max
  y z 
1
 si  yz  0
 arctan
 2 yz 
2


θτ max  45
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si  yz  0
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Exercicio 4
Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, en
un plano a -35° como en el dibujo.
agua
k0=0.6 g =19 kN/m3
k0=0.6
g=21 kN/m3
A
3m
[w]
2m
[1]
2.5m
-35°
En el punto A …
sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa)
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)
Con tauZY=0 (kPa)
[2]
(presion vertical)
SigmaN ?
Tau?
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Sigma 1=sigmaV
Esfuerzo normal y e tangencial
A un plano orientado con sigma
Orientada de un Angulo teta respecto
A la horizontal
Sigma N
35°
Nuestro caso:
Sigma 3=sigmaH
SigmaZ=SigmaV
SigmaY=SigmaH
Con tauZY=0 (kPa)
55°
-35°
tau
el plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma N
Es orientada a 55° al mismo eje horizontal
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa
= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPa
Con tauZY=0 (kPa)
sigmaV=119.9
Sigma N = 104.1 kPa
35°
sigmaH =71.9
55°
-35°
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Tau 22.6 kPa
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Parry (2002)– capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3
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E) Círculos de Mohr

( , )
 max
z
2
zy
(
n
, 
)
2 p
Circulo de
mohr
Stress
principales,
normales y
tangenciales
y maximos
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
(
y
, zy )
 min   2
 1   2 
 2 
 max   1
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Circulo de Mohr
Ejemplo en condiciones de
stress plano.
Parámetros
circulo de Mohr
El circulo de Mohr permiten de
representare y calcular gráficamente todas
la condiciones de stress en un punto y en
cualquier plano
Centro y rayo del circulo de stress plano
 medio 
 z  y
2

 2  1
2
  z  y 
   zy 2
 
 2 
2
r    max
n
0
0
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Zoom del anterior…..
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Determinación de orientación
(ángulo ThetaP) de los
stress principales
(máximo y mínimo )
z’
1
Cuando xy es diverso da
0 los stresses principales
non son perfectamente
verticales y horizontales.
En esto caso los estress
indicados como 1 y 2
tienen una orientación
thetap con la vertical.
z
p
2
y’
p
Y
2
1
 2 zy 
1

θ p  arctan

2



z
y


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 1, 2 
 z  y
2
  z  y 
 

2
2
   zy 2

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
( , )
 max
z
2
zy
(
n
, 
)
2 p
Circulo de
mohr
Stress
principales,
normales y
tangenciales y
maximos
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
(
y
, zy )
 min   2
 1   2 
 2 
 max   1
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
  z  y 
max
 

2
2
   zy 

2
Shear stress
maximo y su orientacion ,
cuando xy es diverso da 0
1   2
2
Angulo Theta donde hay el shear
stress máximo y su relación con
ThetaP
θτ max
  z y 
1
 si  zy  0
 arctan

2
2

zy


θτ max  45
si z xy  0
θτ max  θ p  45
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Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…
Exercicio 4
Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto en
un plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPa
3m
agua
k=0.6
k=0.6
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3
2m
A
2.5m
-35°
En el punto A …
sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPa
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPa
tauZY=30 kPa
SigmaN ?
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Tau?
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa
= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPa
sigmaV=119.9
Sigma N = 76.2 kPa
TauZY =30
35°
sigmaH =71.9
55°
-35°
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Tau 32.8 kPa
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z’
z'
z

 zy '
 yz '
y'
Determinación de estrés en un
cualquier plano rotado de un
ángulo teta
y’

y
y'
 yz '
 zy '
90  
z'
 z '
 z  y

 z  y
cos 2   zy sin 2
2
2
 z  y  z  y
 y '

cos 2   zy sin 2
2
2
 z  y
 zy '  
sin 2   zy cos 2
2
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
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Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calcula
solamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress
1 '  1  u
2'  2 u
 '
2'
2
Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que se
mueva a la izquierda todo el circulo
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios:
• Parry (2002) – capitulo 1 – secciones 1.4 y 1.5
Material audiovisual acerca la distribución de stress:
http://www.youtube.com/watch?v=RlDkYQqSJxs&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=DuZllNDex6s&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=YcNQS1ZltsM&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=v8wK4xezOXU&feature=relmfu
http://www.youtube.com/watch?v=WegNYmngBaE&feature=relmfu
Versión 1.4 Last update 14-09-2015
Geotecnia I (2015/2016) – Docente: Dr. Lorenzo Borselli
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html#online
Ejecutable Java software (.JRE)
Circulo de Mohr con convenciones de ingeniería
mecánica (importante…para aplicaciones geomecanicas
es necesario invertir los signos!!!)
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