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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO agropecuario No. 2
Hidrodinámica.
Cd. Delicias, Chih. 2015.
Situación problema para el
estudio de la hidrodinámica.
Definición de conceptos
Gasto o Caudal.
Ecuación de continuidad
Ecuación de Bernoulli.
Teorema de Torricelli
Tubo de Pitot
.
Medidor de
Venturi
Hidrodinámica
Objetivo temático: Resolverás problemas de aplicación práctica
de hidrodinámica, mediante el análisis, aplicación crítica y
reflexiva de sus conceptos, principios, teoremas, modelos
matemáticos.
Situación problema para el estudio de la hidrodinámica.
A
Observa
los
diagramas
del
aparato circulatorio
(A) y de una red de
distribución de agua
B
(B).
En
cierto
sentido, tanto el
aparato circulatorio
como la red de distribución de agua son sistemas similares.
Determina las partes que son análogas en uno y en otro sistema de
acuerdo con lo que observas en los diagramas. Utiliza la siguiente
tabla para anotar las similitudes.
Sistema circulatorio
Sistema de abastecimiento de agua
similar
similar
a
similar
a
similar
a
a existen diferentes diámetros de
Si observas, en ambos casos
arterias, venas, vasos sanguíneos, etc.; así como también en la red
de agua existen diferentes diámetros.
Si el diámetro de una tubería se reduce de manera uniforme, ¿la
cantidad de agua que sale por el extremo delgado es igual a la
cantidad de agua que entra por el otro extremo?
Si colocas una manguera en el jardín de tu casa y colocas un dedo
en la salida de agua ¿Qué le ocurre a la rapidez del flujo de agua
cuando pasa por la salida estrecha de la manguera?
El tanque elevado en el diagrama de distribución de agua ¿qué rol
juega en el mismo? ¿Qué podría sustituirlo? ¿Qué parte del cuerpo
realiza esa función?
¿Te has preguntado cómo se mide la cantidad de agua que
consumimos en nuestros hogares? Cd. Delicias está dentro de una
red de sistemas de riego, el módulo 3 y 5 son los principales, todos
hemos vistos los canales de riego al llegar al CBTa, hemos visto
a los regadores utilizar sus “pipas” para regar. ¿Cómo crees que
midan la cantidad de agua que suministran los canaleros a los
agricultores?
Escribe en tu cuaderno tus hipótesis y predicciones para cada uno
de los cuestionamientos que encontraras en el texto,
posteriormente compáralo con los integrantes del equipo al cual
te integraras, finalmente presente al grupo las conclusiones
obtenidas en el equipo.
Introducción.
Cuando observamos el agua de un río correr, cuando bebemos
agua de un vaso, cuando abrimos la llave de la toma de agua de
nuestra casa, cuando contratamos el servicio de gas natural por
medio de tuberías subterráneas, tienen lugar muchos fenómenos
que a simple vista no notamos e incluso podemos llegar a pensar
que no existen.
Estos fenómenos están presentes en la Naturaleza. Las actividades
cotidianas arriba mencionadas involucran algo en común, el
desplazamiento de fluidos.
Hasta aquí, nuestro estudio de los fluidos se ha limitado a los
fluidos estáticos. Ahora nos concentraremos en el estudio de los
fluidos cuando están en movimiento, y para ello haremos uso de
algunos de los conceptos que aprendiste en las secciones
anteriores, como densidad y presión. En otras palabras,
describiremos la dinámica de los fluidos en función de sus
propiedades globales.
Sin embargo, cuando se trata de fluidos reales, no es fácil describir
su movimiento, ya que se producen fenómenos muy complejos
que todavía no se comprenden por completo. Por ejemplo, ¿has
observado el flujo de un canal de agua de riego o el movimiento
de las partículas de humo en el aire? En ocasiones aparecen
comportamientos impredecibles, muy difíciles de explicar.
Por esto, como es habitual en física, haremos uso de un modelo
simplificado que, a pesar de sus limitaciones, resulta muy efectivo
para entender el comportamiento de los fluidos en movimiento.
La hidrodinámica es la parte de la física que se encarga de estudiar
el comportamiento de los fluidos en movimiento, ya sean
confinados en recipientes, en una tubería o actuando bajo la acción
de la gravedad.
Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en reconocer que el
movimiento de los fluidos sólo puede expresarse en forma
relativamente sencilla, si se supone que los fluidos son
incompresibles y se desprecian los efectos de rozamiento y
viscosidad. En la realidad no sucede así, por lo que los análisis
que hagamos nos ayudan para hacer una estimación del
comportamiento de los fluidos en movimiento en los que la
viscosidad afecta poco.
Dada esta idea de Euler, consideraremos a partir de este momento
que los fluidos tienen un comportamiento ideal, es decir, para
facilitar la comprensión de estas características debemos tomar en
cuenta las siguientes reglas:
 Los líquidos son incompresibles.
 La viscosidad no afecta el movimiento del fluido, es decir,
la fricción ocasionada por el paso del líquido en las paredes
de la tubería se considera despreciable.
 El flujo del líquido a través de las tuberías es estable y
estacionario, es decir, no hay turbulencias. Si colocamos
una partícula dentro del fluido, ésta debe seguir la misma
trayectoria y adquirir la misma velocidad del flujo.
 Es un fluido irrotacional. Es un fluido que al pasar por una
rueda de aspas no la hace girar, es decir, sólo presenta
movimiento de traslación.
Definición de conceptos
Flujo y líneas de flujo.
El movimiento continuo de gases o líquidos por canales o tuberías
recibe el nombre de flujo.
Consideremos el movimiento
de un fluido de un modo
idealizado. De acuerdo a esto,
el flujo de un fluido puede ser
de dos tipos. Por una parte, se
dice que un flujo es
estacionario o laminar,
cuando cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme
que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas. De esta
manera, las partículas forman capas o láminas y se mueven sin
que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas.
Por otra parte, cuando el fluido se mueve con una rapidez superior
a cierta rapidez crítica, el flujo se vuelve turbulento. Este tipo de
flujo se caracteriza por ser irregular debido a la presencia de
remolinos, como ocurre en las zonas en que los ríos se encuentran
con obstáculos.
Se considera un flujo uniforme cuando la velocidad, la densidad
y la presión de un fluido no solo son invariable en cada punto, sino
que son iguales en todos los puntos; el flujo además de
estacionario, es uniforme.
Para caracterizar la fricción interna de un fluido cualquiera se usa
un parámetro conocido como viscosidad. Cuando un fluido es
más viscoso, entonces
hay mayor fricción entre
sus capas, lo que
dificulta su movimiento,
de manera análoga a la
acción de la fuerza de
roce por deslizamiento
entre dos superficies.
La trayectoria que describe un elemento de fluido en movimiento
se denomina línea de flujo o de corriente. Estas líneas nos dan
una idea de la velocidad de los elementos del fluido, mientras más
juntas estén en un área determinada, más rápido pasaran los
elementos del fluido por allí. En la figura en 1 y 3 podríamos
establecer casi la misma velocidad, la cual es menor que en 2.
Gasto o Caudal.
Cuando el agua fluye por una tubería o bien, cuando la sangre
fluye por nuestras venas, es común hablar de gasto o caudal, que
se define como el volumen de líquido que circula a través de la
sección transversal por unidad de tiempo. Matemáticamente se
expresa mediante la siguiente ecuación:
𝑽
𝑮 = 𝒕,
donde: G = gasto o caudal en m3 / s, litros/min, cm3/s, etc.
V= volumen de líquido, en m3, litros, cm3/s, etc.
t= tiempo que tarda en fluir el líquido.
El gasto de un fluido también puede
conocerse si se conoce el área (A) de la
sección transversal del conducto o tubo
por el cual fluye el líquido y su velocidad
(υ).
Si consideramos la figura de la derecha, el volumen V del líquido
contenido en el tubo desde el punto 1 al 2, se obtiene
multiplicando el área A de la sección transversal, por la distancia
“d” recorrida por el líquido entre esos puntos, en el tiempo “t” que
tardó en fluir el líquido del punto 1 al 2. Pero como la velocidad
del fluido es constante, dicha distancia se obtiene multiplicando
la velocidad “υ” por el tiempo “t”, por lo tanto el volumen se
obtiene así:
V =Ad =Aυt,
donde: V = volumen, υ = velocidad y t = tiempo.
Sustituyendo en 𝐺 =
t nos queda:
𝑉
𝑡
el volumen tenemos 𝐺 =
Aυt
𝑡
, eliminamos
G = Aυ,
donde: G = gasto,
A = área de la sección transversal,
υ = velocidad.
Esta ecuación también es ampliamente utilizada para el cálculo
del gasto.
Flujo de masa.
El flujo de masa es la cantidad de masa de un líquido que pasa por
un conducto en la unidad de tiempo.
𝐹=
𝒎
𝒕
,
donde: F = flujo másico, m = cantidad de masa
que circula y t = tiempo.
De la definición de densidad tenemos 𝜌 =
𝑚
𝑉
Despejando m tenemos m = ρV
Si sustituimos en la ecuación de flujo tenemos: 𝐹 = ρ
𝑉
𝑡
𝑽
Como 𝑮 = 𝒕 , entonces
F = ρG,
donde: F = Flujo másico, ρ = Densidad del fluido, G = gasto
Ejemplo 1:
A través de un tubo de 8.0 cm de diámetro fluye aceite a una
rapidez promedio de 4.0 m/s. ¿Cuál es el flujo Q en m3/s y m3/h?
Solución:
Datos.
D = 8.0 cm = 0.08 m
υ = 4.0 m/s
La ecuación G = Aυ, tenemos la velocidad (υ) pero desconocemos
el área de la sección transversal del tubo, misma que podemos
calcular con: A = πr2, sustituyendo obtenemos:
G = πr2 υ = π (0.040 m)2 (4.0 m/s) = 0.020 m3/s
Sabemos que 1 hr = 3600 seg, convirtiendo los segundos a hora
calculamos el gasto en m3/hr.
𝑠
G = (0.020 m3/s)(3 600 ℎ𝑟)= 72 m3/hr
Respuesta: G = 0.020 m3/s, y G = 72 m3/hr
Ejemplo 2:
Por una tubería fluye agua con un gasto de 1.6 m3/s. Determina la
rapidez del agua en un punto donde el radio de la tubería es de 0.5
m.
Solución:
Datos.
G = 1.6 m3/s
r = 0.5 m
En la ecuación G = Aυ, observamos que ya tenemos el gasto G y
con el radio r podemos calcular el área de la sección transversal,
por lo que, despejando de la ecuación de gasto la rapidez υ
tenemos:
𝐺
𝑚3
𝑠
1.6
υ = 𝐴 = π (0.5 m )2 = 2.03
Respuesta: υ = 2.03
𝑚
𝑠
𝒎
𝒔
Ecuación de continuidad.
Cuando pasa agua o cualquier otro
fluido por una tubería o un tubo,
como se muestra en la siguiente
figura, el volumen de agua que
entra por un extremo debe ser igual
al volumen de agua que sale por el
otro, es decir:
V1
Volumen de agua
o cualquier otro
fluido entrante
El volumen de agua que entra V1
debe ser igual al que sale V2
=
V2
Volumen de
agua o cualquier
=
otro fluido
Nota: no confunda el volumen V1 ysaliente
V2 con velocidad (υ)
Si se conoce las velocidades de entrada (υ1) y de salida (υ2) del
agua (o fluido), así como las áreas (A1 y A2) de las secciones
transversales del tubo, y partiendo del hecho de que el volumen
V1 se midió en el mismo intervalo de tiempo (t) que el volumen
V2, entonces la ecuación anterior se convierte en: A1 υ1 t= A2 υ2 t,
Al simplificarse dado que el tiempo es el mismo, se obtiene:
A1 υ1 = A2 υ2
Esta expresión matemáticamente recibe el nombre de ecuación de
continuidad y representa una expresión de la ley de la
conservación de la masa, pues como los volúmenes de entrada y
salida son iguales, las masas de fluido también deben ser iguales
en la entrada y en la salida.
Al analizar la ecuación de continuidad se deduce que el agua, o
cualquier otro fluido, fluye más rápido donde el área de la sección
transversal del tubo es más angosta y fluye más lento donde el
área de la sección transversal es más ancha. Este análisis permite
comprender por qué el agua fluye más rápido en lugares donde el
río es más angosto.
Revisa los siguientes enlaces:
https://www.youtube.com/watch?v=RfXwjZz7yus
Ejemplo 3:
Un acueducto de 14 cm de diámetro interno (d.i.) surte agua (a
través de una cañería) al tubo de la llave de 1.00 cm de d.i. Si la
rapidez promedio en el tubo de la llave es de 3.0 cm/s, ¿cuál será
la rapidez promedio en el acueducto?
Solución:
Datos.
Vamos a considerar el punto 1 como la llave y el punto 2 el
acueducto, tenemos entonces:
D1 = 1.00 cm
D2 = 14 cm
υ1 = 3.0 cm/s
υ2 = ?
Los dos flujos son iguales. De la ecuación de continuidad se sabe
que
G = A1 υ1 = A2 υ2
𝐴
υ2 = υ1 𝐴1 sabemos que el A = πr2 sustituimos en la expresión
2
anterior:
πr21
= υ1 πr2 , tenemos como factor común a π, el cual eliminamos
2
dando como resultado:
r21
1
υ1 r2 , sustituyendo datos υ2 = (3.0 cm/s) (14)2 = 0.015 cm/s
2
Ejemplo 4.
Cuando el agua fluye por una manguera de 2.5 cm de diámetro lo
hace con una rapidez de 1.5 m/s.
Calcula:
a) El diámetro que debe tener una boquilla o reducción de la
manguera para que el agua salga con velocidad de 8.0 m/s.
b) El gasto a través de esa manguera en m3/s y litros/min.
Solución.
Datos:
D1 = 2.5cm
υ1 = 1.5 m/s
Para el inciso a) υ2 = 8.0 m/s,
D2 = ?
b) G =?
De la ecuación de continuidad tenemos A1 υ1 = A2 υ2
La cual también puede estar expresada como:
El área también la podemos calcular con A =
πD2
4
, por lo que la
ecuación anterior quedaría:
πD21
4
𝛖1 =
πD22
4
π
𝛖2 , eliminamos los factores comunes , despejamos
4
de la ecuación la incógnita D2 y tenemos:
D2 = √
𝐷12 𝛖1
𝛖2
=√
(1.5
𝑚
)(2.5 𝑐𝑚)2
𝑠
𝑚
8
𝑠
= 1.0825 cm
b) Calculo del gasto G.
G = A1 υ1 =
πD21
4
𝛖1 =
π (0.025 m)2
4
𝑚
(1.5 𝑠 ) = 0.00074 m3/s.
Sabemos que 1m3 = 1000 litros, y un min = 60 seg. por lo que al
convertir el anterior resultado tenemos:
0.00074
𝑚3 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑠
[
𝑚3
][
60 𝑠𝑒𝑔
𝑚𝑖𝑛
] = 44.4 litros/seg.
Resultado:
a) D2 = 1.0825 cm
b) G = 0.00074 m3/s y G = 44.4 litros/seg.
Ejemplo 5: https://www.youtube.com/watch?v=zNP33Wdg164
Ejemplo 6: https://www.youtube.com/watch?v=AJQXYGMjzzs
Ecuación de Bernoulli.
Como indicamos desde que iniciamos esta unidad, trabajaremos
con fluidos que son incompresibles, no viscosos e isotrópicos. Si
un fluido tiene estas características y además se determina que
fluye a régimen permanente y de forma irrotacional podemos, si
conociéramos su rapidez, presión y energía potencial, especificar
otras características del fluido.
Las leyes de la dinámica para cuerpos sólidos, vistas en Física I,
son aplicables también a los fluidos. Debido a que no tienen forma
propia, se hacen las consideraciones citadas al principio de esta
sección, respecto a los fluidos ideales.
Daniel Bernoulli (1700-1782), físico suizo, estudió el
comportamiento de los líquidos y aplicó precisamente una de estas
leyes: la ley de conservación de la energía, al comportamiento de
un líquido en movimiento.
Antes iniciar la explicación matemática, revisa los siguientes videos sobre
algunos fenómenos y aplicaciones que pueden explicarse a través de la
ecuación de Bernoulli.
https://www.youtube.com/watch?v=fb7bQ9o4leo
https://www.youtube.com/watch?v=BW0UmTEMMAc
Veamos cuál pudo ser el razonamiento de Bernoulli
Si consideramos el flujo de un líquido por la tubería que se
muestra en la figura siguiente, podemos asegurar que dicho
líquido tiene tres tipos de energía:
1) Energía cinética, puesto que representa una masa en
movimiento, es decir el fluido lleva cierta velocidad. Dicha
energía se obtiene así:
1
𝑚υ2
2
2) Energía potencial
gravitacional, debido a
que el líquido se
encuentra en el campo
gravitacional terrestre.
Esta energía se obtiene
así:
𝐸𝑐 =
Ep = mgh
donde “h” es la altura a la que se encuentra el líquido de un cierto
nivel que se toma como referencia.
3) Energía de presión, producida por la presión mutua que ejercen
las moléculas del líquido entre sí, por lo que el trabajo realizado
para un desplazamiento de las moléculas es igual a esta energía de
presión.
Como la energía de presión es igual al trabajo realizado W,
entonces Epresión = W = Fd.
𝐹
Pero como presión P = 𝐴, entonces, F = PA, por lo que la energía
de presión puede expresarse así: Epresión = PAd
El producto del área de la sección transversal del tubo o conducto,
al multiplicarse por la distancia (d) recorrida por el líquido, es
precisamente el volumen (V) del líquido que pasa del punto 1 al
2, esto es: V = Ad
Entonces la energía de presión se expresa: Epresión = PV
Por otro lado el volumen (V) del líquido se puede expresar en
𝑚
𝑚
términos de su densidad, así: ρ = 𝑉 , por lo que: V = ρ y por lo
tanto Epresión = =
𝑃𝑚
ρ
Aplicando la ley de conservación de la energía, la suma de la
energía cinética, más potencial, más la energía de presión en el
punto 1, es igual a la suma de estas mismas energías en el punto
2:
Ec1 + Ep1 + Epresión1 = Ec2 + Ep2 + Epresión2
Sustituyendo estas energías por sus expresiones, obtenemos:
𝑚υ12
𝑃1 𝑚
𝑚υ22
𝑃2 𝑚
+ 𝑚𝑔ℎ1 +
=
+ 𝑚𝑔ℎ2 +
2
ρ1
2
ρ2
Multiplicando cada término de la expresión anterior por ρ/m, nos
queda:
ρυ12
ρυ22
𝑃1 +
+ ρgℎ1 = 𝑃2 +
+ ρgℎ2
2
2
Esta es la forma más común de expresar la ecuación fundamental
de la hidrodinámica, conocida como Ecuación de Bernoulli.
Esta ecuación, obtenida por Bernoulli, supone el flujo de un
líquido ideal incompresible, por lo que la densidad del líquido no
cambia al pasar del punto 1 al punto 2. También se considera
insignificante la viscosidad del líquido, por lo que se supone que
no hay pérdida de energía por fricción.
A pesar de lo anterior, la ecuación de Bernoulli nos permite
resolver situaciones de líquidos reales sin incurrir en errores
considerables, ya que la pérdida real de energía es insignificante
comparada con la magnitud de las otras energías que intervienen.
Veamos un par de características de la Ecuación de Bernoulli:
Aunque la ecuación de Bernoulli se dedujo a partir de un líquido
en movimiento, también es aplicable a un líquido en reposo.
En este caso υ1 = υ2 = 0 y dicha ecuación se transforma en la
conocida ecuación fundamental de la hidrostática:
P2 = P1 + ρgh
Donde se ha sustituido la diferencia de alturas (h1 – h2) por “h”.
Si el líquido fluye por una tubería que no tiene desniveles,
entonces h1 = h2 y la Ecuación de Bernoulli se reduce a:
ρυ12
ρυ22
𝑃1 +
= 𝑃2 +
2
2
Para que se dé esta igualdad, debe ocurrir lo siguiente: si la
velocidad del fluido en el punto 1 es grande, la presión debe ser
pequeña y viceversa, confirmando lo visto anteriormente en la
ecuación de continuidad.
Al término
ρυ2
2
se le llama presión dinámica.
Los resultados de los estudios de Bernoulli se pueden resumir así:
“La presión que ejerce un líquido que fluye por un conducto es
mayor cuando el líquido fluye a bajas velocidades, y menor
cuando aumenta la velocidad de flujo”.
Es decir, cuando las líneas de flujo se aproximen entre sí, la
presión en dicha región será menor.
“En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las
energías cinética, potencial y de presión que ejerce un líquido se
mantiene constante, es decir, la suma de estas energías en un
punto determinado, es igual a la suma de dichas energías en
cualquier otro punto”.
Ejemplo 7.
Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en la fi gura
siguiente. En el punto 1 el diámetro es de 6.0 cm, mientras que en
el punto 2 es sólo de 2.0 cm. En el punto 1, la velocidad del agua
υ1 = 2.0 m/s y P1 = 180 Kpa. Calcule υ2 y P2
Solución.
Datos.
D1 = 6.0 cm
D2 = 2.0 cm
υ1 = 2.0 m/s
P1 = 180 Kpa = 180,000 Pa
υ2 = ?
P2 = ?
ρagua = 1000 kg /m3
Como hay dos incógnitas, se necesitarán dos ecuaciones. Para
conocer υ2 se aplica la ecuación de continuidad A1 υ1 = A2 υ2, o
r21
bien en forma simplificada esta ecuación quedaría: υ2 =υ1 r2 ,
2
(6 𝑐𝑚)2
υ2 =2.0 m/s ( (2 𝑐𝑚)2 = (2.0 m/s) (9)= 18 m/s
Para encontrar la P2 aplicaremos la ecuación de Bernoulli. Dado
que es un tubo horizontal h1 y h2 serán iguales por lo que las
eliminamos de la ecuación
, y
despejamos de la misma P2, quedándonos la siguiente expresión:
𝑃2 = 𝑃1 +
ρυ21
2
−
ρυ22
2
1
= 𝑃1 + 2 ρ[υ12 − υ22 ]
Sustituyendo datos:
𝑃2 = 180,000
𝑁
1
+ 2 (1000
𝑚2
Pa = 20 Kpa.
Resultados:
υ2 = 18 m/s y 𝑷𝟐 = 𝟐𝟎 𝐊𝐩𝐚.
𝑘𝑔
𝑚
𝑚
) [(2 𝑠 )2 − (18 𝑠 )2 ]= 20,000
𝑚3
Ejemplo 8.
El tubo que se muestra en la figura siguiente tiene un diámetro de
16 cm en la sección 1 y 10 cm en la sección 2. En la sección 1 la
presión es de 200 kPa. El punto 2 está 6.0 m más alto que el punto
1. Si un aceite de 800 kg/m3 de densidad fluye a una tasa de 0.030
m3/s, encuentre la presión en el punto 2 si los efectos de la
viscosidad son despreciables.
Solución.
Datos:
D1 = 16 cm = 0.16 m
D2 = 10 cm = 0.10 m
P1 = 200 Kpa = 200,000 Pa
h1 = 0
h2 = 6 m
Ρaceite = 800 kg /m3
G = 0.030 m3/s
P2 = ?
Para conocer la velocidad en el punto 1 y 2 se aplica la ecuación
de continuidad
G =A1 υ1 = A2 υ2, sabemos que el área la calculamos con: A = πr2,
de donde entonces obtenemos:
𝑮
υ1 = 𝑨 =
𝟏
𝑮
υ2 = 𝑨 =
𝟐
𝑚3
𝑠
π(0.8 m)2
0.030
𝑚3
𝑠
π(0.1 m)2
0.030
= 1.49 m/s
= 3.82 m/s
Ahora se puede utilizar la ecuación de Bernoulli:
ρυ12
ρυ22
𝑃1 +
+ ρgℎ1 = 𝑃2 +
+ ρgℎ2
2
2
Despejamos P2 y eliminamos h1 = 0 tenemos:
ρυ12 ρυ22
𝑃2 = 𝑃1 +
−
− ρgℎ2
2
2
Sustituimos datos:
𝑘𝑔
𝑚 2 (800 𝑘𝑔 ) (3.82 𝑚 )2
(800 3 )(1.49 )
𝑁
𝑠
𝑚3
𝑠
𝑚
𝑃2 = 200,000 2 +
−
𝑚
2
2
𝑘𝑔
𝑚
− (800 3 )(9.81 2 )(6 m)
𝑚
𝑠
Resultado:
P2 = 1.48 x 105 Kpa.
Ejemplo 9: https://www.youtube.com/watch?v=rqz-ieQERtI
Ejemplo 10: https://www.youtube.com/watch?v=7lkY1I7TnqE
Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.
Al hecho de que la presión que ejerce un fluido depende de la
velocidad con que fluye, se le han encontrado varias aplicaciones.
Algunas de ellas se detallan a continuación:
Teorema de Torricelli
La ecuación de Bernoulli puede
ser aplicada para obtener la
velocidad de salida de un
líquido contenido en un
recipiente, al cual se le hace un
orificio en algún punto por
debajo del nivel al que se
encuentra la superficie libre del
fluido.
En la figura podemos tomar como punto 1, un punto ubicado en
la superficie libre y como punto 2, el punto en el cual se encuentra
el orificio y aplicamos la ecuación de Bernoulli, tenemos:
ρυ12
ρυ22
𝑃1 +
+ ρgℎ1 = 𝑃2 +
+ ρgℎ2
2
2
En este caso se pueden hacer las siguientes consideraciones:
a) La velocidad del líquido en el punto superior podemos
considerarla insignificante comparada con la velocidad de salida
en el punto inferior. Por lo tanto, el término
despreciarlo.
ρυ21
2
, podemos
b) Debido a que el punto 2 se encuentra en la llave o salida del
fluido, prácticamente la altura h2 es igual a cero, por lo que
también el término “ρgℎ2 ” podemos eliminarlo.
c) La energía de presión es provocada por la presión atmosférica
y dicha presión es la misma tanto en el punto que está en la
superficie, como el punto 2 que hemos considerado en la salida
del fluido del recipiente. En consecuencia, los términos P1 = P2
son iguales y pueden también eliminarse.
Por tanto, de la ecuación de Bernoulli sólo nos quedan los
siguientes términos:
ρgℎ1 =
ρυ22
2
, de donde la densidad ρ es factor común para ambos
lados de la igualdad y lo podemos eliminar. De la ecuación
resultante despejamos υ2 y obtenemos la siguiente expresión:
υ2 = √2𝑔ℎ
Esta ecuación fue deducida por nuestro ya citado físico italiano
Evangelista Torricelli, quien resume su resultado en el teorema
que lleva su nombre:
“La velocidad con la que un líquido sale por un orificio de un
recipiente, es igual a la que adquiriría un cuerpo que se dejara
caer libremente desde la superficie libre del líquido, hasta el
nivel en que se encuentra el orificio”.
Ejemplo 9.
Un tanque abierto tiene un orificio de 1.5 cm de radio, que se
encuentra a 5 m por debajo del nivel de agua contenida en el
tanque, ¿con qué magnitud de velocidad saldrá el agua del orifico?
Solución.
Datos.
r= 1.5 cm
h=5m
g = 9.81 m/s2
De la ecuación υ = √2𝑔ℎ, observamos que contamos con los datos
necesarios para encontrar la velocidad de salida, por lo que
simplemente sustituimos en la misma:
υ = √2(9.81
𝑚
𝑠2
)(5 𝑚) = 9.90 m/s
Resultado: υ = 9.90 m/s
Tubo de Pitot
El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en
movimiento (como las aguas de un río), debido a la presión, el
agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la
superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del
fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli: υ = √2𝑔ℎ
Las aeronaves utilizan tubos de Pitot
para medir la velocidad del aire.
El medidor de Venturi
El efecto Venturi consiste en la disminución de la presión de un
fluido cuando fluye a través de la sección reducida de una tubería.
Como hemos visto, la rapidez del fluido aumenta en el tramo
angosto de la tubería para satisfacer la ecuación de continuidad,
mientras que su presión disminuye por la conservación de la
energía.
El tubo de Venturi es una aplicación de este efecto presentada en
el año 1797 por el físico italiano Giovanni Battista Venturi
(17461822). Se trata de un dispositivo que sirve para medir la
rapidez del flujo que lo atraviesa.
El medidor de Venturi consiste en
un tubo de diámetro variable por
el que circula el fluido. La
diferencia de presión entre la
región ancha y la región más
estrecha puede medirse con un
tubo vertical en forma de U
conectando ambas regiones, el
cual funciona como manómetro.
Si se usa un líquido manométrico, como en el caso de la Figura de
la derecha, la diferencia
de altura del líquido en las
ramas del tubo en forma
de U permite medir la
diferencia de presión
entre las dos secciones a
las que está conectado.
Otra forma de conectar es el mostrado en la figura de la izquierda,
se coloca un tubo en el punto 1 y otro en la parte angosta
denominada garganta. Se puede deducir una expresión para la
rapidez de flujo υ1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y
la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando:
υ1 = √
2ρ𝐿 𝑔ℎ
ρ((𝐴1 / 𝐴2 )2 −1)
De esta fórmula, podemos
concluir que entre mayor sea la
diferencia de alturas entre los dos
tubos, mayor debe ser la velocidad
del fluido en el estrechamiento.
También podemos ver (un poco
más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es
mayor la velocidad en la parte estrecha.
Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y
en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas
partes.
Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la
velocidad del líquido se obtiene con la siguiente expresión:
υ1 = √
2 (𝑃1 − 𝑃2 )
2
𝐴
ρ [ 12 −1]
𝐴2
Además de determinar la
velocidad de los fluidos en
un conducto, el efecto
Venturi
tiene
otras
aplicaciones: el suministro
de gasolina de un motor con
carburador se consigue
utilizando un tubo de
Venturi; los rociadores o
atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican
este efecto.
Ejemplo 10.
Un medidor Venturi, como el de la figura en la parte inferior, tiene
una sección transversal con área de 0.002 m2 en la parte ancha y
0.001 m2 en la parte angosta. ¿Cuál es el valor de la velocidad del
agua que pasa por el medidor si la lectura del manómetro es de 22
cm? La densidad del mercurio es de 13,600 kg/m3
Solución.
Datos.
A1 = 0.002 m2
A2 = 0.001 m2
h = 22 cm = 0.22 m
ρhg = 13,600 kg/m3
ρagua = 1000 kg/m3
υ1 = ?
2ρ𝐿 𝑔ℎ
Con la expresión υ1 = √ρ((𝐴
1 / 𝐴2 )
2 −1)
podemos calcular la
velocidad deseada, por lo que sustituimos datos en la misma:
υ1 = √
𝑘𝑔
𝑚
)(9.81 2 )(0.22)
3
𝑚
𝑚
𝐾𝑔 0.002 𝑚2 2
1000 3 ((
) −1)
𝑚
0.001 𝑚2
2(13,600
= 4.42 m/s
La velocidad en la sección angosta se obtiene con la ecuación de
continuidad:
A1 υ1 = A2 υ2,
de donde despejamos la υ2:
υ2 =
𝑨𝟏 𝛖𝟏
𝑨𝟐
=
m
s
(0.002 𝑚2 )(4.42 )
0.001 𝑚2
= 8.84 m/s
Resultado: υ1 = 4.42 m/s y υ2 = 8.84 m/s