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F a c ul ta d d e E c o nom í a
Sistema Universidad Abierta y Educación a Distancia
MTRO. IGNACIO CRUZ LÓPEZ
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Límites
Calcula el límite de las siguientes expresiones
1. lim+ (x – 2)
x→ 3
2.
3.
lim (1 + x2)
x → −1+
lim 5x
x → −∞
4. lim 3
x→ ∞
6x
5. lim− 4
x→ 0
x
6. lim
x→ 0
7.
5
x −1
lim x2
x → −∞
8. lim (t – 1)3
t→ ∞
9. lim+
h→ 0
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
h
5−h
lim
h → 5−
lim
x→ 5
3
x−5
lim− 2
1
2
x→ 0
lim (4 x − 1 )
x → 1+
lim+ (x x 2 − 4 )
x→ 2
lim
x→ ∞
lim
x → −∞
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
x + 10
2 − 3x
3
x
7
2x x
Mtro. Ignacio Cruz López
1
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
lim x + 8
x−3
x→ ∞
lim 2 x − 4
3 − 2x
x→ ∞
x2 −1
x3 + 4x − 3
lim
x → −∞
r3
r2 +1
lim
r→ ∞
2
lim 5t + 2t + 1
4t + 7
t→ ∞
2x
3x − x + 4
lim
x → −∞
lim
x→ ∞
6
7
2x + 1
2
(4 x − 1) 3
lim
x → −∞
3
lim 3 −34 x − 2 x
5x − 8x + 1
x→ ∞
4
lim 7 − 2 4x − x 2
x→ ∞
9 − 3x − 2 x
lim− x2 + 3
x −9
x→ 3
lim +
x → −2
5x
4 − x2
2
lim 2w2 3w + 4
w→ ∞
5w + 7 w − 1
3
lim 4 −3 3x
x→ ∞
x −1
2
3
lim 6 − 4 x + x 2
x→ ∞
4 + 5x − 7 x
3
lim 33x − 3x
x → −∞
x + x +1
2
lim 2 x 2+ 9 x − 5
x → −5
x + 5x
Mtro. Ignacio Cruz López
2
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
36.
2
lim t 2 + 2t − 8
t→ 2
2t − 5t + 2
37.
2
lim x −2 3x + 1
38.
3
2
lim 3x − x
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
x +1
x→ 1
2x + 1
x → −1
lim+ 1 + 1 
x→ 1 
x − 1
3
2
lim x +32 x + 1
x −4
x → −∞
x2 +1
lim −
x → −7
x 2 − 49
x
lim
x → −3+
9 − x2
lim  x + 1 
x→ ∞

x
lim x(x-1)-1
x→ 1
lim  − 3 
x→ 0+
 x
Continuidad
Determina si las siguientes funciones son continuas, si lo son calcula el dominio y rango.
1. f(x) =
1
x +1
x5
2. f(x) =
2
3. f(x) =
3x
x−5
4. f(x) =
100
6 + 2x
5. f(x) = |x|
6. f(x) =
2x + 5
x − 4 x − 21
2
Mtro. Ignacio Cruz López
3
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7. f(x) =
6x − 2
x − 7 x − 15
8. f(x) =
4x − 2
x + x 2 − 6x
2
3
5
x
9. f(8x) =
2 x 2 − 7 x − 15
10. f(x) =
20
x + 3 x − 10
2
4
x
11. f(x) =
18 − 3 x − x 2
12. f(x) =
13. f(x) =
14. f(x) =
10
(5− x )
4 − x2
5
( 4− x )
16 − x 2
3x − 5
27 x − x 4
3
( x − 1)
15. f(x) =
2
2
( x − 4)
2
Aplicaciones a la economía
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la metodología correspondiente.
1. Si se depositan $150 dólares en una cuenta de ahorro que gana un interés anual
del 5% capitalizada continuamente, ¿cuál será el valor de la cuenta al paso de 4
años?
2. Se invierten $20,000 euros a una tasa anual de 4% capitalizada continuamente,
encuentre el monto total al final de 10 años.
3. La mesa directiva de una compañía acuerda redimir algunas de sus acciones
preferentes a 7 años. En ese tiempo se requerirá de $1, 800,050 de dólares. Si
la compañía puede invertir dinero a una tasa anual de 5% capitalizable
continuamente, cuánto debe invertir en este momento para hacer frente a su
compromiso futuro?
4. Un fondo de inversión se establece por un solo pago, de modo que al final de 28
años habrá $65,700 dólares en el mismo. Si el interés se capitaliza
Mtro. Ignacio Cruz López
4
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continuamente a una tasa del 5.5% anual, ¿cuánto dinero debe pagarse
inicialmente?
5. Como un regalo para el decimoctavo cumpleaños de su hija recién nacida, usted
quiere darle una cantidad de dinero que tenga el mismo poder adquisitivo que
$5,900 dólares en la fecha de su nacimiento. Para eso, ha pensado en un solo
pago a un fondo de inversión.
a) Suponga que la tasa de inflación efectiva anual es de 4%. Dentro de 18
años, ¿cuál será la suma que tenga el mismo poder adquisitivo que los
$5,900 dólares actuales?
b) ¿Cuál debe ser el pago único inicial al fondo, si el interés se capitaliza
continuamente a una tasa anual del 6%?
6. En la actualidad, usted dispone de $73,564 dólares para invertir durante 20
meses, y tiene dos opciones para ello
a) Invertir el dinero en un Certificado que paga interés a una tasa nominal
del 5% compuesto trimestralmente, o
b) Invertir el dinero en una cuenta de ahorro que genera interés a la tasa
anual de 4.5% compuesto de manera continua.
Con cada opción, ¿Cuánto dinero tendrá dentro de 20 meses?
7. Qué tasa anual compuesta de manera continua es equivalente a una tasa
efectiva de 5%?
Curvas de nivel
 Empleando x trabajadores calificados y y trabajadores no calificados, un
fabricante puede producir Q(x, y) = 15x2y unidades de producto por día.
Actualmente hay 27 trabajadores calificados y 53 trabajadores no calificados.
a) ¿Cuántas unidades se producen actualmente cada día?
b) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador
calificado más a la actual fuerza laboral?
c) ¿Cuánto cambiará el nivel de producción diaria si se agrega 1 trabajador no
calificado más a la actual fuerza laboral?
d) ¿Cuánto cambiara el nivel de producción diaria si se agrega i trabajador
calificado y 1 trabajador no calificado a la actual fuerza laboral?
 Un fabricante puede producir relojes despertadores digitales a un costo de $20
cada uno, así como relojes despertadores análogos a $40 cada uno.
Mtro. Ignacio Cruz López
5
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a) Exprese el costo total de producción mensual del fabricante como función del
número de relojes digitales y análogos producidos.
b) Calcule el costo mensual si se producen 500 relojes análogos y 800 relojes
digitales.
c) El fabricante desea aumentar la producción de relojes análogos en 50
unidades al mes a partir del nivel indicado en el inciso anterior. ¿Qué cambio
debe hacer en la producción mensual de relojes para que el costo total
mensual no cambie?
 Una tienda de pinturas vende dos tipos de pinturas de látex. El comportamiento
de las ventas indican que si la primera marca se vende en x1 dólares por galón
y la segunda en x2 por galón, la demanda de la primera será D1 = (x1, x2) =
200 – 10x1 + 20x2 galones por mes y la demanda por la segunda marca será
D2 = (x1, x2) = 100 + 5x1 - 10x2 galones por mes.
a) Exprese el ingreso total mensual de la tienda por la venta de la pintura como
función de los precios x1 y x2
b) Calcule el ingreso de la tienda si la primera marca se vende en $6 dólares el
galón, y la segunda marca se vende en $5 dólares el galón.
 La producción de cierta fábrica es Q(K, L) =137K2/3L1/3 unidades, donde K es
la inversión en capital y L es la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
a) Calcule la producción si la inversión en capital es de $176,520 dólares y la
fuerza laboral es de 1,634 horas-trabajador.
b) ¿Qué le ocurrirá al nivel de producción anterior si tanto el nivel de inversión
en capital y la fuerza laboral se reducen a la mitad?
 Una compañía agrícola estima que cuando emplea una fuerza laboral de 156
horas-trabajador en y hectáreas de tierra, el número de kilos de trigo producido
es de f(x, y) = Axayb, donde A, a y b son constantes positivas. Suponga que la
compañía decide duplicar los factores de producción x y y. Determine la forma
en que esta decisión afecta la producción de trigo en cada uno de estos casos:
a) a + b > 1
b) a + b < 1
c) a + b = 1
 Suponga que cuando se emplean x máquinas y y horas-trabajador cada día,
una empresa elabora Q(x, y) = 13xy agendas electrónicas. Describa la relación
entre las entradas de x y y que dan como resultado una producción de 1,350
unidades por día.
 Un empresario vende cierto tipo de maquinaria en el mercado nacional y en el
extranjero. Se estima que si el fabricante suministra x máquinas al mercado
nacional y y máquinas al mercado extranjero, las máquinas se venderán en
Mtro. Ignacio Cruz López
6
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
x y
y
x
miles de dólares por unidad en el país de residencia, y a 70 − +
+
4 20
10 30
miles de dólares por unidad en el extranjero.
80 −
Con esta información, exprese el ingreso R como función de x y y.
 Con el empleo de x trabajadores calificados y de y no calificados, un fabricante
de cerámica puede producir Q(x, y) = 5x + 4y unidades por día. Actualmente
la fuerza laboral esta integrada por 12 trabajadores calificados y 36 trabajadores
no calificados.
a) Calcule la producción diaria actual
b) Encuentre una ecuación que relaciones los niveles de fuerza laboral calificada
y no calificada, si la producción actual debe permanecer en su nivel actual
c) ¿Qué cambio debe hacerse en el nivel de la fuerza laboral no calificada si se
desea aumentar en 2 trabajadores la fuerza laboral calificada, manteniendo
constante e nivel de producción?
 Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor por la compra de x
unidades de cierta mercancía, así como de y unidades de otra esta dada por la
función de utilidad U(x, y) = 2x3y2. El consumidor posee actualmente 5
unidades de la primera mercancía x y 4 unidades de la segunda mercancía y.
Encuentre el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la curva de
indiferencia.
 La utilidad obtenida por un consumidor por la compra de x unidades de cierta
mercancía, así como de y unidades de otra esta dada por la función de utilidad
U(x, y) = (x + 1)(y + 2). El consumidor posee actualmente 35 unidades de la
primera mercancía x y 16 unidades de la segunda mercancía y. Encuentre el
nivel actual de utilidad del consumidor y trace la curva de indiferencia.
Derivadas parciales
Aplique la metodología de las derivadas parciales para resolver los siguientes ejercicios.
1. La función de producción de una empresa se estima que esta determinada por P =
37.1L0.35 ∙ K0.48, donde P es la producción, L el trabajo y K el capital. Determine la
productividad marginal de la mano de obra y del capital, y evalúela cuando L = 3
y K = 2.
2. Una granja lechera estima que su producción esta dada por la siguiente función
P = A0.27 B0.01 C0.01 D0.23 E0.09 F0.27
Donde P es la producción, A el terreno, B el trabajo, C las mejoras, D los activos
líquidos, E activos de trabajo y F gastos de operación. Encuentre la productividad
marginal respecto al trabajo y las mejoras.
Mtro. Ignacio Cruz López
7
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3. Suponga que una función de producción está dada por P =
Determine las funciones de productividad marginal
K ⋅L
K+L
4. Suponga que las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B
son
qA = e
− PA 
 PB 
y
16
p A p B2
qB =
Donde qA y qB son los números de unidades demandadas de A y B cuando los
precios unitarios (en miles de dólares) son pA y pB respectivamente.
a) Determine si los productos son complementarios, competitivos o ninguno de los
anteriores.
b) Si los precios unitarios de A y B son $1,000 y $2,000, respectivamente, estime
el cambio en la demanda de A cuando el precio de B disminuye $40 unidades y
el precio de A se mantiene constante.
5. Las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B están dadas
por:
qA =
30 p B
y
2
qB =
50 p A
1
p B3
p A3
Donde qA y qB son las cantidades demandadas de A y B, y pA y pB son los precios
correspondientes por unidad.
a) Encuentre los valores para las dos demandas marginales para el producto A
cuando pA = 8 y pB 0 64
b) Si pB se reduce de 64 a 60, con pA fijo en 8, use el inciso (a) para estimar el
cambio en la demanda del producto A.
6. La función de costos conjuntos para producir qA unidades del producto A y qB
unidades del producto B están dadas por:
q A2 (q B3 + q A )
c=
17
1
2
1
+ q A q B 3 + 600
a) Encuentre las funciones de costo marginal con respecto a qA y qB
b) Evalúe la función de costos marginales con respecto a qA cuando qA = 17 y qB
=8
c) Basado en la respuesta del inciso (b), estime el cambio en el costo si la
producción de A disminuye de 17 a 16 unidades, mientras que la producción de
B se mantiene constante.
Mtro. Ignacio Cruz López
8
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
7. Después del lanzamiento de un nuevo producto, el volumen de ventas S esta dado
AT + 450
por: S =
A+T 2
Donde T es el tiempo (en meses), desde que el producto fue introducido por
primera vez y A la cantidad (en cientos de dólares) la cantidad gastada
mensualmente en publicidad.
a) Compruebe que la derivada parcial del volumen de ventas con respecto al
tiempo está dada por:
∂S
A 2 − 450T
=
3
∂T
A+T 2
(
)
b) Use el resultado del inciso anterior para predecir el número de meses que
transcurrirán, antes de que el volumen empiece a descender, si la cantidad
destinada a publicidad se mantiene fija en $9,000 por mes.
Diferenciación implícita
Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la metodología de derivación implícita.
1. x2 + y2 + z2 = 9;
encontrar
∂z
∂x
2. 2z3 – x2 – 4y2 = 0;
encontrar
∂z
∂y
3. x2 – 2y – z2 + x2yz2 = 20;
encontrar
4. ex + ey + ez = 10;
encontrar
∂z
∂y
5. ln(z) + 9z – xy = 1;
encontrar
∂z
∂x
6. z2 – 5x2 + y2 = 0;
encontrar
∂z
∂x
7. 3x2 + y2 + 2z3 = 9;
encontrar
∂z
∂y
8. z3 – xz – y = 0;
encontrar
∂z
∂x
Mtro. Ignacio Cruz López
∂z
∂x
9
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encontrar
∂z
∂x
ln x + ln y – ln z = ey; encontrar
∂z
∂x
9. xyz + 2y2x – z3 = 0:
10.
Derivadas parciales de segundo orden
Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la metodología de derivadas parciales de segundo orden.
1. f(x, y) = 5x4y3 + 2xy
2. f(x, y) =
x +1
y −1
3. f(x, y) = e x
2
y
4. f(u, v) = ln (u2 + v2)
5. f(s, t) =
s2 + t 2
6. f(x, y) = x2yex
7. f(x, y) = 4x2y
8. f(x, y) = 9e2xy
9. f(x, y) = 4x3 + 5x2y3 – 3y
10.
f(x, y) = (x2 + xy + y2) (x2 + xy + 1)
11.
f(x, y) = 7x2 + 3y3
12.
f(x, y) = (x + y)2 (xy)
13.
f(x, y) = ln(x2 + y2) + 2
14. La producción de una fábrica esta determinada por Q = 120K1/2L1/3 unidades,
donde K denota la inversión en capital medida en unidades de $1,000 y L es la
fuerza laboral medida en horas-trabajador.
∂ 2Q
a) Determine el signo de la derivada parcial e segundo orden
, e interprete,
∂L2
∂ 2Q
b) Determine el signo de la derivada parcial e segundo orden
, e interprete.
∂K 2
15. Suponga que el costo C de producir qA unidades del producto A y qB unidades
del producto B esta dado por
(
C = 3q A2 + q B3 + 4
)
1
3
Y que las funciones de demanda para los productos están dadas por
q A = 10 − p A + p B2
Mtro. Ignacio Cruz López
10
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Y
q B = 20 + p A − 11 p B
Con esta información encuentre el valor
∂C
, cuando pA = 25 y pb = 4
∂q A ∂q B
Regla de la cadena
Resuelva los siguientes ejercicios aplicando la regla de la cadena
∂z
∂z
y
∂r
∂s
∂z
∂z
2. z = x2 + 3xy + 7y3,
x = r2 – 2s, y = 5s2;
encontrar
y
∂r
∂s
∂
z
3. z = ex + y,
x = t2 + 3, y = t 3 ;
encontrar
∂t
1. z = 5x + 3y,
x = 2r + 3s,
4. w = x2z2 + xyz + yz2, x = 5t,
5. z = 8 x + y ,
y = r – 2s; encontrar
y = 2t + 3, z = 6 – t;
x = t2 + 3t + 4,
y = t3 + 4; encontrar
encontrar
∂z
∂t
∂w
∂t
∂w
∂t
∂
z
7. z = (x2 + xy2)3,
x = r + s + t,
y = 2r – 3s + 8t; encontrar
∂t
∂z
8. z = x 2 + y 2 ,
x = r2 + s – t,
y = r – s + t;
encontrar
∂r
2
3 2
2
9. w = x + xyz + y z , x = r – s , y = rs,
z = 2r – 5s;
encontrar
∂w
∂s
∂w
10.
w = exyz,
x = r2s3, y = r – s, z = rs2;
encontrar
∂r
11.
Suponga que el costo c de producir qA unidades del producto A y qB
unidades del producto B está dado por
6. w = ln(x2 + y2 + z2),
x = 2 – 3t, y = t2 + 3, z = 4 – t;
(
c = 3q A2 + q B3 + 4
)
encontrar
1
3
Y que las funciones de demanda para los productos están dadas por
q A = 10 − p A + p B2
q B = 20 + p A − 11 p B
Use la regla de la cadena para evaluar
Mtro. Ignacio Cruz López
∂c
∂c
y
cuando pA = 25 y pB = 4
∂p A
∂p B
11
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Optimización de funciones
Aplicar el procedimiento adecuado para optimizar las siguientes funciones.
1. f(x, y) = 5 – x2 – y2
2. f(x, y) = 2x2 – 3y2
3. f(x, y) = x2 + 2y2 – xy + 14y
4. f(x, y) = 2x3 + y3 + 3x2 – 3y – 12x – 4
5. f(x, y) = (x - 1)2 + y3 – 3y2 – 9y + 5
6. f(x, y) = x3 – 4xy + y3
7. f(x, y) = 2x4 + x2 + 2xy + 3x + y2 + 2y + 5
8. f(x, y) = 4xy – 2x4 – y2 + 4x – 2y
9. Una tienda vende dos marcas de camisas competidoras, una de ellas apoyada
por Tim Duncan y la otra por Shaq O’Neal. El propietario de la tienda puede
obtener ambos tipos a un costo de $2 por camisa y estima que si la camisa
Duncan se vende en x dólares por pieza, y las camisas O´Neal en y dólares por
pieza, los consumidores comprarán aproximadamente 40 + 50x + 40y camisas
Duncan y 20 + 60x – 70y camisas O’Neal todos los días. ¿A qué precios debe
vender el propietario las camisas para generar la utilidad máxima?
10.
Una compañía telefónica esta planeando introducir dos nuevos tipos de
sistemas ejecutivos de comunicación que espera vender a sus clientes
comerciales más importantes. Se estima que si al primer tipo de sistema se
aplica un precio de x cientos de dólares, y al segundo tipo de y cientos de
dólares por sistema, aproximadamente 40 -8x + 5y consumidores comprarán el
primer tipo y 50 + 9x – 7y comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación
del primer tipo es de $1000 por sistema y el costo de fabricar el segundo tipo es
$3000 por sistema. ¿Qué precio debe aplicar la compañía telefónica a sus
sistemas para generar la máxima utilidad posible?
Mtro. Ignacio Cruz López
12
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Guía de examen extraordinario
Multiplicador de Lagrange
Resuelva los siguientes ejercicios aplicando el método del multiplicador de Lagrange
1. Encuentre el valor máximo de f(x, y) = xy sujeto a la restricción x + y = 1
2. Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = xy sujeto a la
restricción x2 + y2 = 1
3. Sea f(x, y) = x2 + y2, encuentre el valor mínimo de f(x, y) sujeto a la
restricción xy = 1
4. Sea f(x, y) = x2 + 2y2 – xy, encuentre el valor mínimo de f(x, y) sujeto a la
restricción 2x + y = 22
5. Encuentre el valor mínimo de f(x, y) = x2 – y2 sujeto a la restricción x2 + y2 =
4
6. Sea f(x, y) = 8x2 – 24xy + y2, encuentre los valores máximo y mínimo de la
función f(x, y) sujeto a la restricción 8x2 + y2 = 1
7. Sea f(x, y) = x2 – y2 – 2y, encuentre los valores máximo y mínimo de la
función f(x, y) sujeto a la restricción x2 + y2 = 1
8. Un fabricante tiene ocho mil dólares para gastar en desarrollo y promoción de
un nuevo producto. Se estima que si x miles de dólares se gastan en el
desarrollo y y miles de dólares se gastan en promoción, las ventas serán
1
aproximadamente de f ( x, y ) = 50 x 2 y
3
2
unidades. ¿Cuánto dinero debe asignar el
fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar ventas?
9. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra y se gastan y miles de dólares
1
en equipo, la producción de cierta fábrica Q( x, y ) = 60 x 3 y
2
3
unidades. Si se
dispone de 120 mil dólares, ¿cuánto debe asignar a mano de obra y cuánto a
equipo para generar la máxima producción posible?
10.
Un consumidor tiene 280 dólares para gastar en dos mercancías, la
primera de las cuales cuesta 2 dólares por unidad y la segunda 5 dólares por
unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor por x unidades de la
primera mercancía y y unidades de la segunda esta dada por
U(x,y) = 100x0.25y0.75
¿Cuántas unidades de cada mercancía debe comprar el consumidor para
maximizar la utilidad?
Mtro. Ignacio Cruz López
13
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Matrices
Encuentra la dimensión de las siguientes matrices
1. (9
-1
7
4)
0
9
3
5 

− 2
6 
 7 − 3

2. 
− 9 1 
8 
 1


 4 − 3
3. 
−7 6 



 2
9


0 7 4


4.  1 3 6 
5 9 2


1 0 0


5.  0 1 0 
0 0 1


− 4 2

6.  7
5
 1 −8

 −1
 
 9 
7.  
−7
 
 3 
 
10
8. 
5
− 7

 4
9.  − 1

 0
−8

4
9
8
3
5
2
0
9
6
2
7
6

1 
− 3

0 
− 7

5 
− 4 
Mtro. Ignacio Cruz López
14
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
4

1
5

9 
10.
0

1
4

7

8
5
2
0
3
6
9
8
5
2
0
7
11.
1

4
7

2

5
8
3
6
9
0
1
5
7

3
6

2 
12.
 9 8 − 7 7 − 8 1 9 7


6
5 4 − 5 6
− 6 5 4
 3 2 1 − 9 2 3 6 9


13.














14.
1 3 8 4 5 7 9


 9 7 2 6 0 1 3
15.
5

0
7

4

3
6
9
1
4
7
2
5
8
1
5
−9
3
−7
8
−2
6
4
1
8
5
2
9
6
3
0
4
1
8
7
6
9
2
3
5














1

5
9

7 
Mtro. Ignacio Cruz López
15
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Operaciones con matrices
Realiza las operaciones con matrices que se indican a continuación
 

1. − 
 − 

5
8
1
4

 

4 7
1 12
 4 8   6 − 2   − 10 4 
 + 
 − 

 2 14  10 4   21 − 3 
2. 
− 2   11 0 

 + 8
 −1 2   − 2 4
3. − 2 4

 − 2 10   20 − 15 
4. 5
 − 3

 5 15   − 10 5 
1 2   4 3  1 − 3 
5. 
 − 3
 + 5

3 4
 2 1
 2 − 4
 4
6. (2 − 3) 
8
 3
7. (1 − 2 − 3) 2 
 4
 
 4 
8. (3 −1) − 2 
 − 3
 
9. (10 − 4 3) 2 
 3
10.
11.
0
 
1
(− 1 2 − 3 4) 
2
 
 3
 
(1
−3
6
5
 3 
 
 − 2
− 2 ) 1 
 
 0 
 4 
 
0
 0 
 
 − 2
3 ) 0 
 
 5 
 0 
 
12.
(1
13.
 4 0  2 6 



 − 2 7  − 1 8 
2
−5
Mtro. Ignacio Cruz López
16
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
 8 3  6 

 
 − 2 0  − 8 
1 0

(20 − 8)
0 1
 12 1  1 0 



 − 1 − 3  0 1 
10 − 2  1 0 1 



 0 13  0 1 0 
 12

 4
− 2

0 
 1 12 

0 
3 − 4 


5 
0 − 2 1 


8
−4 0 
 1 2 − 3


2
−
1
8
1
0
10 





 1 0 − 4  0 − 1 0 
 3 − 1 − 1  1 1 1 



1 0 0

 1 − 2 8 

 0 1 0 
2
1 
 0 0 1  3


 6 − 1


 2 − 1 3  2 0 


2 5  4 3 
0


2 6


 2 −1


2  2 − 1 0
5
 1


 0
4  6
2
1 −2


 3 − 2


(1
− 2 ) 3
 2 5 − 1  − 3


 1 0 − 2  1
 4 3 2  − 3


−1
 2 3 − 1

 1
4 0 
1
−1
Mtro. Ignacio Cruz López
2
2
4
1
3
−2
3
0
0
4
1








0 1

0 − 1
0 1 
17
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Determinantes
Obtenga los determinantes de las siguientes matrices.
1. A = (-8)
 3 1

2. T = 
 − 2 4
 −1 2

3. S = 
 − 4 3
4. N = (25)
1 0

5. B = 
0 1
 2 5

6. D = 
 5 0
0 
2 6


7. C =  4 0 − 2 
1 − 2 8 


1 − 2 3 


8. D =  2 10 − 5 
 4 − 8 12 


 3 10 9 


9. A =  2 − 6 6 
 1 − 3 3


 2 5 − 5


10.
B =  5 0 10 
1 2 3 


Matriz de cofactores
Encuentre la matriz de cofactores de las siguientes matrices
 3 − 2

1. 
10 4 
1 0

2. 
0 1
−1 2 

3. 
 4 10 
Mtro. Ignacio Cruz López
18
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
 2 4 − 2


4.  2 0 4 
 4 2 − 3


1 0 0


5.  0 1 0 


0 0 1
 2 10 − 4 


6.  0 3 10 
1 2 − 2


 10 5 

7. 
 − 5 2
 − 5 10 

8. 
− 4 6 
2 − 2
 4


9.  6
3
5 
− 6 − 3 3 


2 
 10 4


1 − 3
10.
 0
 − 5 − 2 − 1


Matriz inversa
Determine la matriz inversa utilizando el procedimiento Gaussiano
 1 − 1

1. 
 2 − 3
 2 3

2. 
4 7
2
 4

3. 
 − 2 − 1
 40 8 

4. 
 30 6 
1 0

5. 
0 1
Mtro. Ignacio Cruz López
19
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
−1 3 

6. 
 2 − 4
 4 3

7. 
 5 4
− 2 3 

8. 
 6 − 9
1 1 1


9.  2 − 1 1 
 2 3 4


 1 0 − 1


10.
 − 1 1 − 1
−1 0 2 


Determine la matriz inversa utilizando el procedimiento de cofactores
3 7

1. 
 2 5
 3 − 15 

2. 
 5 25 
 3 − 5

3. 
4 2 
5 2

4. 
3 1
 1 − 1

5. 
− 4 4 
− 3 1 

6. 
 15 − 5 
5 1

7. 
3 9
− 4 7

8. 
 0 5
Mtro. Ignacio Cruz López
20
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
1 1 − 


9.  3 0 − 4 
1 2 5 


1
1
 1


10.
 − 2 3 − 1
 5 −4 2 


Ejercicios de Análisis de Insumo-Producto
Resuelva los siguientes ejercicios
1. Dada la siguiente matriz de insumo-producción, determine la matriz de
producción si la demanda final cambia a 600 para A y a 805 para B. Además,
obtenga los valores de la nueva matriz.
2. Dada la siguiente matriz de insumo-producción, determine la matriz de
producción si la demanda final cambia a 200 para A y a 300 para B. Además,
obtenga los valores de la nueva matriz.
Mtro. Ignacio Cruz López
21
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Sistemas de ecuaciones con dos variables
Determine la naturaleza del conjunto solución (única, infinito o sin solución), comparando la pendiente y las
coordenadas y de la intersección con el eje de las ordenadas, para las líneas que representan a los sistemas
siguientes.
1.
2 x − 9 y = 108
8 x + 6 y = 48
2.
3 x − 9 y = 24
− x + 3y = 0
3.
5x + 5 y = 0
x = −y
4.
4x − 2 y = 8
x + 2 y = 12
5.
4 x − 2 y = 32
− 2 x + y = 20
6.
x − 3y = 6
− 4 x + 12 y = −24
Resuelva gráficamente los siguientes sistemas y compruebe con métodos algebraicos su respuesta
1.
3x + 2 y = 8
x − y =1
2.
2 x − 3 y = −13
4 x + 2 y = −2
3.
x − 2y = 0
− 3x + 6 y = 5
4.
5.
6.
− x + 2 y = −2
3x = 6 y + 6
x − 2y = 4
− 4 x + 8 y = −10
3x + 4 y = 5
4 x + y = −2
Mtro. Ignacio Cruz López
22
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Sistemas de ecuaciones con dos variables
Determine la naturaleza del conjunto solución (única, infinito o sin solución), comparando la pendiente
y las coordenadas y de la intersección con el eje de las ordenadas, para las líneas que representan a los
sistemas siguientes.
1.
2 x − 9 y = 108
8 x + 6 y = 48
2.
3 x − 9 y = 24
− x + 3y = 0
3.
5x + 5 y = 0
x = −y
4.
4x − 2 y = 8
x + 2 y = 12
5.
4 x − 2 y = 32
− 2 x + y = 20
6.
x − 3y = 6
− 4 x + 12 y = −24
Resuelva gráficamente los siguientes sistemas y compruebe con métodos algebraicos su respuesta
1.
3x + 2 y = 8
x − y =1
2.
2 x − 3 y = −13
4 x + 2 y = −2
3.
x − 2y = 0
− 3x + 6 y = 5
4.
− x + 2 y = −2
3x = 6 y + 6
5.
x − 2y = 4
− 4 x + 8 y = −10
6.
3x + 4 y = 5
4 x + y = −2
Mtro. Ignacio Cruz López
23
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.
1.
4 x − y = 17
5x + 3 y = 0
2.
− 2 x + 5 y = 20
4x + y = 4
x − 2 y = −7
3.
3x + y = 0
2x + 3y = 7
x− y =2
4. 2 x + y = 1
7x − 5y = 6
x+ y =4
2x − 3y = 3
5.
4 x − 2 y = 10
− x + 3y = 0
x+ y =3
2 x − y = 12
6.
x − 4 y = 13
− 2x + 5 y = 0
Mtro. Ignacio Cruz López
24
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Método de eliminación Gaussiana
Determine los conjuntos solución para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones
1.
2 x + 4 y = −16
x − 2 y = 16
2.
3x − 2 y = 7
2 x + 4 y = 10
3.
5 x − 2 y = −12
− 3x + y = 7
4.
− 2 x + 5 y = 40
3 x − 2 y = −5
5.
6 x − 8 y = 14
− 3 x + 4 y = −7
6.
− x + 2y = 4
5 x − 10 y = −20
7.
− x + 2 y = −1
5 x − 10 y = 6
8.
24 x − 15 y = 30
− 8 x + 5 y = −20
9.
4 x − y = 11
3 x + 5 y = −9
10.
5 x − 3 y = 17
− 2 x + 5 y = −22
Mtro. Ignacio Cruz López
25
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Sistemas de tres variables
Determine los conjuntos solución para los siguientes sistemas de ecuaciones
1. x1 + x2 + x3 = 2
x1 – 3x2 + 2x3 = 7
4x1 – 2x2 – x3 = 9
3. -4x1 – 12x2 + 4x3 = -40
x1 + x2 – 6x3 = 10
x1 + 3x2 – x3 = 10
5. x1 + x2 + x3 = 0
3x1 – x2 + 2x3 = -1
x1 + 2x2 + 3x3 = -5
7. 2x1 + 4x2 – 2x3 = 10
3x1 - x2 + 4x3 = 12
-x1 – 2x2 + x3 = 0
9. –x1 + 3x2 + x3 = 7
3x1 – 9x2 – 3x3 = 14
4x1 + 2x2 – 2x3 = 24
Mtro. Ignacio Cruz López
26
Calculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Guía de examen extraordinario
Mtro. Ignacio Cruz López
27