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Fı́sica del Estado Sólido
Práctico 1
Estructura Cristalina
1.
a) Demuestre que una red puntual infinita sólo puede tener simetrı́as de rotación de
orden 2, 3, 4 ó 6. Sugerencia: Considere que la traslación no nula más pequeña de
la red es un cierto vector ~a. Para excluir los órdenes n con n > 6, muestre que el
vector ~a − ~a0 serı́a más corto que ~a, siendo ~a0 el vector obtenido rotando ~a un ángulo
2π/n. Para el orden 5, demuestre que el vector ~a0 + ~a00 es más corto que ~a, donde ~a00
se obtiene rotando ~a un ángulo −2π/5.
b) En dos dimensiones, encuentre las restricciones que impone un plano de simetrı́a en
la red:
1) Considere primero un vector primitivo de translación oblicuo al plano de simetrı́a
(figura 1a) y estudie la celda formada por él y su imagen, muestre que en este
caso es posible definir una celda no primitiva, pero con vectores de translación
perpendiculares (red rectangular centrada).
2) A continuación considere que se tiene un vector primitivo normal al plano (figura
1b), un segundo vector puede estar contenido en el plano de simetrı́a o ser oblicuo
a él. En el segundo caso, muestre que existe sólo una elección del vector oblicuo
compatible con la traslación primitiva normal al plano de simetrı́a y que resulta
en la red rectangular centrada, por lo que sólo importa el primer caso.
m
m
(a)
(b)
Figura 1
c) A partir de los resultados anteriores, enumere los tipos de redes de Bravais posibles
en el plano.
1
2. Considere el siguiente patrón, que se repite periódicamente en todas direcciones:
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
db
qp
Indique:
a) Una celda unitaria rectangular;
b) Una celda unitaria primitiva;
c) La base de letras que forman el contenido de cada tipo de celda unitaria.
3. ¿Cuál es la red de Bravais formada por los puntos con coordenadas cartesianas (n1 n2 n3 )
si:
a) los ni son todos pares o todos impares?
b) la suma de los ni es par?
Sugerencia: dibuje los puntos de la red en cada plano con un valor fijo de n3 .
4. Red panal de abejas
a) Para la red triangular en la figura 2a, halle un par de vectores primitivos y una
celda primitiva. Dibuje la celda de Wigner-Seitz. Si la constante de red es a, halle la
densidad superficial de puntos de esta red en términos de a.
b) La red panal de abejas en 2b no es de Bravais, pero puede ser escrita como una red
de Bravais más una base. Halle esta descomposición.
NOTA: Están dibujados puntos negros y blancos sólo por claridad, es posible considerarlos iguales.
√
c) Muestre que la separación en la red panal de abejas es d = a/ 3.
d ) El grafeno es un arreglo de átomos de carbono en una red bidimensional panal de
abejas con d = 2,45Å. Halle la densidad del grafeno en g/cm2 .
d
a
(a) Red triangular
(b) Red panal de abejas
Figura 2
2
5. Considere las estructuras de la figura 3. En el NaCl (3a) los iones de Sodio y Cloro ocupan
los vértices de dos redes fcc entrelazadas (a = 5,64Å). En el CsCl (3b) los iones de Cesio y
Cloro forman redes sc entrelazadas (a = 4,12Å). En el ZnS (3c) los enlaces son tetraédricos
con átomos de distinto tipo en el centro y en los vértices, formando una estructura del
tipo diamante (a = 5,42Å).
Represente cada uno de estos cristales como una red más una base adecuada.
(a) Cloruro de Sodio
(b) Cloruro de Cesio
(c) Zincblende
Figura 3: Estructuras cristalinas
6.
a) Muestre que una red bcc puede ser descompuesta en dos redes sc, A y B, con la
propiedad de que ninguno de los vecinos más próximos de A quede en A, y similarmente para la red en B. Muestre que análogamente red sc puede descomponerse en
dos redes fcc y que una red fcc puede descomponerse en cuatro redes sc.
b) Muestre que entre los sitios de vecinos más próximos de una red fcc hay grupos de
tres sitios de forma que cada sitio es un vértice de un triángulo equilátero.
7. Estructura del diamante
a) ¿Cuántos átomos hay en la celda primitiva del diamante?
b) ¿Cuál es la longitud en Å de un vector primitivo de translación? El parámetro de
red del diamante es a = 3,567Å.
c) Demuestre que el ángulo entre los enlaces tetraédricos en el diamante es de 109◦ 280 .
d ) ¿Cuántos átomos hay en la celda cúbica unitaria convencional?
e) ¿Por qué el tetraedro elemental formado por cuatro átomos de carbono no es una
celda unidad primitiva?
8. Empaquetamiento compacto hexagonal (hcp)
Demuestre que la relación c/a para una estructura de empaquetamiento compacto hexagonal es:
c
=
a
r
8
' 1,633
3
Nota: Si c/a es significativamente mayor que este valor, la estructura cristalina puede considerarse como que está compuesta por planos de átomos de empaquetamiento compacto,
estando apilados los planos en forma poco compacta.
3
9. Caracterı́sticas de las redes cúbicas y hexagonal
Para las redes de Bravais cúbica simple (sc), cúbica centrada en el cuerpo (bcc), cúbica
centrada en las caras (fcc) y empaquetamiento compacto hexagonal (hcp) calcule, en
función de los parámetros de red de la celda convencional:
a) Volumen de la celda convencional.
b) Puntos de la red por celda.
c) Volumen de la celda primitiva.
d ) Puntos de la red por unidad de volumen.
e) Número de vecinos más próximos.
f ) Distancia entre vecinos más próximos.
g) Número de segundos vecinos.
h) Distancia entre segundos vecinos.
i ) Fracción de empaquetamiento.
NOTA: Para el caso hcp puede ser de ayuda considerar primero el caso de una estructura
hexagonal simple y utilizar luego el resultado del ejercicio 8.
10. Índices de Miller en la Red Hexagonal
Demuestre que en el sistema de 4 ı́ndices de Miller (h k i l) para estructuras hexagonales
como la de la figura 4, la suma de los tres primeros debe ser nula; o sea: h + k = −i.
Figura 4: Red hexagonal
11. Un cristal tiene una base de un átomo por punto de la red y un conjunto de vectores
primitivos de translación (dados en un sistema cartesiano, en unidades de Å):
~a = 3î
~b = 3ĵ
~c = 1,5(î + ĵ + k̂)
¿Cuál es el tipo de red de Bravais de este cristal y cuáles son los ı́ndices de Miller del
conjunto de planos más densamente poblados con átomos? Calcule el volumen de la celda
unitaria primitiva y convencional.
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