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6.
Optimización y
Programación lineal
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
224
1.
Problemas de optimización I
2.
Problemas de economía:
ingresos, costes, beneficios
3.
Ecuaciones de rectas.
Incidencia y paralelismo
4.
Relaciones y desigualdades
5.
Inecuaciones lineales
6.
Sistemas de inecuaciones
lineales
7.
Conceptos básicos de
Programación lineal
8.
Problemas de optimización II
Optimización y Programación lineal
1.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN I
Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función y=f(x) que está
relacionada con una determinada situación que previamente hay que matematizar.
Generalmente la función f(x) es desconocida y hay que obtenerla a partir de la situación
concreta. Lo habitual es que la función a optimizar contenga las dos variables x e y.
Entonces, para poder obtener y en función de x, es necesario disponer de una ecuación de
condición, que relaciona las dos variables x e y.
 CAJAS
En una tintorería necesitan depósitos para colocar el tinte, y para construirlos quieren aprovechar
unas chapas rectangulares de 10 dm x 16 dm. Se construyen con estas chapas los depósitos por el
procedimiento de cortar las esquinas de las planchas en la forma indicada en la figura, luego doblar y
finalmente soldar.
a) Llamando x a uno de los lados de cada uno de los
cuadrados que se recortan, escribe la función V=f(x)
que da el volumen del depósito conociendo x.
b) ¿Para qué valor de x se obtiene un depósito de
volumen máximo ?.
c) En el caso de que el volumen del depósito sea
máximo, ¿cuántos kilos de tinte podrá contener cada
uno de los depósitos, si la densidad del tinte es
3
1,20 kg/dm .
2
3
2
a) V=x(102x)(162x)=4x(5x)(8x)=4x(4013x+x )=4x 52x +160x
3
2
La función que da el volumen es V=4x 52x +160x
2
2
b) V’=12x 104x+160=0  6x 52x+80=0  x=2 , x=20/3 (valores críticos)
Usando el criterio de la segunda derivada: V’’=24x104
V’’(2)=242104=56<0  x=2 MÁXIMO RELATIVO
V’’(20/3)=24
20
104=160104>0 MÍNIMO RELATIVO.
3
Para que el volumen sea máximo debe ser x=2 dm.
c) El volumen máximo es V(2)=2(1022)(1622)=144 dm
3
Si 1 dm 3 pesa 1,20 kg 

  x=1441,20=172,8 kg.
3
144 dm pesan x kg 

Cada depósito puede contener 172,8 kg de tinte.
 NÚMERO
Descomponer 18 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos
por el cuadrado del otro sea máximo.
225
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Si uno de los números es x, el otro es 18x. La función a maximizar es P=(18x)x
2
3
2
2
P=18x x  P’=36x3x =0  3x(12x)=0  x=0, x=12 (valores críticos).
Usamos el criterio de la segunda derivada.
P’’=366x
P’’(0)=36>0  x=0 MÍNIMO RELATIVO
P’’(12)=36<0  x=12 MÁXIMO RELATIVO
SOLUCIÓN : Los números buscados son 12 y 6.
 COSTE MÍNIMO
El coste de fabricación de un determinado producto depende del número q de unidades fabricadas,
2
según la función:
C(q)=1000000+100q+0,001q
a) ¿Cuál es el coste medio por unidad ?.
b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad ?.
a) El coste medio por unidad se obtiene dividiendo el coste por el número de unidades
fabricadas:
CM (q)=
b) CM (q)=0,001
1000000 + 100q + 0,001q 2 1000000

 100  0,001q
q
q
1000000
2
2
9
=0  1000000 = 0,001q  q =10 
q2
q1=31622,777, q2=31622,777
Usamos el criterio de la 1ª derivada.
INTERVALO
SIGNO DE CM’(q) COMPORTAMIENTO
+
CRECE
x<31622,777
DECRECE
31622,777<x<

0
0<x<31622,777
DECRECE

x>31622,777
+
CRECE
Por lo tanto q=31622,777 31623 MÍNIMO RELATIVO
Para minimizar el coste medio por unidad hay que fabricar 31623 unidades.
 BENEFICIO MÁXIMO
Las funciones de ingresos y costes anuales por la fabricación y venta de q unidades de un
determinado producto vienen dadas por:
2
I(q)=2000q0,04q
C(q)=1000000+100q+0,001q
2
a) Halla la función que da el beneficio anual.
b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo ?. ¿Cuál es ese
beneficio ?.
226
Optimización y Programación lineal
2
a) B(q)=I(q)C(q)=2000q0,04q 1000000100q0,001q
2
De donde:
2
B(q)=1900q0,041q 1000000
b) B’(q)=19000,082q=0  q=1900 / 0,082=23170,732 (valor crítico).
Usando el criterio de la segunda derivada:
B’’(q)= 0,082<0  q=23170,732 MÁXIMO RELATIVO
Se deben producir y vender q=23171 unidades para maximizar el beneficio.
2
B(23171) =1900  231710,041 23171 1000000 = 21012195.
El beneficio máximo es 21012195.
 CAJA SIN TAPA 1
Un rectángulo mide 8 dm de largo y 4 dm de ancho. De cada esquina se recorta un cuadrado de lado
x con el fin de hacer una caja sin tapa.
a) Calcula el volumen de la caja en función de x.
b) Halla x para que el volumen sea máximo.
c) Halla dicho volumen máximo.

CAJA SIN TAPA 2
Se desea construir una caja abierta (sin tapa) recortando cuadrados iguales de cada una de las
esquinas de una hoja de cartón rectangular de dimensiones 3 y 8 dm. Calcula la longitud del lado del
cuadrado que se ha de cortar para obtener una caja de volumen máximo.

CAJAS DE EMBALAJE
Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que la suma
de las tres dimensiones sea 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las
cajas sea máxima?.
227
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
OPTIMIZACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA
Veamos con un ejemplo cómo utilizar la calculadora gráfica TI 83 para resolver problemas
de optimización.
Partiendo de una hoja de papel de medidas 20 cm  25 cm, recortamos cuadrados de
lado X en dos de las esquinas y recortamos rectángulos de X 12,5 cm en las otras
dos esquinas, como se muestra en la siguiente figura:
A continuación doblamos el papel para formar una caja con tapadera. ¿Con qué valor
de X se obtiene el máximo volumen V de la caja?.
En primer lugar, definimos la función que describe el volumen de la caja. A partir de la
figura, obtenemos:
2 X  A  20 

2 X  2 B  25 Sustituyendo obtenemos: V  20  2 X  25 / 2  X  X .
V  A * B * C 
Pulsa [Y=] para acceder al editor de funciones. Introduce en Y1 la fórmula de la función: [ ( ]
[20] [] [2] [X,T,] [ ) ] [ ( ] [25] [] [2] [] [X,T,] [ ) ] [X,T,] [ENTER].
TABLA DE VALORES
nd
Para obtener una tabla de valores de la función, pulsa [2 ] [WINDOW] para activar la
función TBLSET. De esta forma se abre el menú TABLE SETUP que permite configurar la
tabla de valores. Pulsa [ENTER] para aceptar TblStart=0. Pulsa [1] [ENTER] para definir el
incremento de la tala Tbl=1. Mantén los valores Indpnt: Auto y Dependen: Auto para que
nd
se genere automáticamente la tabla. Pulsa [2 ] [GRAPH] para activar la función TABLE y
visualizar la tabla de valores.
Observa que el valor máximo de Y1 se da cuando X tiene un valor próximo a 4, entre 3 y 5.
Pulsa y mantén pulsada la tecla [] para desplazar la tabla hasta que se muestre un
resultado negativo de Y1. Observa que la longitud máxima de X en este problema se da en
nd
el punto en que el signo de Y1 (volumen) se vuelve negativo. Pulsa [2 ] [WINDOW] para
activar de nuevo la función TBLSET y observa que el valor de TblStart coincide con el valor
de X de la primera fila visible de la tabla.
Vamos a ajustar mejor la tabla para que se amplíe el intervalo [3, 5], donde sospechamos
que se encuentra el máximo.
228
Optimización y Programación lineal
nd
En el menú TABLE SETUP, introduce TblStart=3 y Tbl=0.1. Pulsa [ENTER] y pulsa [2 ]
[GRAPH] para activar la función TABLE y visualizar de nuevo la tabla. Utiliza las teclas de
cursor [] y [] para recorrer la tabla. Observa que el valor máximo de Y1 se obtiene para
X=3,7. Por tanto el volumen máximo se obtendrá en el intervalo [3.6, 3.8].
En el menú TABLE SETUP, introduce TblStart=3,6 y Tbl=0.01. Pulsa [ENTER] y vuelve a
nd
visualizar la tabla, pulsando [2 ] [GRAPH] para activar TABLE. Recorre la tabla con las
teclas de cursor [] y []. Observa ahora que, aparentemente, el máximo valor de Y1 se
obtiene para X=3.67, X=3,68, X=3.69 y X=3.70. Utilizando las teclas [], [], [] y []
desplaza el cursor a la columna Y1, junto al primer valor de X, 3.67. Observa que el valor de
Y1 se muestra en la línea inferior con más precisión. Repite la operación para visualizar el
valor de Y1 en cada uno de los valores de X “sospechosos”. Observa que el volumen
máximo se obtiene para X=3.68 y que dicho volumen máximo es Y1=410,264064.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Pulsa [WINDOW] para acceder al editor de variables de ventana, que definen la ventana de
visualización. Las variables Xmin, Xmax, Ymin e Ymax definen los límites de la pantalla.
Xscl e Yscl definen la distancia entre las marcas de graduación de los ejes X e Y. La
variable Xres controla la resolución.
Pulsa [ 0] [ENTER] para definir Xmin. Pulsa [10] [ENTER] para definir Xmax. Pulsa
[ENTER] para aceptar Xscl como 1. Pulsa [0] [ENTER] [500] [ENTER] [100] [ENTER] [1]
[ENTER] para definir las restantes variables de ventana.
Pulsa [GRAPH] para representar la función. Pulsa [] para activar el cursor gráfico de libre
desplazamiento. Las coordenadas X e Y de la posición del cursor gráfico se muestran en la
línea inferior. Pulsa [] , [], [] y [] para situar el cursor de libre desplazamiento en el
máximo aparente de la función. A medida que desplazas el cursor, los valores de las
coordenadas X e Y se actualizan continuamente.
Pulsa [TRACE]. Se muestra el cursor de recorrido sobre la función Y1. La fórmula de la
función que estas recorriendo aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla. Pulsa
[] y [] para recorrer la gráfica Y1, un píxel cada vez, evaluando Y1 para cada valor de X.
También puedes introducir un valor de X estimado como abcisa del máximo. Pulsa [3.8].
Observa que aparece X=3,8 en pantalla. Pulsa [ENTER]. El cursor de recorrido saltará al
punto de la función de abcisa X=3,8. Pulsa [] y [] hasta llegar al máximo. Observa que el
máximo obtenido por este procedimiento es el punto (3.7234043, 410.22341). Pero este
resultado puede no ser exacto, porque los píxeles tienen un grosor y el punto máximo puede
estar entre dos valores de píxel.
229
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
AMPLIACIÓN DE LA GRÁFICA
Pulsa [ZOOM] para acceder al menú ZOOM. Para activar una opción de este menú puedes
pulsar el número que le precede o bien pulsar la tecla [] hasta que esté resaltado el
número de la opción y después pulsar [ENTER]. Pulsa [2] para seleccionar la opción
2:Zoom In. Se muestra de nuevo el gráfico, pero la forma del cursor cambia, para indicar
que estás utilizando la instrucción zoom. Sitúa el cursor cerca del máximo de la función y
pulsa [ENTER]. Observa que se muestra la nueva pantalla de visualización, en la que se
han modificado los valores de Xmin, Xmax, Ymin e Ymax. Pulsa [WINDOW] para ver los
nuevos parámetros de ventana.
Si repites este procedimiento sucesivas veces, obtendrás una mejor aproximación al
máximo de la función.
EL MENÚ CALCULATE
nd
Pulsa [2 ] [TRACE] para activar la función CALC, con la que se abre el menú
CALCULATE. Pulsa [4] para seleccionar la opción 4: maximum. Se mostrará de nuevo el
gráfico, con un indicador Left Bound?.
Pulsa [] para recorrer la curva hasta un punto situado a la izquierda del máximo y después
pulsa [ENTER]. El signo  en la parte superior de la pantalla indica el límite seleccionado.
Se mostrará el indicador Right Bound?.
Pulsa [] para recorrer la curva hasta un punto situado a la derecha del máximo y después
pulsa [ENTER]. El signo  en la parte superior de la pantalla indica el límite seleccionado.
Se mostrará el indicador Guess?.
Pulsa [] para acercar el cursor a un punto próximo al máximo y después pulsa [ENTER]. O
bien, introduce un valor estimado para el máximo, por ejemplo, pulsa [3.8] [ENTER].
Aparece la pantalla gráfica de nuevo, con el cursor en el máximo y en la parte inferior de la
pantalla se indica el punto máximo (3.6811866, 410.2641).
Compara este valor con el obtenido con la tabla de valores y con el cursor de libre
desplazamiento.

ORDENADORES
Deseamos comprar 18 ordenadores y en el mercado hay dos tipos. Sabemos que el beneficio que
podemos obtener de su uso está dado por el producto del número de ordenadores de un tipo que se
compra por el cuadrado del número de ordenadores del otro tipo que se adquiere. Determina el
número de ordenadores de cada tipo que debemos adquirir para que el beneficio sea máximo.

LUMINOSIDAD
Halla las dimensiones de una ventana de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie
posible y, así, produzca la máxima luminosidad.
230
Optimización y Programación lineal

CLUB DEPORTIVO
Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la
función: s(x)  2x 3  15x 2  24x  26 , donde x indica el número de años desde la última remodelación.
a) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.
b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o
no.

DIAGONAL
Encuentra de entre todos los rectángulos de perímetro 2p el que tiene diagonal mínima.

CÍTRICOS
Un cultivador de frutas cítricas estima que si plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media
por árbol será de 400 naranjas y ésta disminuirá en un promedio de 5 naranjas por árbol por cada
árbol adicional plantado en el huerto.
a) Determina la función de producción total de naranjas.
b) ¿Cuántos árboles se deben plantar en el huerto para maximizar la producción total de naranjas?.
¿Cuál es dicha producción máxima?. Razona la respuesta.

UNA VENTANA
Una ventana tiene la forma de semicírculo montada sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal
transparente, mientras que el semicírculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por
unidad de área transparente. El perímetro total (exterior) de la ventana es fijo y vale 160 cm. Halla las
dimensiones de la ventana que proporcionan la mayor cantidad de luz.

BIBLIOTECAS
Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3600 libros a dos bibliotecas, A y B. Sus
instrucciones son que los lotes se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a
la biblioteca A por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B, sea máximo. Determina
la cantidad de libros recibida por cada biblioteca.
231
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

TERRENO
Un granjero dispone de 3000 euros para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un
río, usando éste como un lado del área cercada; es decir, construirá tres cercas.
El coste de la cerca paralela al río es de 5 euros por metro instalado, y el de la cerca para cada uno
de los dos lados restantes es de 3 euros por metro instalado.
Calcula las dimensiones del área máxima que puede ser cercada.
2.- PROBLEMAS DE ECONOMÍA: INGRESOS, COSTES,
BENEFICIOS
Muchos problemas de Economía conducen a problemas de optimización. Veamos un
ejemplo.
Una empresa fabrica cintas de vídeo vírgenes con una capacidad máxima de
producción de 80000 cintas por semana. Las funciones de costes e ingresos
x
semanales, en decenas de euros, son: C(x)  3000  0,4x ; I(x)  20x 
, donde x es
2000
el número de cintas fabricadas cada semana. Estudia cuál será el coste mínimo, el
ingreso máximo y el máximo beneficio.
Analicemos cada función. La función de costes está formada por la suma de dos funciones,
una de ellas constante e independiente de la producción (salarios, consumo energético,
amortización de locales, etc) y la otra es proporcional a la producción.
Se puede afirmar que en nuestro caso existen unos costes semanales fijos de 30000 euros,
y unos costes por fabricación de cada cinta de 4 euros. Si derivamos la función de costes,
obtenemos: C ' (x)  0,4 , de donde concluimos que la función, como era de prever, no posee
extremos relativos: es siempre creciente, de modo que el coste mínimo absoluto
corresponde a la ausencia de producción.
La función de ingresos, en general, se obtiene multiplicando el número de artículos
producidos (y vendidos), por el precio a que se vende cada uno de ellos: I  x  p . Teniendo
esto en cuenta, en nuestro caso obtenemos:
x 

I(x)  x  p(x)  x   20 

2000 

x
, función que tampoco posee extremos relativos, porque su derivada
2000
es siempre negativa: se trata de una función decreciente: a mayor precio, menor venta,
como parece lógico. Si derivamos la función de ingresos, obtenemos:
donde p(x)  20 
I ' (x)  20 
x
1000
que, igualada a cero, da un valor x = 20000.
1
, es siempre negativa, ese valor corresponde al
1000
máximo relativo de la función, que en este caso también es el máximo absoluto. Así, el
efecto combinado de ventas y precio hace que el ingreso máximo se obtenga para una
producción y venta semanales de 20000 cintas.
Como la derivada segunda, I ' ' (x)  
232
Optimización y Programación lineal
La función de beneficios es, lógicamente, la diferencia entre las funciones de ingresos y
costes. Así pues:
B(x)  I(x)  C(x)  20x 
x2
 3000  0,4x
2000
Derivando resulta B ' (x)  I ' (x)  C ' (x) , que igualada a cero nos indica que el extremo de la
función ocurre cuando I ' (x)  C ' (x) . Como ya tenemos estos valores los sustituimos:
x
 0,4 . De donde x = 1960, corresponde a los máximos beneficios, que no
1000
coinciden con los máximos ingresos, debido a que los costes hacen que el óptimo de
ingresos no corresponda al óptimo de beneficios.
20 
 ALQUILER DE AUTOMÓVILES
Una empresa de alquiler de automóviles alquila 100 automóviles diarios a 30 euros por día. Por cada
3 euros de aumento en el precio del alquiler, se alquilan 5 automóviles menos. ¿Cuál debe ser el
precio del alquiler para que el ingreso sea máximo?. ¿Cuál es este ingreso máximo?.
 VUELOS CHARTER
Una compañía de vuelos charter admite abonados, a los que cobra 200 euros anuales, pero por cada
abonado que exceda de 60, reduce 2 euros en la cuota de todos los abonados. ¿Qué número de
abonados hace máximos los ingresos de la compañía?.

COSTE MEDIO
La función del coste total de producción de x unidades de un determinado producto es
C(x)
1
C(x)  x 2  3x  200 . Se define la función del coste medio por unidad con C (x) 
. ¿A qué nivel
2
x
de producción será mínimo el coste medio por unidad?.
233
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 FUNCIÓN DE COSTES
Si la función de costes de cierto producto es C(x)  4x 3  6x 2  24x  100 , donde x es el volumen de la
producción:
a) Halla el valor de x que minimiza el coste marginal.
b) Halla el valor de x que minimiza el coste medio.
 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
Determina la elasticidad de la demanda de la función D(p)  600  25p1 2 . ¿Cuáles son las demandas
máxima y mínima, y para qué precio se alcanzan?. Busca el punto de elasticidad unitaria.
 COSTE DE PRODUCCIÓN
El coste de producción de x unidades de cierto artículo es C(x)  8000  6x  0,002x 2 . Determina el
valor de x que hace mínimo este coste. Determina el correspondiente valor que hace mínimo el coste
medio por artículo.
 UTILIDAD MÁXIMA
Una empresa fabrica cierto artículo, que vende a 5 euros unidad. La función de costes, en relación
con el número de artículos producidos es C(x)  10 4  120x  0,19x 2 . Halla la utilidad máxima.
Supongamos que el precio pasa a ser p(x)  500  0,09x . ¿Cuál es ahora la utilidad máxima?.
 NIVEL DE PRODUCCIÓN
Determina el nivel de producción para el cual se minimizan costes, si: C(x)  8x 2  9x  85 decenas de
euros. ¿Coincide el valor obtenido con el que minimiza el coste medio por artículo?.
 EDITORIAL
Una editorial distribuye los ejemplares de cierto libro, vendiéndoselos a una librería a 3 euros el
ejemplar. La librería los oferta al público a 15 euros el ejemplar, y vende de ese modo 300 ejemplares
por mes. Con objeto de acelerar la venta, planea rebajar el precio, estimando que cada euro de
disminución supondrá un incremento de 30 ejemplares más por mes. ¿Cuál es el precio que
maximiza el beneficio de la librería?.
234
Optimización y Programación lineal
OPTIMIZACIÓN CON DERIVE
Podemos utilizar el programa DERIVE para resolver problemas de optimización. Veamos un
ejemplo.
Un cine tiene 400 espectadores si el precio de la entrada es de 3 euros. La asistencia
disminuye en 40 espectadores cada vez que el precio aumenta 1 euro. ¿Cuál es el
precio que dará el mayor beneficio?.
Sea x el incremento del precio en euros. Si el precio se aumenta en x euros, la asistencia
disminuye en 40x espectadores. Por tanto, el número de espectadores será 400 40x.
Entonces, el beneficio del cine se obtiene multiplicando el precio de cada entrada por el
número de espectadores. Por tanto, el beneficio es:
B(x)  400  40 x  3  x . Esta es la función a maximizar.
Inicia el programa DERIVE seleccionando Inicio / Programas / DERIVE para Windows /
DERIVE para Windows. Abre la ventana gráfica 2D, haciendo clic en el botón Gráficos 2D.
Una vez abierta la ventana gráfica, elige en el menú Ventana la opción Mosaico vertical,
para tener a la vista las dos ventanas, Algebra y gráfica 2D. Para pasar de una a otra
bastará hacer clic con el ratón en la ventana en la que desees trabajar.
En la ventana Algebra, haz clic en el botón Editar expresión e introduce en la caja de texto
la fórmula de la función 400  40 x   3  x  . Haz clic en el botón Sí. Selecciona la fórmula de
la función y haz clic en la ventana gráfica. A continuación haz clic en el botón Representar.
Para visualizar mejor la gráfica de la función, haz clic en los botones de “zoom” de la barra
de herramientas de la ventana gráfica, o pulsa las teclas de función:
[F10]
zoom reduciendo
[F8]
reducción vertical
[F6]
reducción horizontal
[F9]
zoom ampliando
[F7]
ampliación vertical
[F5]
ampliación horizontal
También puedes usar las opciones del menú Seleccionar para visualizar mejor la ventana
gráfica:
Seleccionar / Centro
Para fijar el centro de la ventana gráfica
Seleccionar / Cursor
Para indicar la posición del cursor
Seleccionar / Escala
Para hacer “zoom” de los ejes convenientemente
Seleccionar / Rango
Para elegir las unidades de los ejes.
Selecciona Opciones / Modo de trazado. Observa como aparece el cursor sobre la gráfica.
Utiliza las teclas [] y [] para desplazar el cursor sobre la gráfica hasta llegar al máximo
de la función. Observa que al desplazar el cursor, sus coordenadas aparecen en la barra de
estado.
235
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Haz clic en el botón Seleccionar rango con caja de la barra de herramientas gráfica. Sitúa
el puntero del ratón cerca del máximo y dibuja un rectángulo alrededor de él. Haz clic en el
botón Sí del cuadro de diálogo correspondiente. De esta forma se amplia la zona
seleccionada del gráfico. Sigue desplazando el cursor por la gráfica con las teclas [] y []
hasta localizar las coordenadas del máximo.
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA
En la ventana algebraica selecciona la fórmula de la función. Haz clic en el botón 
(Calcular derivadas) de la barra de herramientas. Haz clic en Simplificar. En el menú
Resolver, selecciona Algebraicamente. Haz clic en Simplificar. De esta forma hemos
7
obtenido el único valor crítico de la función, x   3,5 . Veamos si es este punto crítico es
2
máximo o mínimo.
Selecciona de nuevo la fórmula de la función y haz clic en el botón  (Calcular derivadas)
de la barra de herramientas. En la caja Orden introduce 2 (para hallar la segunda derivada)
y haz clic en Simplificar. Observa que el resultado es 80. Por tanto, como la segunda
derivada es negativa, hay un máximo relativo para x=3,5.
Para averiguar el beneficio máximo, selecciona de nuevo la fórmula de la función y haz clic
en el botón SUB (Sustituir variable) de la barra de herramientas. En la caja Sustitución
introduce 7 / 2 y haz clic en Simplificar. El resultado indica que el beneficio máximo es
1690 euros y se obtiene cuando las entradas se venden a 3,5 euros.
ACTIVIDADES
Resuelve las siguientes actividades con DERIVE:
1)
Cortamos una cuerda en dos trozos; con uno de ellos formamos un círculo, y con el
otro un cuadrado. ¿Por dónde tenemos que cortar la cuerda para que la suma de las
áreas sea mínima?.
2)
Una caja sin tapa se ha formado a partir de una lámina cuadrada de metal blanco,
cortando en cada esquina un pequeño cuadrado y plegando los lados. ¿Cómo hacerlo
para que el volumen de esta caja sea máximo?.
3)
¿Cómo fabricar una caja de conserva cilíndrica de 1 litro de volumen utilizando la
mínima cantidad de metal posible?.
 AZUFRE
En cierta zona, la cantidad de azufre presente en la atmósfera, en partes por millón, evoluciona de
acuerdo con la función N(t)  0,03t 2  0,2t  2,1 donde t se expresa en años. Determina:
a) El ritmo de cambio del azufre presente en la atmósfera dentro de dos años.
b) Cuándo se alcanzará la mínima presencia de azufre en la atmósfera y cuál será ésta.
c) En qué tiempo, en el futuro, se alcanzará el mismo valor que en la actualidad.
236
Optimización y Programación lineal
 AGRUPACIÓN PACIFISTA
En 1990 se fundó una agrupación pacifista. El número de sus miembros varía con los años, de


acuerdo con la fórmula N(x)  50  2x 3  15x 2  36x  2 .
a) ¿Cuántos fueron los socios fundadores?.
b) ¿En qué año se alcanzará el máximo número de socios?.
c) ¿Cuándo el mínimo?.
d) ¿Cuántos miembros habrá en cada uno de los dos últimos casos?.
 CARRETERA
En un punto determinado de una de las carreteras de salida de Valencia se sitúa un medidor de
velocidad. Los datos que suministra determinan que la velocidad de salida de la ciudad, de 9 de la
mañana a 9 de la noche, en valor medio, obedecen a la fórmula v(t)  t 3  13,5t 2  54t  40 , en km/h.
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función e indica a qué hora se circula con más rapidez y
a qué hora con más lentitud.
 MEDICAMENTO
Una hora después de suministrar a un paciente x miligramos de un medicamento, el cambio en la
 x
temperatura del paciente viene dado por la función y  x 2  1   . La rapidez con que cambia la
 6
temperatura respecto de la magnitud de la dosis es la sensibilidad del cuerpo a la dosis. Halla la dosis
que produce la máxima sensibilidad.
 SUPERMERCADO
Las cajeras de un supermercado pueden memorizar los precios de los artículos en función del tiempo
que estén aprendiéndolos. El tanto por ciento de artículos cuyo precio se ha memorizado después de
x horas de aprendizaje viene dado por la función: y  96x  24x 2 . ¿Qué tiempo se necesita para
memorizar el máximo de precios?. ¿Cuál es ese máximo?.
237
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 RECTÁNGULOS
a) Halla las dimensiones del rectángulo de perímetro 20 cm y área máxima.
2
b) Halla las dimensiones del rectángulo de área 36 cm y perímetro mínimo.

MARCO DE VENTANA
Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 metros cuadrados. El metro lineal de
tramos horizontal cuesta 2,5 , mientras que el metro lineal de tramos vertical cuesta 5 . Determina:
a) Las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo.
b) ¿Cuánto cuesta el marco?.

DESCOMPOSICIÓN
Descompón el número 14 en suma de tres números reales positivos tales que uno de ellos sea el
doble del otro, y la suma de los cuadrados de los tres sea la menor posible.

PARCELAS
2
De todas las parcelas de forma rectangular de 1600 m de superficie, ¿cuál sería la más barata de
cercar con una valla?.

ALARMAS
Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema
señala que, dada la estructura de la empresa, solo puede optar por dos tipos de alarmas: de tipo A o
de tipo B.
Además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como el producto entre el número
de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B.
¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?.
Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
238
Optimización y Programación lineal
3.- ECUACIONES DE RECTAS. INCIDENCIA Y PARALELISMO
 ECUACIÓNES DE LA RECTA
Podemos representar gráficamente la recta de ecuación y=2x+4 construyendo previamente
una tabla de valores.
Una vez dibujada la gráfica, podemos considerarla como el perfil de una carretera en la que
por cada metro que avanzamos en dirección horizontal, subimos 2 metros en dirección
vertical. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es M = 2.
Por otra parte, la distancia del origen de coordenadas O al punto de corte de la recta con el
eje OY es igual a 4 y se llama ordenada en el origen de la recta.
La ecuación explícita de la recta es de la forma y = M x + N, siendo M la pendiente de la
recta y N la ordenada en el origen.
Un vector de dirección de la recta es v = (1, 2), porque si avanzamos una unidad en el eje
OX, se produce un avance de 2 unidades en el eje OY. Pero éste no es el único vector
director, ya que los vectores (2, 4), (3,6), (5, 10), ( 2, 4) también tienen la misma dirección
que la recta. Una recta tiene infinitos vectores de dirección.
A partir de la ecuación explícita y = 2x + 4, podemos obtener la ecuación 2x y+4=0, llamada
ecuación implícita o general de la recta.
La ecuación general o implícita de una recta es de la forma Ax + By + C = 0. A partir de la
ecuación general podemos obtener la ecuación explícita sin más que despejar:
Ax  By  C  0  By  Ax  C  y  
de manera que la pendiente es: M  
A
C
x ,
B
B
A
C
y la ordenada en el origen es: N  
B
B
239
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
También puedes comprobar que la ecuación
x y4
representa la misma recta. Esta

1
2
ecuación se llama continua.
La ecuación continua de la recta es de la forma
x  a y b
, siendo P=(a, b) un punto de

m
n
la recta y v=(m, n) un vector director.
Comprueba también que la ecuación y6=2(x1) representa la misma recta. Esta ecuación
se llama forma puntopendiente.
La ecuación puntopendiente de la recta de pendiente M que pasa por el punto P=(a, b)
es de la forma yb=M(xa).
a) Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 3). Obtén la
pendiente y la ordenada en el origen.
b) Halla un vector de dirección de la recta y la ecuación general.
c) Halla las ecuaciones explícita e implícita de las siguientes rectas. Determina en cada una de ellas
la pendiente, la ordenada en el origen y un vector de dirección.

DIBUJANDO RECTAS
Dibuja las siguientes rectas, indicando en cada caso la pendiente, la ordenada en el origen y un
vector de dirección:
a) y=2x4
b) y=3x+6
c) 4x2y=6
e) 2x3y=6
f) x=2y6
g)

x 1 y 1

2
3
d) 2x+3y=6
h) y2=2(x3)
ECUACIONES
Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto P(2, 3) y tiene como vector director v=(5, 4).
b) Pasa por el punto A(1, 2) y tiene pendiente 1.
c) Pasa por los puntos D(3, 4) y E(1, 5).

TRIÁNGULO 1
Halla las ecuaciones de los tres lados del triángulo de vértices A(5, 4), B(4, 1) y C(1, 2).
240
Optimización y Programación lineal

TRIÁNGULO 2
Un triángulo tiene dos vértices, A y B, en los puntos A=(0, 0) y B=(2, 0). Su área vale 3. Sabiendo que
el tercer vértice, C, tiene ordenada positiva y está situado sobre la recta 2xy5=0, calcula las
coordenadas del punto C. Halla también las ecuaciones de los tres lados del triángulo.

¿DÓNDE SE CORTAN?
Si observas detenidamente el dibujo, puedes observar con bastante
claridad el punto P donde se cortan r y s, pero ¿cómo confirmarlo?. Sólo
podemos asegurar que la recta r pasa por A y B y que s pasa por los
puntos O y C.

RECTAS INCIDENTES
a) Las rectas y=2x5, y=3x no son paralelas. ¿En qué punto se cortan?.
b) Halla el punto de corte de la recta y=3x4 con la recta que pasa por A=(2, 3) y B=(1, 4).
c) Halla el punto de corte de las rectas y=2x4,

x 1 y 1

.
2
3
RECTAS PARALELAS
Dibuja, en un sistema de referencia cartesiano, las rectas de ecuaciones:
a) y=3x2
b) y=3x
c) y=3x+4
d) 6x2y+4=0
¿Qué tienen en común y qué las diferencia?. Halla la pendiente y un vector de dirección de cada una
de las rectas.
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas paralelas tienen vectores
de dirección proporcionales.

PARALELAS
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y es paralela a la recta que pasa por
los puntos B(1, 4) y C(3, 2).
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3, 5) y es paralela a la recta que pasa por
los puntos N(2, 0) y P(1, 1).

TRIÁNGULO 3
Los tres vértices de un triángulo son: A=(0, 1), B=(1,2) y C=(3, 0).
a) Calcula de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C.
b) Calcula el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación x+3y=2.
241
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4.- RELACIONES Y DESIGUALDADES

DOS RECTAS
Escribe la ecuación de las dos rectas que pasan por el punto (3, 2) y forman un ángulo de 45º con el
eje de las X, tal como se indica en el dibujo siguiente. ¿Cómo puedes expresar los infinitos puntos
contenidos en el triángulo de la figura?.

RELACIONES
a) ¿Qué relación existe entre el número de veces que te puede tocar la lotería nacional en un año y
el número de semanas del mismo ?.
b) No es fácil contar el número de pelos que hay en la cabeza de una persona, pero puedes dar una
relación que debe cumplir dicho número. Intenta escribirla.
c) No con todas las ternas de segmentos pueden construirse triángulos. Si dos lados de un triángulo
miden 6 y 10 decímetros respectivamente, ¿qué relaciones debe verificar el otro lado ?.

DESIGUALDADES
a) ¿Qué relación deben cumplir los puntos de la semirrecta más gruesa incluido el punto 2 ?.
b) Los puntos de la región rayada verifican una relación ; los de la blanca, otra ; y los de la recta
frontera, otra. ¿Qué relaciones ?:
242
Optimización y Programación lineal
a) Los puntos de la semirrecta gruesa son “menores o iguales que 2”, lo que se expresa
así : x  2.
b) En el primer caso, los puntos de la región rayada cumplen x < 0, los puntos de la zona
blanca cumplen x > 0 y los puntos de la recta frontera cumplen x=0. En el segundo caso,
los puntos de la región rayada cumplen y >0, los puntos de la zona blanca cumplen y <0
y los puntos de la recta frontera cumplen y = 0.
En las cuestiones anteriores has utilizado la relación “ser menor que”. Se escribe así :
a < b y expresa que b-a es un número real positivo.
Se suelen utilizar otros símbolos de desigualdad :
a  b, significa a < b ó a = b ; se lee “a menor o igual que b”.
b > a, significa a < b ; se lee “b mayor que a”.
b  a, significa b > a ó b = a ; se lee “b mayor o igual que a”.

¿CIERTO O FALSO?
¿Cuáles de las siguientes desigualdades son ciertas y cuáles son falsas ? :
1) 5  1
2) 5  1
3) 1 < 5
4) 2 <  3
5) 2/5 < 3/5
6) 3/5 < 5/6
7) 1/5 > 3/4
8) 2  3
9) 3 5  3
1) Cierto 2) Cierto
3) Falso
6) Cierto 7) Cierto
8) Cierto
4) Falso
5) Cierto
9) Cierto
243
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5.- INECUACIONES LINEALES
 INECUACIONES
Cuando en cualquier miembro de una desigualdad aparece una (o varias) variables, se dice
que es una inecuación y que la variable es la incógnita.
Así, x > 1,5 es una inecuación en la que la variable x puede tomar valores mayores que 1,5.
(Es decir, los puntos de la semirecta gruesa excluyendo 1,5). Todos estos puntos son
soluciones de la inecuación, de forma que la inecuación tiene infinitas soluciones.
a) Describe mediante inecuaciones las siguientes regiones de la recta numérica :
b) Dadas las siguientes inecuaciones, señala la región de la recta numérica que les corresponde :
1) x < 2
2) x > 1 ó x < 1
3) x  1 y x 1
a) La primera región corresponde a la inecuación
la inecuación 1  x < 5.
x  1. La segunda región corresponde a
b) 1) x < 2
2) x > 1 ó x < 1
3) x  1 y x  1

MANIPULANDO DESIGUALDADES
En cada una de las desigualdades:
3<5;
3<5 ;
a) suma el mismo número positivo a cada miembro ;
b) suma el mismo número negativo a cada miembro ;
c) multiplica por el mismo número positivo cada miembro ;
d) multiplica por el mismo negativo cada miembro.
Comenta los resultados obtenidos.
244
3<2 :
Optimización y Programación lineal
Habrás comprobado las siguientes propiedades :
1) Si a < b, entonces a + c < b + c, para todo número real c.
a  c < b  c, si c > 0
2) Si a < b, entonces 
a  c > b  c, si c < 0

Con estas propiedades podemos despejar la incógnita de una inecuación siguiendo el
mismo procedimiento que para resolver una ecuación.
Resuelve cada una de las inecuaciones que siguen y representa el conjunto de soluciones, en cada
caso, sobre la recta :
1) 2  x < 3
2) 4 x  2  6
3) 1 / x < 1 / 2
4)
x  3 2x + 1 2


2
5
3
5)
1
2

x2 3
1) 2  x < 3  sumando (2) en ambos miembros : 2  x  2 < 3  2  x < 1
multiplicando por (1) cambia el sentido de la desigualdad : x > 1
Soluciones : x > 1
2) 4 x  2  6  sumando 2 en ambos miembros: 4 x  2 + 2  6 + 2  4 x  8
Dividiendo por 4 ambos miembros : x  2
Soluciones : x  2
3)
1 1

x 2
 multiplicando por 2 ambos miembros:
2
1
x
Si la fracción es menor que la unidad, significa que el numerador es menor que el
denominador, es decir : 2 < x
Soluciones : x > 2
4)
x  3 2x + 1 2


 multiplicamos ambos miembros por el m.c.m de
2
5
3
denominadores, es decir por m. c. m (2, 5, 3)=30  15 (x  3)  6 (2x + 1) < 20
 quitando paréntesis: 15 x  45  12 x  6 < 20  3 x  51 < 20
 sumando 51 en ambos miembros: 3 x < 71  x < 71 / 3  x < 23,66666
los
Soluciones : x < 23,66666
5)
1
2

x2 3
 multiplicando por 3/2 ambos miembros:
3
1
2(x  2)
Si la fracción es mayor o igual que 1, significa que el numerador es mayor o igual que el
denominador, es decir : 3  2(x2)  quitando paréntesis: 3  2x  4  N sumando 4
en ambos miembros: 7  2 x  x  7 / 2
Soluciones : x  7 / 2
245
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

SOFTWARE INFORMÁTICO
Cierta empresa de software informático cobra por sus servicios 100 euros, más 7,50 euros. por hora
de programación. Otra de la competencia establece sus honorarios en 1000 euros, cualquiera que
sean las horas de programación. ¿En qué condiciones interesará una u otra?.
Sea x el número de horas dedicadas a la programación. La primera empresa cobra 100 +
7,50 x, y la segunda, 1000. Por lo tanto, resulta más barata la primera empresa cuando se
cumpla la inecuación 100  7,50x  1000 . Es decir: 7,50x  900 . Por lo tanto, x<120. Nos
interesa trabajar con la primera empresa, siempre que x<120 horas.

ZUMOS
Queremos mezclar zumo de 3 euros / litro con zumo de 4 euros / litro, para obtener zumo de precio
inferior a 3'60 euros / litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de zumo podemos mezclar por cada 100
litros ?.
Sea x el número de litros de zumo de tipo A (de 3 euros / litro). El número de litros de zumo
de tipo B (de 4 euros / litro) será 100  x.
El precio de los x litros de zumo de tipo A es 3 x
El precio de los 100  x litros de zumo de tipo B es 4 (100  x)
Por lo tanto, el precio de la mezcla es 3 x + 4 (100  x). Este precio debe ser inferior a 3'60
cents / litro. Como son 100 litros de mezcla, el precio será inferior a 3'60 100=360. Por lo
tanto, hay que resolver la inecuación :
3 x + 4 (100  x) < 360
Quitando paréntesis:
3x+400  4 x < 360   x + 400 < 360
Restando 400 en ambos miembros:  x < 40
Multiplicando por 1 cambia el sentido de la desigualdad: x > 40
El número de litros de zumo de tipo A es superior a 40 e inferior o igual a 100, es decir:
40 < x  100
Por lo tanto, el número de litros de zumo de tipo B debe ser inferior a 60, es decir :
0  x < 60
246
Optimización y Programación lineal

CAMISAS
Una empresa textil ha fabricado 1500 camisas con un coste de producción de 3 euros. por unidad. Si
vendiendo todas las camisas obtiene un beneficio de más de 6000 euros, ¿a qué precio vende cada
unidad?.
Sea x el precio unitario de venta. El coste de producción es C=1500 3=4500 euros. Los
ingresos obtenidos en la venta de todas las camisas son I=1500 x. Por lo tanto, los
beneficios correspondientes serán: B=IC=1500x 4500. Como queremos que los
beneficios superen las 6000 euros, debe cumplirse: 1500 x  4500 > 6000. De donde:
10500
1500x > 10500. Por lo tanto, x 
 7 . Por consiguiente, el precio unitario de venta
1500
debe ser superior a 7 euros.
6.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES

REGIONES
En la región adjunta, la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (0, 1) divide al plano en dos
semiplanos : el rayado y el blanco.
¿Qué relación debe cumplir un punto (x, y) del plano para
pertenecer a uno de dichos semiplanos ?.
Los puntos (x, y) que pertenecen a la recta frontera de los
semiplanos cumplirán la igualdad:
y=x+1
Cualquier punto (x, y) del semiplano rayado tiene una
ordenada mayor que la del punto de la recta con igual
abcisa, luego :
y>x+1
Cualquier punto (x, y) del semiplano blanco tiene una ordenada
menor que la del punto de la recta con igual abcisa, luego:
y<x+1
En la figura adjunta se indican los resultados anteriores.
247
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
En cada uno de los casos que siguen, indica la relación que deben verificar los puntos de cada uno
de los semiplanos y los de la recta frontera:
a) La ecuación de la recta es de la forma y = m x + n.
Como pasa por el punto (0, 2)  si x = 0, y = 2  2 = m0 + n

Como pasa por el punto (1, 0)  si x = 1, y = 0  0 = m1 + n
 m = 2
La recta buscada es
n=2
y = 2 x + 2
Las ecuaciones de las regiones señaladas son :
zona rayada
 y > 2 x + 2
recta frontera  y = 2 x + 2
zona blanca
 y < 2 x + 2
b) La ecuación de la recta es de la forma y = m x + n.
Como pasa por el punto (-3, 0)  si x = 3, y = 0  0 = 3 m + n m = 2 / 3
Como pasa por el punto (0, 2)  si x = 0, y = 2  2 = m0 + n
2
La recta buscada es y = x + 2 .
3
 n=2
Las ecuaciones de las regiones señaladas son :
zona rayada y <

2
2
2
x + 2 ; recta frontera y = x + 2 zona blanca y > x + 2
3
3
3
DIBUJA REGIONES
Cada una de las inecuaciones que siguen representa una región del plano cartesiano. Dibuja dichas
regiones:
1) x + y < 3
248
2) 2 x  3 y  4
3) 2 x > y  6
4) x  3 y  6
5) x + 5 y = 6
Optimización y Programación lineal

SISTEMAS DE INECUACIONES
Si se cumplen simultáneamente las inecuaciones x > 40 y x  100, se suelen escribir una
debajo de otra:
x  40  o bien así:
x  100 

40 < x  100
Esta pareja simultánea de inecuaciones es un sistema de dos inecuaciones con una
incógnita. Pueden plantearse asimismo sistemas de varias inecuaciones con varias
incógnitas, como en el caso de las ecuaciones.
Por ejemplo, dado el sistema de inecuaciones:
2 x  3 y  6 
x0


y 0
cada inecuación representa un semiplano, con la frontera incluida. La solución del sistema
será la intersección de los tres semiplanos, como se indica en la figura siguiente (región de
forma triangular):
a) Escribe el sistema de inecuaciones que verifican los puntos de la región rayada, en cada uno de
los casos que siguen:
249
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1) 2  x  4
3) x  2 
y  3
2) 1  y  3
4) 1  x  4 
2  y  5

5)
Ecuación de la recta r: y = m x + n
Como pasa por (0, 2)  Si x = 0, y = 2  2 = m0 + n
 n=2
Como pasa por (7, 0)  Si x = 7, y = 0  0 = m7 + n
 m= 2 / 7
Luego la ecuación de la recta es
r:
y =
2
x+2
7
Ecuación de la recta s: y = m x + n
Como pasa por (2, 0)  Si x = 2, y = 0  0 = m2 + n
 m = 3 / 2
Como pasa por (0, 3)  Si x = 0, y = 3  3 = m0 + n
n=3
Luego la ecuación de la recta es
s:
y =
3
x+3
2
La región está situada por debajo de las dos rectas r y s. Por lo tanto, las inecuaciones
que definen la región son :
2

x + 2
7 y  2x + 14 
7
 de donde 2y  3x + 6  o bien
3

y   x + 3
2

y
2x + 7y  14 
3x + 2y  6 

b) Representa gráficamente las soluciones de cada uno de los sistemas de
inecuaciones que siguen:
250
1) x  1
x<3 
2) y > 3
y < 1
3) x  3 
y  7 
4)  1 < x < 3 
 3 < y < 1

5) 2x  y < 1
x  3y < 6 

x + 3y < 6 
6) x  2y < 4 
x + y > 0 
Optimización y Programación lineal
Solución del apartado (6):
1

x  3 y  6    y   3 x  2 ( r )


1
x  2 y  4   y  x  2 (s)  . Construimos las tablas de valores:
2


x  y  0 

 y   x (t)

r
s
x
0
3
y
2
t
x
0
2
y
2
1
x
0
1
y
0

Por lo tanto, las infinitas soluciones del sistema son los puntos señalados en la siguiente
región (es el triángulo quitando los tres lados).

MEZCLANDO CAFÉ
Queremos comprar café de 5 euros / kg. y café de 4 euros / kg. para mezclarlo. Disponemos
únicamente de 30 euros. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café podemos comprar ?.
Sea x el número de kilos de café de tipo A (de 5 euros / kg.). Debe ser x 0
Sea y el número de kilos de café de tipo B (de 4 euros / kg.).
Debe ser y 0
El precio de los x kilos de café de tipo A es: 5 x
El precio de los y kilos de café de tipo B es:
El precio de la mezcla es:
4y
5x+4y
5 x + 4 y  30
Este precio debe ser inferior o igual a 30 euros:
Por tanto, hay que resolver el sistema de inecuaciones:
x0

5
30
y 0
 Debe ser 4y  5x+30  y   x +
4
4
5x + 4y  30 
Dibujamos la recta r : y = 
5
30
, construyendo una tabla de valores:
x+
4
4
x
y
2
5
6
0
251
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Todos los puntos de esta región (incluyendo los segmentos frontera) son solución del
problema.

DIETAS
Una fábrica oferta a sus trabajadores para el cobro de dietas las dos opciones siguientes:
a) 20 cents. por artículo vendido más una cantidad fija.
b) 10 cents. por artículo vendido más el doble de la cantidad fija.
¿Cuántos artículos y qué dietas deben fijarse para que la opción b) permita ganar menos de 20000
cents y la opción a) más de 20000 cents?.
Sea y la cantidad fija (igual para las dos opciones de cobro). Sea x el número de artículos
vendidos. Las dietas correspondientes a la opción a) son D = 20 x + y. Las dietas
correspondientes a la opción b) son D’ = 10 x + 2 y. Como queremos que D<20000 y que
D’>20000, deberán cumplirse simultáneamente las inecuaciones:
20 x  y  20000 
10x  2y  20000  . Este sistema de inecuaciones lineales es equivalente a

x 0

y 0

20 x  y  20000 
5x  y  10000  . Despejando y en cada una de las dos primeras inecuaciones:

x 0

y 0

y  20x  20000 
y  5 x  10000  (1). Dibujamos las rectas r y s, siendo r: y = 20 x + 20000 y

x 0

y 0

s: y = 5 x + 10000, construyendo previamente las tablas de valores:
r
x
0
1000
252
s
y
20000
0
x
0
2000
y
10000
0
Optimización y Programación lineal
La región del plano definida por el sistema de inecuaciones lineales (1) es el triángulo ABC
de la figura, excluyendo los tres lados. Hay, por tanto, infinitas soluciones. Una de ellas es el
punto de coordenadas (500, 8000), es decir, 500 artículos vendidos y 8000 cents fijos, lo
que
da
unas
dietas
de
20  500  8000  18000cents (opción a) y de
10  500  2  8000  21000cents (opción b).

EN LA RECTA
Resuelve cada una de las inecuaciones que siguen y representa el conjunto de soluciones, en cada
caso, sobre la recta:
a) 3x + 5 < 2x + 15
e) 2x +

1
1
x+
3
5
b) 3x + 2 < 7x  10
f)
2x  1 4x  2

3
1
c) 2x >
g)
x +9
3
d) x + 1  2x3
x +1 x + 2

4
8
EN EL PLANO
Cada una de las inecuaciones que siguen representa una región del plano cartesiano. Dibuja dichas
regiones :
a) y >
2
x 1
3
e) 2x  3y + 1 < 0

b) y < 2x + 1
c) 2x + y 3 > 0
f) 3x + 5y  15
d) 4x + 3y + 6 < 0
g) 4x + 2y  6
SISTEMAS DE INECUACIONES
Representa gráficamente las soluciones de cada uno de los sistemas de inecuaciones que siguen :
1) x + 2y < 4
y < x 1 

2) x + y + 1 > 0
x  y + 1 < 0

3) 3x + 2y < 0
2x  3y > 0

2x + 3y < 6

4) x > 0


y>0

3x + 4y < 12
5)  2x + y < 3 

y>0
x +1 < 4 

6) x > 1 
y > 1 
x + y + 1 > 0

7) y  x < 0 

y>0

x  y + 1 > 0

8) x + y > 0 

y>0

253
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

MÁS SISTEMAS DE INECUACIONES
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones :
x + 3y  1 

2x + 6y  2
1) x + 2y  1  0
2x + y  0 

2) x + y  2
x  y  3

3) 2x  3y  4
3x + 2y  2

4)
5) 2x  y  3 
2x  y  4

x0 

6) 2x  y 
x  y 3
3x + y  0 
7) 2x  y  0

x2
x + y + 1  0

8) x  y + 1  2
x0

y0


ALFARERÍA
Un artesano posee un taller de alfarería en el cual fabrica ceniceros de cerámica y jarrones. Tarda 2
horas en hacer cada jarrón y media hora para cada cenicero. Si trabaja como máximo 40 horas a la
semana, ¿cuántos jarrones y ceniceros puede hacer semanalmente ?.

CINTAS
Una persona invierte mensualmente 200 euros, como máximo, en comprar cintas de vídeo y cintas de
cassette. Cada cinta de vídeo le cuesta 12 euros, y cada cinta de cassette 3 euros. ¿Cuántas cintas
de cada tipo puede comprar al mes ?.

VIGILANCIA INTENSIVA
El departamento de policía de una ciudad dispone de 60 coches patrulla y 140 agentes para
ocuparlos. Existen dos tipos de servicio : el de vigilancia intensiva en zonas de alto riesgo, y el de
vigilancia rutinaria y ayuda al ciudadano. Los coches destinados al primer tipo de servicio son
ocupados por 3 agentes ; los del segundo por 2 agentes. ¿Puede montarse un servicio de 30 coches
de vigilancia intensiva y 30 coches de vigilancia normal ?. Expresa gráficamente las posibles
distribuciones de agentes y coches.
254
Optimización y Programación lineal

DE DOS RUEDAS
Una fábrica produce bicicletas y motocicletas. En la planta de montaje se tarda media hora en montar
una bicicleta y tres cuartos de hora en una motocicleta. En la planta de acabado se invierte un tiempo
de media hora en cada caso. En ambas plantas se trabaja 40 horas a la semana, pero se dispone de
un tiempo variable e impredecible para poner el sistema en funcionamiento y para dejar la
maquinaria en condiciones al acabar la jornada de trabajo. Por otra parte, por razones de mercado, el
número de bicicletas no debe ser superior al número de motocicletas.
Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones que se puede plantear a partir de los datos del
enunciado. ¿Se pueden producir semanalmente 20 bicicletas y 30 motocicletas ?. ¿Y 25 bicicletas y
30 motocicletas ?. ¿Y 10 bicicletas y 20 motocicletas ?.

BONOS
Un inversionista dispone de 20000 euros. Puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento
del 10 por 100, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por 100. Existen unos topes legales
que impiden invertir más de 8000 euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo
A, en los cuales la inversión mínima es de 5000 euros. Por otra parte, el inversionista desea colocar
en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos del tipo B. ¿Cuánto puede invertir en cada
tipo de bonos ?.

DIETA ALIMENTICIA
Una dieta alimenticia debe contener al menos 400 unidades de vitaminas, 500 unidades de minerales
y 1400 calorías. El alimento A contiene, por kg, 200 unidades de vitaminas, 100 unidades de
minerales y 400 calorías. El alimento B, también por kg y respectivamente, 100, 200 y 400. Cada kg
del alimento A cuesta 5 euros y cada kg de B 3 euros. ¿Qué composición puede tener la dieta ?.

COMISIONES
Una fábrica paga a sus representantes 10 cents por artículo vendido más una cantidad fija de 50000
cents. Otra fábrica de la competencia paga 15 cents por artículo y 30000 cents fijos. ¿Cuántos
artículos debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.
255
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

AFORISMO HINDÚ
En la sociedad hindú existe el siguiente aforismo: “Para que una relación sentimental sea
satisfactoria, la edad de ella no debe sobrepasar la mitad más siete años la edad de él”. Una pareja
desea saber cuál es el período de tiempo más favorable para formalizar definitivamente sus
relaciones sentimentales según este aforismo. El caballero hindú tiene ocho años más que la dama.
¿Les puedes ayudar?.

EQUIPOS INFORMÁTICOS
Una instaladora de equipos informáticos tiene el siguiente contrato: a) Un sueldo fijo de 1500 euros. al
mes. b) Una comisión de 30 euros por cada equipo que instala. c) Una dieta de 0,10 euros. por km
recorrido. Calcula cuántos equipos ha instalado durante un mes si en su nómina consta un sueldo
superior a 2500 euros. y ha recorrido 500 kilómetros.

CAFÉ Y MALTA
Un tostadero suministra a sus clientes cualquier mezcla de café y malta, siempre que: a) el peso del
pedido sea superior a 100 kg.; b) La mezcla contenga el doble de peso de café que de malta. Indica
la composición de cinco posibles pedidos.

VIAJE FIN DE CURSO
Para un viaje fin de curso un grupo de alumnos recauda entre 600 y 700 euros. vendiendo bocadillos
y refrescos. Calcula el dinero que han obtenido proveniente de la venta de refrescos si se sabe que:
a) venden el triple número de refrescos que de bocadillos; b) el precio de los bocadillos es el mismo
que el de los refrescos.
256
Optimización y Programación lineal

REGIÓN
Dibuja la región del plano formada por los puntos (x, y) que cumplen las siguientes desigualdades:
x0


y0
xy2 
2x  y  1
Explica detalladamente por qué el dibujo que has hecho corresponde a la región pedida.

RECINTO
x  20

Dibuja el recinto que cumple las siguientes restricciones:  y  10
x  y  100
x  3y  200


COMERCIANTES
Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada
botella. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 litros de aceite cada una y x botellas de 1 litro de
aceite cada botella.
El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más
de 30 litros de aceite y menos de 50 litros de aceite.
Averigua razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno.

DISCOS COMPACTOS
Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de
discos compactos (CD) comprendidos entre 16 y 22.
Marcos presta 4 CDs a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CDs a Luis, con lo cual
los tres amigos tienen ahora el mismo número de CDs.
¿Cuántos CDs pueden tener en total?.
257
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7.- CONCEPTOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
 PARALELAS
1) De todas las rectas de pendiente 3 que pasan por la región del plano definida por el sistema de
inecuaciones :
3x  4y  1 2

x4

3x + 2y  1 8 
¿Cuál tiene mayor ordenada en el origen ?. ¿Y menor ?. Escribe las ecuaciones de dichas rectas.
SOLUCIÓN :
3
3


y  x +3  y = x +3 r 
3x  4y  1 2
4
4



x4
 x4




3x + 2y  1 8 
3
3
y   x + 9 y =  x + 9 s 


2
2

Una recta de pendiente 3 es t : y = 3x. Construimos una tabla de valores para cada recta:
r
x
0
4
s
y
3
6
x
0
2
t
y
9
6
x
0
1
y
0
3
No hay ninguna recta de pendiente 3 que pase por la región y que tenga mayor ordenada en
el origen. La recta de menor ordenada en el origen es la que pasa por el punto P, cuyas
coordenadas se obtienen como intersección de las rectas r y s :
3


r : y = 4 x + 3 
P

3
s : y =  x + 9 
2


3
3
8
x + 3 =  x + 9  3x + 12 = 6x + 36  9x = 24  x =
4
2
3
3 8
8
8 
  3  5 . Luego P  , 5  . La recta buscada es y=3x+n. Como pasa por P, si x= ,
3
4 3
3 
8
entonces y=5. Luego : 5=3   n  n = 3  y = 3x  3
3
La recta de menor ordenada en el origen es y = 3x  3
y=
258
Optimización y Programación lineal
2) De todas las rectas paralelas a la de ecuación
3x + 2y = 0
yx


5x + y  0
¿cuál es la que tiene menor ordenada en el origen ?. ¿Y la que tiene mayor ordenada en el
origen ?.
que pasan por la región del plano definida por las inecuaciones
SOLUCIÓN :
yx
 yx
 . Por otra parte, 3x + 2y = 0  y=  3 x

5x + y  0 
2
 y  5x r 
Construimos tablas de valores para las rectas r y t:
r
x
0
1
t
t
y
0
5
x
0
2
y
0
5
No hay ninguna recta paralela a la dada que pase por la región y tenga mayor ordenada en
el origen. La recta de menor ordenada en el origen en la misma recta dada t 3x + 2y = 0.
3) Resuelve las mismas cuestiones que en el apartado (2) para la recta de ecuación
x0


y la región determinada por las inecuaciones
y3

x + 2y  4 
3x + 8y = 0
SOLUCIÓN:
x0

y 0

x + 2y  4 
2y x+4  y  
1
x+2
2
r
En este caso, no hay región. El problema no tiene solución.
259
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 RESTRICCIONES Y OBJETIVOS
Un problema de programación lineal consiste en maximizar (minimizar) una función lineal,
por ejemplo F(x, y) = 3x + 4y, sabiendo que las variables x, y, están sometidas a una
serie de restricciones que vienen dadas por inecuaciones, por ejemplo,
x0


y 0
5x + 2y  10 
x + 2y  6 
En general:
En un problema de programación lineal con dos variables x, y, se trata de optimizar (hacer
máxima o mínima) una función, llamada función objetivo de la forma
F=px+qy
sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales:
a1 x + b1 y  c1 
a 2 x + b2 y  c 2 
................... 
a n x + bn y  c n 
Los puntos que cumplen todas las restricciones (soluciones del sistema de inecuaciones)
están en un recinto poligonal finito o infinito, llamado región de validez.
Los puntos de la región de validez se llaman soluciones factibles.
La solución factible que haga óptima (máxima o mínima) la función objetivo, se llama
solución óptima.
Si hay una única solución optima, estará situada en un vértice del recinto. Si hay infinitas
soluciones óptimas, estarán en un lado del recinto. Puede ocurrir que no exista solución
óptima.
 Una vez representado el recinto de validez, la solución óptima se encuentra con ayuda de
una recta variable que representa la función objetivo y que se desplaza paralela a sí misma.
 Para localizar la solución óptima sin usar la representación gráfica, basta obtener los
vértices del recinto y calcular el valor de la función objetivo en cada uno de ellos.
a) Maximiza y minimiza la función objetivo F(x, y) = 5x + y, sometida a las restricciones
x0

y  x +1  0 

y4 0
y + 2x  5  0
260
Optimización y Programación lineal
SOLUCIÓN :
x0

y  x +1  0  y  x  1 
y4
y4 0
y + 2x  5  0 
 y  2x + 5 
rectas r y s:
y = x 1
y = 2x + 5

r  . Construimos las tablas de valores para las

s

r
x
0
1
s
y
1
0
x
0
2
y
5
1
La función objetivo es F=5x+y  y=5x+F  Para maximizar o minimizar F, hay que
maximizar o minimizar la ordenada en el origen de esta recta. Luego el problema puede
plantearse así : De todas las rectas paralelas a t : y = 5x y que pasan por la región de
validez, ¿cuál tiene mayor ordenada en el origen ? ¿y menor ?.
t
x
0
1
y
0
5
La de mayor ordenada en el origen es la que pasa por el punto P, cuyas coordenadas se
obtienen como intersección de las rectas r y s :
r : y = x 1 
P 
s : y = 2x + 5   x  1 = 2x + 5  3x = 6  x = 2  Luego P(2, 1).


Por tanto, el máximo de F es : Fmáx= F(2, 1)=52+1=11
La recta de menor ordenada en el origen es la que pasa por el punto (0, 1). Por lo tanto, el
valor mínimo de F es : Fmín = F(0, 1)=1
Otra forma de resolver el problema es la siguiente :
1 
Los vértices del recinto de validez son los puntos (0, 4), (0, 1), (2, 1) y  , 4  . El último
2 
punto se obtiene como intersección de la recta s con la recta y=4
261
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región de
validez :
F(0, 4)=50+4=4; F(0, 1)=50+(1)=1;
1
1 
F(2, 1)=52+1=11;
F  , 4   5   4  6 '5
2
2 
Se observa que :
el valor máximo es Fmáx=F(2, 1)=11 y el valor mínimo es Fmín=F(0, 1)=1.
b) Maximiza y minimiza la función objetivo F(x, y) = x + 4y sobre la región delimitada por las
restricciones :
x + 2y  1 
3x + 2y  2

x0

y0

SOLUCIÓN :
x + 2y  1  2y   x + 1 
3x + 2y  2 2y  3x + 2 


x0


y0


1
1
x+
2
2
3
y   x +1
2
y

r

s . Construimos las tablas de valores de las rectas



r y s, obteniendo:
r
x
1
2
y
0
1/2
s
x
0
2
y
1
2
t
x
0
4
y
0
1
1
F
x + . Maximizar o minimizar F es lo
4
4
mismo que maximizar o minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es
1
equivalente a este otro: De todas las rectas paralelas a la recta t : y=  x , que pasan por el
4
recinto de validez, ¿cuál tiene mayor ordenada en el origen ?. ¿y menor ?.
La función objetivo es F=x+4y  4y=x+F  y= 
En la figura se observa que:
No hay máximo para la función objetivo F.
El valor mínimo de F se obtiene en el punto P(1, 0) y dicho valor mínimo es F mín=1+40=1.
262
Optimización y Programación lineal
 POLÍGONO
Dibuja el polígono de vértices (10, 0), (11, 0) y (6, 6) y averigua en qué punto (x, y) de la región
limitada por ese polígono, alcanza el máximo la función f(x, y)=7x+4y.
SOLUCIÓN :
A(10, 0)  f(10, 0)=710 + 40 = 70
B(11, 0)  f(11, 0)=711 + 40 = 77
C(6, 6)  f(6, 6)=76 + 46 = 66
Solución : El valor máximo de f se obtiene en el punto B(11, 0).
USANDO EL ORDENADOR
Podemos utilizar el ordenador para resolver problemas de programación lineal. Para ello
usaremos el software Programación Lineal para Windows.
Ejemplo.- Calcula el máximo de la función z=2x+5y con las restricciones x>0; y>0; y
< 3; 3x2y6 < 0; 2x+3y > 6.
Haz clic en Inicio, Programas, Aplicaciones PIE, P.Lineal. En el campo Funció objectiva
teclea 2x+5y. Pulsa ENTER.
Abre el menú Dades y selecciona Nova inequació. Verás que aparece un 1 a la izquierda
de un campo libre a continuación de Restriccions. Introduce en ese campo la primera
inecuación x>0. Pulsa ENTER.
Abre el menú Dades y selecciona Nova inequació. En el campo 2 de Restriccions
introduce la segunda inecuación y>0. Pulsa ENTER.
De la misma forma, introduce todas y cada una de las inecuaciones restantes. A
continuación abre el menú Gràfic y selecciona Sistema d’inequacions. De esta forma se
mostrará el recinto de validez.
Abre el menú Gràfic y selecciona Marcar escala. Aparece una trama sobre el gráfico que
facilita la lectura de coordenadas.
Observa que el gráfico está situado en una ventana con barra de desplazamiento. Haz clic y
arrastra el cuadro de desplazamiento hacia arriba o hacia abajo y observa como se
muestran en pantalla los distintos valores de la función objetivo. ¿En qué punto del recinto
de validez tomará z el valor máximo?. ¿Cuál será el valor máximo de z ?.
263
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Para averiguarlo puedes ampliar la región que te interese del gráfico, seleccionando Gràfic,
Ampliar regió y dibujando con el ratón un rectángulo sobre la zona del gráfico a ampliar. Si
continuas desplazando el cuadro de deslizamiento podrás obtener aproximadamente el
valor máximo de z.
Para salir de dudas haz clic en Solucions. Aparece una ventana con pares de inecuaciones
que dan origen a posibles vértices del recinto de validez. Recuerda que si el recinto de
validez es un polígono convexo, la solución, si existe, se alcanza en uno de los vértices.
De esta forma puedes obtener los vértices de la región factible y los valores que toma la
función objetivo en dichos puntos. Aquel en que z tome el valor más alto será la solución del
problema.
En nuestro caso, al hacer clic sobre el par 3 i
4, obtenemos:
Intersecció de les rectes
xy=0
3x2y=6
(6, 6)
Verifica totes les inequacions
Valor de la funció 42.
Puedes comprobar que este es el valor
máximo de la función objetivo.
 MÁXIMO Y MÍNIMO
a) Calcula el valor máximo y mínimo de las funciones F(x, y)=4x+3y, G(x, y)=x+2y sometidas a las
restricciones : y  x ; x  4 ; y  0.
b) Calcula el valor mínimo y el máximo de las funciones F(x, y)=x+2y , G(x, y)=2x+y sometidas a las
restricciones y  4, x  3, x  y  2, x  y  0.
 MINIMIZA
Minimiza la función z = 3x + 2y con las siguientes restricciones:
7x + 2y  4 

4x + 5y  20
 MAXIMIZA
Maximiza la función z=4x+3y, con las restricciones siguientes:
x + y  6 
2x + y  10
 x  y  3 
Las variables x e y no pueden ser negativas.
 MAXIMIZA Y MINIMIZA
2x  3y  0
Maximiza y minimiza la función p=x+2y3 con las siguientes restricciones: 5y  9


3x  2
264
Optimización y Programación lineal
 MINIMIZA OTRA VEZ
Busca los pares (x, y) que minimizan la función t = 3x + 2y, si tiene las siguientes restricciones:
x + 2y  4 

4x + 5y  2
 FUNCIÓN OBJETIVO
Minimiza la función objetivo F=6x5y, sujeta a las restricciones:
x0

y0

xy2 
3x + y  8 
3x + 2y  6
 OPTIMIZA
Encuentra los óptimos (máximo y mínimo) de la función objetivo
restricciones :
F = 3x+3y
sujeta a las
x0



x+y5 
2x + y  2 

x + 2y  2 
y0

RECINTO
x  y  27
a) Dibuja el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: x  12
.
 y  6
b) Determina los vértices de este recinto.
c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función f(x, y)  90  x  60  y en el recinto anterior
y en qué puntos alcanza dichos valores?.

POLÍGONO
Sea P el polígono de vértices (0, 0), (6, 0), (8, 3), (4, 8) y (0, 6). Averigua en qué puntos del polígono
P alcanza la función: f(x, y) = 2 x + 3 y los valores máximo y mínimo.

TRIÁNGULO
Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razonadamente:
a) El punto del triángulo donde la función f(x, y)  4x  y  9 alcanza el máximo.
b) El punto del triángulo donde la función g(x, y)  4x  y  12 alcanza el máximo.
265
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

REGIÓN
x  0

 y  0
Dibuja la región determinada por las inecuaciones:
y

x  y  10

2y  3x
f(x, y)  4x  3y sometida a las restricciones dadas por estas inecuaciones.

maximiza
la
función
OTRA REGIÓN
 y  x  2

Considera las inecuaciones:  x  y  2

3x  y  3
a) Representa gráficamente el conjunto S definido por estas inecuaciones.
b) Determina si f(x, y) = 3x  2y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso
afirmativo, calcula dichos valores y los puntos donde se alcanzan.
c) Determina si f(x, y) = 6x+4y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso
afirmativo, calcula dichos valores y los puntos donde se alcanzan.
8.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN II
 CAMIONES
Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones, A y B, y desea transportar 100
toneladas de material recién comprado al lugar de la construcción. Naturalmente desea realizar el
transporte con el menor coste posible.
TIPO DE CAMIONES
CAMIONES DISPONIBLES
CAPACIDAD (Tm)
PRECIO DEL VIAJE (euros)
266
A
6
15
40
B
10
5
30
Optimización y Programación lineal
a) Con los datos de la tabla anterior, ¿cuántos camiones deben utilizar para obtener el mínimo
coste ?.
Sea x=número de camiones de tipo A ; y=número de camiones de tipo B. Debe cumplirse :
0x6
0  y  10
El número total de toneladas que transportarán será : 15x+5y, que no podrá ser inferior a
100 toneladas : 15x+5y100.
Es decir :
3x+y20.
Por lo tanto, el conjunto de restricciones es el formado por las inecuaciones :
0  x  6 
0  y  10 
3x + y  20
El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura:
y=3x+20
r
x
0
4
5
y
20
8
5
La función objetivo es el precio : P=40x+30y, que expresado en decenas de euros es :
= 4x + 3y
P
4
P
. Minimizar P es equivalente a minimizar la
x+
3
3
ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a determinar la recta de
menor ordenada en el origen de todas las que pasan por el recinto de validez y son
4
paralelas a la recta t : y=  x , de la que construimos una tabla de valores :
3
x y
0 0
3 4
De donde : 3y = 4x + P  y= 
Se observa en la figura que el mínimo coste se obtiene en el punto P(6, 2). Por lo
tanto, la solución del problema es:
6 camiones de tipo A
2 camiones de tipo B
El mínimo coste es P=46+32=30 decenas de euros=300 euros.
267
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) Resuelve el mismo problema suponiendo que los datos son los de la tabla siguiente :
TIPO DE CAMIONES
CAMIONES DISPONIBLES
CAPACIDAD (Tm)
PRECIO DEL VIAJE (euros)
A
8
12
50
B
5
16
90
Sea x=número de camiones de tipo A ; y=número de camiones de tipo B. Debe cumplirse :
0x8
0  y  5.
El número total de toneladas que transportarán será : 12x + 16y , que no podrá ser inferior
a 100 toneladas : 12x + 16y 100. Es decir :
3x + 4y 25
Por lo tanto, el conjunto de restricciones es el formado por las inecuaciones :
0x8 

0 y5 
3x + 4y  25

El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura:
y
3
25
x
4
4
r
x
5
8
y
5/2
1/4
La función objetivo es el precio : P=50x+90y, que expresado en decenas de euros es:
x+9y
P = 5
5
P
x + . Minimizar P es lo mismo que minimizar la ordenada
9
9
en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de menor ordenada
en el origen de entre todas las que pasan por el recinto de validez y son paralelas a la recta t :
5
y =  x , de la que construimos una tabla de valores :
9
De donde : 9 y =  5 x + P  y = 
268
Optimización y Programación lineal
x
0
9
y
0
5
Se observa en la figura que el coste mínimo se obtiene en el punto P(8, 1 / 4). Luego la
solución del problema es :
8 camiones del tipo A
1 camión del tipo B
El coste mínimo es P = 58+91=49 decenas de euros=490 euros
 ALIMENTACIÓN
La siguiente tabla indica la cantidad de proteínas y grasas que hay por cada 100 gramos de algunos
alimentos, así como su precio :
ALIMENTOS PROTEÍNAS (gr.) GRASAS (gr.) PRECIO (cents./100 gr.)
POLLO
30
8
200
PESCADO
20
2
400
QUESO
26
35
500
FRUTA
2
0
300
Queremos confeccionar un menú usando solamente pescado, queso y fruta, y sabemos que toda
dieta alimenticia debe contener, como mínimo, un 16% de proteínas y un 19% de grasas.
¿Qué porcentaje de cada uno de los tres alimentos deberá contener el menú para que el precio sea el
menor posible ?. ¿Y si sustituimos el pescado por pollo ?.
SOLUCIÓN :
Particularizamos la tabla dada para 1 gramo de menú :
ALIMENTOS
POLLO
PESCADO
QUESO
FRUTA
PROTEINAS
(gr.)
0,3
0,2
0,26
0,02
GRASAS
(gr.)
0,08
0,02
0,35
0
PRECIO
(cents/gr.)
2
4
5
3
a) Pescado + queso + fruta.
En un gramo de menú, hay :
x=gr. de pescado
 0x1
y=gr. de queso
0y1
1xy=gr. de fruta  0  1 x y  x + y  1
Proteínas (mínimo 16%)  0,2 x + 0,26 y + 0,02(1 x y)  0,16
 20x+26y+22x2y16  18x+24y14  9x+12y7
Grasas (mínimo 19%)  0,02x+0,35y+00,19  2x + 35y 19
Las restricciones del problema vienen dadas por el sistema de inecuaciones:
269
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
0 x 1
0 y 1



x+y 1

9x +12y  7 

2x + 35y  19 
El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura:
y=x+1
y
9
7
x
12
12
r
x
0
1
y
2
19
x
35
35
s
y
1
0
x
0
1
t
y
0,58
0,17
x
0
1
y
0,54
0,49
La función objetivo es el precio del menú: P=4x+5y+3(1xy) = 4x+5y+33x3y 
1
P-3
P=x+2y+3  2y=x+P3  y=  x +
. Minimizar el precio P es lo mismo que
2
2
minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la
recta de menor ordenada en el origen entre las que pasan por el recinto de validez y son
1
paralelas a la recta u: y =  x , de la que construimos una tabla de valores:
2
x
0
1
y
0
0,5
En la figura se observa que el precio se minimiza en el punto P, intersección de las rectas s
yt:
9
7 
x+ 
12
12  Resolviendo este sistema obtenemos x = 0,0584192  0,06
2
19
t : y=
x+ 
35
35 
s: y=
Además y = 0,5395189  0,54. Con lo que la cantidad de fruta es 0,40. Por tanto:
La solución es :
6% de pescado
54% de queso
40% de fruta.
270
Optimización y Programación lineal
b) Pollo + queso + fruta
En un gramo de menú, hay :
x=gr. de pescado
 0x1
y=gr. de queso
0y1
1xy=gr. de fruta  0  1 x  y  x + y  1
Proteínas (mínimo 16%)  0,3x+0,26y+0,02(1xy)0,16
30x+26y+22x2y16  28x+24y14  14x+12y7
Grasas (mínimo 19%)  0,08x+0,35y+00,19  8x + 35y 19
Las restricciones del problema vienen dadas por el sistema de inecuaciones :
0 x 1
0 y 1



x+y 1

14x +12y  7 

8x + 35y  19 
El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura :
y=x+1
y
14
7
x
12
12
r
x
0
1
y
8
19
x
35
35
s
y
1
0
x
0
1
y
0,58
0,58
t
x
0
1
y
0,54
0,31
La función objetivo es el precio del menú : P=2x+5y+3(1xy) = 2x+5y+33x3y 
1
P3
P=x+2y+3  2y=x+P3  y= x +
. Minimizar el precio P es lo mismo que
2
2
minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la
recta de menor ordenada en el origen entre las que pasan por el recinto de validez y son
1
paralelas a la recta u: y = x , de la que construimos una tabla de valores:
2
271
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
x
0
1
y
0
0,5
En la figura se observa que el precio se minimiza en el punto P, intersección de las rectas r
yt:
r : y = x +1

8
19 
Resolviendo este sistema obtenemos x = 0,5925925  0,59
t : y=
x+ 
35
35 

Además y = 0,4074075  0,41. Con lo que la cantidad de fruta es igual a 0. Por lo tanto:
La solución es:
59% de pollo
41% de queso
0% de fruta.
 MESAS Y SILLAS
Cierto fabricante produce sillas y mesas para lo que requiere la utilización de dos secciones de
producción : la sección de montaje y la sección de pintura.
La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y 2 horas en la de
pintura.
Por su parte, la fabricación de una mesa requiere 3 horas en la sección de montaje y 1 hora en la de
pintura.
La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura
sólo 8 horas diarias.
El beneficio que se obtiene produciendo mesas es doble que el que se obtiene produciendo sillas.
¿Cuál debe ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo ?.
SOLUCIÓN :
Con los datos del problema podemos construir la siguiente tabla :
MONTAJE
PINTURA
SILLAS
1
2
MESAS
3
1
Sea x=número de sillas ; y=número de mesas. Debe ser x  0, y  0.
La sección de montaje sólo esta disponible 9 horas diarias : x + 3y  9
La sección de pintura sólo está disponible 8 horas diarias : 2x + y  8
El conjunto de restricciones del problema es el dado por el siguiente sistema de
inecuaciones :
x0


y 0
x + 3y  9  3y   x + 9
2x + y  8  y  2x + 8


 y   1 x+3
3
y = 2x + 8 s

El recinto de validez es el de la figura siguiente:
272



1
y =  x + 3 r

3


Optimización y Programación lineal
r
x
0
3
s
y
3
2
x
0
4
y
8
0
Si 1 silla produce un beneficio de 1 euro, 1 mesa produce un beneficio de 2 euros. Por lo
tanto, el beneficio produciendo sillas es x y el beneficio produciendo mesas es 2y. Luego el
beneficio total es
B = x + 2y
(Función objetivo)
1
B
x + . Para maximizar el beneficio hay que maximizar la
2
2
ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de
mayor ordenada en el origen de todas las que pasan por el recinto de validez y son
1
paralelas a la recta t: y =  x , de la cual construimos una tabla de valores:
2
x y
0 0
2 -1
De donde : 2y = x + B  y = 
En la figura se observa que el beneficio máximo se obtiene en el punto P, intersección de r y
s, para lo que hay que resolver el siguiente sistema :
1

x + 3
3


s : y = 2x + 8 

r : y=
Resolviendo el sistema se obtiene x = 3, y = 2.
Solución : Se deben producir 3 sillas y 2 mesas para maximizar el beneficio.
 CHOCOLATE
Un fabricante de chocolate elabora dos tipos de cajas de bombones, de 250 gramos y de 300 gramos
respectivamente. Obtiene un beneficio de 5 euros por cada caja de las primeras, y de 6,5 euros por
cada caja de las últimas.
Si dispone de 100 kg. de chocolate para confeccionar las cajas, y el número de cajas pequeñas debe
ser, al menos, igual al de cajas grandes, ¿cuántas de cada tipo debe hacer si desea obtener un
beneficio máximo ?.
273
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
SOLUCIÓN :
Sea x=número de cajas pequeñas ; y=número de cajas grandes.
Debe ser x  0, y 0, x  y.
Como se dispone de 100 kg =100000 de chocolate, debe ser
250 x + 300 y  100000  2,5 x + 3 y  1000
El conjunto de restricciones del problema viene dado por el siguiente sistema de
inecuaciones:





y 0



 El recinto de
x y


2,5
1000
2,5
1000 
2,5x + 3y  1000 
3y


2,5x
+
1000

y


x
+

y
=

x
+
r


3
3
3
3

validez es el indicado en la siguiente figura:
x0
r
x
0
100
y
333,3
250
Los vértices de esta región de validez son los puntos O, P y Q.
Las coordenadas de P se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de
las rectas r e y=x:


2,5
1000  Resolviendo el sistema, obtenemos x = y = 181,81  182.
y=
x+
3
3 
y= x
Luego P(182, 182). Las coordenadas de Q se obtienen como intersección de las rectas r e
y=0.


2,5
1000  Resolviendo el sistema, obtenemos x = 400, y = 0
y=
x+
3
3 
y=0
Luego Q(400, 0).
274
Optimización y Programación lineal
El beneficio es B = 5 x + 6,5 y . Calculemos el beneficio en cada uno de los vértices de la
región de validez:
En O(0, 0)  B(0, 0) = 5 0 + 6,5 0 = 0
En Q(400, 0)  B(400, 0) = 5 400 + 6,5 0 = 2000 euros.
En P(182, 182)  B(182, 182) = 5 182 + 6,5 182 = 2093 euros.
Solución : El beneficio máximo se obtiene para el punto P, es decir, hay que fabricar 182
cajas pequeñas y 182 cajas grandes.
 MATERIAL ESCOLAR
Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren
ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas
distintas ; en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos ; en el segundo pondrán
3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,5 y 7 euros,
respectivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene poner de cada tipo para obtener los máximos
beneficios ?.
 LOCOMOTORAS
Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas : 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomotoras deben
comenzar a prestar servicios en dos estaciones distintas : 11 de ellas en la estación N y 15 en la S.
Los costes de traslados son, por cada una, los que se indican en la tabla (en cientos de decenas de
euros) :
N
S
A
6
4
B
15
20
C
3
5
Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo.
 DULCES NAVIDEÑOS
En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero
se vende a 4,50 euros y contiene 150 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 80
gramos de roscos de vino. El segundo se vende a 5,60 euros y contiene 200 gramos de polvorones,
100 gramos de mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kg de
polvorones, 130 kg de mantecados y 104 kg de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le
puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar ?.
275
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 ELECTRODOMÉSTICOS
En una tienda de electrodomésticos se quiere lanzar una oferta de frigoríficos a 500 euros y lavadoras
a 450 euros.
Cada venta de un frigorífico supone 10 minutos del tiempo de un vendedor y 5 minutos del tiempo de
un instalador. La venta de una lavadora requiere 8 minutos del vendedor y 12 minutos del instalador.
Se dispone de 4 vendedoras y 3 instaladores, que trabajan 4 horas diarias útiles.
¿Cuántos frigoríficos y lavadoras interesa poner a la venta durante los 20 días hábiles de la
campaña ?.
 DEPORTES
En un curso hay 120 chicas y 156 chicos. El centro subvenciona con 180 euros cada equipo de
baloncesto, formado por 5 chicos y 8 animadoras, y con 200 euros cada equipo de voleibol, formado
por 6 chicas y 6 animadores. ¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para conseguir la
máxima subvención posible ?.
 INVERSIÓN
Un inversor dispone de 100000 euros. La rentabilidad de los bonos A es del 12% y desgravan,
además un 15% en la Declaración de Hacienda. Los bonos B tienen una rentabilidad del 15%, pero
no desgravan. Por cada euro invertido en bonos A es preciso invertir dos en bonos B. ¿Cuánto dinero
se debe colocar en cada tipo de bonos para que el rendimiento sea máximo ?.
 DIETA ADELGAZANTE
Doña Filomena quiere adelgazar, pero se encuentra demasiado débil. En una farmacia le ofrecen dos
compuestos A y B, para que tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes
recomendaciones :
No debe tomar más de 150 gramos de la mezcla ni menos de 50 gramos.
Debe tomar siempre más cantidad de A que de B.
No debe incluir más de 100 gramos de A.
100 gramos de A contienen 30 miligramos de vitaminas y 450 calorías.
100 gramos de B contienen 20 miligramos de vitaminas y 150 calorías.
¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas ?.
¿Y el más pobre en calorías ?.
276
Optimización y Programación lineal
 BONOS
Un inversionista dispone de 20000 euros. Puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento
del 10 por 100, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por 100. Existen unos topes legales
que impiden invertir más de 8000 euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo
A, en los cuales la inversión mínima es de 5000 euros. Por otra parte, el inversionista desea colocar
en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos del tipo B. ¿Cuánto debe invertir en bonos
de cada tipo para que el rendimiento obtenido sea máximo ?.
 FÁBRICA
En una empresa se producen dos tipos de artículos, A y B, en cuya elaboración intervienen tres
departamentos : cortado, montaje y embalado. Cada departamento trabaja ocho horas diarias, y
mientras el producto A requiere sólo una hora de montaje y media de embalado, el producto B
requiere 2 horas de cortado y una de embalado. El beneficio que se obtiene por cada unidad de A es
de 4 euros, y por cada unidad de B 3,50 euros. ¿Cómo debe distribuirse la producción diaria para
maximizar el beneficio ?.
 VÍDEO
Un productor de películas de vídeo lanza al mercado el film “El río” de Jean Renoir. Distribuye las
copias en exclusiva al establecimiento Videolux, que percibe una comisión de 10 euros por copia
adquirida para la venta al público, y a la cadena de grandes almacenes Baligo, que le exige 15 euros
por copia. Por razones comerciales está obligado a vender a la cadena al menos la tercera parte de
su producción, mientras que Videolux, debido a limitaciones de almacenaje, puede adquirir como
máximo 2000 copias. El productor edita 10000 copias de la película que desea colocar de forma
inmediata. ¿Cómo debe hacerlo para que los costes por comisiones sean mínimos ?.
 TELEVISIÓN
a) Un técnico en electrónica fabrica receptores de TV de dos tipos. Cada receptor del primer tipo le
supone 3 horas de trabajo, y cada uno del segundo tipo 2 horas, no dedicando a esta tarea más
de 12 horas diarias. Cada receptor del primer tipo le supone una ganancia de 120 euros, mientras
que los del segundo tipo sólo le proporcionan 90 euros. ¿Cuántos receptores de cada tipo debe
fabricar al día para que obtenga un beneficio máximo ?. ¿Cuál es este beneficio diario ?.
b) La adopción de un nuevo sistema de control en los receptores le supone media hora más de
trabajo por cada TV del primer tipo, y un cuarto de hora para las del segundo. ¿Cuál será, ahora,
la nueva estrategia de producción ?. ¿Cuáles sus beneficios ?. Si desea obtener el mismo
beneficio que antes, ¿en cuánto debe incrementar el precio de cada receptor, si lo quiere hacer
por igual para los dos tipos ?.
277
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 ZONA RESIDENCIAL
En unos terrenos próximos a una ciudad se desea edificar una zona residencial. Con este propósito
se venden, como mínimo, 100 hectáreas de extensión, estableciendo que el espacio destinado a
zona verde debe ser, al menos, los dos tercios del terreno edificado. El coste de suelo para edificar
por hectárea es de 5000 euros, y el de zona verde de 3000 euros.
¿Qué superficie debe dedicarse a construcción, y cuál a zona verde, para que los costes sean
mínimos ?. Comenta el resultado obtenido.
 REVISTA
Se planea editar una nueva revista de viajes y gastronomía con un total de 150 páginas por número.
Se llega a la decisión de no destinar a publicidad más de 40 páginas. Cada artículo de viajes se paga
a 100 euros la página, y cada artículo de gastronomía a 60 euros la página. Por otro lado, se cobran
250 euros por página de publicidad. El número de páginas dedicadas a viajes debe ser, al menos,
igual al de páginas dedicadas a gastronomía.
¿Cuál debe ser el número de páginas dedicadas a cada sección, y cuál a publicidad, para que el
coste sea mínimo, supuesto que los costes de edición son los mismos en cualquier caso ?.
 PAGA SEMANAL
Un estudiante recibe de sus padres semanalmente 20 euros, que dedica exclusivamente a ir al cine.
Los locales de estreno, donde se proyecta una película, le cuestan 4 euros, y los cines de barrio,
donde proyectan dos películas, 3 euros. Si desea ver, al menos, un estreno a la semana, ¿cómo debe
distribuir su asistencia a ambos tipos de locales para que el número de películas que ve sea el
máximo posible ?. ¿Le sobra algún dinero semanalmente ?.

ADORNOS
Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de
4,50 euros por cada broche sencillo y de 6 euros por cada broche de fiesta. En un día no se pueden
fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse más de
500 broches en total.
Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es el número de broches de
cada clase que conviene fabricar para obtener un beneficio máximo?.
¿Cuál debería ser la producción para obtener máximo beneficio si se obtuvieran 6 euros por cada
broche sencillo y 4,50 euros por cada broche de fiesta?.
278
Optimización y Programación lineal

COCHES
Un concesionario de coches vende dos modelos; el A, con el que gana 1000 euros por unidad
vendida, y el B, con el que gana 500 euros por unidad vendida. El número x de coches vendidos del
modelo A debe verificar que 50  x  75. El número y de coches vendidos de B debe ser mayor o
igual que el número de coches vendidos del modelo A.
Sabiendo que el número máximo de coches que puede vender es 400, determina cuántos coches
debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo.

RENTABILIDAD
Un cliente de un banco dispone de 30000 euros para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece
dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de
12000 euros de inversión máxima. El de tipo B presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna
limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos tipo B, como máximo, el doble de lo
invertido en los fondos tipo A.
a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio?.
b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?. Justifica las respuestas.

CONFITURAS
Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de
confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800
unidades. También, el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la
producción de confitura de ciruela, es menor o igual que 2400 unidades.
Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 60 euros y cada unidad de confitura
de ciruela, 80 euros. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitura se han de producir para obtener un
beneficio máximo?.

DOS PRODUCTOS
El número de unidades de dos productos, A y B, que un comercio puede vender es, como máximo,
igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto tipo A, con un beneficio unitario de 2,50 euros, y de
70 unidades tipo B, con un beneficio unitario de 3 euros.
Determina las cantidades de productos tipo A y B que el comercio debe vender para maximizar sus
beneficios globales.
279
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

MÍNIMO COSTE
Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. La planta A produce
diariamente 1000 unidades de P1, 3000 de P2 y 5000 de P3. La planta B produce diariamente 2000
unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus
clientes, al menos, 80000 unidades de P1, 160000 de P2 y 200000 de P3.
Sabiendo que el coste diario de producción es de 2000 euros en cada planta, ¿cuántos días debe
trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo coste?.

VIAJE DE ESTUDIOS
Los estudiantes de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse los gastos
del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco participaciones
de lotería; y cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos participaciones de lotería.
Por cada lote de tipo A vendido, los estudiantes obtienen un beneficio de 12,25 ε y, por cada lote de
tipo B, de 12,50 ε.
Por razones de almacenamiento, pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de mantecados. Los
estudiantes solo cuentan con 1200 participaciones de lotería y desean maximizar sus beneficios.
a) Determina la función objetivo y expresa, mediante inecuaciones, las restricciones del problema.
b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los estudiantes para que el beneficio
obtenido sea máximo?. Calcula dicho beneficio.

CAMPAÑA PUBLICITARIA
Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario
realizar una campaña de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisión, con un
coste estimado de 10000 euros por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 1000
euros por cuña.
No obstante, no pueden gastar más de 1 millón de euros para dicha campaña, a lo largo de la cual se
tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas.
Un estudio de mercado cifra en 10000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión
emitido, y en 2000 copias por cuña radiofónica emitida.
a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña?. Plantea el problema y
representa gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias
posible?. ¿Se llegan a gastar el millón de euros?.
280
Optimización y Programación lineal

PERFUMES
Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres
factores productivos: F1, F2 y F3. Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada
tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla:
F1
F2
F3
PERFUME
1
2
0
AGUA DE COLONIA
2
0
4
Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 50 euros, de uno de agua de colonia
es de 20 euros y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, 360 de F2 y 440 de F3:
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus
beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los frascos que maximiza
los beneficios?.

CARTONAJES
Un trabajador de una fábrica de envases de cartón hace cajas de dos tipos. Para hacer una caja del
primer tipo, que se vende por 12 cents, gasta 2 metros de cinta adhesiva y 0,5 m de rollo de papel de
cartón. Para hacer una del segundo tipo, que se vende a 8 cents, gasta 4 m de cinta adhesiva y 0,25
m del mismo rollo de papel cartón.
Si se dispone de un rollo de cinta adhesiva que tiene 440 m y otro rollo de papel cartón de 65 m,
¿cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para que el valor de la producción sea máximo?.

MEZCLA
Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como mínimo 10
unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.
El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y de A están en relación de 4 a 1 y hay
una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en
relación de 4 a 1 y hay una unidad de B.
El primer proveedor vende cada lote a 10 euros, precio que es la mitad de a lo que vende el segundo
el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos.
¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. ¿Cuál es el coste mínimo?.
281
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

GRANDES ALMACENES
En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se
ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un
televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor.
Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuales dedica 5 horas diarias a la
venta o a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña.
Si se sabe que se obtiene un beneficio de 450 euros por televisor y de 500 euros por lavadora
vendidos, ¿cuántas lavadoras y cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo
beneficio?.

GANANCIA MÁXIMA
Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 toneladas de dos productos, A y B, y me
dan una comisión de 150 euros por tonelada vendida de A y de 100 euros por tonelada de B.
Averigua razonadamente cuántas toneladas debo vender de A y cuántas de B para maximizar la
ganancia.

PATÉS
Una fábrica de productos alimenticios elabora patés de dos variedades distintas en envases de 100
gramos de peso neto. Cada envase de la variedad A contiene 80 gramos de hígado de cerdo y 20
gramos de fécula, y los de la variedad B, 60 gramos de hígado de cerdo y 40 gramos de fécula.
Durante los procesos de elaboración no pueden manipularse más de 240 kilogramos de hígado de
cerdo ni más de 100 kilogramos de fécula.
Sabiendo que los beneficios por lata son de 30 céntimos (variedad A) y 24 céntimos
(variedad B):
a) Halla el número de latas que habría que fabricar para obtener un beneficio
máximo.
b) ¿Cuál sería dicho beneficio máximo?.
Justifica las respuestas.

PIENSO
Un ganadero debe suministrar un mínimo de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B por cada
kilogramo de pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso, P 1 y P2, cuyos
contenidos vitamínicos por kilo son los que aparecen en la siguiente tabla:
P1
P2
A
2
4
B
6
3
Si el kilo de pienso P1 vale 40 cents, y el de P2, 60 cents, ¿cómo debe mezclar los piensos para
suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?.
282
Optimización y Programación lineal

MAQUETAS
En una fábrica de maquetas de aviones se construyen dos tipos de maquetas, A y B. La fábrica está
dividida en dos salas: una de montaje y otra de acabado.
Para la fabricación de cada modelo A se requieren 3 horas semanales en la sala de montaje y 3 en la
de acabado. La fabricación de cada modelo B requiere 5 horas semanales en la sala de montaje y 3
en la de acabado. La sala de montaje puede estar funcionando como máximo 150 horas a la semana,
y la de acabado, 120.
Si el beneficio es de 300 dólares en cada modelo A y de 400 en cada modelo B, ¿cuántos modelos
de cada tipo habrá que fabricar cada semana para maximizar los beneficios (suponiendo que se
venden todos) ?.

AUTOMÓVILES
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y
mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de
mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de
electricistas.
En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de
250 euros por electricista y 200 euros por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio ?.
283
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

TARTAS
Una confitería es famosa por sus dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La
tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de
venta de 12 euros. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta
de 15 euros.
Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y
azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de
azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas.
a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantea el problema y representa
gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por
ventas?. ¿A cuánto asciende dicho ingreso?.

JOYAS
Un órfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 gramo de oro y 1,5 g de plata
y se vende a 40 euros. La de tipo B se vende a 50 euros y lleva 1,5 gramos de oro y 1 g de plata. Si
solo dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el
máximo beneficio?.
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