1. No category

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.
TEMA 2.
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Dado el proceso:
Yt = 3 + U t + 0,8U t −1 − 0,5U t − 2
,
σ u2 = 1
Se pide:
a) Calcular la esperanza, varianza y autocovarianzas
b) Obtener la función de autocorrelación
c) Representar el correlograma
SOLUCIÓN:
a) La esperanza matemática es igual a:
μ = E (Yt ) ) = E (3 + U t + 0,8U t −1 − 0,5U t − 2 ) = 3.
La varianza ( γ 0 ) :
γ 0 = E (Yt − 3) 2 = E (U t + 0,8U t −1 − 0,5U t − 2 ) 2 =
= σ u2 (1 + 0,8 2 + 0,5 2 ) = 1,89σ u2 = 1,89
y las autocovarianzas:
γ 1 = E [(Yt − 3)(Yt −1 − 3)]= E [(U t + 0,8U t −1 − 0,5U t − 2 ) ⋅ (U t −1 + 0,8U t − 2 − 0,5U t −3 )]=
(
)
(
)
= 0,8 E U t2−1 − 0,5 ⋅ 0,8 U t2− 2 = σ u2 (0,8 − 0,4 ) = 0,4σ u2 = 0,4
γ 2 = E [(Yt − 3)(Yt − 2 − 3)]= E [(U t + 0,8U t −1 − 0,5U t − 2 )]⋅ (U t − 2 + 0,8U t −3 − 0,5U t − 4 ) =
(
)
= − 0,5 E U t2− 2 = − 0,5σ u2 = − 0,5
γ j =0
∀j >2
b) La función de autocorrelación será:
ρ1 =
γ 1 0,4
=
= 0,2116
γ 0 1,89
γ 2 − 0,5
=
= − 0,2646
γ 0 1,89
γj
ρ j = =0
∀j > 2
γ0
ρ2 =
c) El Correlograma, representación gráfica de la función de autocorrelación, viene
dado en el gráfico siguiente:
ρ
j
0,2116
0
j
-0,2646
PROBLEMA 2
Dado el proceso:
Yt = 0,4Yt −1 + 0,3Yt − 2 + 2 + U t
,
σ u2 = 3
Se pide:
a) ¿Es estacionario?
b) Calcular la esperanza, varianza y autocovarianzas
c) Obtener la función de autocorrelación
d) Representar el correlograma
e) Formular las ecuaciones de Yule-Walker
SOLUCIÓN:
a) El proceso AR(2) enunciado puede escribirse utilizando el operador de retardos
como:
φ (L )Yt = 2 + U t
donde:
φ (L ) =1 − 0,4 L − 0,3L2
(1)
y siendo L el operador de retardos, tal que L5Yt = Yt −5⋅ .
El proceso será estacionario si las raíces características o soluciones de φ (L ) = 0 caen
fuera del círculo unitario. Igualando (1) a cero, se obtiene:
0,3L2 + 0,4 L −1 = 0
Las dos raíces de (2) son:
(2)
− 0,4 ± 0,16 + 1,2 ⎧1,277
=⎨
0,6
⎩− 2,61
y como ambas raíces reales son, en valor absoluto, mayores que la unidad, concluiremos
que el proceso es estacionario.
L=
b) Una vez demostrado que el proceso es estacionario podemos afirmar que:
E (Yt ) = E (Yt −1 ) = E (Yt −2 ) = K = μ
de manera que la esperanza matemática (μ) será igual a:
μ =0,4 μ + 0,3 μ + 2 ⇒ μ =
2
= 6,6666
1 − 0,4 − 0,3
Para obtener la varianza y las autocovarianzas de primer y segundo orden se expresará,
previamente el proceso en desviaciones, esto es:
~
~
~
Yt = 0,4Yt −1 + 0,3Yt − 2 + U t
de modo que:
~
γ 0 = E (Yt ) 2 = 0,4 2 γ 0 + 0,3 2 γ 0 + σ 2 + 2·0,4·0,3γ 1
γ 1 = 0,4γ 0 + 0,3γ 1
γ 2 = 0,4γ 1 + 0,3γ 0
(3)
La expresión (3) recoge un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas (γ 0 , γ 1 y γ 2 ) . Resolviéndolo, se obtiene:
γ 0 = 4,8939
γ 1 = 2,7964
γ 2 = 2,5866
(4)
El resto de las autocovarianzas se calculan de forma recursiva, a partir de la expresión
genérica:
γ j = 0,4γ j −1 + 0,3γ j −2
Así:
γ 3 = 0,4γ 2 + 0,3γ 1 =1,8735
γ 4 = 0,4γ 3 + 0,3γ 2 =1,5253
γ 5 = 0,4γ 4 + 0,3γ 3 =1,1721
c) La función de autocorrelación será:
γ1
γ0
γ
= 2
γ0
γ
= 3
γ0
γ
= 4
γ0
γ
= 5
γ0
ρ1 =
=
2,7964
= 0,5714
4,8939
ρ2
=
2,5866
= 0,5285
4,8939
=
1,8735
= 0,3828
4,8939
=
1,5253
= 0,3117
4,8939
=
1,1721
= 0,2395
4,8939
ρ3
ρ4
ρ5
M
M
d) El correlograma presenta un decrecimiento geométrico hacia cero, tal y como se
observa en el siguiente gráfico.
ρj
0,5714
0,5285
0,3828
0,3117
0,2395
0
j
e) Dado que estamos en un proceso AR(2), las ecuaciones de Yule-Walker son las
siguientes:
ρ 1 = φ1 + φ 2 ρ 1
ρ 2 = φ1 ρ 1 + φ 2
(5)
A modo sólo de ilustración, ya que en este caso φ1 y φ2 son conocidos, las
ecuaciones de Yule-Walker permitirían obtener los valores de los coeficientes del
proceso AR (φ1 ; φ2 ) conocidos los valores de las autocorrelaciones ( ρ1 ; ρ 2 ) . Para
ello, expresando (5) de forma matricial, se obtiene:
−1
ρ1 ⎞ ⎛ ρ1 ⎞
⎛ φ 1 ⎞ ⎛1
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟ ⎜ ⎟
1⎟⎠ ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠
⎝ φ 2 ⎠ ⎝ ρ1
y reemplazando ρ1 = 0,5714 y ρ 2 = 0,5285 en (6), resulta:
0,5714 ⎞
⎛ φ 1 ⎞ ⎛1
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
1⎟⎠
⎝ φ 2 ⎠ ⎝ 0,5714
−1
(6)
⎛ 0,5714 ⎞ ⎛ 0,4 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎝ 0,5285 ⎠ ⎝ 0,3 ⎠
PROBLEMA 3
Dado el proceso:
Yt = − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 + 6
,
σ u2 =1
Se pide:
a) ¿Es estacionario?
b) ¿Es invertible?
c) Calcular la esperanza, varianza y autocovarianzas
d) Función de autocorrelación (hasta el orden 10)
e) Representación del correlograma
SOLUCIÓN:
a) Comenzaremos escribiendo el proceso ARMA (2,1) del enunciado como:
φ ( L ) Yt = θ ( L ) U t + 6
donde:
φ (L ) =1 + 0,6 L + 0,5L2
θ (L ) =1 + 0,4 L
El proceso será estacionario si las raíces de:
φ (L ) =1 + 0,6 L + 0,5L2 = 0
caen fuera del círculo unitario.
Resolviendo (1), se obtiene que las raíces son complejas:
L=
− 0,6 ± 0,36 − 2
1
= − 0,6 ± 1,28i
(1)
En este caso la condición de estacionariedad es que el módulo, definido como
a 2 + b 2 (donde a = -0,6 y b = 1,28), tiene que ser mayor que la unidad. Esta condición
se cumple, dado que:
0,6 2 + 1,28 2 = 2 > 1
por lo cual concluiremos que el proceso es estacionario.
b) Para que el proceso sea invertible, la raíz de:
θ(L) = 1 + 0,4L = 0
(2)
debe caer fuera del círculo unitario.
La solución de (2) es:
−1
= − 2,5
0,4
y como en valor absoluto es mayor que la unidad, concluiremos que el proceso también
L=
es invertible.
c) Por ser el proceso estacionario se cumple:
E (Yt ) = E (Yt −1 ) = E (Yt − 2 ) = K = μ
(3)
pudiendo obtener, en consecuencia, la esperanza matemática como:
6
= 2,8571
1 + 0,6 + 0,5
Para calcular la varianza y las autocovarianzas del proceso comenzaremos expresándolo
μ = − 0,6μ − 0,5μ + 6 ⇒ μ =
en desviaciones con respecto a la media; esto es:
~
~
~
Yt = − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1
donde:
~
( j = 0,1, 2)
Yt − j = Yt − j − μ
(4)
Partiendo ahora, de (4) la varianza será igual a:
~
( ~ ) [~ ( ~
)]
~~
~~
~
~
= −0,6 E (Y Y )− 0,5E (Y Y )+ E (Y U ) + 0,4 E (Y U ) =
γ 0 = E Yt 2 = E Yt − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 =
t
t −1
t t −2
t
t
t
t −1
= − 0,6γ 1 − 0,5γ 2 + 1 + 0,4(− 0,2) = − 0,6γ 1 − 0,5γ 2 + 0,92
Obsérvese que para la obtención de (5) se ha tenido en cuenta que:
(5)
(
(
(
)
)
) [(
~~
E Yt Yt −1 = γ 1
~~
E Yt Yt − 2 = γ 2
~
~
~
E YtU t = E − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 U t =
) ]
( )
= E U = σ =1
~
~
~
E YtU t −1 = E − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 U t −1 =
~
= − 0,6 E Yt −1U t −1 + 0,4 E U t2−1 =
(
) [(
2
t
2
u
(
)
(
)
) ]
= −0,6σ + 0,4σ = − 0,2σ = − 0,2
La autocovarianza de primer orden será igual a:
2
u
2
u
( ~ ~ ) [~ (
2
u
~
)]
~
γ 1 = E Yt Yt −1 = E Yt −1 − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 =
= −0,6γ 0 − 0,5γ 1 + 0,4
(6)
Para obtener (6) debe tenerse en cuenta que:
~
E Yt −1U t = 0
~
E Yt −1U t −1 = σ u2 =1
(
(
)
)
Finalmente, la autocovarianza de segundo orden será:
( ~ ~ ) [~ (
~
)]
~
γ 2 = E Yt Yt − 2 = E Yt − 2 − 0,6Yt −1 − 0,5Yt − 2 + U t + 0,4U t −1 =
= − 0,6γ 1 − 0,5γ 0
(7)
teniendo en cuenta que:
(
) (
)
~
~
E Yt − 2U t = E Yt − 2U t −1 = 0
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (5), (6) y (7) pueden obtenerse los
valores de la varianza (γ 0 ) y de las autocovarianzas de primer y segundo orden (γ 1 , γ 2 ) .
Los resultados concretos son:
γ 0 = 1,3333
γ 1 = −0,2667
γ 2 = −0,5066
Las autocovarianzas de mayor orden se calcularán teniendo en cuenta que una vez
superado el orden de la parte MA, domina la estructura autoregresiva (AR(2) en este
caso) por lo que se puede utilizar la estructura recursiva:
γ j = φ1γ j −1 + φ 2γ j − 2
obteniéndose:
∀j > 2
(8)
γ 3 = −0,6γ 2 − 0,5γ 1 = 0,4373
γ 4 = −0,6γ 3 − 0,5γ 2 = −0,0091
γ 5 = −0,6γ 4 − 0,5γ 3 = −0,2132
γ 6 = −0,6γ 5 − 0,5γ 4 = 0,1325
γ 7 = −0,6γ 6 − 0,5γ 5 = 0,0271
γ 8 = −0,6γ 7 − 0,5γ 6 = −0,0825
γ 9 = −0,6γ 8 − 0,5γ 7 = 0,0359
γ 10 = −0,6γ 9 − 0,5γ 8 = 0,0197
d) La función de autocorrelación (hasta el orden 10) se obtendrá teniendo en cuenta los
valores de la varianza y autocovarianzas calculados en el apartado anterior, sin más que
reemplazarlos en la expresión general:
ρj =
γj
γ0
( j = 1,2,K,10)
Los valores concretos son:
− 0,2667
= −0,2
1,3333
− 0,5066
ρ2 =
= −0,38
1,3333
0,4373
ρ3 =
= 0,33
1,3333
− 0,0091
ρ4 =
= −0,007
1,3333
− 0,2132
ρ5 =
= −0,16
1,3333
0,1325
ρ6 =
= 0,1
1,3333
0,0271
ρ7 =
= 0,02
1,3333
− 0,0825
ρ8 =
= −0,06
1,3333
0,0359
ρ9 =
= 0,03
1,3333
0,0197
ρ10 =
= 0,01
1,3333
ρ1 =
e) Como puede observarse en el siguiente Gráfico, una vez superado el orden de la parte
MA (en este caso 1), el correlograma presenta el comportamiento típico de un proceso
AR(2) cuyas soluciones (obtenidas al igualar a cero el polinomio de retardos de la parte
autorregresiva del proceso) son complejas. Esto último se traduce en un
comportamiento sinusoidal amortiguado hacia cero del correlograma:
ρj
0
j
PROBLEMA 4
Sea el proceso yt = φ1 yt −1 + ε t . A una serie temporal generada por este proceso se le
aplica una diferencia de primer orden.
Determine el proceso seguido por la serie wt = Δ yt . Suponiendo que ambos procesos
son estacionarios, demuestre si podría asegurar que uno de ellos tiene siempre una
varianza superior.
SOLUCIÓN:
El proceso seguido por wt será:
wt = yt - yt −1 = ( φ1 yt −1 + ε t ) - ( φ1 yt − 2 + ε t −1 ) = φ1 wt −1 + ε t - ε t −1
es decir, un ARMA (1,1).
El proceso para yt es un AR (1) estacionario cuya varianza viene dada por:
γ 0 ( yt ) =
σ2
1 − φ12
Por otro lado, la varianza del proceso ARMA(1,1), viene dada por:
σ 2 (1 + θ12 − 2φ1θ1 ) σ 2 (1 + 1 − 2φ1 ) σ 2 2 (1 − φ1 )
γ 0 ( wt ) =
=
=
1 − φ12
1 − φ12
1 − φ12
En consecuencia:
⎧ > 1 si φ1 < 0,5
γ 0 ( wt )
⎪
= 2 (1- φ1 ) = ⎨ = 1 si φ1 = 0,5
γ 0 ( yt )
⎪< 1 si φ > 0,5
1
⎩
Es decir dependiendo del tamaño de φ1 , se esperará que la serie transformada tenga una
varianza mayor, menor o igual que la serie original.
PROBLEMA 5
Indique con qué modelo ARIMA(p,d,q) se corresponde cada uno de los siguientes
procesos:
• y t = 2 yt −1 - y t − 2 + u t
•
y t = (1+ φ ) y t −1 - φ y t − 2 + u t - θ u t −1
•
y t = u t + φ u t −1 + φ 2 u t −2 + φ 3 u t −3 + φ 4 u t −4 + .......
con φ < 1 y θ < 1 en todos los casos.
SOLUCION
El proceso y t = 2 yt −1 - y t − 2 + u t se puede escribir como:
y t - 2 y t −1 + y t − 2 = u t ⇒ Δ2 yt = u t
de modo que y t → ARIMA(0,2,0).
El proceso y t = (1+ φ ) y t −1 - φ y t − 2 + u t - θ u t −1 se expresa equivalentemente como:
y t = yt −1 + φ y t −1 - φ y t − 2 + u t - θ u t −1
⇒ y t - yt −1 = φ ( yt −1 - y t − 2 ) + u t - θ u t −1
⇒ Δ y t = φ Δ y t −1 + u t - θ u t −1
por lo tanto y t → ARIMA(1,1,1).
El último proceso es un medias móviles de orden infinito y, dado que cualquier proceso
invertible se puede expresar como un MA(∞), se puede concluir que y t →
ARIMA(1,0,0).
PROBLEMA 6
En un modelo AR(2) estacionario para el que ρ1 = 0,6 y ρ 2 = 0,3, obtenga los cinco
primeros coeficientes de la función de autocorrelación parcial.
SOLUCION:
En un modelo AR(2) sólo los dos primeros coeficientes de autocorrelación parcial son
diferentes de cero. Para la obtención del primero se debe tener en cuenta que siempre se
cumple que ρ1 = φ11 , con lo cual φ11 = 0,6.
Para la obtención del segundo se aplica la característica de que en un AR(2) se satisface
que φ2 = φ22 . Por tanto, planteando las ecuaciones de Yule-Walker se obtendrá φ2 y,
en consecuencia, φ22 . Tales ecuaciones son:
ρ1 = φ1 + φ2 ρ1
ρ 2 = φ1 ρ1 + φ2
es decir:
0,6 = φ1 + φ2 0,6
0,3 = φ1 0,6 + φ2
Despejando φ1 de la primera, resulta:
φ1 = 0,6 – 0,6 φ2
A partir de la segunda:
φ2 = 0,3 – 0,6 φ1 ⇒ φ2 = 0,3 – 0,6 (0,6 – 0,6 φ2 ) ⇒ φ2 = 0,3 – 0,36 + 0,36 φ2
⇒ φ2 =
−0, 06
= - 0,0937
0, 64
Por tanto:
φ2 = φ22 = - 0,0937
Para el resto de coeficientes de autocorrelación parcial, por lo comentado anteriormente,
resultará:
φ33 = φ44 = φ55 = 0.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1
Señale el tipo de proceso que genera a la serie temporal {Yt } en los siguientes casos:
a) (1 − L ) Yt = δ + (1 − θ1 L ) U t
2
b) (1+ φ1 L ) Z t = δ + (1− θ1 L − θ 2 L2 ) U t , donde Z t = (1 − L ) Yt
3
c) Yt = μ + U t − θ 1U t −1 − θ 2U t −2
d) (1− φ1 L − φ2 L2 ) Yt = (1 − θ1 L − θ 2 L2 ) U t + μ
e) (1 − φ1 L )(1 − L ) Yt = (1 − θ1 L ) U t + μ
2
f) ΔYt = μ + U t
PROBLEMA 2
Dado el siguiente proceso AR(2):
yt = 1,6 yt −1 - 0,8 yt − 2 + 6,5 + ut
Analice la condición de estacionariedad. A continuación, plantee y resuelva las
ecuaciones de Yule-Walker. Calcule ρ3 y ρ 4 .
PROBLEMA 3
Razone analíticamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1- La varianza de un proceso autoregresivo crecerá con el tamaño muestral cuando
existan problemas de no estacionariedad.
2- En el contexto de un camino aleatorio, una disminución de la varianza de la serie
diferenciada es síntoma evidente de sobrediferenciación.
3- El coeficiente de correlación poblacional de un proceso MA(1) invertible siempre
será menor o igual que 0,5, en valor absoluto.
PROBLEMA 4
Complete la siguiente tabla:
γ0
ARMA(1,1)
MA(2)
1,13
γ1
γ2
1,66
1,33
-0,24
-0,2
δ
φ1
θ1
σ2
0,13
μ
1
1
1
0,3
PROBLEMA 5
Discuta si en un modelo ARMA(1,1), estacionario e invertible, la varianza del proceso
puede ser inferior a la del ruido blanco en los siguientes casos:
1- θ1 es aproximadamente cero.
2- φ1 es aproximadamente cero.
3- θ1 y φ1 son diferentes de cero.
PROBLEMA 6
∞
¿Es estacionario el proceso estocástico lineal discreto yt = 0,23 +
i
⎛1⎞
⎜ ⎟ ?.
⎝4⎠
∑ϒ u
i =0
i t −i
, con ϒi =