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Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 30 – 35
Derechos Reservados
Facultad de Ciencias Exactas
Y Naturales
ENERGÍA DE LOS PORTADORES DE CARGA EN PUNTOS
CUÁNTICOS ESFÉRICOS TIPO CORE SHELL
Energy of carriers of charge in spherical quantum dots type core shell
F. A. Segovia
Departamento de Ingeniería Eléctrica. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá-Colombia
Article Info
Article history:
Received: 30 enero 2013
Received in revised: 31enero 2013
Accepted: 02 febrero 2013
Available online: 04 febrero 2013
Keywords: Schrodinger’s equation, energy of the ground
state, quantum dots.
ABSTRACT: In this paper we make use of
the Schrodinger equation in the effective
mass approximation, to determine the
energy of the ground state of the carriers of
charge in a spherical quantum dot type core
shell. Through the solution of the
Schrodinger equation is to determine the
distribution of charge in the quantum dot
and demonstrates that in the regime of
strong in the inner well confinement
energies for carriers decreases. The
electronic structure of the quantum dot is
determined in crucial ways by the mass
discontinuity in quantum dot.
RESUMEN:
En este trabajo hacemos uso de la ecuación de Schrodinger en la aproximación de masa efectiva,
para determinar las energías del estado fundamental de los portadores de carga en un punto cuántico
esférico tipo core shell. Mediante la solución de la ecuación de Schrodinger se logra determinar la
distribución de carga en el punto cuántico y se demuestra que en el régimen de confinamiento fuerte
en el pozo interior las energías de los portadores disminuye, además de una dependencia de la
estructura electrónica con la discontinuidad de las masas en el interior y exterior del punto cuántico.
PALABRAS CLAVE: Ecuación de Schrodinger, energía del estado fundamental, puntos cuánticos.
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1. Introducción
más diversos fenómenos físicos. Así, se han
Aunque el uso de materiales semiconductores
usado superredes, pozos cuánticos, barreras
para aplicaciones electrónicas se remonta a
dobles, etc. para investigar, desde un punto de
mediados del siglo anterior, no fue sino hasta
vista fundamental, diversos fenómenos como
principios de los años 70, con el trabajo
el efecto Hall cuántico, la localización en
pionero de Esaki y Tsu [1], cuando se sugirió
sistemas desordenados y la transición metal-
la idea de construir estructuras artificiales de
aislante [5,6].
estos materiales. En el contexto del desarrollo
de la tecnología de los semiconductores, las
En el presente trabajo se considera un punto
heteroestructuras surgieron con la finalidad
cuántico esférico tipo core shell, en el cual se
de diseñar dispositivos en los que fuese
toma en cuenta la masa efectiva de los
posible tener un cierto control sobre sus
portadores de carga dentro del punto cuántico
propiedades ópticas y electrónicas, es decir,
con masa interna mi y masa externa m0 por
en cierto modo, poder diseñar dispositivos
fuera del punto cuántico. En otras palabras, se
electrónicos a la carta. En una primera etapa
tiene en cuenta la discontinuidad de la masa a
de desarrollo de las heteroestructuras de
través de una barrera de potencial. La
semiconductores los éxitos obtenidos no
geometría del problema se presenta en la
fueron muy numerosos debido, en parte, a la
figura 1.
falta de control sobre las imperfecciones
inherentes a los procesos de crecimiento de
los distintos materiales. Los primeros éxitos
vinieron con la fabricación de láseres de
inyección a partir de heterouniones de GaAsAlGaAs, que fueron crecidas mediante la
técnica de epitaxia en fase liquida (LPE) [2,
Figura 1. Geometría del punto cuántico
3]. Las heteroestructuras de semiconductores
esférico tipo core Shell, donde m0 y mi
no son solo interesantes desde un punto de
representan
vista aplicado, la posibilidad de jugar con su
efectivas en el interior y en el exterior del
dimensionalidad a la hora de confinar los
punto cuántico, V0 representa la altura del
portadores de carga en cero, una y dos
potencial de confinamiento.
respectivamente
las
masas
dimensiones, hace de las heteroestructuras
una excelente herramienta para estudiar los
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la ecuación (1) se expresa de la siguiente
forma:
2. Modelo matemático
Como una herramienta en la solución del
problema que se plantea en este trabajo es el
(5)
tener en cuenta el hamiltoniano en la
aproximación de masa efectiva:
En la anterior ecuación se ha definido el
(1)
donde se considera una masa dependiente de
cuadrado del operador momento angular
como
la posición, el operador de energía cinética
.
(6)
está dado por el primer término del lado
derecho de la ecuación (1) y el potencial de
confinamiento V(r) está dado por la siguiente
En la ecuación (5) se reemplazan las
ecuaciones (3) y (4) y teniendo en cuenta
condición:
además que en el interior del punto cuántico
el potencial es V = 0, su masa efectiva es
(2)
y los valores propios del momento
En la ecuación (2), V0 representa la altura del
angular están dados por
potencial de confinamiento y en general es la
se obtiene:
,
capa del dieléctrico que rodea al punto
.
(7)
cuántico, este dieléctrico puede ser un
polímero, solvente orgánicos u óxidos. La
función de onda con simetría esférica para el
punto cuántico representado en la figura (1)
En el presente trabajo consideramos los
estados s con l=0, por lo tanto la ecuación (7)
se simplifica
es:
.
(3)
Reemplazando
en
la
anterior
(8)
ecuación
diferencial la ecuación (4), la solución
Se acostumbra a escribir la función de onda
estándar es:
radial Rnl así:
(9)
,
(4)
al utilizar coordenadas esféricas la ecuación
válida para 0 < r < R, con
=
como
de Schrodinger con el Hamiltoniano dado por
el vector de onda en el interior del punto
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cuántico
y
A
como
la
constante
de
En el caso asimptòtico, como es el caso de un
normalización.
pozo de potencial infinito la condición de
La solución para el caso de r > R es de la
valores propios dado por la ecuación (8) se
forma:
expresa por:
(16)
(10)
Al considerar el caso particular del estado
donde
=
está definido en el
exterior del punto cuántico y B es la constante
fundamental, es decir, n = 1 es posible
proponer la siguiente aproximación para la
ecuación (16)
de normalización.
(17)
Las constantes de normalización se pueden
determinar
mediante
la
condición
de
continuidad de la función de onda dentro y
siendo
un parámetro pequeño. Por lo tanto
al reemplazar la anterior aproximación en la
ecuación (15) se obtiene
fuera del punto cuántico
(18)
(11)
además de la condición de continuidad en las
Asumiendo que V0 >> E1 , la anterior
derivadas, condición de Ben Daniel Duke
ecuación toma la siguiente forma:
aplicada al caso en que las masas efectivas
son diferentes a través de la interfase:
(19)
(12)
Reemplazando las ecuaciones (9) y (10) en
En la ecuación (19) se definió
las ecuaciones (11) y (12) se obtiene:
y se impone la condición que
posible
ahora
obtener
. Es
expresiones
aproximadas para la energía en el estado
(13)
(14)
La solución de las ecuaciones (13) y (14) no
es trivial, cuando su determinante es igual a
fundamental E1 . Teniendo en cuenta que
=
y las relaciones dadas por la
ecuación (19), la energía en el estado
fundamental es de la forma:
cero. Es decir, cuando se satisface
,
(15)
en donde se ha sustituido
.
(20)
se observa de la ecuación anterior que la
energía en el estado fundamental tiene una
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dependencia con el tamaño del cristal, es
A continuación se presentan los resultados
decir, la ecuación (20) se puede expresar de la
obtenidos con el formalismo descrito en esta
siguiente forma:
sección para la energía de los portadores de
(21)
donde el exponente
carga en el régimen de confinamiento fuerte y
la distribución de carga, para la geometría
.
Una cantidad de interés en este trabajo es la
densidad de carga radial,
propuesta en la figura 1.
, la cual viene
3. Resultados
determinada por:
,
(22)
En la figura 2 se representa la energía del
donde
para
simplificar
los
cálculos
la
constante multiplicativa de la carga de los
portadores de carga ha sido ignorada. Si se
tiene en cuenta que la función normalizada
dentro del pozo de potencial para el estado
estado fundamental (n = 1; l = 0), dada por la
ecuación (20). Se considera que el potencial
de confinamiento es de V0 =5eV. En esta
figura se observa que a medida que el
confinamiento determinado por el radio del
punto
fundamental es:
cuántico
disminuye
su
energía
aumenta, existiendo además un aumento en la
energía del estado fundamental cuando la
(23)
se
demuestra
que
la
constante
relación de las masas
disminuye.
de
normalización A está dada por:
(24)
Al reemplazar en la ecuación (22), las
ecuaciones (17), (23) y (24) y después de
efectuar
algunas
simplificaciones,
se
Figura 2. Energía del estado fundamental en
encuentra que la densidad de carga en la
función del tamaño del punto cuántico R. los
interfase es:
cálculos son representados para diferentes
.
(25)
valores .
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resultados que coinciden con los
reportados en la literatura científica.
5. Agradecimientos
Agradecimiento al programa de Ingeniería
Eléctrica
Figura 3. Dependencia de la densidad de
carga,
la
Universidad
Distrital
Francisco José de Caldas, Bogotá-Colombia.
en función de . La densidad de
carga esta expresada en unidades arbitrarias.
Lo anterior puede evidenciarse de manera
más clara en la figura 3, donde se representa
la dependencia de la densidad de carga en la
interfase en función de la razón de las masas
del punto cuántico, se observa un
decrecimiento de la densidad de carga a
medida que
de
aumenta.
Referencias
[1] L. Esaki, R. Tsu. IBM J. Res. Dev., Vol.
14, 1987, pp. 20-21.
[2] X. Liu, X. Wang, B. Gu. Eur. Phys. J. B.,
Vol. 30, jul. 2002, pp. 339-342.
[3] Y. Fedutik, V. Temnov, O. Schops, U.
Woggon. Phys. Rev. B., Vol. 43, 2007, pp.
1368021-13680214.
[4] D. Chang, A. Sorensen, E. Demler, M.
Lukin. Nature, Vol. 3, 2007, pp. 807-811.
[5] U. Hohenester, J. Krenn. Phys. Rev. B.,
4. Conclusiones
El objetivo del presente trabajo es explorar en
el contexto de la aproximación de masa
Vol. 72, 2005, pp. 1954291-1954299.
[6] S. Li, K. Chang, J.Bai. Phys. Rev. B., Vol.
71, 2005, pp. 1553011-1553017.
efectiva el comportamiento en la energía en el
estado fundamental y la distribución de carga
en la interfase de un punto cuántico. Se
considera el Hamiltoniano descrito por la
ecuación (1) para ilustrar los resultados. De
los resultados obtenidos por las figuras (2) y
(3), se observa una dependencia en la
estructura electrónica del punto cuántico con
el factor de discontinuidad de las masas
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