Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 30 – 35 Derechos Reservados Facultad de Ciencias Exactas Y Naturales ENERGÍA DE LOS PORTADORES DE CARGA EN PUNTOS CUÁNTICOS ESFÉRICOS TIPO CORE SHELL Energy of carriers of charge in spherical quantum dots type core shell F. A. Segovia Departamento de Ingeniería Eléctrica. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá-Colombia Article Info Article history: Received: 30 enero 2013 Received in revised: 31enero 2013 Accepted: 02 febrero 2013 Available online: 04 febrero 2013 Keywords: Schrodinger’s equation, energy of the ground state, quantum dots. ABSTRACT: In this paper we make use of the Schrodinger equation in the effective mass approximation, to determine the energy of the ground state of the carriers of charge in a spherical quantum dot type core shell. Through the solution of the Schrodinger equation is to determine the distribution of charge in the quantum dot and demonstrates that in the regime of strong in the inner well confinement energies for carriers decreases. The electronic structure of the quantum dot is determined in crucial ways by the mass discontinuity in quantum dot. RESUMEN: En este trabajo hacemos uso de la ecuación de Schrodinger en la aproximación de masa efectiva, para determinar las energías del estado fundamental de los portadores de carga en un punto cuántico esférico tipo core shell. Mediante la solución de la ecuación de Schrodinger se logra determinar la distribución de carga en el punto cuántico y se demuestra que en el régimen de confinamiento fuerte en el pozo interior las energías de los portadores disminuye, además de una dependencia de la estructura electrónica con la discontinuidad de las masas en el interior y exterior del punto cuántico. PALABRAS CLAVE: Ecuación de Schrodinger, energía del estado fundamental, puntos cuánticos. Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779 Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 31 1. Introducción más diversos fenómenos físicos. Así, se han Aunque el uso de materiales semiconductores usado superredes, pozos cuánticos, barreras para aplicaciones electrónicas se remonta a dobles, etc. para investigar, desde un punto de mediados del siglo anterior, no fue sino hasta vista fundamental, diversos fenómenos como principios de los años 70, con el trabajo el efecto Hall cuántico, la localización en pionero de Esaki y Tsu [1], cuando se sugirió sistemas desordenados y la transición metal- la idea de construir estructuras artificiales de aislante [5,6]. estos materiales. En el contexto del desarrollo de la tecnología de los semiconductores, las En el presente trabajo se considera un punto heteroestructuras surgieron con la finalidad cuántico esférico tipo core shell, en el cual se de diseñar dispositivos en los que fuese toma en cuenta la masa efectiva de los posible tener un cierto control sobre sus portadores de carga dentro del punto cuántico propiedades ópticas y electrónicas, es decir, con masa interna mi y masa externa m0 por en cierto modo, poder diseñar dispositivos fuera del punto cuántico. En otras palabras, se electrónicos a la carta. En una primera etapa tiene en cuenta la discontinuidad de la masa a de desarrollo de las heteroestructuras de través de una barrera de potencial. La semiconductores los éxitos obtenidos no geometría del problema se presenta en la fueron muy numerosos debido, en parte, a la figura 1. falta de control sobre las imperfecciones inherentes a los procesos de crecimiento de los distintos materiales. Los primeros éxitos vinieron con la fabricación de láseres de inyección a partir de heterouniones de GaAsAlGaAs, que fueron crecidas mediante la técnica de epitaxia en fase liquida (LPE) [2, Figura 1. Geometría del punto cuántico 3]. Las heteroestructuras de semiconductores esférico tipo core Shell, donde m0 y mi no son solo interesantes desde un punto de representan vista aplicado, la posibilidad de jugar con su efectivas en el interior y en el exterior del dimensionalidad a la hora de confinar los punto cuántico, V0 representa la altura del portadores de carga en cero, una y dos potencial de confinamiento. respectivamente las masas dimensiones, hace de las heteroestructuras una excelente herramienta para estudiar los Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779 Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 32 la ecuación (1) se expresa de la siguiente forma: 2. Modelo matemático Como una herramienta en la solución del problema que se plantea en este trabajo es el (5) tener en cuenta el hamiltoniano en la aproximación de masa efectiva: En la anterior ecuación se ha definido el (1) donde se considera una masa dependiente de cuadrado del operador momento angular como la posición, el operador de energía cinética . (6) está dado por el primer término del lado derecho de la ecuación (1) y el potencial de confinamiento V(r) está dado por la siguiente En la ecuación (5) se reemplazan las ecuaciones (3) y (4) y teniendo en cuenta condición: además que en el interior del punto cuántico el potencial es V = 0, su masa efectiva es (2) y los valores propios del momento En la ecuación (2), V0 representa la altura del angular están dados por potencial de confinamiento y en general es la se obtiene: , capa del dieléctrico que rodea al punto . (7) cuántico, este dieléctrico puede ser un polímero, solvente orgánicos u óxidos. La función de onda con simetría esférica para el punto cuántico representado en la figura (1) En el presente trabajo consideramos los estados s con l=0, por lo tanto la ecuación (7) se simplifica es: . (3) Reemplazando en la anterior (8) ecuación diferencial la ecuación (4), la solución Se acostumbra a escribir la función de onda estándar es: radial Rnl así: (9) , (4) al utilizar coordenadas esféricas la ecuación válida para 0 < r < R, con = como de Schrodinger con el Hamiltoniano dado por el vector de onda en el interior del punto Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779 Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 33 cuántico y A como la constante de En el caso asimptòtico, como es el caso de un normalización. pozo de potencial infinito la condición de La solución para el caso de r > R es de la valores propios dado por la ecuación (8) se forma: expresa por: (16) (10) Al considerar el caso particular del estado donde = está definido en el exterior del punto cuántico y B es la constante fundamental, es decir, n = 1 es posible proponer la siguiente aproximación para la ecuación (16) de normalización. (17) Las constantes de normalización se pueden determinar mediante la condición de continuidad de la función de onda dentro y siendo un parámetro pequeño. Por lo tanto al reemplazar la anterior aproximación en la ecuación (15) se obtiene fuera del punto cuántico (18) (11) además de la condición de continuidad en las Asumiendo que V0 >> E1 , la anterior derivadas, condición de Ben Daniel Duke ecuación toma la siguiente forma: aplicada al caso en que las masas efectivas son diferentes a través de la interfase: (19) (12) Reemplazando las ecuaciones (9) y (10) en En la ecuación (19) se definió las ecuaciones (11) y (12) se obtiene: y se impone la condición que posible ahora obtener . Es expresiones aproximadas para la energía en el estado (13) (14) La solución de las ecuaciones (13) y (14) no es trivial, cuando su determinante es igual a fundamental E1 . Teniendo en cuenta que = y las relaciones dadas por la ecuación (19), la energía en el estado fundamental es de la forma: cero. Es decir, cuando se satisface , (15) en donde se ha sustituido . (20) se observa de la ecuación anterior que la energía en el estado fundamental tiene una Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779 Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 34 dependencia con el tamaño del cristal, es A continuación se presentan los resultados decir, la ecuación (20) se puede expresar de la obtenidos con el formalismo descrito en esta siguiente forma: sección para la energía de los portadores de (21) donde el exponente carga en el régimen de confinamiento fuerte y la distribución de carga, para la geometría . Una cantidad de interés en este trabajo es la densidad de carga radial, propuesta en la figura 1. , la cual viene 3. Resultados determinada por: , (22) En la figura 2 se representa la energía del donde para simplificar los cálculos la constante multiplicativa de la carga de los portadores de carga ha sido ignorada. Si se tiene en cuenta que la función normalizada dentro del pozo de potencial para el estado estado fundamental (n = 1; l = 0), dada por la ecuación (20). Se considera que el potencial de confinamiento es de V0 =5eV. En esta figura se observa que a medida que el confinamiento determinado por el radio del punto fundamental es: cuántico disminuye su energía aumenta, existiendo además un aumento en la energía del estado fundamental cuando la (23) se demuestra que la constante relación de las masas disminuye. de normalización A está dada por: (24) Al reemplazar en la ecuación (22), las ecuaciones (17), (23) y (24) y después de efectuar algunas simplificaciones, se Figura 2. Energía del estado fundamental en encuentra que la densidad de carga en la función del tamaño del punto cuántico R. los interfase es: cálculos son representados para diferentes . (25) valores . Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779 Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 35 resultados que coinciden con los reportados en la literatura científica. 5. Agradecimientos Agradecimiento al programa de Ingeniería Eléctrica Figura 3. Dependencia de la densidad de carga, la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá-Colombia. en función de . La densidad de carga esta expresada en unidades arbitrarias. Lo anterior puede evidenciarse de manera más clara en la figura 3, donde se representa la dependencia de la densidad de carga en la interfase en función de la razón de las masas del punto cuántico, se observa un decrecimiento de la densidad de carga a medida que de aumenta. Referencias [1] L. Esaki, R. Tsu. IBM J. Res. Dev., Vol. 14, 1987, pp. 20-21. [2] X. Liu, X. Wang, B. Gu. Eur. Phys. J. B., Vol. 30, jul. 2002, pp. 339-342. [3] Y. Fedutik, V. Temnov, O. Schops, U. Woggon. Phys. Rev. B., Vol. 43, 2007, pp. 1368021-13680214. [4] D. Chang, A. Sorensen, E. Demler, M. Lukin. Nature, Vol. 3, 2007, pp. 807-811. [5] U. Hohenester, J. Krenn. Phys. Rev. B., 4. Conclusiones El objetivo del presente trabajo es explorar en el contexto de la aproximación de masa Vol. 72, 2005, pp. 1954291-1954299. [6] S. Li, K. Chang, J.Bai. Phys. Rev. B., Vol. 71, 2005, pp. 1553011-1553017. efectiva el comportamiento en la energía en el estado fundamental y la distribución de carga en la interfase de un punto cuántico. Se considera el Hamiltoniano descrito por la ecuación (1) para ilustrar los resultados. De los resultados obtenidos por las figuras (2) y (3), se observa una dependencia en la estructura electrónica del punto cuántico con el factor de discontinuidad de las masas Revista NOOS, Vol. 1, No 6, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779
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