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PROBLEMAS RESUELTOS DE LEY DE GAUSS
PROB. 1
PROB. 2
PROB. 3
PROB. 4
PROB.5
Cuatro partículas q1=q, q2=-3q,q3=4q y q4=-2q se encuentran ubicadas en los puntos indicados
en la fig.. a) Determine el potencial total en el punto P. b) Determine el trabajo para llevar una
partícula q0 desde A hasta B.
Solución
a.- El potencial total en el punto P es:
Calculando el potencial para cada partícula tenemos:
Sumando tenemos:
b.-Para el cálculo del trabajo utilizamos la ecuación:
El potencial total en A y B es:
El trabajo total es:
¿Qué significado tiene el signo negativo?
PROB. 6
Aplicando el concepto de potencial eléctrico determine el potencial eléctrico dentro de una
esfera de radio a con densidad de carga uniforme (carga por unidad de volumen constante).
Solución
El potencial se define como el trabajo para
traer una partícula desde el infinito hasta una
distancia r con velocidad contante, es decir:
Así
Donde W1 es la trabajo para traer la
partícula desde el infinito hasta la superficie
de la esfera, y W2 , es el trabajo para llevar a
la partícula desde la superficie hasta el punto
r en el interior de la esfera.
Calculo del W1
Con
Desarrollando:
Calculo del W2
Con
Desarrollando:
Sumando los dos trabajos y dividiendo entre q0, tenemos:
Del resultado anterior encuentre el campo eléctrico en el interior de la esfera. Utilice la ecuación:
¿Qué opina usted al respecto?
PROB. 7
Se tiene un anillo de radio a y densidad de carga por unidad de longitud constante. a)
Determine el potencial en un punto a lo largo del eje x. b)Si se coloca una partícula q0 en el
centro del anillo y se le da un pequeño desplazamiento para separarlo del equilibrio esta se va
al infinito del eje x, determine la velocidad en el infinito.
Solución
a.- Aplicamos la ecuación (dV = k dq/r), tenemos:
Integrando:
b.- Para hallar la velocidad en el infinito, aplicamos el principio de la conservación de la energía.
Como la partícula parte del reposo EC0=0 y la energía potencial en el infinito es cero. Así.
Introduciendo en la ecuación de la energía
tenemos:
PROB. 8
Una varilla delgada aislante de longitud L tiene una densidad de carga uniforme λ. Tómese V
= 0 en el infinito. (a) Determine el potencial eléctrico en un punto P sobre la mediatriz de la
varilla, a una distancia b del eje x. (b) Si la línea de carga fuera infinita. ¿ se podría obtener el
potencial a partir de la expresión obtenida en la parte a?
Solución
Tomemos un elemento infinitesimal de carga ,
como se indica en la figura. Para obtener el
potencial en el punto P integramos sobre toda la
varilla.
Integrando, obtenemos:
b.-Para la varilla infinita, no se puede usar esta expresión de V. ¿Por qué?
Al usar la expresión anterior para hallar el potencial cuando la varilla es infinita, el potencial V
resulta infinito y esto físicamente no tiene solución. Esto es un inconveniente que se presenta en el
caso de distribuciones infinitas de cargas, y es consecuencia de haber usado la expresión para el
potencial que es válida cuando se le asigna a priori el valor de referencia cero ( V = 0) en r infinito.
PROB 9
Determine el potencial eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga con densidad
de carga constante.
Solución
Primero calculemos el campo eléctrico por medio de
la ley de Gauss:
A partir del campo eléctrico, calcularemos la diferencia de potencial entre los puntos A y B
situados a las distancia a y b de la línea de carga.
Introduciendo el campo E e integrando obtenemos:
En esta expresión si tomamos VB = 0 cuando b tiende al
infinito, entonces el potencial en el punto A es infinito, es
decir:
Por esta razón conviene escoger como referencia V = 0 en
un punto arbitrario situado a una distancia b = r0. Así el
potencial a cualquier otra distancia viene dada por:
PROB. 10
Una esfera solida de radio interior a y radio exterior b tiene una
carga Q distribuida uniformemente. Determine el potencial en
función de la distancia r desde el centro.
a.- a < r < b,
b.- r < a
Solución
a.-Para resolver este problema aplicamos el concepto de potencial eléctrico, es decir:
Tenemos que traer una partícula q0 desde el infinito hasta un r
menor que b y mayor que a.
Aplicando la ley de Gauss calculamos los campos E1 y E2
Estos resultados usted los obtuvo introduciendo en la expresión del trabajo total y posteriormente
dividiendo entre q0, obtenemos para el potencial entre a < r < b :
b.- Para la región interior donde está el hueco, el campo eléctrico es cero, ¿Por qué?. Como el campo
eléctrico es cero, entonces el potencial en el hueco es constante hasta la superficie. Si calculamos el
potencial en la superficie automáticamente este es el mismo potencial en el interior, por lo tanto si
evaluamos el resultados anterior en r = a, obtenemos el potencial en r < a: