1. No category

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
CENTRO DE FÍSICA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
QUINTO CONGRESO DE TECNOLOGÍA. 1 AL 3 DE JUNIO 2015
FM-05
Simulación Computacional de el Cálculo de Concentraciones Críticas de Percolación en Redes Cristalinas en Modelos 2D y 3D.
María Guadalupe Trejo Arellano*, Josue Becerra Ricoφ, Cristian Felipe Ramírez Gutiérrez, Mario Enrique Rodríguez GarcíaΨ.
RESUMEN
Algunos materiales han mostrado características singulares en
variadas áreas de la ciencia de los materiales, donde los numerosos
resultados experimentales han mostrado que su estudio, en general,
no es simple y está lejos de ser resuelto de manera analítica, por
esta razón, los métodos numéricos y la simulación son una
alternativa en la explicación del comportamiento de estos
materiales.
Algunos efectos causados por la perturbación aleatoria y el
aumento del desorden en la red cristalina pueden ser explicados
por la teoría de percolación, como la activación de conducción en
semiconductores, perdida de las bandas de conducción en un
sólido, rupturas dieléctricas, penetración de fluidos en materiales
porosos, transiciones de fase orden-desorden, etc. La explicación
de fenómenos de este tipo puede ser tan compleja según la
naturaleza misma del material de estudio, por tal razón la teoría de
percolación representa una alterativa de explicación en donde
tener a disposición una metodología de simulación y datos
específicos como el valor del coeficiente de percolación crítico
catalogado según la red cristalina establece un punto de partida en
el estudio de problemas específicos.
ABSTRACT
Some materials have shown unique characteristics in various areas
of materials' science, numerous experimental resultas have shown
that their study, in general, is not simple and is far from be
resolved analyticalment, this is why, numerical methods and
simulation are an alternative for the explanation of their behavior.
Applying the percolation theory, it is possible to explain some
effects caused by the random disturbance and disorder increase on
the crystal networks, as the activation of conduction in
semiconductors, loss of the bands of conduction in a solid,
dielectric breakdown, penetration of fluids in porous materials,
phase transitions orden - desorden, etc. The explanation of
phenomena of this kind can be as complex as the very nature of the
material, therefore, the percolation theory represents an alternative
explanation where having at disposal a methodology of simulation
and a specific data as the value of the coefficient of critical
percolation catalogued according to the cristal network establishes
a starting point in the study of specific problems.
Palabras claves: Simulación, Percolación, Monte Carlo, HoshenKopelman.
formar una fractura principal, mayor y conecta a todas. El modelo
de percolación, es un modelo estadístico que se fundamenta en la
idea de que pequeñas fracturas llegan a formar una fractura
mayor[1].
La teoría de percolación fue introducida por Broadbent y
Hammersley como modelo para estudiar la propagación de fluidos
en medios porosos[2]. El efecto observado de dispersión de
partículas de un fluido a través de un medio aleatorio o
desordenado fue relacionado con propiedades de conectividad,
mediante dos formas: i) la interacción entre moléculas o átomos,
denominada percolación de sitios; y ii) la interacción a través de
enlaces químicos, denominada percolación de enlaces.
ANTECEDENTES
Existe para el caso de redes regulares en 2D como una red
cuadrada la solución analítica del cálculo de la concentración
critica de percolación.
M. F Sykes and J.W Essam (1963)[3] estiman por simulación
usando el método Montecarlo los valores críticos de percolación
para redes cuadradas en 2D y redes cubicas en 3D.
P. H. l Martins and J.A. Plascak (2003)[4] basados en el algoritmo
de Newman-Ziff[5] y el método Monte Carlo reportan los valores
de concentración critica para redes en dos y tres dimensiones que
concuerdan con los anteriores trabajos de M. F Sykes and J.W
Essam.
DESARROLLO DEL TEMA
La red cuadrada se ocupa con una distribución aleatoria plana de
números usando el método Monte Carlo.
El algoritmo de Hoshen-Kopelman (HK),
El algoritmo de Hoshen-Kopelman (HK), es un algoritmo para la
identificación y determinación del tamaño de clústeres. Para una
red cuadrada, y para el caso de percolación de sitio, se verifica
línea a línea la ocupación de sitios y su conectividad entre
primeros vecinos. Se puede definir una función que comprueba la
conectividad entre un sitio ubicado en la coordenada (x,y) con su
vecino a izquierda y arriba [6,7,8]:
donde
INTRODUCCIÓN
Cuando se tiene un material compacto que está bajo la presión
constante de un líquido después de cierto tiempo empieza a
presentar pequeñas fracturas las cuales van aumentado hasta
Basado en (1) se plantea la siguiente rutina:
PAGINA 1
DE 3
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
CENTRO DE FÍSICA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
QUINTO CONGRESO DE TECNOLOGÍA. 1 AL 3 DE JUNIO 2015
Figura 1.- Diagrama de flujo según el algoritmo de HoshenKopelman para la identificación de clústeres en una red
cuadrada[6,9,10].
requerida. Además se simuló la misma red a partir de una matriz
que contiene todas las posibles combinaciones lineales de los
vectores v1 y v2 (3, 4, 5)
La rutina anterior proporciona la identificación de cada clúster
según un número de etiquetado, dando como resultado un sistema
de la siguiente forma:
Figura 2.- Ejemplo de identificación de clústeres usando el
algoritmo de Hoshen-Kopelman para una red cuadrada de
5x5. Muestra los pasos que se siguen en el algoritmo y el
resultado de etiquetado final[6].
La simulación de la red cuadrada se realizó en MATLAB®
generando una matriz cuadrada de ceros, ocupando de acuerdo al
método Monte Carlo n lugares cumpliendo con la concentración
Figura 3.- Representación grafica de una red cuadrada de 20 x
20, con una concentración de 1 (Todos los lugares se ocupan).
PAGINA 2
DE 3
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
CENTRO DE FÍSICA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
QUINTO CONGRESO DE TECNOLOGÍA. 1 AL 3 DE JUNIO 2015
BIBLIOGRAFÍA
Para evitar la repetición de números aleatorios generados en cada
simulación se hizo un cambio de la semilla de MATLAB®, se
tomó como semilla la suma de los números que representaban la
hora en el momento exacto de la simulación.
RESULTADOS
Una vez que se implementó el algoritmo de HK se hicieron varias
simulaciones variando la concentración para determinar la
concentración crítica necesaria para que en una red de determinado
tamaño suceda percolación.
[1] Sornette, D. Critical Phenomena in Natural Sciences. Germany:
Springer.
[2] S.R Broadbent y J.M Hammersley, Percolation Processes, Proc.
Cambridge Philos. Soc.53 (1957) 629.
[3] D. Stauferand A. Aharony, Introduction to Percolation
Theory,Taylor& Francis, London, 1992.
[4] C. Kittel, Introducción a la Física del Estado
Sólido,RevertéS.A.,España, 1997.
[5] G.R.Grimment, Percolation, Springer, Berlín, 1989.
[6] A.K. Hartmann and H Rieger, Optimization Algorithms in
Physics, Wiley-VHC, Berlin, 2002
[7] J.M. Hammersley and D.C. Handscomb, Monte Carlo Methods,
Methuen, London, 1964.
[8] A.K. Hartmann and H Rieger, New Optimization Algorithms in
Physics,Wiley-VHC, Berlín, 2004.
[9] J. Hoshen and R. Kopelman, Phys. Rev. B Vol14, 3438–3445,
1976.
[10] J. Hoshen and R. Kopelman, Journal of Statistical Physics
Vol.21, No5, 583-600. 1979
INFORMACIÓN ACADÉMICA
Figura 4.- Simulación de una red cuadrada de 100 x 100,
concentración 0.40
En esta sección se solicita se incluya la información académica de
cada uno de los integrantes del artículo como sigue:
María Guadalupe Trejo Arellano: Estudiante de segundo
semestre de la licenciatura en Tecnología de la Universidad
Nacional Autónoma de México.
Josue Becerra Rico: Estudiante de segundo semestre de la
Ingeniería Física de la Universidad Autónoma de Querétaro.
Cristian Felipe Ramírez Gutiérrez: Físico egresado de la
Universidad del Quindio en Colombia, Maestro en Ciencia e
Ingeniería de Materiales del Centro de Física Aplicada y
Tecnología Avanzada.
Figura 5.- Simulación de una red cuadrada de 100 x 100,
concentración 0.57
Mario Enrique Rodríguez García: Físico egresado de la
Universidad del Quindio en Colombia, Maestro en Física egresado
de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí y Doctor en Física
egresado del CINVESTAV del IPN. Realizó dos posdoctorados,
uno en el CINVESTAV y uno en la Universidad de Toronto,
Canadá. Especialista en Fisicoquímica de alimentos, propiedades
ópticas de materiales semiconductores y propiedades termoelectrónicas de los materiales, nivel 3 del SNI e investigador de la
UNAM desde 2001.
Figura 6.- Simulación de una red cuadrada de 100 x 100,
concentración 0.60
PAGINA 3
DE 3