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SISTEMA DE
GESTIÓN DE
LA CALIDAD
ISO 9001:2008
V 05
ELABORACIÓN DE PLANEACION DIDÁCTICA
PP/PPA/ESF-06
PLANEACION DIDACTICA DOCENTES FEPD-004
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Identificación
Asignatura/submódulo:
Álgebra 1 de 1
Plantel :
Profesor (es):
Periodo Escolar:
Academia Estatal de Matemáticas
Agosto/Diciembre 2015
Academia/ Módulo:
Semestre:
Matemáticas
Primero
CECyTE QUERÉTARO
Horas/semana:
4
Competencias:
Disciplinares (X )
Profesionales ( )
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Competencias Genéricas:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo definiendo un curso de acción con
pasos específicos
Resultado de Aprendizaje:
Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de
problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican
conocimientos y conceptos algebraicos.
Tema Integrador:
El álgebra en tu contexto cotidiano
Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447):
3.- Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contexto
disciplinares, curriculares y sociales amplios.
3.1.- Identifica los conocimientos previos y necesidades de formación de los estudiantes, y desarrolla estrategias para
avanzar a partir de ellas.
3.3.- Diseña y utiliza en el salón de clases materiales apropiados para el desarrollo de competencias.
Dimensiones de la Competencia
Conceptual:
Procedimental:







Identifica los elementos de un término algebraica.
Nombra la notación algebraica.
Define expresión algebraica.
identifica la evaluación numérica de expresiones
algebraicas.
Interpreta una expresión algebraica.
Reconoce las operaciones fundamentales.



Escribe expresiones algebraicas en lenguaje común y
viceversa.
Sustituye valores numéricos en las expresiones algebraicos.
Resuelve ejercicios identificando las partes de una expresión
algebraica.
Realiza ejercicios que impliquen la aplicación de las
operaciones fundamentales algebraicas y el uso de las leyes
de los exponentes y radicales.
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PLANEACION DIDACTICA DOCENTES FEPD-004
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA





Identifica las leyes de los exponentes y los
radicales.
Conoce las reglas de los productos notables.
Identifica los casos de factorización.
Identifica ecuaciones lineales de 1, 2 y 3
incógnitas, así como sus métodos de
solución.
Conoce la clasificación de las ecuaciones
cuadráticas y sus métodos de solución.





Desarrolla los productos notables aplicando sus respectivas
reglas.
Resuelve ejercicios aplicando los casos de factorización.
Realiza despejes en ecuaciones lineales.
Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales aplicando los
métodos correspondientes.
Expresa las raíces de las ecuaciones cuadráticas según el caso.
Actitudinal:
Se relaciona respetuosamente con la comunidad escolar y practica el auto respeto.
Realiza con pulcritud el trabajo y se observa aseo personal.
Realizar los trabajos con puntualidad y apegado a los requerimientos.
Se compromete con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.
Actividades de Aprendizaje
Tiempo Programado:
Tiempo Real:
60 horas
Fase I Apertura
Competencias a
desarrollar
(habilidad,
conocimiento y
actitud)
Actividad / Transversalidad
Actividad que realiza el
docente
(Enseñanza)
No. de sesiones
Actividad que realiza
el alumno
(Aprendizaje)
Da a conocer a los
estudiantes el contenido
de planeación (la forma
de
evaluación,
la
interrelación con otras
asignaturas, etc.), la
rúbrica de evaluación, el
reglamento interno de
clase y los compromisos
del docente.
1 sesión
1.
Conoce
el
contenido
de
la
planeación (la forma
de evaluación, la
interrelación
con
otras
asignaturas,
etc.), la rúbrica de
evaluación,
el
reglamento interno
de clase y los
compromisos
del
docente.
Aplica la evaluación
diagnóstica y dirige la
retroalimentación
y
correcciones
de
la
2.- Elaboración de
evaluación
diagnóstica
y
correcciones de la
El material
didáctico a
utilizar en
cada clase.
Rúbricas
de
evaluación.
Evaluación
diagnóstica
escrita.
Libreta
de
Producto de
Aprendizaje
Ponderaci
ón
Apuntes
completos en
el portafolio
de evidencias.
N/A
Evaluación
diagnóstica
escrita,
pegada
y
4%
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COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
misma.
misma.
apuntes.
1 sesión
corregida en
la libreta de
apuntes.
Fase II Desarrollo
Competencias a
desarrollar
(habilidad,
conocimiento y
actitud)
Actividad/ transversalidad
Actividad que realiza el
docente
(Enseñanza)
No. de sesiones
Pide al alumno que
realice una investigación,
posteriormente
retroalimenta
la
investigación
y
las
participaciones
orales
por
parte
de
los
educandos.
1 sesión
4.1. Expresa ideas y
conceptos mediante
representaciones
lingüísticas,
matemáticas o
gráficas.
8.1 Propone maneras
de solucionar un
problema o desarrollar
un proyecto en equipo
definiendo un curso de
acción con
Pide a los alumnos un
mapa mental, supervisa
y
retroalimenta
la
actividad
de
los
estudiantes. Propicia la
co-evaluación de la
actividad.
1 sesión
Expone la forma de
transformación de un
lenguaje
común
a
lenguaje algebraico y
viceversa.
1 sesión
Por medio de la técnica
expositiva trabaja con el
grupo la conversión de
expresiones algebraicas
a lenguaje común y
viceversa.
1 sesión
Actividad que realiza
el alumno
(Aprendizaje)
El material
didáctico a
utilizar en
cada clase.
Producto de
Aprendizaje
Ponderaci
ón
3.Realiza
una
investigación
de
conceptos (álgebra,
constante, variable o
literal,
coeficiente,
exponente, término
y
expresión
algebraica)
a
trabajar durante el
parcial.
La
investigación debe
incluir bibliografía y
glosario. La actividad
se comenta en clase.
Bibliografías
sugeridas
Investigación
escrita.
4%
4.-De
manera
individual realiza un
mapa mental sobre
los
signos
de:
agrupación, relación
y operación.
Pintarrón
Colores
Computadora
Proyector
Mapa mental
en libreta de
apuntes.
4%
5.- Realiza apuntes
de
la
práctica
demostrativa
por
parte del facilitador.
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Apuntes
en
portafolio de
evidencias.
N/A
6.- Colabora con su
grupo en la práctica
de
ejercicios de
conversión
de
lenguaje común a
lenguaje algebraico y
viceversa.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios
resueltos
libreta.
N/A
en
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Le encarga al alumno
que realice la tarea 1.
Lenguaje algebraico y
lenguaje
común.
Posteriormente
se
realiza
una
coevaluación.
1 sesión
Explica ejemplos sobre
reducción de términos
semejantes.
1 sesión
Conforma equipos de
trabajo
y
presenta
ejercicios
sobre
reducción de términos
semejantes para su
solución.
1 sesión
Le encarga al alumno
que realice la tarea 2.
Reducción de términos
semejantes.
Posteriormente
se
realiza
una
coevaluación.
1 sesión
Explica ejemplos sobre la
evaluación numérica.
1 sesión
Conforma equipos de
trabajo
y
presenta
ejercicios
sobre
evaluación
numérica
para su solución.
1 sesión
Le encarga al alumno
que realice la tarea 3.
Evaluación
numérica.
Posteriormente
se
realiza
una
coevaluación. 1 sesión
7.- Realiza la tarea
correspondiente al
tema. Tarea 1
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de
la tarea 1
4%
8.-Toma notas y
expresa sus dudas.
Pintarrón y/o
Matarial
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejemplos
libreta.
en
N/A
9.Resuelve
los
ejercicios propuestos
por el facilitador.
Pintarrón y/o
Apuntes
electrónicos,
Problemario.
Ejercicios
libreta.
en
10.- Realiza la tarea
correspondiente al
tema. Tarea 2
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de
la tarea 2
4%
11.-Toma notas y
expresa sus dudas.
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejemplos
libreta.
en
N/A
12.- Resuelve los
ejercicios propuestos
por el facilitador.
Pintarrón y/o
Apuntes
electrónicos,
Problemario.
Ejercicios
libreta.
en
13.- Realiza la tarea
correspondiente al
tema. Tarea 3
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Resultados de
la tarea 3
NA
NA
4%
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Por medio de técnica
expositiva explica la
solución a ejemplos de
operaciones
con
monomios y polinomios.
1 sesión
14.Realiza
anotaciones de los
ejemplos. Suma y
resta de polinomios.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Apuntes
libreta.
Revisa los procesos de
solución a operaciones
con
monomios
y
polinomios
determinadas.
Le
encarga al alumno tarea
4. 1 sesión
15.-Resuelve
ejercicios en parejas
o tríos con el apoyo
del profesor en caso
de dudas acerca de
los
procesos
de
solución. La actividad
se coevalúa entre las
parejas de trabajo.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios
resueltos en
libreta. Tarea
4.
4%
Retroalimenta el trabajo
colaborativo
(operaciones
con
monomios y polinomios)
por parte de las parejas
de alumnos involucradas
en la aplicación de dicha
actividad
y
da
seguimiento
a
la
coevaluación
de
la
misma. 1 sesión
16.- Trabaja en tríos
o parejas la solución
de
algunas
operaciones
con
monomios
y
polinomios.
La
actividad se coevalúa
entre las parejas de
trabajo.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Actividad
contestada y
pegada en la
libreta
(Ya
calificada).
NA
Explica ejemplos sobre la
aplicación de las leyes de
los radicales y de los
exponentes. 1 sesión
17.Realiza
anotaciones respecto
a
los
ejemplos
compartidos por el
facilitador.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Apuntes
en
portafolio de
evidencias.
N/A
Por medio de una
práctica
guiada
da
seguimiento
a
la
actividad en parejas por
parte de los estudiantes.
Propicia
la
autoevaluación de cada
uno de los estudiantes.
Le encarga a los alumno
las tareas 5: leyes de
exponentes y tarea 6:
leyes de radicales.
1 sesión
18.Resuelve
ejercicios
y
problemas
que
implican el trabajo
con leyes de los
exponentes y de los
radicales para su
solución. La actividad
se autoevalúa.
Pintarrón
Proyector
Computadora
Ejercicios
y
problemas en
libreta. Tarea
5 y 6.
8%
en
N/A
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Realiza una exposición
sobre los temas de:
signos de agrupación.
1 sesión
19.-Toma
sobre el tema
Le pide al alumno que
realice la tarea 7.
Posteriormente
se
realiza
una
coevaluación.
1 sesión
20.- Realiza la tarea 7
notas
Proporciona
las
instrucciones
de 21.- Por medio de
aplicación
de
la una
práctica
evaluación parcial, así autónoma se realiza
mismo heteroevalúa la la evaluación parcial
actividad con apoyo de escrita de manera
la
rúbrica individual.
correspondiente.
LECTURA: El hombre que 22.-Realiza la lectura
calculaba.
del capítulo 1 y 2,
Coordina la dinámica de entrega el reporte de
lectura y menciona los acuerdo
a
los
lineamientos
de
la criterios
del
entrega del reporte.
facilitador
Evaluación Primer Parcial
Expone la multiplicación
y división de polinomios
4 sesiones
23.- Realiza apuntes
de
la
práctica
demostrativa
por
parte del facilitador.
Le pide al alumno que
realice la tarea 8.
Posteriormente
se
realiza
una
coevaluación.
1 sesión
24.- Realiza la tarea 8
Toma como referencia
25.-
De
la
Material
didáctico.
Plataforma de
matemáticas.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Apuntes
NA
Portafolio
4%
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
Libro
electrónico
Reporte
libreta
N/A
Pintarrón y/o
Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Material
didáctico.
Apuntes y/o
bibliografía
sugerida.
Computadora
Bibliografía
en
Apuntes
en
portafolio de
evidencias.
N/A
Portafolio y/o
libreta.
10 %
Investigación
N/A
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los resultados obtenidos
en la lluvia de ideas para
delimitar los conceptos,
que forman parte de la
investigación de los
educandos.
Retroalimenta
la
investigación
apoyándose en la rúbrica
de evaluación.
1 sesión
Investigación realiza
una lluvia de ideas
para colaborar en la
elaboración de la
tabla con las reglas
de los productos
notables y los casos
de factorización que
existen.
sugerida
escrita
libreta
apuntes
Tabla.
en
de
y
Realiza
ejercicios
demostrativos sobre la
solución de productos
notables.
4 sesiones
26.Realiza
anotaciones sobre los
ejemplos explicados
por el facilitador.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Le pide al alumno
solución de productos
notables. Tarea 9
1 sesión
27.Resuelve
ejercicios
sobre
productos notables
en parejas o tríos. Al
terminar coevaluan
la actividad entre los
grupos de trabajo
tomando
como
apoyo la rúbrica de
evaluación.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios en
portafolio de
evidencias
10 %
Realiza mediante la
técnica expositiva el
tema
sobre
factorización.
3 sesiones
28.Realiza
anotaciones sobre el
trabajo
con
los
ejemplos en la libreta
de apuntes
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Apuntes
libreta.
N/A
Proporciona ejercicios de
factorización.
Realiza la rifa de un
ejercicio de factorización
distinto a cada pareja de
trabajo en el salón y
29.Realizan
ejercicios
de
factorización.
En parejas se les
asigna un ejercicio de
factorización al azar,
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
Rotafolios con
su
ejercicio
de exposición
resuelto y/o
exposición
Anotaciones
en
el
portafolio de
evidencias.
N/A
en
5%
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retroalimenta
la
planeación
de
las
exposiciones
de las
soluciones
de
los
ejercicios de
los
educandos por medio de
una
práctica
supervisada.
2 sesiones
Coordina el orden de las
exposiciones por parte
de los educandos y
retroalimenta
el
contenido de la actividad
en caso necesario.
1 sesión
Plantea ejercicios de
factorización para su
solución y coevalúa la
actividad terminada con
apoyo de la rúbrica de
evaluación.
1 sesión
Proporciona
las
instrucciones
de
aplicación
de
la
evaluación parcial, así
mismo heteroevalúa la
actividad con apoyo de
la
rúbrica
correspondiente.
1 sesión
LECTURA: El hombre que
calculaba.
Coordina la dinámica de
lectura y menciona los
lineamientos
de
la
entrega del reporte.
para resolverlo y
exponerlo ante el
grupo. Al finalizar la
actividad
cada
estudiante
se
coevaluarán según
los
criterios
establecidos en la
rúbrica de evaluación
para dicha actividad.
30.- Por medio de
una
práctica
autónoma
expone
verbalmente
el
ejercicio
correspondiente a la
pareja de trabajo. La
exposición
se
coevaluarán entre las
parejas de trabajo,
según la rúbrica
correspondiente.
didáctico,
Apunte
electrónicos
electrónica.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Portafolio de
evidencias con
los apuntes de
todas
las
exposiciones.
5%
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios en
portafolio de
evidencias.
10%
32.- Por medio de
una
práctica
autónoma se realiza
la evaluación parcial
escrita de manera
individual.
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
33.-Realiza la lectura
del capítulo 3 y 4,
entrega el reporte de
acuerdo
a
los
criterios
del
facilitador
Libro
electrónico
Reporte
libreta
N/A
31.Resuelve
ejercicios
de
factorización
de
manera
individual
por medio de una
práctica autónoma.
Tarea 10.
en
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1 sesión
Evaluación Segundo Parcial
Exposición que implica el
trabajo con ejemplos de
soluciones a ecuaciones
lineales
con
una
incógnita.
4 sesiones
Propone ejercicios de
despejes de ecuaciones
lineales
con
una
incógnita
2 sesiones
Da a conocer los
lineamientos generales
de la investigación sobre
los métodos de solución
a sistemas de ecuaciones
con dos incógnitas.
3 sesiones
Por medio de una
práctica
demostrativa
explica ejemplos sobre
los métodos de solución
a ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
2 sesiones
34.Escribe los
ejemplos en la libreta
de apuntes así mismo
agrega anotaciones
significativas
que
puedan
complementar
sus
anotaciones sobre el
tema.
35.- Integrado en
parejas
o
tríos
trabaja la solución de
las
ecuaciones
lineales con una
incógnita,
proporcionados por
el facilitador. Al
terminar colabora en
la coevaluación de la
actividad
teniendo
como
apoyo
la
rúbrica
de
evaluación.
36.- Investiga los
métodos de solución
de
sistemas
de
ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
Al finalizar coevalúa
la actividad.
37.Realiza
anotaciones obre las
soluciones a los
ejemplos de cada
método trabajado.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Investigación
escrita
en
libreta
de
apuntes.
N/A
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios de
reforzamiento
en libreta de
apuntes.
5%
Computadora
Internet
Bibliografía
sugerida
Investigación
en hojas para
entregar.
Requisito para
calificar
la
actividad 33.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Examen
rápido pegado
(ya revisado) y
corregido en
la libreta de
apuntes.
N/A
N/A
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Da a los estudiantes los
ejercicios y problemas
que
resolverán
utilizando los métodos
de solución. Conforma
equipos y retroalimenta
las dudas.
1 sesión
Da a conocer los
lineamientos
de
la
investigación sobre las
generalidades de las
ecuaciones cuadráticas y
sus métodos de solución.
1 sesión
Por medio de una
práctica
demostrativa
explica ejemplos sobre
los métodos de solución
de
ecuaciones
cuadráticas
4 sesiones
Da a los estudiantes los
ejercicios y problemas
que
resolverán
utilizando las ecuaciones
cuadráticas
1 sesión
Competencias a
desarrollar
(habilidad,
38.En
equipos
trabajan la solución
de
ejercicios
y
problemas,
que
implican el trabajo
con la solución de
sistemas
de
ecuaciones lineales
con dos y tres
incógnitas
por los
distintos métodos.
Colabora
en
la
coevaluación de la
actividad al término
de la misma.
39.- Investiga los
métodos de solución
de las ecuaciones
cuadráticas.
Al finalizar coevalúa
la actividad.
40.Realiza
anotaciones obre las
soluciones a los
ejemplos de cada
método trabajado.
41.En
equipos
trabajan la solución
de
ejercicios
y
problemas,
que
implican el trabajo
con la solución de
ecuaciones
cuadráticas. Colabora
en la coevaluación de
la
actividad
al
término de la misma.
Fase III Cierre
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios
resueltos
libreta.
Computadora
Internet
Bibliografía
sugerida
Investigación
en hojas para
entregar.
Requisito para
calificar
la
actividad 36.
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Examen
rápido pegado
(ya revisado) y
corregido en
la libreta de
apuntes.
N/A
Pintarrón
Marcadores
Proyector
Computadora
y/o Material
didáctico,
Apunte
electrónicos
Ejercicios
resueltos
libreta.
15%
Actividad/transversalidad
Actividad que realiza el
Actividad que realiza
El material
en
20%
N/A
en
Producto de
Aprendizaje
Ponderaci
ón
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COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
conocimiento y
actitud)
C. D. 2.- Formula y
resuelve problemas
matemáticos,
aplicando diferentes
enfoques.
C.G.4.1
docente
(Enseñanza)
No. de sesiones
Proporciona
las
instrucciones
de
aplicación
de
la
evaluación parcial, así
mismo heteroevalúa la
actividad con apoyo de
la
rúbrica
correspondiente.
1 sesión
LECTURA: El hombre que
calculaba.
Coordina la dinámica de
lectura y menciona los
lineamientos
de
la
entrega del reporte.
1 sesión
el alumno
(Aprendizaje)
42.- Por medio de
una
práctica
autónoma se realiza
la evaluación parcial
escrita de manera
individual.
43.- Realiza la lectura
del capítulo 5 y 6,
entrega el reporte de
acuerdo
a
los
criterios
del
facilitador
didáctico a
utilizar en
cada clase.
Examen
escrito.
Examen
escrito pegado
y corregido en
la libreta de
apuntes.
60%
Libro
electrónico
Reporte
libreta
N/A
en
Evaluación Tercer Parcial
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Elementos de Apoyo (Recursos)
Equipo de apoyo
Cañón
Computadora
Pintarron
Rotafolios
Bibliografía
Lehman, Ch. H. (1986) Álgebra (1° Ed) México. Ed. Limusa
Baldor, A. (2006) Álgebra (1° Ed) México. Publicaciones
Cultural.
Acosta, R. (2006) Álgebra (1° Ed) México. DGETI
Phillips, E. Butts, Thomas & Schaugnessy, Michael. (1997).
Álgebra con aplicaciones (2° Ed.) México. Ed. Harla
Olvera, B. (1990) Aritmética y álgebra (1° Ed.) México. DGETI.
Recuperado de : www.soko.com.ar/matematicas.htm
Evaluación
Criterios:
Instrumento:
40% Trabajos y tareas.
Rúbrica global que incluye:
60% Examen parcial
Rúbrica general de actividades de clase y tareas
Rúbrica para evaluar el examen parcial
Porcentaje de aprobación a lograr: 70%
Fecha de validación: 04 de agosto de 2015
Fecha de Vo.Bo de Servicios Docentes: 09 de Julio de 2015
EXAMEN
DIAGNÓSTICO
ÁLGEBRA
FECHA:
SEMESTRE Y ESPECIALIDAD O GRUPO:
ACIERTOS:
ALUMNO:
CALIFICACIÓN:
___ /10
Lee cuidadosamente cada una de las instrucciones y contesta lo que se te pide.
No olvides escribir todos los procedimientos que sean necesarios para llegar a
cada solución.
I.- ARITMÉTICA
(5 puntos)
Resuelve los siguientes retos:
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a) Una persona sube a un ascensor desde la planta baja de un edificio (planta
cero). El ascensor sube 5 pisos, después baja 3, sube 5, baja 8, sube 10,
sube 5 y baja 6. ¿En qué piso está?
b) Si Alicia gasta $2, le quedaría el doble del dinero que si gastara $4.
¿Cuántos pesos tiene Alicia?
c) En una ciudad se registraron por 7 días a la misma hora las
siguientes temperaturas en °C: 27°, 26°,20°,15°,7°, 0° y -3°. ¿En
cuáles de los días se registraron las temperaturas que sobrepasaban
los – 1° pero estaban por debajo de los 20°?
d) Doña Concha
quiere preparar frijoles charros, para lo cual le encargó
de
a su marido los siguientes ingredientes: 1000 gr. de frijol,
salchicha, 1 kg de jamon, ¼ kg de chorizo, 50 gr. de cilantro, 150 gr. de
puré de tomate y .5 kg. de tocino. ¿A cuánto equivale la masa total de los
ingredientes?. Expresa el resultado en kg.
e) Marco tiene
de alambre, si para realizar una conexión eléctrica requiere
solo la mitad. ¿Qué fracción de metro le sobra?
II.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS
(5 puntos)
Resuelve las siguientes operaciones algebraicas:
a) 3a – 2a + a =
b) 2x2 - 5x – x2 – x =
c) (6x3y)(-2y) =
d) (5a) (2a + 7b – 5c)=
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PLANEACION DIDACTICA DOCENTES FEPD-004
e) – 55 a8 =
5 a3
RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 1° PARCIAL
PONDERACIÓN
5%
4%
2-3 %
0-1%
Examen
diagnóstico
Más del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
Más del 70% y menos
del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
Menos del 30% del
examen resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
Investigación
sobre conceptos
relacionados con
expresiones
algebraicas.
Investigación completa. Se
entrega en tiempo y
forma. Letra legible y
excelente ortografía.
Investigación completa.
Se entrega en tiempo y
forma. Letra poco
legible y algunas faltas
de ortografía.
Mapa mental
sobre signos de
operación,
agrupación y
relación.
Mapa mental completo y
con buena presentación.
Usa colores, flechas e
imágenes asociadas al
tema.
Mapa mental completo,
pero usa mucho texto
en lugar de colores,
flechas e imágenes
asociadas al tema.
Más del 40% y menos
del 60% del examen
resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
Investigación
incompleta (falta solo
una pequeña parte
del trabajo) con
algunas faltas de
ortografía.
Mapa mental
incompleto y con
buena presentación.
Usa colores, flechas e
imágenes.
Ejercicios y
problemas sobre
evaluación
numérica
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y
problemas sobre
reducción de
términos
semejantes
Ejercicios y
problemas sobre
adición y
sustracción de
polinomios.
Ejercicios y
problemas sobre
producto y
cociente de
polinomios.
Ejercicios y
problemas sobre
leyes de los
exponentes y de
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra
legible y algunas faltas
de ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra
legible y algunas faltas
de ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra
legible y algunas faltas
de ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra
legible y algunas faltas
de ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra
legible y algunas faltas
Total
ACTIVIDAD
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
La investigación
carece de la
información
requerida.
Mapa mental
incompleto. Usa
información muy
limitada. La actividad
tiene presentación
regular.
Tiene la mitad o
menos de los
ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Tiene la mitad o
menos de los
ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Tiene la mitad o
menos de los
ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Tiene la mitad o
menos de los
ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Tiene la mitad o
menos de los
ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
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los radicales.
Actividad
Examen parcial
46-60%
Más del 80% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
de ortografía.
31-45%
Más del 60% y menos
del 80% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
16-30% Más del 40% y menos
del 60% del examen
resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
letra poco legible
0-15%
Menos del 40% del
examen resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
TOTAL
RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 2° PARCIAL
PONDERACIÓN
ACTIVIDAD
Ejercicios sobre
multiplicación de
polinomios(monomi
os)
5%
4%
3-2 %
1-0 %
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra legible
y algunas faltas de
ortografía.
La solución del problema
se presenta de manera
poco clara y con la solución
correcta. La expresión oral
y escrita es poco fluida. Su
escritura presenta de 1 a 3
errores ortográficos.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Tiene la mitad o menos
de los ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
La solución del problema
se presenta de manera
poco clara y con la
solución correcta. La
expresión oral y escrita
es confusa. Su escritura
presenta de 4 a 6
errores ortográficos.
La solución del problema
se presenta de manera
poco clara y con la
solución incorrecta. La
expresión oral y escrita
es confusa. Su escritura
presenta más de 7
errores ortográficos.
Exposiciones sobre
división de
polinomios
(monomios)
La solución del problema se
presenta de manera clara,
completa y correcta. La
expresión oral y escrita es
fluida. Su escritura presenta
excelente ortografía.
Actividad
10 – 9 %
8 – 7%
6 – 4%
3 – 0%
Ejercicios y
problemas sobre
productos notables.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Tiene la mitad o menos
de los ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Solución de
ejercicios sobre un
caso de
factorización.
Trabajo en equipos de manera
colaborativa, investigan sobre
su ejercicio de exposición y
elaboran el material adecuado
como herramienta de apoyo
para explicar procesos de
solución. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra legible
y algunas faltas de
ortografía.
Trabajo en equipos de
manera colaborativa.
Elaboran el material
adecuado como
herramienta de apoyo para
explicar procesos de
solución. Letra legible con
pocos errores ortográficos.
Trabajo en equipos poco
colaborativo. Uno de los
integrantes elabora el
material adecuado como
herramienta de apoyo
para explicar procesos
de solución. Letra legible
con algunos errores
ortográficos.
Trabajo en equipos poco
colaborativo. Uno de los
integrantes elabora el
material de apoyo de
manera errónea. Letra
legible con demasiados
errores ortográficos.
Actividad
Examen parcial
60 – 46%
Más del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
45 – 31%
Más del 70% y menos
del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
30 - 16% Más del 40% y menos
del 60% del examen
resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
15 – 0%
Menos del 30% del
examen resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
Total
TOTAL
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RÚBRICA GLOBAL DE ÁLGEBRA DE 3° PARCIAL
PONDERACIÓN
5%
4%
3-2 %
1-0 %
ACTIVIDAD
Ejercicios y
problemas sobre
ecuaciones lineales
con una incógnita.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra legible
y algunas faltas de
ortografía.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Tiene la mitad o menos
de los ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Actividad
15 –12 %
11 – 8%
7 – 4%
3 – 0%
Ejercicios en parejas
sobre la solución a
ecuaciones
cuadráticas.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra legible
y algunas faltas de
ortografía.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Tiene la mitad o menos
de los ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Actividad
20 –16 %
15 – 11%
10 – 6%
5 – 0%
Ejercicios y
problemas sobre
solución de
sistemas de
ecuaciones con dos
incógnitas.
Ejercicios y problemas
completos. Letra legible y
excelente ortografía.
Ejercicios y problemas s
completos, ejercicios
incompletos. Letra legible
y algunas faltas de
ortografía.
Ejercicios y problemas
casi completos. Pocos
errores ortográficos y
letra poco legible.
Tiene la mitad o menos
de los ejercicios. Tienes
errores ortográficos y
letra poco legible
Actividad
Examen parcial
60 – 46%
Mas del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
45 – 31%
Más del 70% y menos
del 90% del examen
resuelto correctamente
con proceso de solución
legible.
30 - 16% Más del 40% y menos
del 60% del examen
resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
15 – 0%
Menos del 30% del
examen resuelto
correctamente con
proceso de solución
legible.
Total
TOTAL
Lecturas del Primer Parcial
CAPITULO I
En el que se narran las divertidas circunstancias de mi encuentro con un singular viajero camino de la
ciudad de Samarra, en la Ruta de Bagdad. Qué hacía el viajero y cuáles eran sus palabras. ¡En el nombre
de Allah, Clemente y Misericordioso! Iba yo cierta vez al paso lento de mi camello por la Ruta de Bagdad
de vuelta de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, a orillas del Tigres, cuando vi, sentado en una
piedra, a un viajero modestamente vestido que parecía estar descansando de las fatigas de algún viaje.
Me disponía a dirigir al desconocido el trivial salam de los caminantes, cuando, con gran sorpresa por mi
parte, vi que se levantaba y decía ceremoniosamente:
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-Un millón cuatrocientos veintitrés mil setecientos cuarenta y cinco…Se sentó en seguida y quedó en
silencio, con la cabeza apoyada en las manos, como si estuviera absorto en profundas meditaciones.
Me paré a cierta distancia y me quedé observándolo como si se tratara de un monumento histórico de los
tiempos legendarios.
Momentos después, el hombre se levantó de nuevo y, con voz pausada y clara, cantó otro número
igualmente fabuloso:
-Dos millones trescientos veintiún mil ochocientos sesenta y seis…Y así, varias veces, el raro viajero se
puso en pie y dijo en voz altaun número de varios millones, sentándose luego en la tosca piedradel
camino.
Sin poder refrenar mi curiosidad, me acerqué al desconocido, y, después de saludarlo en nombre de Allah
–con Él sean la oración y la gloria-, le pregunté el significado de aquellos números que solo podrían figurar
en cuentas gigantescas.-Forastero, respondió el Hombre que Calculaba, no censuro la curiosidad que te ha
llevado a perturbar mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos. Y ya que supiste dirigirte a mí con
delicadeza y cortesía, voy a atender a tus deseos. Pero para ello necesito contarte antes la historia de mi
vida. Y relató lo siguiente, que por su interés voy a trascribir con toda fidelidad:
CAPITULO II
Donde Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, cuenta la historia de su vida. Cómo quedé informado de
los cálculos prodigiosos que realizaba y de cómo vinimos a convertirnos en compañeros de jornada.
-Me llamo Beremiz Samir, y nací en la pequeña aldea de Khoi, en Persia, a la sombra de la pirámide
inmensa formada por el monte Ararat. Siendo aún muy joven empecé a trabajar como pastor al servicio
de un rico señor de Khamat.
Todos los días, al amanecer, llevaba a los pastos el gran rebaño y me veía obligado a devolverlo a su redil
antes de caer la noche. Por miedo a perder alguna oveja extraviada y ser, por tal negligencia, severamente
castigado, las contaba varias veces al día.
Así fui adquiriendo poco a poco tal habilidad para contar que, a veces, de una ojeada contaba sin error
todo el rebaño. No contento con eso, pasé luego a ejercitarme contando los pájaros cuando volaban en
bandadas por el cielo.
Poco a poco fui volviéndome habilísimo en este arte. Al cabo de unos meses –gracias a nuevos y
constantes ejercicios contando hormigas y otros insectos- llegué a realizar la proeza increíble de contar
todas las abejas de un enjambre. Esta hazaña de calculador nada valdría, sin embargo, frente a muchas
otras que logré más tarde. Mi generoso amo poseía, en dos o tres distantes oasis, grandes plantaciones de
datileras, e, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó dirigir la venta de sus frutos,
contados por mí en los racimos, uno a uno.
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Trabajé así al pie de las palmeras cerca de diez años. Contento con las ganancias que le procuré, mi
bondadoso patrón acaba de concederme cuatro meses de reposo y ahora voy a Bagdad pues quiero visitar
a unos parientes y admirar las bellas mezquitas y los suntuosos palacios de la famosa ciudad. Y, para no
perder el tiempo, me ejército durante el viaje contando los árboles que hay en esta región, las flores que
la embalsaman, y los pájaros que vuelan por el cielo entre nubes.
Y señalándome una vieja higuera que se erguía a poca distancia, prosiguió:
-Aquel árbol, por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene como
promedio, trescientos cuarenta y seis hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y
ocho mil quinientos cuarenta y ocho hojas. ¿No cree, amigo mío?
-¡Maravilloso! –exclamé atónico. Es increíble que un hombre pueda contar, de una ojeada, todas las
ramas de un árbol y las flores de un jardín… Esta habilidad puede procurarle a cualquier persona inmensas
riquezas.
-¿Usted cree? –se asombró Beremiz. Jamás se me ocurrió pensar que contando los millones de hojas de
los árboles y los enjambres de abejas se pudiera ganar dinero. ¿A quién le puede interesar cuántas ramas
tiene un árbol o cuántos pájaros forman la bandada que cruza por el cielo?
-Su admirable habilidad –le expliqué- puede emplearse en veinte mil casos distintos. En una gran capital
como Constantinopla, o incluso en Bagdad, sería usted un auxiliar precioso para el Gobierno.
Podría calcular poblaciones, ejércitos y rebaños. Fácil le sería evaluar los recursos del país, el valor de las
cosechas, los impuestos, las mercaderías y todos los recursos del Estado. Le aseguro –por las relaciones
que tengo, pues soy bagdalí- que no le será difícil obtener algún puesto destacado junto al califa AlMotacén, nuestro amo y señor. Tal vez pueda llegar al cargo de visir-tesorero o desempeñar las funciones
de secretario de la Hacienda musulmana.
-Si es así en verdad, no lo dudo, respondió el calculador. Me voy a Bagdad.
Y sin más preámbulos se acomodó como pudo en mi camello –el único que llevábamos-, y nos pusimos a
caminar por el largo camino cara a la gloriosa ciudad.
Desde entonces, unidos por este encuentro casual en medio de la agreste ruta, nos hicimos compañeros y
amigos inseparables.
Beremiz era un hombre de genio alegre y comunicativo. Muy joven aún –pues no había cumplido todavía
los veintiséis años- estaba dotado de una inteligencia extraordinariamente viva y de notables aptitudes
para la ciencia de los números.
Formulaba a veces, sobre los acontecimientos más triviales de la vida, comparaciones inesperadas que
denotaban una gran agudeza matemática. Sabía también contar historias y narrar episodios que
ilustraban su conversación, ya de por sí atractiva y curiosa.
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A veces se quedaba en silencio durante varias horas; encerrado en un mutismo impenetrable, meditando
sobre cálculos prodigiosos. En esas ocasiones me esforzaba en no perturbarlo. Le dejaba tranquilo, para
que pudiera hacer, con los recursos de su privilegiada memoria, descubrimientos fascinantes en los
misteriosos arcanos de la
Matemática, la ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.
Lectura del Segundo Parcial
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PROYECTO GLOBAL
Algebra
Aplicación de las propiedades de polinomio
I.
Organización
1. El proyecto deberá ser realizado en tercias
II.
Problemática
1. Construir una red de calles (las más transitadas de su
localidad) y analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles
III.
Contenido
1. Índice
2. Breve reseña histórica de las calles que eligió
3. Fotografía de los cruces de la calle y de la red de calles que
eligió para el análisis
4. Construcción del sistema de ecuaciones de primer grado
5. Resolución del sistema de ecuaciones de primer grado
6. Análisis de los resultados obtenidos
7. Posibles soluciones al problema
8. Conclusiones
9. Numeración de páginas
IV.
Entrega del proyecto
1. A consideración del profesor
V.
Valor:
Nota importante: Cualquier duda con el desarrollo del proyecto se puede consultar con el docente
en horario conveniente.
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EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Instrucciones: El siguiente modelo de rúbrica está diseñado para evaluar un proyecto de investigación en el que se centra la atención
en los atributos 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.3 Asume una
actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo, las
cuales forman parte de la competencia genérica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados y 8. Participa y colabora en equipos diversos.
El evaluador marcará con una “X” el nivel de logro alcanzado, el puntaje obtenido por cada aspecto puede ser de 1 hasta 4,
seleccionando el nivel que considere más adecuado. La suma total más alta es de 40 puntos, al final de la rúbrica se proponen los
rangos para calificar.
NOMBRE DEL EQUIPO
ATRIBUTO
4.1. Expresa
ideas
y
conceptos
mediante
representacio
nes
lingüísticas,
matemáticas
o gráficas.
8.1 Propone
maneras de
solucionar un
problema o
desarrollar un
proyecto en
equipo
definiendo un
curso de
acción con
pasos
específicos
ASPECTOS A
EVALUAR
Planteamiento
del problema
Hipótesis
Metodología
Desarrollo
GRUPO
NOMBRE DEL PROYECTO:
NIVEL DE DOMINIO
REFERENTE
Competente
4 puntos
Satisfecho
3 puntos
Básico
2 puntos
Insuficiente
1 punto
Puntaje.
Identifica el
problema y
plantea
preguntas
pertinentes
y
significativas.
La hipótesis está
planteada con
claridad
y
relacionada con
el objeto de
estudio.
La
hipótesis
refleja posible
explicación de
lo que se quiere
estudiar.
Elige una
Metodología
acorde con el
tipo
de
investigación.
Aplica
correctamente la
metodología,
utiliza
los
instrumentos
diseñados para
el registro de
observaciones y
datos, y cumple
con los tiempos
establecidos.
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Avance de la competencia GEOMETRIA ANALITICA
Competencias genéricas
Actividad
No la ha
desarrollado
(0-2.4%)
Porcentaje de
avance logrado
(2.5-4%)
Desarrollada
(4.1-5%)
No la ha
desarrollado
(0- 20%)
Porcentaje de
avance logrado
(21-30%)
Desarrollada
(31 - 40%)
Total
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Competencias genéricas
Actividad
Anexo Matriz de evaluación por competencias
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8.1 Propone maneras de solucionar un problema o
desarrollar un proyecto en equipo definiendo un
curso de acción con pasos específicos.
Nombre y firma del Profesor
Nombre y firma del Tutor
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Antología Teórico-Práctica
V 0.0
Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE
QUERETARO.
Área de Matemáticas.
Programa Educativo: Matemáticas Acuerdo_653_2013.
Materias: Álgebra, Geometría Analítica, Cálculo Integral.
Antología teórico-práctica.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín
Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Agosto 2015-Enero 2016.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Antología Teórico-Práctica
V 0.0
Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
ÌNDICE
Contenido
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Presentación........................................................................................................................................ 4
2).- Competencias a desarrollar: ..................................................................................................... 4
3).- Justificación............................................................................................................................... 4
4).- Utilidad de la antología: ............................................................................................................ 5
ALGEBRA.............................................................................................................................................. 6
I.I Operaciones básicas con fracciones. ........................................................................................... 6
I.II Propiedades de los números reales. ......................................................................................... 8
I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico ................................................................................... 9
I.IV Leyes de los exponentes ......................................................................................................... 13
I.V Operaciones fundamentales en algebra .................................................................................. 15
I.VI Productos Notables ................................................................................................................. 16
I.VII Factorización .......................................................................................................................... 17
I. VIII Ecuaciones 1er grado. .......................................................................................................... 19
II.Geometría Analítica ....................................................................................................................... 24
Sistema coordenado...................................................................................................................... 24
Sistema de Coordenadas Polares. ................................................................................................. 24
Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa. ......... 25
De cartesianas a polares ............................................................................................................... 27
Distancia entre 2 puntos. .............................................................................................................. 28
División de un segmento en una razón dada. ............................................................................... 29
Punto Medio.................................................................................................................................. 30
Lugares geométricos ..................................................................................................................... 31
LA RECTA ....................................................................................................................................... 31
Cónicas .......................................................................................................................................... 32
La circunferencia. .......................................................................................................................... 32
Parabola ........................................................................................................................................ 33
Elipse ............................................................................................................................................. 35
Hiperbola ....................................................................................................................................... 36
III. CALCULO INTEGRAL...................................................................................................................... 39
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
III.I Funciones trigonométricas ...................................................................................................... 39
III.II Aproximaciones ...................................................................................................................... 41
III.III Anti derivada ......................................................................................................................... 42
Integral. ......................................................................................................................................... 43
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Integrales impropias...................................................................................................................... 44
Integración por partes................................................................................................................... 45
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Presentación
1).- Objetivo: Auxiliar al estudiante a desarrollar las competencias genéricas y
disciplinares dentro de las asignaturas de Algebra, Geometría Analítica y Calculo
Integral que el docente impartirá dentro del semestre Agosto 2015- Enero 2016.
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2).- Competencias a desarrollar:
Algebra, Geometría Analítica, Calculo Integral.
Competencias disciplinares
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso
de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
8. Interpreta tablas, gráficas mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Competencias genéricas
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante
la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,
matemáticas o gráficas.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en
equipo definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de
manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
3).- Justificación
La presente antología se elaboró con la finalidad de auxiliar al estudiante a
desarrollar de una manera efectiva las competencias genéricas y disciplinares de
las materias de Algebra, Geometría Analítica y Calculo integral.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Antología Teórico-Práctica
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
El propósito de este documento es que el estudiante tenga a la mano definiciones,
ejemplos, lecturas, gráficas y tablas que podrá consultar para la comprensión y
entrega de tareas, trabajos y proyectos.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Para hacer los ejercicios que van incluidos dentro de la planeación didáctica y de
esta manera se tenga una mejora en el índice de aprobación.
Matemáticas tiene como propósito ampliar el razonamiento del estudiante para
tener una mejor toma de decisiones.
Las matemáticas es la ciencia de los números y requiere de pensamiento abstracto,
es más preciso su lenguaje a comparación de otros lenguajes.
Con el fin de comprender lo que se escribe y lo que se lee, es necesario que los
estudiantes conozcan el significado de las palabras empleadas en matemáticas en
las actividades a realizar, por lo que resulta importante decir que los textos
matemáticos que hemos incluido permite expresar procedimientos y resultados en
la solución de problemas.
4).- Utilidad de la antología:
Muestre disposición para trabajar en forma individual y en equipo.
Comunique sus ideas.
Aporte información significativa a la discusión grupal.
Tenga interés y compromiso en el proceso de aprendizaje y en ampliar su
campo de estudio.
Realice búsqueda de información en las diferentes fuentes informativas que
hemos incluido.
Realice la autoevaluación y evaluación del aprendizaje.
Utilizando las tics.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Antología Teórico-Práctica
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
La materia de algebra tiene como propósito fundamental que el estudiante
desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir
de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto
matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y
conceptos algebraicos.
Razonar con números y variables es la introducción de lo que en realidad son las
matemáticas las cuales nos servirán para hacer operaciones básicas (suma, resta,
multiplicación y división) de polinomios.
Productos notables que no son más que una manera avanzada de multiplicar
binomios al cuadrado y al cubo. Descomposición de una expresión matemática en
la mínima expresión. Resolución de sistema de ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas. Toda esta información será el principio de las próximas asignaturas de
matemáticas en los próximos semestres.
Esperamos que sea una antología de gran utilidad para tu desarrollo dentro de tu
estancia en la educación media superior.
I.I Operaciones básicas con fracciones.
Una de las dificultades encontradas en nuestros alumnos es la comprensión de las
fracciones en sus operaciones básicas.
Incluso hemos percibido esa misma dificultad en algunos de los padres de familia
en el difícil momento de tener de apoyar al alumno al desarrollar sus deberes
escolares. Hace tanto tiempo que vimos esto, que en la mayoría de los casos lo
hemos olvidado, y por esa razón estoy dejando para ustedes un pequeño
documento que espero sea de gran ayuda para todos.
Suma de fracciones
Suma de fracciones para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que
existen 2 tipos de fracciones:
Fracciones homogéneas
1,
3,
5
4
4
4
Fracciones heterogéneas
1,
2,
3
3
5
7
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador.
Las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferente denominador.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas
1+ 3 = 4
5
5
5
2+3=5
7
7
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
7
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. En las
fracciones homogéneas se suman los numeradores y el denominador queda igual.
Suma de fracciones heterogéneas
Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones
mentalmente.
Veamos: sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar
podemos seguir la siguiente regla:
a + c =
ad + bc
(se multiplica cruzado y los productos de suman)
---
---
-----------
b
d
bd
(se multiplican los denominadores)
Ejemplo 1: El jefe de paco repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre
algunos de los contables. A paco le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de
urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que
faltó. En total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar paco?
1 + 1
---
---
4
3
=
1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7
--------------
--------
(4) (3)
---
12
(se simplifica la fracción
12
si es posible)
Solución: paco tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Ejemplo 2: a maría le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre
le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué
parte de la herencia la tocó a maría?
1 + 2 =
---
---
3
5
1(5) + 3(2) =
5 + 6 = 11
--------------
---------
15
---
15
15
A maría le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Resta de fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones;
pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 _1 = 4
9
Ejemplo 2:
9
resta de fracciones homogéneas.
9
2 _ 1 = (2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1
3
2
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
6
resta de fracciones
6
6
heterogéneas
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Multiplicación de fracciones
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se
multiplican de la misma forma:
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Ejemplo:
2 x3 = 6 =
1
3
2
4
12
División de fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda
fracción cambia a su recíproco.
Ejemplo 1:
3 ÷ 4 = 3 x 3 = 9
5
Ejemplo 2:
3
5 x 4
20
3 ÷ 1 = 3 x 2 = 6
7
2
7 x 1
7 (Swokowski, 1998)
I.II Propiedades de los números reales.
Terminología
Caso general
La adición es conmutativa a + b = b + a
Significado
El orden es intrascente
cuando se suman dos
números.
La adición es asociativa
a +(b+c) = (a+b) +c
La
agrupación
es
intrascendente cuando se
suman tres cifras.
0 es la identidad aditiva
a + 0 =a
Sumar 0 a cualquier
cantidad
produce
la
misma cantidad.
1
es
la
multiplicativa
identidad a.1 = a
Inverso aditivo
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
a + (-a) = 0
Multiplicar
cualquier
número por 1 da el mismo
número.
Sumar una cifra y su
inverso da 0.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Inverso multiplicativo
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Multiplicación
distributiva
sobre
adición
a (1/a) = 1
es a (b+c) = ab +ac y
la (a+b)c = ac +bc
Multiplicar un número
diferente de 0 por su
recíproco da 1
Multiplicar un número y la
suma de dos cifras
equivale a multiplicar
cada cifra por el número y
luego
sumar
los
resultados.
Figura 1
Leyes de los signos
Multiplicación y división.
1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a/b son positivos.
2) Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y a/b son negativos.
Suma y resta
3) Si a y b tienen el mismo signo, entonces se suman y se coloca el mismo
signo.
4) Si a y b tienen diferente signo, entonces se restan y se coloca el signo del
número mayor.
I.III Lenguaje común al lenguaje algebraico
Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o en una ecuación.
Quizá la parte difícil al resolver un problema verbal sea transformarlo en una
ecuación. Antes de representar los problemas como ecuaciones, se da algunos
ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas.
Un número incrementado en 8.
Sea x = el número
La expresión algebraica: x + 8
Dos veces un número.
Sea x = el número
La expresión algebraica: 2x Un noveno de un número. Sea x = el número
La expresión algebraica: x/9
2 más que 3 veces un número.
Sea x = el número
La expresión algebraica: 3x + 2
4 menos que 6 veces un número.
Sea x = el número
La expresión algebraica: 6x - 4
12 veces la suma de un numero y 5.
Sea x = el número
La expresión algebraica: 12(x + 5)
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
El quíntuplo de un número menos tres.
Sea x = el número
La expresión algebraica: 5x – 3
Un entero impar
Entonces 2x es siempre un número par
La expresión algebraica: (2x + 1) es un entero impar
Tres enteros consecutivos.
Sea x = es el menor de los enteros
Entonces (x + 1) y (x + 2) serán los otros dos.
El exceso de 50 sobre el triplo de un número.
Sea x = el número
Entonces (50 – 3x)
En estas expresiones algebraicas se utilizó la variable x, pero podríamos haber
utilizado cualquier otra variable para representar la cantidad desconocida.
Ejemplo.
El radio, r, disminuido en 9 centímetros.
Solución: r – 9
5 menos que dos veces la distancia, d.
Solución: 2d – 5
7 veces un número, n, aumentado en 8.
Solución: 7n + 8
El costo por adquirir "y" camisas a $ 6 cada una.
Solución: 4y dólares
La distancia recorrida en t horas a 65 Km por hora.
Solución: 65t
El número de centavos en n monedas de 5 centavos.
Solución: 5n
Una comisión del 7% en la venta de z dólares.
Solución: 0.07z ((7% se escribe como 0.07 en forma decimal)
Cuando se nos pide determinar un porcentaje, siempre estanos determinando el
porcentaje de alguna cantidad. Por lo tanto cuando se lista un porcentaje, siempre
se
8% de un número.
Solución: 0.08b
El costo de un artículo incrementado en un 6% impuesto.
Solución: b + 0.06b
El costo de un artículo reducido en 25%.
Solución: b – 0.25b
A veces en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con
frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión
que contiene esa variable. Por lo general representamos con la variable la
descripción menos complicada y escribimos la segunda (la expresión más compleja)
en términos de la variable. En los ejemplos siguientes utilizaremos x para la variable.
La edad de Juan ahora y la edad de Juan dentro de 5 años.
Sea x = un número (edad de Juan) Segundo número: x + 5
Un número es 8 veces el otro.
Sea x = un número
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Antología Teórico-Práctica
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Segundo número: 8x
Un número es 5 menos que el otro
Sea x = un número
Segundo número: x - 5
Un número y el número aumentado en 15%.
Sea x = un número
Segundo número: x + 0.15%x
Un número y el número disminuido en 10%.
Sea x = un número
Segundo número: x - 0.10%x
La suma de dos números es 22.
Sea x = un número
Una tabla de 15 centímetros cortada en dos pedazos
Sea x = un número
Segundo número: 15 - x
$ 70 000 compartidos por dos personas
Sea x = un número
Segundo número: 70 000 – x
La velocidad del segundo tren es 1.9 veces la velocidad del primero.
La velocidad del primer tren = x
Velocidad del segundo tren = 1.9x
Carlos y su hermano comparten $ 70.
La cantidad de Carlos = x
La cantidad que tiene su hermano = 70 - x
A Marcelo le lleva tres horas más que a Karen terminar la tarea.
Karen = x
Marcelo = x + 3
Jenny tiene $5 más que dos veces la cantidad de dinero que tiene Luis.
Luis = x
Jenny = 2x + 5
La longitud de un rectángulo es 7 unidades menos que 3 veces su ancho.
Ancho = x
Longitud = 3x – 7
La palabra es en un problema verbal con frecuencia significa es igual a y se
representa por el signo igual, =.
Ejemplos:
5 menos que tres veces un número es 19
Sea x = el número
La expresión algebraica: 3x – 5 = 19
Sea x = el número
La expresión algebraica: x – 4 = 2x + 5
El producto de dos enteros consecutivos es 70.
Sea x = primer entero, (x +1) = segundo entero
La expresión algebraica: x(x +1) = 70
Un número incrementado en su 20% es 85.
Sea x = el número
La expresión algebraica: x + 0.20x = 85
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Un número reducido en un 15% es 70.
Sea x = el número
La expresión algebraica: x - 0.15x = 70
La suma de un número y el número incrementado en un 6% es 478.
Sea x = el número
Numero incrementado en 6% = (x + 0.06x)
La expresión algebraica: x + (x + 0.06x) = 478
El costo por rentar un VCR durante x días a 18% por día es $120.
Sea x = los días
La expresión algebraica: 18x = 120
Procedimiento para resolver problemas de aplicación
1. Entienda el problema. Identifique la cantidad o cantidades que se pide
determinar.
2. Traduzca el problema a lenguaje matemático (exprese el problema como una
ecuación)
a. Elija una variable para representar una cantidad, y escriba exactamente lo que
representa. Represente cualquier otra cantidad a determinar en términos de esta
variable.
b. Utilice la información del paso a., escriba una ecuación que represente el
problema verbal.
4. Compruebe la respuesta (utilice el texto original del problema).
5. Responda la pregunta que se hizo.
Ejemplos de ángulos complementarios y suplementarios.
Si el ángulo A y el ángulo B son complementarios y el ángulo B es 42º mayor
que el ángulo A, determine las medidas de los ángulos.
Solución:
La suma de las medidas de los ángulos complementarios = 90º Sea x = medida del
ángulo A.
Entonces x + 42 = medida del ángulo B.
Medida del ángulo A + medida del ángulo B = 90º X + (x +42) = 90
X + x +42 = 90
2x +42 = 90
2x = 90 - 42
2x = 48
X = 24
La medida del ángulo A = 24º
La medida del ángulo B = x + 42º
B = 24º + 42º
B = 66º
La suma de las medidas de los dos ángulos = 90º Ángulo A + ángulo B = 90º
24º +66º = 90º
Si los ángulos C y D son suplementarios y la medida de los ángulos C es 6º
mayor que el doble de la medida del ángulo D, determine las medidas de los
ángulos C y D.
La suma de las medidas de los ángulos suplementarios = 180º
Entonces 2x + 6 = medida del ángulo C.
Medida del ángulo C + medida del ángulo D = 180º (2x + 6) + x = 180
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
2x + 6 + x = 180
3x = 180 – 6
3x = 174 x = 58
La medida del ángulo D = 58º
La medida del ángulo C = 2(58º) + 6º C = 116º +6º
C = 122º
La suma de las medidas de los dos ángulos = 180º Ángulo C + ángulo D = 180º
122º +58º = 90º
Figura 2
I.IV Leyes de los exponentes
Ley
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Ejemplo
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x1 = x
61 = 6
x0 = 1
70 = 1
x-1 = 1/x
4-1 = 1/4
xmxn = xm+n
x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n
x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn
(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn
(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn
(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn
x-3 = 1/x3
Figura 3
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión
natural de exponentes. Mira este ejemplo:
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un
mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece
(o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,
después otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x (2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces,
después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo
la línea" puedes cancelarlas.)
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Esta ley también te muestra por qué x0=1:
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total
m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx) (xxx) (xxx) (xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este
ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy) (xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
I.V Operaciones fundamentales en algebra
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplos. 3x, -5c, xy/xy.
Binomio: Es un polinomio que consta de 2 términos.
Trinomio: Es un polinomio que consta de 3 términos.
Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término como: a
+ b, x+y+z, x-y-z+w.
Suma y Resta de polinomios (Términos semejantes)
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, cuando
tienen misma letra mismo exponente.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Ejemplo: 3x +3x+2x -5x
Sumar los siguientes polinomios:
2x+3x 2 -3x +2x2 = -x +x2
2x2 +2x3-5x2-5x3 = -3x2 - 3x3
Multiplicación de polinomios
Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando
y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto al
multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la
unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son factores del producto.
Ejemplo: 3x (4x + 5x -3y+ 8x2y2)
Regla importante:
Se aplica la ley distributiva de la multiplicación:
a) Se multiplican coeficientes y a continuación de cada producto se escriben las
letras en orden alfabético;
12x + 15x -9xy + 24xy
b) Colocándole a cada uno la suma de los exponentes que le corresponda a
cada literal.
12x 2+ 15x2 -9xy + 24x3y2
c) El signo de la multiplicación será dado por leyes de los signos.
División de polinomios
Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar
el otro factor cociente.
Ejemplo: 6x3/3x
Regla:
Se dividen los coeficientes. 6/3 =2
Después se coloca la variable. x
Por último se restan los exponentes. 3-1 = 2
Se escribe: 2x2
I.VI Productos Notables
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse
por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son
aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente.
Las más importantes son:
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Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, más el Doble
Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo
Término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble
Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo
Término.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado
del Segundo Término.
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del
termino común, más el producto de termino común por la suma de los términos no
comunes, más el producto de los términos no comunes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del
cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por
el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.
(a + b) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Diferencia al Cubo: El Cubo del Primer Término, menos el triple producto
del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer
por el cuadrado del segundo Término
, menos el cubo del segundo Término.
(a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
I.VII Factorización
Es descomponer en factores a una expresión algebraica.
Tipos de factorización.
Factor común: Es cuando la expresión se puede descomponer y en todos los
términos existe un factor igual.
Ejemplo: ax +ay-az
Regla: Se identifica el factor común en todos los términos. a
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Después se divide a cada termino entre el factor común.
𝑎𝑥
𝑎
+
ay
𝑎
+
𝑎𝑧
𝑎
Por último se ordena y queda = a (x +y +z)
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Trinomio cuadrado perfecto: Se obtiene raíz cuadrada del primero y tercer
término, se coloca el signo del segundo término y se colocan e resultado de las
raíces entre paréntesis.
Ejemplo: a2+2ab+b2
√𝑎2 =
𝑎
√𝑏 2 =
𝑏 = (a+b) (a+b)
Factorizar diferencia de cuadrados
Se saca raíz en cada uno de los cuadrados para obtener los factores y se coloca
un signo positivo y uno negativo.
Ejemplo:
x2 – y2 =
√𝑥 2 =
𝑥
√𝑦 2 =
𝑦
Se toman las raíces (x + y)(x – y) obteniendo asi el producto de binomios conjugados
Suma de dos Cubos: Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos,
para obtener un binomio (la suma de dos números), y en base a ese binomio, se
utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos
el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos Se saca raíz cubica a cada uno de los dos términos cúbicos,
para obtener un binomio (la diferencia de dos números), y en base a ese binomio,
se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más
el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado o Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer
término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término,
más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del
segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b). (b +c). (a + c)
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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I. VIII Ecuaciones 1er grado.
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido,
llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de
dicha incógnita.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas
con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se
deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo),
los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que
carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio
del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el
siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=),
entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo
(el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,
entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo,
aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
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x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
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Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de
agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones,
desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Primero quitamos los paréntesis.
Reducimos términos semejantes.
Ahora quitamos los corchetes.
Transponemos
los
términos,
empleando el criterio de operaciones
inversas.
Nuevamente
semejantes
reducimos
términos
Despejamos x pasando a dividir a – 2,
luego simplificamos.
Figura 4
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego
realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato
que deseamos conocer).
Veamos un problema característico:
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de
las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
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x
y
z
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edad
edad
edad de María
de
de
Pedro
Álvaro
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es
tres años menor que Álvaro):
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
y=x+3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años
(Pedro es 7 años mayor que María):
z=x–7
Ahora tenemos que:
Edad de Pedro:
x
Edad de Álvaro:
x +3
Edad de María:
x–7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
Edad de Pedro:
x
= 14 años
Edad de Álvaro:
x + 3 = 17 años
Edad de María:
x–7
= 7 años
Método de reducción para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas, y deben
de tener diferente signo para que puedan ser eliminadas cualquiera de las dos
variables.
Ejemplo:
5𝑥 + 6𝑦 = 20
(4 x– 3y = -23) 2
Ecuación 1
Ecuación 2
1) Primero se multiplica por 2 la segunda ecuación, quedando de la siguiente
manera: 8x – 6y = -46.
2) Se vuelven a colocar las ecuaciones.
5𝑥 + 6𝑦 = 20
8x – 6y = -46.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Ecuación 1
Ecuación 2
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3) Se realiza la suma de términos.
13x =-26
X = -26/13 = -2
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4) Después se sustituye el valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones para
obtener el valor de y.
5 (-2) + 6y = 20
-10 + 6y = 20
6y = 20+10
Y = 30/6 = 5
Método por determinantes para ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas
Este método consiste en restar el producto de los coeficientes ab al producto
cd. Tendremos la expresión ab – cd. Se escribe de la siguiente manera
obteniendo así una determinante.
𝑎
ab – cd = |
𝑐
Ejemplo:
𝑑
|
𝑏
5𝑥 + 6𝑦 = 20
Ecuación 1
4 x– 3y = -23
Ecuación 2
1) Se colocan los coeficientes dentro de la determinante, haciendo una fracción
de determinantes.
𝑥
𝑦
5 6
|
4 −3
5 6
|
|
4 −3
2) Se sustituyen los valores de la igualdad en la variable que se quiere obtener.
|
x
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20
6
|
| = −60 − (−138) = 78
−23 −3
5 6
|
| = -15 -24 = -39
4 −3
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
3) Para obtener el valor de x se dividen los valores 78/-39 = -2
4) Por último se hace el mismo procedimiento para y
5 20
|
| = −115 − 80 = −195
4 −23
5 6
|
|= -39
4 −3
5) Para obtener el valor de y se dividen los valores -195/-39 = 5
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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II.Geometría Analítica
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Sistema coordenado
Hasta ahora para graficar puntos en el plano siempre se ha utilizado un sistema de
coordenadas rectangulares. En un sistema de coordenadas rectangulares un punto
en el plano se representa mediante un par ordenado (x, y).Figura 1.
Figura 1
Sistema de Coordenadas Polares.
En un sistema de coordenadas polares, se selecciona un punto, llamado polo y
luego un rayo con vértice en el polo, llamado eje polar. Figura 2.
Figura 2
Al comparar los 2 sistemas de coordenadas se ve que el origen y eje x de las
coordenadas rectangulares coinciden con el polo y el eje polar de las coordenadas
polares respectivamente.
Antes de hacer conversión de coordenadas recuerda que el origen de las
coordenadas rectangulares es el polo de las coordenadas polares, y que el eje
positivo x de las coordenadas rectangulares es el eje polar de las coordenadas
polares.
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Teorema: Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares
y viceversa.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Si P es un punto con coordenadas polares (r,0)las coordenadas rectangulares
(x,y)de P están dadas por:
x=r cos Ɵ
y= r sen Ɵ
Demostración. Suponga que P tiene las coordenadas polares (r,0). Se buscan las
coordenadas rectangulares (x,y)de P. Figura 5.
Figura 3
Si r=0 entonces independientemente de Ɵ, el punto P corresponde al polo, para el
que las coordenadas rectangulares son (0,0). La fórmula es válida para r=0.
Si r>0 el punto P está sobre el lado terminal de Ɵ y r = d (0,P)-√𝑥 2 + 𝑦 2 puesto que:
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
sen 𝜃 =
𝑦
𝑟
Se tiene:
x=r cos Ɵ
y= r sen Ɵ
Ejemplo de coordenadas rectangulares.
El semestre anterior en la asignatura de Geometría y Trigonometría viste en clase
el tema de sistemas de coordenadas, vamos a recordar cómo se grafica un punto.
1. Graficar el punto (4,3)
Lo primero que debemos ubicar son los ejes, el eje x esta siempre horizontal y el
eje y está siempre vertical. Del punto dado tomamos el primer valor y lo ubicamos
en el eje de x, ahora ubicamos el segundo valor en el eje y, lo último que debes
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hacer es ver donde se cruzan o intersectan los puntos que identificaste
anteriormente y tendrás la coordenada del punto (4,3).
Figura 4
Ejemplo de coordenadas polares.
5𝜋
1. Graficar el punto (3, 3 ) usando coordenadas polares.
Lo primero que debemos hacer es identificar los datos que nos están dando,
5𝜋
puedes observar 2 valores en el punto (3, 3 ) en donde el 3 es el radio vector
y
5𝜋
3
es el ángulo polar. Recuerda que el ángulo se mide en sentido opuesto
a las manecillas del reloj.
Veamos cómo se representa en la Figura 4.
Figura 5
Ahora te preguntaras como calculamos el valor de
5𝜋
3
, recuerda que el valor de π
es de 180°; entonces si multiplicamos el valor de π por
5
3
nos dará como resultado
300° y por último los ubicamos en nuestro plano cartesiano. Por lo anterior queda
un radio vector de longitud 3 con un ángulo polar de 300°.
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Ejemplo de conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.
De polares a Rectangulares
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un
ángulo:
1. Convertir la coordenada polar (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Figura 6
Usamos la función coseno para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y:
sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
De Rectangulares a Polares
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas
polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
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Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Figura 7
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ)
son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
Distancia entre 2 puntos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus ordenadas.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas,
la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y
emplear el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
División de un segmento en una razón dada.
Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento AB, si se desea
encontrar el punto P (xr, yr) que divida al segmento de recta en una razón dada r,
Para el valor de la abscisa (x)
(y)
𝑟=
𝑥𝑟 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥𝑟
Para el valor de la ordenada
𝑟=
𝑦𝑟 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦𝑟
Por lo tanto el punto (𝑥𝑟, 𝑦𝑟 ), que divide a un segmento en una razón dada r se
determina:
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Así las formulas de punto medio son:
Ejemplo:
Figura 8
Punto Medio.
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Las coordenadas del punto medio es igual a la suma de las ordenadas (Y) de cada
extremo y divididos entre 2 y la suma de las abscisas (X) de cada extremo y divididos
entre 2.
𝑋𝑚 =
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑌𝑚 =
𝑦1 + 𝑦2
2
Ejemplo:
Encontrar el punto medio del segmento formado por las coordenadas P1(-4,-4) y
P2(2,2).
Encontramos primero 𝑋𝑚
𝑥1 + 𝑥2
2
−4 + 2
𝑋𝑚 =
2
−2
𝑋𝑚 =
= −1
2
𝑦1 + 𝑦2
𝑌𝑚 =
2
𝑋𝑚 =
−4 + 2
2
−2
𝑌𝑚 =
= −1
2
𝑌𝑚 =
Por lo tanto 𝑃𝑚 = (−1, −1)
Lugares geométricos
LA RECTA
Se llama línea recta al lugar geométrico de todos los puntos contenidos en el plano
tales que, tomados dos puntos cualesquiera P ( 1, 1 ) y Q (2, 2 ) de la recta.
Ecuación general de la recta
𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Ecuación de la forma punto pendiente
𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1 )
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La pendiente de una recta es la inclinación que tiene la recta con respecto al eje X
positivo, el valor de la pendiente m , es siempre constante. La pendiente de la recta
se denota por m.
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Ejemplo.
Encuentra la pendiente que pasa por los puntos A(3,2) y B(-2,-1)
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
−1 − 2
−3 3
=
=
−2 − 3
−5 5
Como el signo de la pendiente es positivo (+) indica que el ángulo de inclinación
esta en el primer cuadrante.
𝑚=
El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje
coordenado X en su dirección positiva, y se mide a partir del eje X en sentido
opuesto al movimiento de las manecillas del reloj.
𝛼 = tan−1 𝑚
Ejemplo.
Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A(3,2) y B(2,-1).
𝛼 = tan−1
Cónicas
La circunferencia.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
3
= 30°57′
5
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Es el lugar geométrico de todos los puntos que están a la misma distancia de un
punto fijo llamado centro.
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Ecuación de una circunferencia
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅2
(𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅 2
Con centro en el origen
Con centro fuera del origen
y
P(x,y)
x
figura 9
Ejemplo.
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro c(-3,2) y radio = 5.
(𝑥 − 𝐻)2 + (𝑦 − 𝐾)2 = 𝑅 2
(𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 2)2 = 52
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 //Forma ordinaria
Desarrollamos para obtener la forma general.
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 25
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 − 25 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0// Forma general
Parabola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.
Si la parábola tiene concavidad positiva la función es decreciente hasta alcanzar un
valor mínimo para luego ser creciente. Si tiene concavidad negativa la función es
creciente hasta alcanzar un valor máximo para luego ser decreciente. El punto
donde se encuentra el mínimo o máximo se denomina vértice de la parábola.
Observa las siguientes figuras con vértice se encuentra en el origen:
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Figura 10
Figura 11
Ejemplo.
La ecuación de una parábola es y2 = 16x, realiza la gráfica y obtén el valor de cada
uno de los elementos. Como la incógnita que está elevada al cuadrado es “y” se
trata de una parábola horizontal con vértice en el origen. Realizando una analogía
con la expresión en su forma ordinaria tenemos:
A partir del vértice (0, 0) consideramos 4 unidades a la derecha y 4 unidades a la
izquierda, entonces las coordenadas del foco son F( 4, 0) y la ecuación de la directriz
D = es x = - 4.
El valor del lado recto es LR = 4p
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
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LR = 4(4) = 16.
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Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es una constante.
Ejemplo.
Obtén la ecuación de la elipse con vértices en (± 5, 0) focos en (± 3, 0)
Figura 12
El valor de a es la distancia del centro a uno de los vértices por lo que a = 5. El
valor de c es la distancia del centro a uno de los focos c = 3.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
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Hiperbola
Se define como el lugar geométrico formado por puntos para los cuales la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
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Figura 13
Ejemplo.
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III. CALCULO INTEGRAL
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III.I Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica, es aquella que se define por la aplicación de una razón
trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar
expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno, la
cosecante; coseno, la secante, tangente y la cotangente.
Función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la
razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes.
La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el
conjunto de todos los números reales.
Figura 1
Función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la
razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes.
Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los
números reales.
Figura 2
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Función tangente:
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar
la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta
función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable
independiente expresada en radianes.
Figura 3
•
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno
expresada en radianes.
•
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para
un ángulo dado expresado en radianes.
•
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo
indicado en radianes.
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas
pueden resaltarse las siguientes:
•
Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de
manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la
función tangente es p.
•
Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los
números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función
tangente).
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
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Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
•
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están
contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
•
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que
sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica
respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
III.II Aproximaciones
Los diferenciales nos dan una aproximación a estos resultados de raíces de
números próximos a aquellos que si tienen una raíz exacta, y esta aproximación es
más exacta cada vez que las diferencias sean más pequeñas.
y = x 1/n, y dependiendo del valor de
Para cualquier radical se tiene que y= √𝑥
“n” será el valor del diferencial en cada caso.
𝑛
Ejemplos:
Radical
Derivada
y= √𝑥
Forma
exponencial
y = x 1/2
𝑑𝑥
= 2𝑥
y= √𝑥
y=x
𝑑𝑦
1
y= √𝑥
y = x 1/4
y= √𝑥
y=x
𝑛
3
4
𝑛
𝑑𝑦
1/3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
1/n
𝑑𝑥
1
-1/2
= 3𝑥
-2/3
= 4𝑥
1
-1/4
1
-1/n
= 𝑛𝑥
Diferencial
𝑑𝑦 =
𝑑𝑦 =
𝑑𝑦 =
Se usará la expresión: y= √𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦
𝑛
La raíz más próxima es del número entero 9; y= √9 = 3.
El cálculo de dx es partir de x + dx = 9.01. Se obtiene despejando;
dx = 9.01 –x, ya se conoce que x = 9.
Se tiene dx = 9.01 – 9 = .01 = 1/100.
y= √𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑦 + 𝑑𝑦
𝑛
2 √𝑥
=
1/100
2 √9
= 1/600.
1
y= √9.01 = 3 + 600 =
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
3 √𝑥
𝑑𝑥
4
4 √𝑥
𝑑𝑥
√
√9.01 =?
𝑑𝑥
1801
600
2 √𝑥
2
3
𝑑𝑦 = 𝑛 𝑛 𝑥 n-1
Ejemplo:
Para calcular dy se tiene 𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 3.0017
Figura 4
Antología Teórico-Práctica
V 0.0
Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
III.III Anti derivada
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es
decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función
dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3x2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe
una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra
anti derivada de f(x).
La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se
expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable
de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es
decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función
dada.
Área bajo la curva
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a, b], para encontrar el área bajo la curva
procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a, b] en n-subintervalos iguales de
longitud Delta.gif (151 bytes) x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno
de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A
este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese
subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de la n rectángulos es
entonces:
𝑛
∑[𝑓(𝑥 ∗)(∆𝑥)
𝑘=1
A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
Antología Teórico-Práctica
V 0.0
Algebra, Geometría Analítica y Calculo Integral
Integral.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Se define la integral de la función f(x) entre los límites a y b con la fórmula utilizada
para calcular el área bajo la curva f(x) y se representa como:
Todo factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral:
La integral de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las
integrales de cada función por separado:
Al cambiar de orden los límites de integración, cambiará el signo de la integral:
Dados tres números a, b y c, se cumple que:
Si en el intervalo [a, b] las funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≤ g(x), entonces:
Ejemplo.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Integrales impropias
Cuando en una integral alguno de los límites (o ambos) es •}∞, se le llama
integral impropia.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Integración por partes
Este método se utiliza cuando en el integrando hay productos de funciones que no
pueden reducirse a un cambio de variable. Recordemos que para derivar un
producto de funciones se usa la regla:
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
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COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Bibliografía
-
Baldor Aurelio. Algebra. México (2004); 20ª. Edición. Publicaciones cultural
-
Earl W. Shokowski y Jeffery A. Cole. Algebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México (2008); 12ª. Edición. Ed. Thomson.
-
Louis Leithold. El cálculo. México (1998).7ª. Edición.
-
J.Sullivan.Algebra y Trigonometría. México (2006).12ª edición .Ed Pearson.
-
Joaquín Ruiz Basto. Geometría Analítica. México (2014).Ed. Patria.
-
Fausto Cervantes Ortiz. Métodos Operativos de Cálculo integral
Mèxico(2008)Ed.UACM.
Elaboró: Ing. Karol Paulina Juárez Villeda.
Ing. Lourdes Itzel Zapata Martín.
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
TALLER LUDICO DE
MATEMATICAS
ING. PAOLA CARINA PRADO OLVERA
CURP: PAOP780807MQTRLL07
Jugando a aprender Algebra
CECYTEQ, Plantel Corregidora No. 6
Querétaro Arteaga
Correo: [email protected]
Pág. 27
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Índice
Introducción……………………………………………………………………. 2 - 4
Propósito………………….……………………………………………………...4 – 8
Marco Curricular Común…………………………………………….………..9
Estrategia didáctica…………………………………………………………....9 – 10
Lenguaje algebraico y Crucigrama………………………………………..10 –12
Operaciones fundamentales y Domino………………………………..…..13 –16
Productos notables, Factorización y Laberinto……………………….…..17 – 22
Ecuaciones de 1er y 2do grado y Maratón…………………………….. 23 - 30
Referencia de fuentes consultadas…………………………………………..31
Pág. 1
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
INTRODUCCIÓN
En un futuro si el docente comprometido con su entorno llegara a aplicar las
técnicas de enseñanza-aprendizaje siguiendo los lineamentos de la reforma
podremos hacer una sociedad mejor. Considero que las matemáticas es una
poderosa herramienta para el pensamiento analítico esto va de la mano actualmente
con las exigencias de la globalización que requieren cambios de fondo en los planes
y programas de estudio en algebra, para formar jóvenes con mayores posibilidades
de éxito y capaces de incorporarse al desarrollo social y productivo de su región, al
generar en su transformación la incorporación de habilidades y competencias para
la vida haciendo la adquisición de estas de manera lúdica. Estos han sido los
principales motivos de la creación de la RIEMS. Ésta contempla elementos
importantes donde los docentes debemos hacer participar a los alumnos en el
aprendizaje de los principios generales de las matemáticas conforme aprenden
aritmética y dicen que con frecuencia se ha aislado la aritmética de otra ideas
matemáticas afines, lo cual aísla a los alumnos con respecto a eficaces maneras de
pensar en las matemáticas y les puede dificultar el aprendizaje del álgebra más
adelante.
Lo llame jugando a aprender Algebra pues considero que muchas veces
esta opción que muy pocas veces se retoma hace que el estudiante de bachillerato
tenga bien fundamentados estos conocimientos y lo más importante que no los
olvide. Pues el día a día se torna más tecnológico, el razonamiento y solución de
problemas que exige el algebra son requeridos en diversos ámbitos del trabajo ya
que el Marco Curricular Común se establece para llevar a las estructuras
curriculares actuales un paso más adelante, de manera que contribuyan a formar
personas con capacidad de enfrentar las circunstancias del mundo actual.También
vemos evidencias de la creciente importancia del álgebra en las nuevas normas y
evaluaciones. Las evaluaciones nacionales y estatales incluyen habilidades
algebraicas desde el segundo año de la secundaria y muchos exámenes finales de
la enseñanza media evalúan ahora el dominio del álgebra.
Muchos alumnos que estudian el álgebra en la enseñanza media no ven los
procedimientos que se utilizan para resolver ecuaciones o simplificar expresiones
como algo basado en las mismas propiedades que ya usaron en los cálculos
aritméticos es por eso que de manera lúdica podría quedarse este aprendizaje
significativo en el estudiante de bachillerato.
Pág. 2
Ing. Paola Carina Prado Olvera
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus
limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los
procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado
de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo,
delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en
el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media
Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza
importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito
laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los
estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo
social y laboral.
Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las
competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al
término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia
“Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las
competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden
desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.
De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el
desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el álgebra
se puede aprender jugando.
Pág. 3
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
PRESENTACION DEL CURSO
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
Asignatura
Algebra
Profesor
Ing. Paola Carina Prado
Olvera
Elementos
 Se expresa y comunica, piensa
crítica y reflexivamente
 Actitudinal:
responsabilidad,
compromiso, expresión escrita
de manera correcta, respeto,
tolerancia, trabajo colaborativo
e individual, creatividad
REPRESENTACION TEMATICA DE LA MATERIA
Algebra
Representación
algebraica de
expresiones en
lenguaje común
Operaciones
básicas
algebraicas
(suma, resta,
multiplicación
y división)
Productos
Notables y
factorización
Ecuaciones
lineales y
cuadráticas
 PROPOSITO
El propósito del programa de estudios de la materia de Algebra (matemáticas 1)
es que el alumno pueda expresar, comunicar, pensar crítica y reflexivamente, los
conocimientos propios de la asignatura de tal manera que esta red cognoscitiva que
adquiera a través de un aprendizaje significativo lúdico ayude a culminar los
matemáticas consecuentes que el alumno deberá cursar durante su estancia en la
preparatoria y su interrelación con las competencias genéricas y disciplinares
referidas en el marco curricular común (MCC) del sistema nacional de bachillerato
(SNB) producto de la reforma integral, a partir de su despliegue en las actividades
didácticas propuestas en el diseño de estrategias educativas centradas en el
aprendizaje.
Con Algebra pretendo guiar, acompañar y facilitar el proceso de enseñanza
aprendizaje ya que en él se establecen los referentes teóricos y metodológicos para
la planeación de prácticas instruccionales que estimulen vigorosamente los
aprendizajes significativos.
Pág. 4
Ing. Paola Carina Prado Olvera
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Dada mi experiencia como docente se observa que en el área de matemáticas
los índices de reprobación y siguen siendo altos pues a pesar de los esfuerzos que
se han hecho los estudiantes traen deficiencias desde aritmética y porque no
mencionarlo muchas veces la misma sociedad y la familia hace que le tengamos
pavor a esta materia por las experiencias que padres, amigos o compañeros dicen
de las matemáticas, otro factor importante que influye en el aprendizaje de las
matemáticas es que no todos los maestros tienen una preparación matemática y
éstos lo único que hacen es transmitir al alumno su incapacidad.
Considerando el contexto en donde se desenvuelven los estudiantes de esta
preparatoria y dado que el ser niño o regresar a esta etapa donde tu vida no está
llena de problemas solo de jugar y aprender es una estrategia de aprendizaje
excelente para lograr en el estudiante estos aprendizajes que posteriormente les
serán útiles cuando se desarrollen en el entorno laboral pues la habilidad que se
adquiere a través de la matemáticas facilita que la toma de decisiones sea más
efectiva.
A continuación se presentan se presentan las competencias genéricas y
disciplinares a utilizar en la asignatura de Algebra:
COMPETENCIAS
GENERICAS
4.- Escucha, interpreta y
emite
mensajes
pertinentes en distintos
contextos mediante la
utilización de medio,
códigos y herramientas
apropiadas.
ATRIBUTOS
PRODUCTOS
1.Saber leer y
comprender las
instrucciones
Mapa conceptual
Ejercicios resueltos
Cuadro Sinóptico
Formulario
2.Interpreta los
conceptos
3.Sigue instrucciones y
procedimientos
de
manera
reflexiva,
comprendiendo
como
cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de
un objetivo
5.Desarrolla 1.Saber leer y
innovaciones y propone comprender las
soluciones a partir de instrucciones
métodos establecidos.
2.Analizar la información
AMBITO DE
APLICACION
Salón de clase
Crucigrama
Laberinto
Domino
Maratón
AMBITO DE
APLICACION
Pág. 5
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
3.Organiza la
información
Salón de clase
4.Verifica la información
5.Comprende los
conceptos
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
6.Aplica los conceptos
7.Considera diversos
métodos o enfoques
8.Resuelve el problema
9.Interpreta
resultados
los
COMPETENCIAS DISCIPLINARES
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Estas competencias integran conocimientos, habilidades y actitudes por medio
de las cuales el docente crea ambientes de aprendizaje para que el alumno a través
de las competencias genéricas se apropie del conocimiento; las competencias
del docente se promueven en forma transversal y adecuadas al contexto del
trabajo del facilitador y deben ser trascendentales para el desarrollo y
actualización de los mediadores, por lo que, para la formación de egresados del
bachillerato estos deben ser capaces de comprender su realidad y el facilitador
debe utilizar los instrumentos necesarios para que adquieran las herramientas para
poder
actuar
a
lo
largo
de
su
vida.
Por lo que el perfil del docente y el perfil del egresado deben ser congruentes
el uno con el otro, esto quiere decir que las competencias deben mantener una
relación de una a varias o viceversa, pero no necesariamente ser simétricas ni
contemplar los mismos elementos.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
La tendencia de la enseñanza de las ciencias exactas pretende incluir
conocimientos que sean utilizados por los alumnos para resolver problemas
cotidianos. En el área de las Matemáticas se propone el trabajo colaborativo como
una herramienta para construir el conocimiento y promover el desarrollo de
habilidades prácticas.
La metodología aplicada lleva de la mano al docente en todo momento ya que
se basa en una planeación bien estructurada, detallada, donde los objetivos y las
actividades de los aprendizajes con los contenidos y las tareas de evaluación están
alineadas constructivamente (Biggs, 2005). Los conocimientos y habilidades
(procedimental-actitudinal), (Díaz-Barriga, A. y Hernández, R. 2004), atributos de
competencias, son adquiridos por los estudiantes siguiendo un proceso para cada
uno; de apertura (dimensiones 1 y 2), desarrollo (dimensiones 3 y 4) y cierre
(dimensión 5), (Marzano, R., 1993).
En la fase de apertura se aporta el conocimiento declarativo, en la fase de
desarrollo¸ el procedimental y en la fase de cierre se llega a la metacognición, en
el entendido que para lograr buenos y excelentes resultados en cada una, son
indispensables las actitudes y valores que van implícitos en el comportamiento, que
se promueven, se desarrollan y se fortalecen porque también son evaluadas.
Los contenidos de cada unidad integradora se desglosan del siguiente modo:
 Primeramente se definen los objetivos de aprendizajes seccionados por fase
en el proceso (apertura, desarrollo y cierre) e inicia la secuencia didáctica
describiendo las actividades a realizar en ese orden y basados en los
objetivos, se consideran los conocimientos y habilidades requeridos por los
alumnos de otras disciplinas, los recursos y medios, así como las estrategias
didácticas o el tipo de mediaciones que deben llevarse a cabo para obtener
los productos deseados sin perder en ningún momento el (los) objetivo(s)
que se persigue.
Fundamentos de la elección de los contenidos de ALGEBRA
La asignatura de Algebra integra el primer semestre del ciclo escolar. En función
de ello el curso tiene como objetivo desarrollar la creatividad y el pensamiento lógico
y crítico entre los estudiantes pues el hecho que el estudiante cuente con el
desarrollo de estas competencias podrá argumentar y estructurar mejor sus ideas y
razonamientos, resulta imprescindible que esta asignatura quede bien establecida
como base sólida en los estudiantes, ya que Algebra es la base para otras
asignaturas en el campo de la Matemática, propiciando así la culminación del
bachillerato y/o la integración al campo laboral, y/o el seguimiento de estudios
universitarios.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
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Durante el este proceso de enseñanza lúdica el estudiante asume una
actitud con diversas características como:
 Trabajo colaborativo
 Respeto
 Puntualidad en la entrega de ejercicios
 Pensamiento lógico-matemático
 Formación de criterio
 Trabajo individual
 Responsabilidad
 Tolerancia por los puntos de vista de sus compañeros
Características de los productos
Consiste en que todos los elementos que se consideren tendrán
sentido en sus relaciones, es decir, pensar el curso a partir de los
resultados que se esperan, es una manera de armar un sistema
finalizado.
 Investigación documental (bibliográfica): Documento que se
caracteriza por contener resultados coherentes, ordenados y objetivos
precisos donde se utilizan procedimientos lógicos y mentales, con la
finalidad de ser base para la construcción de conocimientos.
 Retroalimentación Docente: Es esencial para formar recursos
humanos competentes que satisfagan las necesidades del sector
profesional y/o productivo, desarrollando en el capacitando el saber,
el saber hacer y el saber ser.
 Resolución de problemas: Contribuyen al desarrollo intelectual e
integral de la personalidad del estudiante; es un aspecto importante
en el aprendizaje de las Matemáticas. En el proceso de enseñanzaaprendizaje, es común explicar los problemas como algo que se sabe
hacer.
 Técnica lúdica: Es un conjunto de estrategias diseñadas para crear
un ambiente de armonía en los estudiantes que están inmersos en el
proceso de aprendizaje. Este método busca que los alumnos se
apropien de los temas impartidos por los docentes utilizando el juego,
desarrolla actividades muy profundas dignas de su aprehensión por
parte del alumno, empero disfrazadas a través del juego.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
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 MCC DA LUGAR A LA ESTRATEGIA
Actualmente la educación media superior ha sido cuestionada por sus
limitaciones para cubrir con equidad y calidad de la demanda educativa; por los
procesos de globalización y liberación de la economía, por el desarrollo acelerado
de las comunicaciones, por los altos índices de deserción, falta de trabajo,
delincuencia son unas de las causas por lo que se decidió reformar la educación en
el nivel medio superior llegando a la Reforma Integral de la Educación Media
Superior para atacar las deficiencias existentes en este nivel de enseñanza
importante para el bachiller, que pretende egresar a un nivel superior o al ámbito
laboral de ahí la creación del Marco Curricular Común, pues se requiere que los
estudiantes de bachiller cuenten con las competencias idóneas para su desarrollo
social y laboral.
Es por ello que en el área de matemáticas 1 para lograr el desarrollo de las
competencias genéricas y disciplinares que requiere que el alumnos tenga al
término de su bachillerato se logren efectivamente considere que la estrategia
“Jugando a aprender Algebra” es un método efectivo para lograr en el alumno las
competencias y aprendizajes significativos pues a través del juego pueden
desarrollar estas competencias genéricas y disciplinares.
De acuerdo a los ejes que maneja la RIEMS, un mecanismo para fortalecer el
desempeño académico de los alumnos da lugar a mi estrategia de que el algebra
se puede aprender jugando.
Los componentes que considero esenciales para un enfoque pedagógico
son: los propósitos, que atañen al sentido y finalidad de la educación; el
estudiante, como elemento clave del proceso educativo; el proceso de
enseñanza-aprendizaje, en donde el docente tiene un papel fundamental; los
contenidos y la forma como éstos son presentados como objeto de
aprendizaje; la evaluación como un componente esencialmente articulado al
proceso anterior y; la organización, que posibilita la articulación de todos los
elementos y procesos del modelo.
 ESTRATEGIA DIDACTICA
Dado que se pretende que los alumnos sean personas que construyan para su
futuro y su persona la estrategia que propongo es la de “JUGANDO A APRENDER
ALGEBRA”, pues una estrategia es una serie de procedimientos flexibles para
promover el logro de aprendizajes significativos y el hecho de que el alumno
aprende por que lo hace, no por lo que el maestro hace considere este tipo de
estrategia para Algebra.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
 PRIMER PARTE
El alumno investiga temas proporcionados por el docente de acuerdo al
programa de estudios de Algebra.
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 SEGUNDA PARTE
El docente retroalimenta los temas sobre lo pedido
 TERCERA PARTE
Resolver los ejercicios proporcionados por el docente para asegurar el
aprendizaje significativo de los mismos.
 CUARTA PARTE
Con los conocimientos proporcionados por el docente el alumno utilizara los
temas y los aplicara en la técnica lúdica, de tal manera que el alumno
investigue sobre una enseñanza de aprendizaje lúdica y explicar por qué se
puede tomar esta técnica de enseñanza para aprender algebra
 QUINTA PARTE
Jugar con los juegos diseñados y resolver los ejercicios establecidos en cada
juego.
ALGEBRA
Es el nombre que identifica a una rama de las Matemáticas que emplea
números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones
aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene
de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”
LENGUALE COMUN Y ALGEBRAICO
Como otros lenguajes, el lenguaje algebraico se basa en la representación
de cantidades mediante letras, signos y símbolos. Para “hablar” con soltura el
lenguaje algebraico es necesario adquirir, ante todo, una idea clara y concisa de sus
propiedades fundamentales, y después, poseer una gran dosis de práctica y para
lograr esta práctica, considero que la parte lúdica será un medio eficaz para
lograrlo. Para este tema considere un Crucigrama donde el alumno relaciona el
lenguaje algebraico y el común.
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Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Exprésate algebraicamente!!!
FRASE O LENGUAJE COMUN
LENGUAJE ALGEBRAICO
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
1) Dos veces un número o el doble de
un número
2) Un número al cuadrado menos diez
unidades
2x
𝑥 2 − 10
1
𝑥
8
3) Un octavo de un número
4) La raíz cuarta de la diferencia de dos
números
4
√𝑥 − 𝑦
Es importante considerar los siguientes sinónimos matemáticos para la
traducción del lenguaje algebraico:
Suma: incrementar, sumar, mas, agregar, aumentar,
Resta: diferencia, menos, restar, quitar, disminuir,
Producto: por, veces, multiplicar, duplo o doble (por 2), triple (por 3), cuádruple (por
4) y así sucesivamente.
División: cociente, entre, razón, mitad o un medio (entre 2), tercera parte (entre 3),
cuarta parte (entre 4), así sucesivamente.
Potencia: al, a la, cuadrado o segunda potencia, cubo o tercera potencia, cuarta
potencia, así sucesivamente.
CRUCIGRAMA: Un crucigrama es un juego o un pasatiempo escrito que consiste
en escribir en una plantilla una serie de palabras en orden vertical y horizontal que
se cruzan entre sí, cuyo objetivo es favorecer a la memoria, la atención, la
concentración, la agilidad mental, el enriquecimiento del vocabulario.
DESARROLLO DEL JUEGO
 El jugador, lee las referencias que se encuentran divididas en dos zonas (una
horizontal y otra vertical)
 Cada referencia tiene un número que no se repite y que se encuentra
asociado a la palabra oculta en el crucigrama
 Las palabras se encuentran imbricadas de tal modo que muchas de ellas se
pueden deducir cuando una o más palabras cruzadas ya han sido escritas
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Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
 El jugador tendrá presente que las palabras horizontales, se completan
siempre de izquierda a derecha en todos los casos y verticales de arriba
hacia abajo.
CRUCIGRAMA DE LENGUAJE ALGEBRAICO
2
1
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
1
2
3
3
4
1
HORIZONTALES
𝑥
1
VERTICALES
𝑥 𝑦
2 𝑥 2 − 𝑦2
2
𝑥𝑦
3
𝑥2
3
𝑥 𝑦
4
𝑥 𝑦
4
𝑥−
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
OPERACIONES FUNDAMENTALES
Para este tema de operaciones fundamentales que abarca la suma, resta,
multiplicación, división, potencia y raíz, utilizaré el juego de Domino, cuyo objetivo
es que al colocar la ficha siguiente el alumno haya realizado las operaciones
pertinentes para seguir jugando y ganar el juego, esta otra forma de enseñar las
operaciones fundamentales lograra que el alumno tenga los aprendizajes
significativos para estos temas, que le ayudan en otras disciplinas.
SUMA O RESTA ALGEBRAICA
Consiste en la reducción de términos semejantes haciendo las operaciones
que están involucradas en la expresión algebraica en la que éstos se
encuentran y con ello convertir en un solo término dos o más términos
semejantes.
a) Si aparecen términos semejantes con el MISMO SIGNO SUMAR sus
coeficientes, respetar su signo y escribir la LETRA IGUAL.
− 𝑚2 − 5𝑚2 = −7𝑚2
b) Si aparecen términos semejantes con DIFERENTE SIGNO RESTAR sus
coeficientes, respetar el signo del número mayor y escribir la LETRA
IGUAL.
− 𝑚2 5𝑚2 =
𝑚2
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, multiplicar:
(+)(+) = +
(-)(-) = +
Signos iguales
Signos diferentes
iguales
(-)(+) = (+)(-) = -
b) Multiplicar los coeficientes ya sean enteros o fracciones;
c) y la LEY DE LOS EXPONENTES: (𝑎𝑚 )(𝑎𝑛 ) = 𝑎𝑚+𝑛 SUMAR los
EXPONENTES de letras iguales, LA LETRA CAMBIA
Ejemplos:
1) (− 𝑥 )(5𝑥 𝑎 ) = − 0𝑥
2) (−
4𝑥 5
7
) (−
2𝑥
)=
+𝑎
8𝑥 6
21
(𝑥 − 5𝑥 2
7𝑥
)
(𝑥 5 − 1)
𝑥 8 − 5𝑥 7 − 7𝑥 6
𝑥 8 − 5𝑥 7 − 7𝑥 6
Pág. 13
−𝑥
5𝑥 2 − 7𝑥 −
𝑥5 − 𝑥
5𝑥 2 − 7𝑥 −
𝑥5
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
a) Consiste en aplicar la LEY DE LOS SIGNOS, división:
−
=
Signos diferentes
iguales
Signos iguales
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−
=
−
−
=−
=−
b) Dividir coeficientes en caso de que se pueda, sino simplificar la fracción;
c) y la LEY DE LOS EXPONENTES:
RESTAR los EXPONENTES de las letras iguales
𝑎𝑚
= 𝑎𝑚−𝑛 ,
𝑚>𝑛
𝑎𝑛
𝑚
𝑎
= 𝑎𝑚−𝑛 = 𝑎0 = 1,
𝑎𝑛
𝑎𝑚
1
= 𝑛−𝑚 ,
𝑚<𝑛
𝑛
𝑎
𝑎
𝑚=𝑛
Ejemplo:
1) −
2)
6𝑚3−𝑎
12𝑚𝑎
=−
𝑏2 −4𝑏−12
𝑏+2
𝑚3−𝑎−𝑎
2
1
=
2
1
=−
-4 -12
-2 +12
-6
0
𝑚3−2𝑎
2
Cociente b – 6 con
residuo 0
POTENCIA ALGEBRAICA
a) Multiplicar la base con su signo tantas veces lo indiqué la potencia
(−5𝑥 𝑚+2 ) = (−5𝑥 𝑚+2 )(−5𝑥 𝑚+2 )(−5𝑥 𝑚+2 ) = −1 5𝑥 𝑚+6
b) Ley de exponentes:
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
RAIZ ALGEBRAICA
a) Buscar un número que multiplicado así mismo de él radicando
b) Dividir el exponente de la variable y el índice de la raíz
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎𝑚/𝑛
DOMINO: Es un juego de mesa en el que se emplean fichas rectangulares,
divididas en dos cuadrados, el objetivo del domino es fortalecer el cálculo mental y
las estrategias matemáticas.
DESARROLLO DEL JUEGO:
 Comienza repartiendo todas las fichas aleatoriamente a todos los miembros
del equipo por igual.
Pág. 14
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
 Dejar una ficha en el centro de la mesa
 La ficha contendrá una operación y en la otra parte tendrá una de las
respuestas de otra operación, de tal manera que el alumno del equipo que
posea la ficha con la operación y la resuelva, coincida con la respuesta de la
ficha, si es así, deberá unir su ficha con la que está puesta en el juego.
 Y así sucesivamente hasta terminar todas las fichas
𝑥
𝑐 −1 𝑐
𝑥
8𝑎 − 𝑎2𝑥 − 𝑎
− 𝑎
−
15𝑚𝑎+4
(𝑥
𝑎
−8𝑥 𝑦
𝑥2
Pág. 15
𝑚𝑎
5
(5𝑚4 )
4
5
− 𝑥 −𝑥 − 𝑥
(− 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏+2 𝑐 )
𝑐
1
𝑥−
4
1
+𝑎
𝑏+6 9
𝑦 2 √𝑥 5
𝑏−6
6
− 𝑚6
8
−
−1 𝑥 5+𝑎 − 𝑥 4+𝑎 − 5𝑥
𝑥𝑎
)(𝑥 − 1)
− 𝑥 2𝑏−2 − 𝑥
𝑚6
−10𝑐
𝑥
− 𝑚6
𝑏
4
√81𝑥 5 𝑦 8
𝑥 2𝑏−5 (−1 𝑥 − 𝑥 𝑏−1 )
− 𝑥
𝑏
𝑚 𝑛3
𝑦 √
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
3
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
√−6 𝑥 9𝑚 𝑦
𝑛
1 𝑥2 −
11 𝑎
𝑦
6
7
9𝑥 2 − 𝑦 𝑎
−1 5𝑥
(−5𝑥 𝑚+2 )
Pág. 16
(𝑥
𝑚+6
𝑥2
𝑥2
5
10𝑥
5)2
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𝑦𝑎
5
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
En este tema emplearé un Laberinto de tal manera que el alumno logre
encontrar la salida realizando los procedimientos correctos de cada producto
notable y factorización, esta manera lúdica lograra que el alumno se divierta
encontrando la salida como un reto y adquiriendo así los aprendizajes significativos
de estos importantes temas.
PRODUCTOS NOTABLES
Son fórmulas que mediante la utilización de las propiedades conmutativa
(a+b = b+a) y distributiva (a(b+c)) = ((a)(b) +(a)(c)) de los números reales,
nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos.
1. BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO: Son dos
términos con “+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados
al cuadrado.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐(𝒂)(𝒃)
ELEVAR el
1er término
al
cuadrado
MULTIPLICAR
el 1er y 2do
término por
dos
𝒃𝟐
ELEVAR el
2do
término al
cuadrado
o
2. BINOMIO AL CUBO O CUBO DE UN BINOMIO: Son dos términos con
“+” o “-” en medio, encerrados en un paréntesis y elevados al cubo.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ± 𝒃) = (𝒂 ± 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑 ± 𝟑(𝒂)𝟐 (𝒃)
𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐
𝒃𝟑
ELEVAR el
1er término
al cubo
o
Pág. 17
ELEVAR el 1er
termino al
cuadrado
MULTIPLICARLO
por el 2do
término y por
tres
ELEVAR el 2do
termino al
cuadrado
MULTIPLICARLO
por el 1er
término y por
tres
ELEVAR el
2do
término al
cubo
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMUN: Son dos paréntesis
multiplicándose con dos términos cada uno, y tienen un término común
y otro no común.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
(𝒙 ± 𝒂)(𝒙 ∓ 𝒃) = 𝒙𝟐
ELEVAR al
cuadrado el
término
común
cubo
(±𝒂 ∓ 𝒃)(𝒙)
(±𝒂)(∓𝒃)
SUMAR O RESTAR
los términos no
comunes y
MULTIPLICAR por
el término común
MULTIPLICAR
los términos
no comunes
4. BINOMIOS CONJUGADOS: Son dos paréntesis multiplicándose con dos
términos cada uno, los términos de ambos paréntesis son iguales, solo
difieren en el signo sin importar el lugar de este.
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃) = 𝒂𝟐
ELEVAR
al
cuadra
do el
1er
término
𝒃𝟐
−
MULTIPLIC
AR los
signos
diferentes
de los
términos
que los
contienen
ELEVAR
al
cuadra
do el
2do
término
5. BINOMIO POR TRINOMIO: Son dos paréntesis multiplicándose con dos
términos uno de ellos y el otro con tres términos.
(𝒂
𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃
(𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐
𝒂𝒃
𝒃𝟐 ) = 𝒂𝟑
𝒃𝟐 ) = 𝒂𝟑
ELEVAR
al cubo
1er
término
del
binomio
Pág. 18
𝒃𝟑
−
RESPETAR el
signo del
binomio,
verificando
se cumpla la
condición
de los signos
en el
trinomio
𝒃𝟑
SUMA DE CUBOS
DIFERENCIA DE CUBOS
ELEVAR
al cubo
el 2do
término
del
binomio
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
FACTORIZACION
Es la forma de expresar un polinomio mediante un producto de dos o más
factores.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Son tres términos, el 1ero y 3er termino
tienen raíz cuadrada exacta.
𝒂𝟐
±
𝒃𝟐 =
𝟐(𝒂)(𝒃)
COMPROBAR
2
√𝑎2
(𝑎)(𝑏)
(𝒂 ± 𝒃)𝟐
COLOCAR las raíces
obtenidas en un
paréntesis separadas por
el signo del 2do término
y elevarlos al cuadrado
2
√𝑏 2
2. CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Son cuatro términos, el 1ero y 4to término
tienen raíz cubica exacta.
𝒂𝟑
±
𝟑(𝒂)𝟐 (𝒃)
𝟑(𝒂)(𝒃)𝟐 ±
COMPROBAR
3
√𝑎
𝒃𝟑 = (𝒂 ± 𝒃)𝟑
3
√𝑏
COLOCAR las raíces obtenidas en
un paréntesis separadas por el
signo de acuerdo a la siguiente
condición +,+,+=+; -,+,-= - y
elevarlos al cubo
3. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente 1): Son tres términos, solo
el 1ero término tienen raíz cuadrada exacta.
𝒙𝟐 ∓
2
√𝑥 2
Pág. 19
(𝒂
𝒃)𝒙 ±
Si los signos son
IGUALES en los
binomios, SUMAR
los dos factores;
si los signos son
DIFERENTES,
RESTARLOS
comprobando
del el 2do
termino
(𝒂)(𝒃) = (𝒙 ∓ 𝒂) (𝒙 ± 𝒃)
FACTORIZAR y
multiplicar los
factores de tal
manera que
solo sean dos,
al multiplicarlos
del el 3er
término
RESPETAR
el signo
del 2do
término
MULTIPLICAR
signos del
2do y 3er
término
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
4. TRINOMIO CUADRADO IMPERFECTO (Coeficiente diferente a 1): Son tres
términos, por lo general el 1ero término no tiene raíz cuadrada exacta.
𝒂𝒙𝟐 ∓
𝒃𝒙 ±
𝒄 = (𝒂𝒙 ∓ 𝒃) (𝒄𝒙 ± 𝒅)
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
PASO 1: Multiplicar el trinomio por el coeficiente de 𝒙𝟐 , excepto el término
bx
PASO 2: Aplicar los pasos del trinomio cuadrado imperfecto con coeficiente
uno
PASO 3: Dividir los binomios entre el coeficiente que multiplico al principio al
trinomio descomponiendo éste en dos factores, verificando que cada término
de cada binomio sea divisible entre el factor.
5. DIFERENCIA DE CUADRADOS: Son dos términos separados por un signo
negativo, y ambos tienen raíz cuadrada exacta.
𝒂𝟐
−
𝒃𝟐 =
COLOCAR las raíces obtenidas en
dos paréntesis, en uno colocar un
signo más para separar las raíces y
en el otro separarlas por un signo
menos.
2
2
√𝑏 2
√𝑎2
(𝒂 ± 𝒃)(𝒂 ∓ 𝒃)
6. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: Son dos términos separados por un signo
negativo o positivo, y ambos tienen raíz cubica exacta.
𝒂𝟑
𝒂𝟑
3
√𝑎
Pág. 20
−
3
𝒃𝟑 =
(𝒂
𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃
𝒃𝟐 )
𝒃𝟑 =
(𝒂
𝒃)(𝒂𝟐
𝒃𝟐 )
√𝑏
𝒂𝒃
COLOCAR las raíces obtenidas en un
paréntesis para formar un binomio, y
multiplicarlo por un trinomio que se obtiene: a)
el cuadrado de la 1er raíz, b) multiplicar la
1era por la 2da raíz, c) el cuadrado de la 2da
raíz.
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
7. FACTOR COMUN: Son varios términos y se repite una o varias letras en los
términos, los coeficientes también son factor común en la mayoría de los casos.
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
𝒂𝒃
±
𝒂𝒄 =
𝒂(𝒃 ± 𝒄)
PASO 1: Obtener el máximo común divisor, en el caso de que haya
coeficientes en la expresión, para obtener el factor común
PASO 2: Poner la variable(s) de menor exponente que se encuentre(n) en
la expresión y que se repita(n).
PASO 3: Dividir cada término de la expresión entre el factor común y la
respuesta de la división colocarla entre paréntesis para generar un producto.
LABERINTO: Es un juego que promueve el desarrollo de habilidades motoras
finas; el objetivo principal es encontrar una ruta a través de productos notables y
factorizaciones desarrollando las habilidades matemáticas y los aprendizajes
significativos en este tema.
DESARROLLO DEL JUEGO:
 Comienza identificando si la primera expresión en el laberinto es un producto
notable o una factorización.
 Resuelve dependiendo si es producto o factorización para encontrar el
camino o ruta correcta y así sucesivamente hasta encontrar la salida.
 Escribir los procedimientos correctos de acuerdo al seguimiento de la ruta en
el laberinto.
Pág. 21
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
(𝑥
)(𝑥 − )
9 − 𝑥 2𝑦2
𝑥 4𝑦6 − 𝑥 2𝑦 − 8
(𝑥 − )2
𝑥 − 15
(1 − 5𝑥)2
6)
( 𝑥 2 − 5𝑦)(9𝑥 4
15𝑥 2 𝑦
5𝑦 2 )
8𝑥 𝑦 9
1 𝑥 2 (𝑦 2 − 𝑥
6
𝑥 2)
6 𝑥9 −
1 𝑥 2 𝑦 2 − 8𝑥
(−6
56𝑥 4
𝑥)( 𝑥
6)
00𝑥 𝑦 8 − 1 5𝑦 12
( 𝑥𝑦
)( 𝑥 2 𝑦 6 − 8𝑥𝑦
(5𝑥 − )
16)
( 𝑥 −
𝑦2
(9𝑥 2 − 𝑦)(9𝑥 2
)2
2
0𝑥 6 𝑦 4
𝑦4
16
𝑥2 − 6
15𝑥 4 − 17𝑥 2 −
( 𝑥 − 𝑦)
16𝑥 6 − 𝑥 𝑦 2
16
( 𝑥 − 5𝑦 4 )
𝑥𝑦)
7𝑥 6 − 1 5𝑦
𝑥 2 −9
(𝑥 2 𝑦 − 8)(𝑥 2 𝑦
𝑥 2 − 8𝑥
5)(𝑥 − )
𝑥𝑦)(
)
𝑥 2 𝑦 − 6𝑥𝑦 2
1 𝑥𝑦
9𝑦 2
15𝑥 2 𝑎
5𝑥 𝑏
𝑥𝑦 2 (𝑥𝑦 − )
0𝑥𝑐
1 5𝑥 −
5𝑥 2
1 5𝑥 − 7
𝑦6
( 𝑥 2 − )(5𝑥 2
( 𝑥
Pág. 22
7𝑦 2 )(16𝑥 6 − 8𝑥 𝑦 2
5𝑥 2 𝑏
6𝑐)
1)
9𝑦 4 )
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5𝑥 2
5𝑥( 𝑥𝑎
𝑥 2𝑥−4
6 𝑥9
81𝑥 4 − 9𝑦 2
1 − 0𝑥
𝑥2
5 − 10𝑥 𝑎−2
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
(𝑥
(
𝑥2
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
ECUACIONES
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
El maratón es un juego que considero apropiado para lograr aprendizajes
significativos en cuanto a los temas de las ecuaciones lineales, cuadráticas, y
sistemas de ecuaciones, pues el hecho de que el alumno va avanzando resuelve
ecuaciones, se divierte y vence a la ignorancia, esta manera lúdica lograra que el
alumno se divierta encontrando la salida como un reto. Ponle la cola a la ecuación.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una ecuación de primer grado con una incógnita, es una igualdad con dos
miembros el de la izquierda y el de la derecha, la incógnita que normalmente
está representada por las letras x, y, z esta siempre elevada a la primer
potencia y para encontrar su valor se debe despejar esta letra o incógnita.
Despejar significa hacer los 3 pasos siguientes:
a) Dejar la incógnita sola
b) Dejar la incógnita positiva
c) Dejar la incógnita arriba solo en el numerador
SUMANDO = RESTANDO
MULTIPLICANDO=
𝟏
RESTANDO = SUMANDO
𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶
𝟏
𝑫𝑰𝑽𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶
= MULTIPLICANDO
Se debe observar que cuando la pieza se cambia de un lado a otro del igual, el
cambio es de operaciones no de signo.
(x
x
) − x = (x − 1)5
6 − x = 5x − 5
x − x − 5x = −5
−6
−7x = −7
x=
−7
−7
x=1
Pág. 23
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COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Existen muchas situaciones en los campos del saber humano, como puede
ser administración, contabilidad o ciencias, en las que los datos para
encontrar una solución involucran dos o más cantidades desconocidas, las
cuales están relacionadas de diferente forma y no siempre depende de un
dato específico.
En forma general, un sistema de dos ecuaciones con 2 variables se denota
en la forma:
Cada ecuación
𝒂𝟏 𝒙 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏
representa
𝒂𝟐 𝒙 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐
geométricamente una
línea recta
Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:
a)
b)
c)
d)
e)
Método grafico
Eliminación por suma o resta; o Reducción
Por sustitución
Por igualación
c
Por cramer
a
b
Resolver el siguiente
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟒𝟒
sistema de ecuaciones
por cramer
𝟓𝒙 − 𝒚 = −𝟓𝟕
c
b
−
−
− 11
−70
−57
−1 = (− )(−1) − (−57)(− ) =
𝒙=
=
= −𝟏𝟎
−
( )(−1) − (5)(− )
−
10
7
5 −1
a
c
−
0
9
5
−57 = ( )(−57) − (− )(5) = −171
𝒚=
=
=𝟕
−
( )(−1) − (5)(− )
−
10
7
5 −1
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS
Una ecuación con 3 incógnitas de primer grado representa en 𝑅 (el espacio),
por lo que resolver 3 ecuaciones de esta forma significa encontrar el cruce
entre los 3 planos que puede ser un punto, una recta, un plano, o no haber
solución.
En forma general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se
denota como:
𝒂𝟏 𝒙 𝒃𝟏 𝒚 𝒅𝟏 𝒛 = 𝒄𝟏
𝒂𝟐 𝒙 𝒃𝟐 𝒚 𝒅𝟐 𝒛 = 𝒄𝟐
𝒂𝟑 𝒙 𝒃𝟑 𝒚 𝒅𝟑 𝒛 = 𝒄𝟑
Hay diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones simultáneas:
a) Método grafico
Pág. 24
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
b)
c)
d)
e)
Eliminación por suma o resta; o Reducción
Por sustitución
Por igualación
Por cramer
𝟑𝒙 𝟓𝒚 𝟐𝒛 = −𝟕 𝐞𝐜. (𝟏)
𝟐𝒙 𝟒𝒚 𝟑𝒛 = −𝟐 𝐞𝐜. (𝟐)
𝟓𝒙 𝟕𝒚 𝟓𝒛 = 𝟑 𝐞𝐜. (𝟑)
( ) x
(− ) x
(5) x
(− ) 5x
5y
y
y
7y
z = −7 ec. 1
z = − ec.
y=
6x 10y
z = −1
−6x − 1 y − 9z = 6
− y − 5z = −8 ec. ( )
10x
0y 15z = −10
−10x − 1 y − 10z = −6
6y 5z = −16 ec. (5)
z = − ec.
5z = ec.
− y − 5z = −8 ec. ( )
6y 5z = −16 ec. (5)
y
=−
−24
4
𝐲 = −𝟔
Resolver el siguiente
sistema de ecuaciones
por reducción
− y − 5z = −8
− (−6) − 5z = −8
−5z = −8 − 1
z = − 0⁄−5
𝐳=𝟒
x 5y
x 5(−6)
x = −7
z = −7
( ) = −7
0−8
z = 15⁄
𝐱=𝟓
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
Las ecuaciones de segundo grado, son las ecuaciones que tienen una
variable elevada a la segunda potencia (𝒙𝟐 ), una variable elevada a la primer
potencia (x) y un término independiente (c).
 Clasificación de las ecuaciones de 2do grado
1) La ecuación de 2do grado se considera completa, cuando tiene
los tres términos
𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 = 𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son:
 Factorización del trinomio cuadrado perfecto o imperfecto
 Formula general 𝑥 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
 Completar el trinomio cuadrado perfecto
𝑥 2 − x − 10 = 0
(x − 5)(x
)=0
x−5 =0
𝐱𝟏 = 𝟓
x
=0
𝐱 𝟐 = −𝟐
Pág. 25
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
2) La ecuación de 2do grado se considera incompleta pura, cuando no
tiene el término elevado a la primer potencia.
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𝒂𝒙𝟐
𝒄=𝟎; 𝒃=𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son:
 Despeje
𝑥2 − 5 = 0
 Formula general
𝑥2 = 5
√𝑥 2 = ±√ 5
𝐱 = ±𝟓
3) La ecuación de 2do grado se considera incompleta mixta, cuando no
tiene el término independiente
𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 = 𝟎 ; 𝒄 = 𝟎
Los métodos de solución para este tipo de ecuaciones son:
 Factor común
5𝑥 2 − 15x = 0
 Formula general
5𝑥(𝑥 − ) = 0
𝟎
=𝟎
𝟓
x− =0
𝐱=𝟑
𝒙=
MARATON: Es un juego tiene como objetivo principal ayudar a transmitirles a los
alumnos, entre otras muchas cosas de interés general, los principales aprendizajes
significativos en el tema de las ecuaciones.
DESARROLLO DEL JUEGO:
 Colocar un tablero en la mesa y cada jugador toma una ficha de un color,
exceptuando la negra, la cual representa la ignorancia.
 Por turnos se tira el dado, avanzando las casillas que indique el número.
 Al llegar a la casilla indicada se toma una de las tarjetas con una ecuación y
el jugador en turno debe contestar la ecuación con procedimiento claro e
identificar el método correcto para resolverla así como el tipo de ecuación
que es.
 Si el jugador en turno no conoce la respuesta, entonces los demás jugadores,
en el orden del juego pueden contestar la pregunta y avanzar el número de
puntos que indica la pregunta, pues cada pregunta cuenta con un valor
dependiendo de su complejidad
 Si ninguno de ellos conoce la respuesta, entonces avanza la ficha negra, la
ignorancia, que cuenta con un carril especial para ella.
 El objetivo del juego consiste en llegar primero a la casilla final y derrotar a la
ignorancia.
Pág. 26
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JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
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TABLERO MARATON
Pág. 27
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
TARJETAS DEL MARATON
𝟓𝐱
𝟐 = 𝟐𝐱
𝟖
AVANCE 1
𝟑𝐱
−𝟐𝐱
𝟐𝐲 = 𝟗
𝟒𝐲 = −𝟐𝟐
Una muchacha le pregunta a
su amiga la edad, y la amiga le
contesta, piensa un número
cualquiera, súmale su mitad,
auméntale tres veces el
número e iguálalo a setenta y
dos y sabrás mi edad, ¿Qué
edad tiene la amiga?.
𝟑(𝐱 − 𝟔) 𝒙 𝟐(𝐱 − 𝟐)
− =
𝟐
𝟒
𝟑
AVANCE 2
AVANCE 1
En un viaje por los E.U. me
ofrecieron una manzana y tres
melones por diez dólares o dos
manzanas y cuatro melones
por catorce dólares, me
pregunté, ¿Cuánto cuesta cada
pieza?
𝐱
𝟐
𝐲
=𝟑
𝟑
𝐱
𝟓
𝐲 𝟐𝟑
=
𝟐 𝟏𝟎
Un señor reparte a sus hijos
unos centenarios, al hijo
mayor le deja la tercera parte,
al de en medio la cuarta parte
y al menor la quinta parte,
quedándose el señor con 26
centenarios.
¿Cuántos
centenarios tenia?
AVANCE 2
Al dividir 125 en dos partes
resulto que el doble de la
mayor, menos el triple de la
menor es iguala 30. Hallar las
partes.
AVANCE 2
AVANCE 2
AVANCE 3
AVANCE 3
Pág. 28
Ing. Paola Carina Prado Olvera
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
𝟑𝐱 − 𝐲
𝟒𝐱
𝐳=𝟕
𝟐𝐲 − 𝟕𝐳 = −𝟒
𝟏𝟎𝐱 − 𝟑𝐳 = 𝟏𝟒
AVANCE 2
𝟑𝐱 − 𝟑𝐲
𝐲−
𝒙
𝟑𝐳 = 𝟏𝟐
𝒚
𝟖
= 𝟏𝟎
𝒚−𝒙
𝐳−𝟓=
𝟐
La suma de 3 números es 9, el
doble del primero más el triple
del segundo más el cuádruplo
del tercero suman 29 y el
segundo es igual al doble del
tercero menos el primero.
Hallar los números.
AVANCE 4
AVANCE 3
Tres hermanas de edades
diferentes y pares se encuentran
en la siguiente relación, el doble
de la edad de Janis es igual a la
edad de Maria dentro de 2 años,
la mitad de la edad de Janis es
igual a la edad de Paola hace 6
años y la suma de las edades de
Janis y Pao es igual a la edad de
Maria dentro de 4 años. Hallar sus
edades
actuales.
AVANCE 4
𝐱(−𝐱
𝟖) = 𝟑(𝒙𝟐
AVANCE 2
Pág. 29
𝐱
𝟒)
𝟒𝒙 − 𝟕 𝟒𝐱 − 𝟕
=
𝟐
𝟓𝒙
AVANCE 3
El producto de dos números
enteros pares y consecutivos
es 1088. Encontrar los números
AVANCE 3
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Si se divide 35 en dos partes
tales que el cuadrado de la
menor aumentada en la mayor
da 245. ¿Cuáles son las partes?
AVANCE 4
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𝟕𝒙𝟐
𝟐 = 𝟏𝟒
𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟐 − 𝟓 𝟓𝒙𝟐 𝟏
−
= 𝒙𝟐 − 𝟔
𝟐
𝟑
𝟓(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝐱) = −𝟐(−𝒙𝟐
𝒙)
( 𝑥2 − x
)
=
𝑥2 − 𝑥
AVANCE 2
AVANCE 2
AVANCE 2
AVANCE 2
Pág. 30
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)
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.
Biggs, J. Teaching Teaching& Understanding Understanding. A 19-minute shortfilm
about
teaching
at
University.
Video:Obtenido
desde
http://video.google.com/videoplay?docid=-5629273206953884671
Biggs, J. (1996). Mejoramiento de la enseñanza mediante la alineación
constructiva.
Obtenido
desde:
http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_instituc
ional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Doc_T-18.pdf
Biggs, J. (1999) Capítulo 2 “Construir el aprendizaje alineando la enseñanza:
alineamiento constructivo” pp. 29-53 del libro Calidad del Aprendizaje
Universitario Obtenido desde.:
http://www.sems.gob.mx/aspnv/video/Biggs Cap. 2/Construir el aprendizaje
alineando la enseñanza: alineamiento constructivo .pdf.
Pág. 31
Ing. Paola Carina Prado Olvera
COPIA IMPRESA NO CONTROLADA
JUGANDO A APRENDER ALGEBRA
Pág. 32
Ing. Paola Carina Prado Olvera